5 Planimetria

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DESCRIÇÃO
Conceituação de levantamentos topográficos planimétricos.
PROPÓSITO
Compreender os conceitos teóricos e práticos de levantamentos topográficos planimétricos.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora ou use a
calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar os processos de medições topográficas de ângulos e distâncias e os conceitos sobre
a teoria de erros
MÓDULO 2
Descrever o uso da Estação Total para medição eletrônica de ângulo e distâncias
MÓDULO 3
Descrever os tipos de levantamentos planimétricos da Topografia, cálculos de poligonal e
representação gráfica
PLANIMETRIA
MÓDULO 1
 Identificar os processos de medições topográficas de ângulos e distâncias e os
conceitos sobre a teoria de erros
MEDIÇÕES TOPOGRÁFICAS E ERROS
ENVOLVIDOS
MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS
O objetivo da planimetria é a representação em planta dos pontos no terreno. Tal
representação é feita a partir de uma projeção ortogonal das coordenadas dos pontos. Por
essa razão, é necessário determinar as distâncias entre os pontos no terreno e os ângulos
entre os alinhamentos formados pelos pontos. 
A partir das observações de ângulos e distâncias, é possível determinar as coordenadas
planimétricas dos pontos, as quais ficam vinculadas a uma origem e referenciadas ao sistema
plano topográfico, denominado de Sistema Topográfico Local (STL) ou simplesmente sistema
local. 
As coordenadas são representadas no sistema bidimensional (ver figura a seguir) e as
observações de distâncias e ângulos devem ser levantadas em campo, sempre que possível,
na horizontal, para posterior projeção em verdadeira grandeza.
 EXEMPLO
As coordenadas de determinado ponto P são representadas pelo par ordenado X e Y, ou em
alguns casos, pelas letras E e N utilizadas na projeção cartográfica UTM (Universal Tranversa
de Mercator).
 Sistema bidimensional usado na Topografia.
No caso de observações de distâncias inclinadas, realiza-se um procedimento de
transformação em distâncias horizontais a partir dos ângulos verticais ou zenitais, sendo esta
operação denominada de redução de distância ao horizonte. 
As observações de distâncias podem ser tomadas de duas formas e são classificadas em:
Medida direta de distância

Medida indireta de distância
MEDIDA DIRETA DE DISTÂNCIA
É realizada quando o instrumento de medida é aplicado diretamente no terreno ao longo do
alinhamento a ser determinado.
 EXEMPLO
Ao utilizar uma trena, a medida por passo ou o hodômetro.
Vejamos cada um deles:
TRENA:
instrumento muito conhecido com comprimento que pode variar de 20 a 100 metros. Existem
trenas compostas por materiais mais simples e aquelas com materiais de baixa
dilatação/deformação, como a trena feita com material de fibra de vidro.
PASSO:
o passo de uma pessoa é aferido ao medir determinada distância no plano, a passo e em
unidades de metros. Trata-se de um método prático, rápido e barato que serve, por exemplo,
para fins de levantamento de reconhecimento do terreno.
HODÔMETRO:
trata-se de um aparelho adaptado à roda de um veículo que registra o número de voltas dadas
em um percurso.
 ATENÇÃO
Ao realizar uma medida com a trena, é importante posicioná-la o máximo possível na
horizontal, para que atenda à demanda dos levantamentos planimétricos (ver figura a seguir).
 Exemplo de medidas horizontais de distância com a trena.
Durante o levantamento com a trena, é comum o uso de piquetes, estacas testemunhas,
balizas e nível de cantoneira. Vejamos cada um deles:
PIQUETES
São utilizados para marcar os pontos a serem medidos no terreno. São fabricados em madeira,
geralmente com seção quadrada e com a superfície plana. Eles são marcados na sua parte
superior com tachinhas de cobre ou pregos e sua dimensão é de aproximadamente 15 a 30 cm
de comprimento por 3 a 5 cm de diâmetro.
ESTACAS 
TESTEMUNHAS
São confeccionadas em madeira e em tamanho maior que o piquete. São utilizadas para
facilitar a localização dos piquetes, indicando a sua posição aproximada.
 Exemplo de piquete e estaca testemunha.
BALIZAS
Utilizadas para manter o alinhamento na tomada de medidas entre os pontos. São construídas
em ferro ou madeira e possuem dimensão aproximada de 2 m de comprimento por 20 mm de
diâmetro.
 Exemplo de baliza utilizada para manter o alinhamento da medida.
NÍVEL DE 
CANTONEIRA
Trata-se de um bastão equipado com bolha circular de nivelamento que permite manter a
baliza na posição vertical sobre o piquete para a tomada horizontal da medida de distância.
 Exemplo de nível de Cantoneira.
ERROS NAS MEDIDAS DIRETAS DE DISTÂNCIAS
Para caracterizar os erros nas medidas, é muito importante conhecer sobre a classificação dos
tipos de erros. São eles:

GROSSEIROS
Causados, geralmente, por negligência do operador e não são passíveis de correção. Como,
por exemplo, erro na medição da altura do aparelho, engano na contagem de lances da trena,
erro na anotação de um valor.

SISTEMÁTICOS
São aqueles que em condições de igualdade repetem-se sempre com a mesma magnitude e
sinal, o qual pode ser positivo ou negativo. É caracterizado como um erro acumulativo durante
o levantamento e é passível de correção e/ou eliminação, seja a partir de modelos matemáticos
ou de técnicas de observação.

ALEATÓRIOS OU ACIDENTAIS
São inerentes ao processo de medidas e ocorrem ora num sentido, ora em outro. Este tipo de
erro não pode ser vinculado a uma fonte específica ou causa conhecida.
Os erros sistemáticos se acumulam ao longo do levantamento e os erros aleatórios tendem a
se neutralizar quando o número de observações aumenta. Geralmente, os erros aleatórios
seguem a distribuição Normal da Estatística. 
Um conceito que aparece com frequência é o de acurácia, que leva em consideração a
dispersão/precisão (desvio padrão) e o grau de aproximação (tendência ou viés) dos dados
em relação a um valor de referência.
 SAIBA MAIS
A estimativa de um valor, obtida a partir de um conjunto de observações, será considerada
acurada quando apresentar boa precisão e baixa tendência.
Para compreender o conceito de acurácia, tomemos como exemplo o caso do atirador ao alvo,
como exemplificado na figura a seguir.
No caso A, os tiros apresentam baixa dispersão (preciso) em torno de um valor, porém,
tendencioso em relação ao valor central do alvo, o que implica dizer que o caso A não é
acurado.
O caso B apresenta baixa dispersão e também baixa tendência em relação ao valor central do
alvo. Neste caso, pode-se dizer que é acurado.
O caso C apresenta alta dispersão (não preciso) e alta tendência, ou seja, não é acurado.
 Acurácia do atirador ao alvo.
As fontes de erros nas medidas diretas de distância são: catenária e tensão, desvio vertical e
desvio lateral. Vejamos cada uma delas:
CATENÁRIA
É a curvatura que a trena faz em função do seu peso.
 Exemplo de erro de catenária.
A equação para o cálculo de erro de catenária pode ser escrita como:
C =
8f2
3d
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
f – Flecha da catenária
d – Comprimento da trena
TENSÃO
As tensões aplicadas nas extremidades da trena dificilmente se mantêm uniformes, o que
ocasiona variação na flecha catenária.
DESVIO DA VERTICAL
Ocorre em função da distância medida não ser perfeitamente horizontal. Pode ser calculado a
partir da seguinte equação:
C =
∆ H2
2di
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
∆ H – Desnível entre dois pontos
di – Distância inclinada
DESVIO LATERAL
É o erro cometido quando o balizamento não é observado com precisão. Pode ser calculado a
partir da seguinte equação:
C =
∆ H2
2dH
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
∆ H – Desnível entre dois pontos
dH – Distância horizontal
A qualidade das medidas diretas de distância depende, principalmente, dos acessórios a serem
utilizados e dos cuidadosdurante a operação, tais como:
MANUTENÇÃO DO ALINHAMENTO A MEDIR.
GARANTIA DE HORIZONTALIDADE DA TRENA.
TENSÃO UNIFORME NAS EXTREMIDADES.
CUIDADOS NAS ANOTAÇÕES.
MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIA
A medida indireta é realizada quando as grandezas observadas em campo se relacionam por
meio de modelos matemáticos previamente conhecidos.
 ATENÇÃO
Neste caso, é necessário realizar cálculos com as medidas efetuadas em campo para se obter
indiretamente o valor da distância.
O processo de medida indireta é conhecido como taqueometria ou estadimetria. Neste caso,
utiliza-se um Teodolito e mira vertical. Com o desenvolvimento tecnológico, surgiram os
Medidores Eletrônicos de Distância (MED), os quais, associados a medidores eletrônicos de
ângulos, formam a Estação Total (trataremos no módulo 2), capaz de medir ângulo e distância
simultaneamente.
TEODOLITO
Instrumento óptico de precisão que mede ângulos horizontais e verticais.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
MIRA VERTICAL
Régua topográfica graduada.
O método taqueométrico se baseia nas propriedades dos triângulos semelhantes e nas leituras
dos fios estadimétricos sobre miras.
FIOS ESTADIMÉTRICOS
Série de fios que são paralelos e perpendiculares entre si.
 Fios estadimétricos do Teodolito.
Os tipos de ângulos medidos com o Teodolito são apresentados na figura a seguir.
javascript:void(0)
 Exemplo de ângulos medidos com o Teodolito.
As miras estadimétricas são réguas graduadas com valores de centímetros, onde cada espaço,
branco ou preto (figura a seguir), corresponde a um centímetro. Os decímetros são indicados
ao lado da escala centimétrica.
 EXEMPLO
No caso da imagem a seguir, o número 6 corresponde a 6 decímetros, ou 60 cm. A escala
métrica é representada pelo círculo na cor vermelha (1 m no exemplo a seguir).
 Exemplo de medida dos fios estadimétricos.
O cálculo da distância inclinada
(di)
é obtido a partir da seguinte equação:
DI = K FS - FI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
k é a constante estadimétrica multiplicativa, geralmente, fornecida pelo fabricante do
Teodolito.
A distância horizontal
(dH)
é obtida a partir de:
( )
DH = DI. SEN2(Z) OU DH = DI. COS2(V)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
Z - O ângulo zenital
V - O ângulo vertical.
MEDIÇÃO DE ÂNGULOS
Dadas duas direções quaisquer, a medida angular horizontal entre elas é feita por meio do
ângulo diedro, formado por dois planos verticais que contêm, respectivamente, as direções em
questão:
 Medidas de direções.
O ângulo horizontal α é obtido a partir de:
Α = LEITURAVANTE - LEITURARÉ
Α = ΑA - ΑB
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando se efetua uma operação de leitura de ângulos, o círculo (limbo) do Teodolito deve estar
situado à esquerda do operador, o que permite que os ângulos sejam observados na Posição
Direta (PD). Ao inverter a luneta com giro horizontal e vertical de 180º, o círculo ficará
localizado do lado direito do operador e os ângulos observados serão dados na Posição
Inversa (PI). Desta forma, ao realizar observações de ângulos em um mesmo ponto nas
posições PD e PI, obtém uma diferença de 180º entre as leituras PD e PI. 
As observações de PD e PI em um mesmo ponto são denominadas de leituras conjugadas e
permitem detectar a presença de erros de colimação horizontal, bem como efetuar um controle
de leituras dos ângulos horizontais e verticais. A figura a seguir apresenta as possibilidades de
leitura PD e PI:
 Exemplo de leituras em PD e PI α
PD
- α
PI
= 180º .
A diferença entre os ângulos observados em PD e PI α
PD
- α
PI
 deve ser igual a
180º
, o que não ocorre devido aos erros de colimação e de pontaria. No caso em que 
α
PD
- α
PI
< 0º, soma-se
( )
( )
( )
javascript:void(0)
360º
ao valor obtido.
COLIMAÇÃO
Nome dado ao alinhamento entre lentes e/ou espelhos em componentes ópticos, com intuito de
direcionar os raios de luz da melhor maneira.
AZIMUTE E RUMO
Nos levantamentos topográficos, medem-se ângulos e distâncias, cujo objetivo é determinar as
coordenadas dos pontos/vértices. Os pontos são representados pelas coordenadas
retangulares planas
(XeY)
ou
(E, N)
.
Dadas as coordenadas de um ponto
P1
, além da distância dp1 - p2 e o azimute Azp1 - p2 para o ponto
P2
, é possível calcular as coordenadas do ponto
P2
, como exemplificado na imagem a seguir:
( ) ( )
 Ponto P2 determinado a partir das coordenadas do ponto P1, da distância e azimute.
As coordenadas de P2 serão obtidas a partir de:
E
P2
= E
P1
+ D
P1 - P2
 . SEN AZ
P1 - P2
N
P2
= N
P1
+ D
P1 - P2
 . COS AZ
P1 - P2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O azimute de uma direção é o ângulo formado entre o alinhamento Norte-Sul e a direção
considerada. É medido no sentido horário a partir do Norte e varia de 0º a 360º. Pode estar
localizado em uma das quatro quadrículas, como exemplificado na figura a seguir.
 ATENÇÃO
( )
( )
Note que a classificação de quadrícula de azimute é em sentido contrário daquela usada na
matemática.
 Classificação dos quadrantes do azimute.

AZIMUTE MAGNÉTICO
Se for utilizado o Norte magnético, tem-se o azimute magnético.

AZIMUTE VERDADEIRO
Se for utilizado o Norte verdadeiro, tem-se o azimute verdadeiro.

AZIMUTE DE QUADRÍCULA OU PLANO
É obtido a partir do Norte representado pela projeção das coordenadas UTM em um mapa.
O rumo é o menor ângulo formado entre o Norte ou o Sul até o alinhamento na direção do
ponto visado, partindo da esquerda ou da direita e variando de 0º a 90º.
 ATENÇÃO
Sempre deve ser informado o quadrante a que pertence o rumo.
O rumo Rp1 localizado no 1º quadrante recebe a denominação de NE e as denominações para
os outros quadrantes (SE, SW e NW) podem ser observadas na figura a seguir, cuja primeira
letra indica a origem a partir da qual se realiza a contagem e a segunda indica a direção do giro
ou quadrante.
 Rumos e sua classificação de quadrante.
A conversão entre rumo e azimute pode ser feita da seguinte forma: 
1º Q:
Az1 = R1
;
2º Q:
Az2 = 180º − R2
;
3º Q:
Az3 = 180º + R3
;
4º Q:
Az4 = 360º − R4
.
EXEMPLO 1
Dadas as coordenadas planas entre dois pontos, é possível calcular o rumo e azimute a partir
de:
 Cálculo do azimute entre dois pontos.
Rumo: R1 - 2 = arctg
∆ E
∆ N , onde ∆ E = E2 - E1 e ∆ N = N2 - N1
RESOLUÇÃO
( )
O primeiro passo que precisamos dar é o de calcular o ponto azimutal por meio da análise de
quadrante:
 Quadrantes utilizados na Topografia.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
1º Quadrante ΔE + e ΔN + : Az1 = R1 = arctg
∆ E
∆ N
2º Quadrante ΔE + e ΔN - : Az2 = 180º - R2 = 180º - arctg
∆ E
∆ N
3º Quadrante ΔE - e ΔN - : Az3 = R3 + 180º = arctg
∆ E
∆ N + 180º
4º Quadrante ΔE - e ΔN + : Az4 = 360º - R4 = 360º - arctg
∆ E
∆ N
AZIMUTE DIRETO E CONTRA-AZIMUTE
( ) ( )
( ) | | | ( ) |
( ) ( )
( ) | | | ( ) |
O azimute de um ponto ao outro, por exemplo Azp1 - p2, é denominado de azimute direto. Ao
calcular o azimute Azp2 - p1, tem-se o azimute inverso ou contra-azimute, como exemplificado a
seguir:
 Azimute e contra-azimute.
O contra-azimute é calculado a partir de:
AZP1 - P2 = AZP2 - P1 ± 180º
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Descrever o uso da Estação Total para medição eletrônica de ângulo e distâncias
APRESENTAR OS CONCEITOS
ENVOLVIDOS COM A ESTAÇÃO TOTAL
MEDIDAS ELETRÔNICAS DE DIREÇÕES
As medidas de ângulos e distâncias são essenciais na Geodésia e na Topografia. Estas
medidas podem ser realizadas a partir de taqueometria que envolve observações às miras
graduadas. A partir do desenvolvimento de instrumentos eletrônicos para medir distâncias, a
tarefa de medir ângulos e distâncias pode ser feita com a Estação Total.javascript:void(0)
As medições eletrônicas de distância (MED) se iniciaram no final da década de 1940. Utilizava-
se a luz visível (λ = 0, 4 até 0, 8µm) e o infravermelho próximo (até λ = 1µm) ou micro-ondas
(λ = 1 até 10 cm).
GEODÉSIA
Técnica de divisão e mensura da terra.
 SAIBA MAIS
Micro-ondas são dificilmente absorvidas pela atmosfera e permitem realizar medida de grandes
distâncias (50 km ou mais). Contudo, os efeitos de umidade na refração da onda são grandes,
o que pode deteriorar os resultados.

O primeiro MED foi desenvolvido pelo físico sueco Erick Bergstrand, em 1948, e foi
denominado geodímetro (geodetic distance meter) (TORGE, 2001). Resultou das tentativas de
melhorar os métodos para medir a velocidade da luz. Ele transmite laser com modulação de
frequência entre 15 e 50 MHz. Esse equipamento foi capaz de medir distâncias de até 60 km
em dias claros com acurácia de mais ou menos
10. . . 15 mm + 2 × 10 - 6 s .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em 1956, o telurômetro foi construído pelo sul-africano T. L. Wadley (TORGE, 2001). Este
medidor de distância era baseado em micro-ondas. A estação emitia uma onda portadora (λ =
8 mm até 10 cm) modulada (modulação de frequências entre 7,5 e 150 MHz), a qual era
retransmitida pelo transponder ativo (receptor e transmissor). Com esse equipamento, foram
obtidas medidas de distâncias de até 70 km ou mais com acurácia de mais ou menos
10. . . 15 mm + 3 × 10 - 6 s .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

( )
( )
Os medidores geodímetro e telurômetro eram caros e não portáteis (pesados) para operações
de campo, o que requeria longos procedimentos de medição. Além disso, as reduções
matemáticas para obter distâncias consumiam muito tempo.
 VOCÊ SABIA
Medidores de distância eletro-óptico de longa distância e micro-ondas foram extensivamente
utilizados entre os anos de 1950 e 1970.
Conforme as pesquisas avançaram e as dificuldades foram sendo superadas, surgiram os
Medidores Eletrônicos de Distâncias (MEDs). A combinação do MED com Teodolito digital e
microprocessadores resultou no instrumento denominado Estação Total, a partir da qual se
pode observar simultaneamente e automaticamente ângulos (horizontais e verticais) e
distâncias. O tempo de viagem do sinal é utilizado para a medição de distância e a medição do
tempo pode ser realizada pelos métodos de pulso ou de comparação de fase. 
Uma unidade de medidor de distância consiste basicamente de um oscilador e um emissor, de
um receptor, de um modulador e de um comparador de fase. Os elementos básicos de um
MED podem ser vistos na figura a seguir:
 Elementos básicos de um MED.
COMO QUALQUER OUTRO EQUIPAMENTO DE
MEDIDAS, OS MEDS ESTÃO SUJEITOS A DIVERSAS
FONTES DE ERROS, SEJAM ELES DE CARÁTER
SISTEMÁTICO, GROSSEIRO OU ALEATÓRIO.
CARACTERÍSTICAS DOS TEODOLITOS E
ESTAÇÃO TOTAL
Teodolito e Estação Total são equipamentos destinados à medição de distâncias e ângulos
(horizontais e verticais), o que permite determinar os ângulos internos ou externos de uma
poligonal, bem como a posição dos pontos e detalhes necessários ao levantamento
topográfico. 
Atualmente existem diversas marcas e modelos de Teodolitos, os quais podem ser
classificados da seguinte forma:

QUANTO À FINALIDADE
Topográficos, geodésicos e astronômicos.

QUANTO À FORMA
Ópticos-mecânicos ou eletrônicos.

QUANTO À PRECISÃO
A NBR 13133 classifica os Teodolitos segundo o desvio padrão de uma direção observada em
duas posições da luneta, conforme a tabela a seguir:
Classe de Teodolitos Desvio padrão (Precisão angular)
1 - Precisão baixa ≤ ± 30”
2 - Precisão média ≤ ± 07”
3 - Precisão alta ≤ ± 02”
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Classificação dos Teodolitos - Extraída de NBR 13133. Execução de
levantamento topográfico. Rio de Janeiro: ABNT-Associação Brasileira de Normas Técnicas,
maio 1994.
O Teodolito/Estação Total é composto pelos eixos horizontal, vertical e eixo de colimação (ver
figura abaixo). Os três eixos básicos devem manter as seguintes relações entre si:
Eixo horizontal deve ser perpendicular ao eixo vertical;
Eixo de colimação deve ser perpendicular ao eixo horizontal;
Todos os três eixos devem se interseccionar no mesmo ponto.
 Esquema de um Teodolito
O funcionamento do Teodolito/Estação Total é relativamente simples. A luneta possui poder de
ampliação de aproximadamente 30 vezes e pode ser rotacionada em torno dos eixos vertical e
horizontal, onde encontra-se acoplado em cada eixo um disco graduado (Limbo) dotado de
uma escala de ângulos. A leitura da escala é realizada por meio de um microscópio embutido
no instrumento. Dessa forma, ao girar a luneta em torno dos eixos, deslocando-se de um ponto
de observação para outro, pode-se fazer a medição angular. 
A Estação Total pode ser considerada como uma composição de Teodolito eletrônico (medida
angular), com distanciômetro eletrônico (medida linear), a qual possui um processador para
cálculos matemáticos. A partir de observações realizadas em campo, como ângulos e
distâncias, a Estação Total permite obter outras informações, como, por exemplo:
Distância reduzida ao horizonte (distância horizontal);
Desnível entre os pontos observados;
Coordenadas dos pontos ocupados, considerando uma orientação de origem.
OPERAÇÕES DE CAMPO
INSTALAÇÃO DO TEODOLITO/ESTAÇÃO TOTAL
A instalação do Teodolito é uma etapa importante na tarefa de levantar os ângulos e as
distâncias. A planimetria exige que os ângulos e as distâncias sejam observados na forma
horizontal e, por essa razão, o Teodolito deve estar completamente nivelado sobre uma base
no tripé e com eixo vertical do equipamento centrado no ponto. 
O nivelamento do Teodolito é feito a partir de 3 botões/parafusos denominados ‘calantes’.
Esses botões permitem deixar o equipamento nivelado fazendo uso de 2 bolhas nivelantes, de
forma que se tem garantia de nivelamento sobre um plano horizontal.
 Exemplo de um tripé utilizado nas operações de campo.
MEDIDA ANGULAR
Em Topografia, normalmente deseja-se determinar o ângulo horizontal compreendido entre
duas direções. Com a Estação Total posicionada em A, observa-se os pontos B e C para obter
o ângulo α, conforme o exemplo a seguir:
 Ângulo horizontal entre os pontos B e C.
A técnica de medição simples do ângulo consiste em fazer a leitura em B (Lb) e em C (Lc)
em Pontaria Direta (PD). Dessa forma, o ângulo α é calculado por:
Α = LC − LB
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em qualquer medida de ângulo horizontal, é fundamental que os retículos verticais estejam
perfeitamente sobre o alvo.
RETÍCULOS VERTICAIS
Linhas verticais de referência
O caso de leituras de pares conjugados consiste na leitura em posições direta e inversa (LPD
e LPI) (ver figura abaixo). Faz-se a leitura em posição direta nos pontos B e C (1ª e 2ª leituras)
e, em seguida, inverte-se a luneta da Estação Total para posição PI, fazendo-se a 3ª leitura em
C e 4ª leitura com retorno ao ponto B.
javascript:void(0)
 Leituras de pares conjugados.
O ângulo α, nesse caso, permite eliminar erros sistemáticos e pode ser calculado por:
Α =
( LC ( PD ) - LB ( PD ) ) + ( LC ( PI ) - LB ( PI ) )
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXPORTAÇÃO DE DADOS
Os Teodolitos, na forma analógica, não permitem armazenar as observações, e o operador
deve fazer as anotações em caderneta de campo. Esses equipamentos, praticamente, não são
mais utilizados. As Estações Totais permitem armazenar todas as informações coletadas em
memória interna ou em cartão de memória. Tal procedimento permite a rápida transmissão de
dados da Estação Total para o computador (ver figura abaixo), seja a partir de uma porta serial,
porta USB, ou via cartão de memória.
 Exemplo de Estação Total e descarregamentode dados.
 Formato texto de arquivo de dados importado de uma Estação Total.
O grande problema que se enfrenta é que cada fabricante de Estação Total define seu formato
proprietário, não sendo possível exportar os dados em um único formato conhecido.
Felizmente, os aplicativos de Topografia permitem fazer a leitura dos dados da maioria das
Estações Totais existentes no mercado.
 DICA
No caso de equipamento novo e formato desconhecido, deve-se entrar em contato com o
fabricante para o fornecimento de software capaz de realizar a leitura dos dados da Estação.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Descrever os tipos de levantamentos planimétricos da Topografia, cálculos de
poligonal e representação gráfica
APRESENTAR OS MÉTODOS DE
LEVANTAMENTOS PLANIMÉTRICOS
LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO
A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) publicou, em maio de 1994, a NBR13133
que fixa as condições para execução de levantamentos topográficos. Desta forma, todo
profissional ligado a esse campo de atividade deve consultar as especificações da NBR13133.
Essa norma especifica as seguintes fases do levantamento:
1
Planejamento, seleção de métodos e aparelhagem;
2
Apoio topográfico;
3
Levantamento de detalhes;
4
Cálculo e ajustes;
5
Desenho topográfico;
6
Relatório técnico..
O vértice de apoio topográfico se torna ideal quando suas coordenadas estão vinculadas ao
Sistema Geodésico Brasileiro (SGB), o que pode ser realizado atualmente com o auxílio dos
levantamentos por GPS (Global Positioning System).
O uso de coordenadas UTM para os pontos de apoio é sugerido pela NBR13133 como forma
de facilitar o controle de levantamentos topográficos. Contudo, a norma também permite a
aplicação de sistemas locais com origem arbitrária, podendo estar orientado para o Norte
magnético.
 SAIBA MAIS
Outras informações importantes sobre levantamentos topográficos podem ser encontradas na
NBR13133.
 VOCÊ SABIA
A coordenada UTM significa Universal Transversa de Mercator. Tal unidade utiliza sistema de
coordenadas cartesianas bidimensional para expressar as localizações na superfície da Terra.
CARACTERIZAÇÃO DOS TIPOS DE
POLIGONAIS
POLIGONAÇÃO
Uma poligonal constitui-se de uma série de alinhamentos consecutivos dos quais a extensão e
a direção são medidas em campo. A poligonação ou método de caminhamento consiste em
ligar consecutivamente os alinhamentos entre uma série de pontos que formam uma poligonal.
O operador percorre a poligonal inteira medindo ângulos e distâncias, com o objetivo de
determinar as coordenadas (X e Y ou E e N) dos pontos. 
As poligonais podem ser classificadas em: 
Aberta;
Fechada;
Enquadrada 
Existe ainda a determinação de pontos por irradiação e por métodos de interseção para os
casos de pontos inacessíveis.
POLIGONAL ABERTA
A poligonal aberta é quando o ponto final não está “amarrado” em um ponto de coordenadas
conhecidas. Na figura a seguir, o levantamento parte de um par de coordenadas conhecidas
(ponto com símbolo de triângulo fechado) e termina em um ponto com coordenada
desconhecida (ponto com símbolo de círculo fechado).
 ATENÇÃO
Esse tipo de poligonal não permite a verificação dos erros de fechamento angular e linear.
 Exemplo de poligonal aberta.
Para calcular as coordenadas dos pontos no exemplo acima, é necessário calcular os azimutes
AzB - P1, Azp1 - p2 e AzP2 - P3:
AZB - P1 = AZA - B + ΑA - B ± 180º
AZ
P1 - P2
= AZ
B - P1
+ Α
1
± 180º
AZP2 - P3 = AZP1 - P2 + Α2 ± 180º
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O azimute inicial AzAB pode ser calculado a partir das coordenadas conhecidas dos pontos A e
B.
A fórmula geral para o cálculo de azimutes na poligonal é dada pela soma do azimute anterior
com o ângulo interno lido no ponto
±180º
:
AZ
I
= AZ
I - 1
+ Α
I
± 180º
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De posse dos azimutes calculados, pode-se obter as coordenadas dos pontos a partir de:
E
P1
= E
B
+ D
B - P1
. SEN AZ
B - P1
N
P1
= N
B
+ D
B - P1
. COS AZ
B - P1
E
P2
= E
P1
+ D
P1 - P2
. SEN AZ
P1 - P2
N
P2
= N
P1
+ D
P1 - P2
. COS AZ
P1 - P2
E
P3
= E
P2
+ D
P2 - P3
. SEN AZ
P2 - P3
N
P3
= N
P2
+ D
P2 - P3
. COS AZ
P2 - P3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fórmula geral para o cálculo das coordenadas é dada pela soma das coordenadas do ponto
anterior com o seno ou cosseno do azimute:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
E
PI
= E
PI - 1
+ D
( PI - 1 ) - PI
. SEN AZ
( PI - 1 ) - PI
NPI = NPI - 1 + D ( PI - 1 ) - PI. COS AZI ( PI - 1 ) - PI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
POLIGONAL FECHADA
A poligonal fechada é onde os pontos inicial e final são coincidentes e com coordenadas
conhecidas, formando uma figura fechada. Permite a verificação dos erros de fechamento
angular e linear.
 Exemplo de poligonal fechada.
( )
( )
 DICA
O cálculo das coordenadas dos pontos na poligonal fechada é realizado conforme apresentado
no caso da poligonal aberta, com a diferença que o último ponto coincide com o ponto inicial,
o qual possui coordenadas conhecidas.
Dessa forma, de posse das coordenadas conhecidas e das calculadas, é possível obter o erro
de fechamento linear. O mesmo ocorre para o erro de fechamento angular, o qual pode ser
obtido a partir da diferença do azimute final calculado e do azimute inicial conhecido.
POLIGONAL ENQUADRADA
A poligonal enquadrada começa em ponto com coordenadas conhecidas e termina em outro
ponto, também com coordenadas conhecidas. É geometricamente aberta, porém,
matematicamente fechada, visto que permite verificar o erro de fechamento angular e linear.
 Exemplo de poligonal enquadrada.
A irradiação consiste em determinar as coordenadas de um ponto de detalhe a partir da
poligonal.
 Exemplo de uma irradiação para o ponto I1.
Assim como no caso de poligonal aberta, não é possível verificar erro de fechamento angular e
linear no ponto de irradiação. Contudo, suas coordenadas são calculadas a partir da poligonal
ajustada ou compensada.
AJUSTE E FECHAMENTO DE POLIGONAL
Para o cálculo da poligonal, obtêm-se primeiramente os azimutes e as coordenadas provisórias
dos pontos a partir de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

AZIMUTE:
Azi = Azi - 1 + αi ± 180º

COORDENADAS PROVISÓRIAS:
Epi = Epi - 1 + d ( Pi - 1 ) - pi . sen Az ( pi - 1 ) - Pi
Npi = Npi - 1 + d ( Pi - 1 ) - pi. cos Az ( pi - 1 ) - Pi
O erro de fechamento angular
(eα)
é calculado a partir de:
EΑ = (AZF - AZI) - ∑
N
I = 1Α - K. 180º
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
AzI e AzF – Referem-se aos azimutes inicial e final, respectivamente;
∑ ni = 1α - É a somatória dos ângulos internos observados;
k – É uma constante multiplicativa que pode assumir o valor de
n + 2
,
n + 1
,
n
,
n − 1
( )
( )
( )
ou
n − 2
, onde
n
se refere ao número de pontos da poligonal.
ACEITA-SE A POLIGONAL, CASO O ERRO DE
FECHAMENTO ANGULAR SEJA MENOR QUE
DETERMINADA TOLERÂNCIA TΑ = X " √N .
A compensação de erro angular é calculada a partir de:
CΑ =
EΑ
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
eα – É o erro de fechamento angular obtido na equação anterior;
n – Número de pontos da poligonal.
Os valores de
Cα
são utilizados para compensar os ângulos observados. Após a compensação, calculam-se os
azimutes ajustados.
O erro de fechamento linear
(eL)
( )
é calculado para as coordenadas
E
e
N
a partir de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

ERRO DE FECHAMENTO LINEAR NA DIREÇÃO E:
eEL = EF - EI - ∑ ∆ E

ERRO DE FECHAMENTO LINEAR NA DIREÇÃO N:
eNL = NF - NI - ∑ ∆ N

O ERRO LINEAR TOTAL É DADO PELA RESULTANTE
DOS ERROS EM E E N:
eTL = e
E
L
2
+ eNL
2
A compensação de erro linear proporcional àdistância dh é calculada a partir de:
( )
( )
√ ( ) ( )
CEL =
EEL
∑ DH . DH
CNL =
ENL
∑ DH . DH
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
dh – É a distância observada em cada alinhamento;
∑ dh - É o somatório de todas as distâncias observadas.
Utiliza-se a compensação linear em cada alinhamento, juntamente com os azimutes ajustados
para obter as coordenadas finais ajustadas.
LEVANTAMENTO DE PONTOS
INACESSÍVEIS
O levantamento de pontos inacessíveis é realizado a partir do método de interseção de visadas
a partir de pontos com coordenadas conhecidas. A interseção à vante direta ou simples
consiste em determinar o ponto C a partir dos pontos A e B com coordenadas conhecidas,
como exemplificado a seguir:
 Interseção à vante.
No caso apresentado na figura acima, existe intervisibilidade entre os pontos A e B, e somente
os ângulos αA e αB podem ser lidos.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

CÁLCULOS INICIAIS:
AzA - B = Arctg
EB - EA
NB - NA
 (Analisar quadrante)
AzB - A = AzA - B ± 180º
dA - B = EB - EA
2 + NB - NA
2

( )
√( ) ( )
O ÂNGULO Γ PODE SER CALCULADO POR:
γ = 180º - αA + αB 
Note que os erros cometidos na leitura dos ângulos
αA
e
αB
se propagam para o valor do ângulo
γ
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

COORDENADAS DO PONTO C VINDO PELO PONTO A:
EAC = EA + dA - C . sen AzA - C
NAC = NA + dA - C . cos AzA - C
dA - C =
sen αB 
sen ( γ ) . dA - B (pela lei dos senos)
AzA - C = AzA - B - αA

COORDENADAS DO PONTO C VINDO PELO PONTO B:
EBC = EB + dB - C . sen AzB - C
( )
( )
( )
( )
( )
NBC = NB + dB - C . cos AzB - C
dB - C =
sen αa 
sen ( γ ) . dA - B (pela lei dos senos)
AzB - C = AzB - A - αB - 360º
Depois de calculadas as coordenadas do ponto C por A e por B, é possível verificar a
tolerância:
EAC - E
B
C ≤ Δ
NAC - N
B
C ≤ Δ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso a tolerância seja aceita com base no valor adotado para
δ
, pode-se calcular as coordenadas finais de
C
a partir de:
EC =
EAC + E
B
C
2
NC =
NAC + N
B
C
2
( )
( )
( )
| |
| |
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outros métodos de interseção conhecidos são a interseção à ré ou recessão e interseção
lateral, que seguem procedimentos de cálculos similares ao caso aqui apresentado de
interseção à vante.
CÁLCULO DE ÁREAS
A área do polígono pode ser calculada a partir de processo mecânico, analítico e
computacional.
PROCESSO MECÂNICO
Utiliza-se um equipamento denominado de planímetro.

javascript:void(0)
PROCESSO ANALÍTICO
Utilizam-se equações matemáticas para efetuar o cálculo da área.
PLANÍMETRO
Instrumento de medição de área de superfície qualquer.
O cálculo da área de poligonais pode ser realizado, por exemplo, a partir do cálculo da área de
trapézios formados pelos vértices da poligonal (fórmula de Gauss). Dado um conjunto de
coordenadas xi e yi de um polígono com n pontos, a fórmula para o cálculo da área é escrita da
seguinte forma:
A =
∑ NI = 1 YI . XI + 1 - ∑
N
I = 1 XI . YI + 1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação acima pode-se facilmente efetuar o cálculo da área montando-se uma
tabela com as coordenadas dos pontos, tomando o cuidado de repetir a coordenada do
( ) ( )
primeiro ponto no final da tabela, e multiplicando-se como representado a seguir.
 Tabela: Cálculo da área pelo método de Gauss. / Elaborada por Haroldo Antonio Marques.
A área será calculada por:
A =
∑ 1 - ∑ 2
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Polígono para cálculo da área.
DESENHO DE LEVANTAMENTOS
TOPOGRÁFICOS
Os desenhos devem ser realizados em folhas com formato padrão seguindo as Normas ABNT
(NBR) para desenho técnico. 
As principais Normas Técnicas de desenho técnico são:
NBR – 8196 Escalas em desenho técnico
NBR – 8402 Caracteres para a escrita
NBR – 8403 Linhas em desenhos
NBR – 8404 Estado de superfícies
NBR – 8993 Representação de partes roscadas
NBR – 10067 Vistas e cortes
NBR – 10068 Leiaute e dimensões
NBR – 10126 Cotagem
NBR – 10582 Conteúdo das folhas de desenhos
NBR – 10647 Norma Geral
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Quadro: Normas Técnicas. / Elaborado por Haroldo Antonio Marques.
As dimensões das folhas da série denominada de “A” são apresentadas na tabela abaixo.
Designação Dimensões (mm)
A0 841 x 1189
A1 594 x 841
A2 420 x 594
A3 297 x 420
A4 210 x 297
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Dimensões das folhas tipo A. / Elaborado por Haroldo Antonio Marques.
 Formato das folhas tipo A.
 ATENÇÃO
A folha de desenho deve conter espaços para desenho, texto e legenda. De acordo com a NBR
10068 (ABNT 1987), a legenda deverá ter 178 mm de comprimento nos formatos A4, A3 e A2 e
175 mm nos formatos A1 e A0.
A escala do desenho a ser representado é fundamental. Dependendo da escala, pode-se
classificar o desenho da seguinte forma:

PLANTA
Escala maior que 1:10.000

CARTAS
Escala entre 1:10.000 e 1:100.000

MAPAS
Escala menor que 1:100.000
As escalas podem ser representadas na forma gráfica ou numérica. A fórmula para o cálculo
da escala é dada por:
E =
D
D
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
d – É o tamanho no desenho
D – É o tamanho no terreno
 DICA
Para saber qual será a escala da planta, calcula-se a escala utilizando a maior distância na
direção E e a maior distância na direção N. Então, escolhe-se a menor escala obtida.
EXEMPLO 2
Tomemos, como exemplo, um terreno que mede 200 x 500 m e deverá ser representado em
folha de desenho com dimensão de 40 x 40 cm. Qual a escala a ser utilizada?
RESOLUÇÃO
E1 =
d
D =
0,40
200 =
1
500
E2 =
d
D =
0,40
500 =
1
1250
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, a escala a ser utilizada é 1:1250.
 VOCÊ SABIA
Atualmente, é possível utilizar um programa para cálculo topográfico e um programa CAD. A
maioria dos programas de Topografia tem seu próprio CAD e alguns trabalham em conjunto
com um CAD específico, tal como o AUTOCAD.
Exemplos de programa de Topografia muito conhecidos no mercado são: Bentley TopoGRAPH,
TopoEVN, DataGEosis e TopoHAM. A figura abaixo mostra um modelo de planta para
representação de imóveis rurais nos trabalhos de georreferenciamento.
 Modelo de planta para representação no georreferenciamento de imóveis rurais.
A utilização de softwares de Topografia e CAD fornece alto ganho produtivo e resultados com
melhor qualidade. Estes realizam cálculos de coordenadas, área de polígonos e outros, além
de permitir a representação de informações em diversas camadas, hachuras, diversificação de
símbolos etc.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Aprendemos, inicialmente, sobre os conceitos de levantamentos topográficos planimétricos,
envolvendo o processo de medição de distâncias na forma direta e indireta e a medição de
ângulos. Vimos que as observações podem ser feitas em PD e PI, na forma simples ou
conjugada. Os conceitos de rumo, azimute e contra-azimute foram apresentados, bem como as
equações necessárias para os cálculos. 
No módulo 2, abordamos os conceitos relacionados ao uso prático da Estação Total.
Apresentamos o histórico e os elementos básicos dos Medidores Eletrônicos de Distância e as
características dos Teodolitos e da Estação Total. Além disso, foram apresentadas as
operações de campo para leitura de ângulos e distâncias, e exportação de dados. 
Por fim, foram apresentados os levantamentos topográficos planimétricos com a caracterização
dos tipos de poligonais. Foram expostas as equações para o cálculo da poligonal e
compensaçãoangular e linear. Estudamos sobre o levantamento de pontos inacessíveis via
interseção à vante, o cálculo de área de poligonais pelo método de Gauss e as características
do desenho topográfico.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 10068: Folha de
desenho - Leiaute e dimensões: Padronização. Rio de Janeiro, 1987. 
BRANCO, D. F.; LETA, F. R.; MUÑOZ, G. S.; OLIVEIRA, J. C. V. Incerteza de medição na
calibração de teodolitos. In: CONEM – Congresso Nacional de Engenharia, 2015. 
GEMAEL C. Introdução ao ajustamento de observações: aplicações geodésicas. Curitiba:
UFPR, 1994. 
INCRA. Norma técnica para georreferenciamento de imóveis rurais. 1ª edição. Instituto de
Colonização e Reforma Agrária, 2003. 
NBR 13133. Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro: ABNT-Associação
Brasileira de Normas Técnicas, maio 1994. 
NBR 14166. Rede de referência cadastral municipal – Procedimentos. Rio de Janeiro:
ABNT-Associação Brasileira de Normas Técnicas, ago. 1998. 
TORGE, W. Geodesy. 3 ed. Berlim: Walter de Gruyter, 2001.
EXPLORE+
Veja como Monico et al. trata a questão dos conceitos de precisão e acurácia de forma
detalhada no artigo Acurácia e precisão: revendo os conceitos de forma acurada.
CONTEUDISTA
Haroldo Antonio Marques
 CURRÍCULO LATTES
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