fis3 capitulo1

Prévia do material em texto

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – Eletromagnetismo Capítulo I - Carga elétrica e Matéria, Lei de Coulomb 
 1 
1 
Eletromagnetismo I 
 
 Ementa: 
1 - Carga e Matéria 
Quantização da carga elétrica. Conservação da 
carga elétrica. A lei de Coulomb. Condutores e 
isolantes. 
2 -Campo Elétrico e Lei de Gauss 
3 -Potencial Elétrico Blindagem Efeito das 
Pontas 
4 - Capacitância e Energia Eletrostática 
Capacitância Dielétricos Energia Eletrostática 
5 - Corrente e Resistência Elétrica Definição 
de Corrente Condutividade e Resistividade 
Materiais Ohmicos 
6 - Campo Magnético de Correntes 
Estacionárias e Lei de Ampere: 
Definição de Campo Magnético 
Lei de Biot-Savart 
Lei de Ampere 
Energia Magnética 
7 - Indução Magnética e Lei de Faraday-
Lenz. Indutância Motores Geradores 
8 - Circuitos Elétricos 
Medida de Corrente e Diferença de Potencial 
Força Eletromotriz 
Leis de Kirchoff e dos Nós 
Circuitos RC e RLC 
Circuitos AC 
Transformadores 
 
Obietivos (ao término da disciplina o 
aluno devera ser capaz de): 
Compreender os principais fenômenos 
eletromagnéticos. Conhecer as principais leis do 
eletromagnetismo e resolver problemas envolvendo 
circuitos elétricos. 
 
Notas de aula baseada na: 
 
 BIBLIOGRAFIA BÁSICA: 
 
RESN1CK, R.; HALLIDAY, D.; KLRANE, K:. 
Física 3. 5.ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 2003. 
 
HALLIDAY, D.; RESNICK.R.; WALK.ER, J. 
Fundamentos de Física. 6.ed. Rio de Janeiro: 
Livros Técnicos e Científicos, 2002. v.3. 
 
TIPLER, P. A. Física para Cientistas e 
Engenheiros; Eletricidade, Magnetismo e Ótica. 
Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científicos, 2000. 
 
YOUNG, H. D., FREEDMAN, R. A. Física III. 
Pearson , 2004. 
 
ALONSO, M.; FINN, E. J. Física: Um Curso 
Universitário. 2.ed. São Paulo: Edgard Blücher 
Ltda, 2002, v.2. 
 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica: 
Eletromagnetismo. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 
2002 
 
 Bibliografia complementar: 
 
HAYT Jr., W. H. Eletromagnetismo. 4ªed e 
6ªed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos 
Editora, 1994. 
 
K.RAUS, J. D.; FLEISCH, D. A.; 
Electromagnetics with Appiications. New York, 
McGraw-Hill 1992. 
 
EDMINISTER, J. A. Eletromagnetismo. 
São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1980. 
 
SEELY, S. Introduction Electromagnetic 
Fields. Tokyo: Kogakusha Company, Ltd., 
Intemational Student Edition. 
1958. 
 
HELD, M. A.; MARION, J. B. Classical 
Eletromagnetic Radiation. 3.ed. Philadelfia/USA: 
Harcout Brace &Company, 1995. 
 
 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DA 
APRENDIZAGEM 
 
Provas escritas 
 
Peso de provas: p 
Peso de trabalhos: t 
Peso de relatórios: r 
 
Onde Mp é a média aritmética das notas 
obtidas pelo aluno nas provas e Mr a média 
aritmética das notas dos trabalhos. Durante o 
semestre, além de duas provas individuais 
obrigatórias, será ofertada a todos os alunos uma 
terceira prova cuja realização obrigatória para quem 
não totalizou os pontos. 
 
 Nota bimestral: 
b P T rN pN tN rN
 
 
p = 0.7; r = 0.25; t = 0.05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – Eletromagnetismo Capítulo I - Carga elétrica e Matéria, Lei de Coulomb 
 2 
2 
 Introdução: 
 
 A carga elétrica 
 
 O termo eletricidade vem da palavra grega 
elektron, que significa âmbar, resina que quando 
atritada com lã provoca atração em palha, fenômeno 
conhecido desde a antiguidade. Pode-se considerar 
que os conhecimentos sobre a eletricidade tiveram 
seu início em 600 AC, quando Thales de Mileto 
verificou que um bastão de âmbar (uma resina 
fóssil) atritado atraía pequenos fragmentos de palha. 
Aliás, a origem da palavra está no grego elektron, 
que significava âmbar amarelo. 
 A evolução das constatações de Mileto 
levou à conclusão da existência de cargas elétricas, 
que podem ser de duas espécies: positiva e negativa. 
Entre cargas da mesma espécie ocorre uma repulsão 
e entre espécies diferentes, uma atração. 
No final do século XIX e início do século 
XX, diversos experimentos realizados por físicos, 
que descreveremos mais adiante, demonstraram que 
a matéria possui massa e ocupa lugar no espaço, 
sendo constituída por partículas muito pequenas 
chamadas de átomos e estes por sua vez são 
constituídos por prótons e nêutrons, situados no 
núcleo, e elétrons que orbitam o núcleo em camadas 
definidas. 
 
 A descoberta do elétron 
 
A existência do elétron foi postulada por G. 
Johnston e Stoney como uma unidade de carga no 
campo da eletroquímica. O elétron foi descoberto 
por Thomson em 1897 no Laboratório Cavendish, 
da Universidade de Cambridge, enquanto estudava o 
comportamento dos raios catódicos. Influenciado 
pelo trabalho de Maxwell e o descobrimento dos 
raios X, deduziu que no tubo de raios catódicos 
existiam partículas com carga negativa, que 
denominou de corpúsculos. Ainda que Stoney haja 
proposto a existência do elétron, foi Thomson quem 
descobriu seu caráter de partícula fundamental. Para 
confirmar a existência do elétron, era necessário 
medir suas propriedades, em especial a sua carga 
elétrica. Este objetivo foi alcançado por Millikan, 
através da célebre experiência da gota de óleo, 
realizada em 1909. 
George Paget Thomson, filho de J.J. 
Thomson, demonstrou a natureza ondulatória do 
elétron, provando a dualidade onda-partícula 
postulada pela mecâncica quântica. Esta descoberta 
lhe valeu o Prêmio Nobel de física de 1937. 
O spin do elétron foi observado pela 
primeira vez pela experiência de Stern-Gerlach. Sua 
carga elétrica pode ser medida diretamente através 
de um eletrômetro e a corrente gerada pelo seu 
movimento com um galvanômetro. 
Os raios catódicos são de elétrons que 
atravessam um tubo com gás em baixa pressão entre 
dois pólos, que produzem luminosidade de acordo 
com a pressão. Para chegar a conclusão de que os 
gases, quando submetidos a baixa pressão, podem 
conduzir eletricidade, Henrich Geissler (1859), 
Johann Hittorf (1896) e Willian Crookes (1886), 
utilizaram o chamado tubo de raios catódicos. Esse 
aparelho é formado por uma ampola de vidro ligada 
a uma bomba de vácuo que tem por utilidade 
diminuir a pressão interna. Nas duas pontas do tubo 
há extremidades metálicas (eletrodos) ligadas a uma 
bateria. 
Quando a pressão interna chega a um 
décimo da pressão ambiente, o gás que existe entre 
os eletrodos passa a emitir uma luminosidade. 
Quando a pressão diminui ainda mais (100 mil 
vezes menor que a pressão ambiente) a 
luminosidade desaparece, restando uma "mancha" 
luminosa atrás do pólo positivo. 
Cientistas atribuíram essa mancha a raios 
provenientes do pólo negativo (catodo). Então foram 
denominados raios catódicos. Os raios catódicos 
nada mais são do que feixes de elétrons que 
atravessam o tubo. São comumente encontrados em 
aparelhos de televisão e monitores de 
microcomputadores. 
Nas ruas podemos encontrá-los em alguns 
letreiros. As cores desses raios dependem do gás 
usado. Com algumas modificações nos tubos, os 
raios catódicos dão origem a outros tipos de luzes, 
como por exemplo: 
 Luminosos de néon: o gás usado 
é o neônio. É usado em letreiros publicitários. 
 Luminosos de sódio: o gás usado 
é o vapor de sódio. Confere uma luminosidade 
amarela característica. É usado em iluminações de 
vias públicas e túneis. 
 Lampadas fluorescentes de 
mercúrio: o gás usado é vapor de mercúrio. Emite 
uma luz violeta e ultravileta (luz negra). É revestidacom uma tinta fluorescente (a base de fósforo) que 
absorve a luz emitida e reemite como luz branca. 
São usadas em residências, vias públicas, 
escritórios, etc. 
 
Joseph John Thomson Origem: (Wikipédia, a 
enciclopédia livre). 
Físico britânico nascido em Manchester em 1856 e 
falecido em Cambridge em 1940. Formou-se em Cambridge em 
1884, onde foi professor de Física Experimental e diretor do 
Laboratório Cavendish até se jubilar em 1919. Mediu pela 
primeira vez a carga específica do elétron em 1897 e mostrou que 
o efeito termiônico é devido a elétrons. Pela ação de campos 
elétricos e magnéticos sobre um feixe de íons de néon, verificou 
em 1913 a existência de isótopos em elementos não radioactivos, 
descobrindo o "método das parábolas". Foi-lhe atribuído o 
Prêmio Nobel de Física em 1906 por investigações teóricas e 
experimentais sobre a passagem da eletricidade através dos gases. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – Eletromagnetismo Capítulo I - Carga elétrica e Matéria, Lei de Coulomb 
 3 
3 
 Figura 1 – a) J.J. Thomson el seu laboratório (a) 
utilizando o tubo de raios catódicos (b) onde constatou a 
deflexaão de raios catódicos após aplicar um campo elétrico entre 
as placas Q e E (c). 
 
 a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A experiência da gota de óleo de 
Millikan 
 
A experiência de Millikan foi a primeira e 
direta medida experimental da carga de um elétron. 
Foi realizada em 1909 pelo físico 
americano Robert A. Millikan, que construiu um 
dispositivo capaz de medir a carga elétrica presente 
em gotas de óleo demonstrando a natureza discreta 
da carga do elétron e medindo-a pela primeira vez. 
A montagem de Millikan é mostrada na 
figura 2. Duas placas metálicas rigorosamente 
paralelas e horizontais, são isoladas e afastadas entre 
si por uma distância de alguns milímetros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQ
 
f
 
 
Q < 0 
Tv
 
gm

 
Figura 2 –Aparato construído por Millikan para 
medida da carga elétrica. 
 
Espalhando as gotículas de óleo por um 
atomizador sobre a placa superior, algumas das 
gotículas caem através de um pequeno furo existente 
nessa placa. Um feixe de luz é dirigido 
horizontalmente entre as placas e uma luneta é 
instalada com seu eixo perpendicular ao feixe. As 
gotículas de óleo, observadas pela luneta, quando 
iluminadas pelo feixe de luz, aparecem como 
pequeninas estrelas brilhantes caindo lentamente 
com velocidade terminal constante, dada pelo seu 
peso e pela força viscosa da resistência do ar, que se 
opões ao movimento: Verifica-se que algumas das 
gotículas de óleo se encontram eletrizadas, 
presumivelmente devido a efeitos de atrito. Pode-se 
também carregar as gotículas, ionizando-se o ar no 
interior da câmara por meio de raio X ou com ums 
pequena quantidade de material radioativo. Dessa 
maneira, alguns elétrons ou íons colidem com as 
gotículas de óleo e são por elas capturadas. As 
gotículas têm normalmente carga negativa, mas, 
ocasionalmente, pode-se encontrar uma ou outra 
gotícula com carga positiva. 
O método mais simples da medida da carga 
numa gota consiste em: supor que a gotícula possui 
uma carga negativa e que as placas sejam mantidas a 
uma diferença de potencial constante, tal que o 
campo elétrico é dirigido para baixo. Assim, a força 
elétrica sobre a gotícula é para cima. Ajustando-se o 
campo elétrico E, pode-se fazer com que a força 
elétrica se iguale ao peso, de modo a manter a gota 
em repouso (Figura 2 (b)). Assim: 
E
gm
QgmEQPFe 0
 
{1} 
Como a massa da gota é a sua densidade 
multiplicada pelo volume: 
3
3
4 Rm
{2} 
O Campo elétrico é dado pela diferença de 
potencial U dividida pela distância entre as placas l: 
l
U
E
 {3}. Substituindo {2} e {3} em {1}, 
teremos: 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – Eletromagnetismo Capítulo I - Carga elétrica e Matéria, Lei de Coulomb 
 4 
4 
U
glR
Q
3
3
4
 {4} 
Todas essas quantidades podem ser 
medidas, com exceção do raio da gota, que é muito 
pequeno para ser medido, da ordem de 10
-5
cm. 
Pode-se calculá-lo desligando-se o campo elétrico e 
medindo-se a velocidade terminal vT da gotaquando 
esta cai por uma distância d. A velocidade terminal 
ocorre quando o peso é igual à força viscosa f sobre 
a gota, dada pela Lei de Stokes: 
vRf 6
 
Montando a segunda lei de Newton, 
teremos: 
gRRvmgvRPf T
3
3
466
 
g
v
R T
2
3
 {5} 
Substituindo {5} em {4}, teremos: 
g
v
U
l
Q T
2
18
33 
Millikan e seus colaboradores mediram as 
cargas de alguns milhares de gotas e concluíram 
que, dentro dos limites de seus erros experimentais, 
cada gota possuía uma carga igual a um múltiplo 
inteiro de certa carga básica, e, isto é, haviam 
observadas gotas com cargas 2e, 3e, 4e. A conclusão 
que se chega é que a carga é múltipla da carga e. O 
melhor valor experimental já medido para e é: 
Ce 1910602192,1
 
 Experimento de Rutherford 
As partículas alfa (núcleos de átomos de 
hélio 2
4
) de uma fonte radioativa foram usadas para 
golpear uma folha fina do ouro. As partículas alfa 
produzem um pequeno flash minúsculo, mas visível 
de luz quando golpeiam uma tela fluorescente. 
Espantosamente, as partículas de alfa foram 
encontradas em ângulos grandes da deflexão e 
algumas foram encontradas para trás ao serem 
dispersas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Aparato experimental do Experimento de 
Rutherford. 
Esta experiência mostrou que a matéria 
positiva nos átomos está concentrada em um volume 
muitíssimo pequeno e deu o nascimento à idéia do 
átomo nuclear. Assim, representou um dos maiores 
avanços na nossa compreensão da natureza. 
Se a folha do ouro possuir espessura de 1 
micrômetro (1 m), usando o diâmetro do átomo do 
ouro da tabela periódica, sugere que a folha é possui 
aproximadamente 2800 átomos. 
O tamanho do núcleo do átomo comparado 
ao tamanho do átomo em que reside é pequeno. Por 
exemplo, o espaço dentro de um átomo pode ser 
comparado ao espaço no sistema solar, em um 
modelo em escala, como mostrado na figura 
anterior. Escolhendo o núcleo de ouro, o raio 
atômico é 18000 vezes o tamanho do núcleo. Esta 
disparidade no tamanho foi descoberta 
primeiramente com o espalhamento de partículas 
alfa realizado por Rutherford em folhas finas do 
ouro. A extremidade desta comparação do espaço é 
destacada pelo fato que um átomo com números 
iguais dos nêutrons e dos prótons, o núcleo 
compreende aproximadamente 99,97% da massa do 
átomo! 
 É interessante observar alguns aspectos 
como a ordem de grandeza do tamanho do átomo, 
que é em torno de Angstron: 
mA 10
0
101
 
 Já a ordem de grandeza do tamanho do 
núcleo é da ordem de fentômetro, usualmente 
chamado Fermi: 
mfm 1 5101
. 
 As massas nucleares são medidas em 
termos da unidade de massa atômica com o núcleo 
de carbono 12 definido como tendo uma massa de 
exatamente 12u.m.a.. 
kguma 271066054.1 1
 
 Para termos uma idéia das dimensões do 
sistema atômico comparada com o sistema Solar, 
mostramos alguns dados na tabela abaixo: 
 
 Modelo de Escala Relativa de um átomo 
e o sistema solar. 
 
Nessa escala, a próxima estrela estaria a 
aproximadamente 10000 milhas distante. 
(Figura extraída de: http://hyperphysics.phy-
astr.gsu.edu) 
Figura 4 – Comparação do modelo atômico e sistema 
solar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – Eletromagnetismo Capítulo I - Carga elétrica e Matéria, Lei de Coulomb 
 5 
5 
 
 
 
 
 
H
1
1,008
Li
3
6,94
Na
11
23,0
K
19
39,1
Rb
37
85,5
Cs
55
132,9
Fr
87
223
Be
4
9,01
Ca
20
40,1
Sr
38
87,6
Mg
12
24,3
Ra
88
226
Ba
56
137,3
Sc
21
44,9
Y
39
88,9
 
lantaní-
deos
actiní-
dios
Ti
22
47,9
Zr
40
91,2
Hf
72
178,5
Unq
104
V
23
50,9
Nb
41
92,9
Ta
73
180,9
Unp
105
Cr
24
52,0
Mo
42
95,9
W
74
183,8
Unh
106
Mn
25
54,9
Tc
43
98,9
Re
75
186,2
Uns
107
Fe
26
55,8
Ru
44
101,1
Os
76
190,2
Uno
108
Co
27
58,9
Rh
45
102,9
Ir
77
192,2
Une
109
Ni
28
58,7
Pd
46
106,4
Pt
78
195,1
Cu
29
63,5
Ag
47
107,9
Au
79
197,0
Zn
30
65,4
Cd
48
112,4
Hg
80
200,6
B
5
10,8
Al
13
27,0
Ga
31
69,7
In
49
114,8
Tl
81
204,4
C
6
12,0
Si
14
28,1
Ge
32
72,6
Sn
50
118,7
Pb
82
207,2
N
7
14,0
P
15
31,0
As
33
74,9
Sb
51
121,8
Bi
83
209,0
O
8
16,0
S
16
32,1
Se
34
78,9
Te
52
127,6
Po
84
209
F
9
19,0
Cl
17
35,5
Br
35
79,9
I
53
126,9
At
85
210
He
2
4,00
Ne
10
20,2
Ar
18
39,9
Kr
36
83,8
Xe
54
131,3
Rn
86
222
Série dos lantanídeos
Série dos actinídios
La
57
138,9
Ce
58
140,1
Pr
59
140,9
Nd
60
144,2
Pm
61
145
Sm
62
150,4
Eu
63
152,0
Gd
64
157,3
Tb
65
158,9
Dy
66
162,5
Ho
67
164,9
Er
68
167,3
Tm
69
168,9
Yb
70
173,0
Lu
71
175,0
Ac
89
227,0
Th
90
232,0
Pa
91
231,0
U
92
238,0
Np
93
237,0
Pu
94
244,0
Am
95
243
Cm
96
247,0
Bk
97
247,0
Cf
98
251,0
Es
99
252,0
Fm
100
257,0
Md
101
258,0
No
102
259,0
Lr
103
260,0
1A
2A
3B 4B 5B 6B 7B 8B 8B 8B 1B 2B
Elementos de transição externa
Elementos de transição interna
3A 4A 5A 6A 7A
0
símbolo
número atômico
massa atômica
 Dados do Modelo Comparativo: 
Átomo de Ouro: Densidade nuclear: 2.1017 
kg/m3. 
Densidade (material): 19.32 
g/cm3. 
Massa Atômica: 196 uma (1 
mole = 196.97 g) 
1 uma = 1,66 . 10-27kg Número de Avogadro: 
6,02.1023 átomos/mole 
Raio atômico: 1,3.10 -10m. Raio nuclear: 7,3.10-15 m. 
Sistema Solar 
Raio do Sol: 695000 km Raio da Terra: 6376 km. 
Distância Sol-Terra: 150.10 6 
km. 
Distância Sol-Plutão: 
5900.106km 
 
 Alguns experimentos realizados 
(espalhamento) sugerem que o núcleo tem a forma 
aproximadamente esférica e possui essencialmente a 
mesma densidade. Mantém-se unido devido a 
existência da chamada força nuclear forte, existente 
entre quaisquer pares de partículas nucleares 
(prótons ou nêutrons) ou núcleons. O número de 
prótons é chamado de número atômico (Z) e 
determina o elemento químico. 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Tabela periódica dos elementos. 
 
 
 
O núcleo de um dado elemento (mesmo 
número atômico Z) pode ter diferentes números de 
nêutrons. São tratados como isótopos do elemento. 
Os átomos são constituídos por partículas 
subatômicas: elétrons, prótons e nêutron. O elétron 
possui a carga negativa (-e) unidade de carga 
fundamental da eletricidade. Os elétrons giram em 
torno do núcleo, ou centro do átomo, em trajetórias 
de "camadas" concêntricas, ou órbitas, como 
mostramos na figura 5. O próton possui a carga 
positiva (+e). Os prótons são encontrados no núcleo. 
O número de prótons, dentro do núcleo de qualquer 
átomo específico, determina o elemento e o número 
atômico Z. 
Por exemplo, o átomo de silício tem 14 
prótons no seu núcleo e, portanto, o número atômico 
do silício é 14. O nêutron, que é a carga neutra fun-
damental da eletricidade, também é encontrado no 
núcleo. 
 
Figura 5 – Representação de um átomo e suas 
dimensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As massas nucleares são medidas nos 
termos de unidades maciças atômicas com o núcleo 
do carbono-12 definido como tendo u.m.a. 
exatamente 12. É também prática comum citar a 
chamada energia de repouso E = m0c
2
). A 
correspondência da energia de repouso a u.m.a. é: 
MeVkgu 494.9311066054.11 27
 
 
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO I 6 
 6 
6 
 A Carga elétrica 
 
Como certos átomos são capazes de ceder elétrons 
e outros capazes de receber elétrons, é possível produzir 
uma transferência de elétrons de um corpo para outro. 
Quando isto ocorre, a distribuição igual das cargas 
positivas e negativas em cada corpo deixa de existir. 
Portanto, um corpo conterá um excesso de elétrons e a 
sua carga terá uma polaridade elétrica negativa, ou 
menos (-). O outro corpo conterá uma deficiência de 
elétrons, ou um excesso de prótons e a sua carga terá 
uma polaridade positiva, ou mais (+). 
Quando um par de corpos contém a mesma carga, 
isto é, ambas positivas (+) ou ambas negativas (-), diz-
se que os corpos têm cargas iguais. Quando um par de 
corpos contém cargas diferentes, isto é, um corpo é 
positivo (+) enquanto o outro é negativo (-), diz-se que 
eles apresentam cargas desiguais ou opostas. 
A lei das cargas elétricas pode ser enunciada da 
seguinte forma: 
 
 Quantização das cargas elétricas: 
 
A matéria é constituída por átomos que são 
eletricamente neutros. Os átomos de elementos 
diferentes diferem entre si pelo número de elétrons e de 
prótons que contêm. No seu estado natural, um átomo 
de qualquer elemento contém um número igual de 
elétrons e de prótons. Como a carga negativa (-) de cada 
elétron tem o mesmo valor absoluto que a carga positiva 
(+) de cada próton, as duas cargas opostas se cancelam. 
Um átomo nestas condições é eletricamente neutro, ou 
está em equilíbrio.. 
Cada átomo tem um pequenino núcleo, de 
massa notável, constituído por prótons e nêutrons. 
Como vimos anteriormente, a experiência de Millikan 
comprovou que toda carga existente na natureza é 
múltipla da carga elétrica fundamental, que 
denominamos de e e vale: 
Ce 19106,1
 
 
 Onde C é a unidade no sistema internacional de 
carga elétrica, denominada de Coulomb. 
 A carga do próton, q p e a carga do elétron qe 
são dadas por: 
Ceqp
19106,1
 
 
Ceqe
19106,1
 
 Assim, qualquer corpo carregado na natureza 
possui um número inteiro da carga elétrica fundamental, 
resultado conhecido como a quantização da carga 
elétrica: 
 
,3,2,1,0nenQ
 
 
Exemplo 2 - Descreva os dois átomos mais simples. 
 
O átomo mais simples é o átomo de hidrogênio, que 
contém l próton no seu núcleo em equilíbrio com l elétron que gira em 
tomo do núcleo. O átomo seguinte mais simples é o átomo de hélio, 
que possui 2 prótons no seu núcleo equilibrados por 2 elétrons 
orbitando em tomo do núcleo.Niels Bohr postulou que no átomo existem 
níveis de energias permitidos, ou seja, ocorrem as 
chamadas camadas de energia e existe uma “cota” de 
elétrons permitida em cada camada. Quando a camada 
mais externa de um átomo tem um déficit na sua cota de 
elétrons, ela pode ganhar ou perder elétrons. Se um 
átomo perder um ou mais elétrons da sua camada mais 
externa, o número de prótons supera o número de 
elétrons e o átomo passa a conter uma carga elétrica 
efetiva positiva. Nestas condições, o átomo é chamado 
de íon positivo (cátion). Se um átomo ganhar elétrons, a 
sua carga elétrica efetiva torna-se negativa. O átomo é 
então chamado de íon negativo (ânion). O processo em 
que os átomos recebem ou cedem elétrons é chamado de 
ionização. 
Assim, a energia total que o elétron pode ter é 
definida em valores discretos e, portanto, ele só pode 
ocupar determinadas órbitas ou níveis de energia. Os 
níveis possíveis são sete e estão representados na figura 
6. 
O número máximo de elétrons que cada nível 
pode ter é limitado segundo o princípio de exclusão de 
Pauli e é dado por 2n
2
 onde n é o número do nível. 
Assim, o nível 1 poderá no máximo 2, o nível 2 no 
máximo 8 e assim sucessivamente. 
 
Figura 6 – Representação dos níveis de energia de um 
átomo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É regra geral na natureza a estabilização na 
menor energia possível. Assim, os níveis são 
preenchidos na seqüência do menor para o maior e um 
nível só poderá conter elétrons se o anterior estiver 
completo. A Figura 6 mostra isso. 
Os elétrons em cada nível ocupam subníveis e 
cada um pode conter um número máximo de elétrons e 
são, de forma similar, preenchidos do menor para o 
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO I 7 
 7 
7 
maior.Os subníveis são designados pelas letras s, p, d e f 
e os valores máximos são respectivamente 2, 6, 10 e 14. 
Evidente que, por exemplo, o nível 1 só pode 
ter o subnível s, pois o número máximo do nível é 2. Já 
o nível 2 pode ter os subníveis s e p e assim 
sucessivamente. 
 A figura 7 dá o exemplo da distribuição dos 
elétrons em um átomo de cobre, número atômico 29. 
O nível mais externo (4, neste exemplo) é 
chamado de nível de valência e os elétrons presentes 
nele são os elétrons de valência. 
O número de elétrons de valência é um fator 
importante do elemento. Ele define a capacidade do 
átomo de ganhar ou perder elétrons e de se combinar 
com outros elementos.Muitas das propriedades químicas 
e elétricas dependem da valência.A convenção adotada 
para a representação gráfica da distribuição de elétrons 
no átomo do elemento é a indicação seqüencial dos 
níveis e respectivos subníveis, com o número de 
elétrons de cada subnível colocado na forma de 
expoente. Para este caso do cobre: 
1s
2
2s
2
2p
6
3s
2
3p
6
3d
10
4s
1
. 
 
Figura7 –Configuração eletrônica para o átomo de cobre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 - Descreva o que ocorre com o átomo 
de cobre quando ele perde um elétron da sua camada 
mais externa. 
 
O átomo de cobre toma-se um íon positivo com 
uma carga efetiva de +1. 
Quanto as partículas fundamentais, teremos 
para a Carga elétrica: 
 
 
 
 
 Natureza 
Valor 
relativo 
Massa 
relativa 
Próton Positiva +1e 1 
Nêutron 
Não 
existe 
0 1 
Elétron Negativa -1e 1/1836 
 
 
 As Camadas eletrônicas: 
Os elétrons estão distribuídos em camadas ou níveis de 
energia: 
 
núcleo 
camada 
K L M N O P Q 
1 2 3 4 5 6 7 
nível 
 
O número máximo de elétrons nas camadas ou 
níveis de energia: 
 
K L M N O P Q 
2 8 18 32 32 18 2 
 
 Subníveis de energia 
As camadas ou níveis de energia são formados de 
subcamadas ou subníveis de energia, designados pelas 
letras s, p, d, f. 
 
Subnível s p d f 
Número máximo de 
elétrons 
2 6 10 14 
 
Os subníveis conhecidos em cada nível de 
energia: 
Subnível 1s 
2s 
2p 
3s 
3p 
3d 
4s 
4p 
4d 
4f 
5s 
5p 
5d 
5f 
6s 
6p 
6d 
7s 
Nível 
1 2 3 4 5 6 7 
K L M N O P Q 
Subníveis em ordem crescente de energia: 
 
1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s 5f 6d 
 
 Preenchimento dos subníveis 
Os subníveis são preenchidos sucessivamente, 
na ordem crescente de energia, com o número máximo 
de elétrons possível em cada subnível. (Regra de 
aufbau)Os números quânticos indicam a energia do 
elétron no átomo e a região de máxima probabilidade de 
se encontrar o elétron. 
O número quântico principal (n) indica o 
nível de energia. Varia de n = 1 a n = 7, 
respectivamente, no 1º, 2º, 3º, ... nível de energia. 
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO I 8 
 8 
8 
O número máximo de elétrons em cada nível é 
dado por 2n
2
. Entre os átomos conhecidos, no estado 
fundamental, o número máximo de elétrons num mesmo 
nível é 32. 
O número quântico secundário ou azimutal 
(l) indica a energia do elétron no subnível. Nos átomos 
conhecidos, no estado fundamental, há quatro subníveis, 
representados por s, p, d, f, em ordem crescente de 
energia. 
 
Subnível s p d f 
Número 
quântico 
azimutal 
l = 0 l = 1 l = 2 l = 3 
 
 Orbitais 
Os subníveis são formados de orbitais. Orbital 
é a região da eletrosfera onde há maior probabilidade de 
estar localizado o elétron do átomo. O número máximo 
de elétrons em cada orbital é 2.A cada orbital foi 
atribuído um número quântico magnético (m) cujo valor 
varia de -l a +l, passando por zero. 
 
subnível s um só orbital s (0) 
subnível p três orbitais p (-1) (0) (+1) 
subnível d cinco orbitais d (-2) (-1) (0) (+1) (+2) 
subnível f sete orbitais f 
(-3) (-2) (-1) 
(0) 
(+1) (+2) (+3) 
 
O orbital s tem forma esférica. Os orbitais p 
têm forma de duplo ovóide e são perpendiculares entre 
si (estão dirigidos segundo três eixos ortogonais x, y e 
z). 
 
 Spin 
Spin é o movimento de rotação do elétron em 
torno de seu eixo. Pode ser paralelo ou antiparalelo. A 
cada um deles foi atribuído um número quântico: + 1/2 
e -1/2. 
 
 Princípio da exclusão de Pauli 
Em um mesmo átomo, não existem dois 
elétrons com quatro números quânticos iguais. 
Como conseqüência desse princípio, dois 
elétrons de um mesmo orbital têm spins opostos. 
Um orbital semicheio contém um elétron 
desemparelhado; um orbital cheio contém dois elétrons 
emparelhados (de spins opostos). 
 
 
 
 Regra de Hund 
Ao ser preenchido um subnível, cada orbital 
desse subnível recebe inicialmente apenas um elétron; 
somente depois de o último orbital desse subnível ter 
recebido seu primeiro elétron começa o preenchimento 
de cada orbital semicheio com o segundo elétron. 
Elétron de maior energia ou elétron de 
diferenciação é o último elétron distribuído no 
preenchimento da eletrosfera, de acordo com as regras 
estudadas. 
Um átomo estável (neutro) possui uma certa 
quantidade de energia, que é igual à soma das energias 
dos seus elétrons. Os elétrons, por sua vez, possuem 
energias diferentes chamadas de níveis de energia. O 
nível de energia de um elétron é proporcional a sua 
distância do núcleo. Portanto, os níveis de energia de 
elétrons em camadas mais afastadas do núcleo são 
maiores do que os de elétrons em camadas mais 
próximas do núcleo. Os elétrons situados nacamada 
mais externa são chamados de elétrons de valência. 
Quando se aplica a certos materiais energia externa 
como calor, luz ou energia elétrica, os elétrons adquirem 
energia. Isto pode fazer com que o elétron se desloque 
para um nível de energia mais alto. Diz-se que um 
átomo em que isto aconteceu está num estado excitado. 
Um átomo num estado excitado é instável. 
Ao ser deslocado para a camada mais externa 
do átomo, o elétron sofre a mínima atração possível 
pelas cargas positivas dos prótons dentro do núcleo do 
átomo. Se for aplicada ao átomo uma energia suficiente, 
alguns dos elétrons de valência ou da camada mais 
externa abandonarão o átomo. Estes elétrons são 
chamados de elétrons livres. É o movimento dos 
elétrons livres que produz a corrente elétrica num 
condutor metálico. 
Cada camada de um átomo pode conter somente um 
certo número de elétrons. Este número é chamado de 
cota da camada. Os elétrons em órbita encontram-se em 
camadas sucessivas denominadas pelas letras K, L, M, 
N, O, P e Q, cada uma delas mais afastada do núcleo. 
Cada camada contém um número máximo de elétrons 
para a condição de estabilidade (Fig. 1-3). Depois da 
camada K ter sido preenchida com 2 elétrons, a camada 
L pode conter até 8 elétrons. O número máximo de 
elétrons nas camadas restantes pode ser de 8, 18 ou 32, 
conforme o elemento. Entretanto, para a camada mais 
externa, o número máximo é sempre 8. 
 
Exemplo 3 - Mostre a estrutura do átomo de cobre identificando 
suas camadas de energia. 
 
No átomo de cobre há 29 prótons no núcleo contrabalanceados 
pêlos 29 elétrons orbitais. Os 29 elétrons preenchem a camada K com 
2 elétrons e a camada L com 8 elétrons. Os 19 elétrons restantes 
preenchem a camada M com 18 elétrons e, conseqüentemente, sobra l 
elétron que fica na camada N mais externa. 
 
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO I 9 
 9 
9 
Se a cota da camada mais externa de um átomo for 
preenchida, diz-se que o elemento formado por tais 
átomos é inerte ou estável. 
 
 Conservação da Carga: 
 
Quando esfregamos dois corpos, um deles fica 
com excesso de elétrons e carregado com carga 
negativa, e o outro com falta de elétrons e carregado 
com carga positiva. A carga líquida dos dois corpos 
permanece constante, ou seja, a carga se conserva. 
A Lei da conservação da carga é uma Lei 
fundamental na Natureza. 
 
 Condutores e Isolantes: 
 
Em muitos materiais, por exemplo, cobre e 
outros metais, os elétrons podem se deslocar livremente, 
Esses materiais são chamados de condutores. Outros, 
como a madeira, o vidro e a borracha, os elétrons estão 
ligados aos átomos mais próximos e não podem se 
deslocar em liberdade. São chamados de isolantes. 
 
 Exemplo 4 – A massa de uma moeda de cobre é de 3 g 
(ZCu=29). Qual a carga total dos elétrons na moeda? 
 
 A carga total é o produto do número total de elétrons e a 
carga do elétron: Q = Ne (-e) 
 O número de elétrons é igual ao produto do número átomos 
de cobre e Z: Ne = Z Na. 
 Como a massa molecular do cobre é 63,5g, teremos que o 
número de átomos será: 
átomosN
mol
g
mol
á tomos
a
22
23
1084,2
5,63
1002,6
3
elétronsZNN ae
2322 1024,81084,229
CeNQ e
51923 1032,1106,11024,8)(
 
 
 
 Processos de eletrização: 
 
 Atrito 
 
No processo de eletrização por atrito por dois 
corpos, um corpo tem afinidade em doar elétrons e outro 
tem afinidade em receber elétrons. Após atritar um 
corpo com outro, os dois ficarão carregados com cargas 
de sinais opostos. 
Um exemplo de eletrização por atrito é o 
denominado Gerador de Van de Graaff. 
Materiais que estão mais próximos do extremo mais 
negativo, têm uma disposição por assumir uma carga elétrica 
negativa. Os materiais mais próximos ao extremo mais positivo 
tendem a assumir carga elétrica positiva. Idealmente, os materiais da 
correia e do cilindro inferior devem estar entre o mais afastados dessa 
lista, enquanto o material do cilindro superior deve estar na região dos 
neutros. 
 Uma Nota em Relação possível à Polaridade 
de um Van de Graaff 
Para uma dada combinação rolete inferior- correia- rolete 
superior, a polaridade do domo do GVDG fica determinada. Por 
exemplo, se a correia é de borracha, o rolete inferior é de plástico e o 
rolete superior é de alumínio, o domo ficará negativo. Usando o 
mesmo desenho, porém colocando-se o rolete de plástico como 
superior e o de alumínio como inferior, o domo ficará positivo. 
mais 
positivo 
Ar,vidro,fibra 
sintética,lã,chumbo,alumínio,papel 
neutro Algodão,aço,madeira,borracha, 
cobre,acetato,poliéster,poliuretano, 
polipropileno, vinil (PVC), silicone 
mais 
negativo 
teflon 
 
Robert Jemison Van de Graaff 
 
Robert Jemison Van de que Graaff nasceu 20 de dezembro 
de 1901 em Tuscaloosa, Alabama. A chamava-se Minnie Cherokee 
Hargrove e o pai Adrian Sebastian Van de Graaff. Robert frequentou 
o Tuscaloosa escolas públicas e a Universidade de Alabama onde ele 
recebeu um grau de BS em 1922 e um grau de MS em 1923. Ambos 
os graus estavam em engenharia mecânica. 
Depois de se formar de faculdade ele trabalhou para a 
Companhia Alabama durante um ano como um assistente de pesquisa. 
Ele estudou em Sorbonne em Paris de 1924 a 1925 e lá, assistiu 
conferências de Marie Curie sobre radiação. Em 1925 ele entrou para 
Universidade de Oxford na Inglaterra como um Estudioso de Rhodes. 
Em Oxford ele recebeu um BS em física em 1926 e um Ph.D. em 
física em 1928. Enquanto em Oxford, ele se deu conta da esperança 
de trabalhar em experimentos nucleares com Ernest Rutherford que 
poderiam acelerar partículas a velocidades suficiente para desintegrar 
núcleos. Desintegrando núcleos atômicos seria possível aprender 
sobre a natureza de átomos individuais. Essas idéias que Robert Van 
de Graaff visualizou a necessidade de construir um acelerador de 
partículas. 
Em 1929 Van de que Graaff voltou para os Estados Unidos 
para se juntar ao Laboratório de Pesquisas Físicas na Universidade de 
Princeton como um assessor de Pesquisa Nacional. No outono daquele 
ano ele construiu o primeiro modelo de funcionamento do acelerador 
electrostatico que produzia 80,000 volts. Foram feitas melhorias ao 
modelo básico e em novembro, 1931 no jantar inaugural do Instituto 
americano de Física, foi exibido um modelo de demonstração que 
produziu mais de 1,000,000 volts. 
Quando Karl T. Compton se tornou o presidente de 
Instituto de Massachusetts de Tecnologia, Van de Graaff foi 
convidado a vir ao MIT como um sócio de pesquisa. Van de Graaff 
construiu a primeira máquina grande em um hangar de aeronave em 
Sul Dartmouth, Massachusetts. A máquina usava duas esferas de 
alumínio polidas, cada 15 pés em diâmetro montado em 25 pé colunas 
isolantes altas que tinham 6 pés em diâmetro. As colunas estavam 
montadas em suportes de estrada de ferro que impulsionaram as 
esferas para 43 pés sobre nível de solo. A máquina seu funcionamento 
em 28 de novembro de 1933 e pôde produzir 7,000,000 de volts. Esta 
realização foi informada no New York Times durante 29 de novembro 
de 1933 em uma história intitulada "Parafuso de Lances de Homem de 
7,000,000 Volts". Em 1937 a máquina foi movida a um local anexo 
pressurizado no MIT. 
John D. Cockcroft e Ernest Walton do Laboratório de Cavendish na 
Inglaterra tinham construído um acelerador de partícula próspero em 
1932. Esta máquina consistia de circuitos de voltagem-multiplicadores 
usados para produzir as voltagens altas exigidas para aceleração de 
partículas.Era vultoso e complicado e limitou em sua capacidade de 
voltagem. Em contraste com a máquina de Cockcroft-Walton, a 
máquina de Van de Graaff era simples e compacta e era mais fácil 
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO I 10 
 10 
10 
regular e capaz de produzir voltagens mais altas e então acelerações 
mais altas. 
Em 1935 Van de Graaff recebeu uma patente para a 
invenção dele. Ele preparou a aplicação de patente por Karl T. 
Compton e Vannevar Bush que eram o vice-presidente de MIT. Van 
de Graaff também trabalhou com John G. Trunfo, professor de 
engenharia elétrica no MIT e com William W. Buechner, professor de 
físicas a MIT. Um aparelho médico de Graaff produzia raios X por 
tratar tumores cancerosos com radiação penetrante pela primeira vez 
usado clinicamente 1937 na Escola Médica de Harvard . Em 1936 
Van de Graaff e Catherine Boyden casaram-se. Eles tiveram dois 
filhos, John e William. 
Durante 2ª Guerra Mundial Van de Graaff era o diretor do 
Projeto de Alta Voltagem Alta de Radiographic. Junto com William 
W. Buechner ele dirigiu a adaptação do gerador de eletricidade para 
exame de radiografias de precisão da Marinha norte-americana. 
Depois da guerra, em 1945, o Van de Graaff recebeu como prêmio da 
Fundação Rockefeller uma concessão para o desenvolvimento de um 
acelerador melhorado para o MIT. Em 19 de dezembro de 1946 Van 
de Graaff e Trunfo formaram a Corporação Alta Voltagem (HVEC) 
em Burlington, Massachusetts. HVEC foi formado para a produção 
comercial de aceleradores de partícula. Denis M. Robinson, professor 
de engenharia elétrica da Inglaterra, se tornou o presidente da 
corporação nova. John G. Trunfo se tornou o diretor técnico e Van de 
Graaff se tornou o físico principal e sócio. HVEC se tornou o 
provedor principal de geradores eletrosttáticos 
 
 
 
 
 Eletrização por contato: 
 
Se um corpo metálico C com carga Q1i , 
eletrizado, for colocado em contato com outro corpo, D, 
também metálico, com carga Q2i o Princípio da 
conservação da carga garante que a soma das cargas 
finais e iniciais será a mesma: 
 
Figura 8 –Eletrização por contato. 
 
 
 C Q1i Antes Q2i D 
 
Contato C D 
 
 C Q1f Q2f D 
 
ffii QQQQ 2121
 
 Princípio da conservação da carga 
 
Se o corpo C estiver inicialmente descarregado 
(Q2i = 0), haverá transferência de apenas parte da carga 
de C para D. A transferência de carga é parcial porque 
ela será interrompida quando os potenciais dos dois 
corpos se igualarem. 
Suponha que o corpo D possuísse uma 
cavidade e que C fosse introduzido nela. Nestas 
condições, a carga de C induzirá cargas elétricas nas 
superfícies interna e externa de D. Verifica-se que a 
carga induzida nas paredes tem o mesmo módulo da 
carga no corpo C (que provocou a indução). Então, se 
este corpo for colocado em contato com a parede interna 
de D, a carga induzida nesta parede será neutralizada 
pela carga de C. O corpo D ficará eletrizado com uma 
carga de mesmo sinal e de mesmo módulo que a carga 
inicial do corpo C. Tudo se passa como de a carga de C 
fosse integralmente transferida para D. 
Quando há contato interno, a transferência de carga do 
corpo que está dentro da cavidade para o corpo externo 
é integral, mesmo que este já possua uma carga inicial. 
Assim se o corpo C for novamente eletrizado e outra 
vez ligado internamente ao corpo D, sua carga se 
transferirá totalmente para D. Esta operação pode ser 
repetida várias vezes e, assim, é possível acumular em 
D uma quantidade de carga cada vez maior. A 
quantidade de carga em D naturalmente, é limitada pela 
rigidez dielétrica do ar que o envolve. Se a rigidez 
dielétrica do ar for ultrapassada, parte da carga 
acumulada em D tende a escoar e, portanto, a carga 
máxima que pode existir em D é aquela que cria um 
campo igual à rigidez dielétrica do ar. 
 Princípio de Funcionamento do Gerador de 
Van De Graaff 
O fato da carga elétrica se transferir 
integralmente de um corpo para o outro, quando há 
contato interno, constitui o princípio básico de 
funcionamento do gerador de Van de Graaff. 
Este aparelho é constituído por uma correia que 
passa por duas polias, uma delas acionada por um motor 
elétrico que faz a correia se movimentar A segunda 
polia encontra-se no interior de uma esfera metálica oca, 
que está apoiada em duas colunas isolantes. 
Enquanto a correia se movimenta, ela recebe carga 
elétrica por meio de uma ponta elétrica por meio de uma 
ponta ligada a uma fonte de alta tensão (cerca de 10.000 
V). Esta carga é transportada pela correia para o interior 
da esfera metálica. Uma ponta ligada a esta esfera 
recolhe a carga transportada pela correia. Em virtude do 
contato interno, esta carga se transfere integralmente 
para a superfície externa da esfera do gerador. 
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO I 11 
 11 
11 
Como as cargas são transportadas 
continuamente pela correia, elas vão se acumulando na 
esfera, até que a rigidez dielétrica do ar seja atingida. 
Nos geradores de Van de Graaff usados em trabalhos 
científicos o diâmetro da esfera é de alguns metros e a 
altura do aparelho atinge, às vezes, 15 m. Nestas 
condições, é possível obter voltagens de até 10 milhões 
de volts. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 –Gerador de Van de Graaff. 
 
 
 Eletrização Por Indução 
 
A figura ilustra duas situações: um corpo 
carregado positivamente aproximando de um corpo 
neutro (a) e um corpo carregado negativamente 
aproximando de um corpo neutro (b), onde há uma nova 
redistribuição de carga no corpo neutro em ambos os 
casos. 
 
Figura 11 –Aproximação do indutor n 
 (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A presença do corpo carregado negativamente 
faz com que haja uma redistribuição das cargas 
positivas e negativas do corpo neutro, onde as cargas 
positivas do corpo neutro (induzido) ficam mais 
próximas do corpo carregado (indutor). Esse processo é 
conhecido como indução eletrostática. Caso o indutor 
estiver carregado positivamente, haverá uma 
aproximação das cargas negativas do induzido em 
relação ao indutor. 
 
 Eletroscópio de folhas de ouro: 
 
 Um dispositivo interessante que permite 
identificar as propriedades de indução e contato é o 
eletroscópio de folhas de ouro. Consiste de duas fitas 
laminadas de ouro, coladas na extremidade de uma 
haste, tendo na outra extremidade uma esfera, colocada 
num invólucro isolante. Aproximando um bastão 
carregado da esfera, a carga oposta se acumula na esfera 
e a mesma carga do bastão se acumula nas folhas, 
repelindo-se mutuamente. Se encostarmos o bastão na 
haste neutra, esta se carregará com a mesma carga; 
assim, as lâminas permanecerão abertas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 – Eletroscópio de folhas de ouro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO I 12 
 12 
12 
 A Lei de Coulomb 
 
 
Charles Augustin de 
Coulomb 
 (1736 - 1806)Charles Augustin de Coulomb nasceu a 14 de junho de 
1736, em Angoulême. Seu pai - Henri Coulomb - ocupava então o 
cargo de inspetor dos domínios do rei. Alguns anos mais tarde 
abandonou essa função e retirou-se para sua cidade natal - 
Montpellier. Sua mulher ficou em Paris e, com ela, o pequeno 
Charles, que ali freqüentou o Colégio das Quatro Nações e o Colégio 
Real. 
Em 1758, também Charles Augustin deixou Paris para ir 
juntar-se ao pai. Deste conseguiu autorização para alistar-se na Arma 
de Engenharia. 
Sua carreira militar encerrou-se com a nomeação para subtenente da 
École cle Métiers, em 1760; no ano seguinte, terminou o curso de 
engenharia. 
Viajou, algum tempo depois, para a Martinica, como 
diretor dos trabalhos de fortificação daquela ilha. Sua permanência nas 
Antilhas foi, porém, bastante curta: não conseguiu adaptar-se ao clima 
tropical, e retornou à França gravemente doente. 
Já recuperado, Coulomb assumiu a direção das obras de fortificação 
que estavam sendo realizadas em Rochefort, na ilha de Aix e em 
Cherbourg, ocupando-se também de pesquisas científicas. Desses 
estudos nasceram, em 1773, as bases da teoria da resistência dos 
materiais e, seis anos mais tarde, alguns trabalhos sobre o atrito. Neste 
último campo, Coulomb foi particularmente influenciado por 
Guillaume Amontons, que, em 1699, enunciara a lei da 
proporcionalidade do atrito à pressão dos corpos em contato. Baseou-
se também nos trabalhos de Camus e Desaguliers, que haviam 
mostrado que o atrito estático é superior ao atrito dinâmico. 
 
A balança de torção de Coulomb ocupa um 
lugar preponderante na história da Física. Trata-se de 
um instrumento que permite a verificação experimental 
da lei quantitativa das interações entre cargas elétricas. 
De um modo geral a balança é constituída por uma 
caixa de vidro, cilíndrica ou quadrada, fechada por uma 
tampa, também de vidro, da qual se eleva um tubo que 
termina num disco metálico de onde está suspenso um 
fio de torção que sustenta uma agulha horizontal de 
goma laca. Esta agulha tem numa das extremidades um 
pequeno disco vertical de latão e, na outra, uma esfera 
de medula de sabugueiro. A altura da agulha é regulada 
por meio de um botão que faz rodar um eixo horizontal 
onde se enrola o fio que a suspende. Este eixo está 
montado sobre um disco giratório no qual se encontra 
gravada uma escala dividida em graus. Esta escala 
avança em relação a uma marca de referência, fixa na 
coluna de vidro, de modo a possibilitar a medição de 
deslocamentos angulares. 
 
Figura 13 – Balança de torção utilizada por Coulomb. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A força eletrostática entre duas cargas 
puntiformes Q1 e Q2 separadas de uma distância r12 é 
dada pela Lei de Coulomb: 
2
12
21
12
r
QQ
kF
 
 
Figura 14 – Forças elétricas sobre cargas puntiformes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO I 13 
 13 
13 
A força pode ser de natureza atrativa, caso as 
cargas possuam sinais contrários, ou repulsiva, caso 
possuam sinais idênticos, como ilustra a figura acima. 
Charles Coulomb (1736-1806) utilizou o 
invento denominado balança de torção, que 
descrevemos anteriormente, onde havia esferas carregas 
de raios muito menores que a distância entre elas, 
considerando-as como cargas puntiformes. Seus 
resultados e pesquisas deram origem a Lei de Coulomb: 
A força que uma carga elétrica puntiforme 
exerce sobre outra carga puntiforme está dirigida na 
reta que passa pelas duas cargas. A força varia 
inversamente com o quadrado da distância entre as 
cargas e é proporcional ao produto das cargas. A força 
é repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e 
atrativa se tiverem cargas opostas. 
Pode-se escrever também como: 
 
122
12
21
12 rˆ
r
QQ
kF
 
Onde 
12rˆ
é o vetor unitário que aponta de Q1 
para Q2: 
12
12
12
ˆ
r
r
r 
 
 
 Pode-se usar a notação: 
 
 
1 2F
 Q2 
 
 
1212 rrR
 
 
 
12aˆ
 
2r
 
 
 Q1 
1r
 O (origem) 
 
12
12
12
12
12
ˆ
rr
rr
R
R
a 


 
 A forma vetorial para a Lei de Coulomb fica: 
 
122
120
21
12
ˆ
4
a
R
QQ
F
 
 
 A constante k é determinada 
experimentalmente e denominada de Constante de 
Coulomb, que tem o valor no SI: 
 
2
291099,8
C
mNk
 
A constante eletrostática k também se relaciona 
com uma outra constante, denominada constante de 
permissividade, 0, pela relação: 
04
1
k
 
 Essa constante é dada por: 
 
2
212
0 1085,8 mN
C
 
ou 
m
F9
0 10
36
1
 
 Se tivermos várias cargas puntiformes, q1, q2, 
...,qi e quisermos calcular a força elétrica resultante 
sobre uma carga qj, por exemplo, deve-se somar 
vetorialmente as forças exercidas por cada carga qi na 
carga qj: 
ijjjjRj FFFFF



321
 
 
 Exemplos resolvidos: 
 Hayt e Sears & Zemansky 
Exemplo 1 – ( 2.1 - pg. 18) 
 Seja: Q1=3.10
-4
C localizada em M(1,2,3) e Q2 
= -10
-4
C localizada em N(2,0,5). Força exercida por Q1 
em Q2: 
 Solução: 
 
122
120
21
12
ˆ
4
a
R
QQ
F
 
 
zyx aaar ˆ5ˆ0ˆ22

 
 
zyx aaar ˆ3ˆ2ˆ11

 
 
zyx aaarr 2ˆ2ˆ12

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO I 14 
 14 
14 
 
3221 2
22
12 rr
 
zyx aaa
rr
rr
R
R
a ˆ
3
2
ˆ
3
2
ˆ
3
1
ˆ
12
12
12
12
12 


 
122
120
21
12
ˆ
4
a
R
QQ
F
 
 
zyx aaaF ˆˆˆ
3103614
)10(103
3
2
3
2
3
1
29
44
12
 
 
Exemplo 2 (2.2 - pg. 19) 
 Uma: carga QA=-20C está localizada em A(-
6,4,7) e QB = 50C está localizada em B(5,8,-2). Se as 
distâncias são dadas em metros, determine: 
a) 
ABR
 
b) 
ABR
 
c) Força exercida por QA em QB: 
 
 Solução: 
 a) 
ABAB rrR
 
 
zyxA aaar ˆ7ˆ4ˆ6

 
 
zyxB aaar ˆ2ˆ8ˆ5

 
zyxABAB aaarrR ˆ9ˆ4ˆ11

 
b) 
mRAB 76.14218)9(411
222
 
 c)
AB
AB
BA
AB a
R
QQ
F ˆ
4 20
 
 
ABAB aF ˆ
21810
36
1
4
10501020
9
66 
ABAB aF ˆ1058,4
3
 
 
zyx
AB
AB
AB aaa
R
R
a ˆ
218
9
ˆ
218
4
ˆ
218
11
ˆ 

zyxAB aaaF ˆ
218
9
ˆ
218
4
ˆ
218
11
1058,4 3

 Exemplo 3 – Você possui um anel de ouro 
puro (24 quilates) com uma massa igual a 17,7 g. A 
massa atômica do ouro é igual a 197 g/mol e seu 
número atômico é 79. 
 a) Quantos prótons existem no anel e qual é a 
carga total positiva correspondente? 
 b) Sabendo que o anel não tem nenhuma carga 
líquida, quantos elétrons ele possui? 
 
Solução: 
Massa do ouro = 17.7 g e a massa atômica do ouro é 
igual a 197 g/mol. 
 Portanto o número de átomos é dado por 
 
 NA x mol = (6.02 x 10
23
) x 
.1041.5
/197
7.17 22x
molg
g
 
a) np = 79 x 5.41 x 10
22
 = 4.27 x 10
24
 
 
 q=np x 1.60 x 10
-19
 C = 6.83 x 10
5
 C 
 
b) ne = np = 4.27 x 10
24
. 
 
Exemplo4 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 5 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO I 15 
 15 
15 
 
 
 
 Exemplo 6 – Encontre a força resultante na 
carga indicada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 7 – Duas esferas são suspensas por 
fios de seda como mostra a figura. Cada esfera possui a 
mesma carga q e massa m. O raio entre as duas esferas é 
muito pequeno comparado com a distância entre elas, de 
forma que são consideradas puntiformes. 
Mostre que se o ângulo é pequeno, a 
distância d no equilíbrio entre elas é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 3
2
02d q L mg
 
 
Examinando as forças: 
 
 Fx = T sen - Fe = 0 e Fy = T cos 
 - mg = 0. Concluímos que 
 
.
cos
sen
2
2
d
kg
F
mg
e
 
Porém 
.
2
2
2
3/1
0
22
3
mg
Lq
d
mg
Lkg
d
L
d
 
Exemplo 8 – Uma carga positiva Q é 
distribuída uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 até 
x = a. Uma carga puntiforme positiva q está sobre a 
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma 
distância r à direita da extremidade de Q. 
Obtenha a força (módulo, direção e sentido) 
que a distribuição de cargas Q exerce sobre a carga Q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Sobre o eixo a: 
2
0
1
4 ( )
x
dq
dE
a r 
20
0
1
4 ( )
a
x
Qdx
E
a a r x 
.
11
4
1
0 rara
Q
 e Ey = 0. 
 (b) Para a + r = x, obtemos: 
 
0
1 1 1
4
Q
E
a x a x
 
0
1 1 1 ˆ
4
Qq
F qE i
a x a x
  
 (c) Para x >> a, 
1(1 / ) 1
kqQ
F a x
ax
 
 
2
( / 1)
kqQ kqQ
F a a x
ax x
 
2
0
1
.
4
qQ
F
r
 
(Note que para x >> a, r = x – a x.) Neste caso o 
campo da 
distribuição de cargas, para pontos muito distantes, é 
semelhante ao campo produzido por uma carga 
puntiforme. 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO I 16 
 16 
16 
 Exemplos resolvidos do livro Tipler: 
 
 Exemplo 22-1: A massa de uma moeda de 
cobre (ZCu = 29) é de 3g. Qual a carga total de todos os 
elétrons da moeda? 
 
 Solução: A carga total dos elétrons presentes é 
o produto do número de elétrons e a carga de um 
elétron: 
( )eQ N e
 
 O número de elétrons é igual ao produto de ZCu 
e o número de átomos no cobre Na: 
e Cu aN Z N
 
 Cálculo do número de átomos no cobre em 3 g 
de cobre: 
233 6.02 10
63.6
Cu átomos
a A a molg
Cu mol
m g
N N N
M
222.84 10aN átomos
 
Cálculo do número de elétrons: 
2229 2.84 10e Cu a eN Z N N
 
238.24 10eN elétrons
 
 Carga total: 
 
23 19( ) 8.24 10 1.6 10eQ N e Q
 
51.32 10Q C
 
 
 Exemplo 22-2: Num átomo de hidrogênio, a 
separação média entre o elétron e o próton é cerca de 
5.3.10
-11
m. Calcular o módulo da força eletrostática de 
atração entre o próton e o elétron. 
 
 Solução: A força coulombiana é dada por: 
 
19 19
9
22 11
1.6 10 1.6 10
9 10
5.3 10
p eq q
F k F
r
88.2 10F N
 
 
 Exemplo 22-3: Calcular a razão entre a força 
elétrica e a força gravitacional entre um próton e um 
elétron num átomo de hidrogênio. 
 
 Solução: A força gravitacional é dada por: 
2
p e
g
m m
F G
r
 
 Onde G é a constante da gravitação universal. 
A força elétrica é: 
2
p e
e
q q
F k
r
 
2
2
p e
e
p eg
q q
k
F r
m mF
G
r
 
p ee
g p e
q qF k
F G m m
 
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 1.6 10 1.6 10
6.67 10 9.11 10 1.68 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
 
392.27 10e
g
F
F
 
 Exemplo 22-4: Três cargas puntiformes estão 
sobre o eixo dos x. A carga q1 = 25 nC está na origem, 
q2 = -10 nC está em x = 2m e q0 = 20 nC está em x = 
3.5m. Calcular a força resultante em q0 provocada por q1 
e q2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: A força coulombiana devido às 
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 são dadas, 
respectivamente, por: 
9 9
1 0 9
1,0 1,0 22
10
25 10 20 10
ˆ ˆ9 10
3.5
q q
F k i F i
r
 
7
1,0
ˆ3.67 10 ( )F i N
 
9 9
2 0 9
2,0 2,0 22
20
10 10 20 10
ˆ ˆ9 10
1.5
q q
F k i F i
r
 
7
2,0
ˆ7.99 10 ( )F i N
 
0
7 7
1,0 2,0
ˆ ˆ3.67 10 7.99 10rF F F i i
   
0 0
7 ˆ ˆ4.32 10 ( ) 0.432 ( )r rF i N F i N
  
 Exemplo 22-5: A carga q1 = +25 nC está na 
origem, q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20 
nC no ponto x = 2m, y = 2m. Calcular a força resultante 
em q0 provocada por q1 e q2. 
 
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO I 17 
 17 
17 
 
(a) 
 
 
 α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: A força coulombiana devido às 
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 são dadas, 
respectivamente, por: 
1,0 1,0 1,0
ˆ ˆcosF F i F sen j
 
1 0
1,0 2
10
q q
F k
r
 
2 2 2 2
10 102 2 8r r
 
02 1 45
2
tg arctg
 
7
1,0
ˆ ˆ3.97 10F i j

 
2 0 7
2,0 2,02
10
ˆ ˆ6.74 10
q q
F k j F j
r
  
0 1,0 2,0r
F F F
   
0
7 7ˆ ˆ3.97 10 2.77 10rF i j
 
0 0
2 2 74.84 10r x y rF F F F N
  
034.9
y
x
F
tg
F
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
1. Quatro cargas positivas de 10 nC estão 
localizadas no plano z = O nos vértices de um quadrado 
de 8 cm de lado. Uma quinta carga positiva de 10 nC 
está localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma 
das outras cargas. Calcule o módulo da força total nesta 
quinta carga para =0. 
 
2. Uma carga Q1 = 0,1C está localizada na origem 
do espaço livre, enquanto Q2 = 0,2C está em A(0.8;-
0,6: 0). Determine o lugar dos pontos no plano z = O em 
que a componente x da força em uma terceira carga 
positiva é zero. 
 
3. Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estão 
localizadas em A{ l, 0. 0). B(-1,0,0), C(0, l, 0) e D(0, -
1,0) no espaço livre. Determine a força total sobre a 
carga em A. 
 
4. Seja Q1 = 8C. localizada em P1(2,5, 8), 
enquanto Q2 = -5C.localizada em P2(6, 15, 8). 
Considere  = 0. 
(a) Determine F2 a força sobre Q2. 
(b) Encontre as coordenadas de P, se a carga Q3, 
experimenta uma força total F3=0 O em P3.. 
 
 Carga Elétrica 
• 1 Se a convenção de sinal das cargas elétricas fosse 
alterada, de modo que a carga do elétron tosse positiva e 
a do próton negativa, a expressão da lei de Coulomb 
seria alterada? 
• 2 Discuta as semelhanças e diferenças de propriedades 
da carga elétrica e da massa gravitacional. 
• 3 Um bastão de plástico, esfregado com tecido de 
algodão, adquire uma carga de -8 C. Quantos elétrons 
foram transferidos do tecido para o bastão? 
• 4 Uma carga elétrica igual à carga de um número 
de Avogadro de prótons (isto é N = 6,02 X IO
23
 prótons) 
é denominada um faraday. Calcular o número de 
Coulombs em um faraday. 
• 5 Quantos coulombs de carga positiva há em l kg 
de carbono? Sabe-se que 12 g de carbono têm um 
número de Avogadro de átomos e que cadaátomo de 
carbono tem seis prótons e seis elétrons. 
 
 Condutores, Isolantes e Carga por Indução 
6. 0s isolantes podem ser carregados por 
indução? 
 
7. Uma chapa metálica 6 está aterrada através 
de uma chave S que inicialmente está fechada. Quando 
a carga + Q está nas vizinhanças de ë, a chave S é 
Eletricidade I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO I 18 
 18 
18 
aberta. A carga +Q é então afastada. Qual é o estado da 
carga da chapa metálica B? 
(n) Tem a carga positiva. (+e) Não tem carga. (0) Tem a 
carga negativa. (-e) Pode ter qualquer estado 
mencionado, dependendo da carga que tinha antes de a 
carga +Q se aproximar. 
8. Explique, passo a passo, como um bastão isolante 
com carga positiva pode ser usado para deixar uma 
esfera metálica (a) com carga negativa e (b) com carga 
positiva. (c) O bastão pode ou não ser usado para 
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma 
carga negativa, sem que seja recarregado? 
9. Duas esferas condutoras, sem carga, com as 
superfícies em contato, estão sobre uma grande mesa de 
madeira, montadas em suportes isolantes. Um bastão 
com carga positiva se aproxima de uma delas de um 
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra, 
(a) Descreva a distribuição das cargas induzidas nas 
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buição. 
(b) As duas esferas são separadas e o bastão carregado é 
afastado. Mostre a distribuição de cargas em cada 
esfera. 
 
 Lei de Coulomb 
 
• 10 Três cargas, +q, +Q e -Q estão situadas nos 
vértices de um triângulo eqüilátero, conforme o 
esquema da Fig. 22-29. A força resultante sobre a carga 
+q das duas outras cargas é 
(a) vertical para cima. +q 
(b) vertical para baixo. 
(c) nula. 
(d) horizontal para a esquerda. +Q -Q 
(e) horizontal para a direita. 
• 11 Uma carga q1 = 4,0 C está na origem e outra q2 , = 
6,0 C no eixo dos x, em x = 3,0 m. 
a) Calcular a força sobre a carga q2 . 
b) Calcular a força sobre q1 
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se 
modificariam se q2 fosse de -6 C? 
• 12 Três cargas puntiformes estão sobre o eixo dos x: 
q1 = -6,0 C em x = -3,0 m, q2= 4,0 C na origem e q3 
= -6,0 C em x = 3,0 m. Calcular a resultante das forças 
sobre q1. 
• 13 Duas cargas iguais, de 3,0 C , estão sobre o eixo 
dos x, uma delas na origem e outra em x = 6 m. Uma 
terceira carga q3 = - 2 C está no eixo dos x, em x = 8 
m. Calcular a resultante das forças sobre q3 . 
• 14 Três cargas, cada qual de 3 nC, estão, cada qual, 
nos vértices de um quadrado de lado igual a 5 cm. Duas 
delas, em vértices opostos, são positivas e a terceira e 
negativa. Calcular a resultante das forças que estas 
cargas exercem sobre uma quarta, de q = +3 nC, 
colocada no vértice desocupado. 
• 15 Uma carga de 5 C está sobre o eixo dos x, em x 
= 3 cm, e uma segunda carga, de 5 C, também sobre o 
eixo dos x, em x = -3 cm. Calcular a resultante das 
forças destas cargas sobre uma terceira, de 2 C, no 
eixo dos x em x = 8 cm.