MATEMATICA FINANCEIRA MATERIAL DE APOIO 2

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Matemática Financeira
TA 2
Descontos – conceitos básicos
Resumo
Unidade de Ensino: 2 – Aplicações dos conceitos básicos
Competência da Unidade de 
Ensino:
Conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor
do dinheiro no tempo e as técnicas de cálculo de
taxas nominais, efetivas e equivalentes.
Resumo:
Nessa unidade você estudará negociação com juros
simples e compostos, capital de giro, desconto
bancário com IOF, taxa efetiva e nominal.
Palavras-chave:
Taxas de Juros; Negociação;
Desconto. 
Título da teleaula:
Aplicações dos
conceitos básicos
Teleaula nº: 2
Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa
data futura, é normal que entregue ao credor um título
de crédito, que é o comprovante dessa dívida.
Todo título de crédito tem uma data de vencimento;
porém, o devedor pode resgatá-lo antecipadamente,
obtendo com isso um abatimento.
Convite ao estudo
Convite ao estudo
Como calcular o valor 
de um título quando 
ele é regatado 
antecipadamente?
Que conceitos 
estão envolvidos 
nesses tipos de 
operações? 
Fonte: http://marketerosdehoy.com/wp-
content/uploads/2017/03/customer-service-resume.png. 
Acesso em: 11 jul. 2018.
VA Caminho de Aprendizagem
Operações matemáticas fundamentais;
Porcentagem;
Conhecimentos prévios
Pensando a aula:
situação geradora de aprendizagem
A Empresa Metalúrgica A & C necessita comprar um
máquina cujo fornecedor ofereceu a seguinte condição:
� Três parcelas iguais a R$ 22.000,00 com
vencimento a cada 10 dias, sob a taxa de juros simples de
1,2% a.m.
Você, como Gerente Financeiro, 
apresenta a seguinte proposta:
� Pagar uma entrada e financiar o
restante em três parcelas mensais e
iguais, sob a taxa nominal de 13,2% a.a.
Cápsula 1 “Iniciando o estudo”
A sua estratégia é pagar parte da entrada com 
antecipação dos recebimentos de títulos de baixo porte 
(títulos que não pagam IOF):
� Título de R$ 1.000,00 antecipado em 7 dias;
� Título de R$ 900,00 antecipado em 11 dias;
� Título de R$ 600,00 antecipado em 5 dias.
A instituição cobra pelas antecipações 
dos títulos, uma taxa nominal 
administrativa de 108% a.s
(ao semestre). 
Situação-Problema 1
Qual o valor obtido 
pelos títulos como 
parte da entrada?
Situação-Problema 1
Fonte: http://marketerosdehoy.com/wp-
content/uploads/2017/03/customer-service-
resume.png. Acesso em: 11 jul. 2018.
Capital de Giro: recursos financeiros que garantem as
condições para uma empresa das continuidade às suas
operações, como compra de matéria-prima, estoques
de produtos de vendas, pagamentos de funcionários,
etc.
� Uma das formas de se ter Capital de Giro é pela
antecipação dos recebimentos de
títulos, que podem ser boletos
ou promissórias resultantes de
vendas ou serviços prestados a
clientes que pagarão numa relação
futura.
Problematizando a Situação-Problema 1
Desconto bancário: refere-se ao valor resultante 
da antecipação de um título, ou seja, é a quantia a 
ser abatida do valor nominal.
Problematizando a Situação-Problema 1
Desconto = –
Valor 
nominal
Valor 
resgatado
Títulos
� Para empresas (Pessoas Jurídicas):
• Promissórias.
• Duplicatas.
• Boletos.
• Cheques.
• Faturas de cartão de crédito.
� Para Pessoas Físicas:
• 13º salário – 1ª e 2ª parcelas.
• Restituição de Imposto 
de Renda.
Problematizando a Situação-Problema 1 
O desconto comercial de um título é dado por:
� Em que:
• N é o valor nominal.
• d corresponde a taxa de juros simples ao dia.
• n é o período de antecipação.
O cálculo do valor resgatado 
���� é dado por:
Problematizando a Situação-Problema 1
�	 � 	�. 
. ��	 � 	�. 
. �
�� � ��1 
 
���� � ��1 
 
��
� �� = Valor descontado (resgatado ou resultante da
antecipação);
� � = Valor nominal
� 
 = Taxa nominal (taxa de juros
simples a.d.)
� � = período de antecipação do título
(em dias).
Problematizando a Situação-Problema 1
�� � ��� 
 ����� � ��� 
 ���
A taxa nominal dada, d = 108%, está ao semestre e 
precisamos da sua equivalente em dias:
��� �
1,08
6 · 30 �
1,08
180 � 0,006 � 0,6%	�. 
.
Resolvendo a Situação-Problema 1
Título de R$ 1.000,00 antecipado em 7 dias:
�� � ��1 
 
��
�� � 1000	�1 
 0,006 · 7�
�� � 1000	 1 
 0,042
�� � 1000 · 0,958
�� � $$	&'(, ))
Resolvendo a Situação-Problema 1
Título de R$ 900,00 antecipado em 11 dias:
�� � ��1 
 
��
�� � 900	�1 
 0,006 · 11�
�� � 900	 1 
 0,066
�� � 900 · 0,934
�� � $$	(*), +)
Resolvendo a Situação-Problema 1
Título de R$ 600,00 antecipado em 5 dias:
�� � ��1 
 
��
�� � 600	�1 
 0,006 · 5�
�� � 600	 1 
 0,03
�� � 600 · 0,97
�� � $$	'(,, ))
Resolvendo a Situação-Problema 1
Valor obtido pela antecipação dos títulos:
958,00 - 840,60 - 582,00
$$	,. .(), +)
Resolvendo a Situação-Problema 1
Valor Resgatado 
Cápsula 2 “Participando da aula”
A sua estratégia é pagar mais uma parte da entrada 
com antecipação dos recebimentos de títulos de alto 
porte (títulos que pagam IOF):
� Título de R$ 11.000,00 antecipado em 3 dias;
� Título de R$ 8.000,00 antecipado em 6 dias;
� Título de R$ 5.000,00 antecipado em 5 dias.
A instituição que pagará as 
antecipações dos títulos cobra uma taxa 
nominal administrativa de 108% a.s. e 
IOF de 0,07% a.d.
Situação-Problema 2
Qual o valor total Qual o valor total 
resgatado pela 
antecipação dos 
títulos de alto porte, 
que será utilizado 
como parte da 
entrada?
Situação-Problema 2
Qual o valor total 
da entrada a ser 
paga para 
aquisição do 
maquinário?
Fonte: http://marketerosdehoy.com/wp-
content/uploads/2017/03/customer-service-resume.png. 
Acesso em: 11 jul. 2018.
Imposto sobre Operações Financeiras (IOF): 
envolve operações de câmbio, crédito, seguro ou 
relativas a títulos ou valores imobiliários.
Para o cálculo do desconto bancário de títulos de 
alto porte utiliza-se a seguinte fórmula:
� Em que o IOF é uma taxa 
de juros simples ao dia.
Problematizando a Situação-Problema 2
�� � �/1 
 
 - 012 �3�� � �/1 
 
 - 012 �3
Taxa equivalente (45654785	 → 
���:
��� �
1,08
6 · 30 �
1,08
180 � 0,006 � 0,6%	�. 
.
Resolvendo a Situação-Problema 2
Título de R$ 11.000,00 antecipado em 3 dias:
�� � �/1 
 �
 - 012��3
�� � 11.000	/1 
 0,006 - 0,0007 	33
�� � 11.000	 1 
 0,0067 	3
�� � 11.000	/1 
 0,02013
�� � 11.000 · 0,9799
�� � $$	�). ::(, &)
Resolvendo a Situação-Problema 2
Título de R$ 8.000,00 antecipado em 6 dias:
�� � �/1 
 �
 - 012��3
�� � 8.000	/1 
 0,006 - 0,0007 	63
�� � 8.000	 1 
 0,0067 	6
�� � 8.000	/1 
 0,04023
�� � 8.000 · 0,9598
�� � $$	:. +:(, *)
Resolvendo a Situação-Problema 2
Título de R$ 5.000,00 antecipado em 5 dias:
�� � �/1 
 �
 - 012��3
�� � 5.000	/1 
 0,006 - 0,0007 	53
�� � 5.000	 1 
 0,0067 	5
�� � 5.000	/1 
 0,03353
�� � 5.000 · 0,9665
�� � $$	*. (.,, ')
Resolvendo a Situação-Problema 2
Parte da entrada a ser apresentada como pagamento, 
em função da antecipação dos títulos de alto porte:
10.778,90 - 7.678,40 - 4.832,50
$$	,.. ,(&, ()
Resolvendo a Situação-Problema 2
Valor Resgatado 
Valor da entrada a ser paga pela compra da máquina:
� Parte da entrada em função da antecipação dos
títulos de baixo porte: R$ 2.380,60.
� Parte da entrada em função da antecipação dos
títulos de alto porte: R$ 23.289,80.
TOTAL:
$$	,'. +:), *)
Resolvendo a Situação-Problema 2
R$ 25.670,40
Cápsula 3 “Participando da aula”
Você, como gerente financeiro, apresentou a seguinte 
proposta: 
� Pagar uma entrada e financiar e financiar o restante em
parcelas mensais e iguais, sob a taxa nominal de13,2%
a.a., em regime de juros compostos.
Situação-Problema 3
Qual a taxa de 
juros efetiva da 
proposta que 
você elaborou?
Situação-Problema 3
Fonte: http://marketerosdehoy.com/wp-
content/uploads/2017/03/customer-service-resume.png. 
Acesso em: 11 jul. 2018.
Taxa nominal (
): É uma taxa referente a um período 
que não coincide com o período de capitalização de 
juros, ou seja, a taxa nominal não corresponde, de fato, 
ao ganho/custo financeiro do negócio.
Taxa efetiva (��;): É a taxa que corresponde, de fato, ao 
ganho/custo financeiro do negócio. Toda taxa, cuja 
unidade de tempo coincide com o 
período de capitalização dos juros, é 
uma taxa efetiva.
Problematizando a Situação-Problema 3
Taxa efetiva
Onde:
<=> = taxa efetiva
� = taxa nominal
� = período da taxa nominal em dias
>= período da taxa efetiva em dias
Problematizando a Situação-Problema 3
<=> �
�
� - �
>
 �<=> �
�
� - �
>
 �
Pagar uma entrada e financiar o restante em parcelas 
mensais e iguais, sob a taxa nominal de 13,2% a.a., em 
regime de juros compostos. 
��; �
� - 1
;
 1
��; �
0,132
360 - 1
?@
 1
��; � 0,0004 - 1 ?@ 
 1
��; � 1,0004?@ 
 1
��; � 1,0121 
 1
��; � 0,0121 · 100
<=> � �, ,�%	A.B.
Resolvendo a Situação-Problema 3
Cápsula 4 “Participando da aula”
Você já definiu a entrada e a taxa de juros compostos 
(efetiva) pela qual calculará o valor das parcelas 
propostas na compra da máquina de que necessita. 
Agora, você precisará:
� Calcular o valor das três parcelas que são mensais e
iguais, sob a taxa nominal de 13,2% a.a., em regime de
juros compostos.
Situação-Problema 4
Qual a proposta 
completa que será 
levada ao fornecedor 
para negociação?
Situação-Problema 4
Fonte: http://marketerosdehoy.com/wp-
content/uploads/2017/03/customer-service-resume.png. 
Acesso em: 11 jul. 2018.
Princípio da negociação: capital numa situação A deve
ser igual ao capital numa situação B, ou seja, o capital
do anúncio tem que ser o mesmo do proposto,
independentemente da forma de pagamento e regime
de juros.
Problematizando a Situação-Problema 4
CD � C�CD � C�
AVD � AV�AVD � AV�
Condições de venda da máquina de que a Metalúrgica 
A & C necessita:
� Três parcelas iguais a G$	22.000,00	com vencimento a
cada 10 dias, sob a taxa de juros simples de 1,3% a.m.
Condições da proposta apresentada pela Metalúrgica A 
& C: 
� Entrada: G$	25.670,40;
� Taxa de juros das parcelas: 1,21% a.m.
� Parcelamento proposto: 3 parcelas
mensais e iguais.	
Resolvendo a Situação-Problema 4
Taxa equivalente ao do anúncio:
��� �
0,012
30 � 0,0004 � 0,04%	�. 
.
Dentro das condições apresentadas, calcularemos o 
valor das parcelas propostas:
																												I�JKLKMNJOP � I�QRPQPSTP
Resolvendo a Situação-Problema 4
Para Juros Simples:
U � C · 1 - � · �
↓
C � U1 - � · �
Para Juros Compostos:
U � C · 1 - � K
↓
C � U1 - � K
Resolvendo a Situação-Problema 4
W UX	DKLKM.1 - �XDKLKM. · �XDKLKM.
X
XYZ
� [\RPQ. -W
UX	\RPQ.
�1 - �X\RPQ.�K]^_`a.
X
XYZ
22.000
1 - 0,0004 · 10 -
22.000
1 - 0,0004 · 20 -
22.000
1 - 0,0004 · 30 �
25.670,40 - U�1 - 0,0121�Z -
U
�1 - 0,0121�b -
U
�1 - 0,0121�?
Resolvendo a Situação-Problema 4
21.912,35 - 21.825,40 - 21.739,13 �
25.670,40 - U1,0121 -
U
1,0243 -
U
1,0367
65.476,88 � 25.670,40 -U 11,0121 -
1
1,0243 -
1
1,0367
65.476,88 
 25.670,40 � 2,9289U
2,9289U � 39.806,48
U � 39.806,48 2,9289
c � $$	�.. '&), &.
Resolvendo a Situação-Problema 4
Assim, a Empresa Metalúrgica A & C apresenta a 
seguinte proposta de pagamento pela compra da 
máquina:
� Entrada: G$	25.670,40;
� Três parcelas mensais iguais a G$	13.590,93.	
Resolvendo a Situação-Problema 4
Cápsula 5 “Participando da aula”
José e Maria estão discutindo sobre fazer um 
investimento bancário pelos próximos 180 dias. José 
conseguiu com seu gerente uma taxa nominal de 12% 
a.a., capitalizada bimestralmente, enquanto que Maria 
conseguiu uma taxa efetiva de 3% a.b. Qual a melhor 
alternativa? 
Provocando novas situações
��; �
� - 1
;
 1
��; �
0,12
360 - 1
d@
 1
��; � 0,0003 - 1 d@ 
 1
��; � 1,0003 d@ 
 1
��; � 1,02 
 1
��; � 0,02	 · 100
<=> � ,%	A. e.
Provocando novas situações
A taxa anual efetiva 
conseguida pelo José é 
menor que a de Maria. 
Portanto, aplicar no banco 
de Maria é a melhor 
alternativa.
Algumas orientações;
Dúvidas. 
Diálogo do professor com alunos
Fonte: https://img.freepik.com/vetores-gratis/trabalhador-com-
duvidas_1012-193.jpg?size=338&ext=jpg. Acesso em 10 jul. 2018.
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