Apostila de cálculo II

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1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNISO 
2018 
2 
 
Responsabilidade é saber que cada um de meus atos vai me construindo, vai me definindo, vai me 
inventando. Ao escolher o que quero fazer vou me transformando pouco a pouco. 
(Savater, 1998, p. 111). 
Plano de Ensino 
Ementa 
1. Estudo da variação das funções 
2. Funções inversas. 
3. Integrais indefinidas e métodos de integração. 
4.Integrais definidas e aplicações. 
. 
 
Objetivos 
Criar habilidades matemáticas para utilização na vida profissional. Obter conceitos matemáticos e 
raciocínio lógico para situações do dia a dia. Aprender a usar noções de Cálculo Diferencial como 
forte ferramenta de trabalho. 
 
Ao final do componente curricular o aluno deve ser capaz de: 
-construir e interpretar gráficos de funções utilizando os conceitos de cálculo desenvolvidos. 
-calcular integrais utilizando as técnicas desenvolvidas. 
-aplicar os conceitos na resolução de problemas. 
-calcular área de regiões planas e volumes de sólidos pelos métodos desenvolvidos. 
 
Sistema de avaliação 
-Serão realizadas 3 avaliações individuais (P1, P2, P3), de acordo com calendário pré-
estabelecido com os alunos, cuja nota será de 0 a 10. 
-A participação do aluno será avaliada através de listas de exercícios (E) e “chamada oral” durante 
as aulas, e terá peso 1 na média final. 
-Além disso, haverá prova substitutiva, cuja nota substituirá a menor nota entre as 3 provas, com o 
conteúdo da avaliação que obteve a menor nota. 
-Assim, a média final (MF) será obtida pela equação: 
MF = 
10
.4.3.2 321 EPPP 
 
Se MF for maior ou igual do que 6,0 e frequência mínima de 75%, o aluno está aprovado. 
 
Bibliografia 
1. ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre, RS: Bookman, 2000. v.1 
2. GUIDORIZZI, H. L.Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001, v.1. 
3. STEWART,James Cálculo .São Paulo:Pioneira-Thomson Learning,2001 v.1. 
4. ÁVILA, G. S. S.. Cálculo I: funções de uma variável. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1981. 
5. BOULOS, P.. Introdução ao cálculo. São Paulo: Edgard Blücher, 1999. v.1 
6. HALLETT H., et al. Cálculo e Aplicações. SãoPaulo: Edgard Blucher, 1999. v. 1. 
7. HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. 
8. LEITHOLD, L. O Cálculo com geometria analítica. São Paulo : Harbra, 1994, v.1. São Paulo: 
Harbra. 1994, v.2. 
 
e-mail: roseli.paula@prof.uniso.br 
 
 
 
 
3 
 
0. REVISÃO 
Operações básicas que devem ser lembradas: fração, potenciação, radiciação. 
n
n
xk
x
k  .
 
n
m
n m xx 
 
Exercícios: 
1) Observe os exemplos e coloque na forma de potência k.xn: 
 
a) 
4
4
3
3  x
x
 i) 
5
1
x
 p) 
3 7x
 
b) 
22
2
.1
1   xx
x
 j) 
6
7
x
 q) 
5 6x
 
c) 
55
1
5
1 88
8

 
x
x
x
 k) 
37
2
x
 r) 
x
8
 
d) 
3
2
3 2 xx 
 l) 
44
1
x
 s) 
7 4
1
x
 
e) 
2
1
xx 
 m) 
32
9
x
 t) 
5 4.2
3
x
 
f) 
2
5
2
55
.7
77 
 x
xx
 n) 
3
1
x
 u) 
3.5
1
x
 
g) 
4
1
4
1
4
14
.1
11 
 xx
xx
 o) 
10
9
x
 v) 
5 x
 
 
 
2) Observe os exemplos e elimine os expoentes negativos e/ou fracionários: 
Exemplos: a)
4
4 1
x
x 
 b) 
5 65
6
xx 
 
c) 
4 3
4
3
4
3 88
.8
xx
x 
 d) 551 22 xx  e) 
7
7 55
x
x 
 
 
Faça esses: f) 
16 x
 g) 
2
3
x
 h) 4x-7 i) 
2
3
5x
 j) 7x-4/5 
 
3) Observe os exemplos e resolva as operações com frações: 
a) 
2
3
2
21
1
2
1



 d) 
1
6
7

 g) 
1
6
1

 
b) 
5
2
5
53
1
5
3 



 e) 
1
4
5

 h) 
1
2
1

 
c) 
3
7
3
61
2
3
1



 f) 
3
7
9

 i) 
4
3
5
2

 
 
 
4) Observe os exemplos e elimine os produtos e quocientes: 
a) x4.x5 = x4+5= x9 
4 
 
b) 
x
xxxx
x
x 1
. 15454
5
4
 
 
c) 
72
7
2
32
2
3
232 .. xxxxxxx 
 
d) 
xxxxx
x
x
x
x


2
1
2
32
2
3
2
2
3
2
3
2
.
 
e) 
3 23
2
3
2
3
51
3
5
3
53 5
11
.
xx
xxxx
x
x
x
x


 
f) 
xxx
xxxx
x
x
x
x
4
3
4
31
.
4
3
4
3
4
3
.
4
3
4
3
.4
3
2
1
2
1
2
1
2
52
2
5
2
2
5
2
5
2


 
g) 
4 9
7
x
x
 j) x3.x7 m) 
x
x
 
h) 
xx.
 k)
5.2 xx
 n) 
3. xx
 
i) 
5
7
x
x
 l) 
65 . xx
 o) 
6
7
2
5
x
x
 p) 
7 5.3 x
x
 
 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 
Vimos que dada uma função real f(x), a sua taxa média de variação no intervalo 
 ba,
 é dada pelo 
quociente 
ab
afbf

 )()(
 (1) 
Geometricamente, 
 tg(

)=
ab
afbf

 )()(
 (1) 
 
Esta taxa de variação é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (a,f(a))e (b,f(b)). Esta 
reta recebe o nome de reta secante ao gráfico de f(x) pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). O ideal é 
trabalharmos com intervalo 
 ba,
 suficientemente pequeno, ou seja, devemos aproximar os 
valores de a e b. Quando “a” e “b” estiverem suficientemente próximos temos a Taxa Instantânea 
de Variação que é matematicamente definida como: 
ab
afbf
ab 


)()(
lim
 , 
e como b

a (b tende para a) temos a taxa instantânea de variação da função f(x) no instante x = 
a. 
 
Graficamente: 
5 
 
 
A derivada da função no ponto x = a, é a inclinação da reta tangente ao gráfico f(x) no ponto (a,f(a)) 
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)('
0



 
A derivada f ’(x) pode ser denotada também 
dx
df
. 
 
Observe que quando calculamos f `(x), a derivada da função f(x) em um instante qualquer x, temos 
uma nova função f(x), ou seja, derivada de uma função é também uma função. 
 
 
Exemplo: Seja f(x) = x². Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) para x =1. 
 
Y=f(x)=f(1)=1²=1. Ponto (1, 1) 
A equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto (1,1) é: 
 
y=f(a)x+b, ou seja,y=f(1)+b=2x+b y=2x+b 
 
Como a reta é tangente ao gráfico de f(x) no ponto (1,1), temos que este ponto pertence a esta 
reta. Assim, de y =2x+b obtemos:1=2 +b ou b=-1 
Logo, a equação procurada é y =2x-1. 
 
 
6 
 
Exercício resolvido 
a) Mostre que se f(x)=k então f `(x)=0, para todo. 
0)'(
00limlim
)()(
lim)´(
000







k
h
kk
h
xfhxf
xf
hhh
 
 
 b) Mostre que se f(x)=ax+b então f `(x)=a, para todo x. 
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)´(
0



aa
h
ha
h
baxbahax
h
bxabhxa
hhhh




 0000
lim
.
limlim
).())((
lim
 
abax  )'(
 
 
c) Mostre que se f(x)=x² então f ´(x)=2x para todo x. 
xxhxhx
h
hxh
h
hxh
h
xhxhx
h
xhx
xf
hhh
hhhh
202lim2lim2lim
)2(.
lim
²2
lim
²²2²
lim
)²()²(
lim)´(
000
0000









 
 
d) Mostre que se f(x)=x3 então f ´(x)=3x2 para todo x. 
2222
0
22
0
32
0
3323
0
33
0
300333lim
)33(.
lim
²33
lim
²33
lim
)()(
lim)´(
xxhxhx
h
hxhxh
h
hxhhx
h
xhxhhxx
h
xhxxf
hh
hhh











 
Assim, temos as primeiras regras de derivação: 
(k)`=0 
(ax+b)`=a 
(x²)’=2x 
(x3)’ = 3x2 
 
 
De maneira geral, temos a regra: 
 
 
 
Derivada de uma potência de x : f(x) = xn  f ’(x) = n.xn-1 
Demonstração: 
Mostraremos essa relação no caso de n ser inteiro e positivo, embora a propriedade seja válida 
para todo n real . Temos que 
(x+x)n-xn =xn +






1
n
xn-1(x)1+






2
n
xn-2(x)2+...+






 2n
n
x2(x)n-2+ 






1n
n
x1(x)n-1+






n
n
x0 (x)n -xn. 
Logo 
x
xxx nn

 )(
 =






1
n
xn-1+






2
n
xn-2(x)+...+






 2n
n
x2(x)n-3+ 






1n
n
x1(x)n-2+






n
n
x0 (x)n-1 . 
Portanto, 
f ‘(x) =
x
xfxxf
x 


)()(
lim
0
 = 
x
xxx nn
x 


)(
lim
0
=






1
n
xn-1 = 
)!1(!1
!
n
n
 xn-1 = n. xn-1. 
Exemplo: f(x) = x5 f ’(x) = 5. x4 
(x n )’ =n.x 1n , para todo n

Q 
7 
 
 
 
Observe que nesta regra, dependendo do valor de n, podemos ter restrições sobre x. Por exemplo, 
se n =
2
1
 então 
xxx n  2
1 , daí 
1
2
1
2
1
.
2
1
)'(

 xx
 ou seja 
2
1
2
1
.
2
1
)'()(

 xxx
. 
Logo (x 21 )`=
2
1
2
1
x
,isto é, (
x
)`=
x2
1
 e assim devemos exigir que x>0. 
 
Também, se n=
3
1
 então 331 xxx n  
Daí 
3
2
3
2
1
3
1
3
1
3
1
.
3
1
.
3
1
)'(
x
xxx 


, isto é, 
3
3
²3
1
)'(
x
x 
. 
Uma vez que j iji xx  . Observe que neste caso devemos exigir x  0. 
 
Uma aplicação da derivada 
Sabemos que a velocidade média é dada pelo quociente: vm =
 tempodo variação
posição da variação
, que é uma 
taxa média de variação. Se a posição é dada em função do tempo t por y = f(t) temos que a 
velocidade média entre os instantes t0 e t1 é determinada por vm = 
t
y


=
01
01 )()(
tt
tftf


 = 
t
tfttf

 )()(
. 
Agora, para calcular a velocidade em cada instante t (velocidade instantânea), devemos observar 
intervalos cada vez menores de tempos, ou seja, devemos calcular o limite da velocidade média, 
quando t se aproxima de zero: 
v(t) =
t
tfttf
t 


)()(
lim
0
= f ’(t) 
Exemplo: Um móvel tem a posição (em km) dada em função do tempo (em h) por f(t) = 20t2, então 
a sua velocidade no instante t é dada por v(t) = f’(t) = 40t. Logo no instante t = 3h a velocidade 
será v(3) = 40.3 =120km/h. 
 
Exercícios resolvidos 
1) Calcule as derivadas das seguintes funções: 
a) y=6x b) y=-7x+8 c) y=-3x+x²-1 d) y=-2x10 -3 
 y’=6 y’=-7 y’=2x-3 y’=-20x 9 
 
 e) y=x 51 +x²-3x 
y’=
32
5
1
32
5
1
32
5
1
32
5
1
5 4
5
4
5
4
1
5
1


x
x
x
x
xxxx
 
f) y=
xx 2.
3
1
7
1

 
y’=
2
21
1
2
21
1
2
21
1
2
21
1
7 6
7
6
7
6
1
7
1






x
x
xx
 
8 
 
2) Seja f(x)=x²-5x+6, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto x=2 e 
interprete geometricamente. 
Para x=2 temos f(x)=0. Logo o ponto de tangência no gráfico de f(x) é o ponto (2,0)

 pertence ao 
gráfico de f(x) e a reta tangente 
f(x)=x²-5x+6 f ’(x)=2x-5 
f `(2)=2.2-5=-1

inclinação da reta tangente procurada 
Portanto a equação desta é: y =-1x+b 
Como (2,0) está nesta reta temos: 0=-1.2+b e b=2. 
E a equação é y = -x+2. 
 
3) Calcule a derivada das seguintes funções: 
a) y=3x²-5x  y’=6x-ln(5). 5x 
b) y=
xe2³.
3
1
x
 y’=x²
xe2
 
4) Seja f(x)=
)ln().5ln(7
3
2
5
1 4 xex x
x







. Calcule f `(x). 
 
x
exxf x
x
1
).5ln(7
3
2
.
3
2
ln).4.(
5
1
)`( 5 











 
 
 
5) Calcule a derivada da função y =
)cos(4)(23.73 5 xxsenx x 
 
 
)(4)cos(23).3ln(715` 4 xsenxxy x  
Derivadas - resumo das regras 
(k)’ = 0 
(kx)’ = k 
(xn)’ = n.xn-1 
(un )’=n.un-1 .u’ 
 (ex)’ =ex 
(eu )’ = u’.eu 
(ax)’= ax.ln(a) 
(au )’= u’. au .ln(a) 
(lnx)’ =
x
1
 
(ln(u))’=
u
u '
 
(u.v)’ = u’.v + u.v’ 
(sen(x))’=cos(x) 
(cos(x))’=-sen(x) 
(tg(x))’ = sec²(x) 
(sen (u))’ = u’.cos (u) 
(cos(u))’= - u’.sen (u) 
(tg(u))’=u’.sec²(u) 
(loga(x))’=
ax ln
1
 
(loga(u))’=
au
u
ln.
'
 
 






v
u
’=
2)(
'.'.
v
vuvu 
 
 
REGRA DA CADEIA 
 
Se f(u) e por sua vez u=g(x) então 
)(')).((')))'((())'(( xgxgfxgfuf 
 
 
Exemplos: Calcule a derivada das seguintes funções: 
1) y = 
3 2 5xx  =(x²-5x)1/3  y’ = 1/3 (x²-5x)-2/3.(2x-5) = 
3 )²5²(3
52
xx
x


 
2) y = 
93 x =(3x+9)1/2  y’ = ½ (3x+9)-1/2 .3 = 
932
3
)93(2
3
2/1


 xx
 
 
9 
 
3) y = (3x2+5)5  y’ = 5.(3x²+5)4.6x =30x(3x²+5)4 
4) y = 2.e3x-1  y’ = 2.3 e3x-1 = 6.e3x-1 
5) y = ln (x2-5x+1)  y’ = 
6) y = x².ex  y’ = u’.v+u.v’ = 2x.ex+x².ex =(2x+x²)ex 
7) y =sen(5x+1).ln(3x-2) 
'y
(sen(5x+1))’.ln(3x-2)+(sen(5x+1)).(ln(3x-2))’ 
 
'y
cos5x+1.5ln(3x-2)+(sen5x+1).
3
23
1

x
 
 
'y
5cos5x+1.ln(3x-2)+(sen5x+1).
23
3
x
 
8) y=
12
3²2


x
x
 
)²12(
)'12).(3²2()12)'.(3²2(
'



x
xxxx
y
 
12
12
1
).3²2(12.4
'




x
x
xxx
y

12
12
3²2
12.4
'





x
x
x
xx
y
 
)²12(
3²2
12
12.4
'
12
1
.
12
3²2
12.4'
















x
x
x
xx
y
xx
x
xxy
 
 
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 
Seja F(x, y) = 0 uma equação nas variáveis x e y. A função y = f(x) é definida 
implicitamente pela equação F(x, y) = 0, quando F(x, f(x)) = 0. Em outras palavras, quando y = f(x) 
satisfaz à equação F(x, y) = 0. Podemos calcular a derivada de uma função definida implicitamente 
sem necessidade de explicitá-la. Para isto usaremos novamente a regra da cadeia. Suponha que 
F(x, y) = 0 define implicitamente uma função derivável y = f(x). Através de exemplos mostraremos 
que podemos calcular y sem conhecer y. 
 
Exemplos: 
 
1) Se x²+y² =25 para calcular y’, derivamos ambos os lados e obtemos 2x+2y.y’=0. 
Concluindo que, y’ =-2x/2y = -x/y. 
 
 
2) Seja y dado implicitamente por 3xy+sen(y) = y³, derivamos ambos os lados: 
 
3.y+3x.y’+cos(y).y’ = 3y².y’ observe que acrecentamamos y’ a cada derivada com y. 
3xy’-3y²y’ + cos(y).y’=3y 
 y’(3x-3y²+cos(y)) = 3y 
y’ = 
)cos(33
3
yyx
y

 
 
10 
 
3) x²y + xy²= 6 
2xy+x²y’+1y²+x2yy’=0 
(x²+2xy)y’ = -y²-2xy 
y’ = -y²-2xy/x²+2xy 
Exercício: Use a derivação implícita para determinar dy/dx: 
a) x²y + x³y²= x f) ln(y-x)=ln(y+x) 
b) 2xy + y² = x+ y g) (x²-y²)² = y²+x² 
c) y. sen(y) = 1 – x h) y³ = (x-y)/(x+y) 
d) sen(y) = xy i) ln(yx) = exy 
e) ey = x+y j) x³+y³=5Quando temos vários tipos de funções envolvidas no cálculo da derivada, devemos aplicar 
o logaritmo natural e a derivação implícita. 
 
Exemplos: 
 
1) y = xx 
aplicar logaritmo dos 2 lados ln y = ln xx 
usar a regra do expoente ln y = x.ln x 
derivar dos 2 lados  (ln y) ‘ = (x.ln x)’ 
y’/y =1lnx+x.1/x 
isolar y’  y’ = (lnx+1).y 
substituir y  y’ = (lnx+1).xx 
 
2) y = x cos(x) 
ln y = ln xcos(x) 
ln y = cos(x).ln(x) 
y’/y = -sen(x).ln(x)+cos(x).1/x 
y’ = (-sen(x).ln(x)+cos(x)/x).y 
y’ = (-sen(x).ln(x)+cos(x)/x).xcos(x) 
 
3) Y= xex 
ln y =ln xex
 
ln y = ex.ln x 
derivando 
y’/y = ex.lnx+ex.1/x 
y’= ex(lnx+1/x).y 
y’ = ex (lnx+1/x) xex 
 
Em geral: 
Se y=
)()( xgxf
 então 
)))'(ln().(.()(' )( xfxgxfy xg
 
 
Exercício: Usando a derivada de logaritmo, calcule y’. 
a) Y= 2xx
 e) y= 2
)ln( xx
 
b) Y = 
)ln(xx
 f) y =(x²)x 
c) Y = 
xxsen ))((
 g) y = x2x+1 
d) Y = 
)(xsenx
 h)Y = x2/x 
11 
 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 
Observando as regras de derivação, percebemos, que a derivada de uma função f(x), isto é, f ’(x) 
ou 
dx
df
, é também uma função. Assim sendo, podemos derivá-la também, obtendo a 2ª derivada 
de f(x), que denotaremos por f ’’(x) ou 
²
²
dx
fd
. 
 
Da mesma maneira 
)('' xf
 também é uma função e assim podemos, derivá-la para obter 
)(''' xf
 
ou 
³
³
dx
fd
. 
 
De maneira geral, à partir de uma função f(x) podemos obter a n-ésima derivada de f(x), denotada 
por 
)()( xf n
 ou 
n
n
dx
fd
,onde n
1
, n

. 
 
A derivada de segunda ordem de f é a derivada da derivada de f, a derivada de terceira ordem de f 
é a derivada da derivada de segunda ordem, e assim sucessivamente. 
y = f(x)  função 
y’ = f ’(x) 1ª derivada 
y’’= f ’’(x) 2ª derivada 
y’’’= f ’’’(x)  3ª derivada 
y(4) = f (4)(x)  4ª derivada 
y(n) = f(n) (x)  n-ésima derivada. 
 
Exemplos: 
1) f(x) = x4+x3+x2+x+1 
f ’(x) = 4x3+3x2+2x+1 
f ’’(x) = 12x2+6x+2 
f ‘’’(x) = 24 x+6 
f (4)(x) = 24 
f (5)(x) = 0 (e todas as demais derivadas também) 
 
2) f(x) = ln x 
 f ’(x) = 1/x 
f ’’(x) = -1/x2 
f ’’’(x) = 1/x3... 
 
3)f(x) = e-x 
f’(x) = -e-x 
f”(x) = e-x 
f ”’(x) = -e-x... 
 
 
Conclusão 
 
Vemos que a derivação é uma técnica matemática de grande poder e versatilidade. É um 
dos conceitos centrais do Cálculo, e tem diversas aplicações: Traçado de curvas, Otimização de 
funções, Análise de taxas de variação, Cálculo de velocidade e aceleração. 
Para cada tipo de função existe uma regra para encontrarmos a derivada. Precisamos 
conhecer cada função para aplicar a regra correta. Devemos observar qual é a variável 
(geralmente x) e quais são constantes (n, c, k, a, e que representam números fixos). Veja: 
 
 
12 
 
Mais Exemplos Resolvidos: 
Função Derivada 
1) f(x) = 9 f ’(x) = 0 
2) f(x) = x5 f ’(x) = 5x4 
3) f(x) = 3.x5 f ’(x) = 3.5.x4 = 15x4 
4) f(x) = 3x2 +2x+4 f ’(x) = 3.2x+2+0= 6x+2 
5) f(x) = 7x-x3 f ’(x) = 7 – 3x2 
6) f(x) = x.
x
 f’(x)=1.
x
+x.½x – ½ =
x
+ ½ x ½ =
x
+½
x
= 3/2.
x
 
7) f(x) = 
2
3
2 x
x
 f ’(x) =
22
2
)2(
2.3)2.(3


x
xxx
= 
22
2
)2(
63


x
x
 
8) f(x) =(x+2)8 f ’(x)= 8.(x+2)7.1= 8.(x+2)7. 
9) f(x) = ln(3x-4) 
f ’(x) = 
43
3
x
 
10) f(x) = log 2(5x+3) 
f ’(x) = 
)2ln()35(
5
x
 
11) f(x) = 3xe f ’(x) =3x
2 . 3xe 
12) f(x) = 24x f ’(x) = 4.24x.ln(2) 
13) f(x) = sen (3x) f ’(x) = 3.cox(3x) 
14) f(x) = cos (7x+2) f’(x) = -7 .sen(7x+2) 
 
Agora é a sua vez! Lista de Exercícios: Calcule as derivadas das seguintes funções: 
 
1. y = 0,2x+0,5x2-0,3 2. y = -0,6x 3. y = x.
x
 
4. y = 3-x6+x8 5. y = -x3 6. y =
x
.x –1 
7. y = 4x+5x2+6x3+7x4 8. y = 6x2+ 7-x 9. y = 
xx
xx


4
2
5,0
43
 
10. y =
2
1
4
3

x
 11. y = 
2
x
 
12. y = 
5
32
53
32
x
xxx


 
13. y = 
x
x
3
2
 14. y =
2
3


x
x
 15. y = 
)log(
)ln(
x
x
 
16. y = 
3 2 5xx 
 
17. y=ex/x 18. y = x2.(2x-1)4 
19. y = 
34
3
4
4
5
xx 
 
20. y = 
5
4
x
 21. y = 
x
x
3
2
 
22. y = 7.ex + ln(x) – ln 2 23. y = 6x 0,5 24. y =x3. log(x) 
25. y = 
5 x
-3x+5 26. y = 
35 xx 
 27. y = 
93 x
 
28. y = 10x + 5. ln(x) + 3x+4 29. y = 5. ex+ 6. ln(x) +3. 2x + 6 30. y = (ln(x))3 
31. y =5.3x 32. y = 12x + x3 33. y = x2.ex 
34. y = (3x2+5)5 35. y = (2x-4)3 36. y = -x.ln(x) 
13 
 
37. y = (x3 –3x2)4 38. y = (4 – 7x)7 39. y = (e5x+3)4 
40. y = 
32 xe
 
41. y = 2.e3x-1 42. y = 5x – 3x2 +4 
43. y = e5-2x 44. y = 5.e2-x 45. y = 2x . x2 
46. y = ln (x2-5x+1) 47. y = ln ( 3x-4) 48. y = x.(x+3)3 
49. y = log (4-x2) 50. y = log 2 ( x+x2) 51. y = 3x5.e4x+2 
52. y = 23x + 5.(3-x2)6 + e5x+2 53. y = 102x-3 54. y = 3x2 e2-x. 
 
1. Funções inversas 
 
1.1 Função inversível: definição, teoremas e construção de gráficos 
Se y =f(x) é uma função estritamente crescente ou estritamente decrescente no intervalo I, então 
existe uma função x = f -1 (y), chamada de função inversa, tal que f(f -1(y)) = y e 
f -1(f(x)) = x. Onde o domínio da função f é a imagem da função f -1 e a imagem de f é o domínio da 
f -1. 
 
Para obter a expressão de f -1(x) devemos isolar a variável x em y = f(x) e depois trocamos as 
variáveis. 
 
Exemplos: 
 
(1) y = f(x) = x + 4 é estritamente crescente, então 
y = x + 4 -x = -y + 4 x = y – 4 x = f –1(y) = y – 4  y = x-4 é a inversa. 
 
(2) y = f(x) = 2x é estritamente crescente, então 
y =2x  x= y/2  x = f –1 (y) = y/2  y = x/2 é a inversa . 
 
(3) y = f(x) = ex é estritamente crescente, então existe a inversa de f, que é dada por 
f –1(y) = x = ln y, pois f -1(f(x)) = f –1(ex) = ln ex = x; f(f –1(y)) = f(ln y) = eln y = y. 
Ou seja, as funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra. 
 
(4) y = f(x) = x2 não é estritamente crescente (ou decrescente) em |R, por isso devemos tomar um 
intervalo de crescimento ou decrescimento. Por exemplo, considerando a função y = f(x) = x2 
definida no intervalo I =(0,+) (estritamente crescente) temos 
 y =x2  x = f –1(y) = +
y
 y = +
x
 é a função inversa da f. Se tivéssemos tomado o intervalo 
decrescente I =(-,0) teríamos y = x2  x = f –1(y) = -
y
  y = -
x
 como função inversa de f. 
 
 
1.2 Funções Trigonométricas Inversas 
 
 Como as funções trigonométricas não são estritamente crescentes ou decrescentes, elas 
não têm funções inversas. Mas podemos restringir o seu domínio de forma a torná-las crescentes 
ou estritamente decrescentes. 
 
Inversa da função seno 
 Devemos restringir o domínio da função y = sen (x) em -/2  x  /2. A inversa da função 
seno restrita é denotada por y = arcsen (x) ou y = sen-1(x). ( note que sen-1(x)  1/sen(x)). 
arcsen(x) = y  sen(y) = x e -/2  y  /2 
 
Assim, se _1 x  1, arcsen(x) é o número entre -/2  y  /2 cujo seno é x.A inversa da função 
seno, y =arcsen(x) tem domínio [-1,1] e variação [-/2, /2]. 
14 
 
 
 
 
Exemplos: 1) arcsen(1/2) = /6. 2) arcsen(
2
/2) = /4 
 
 
Inversa da função co-seno 
Devemos restringir o domínio da função y = cos (x) em 0  x  . A inversa da função co-seno 
restrita é denotada por y = arccos (x) ou y = cos-1(x). ( note que cos-1(x)  1/cos(x)). 
arccos(x) = y  cos(y) = x e 0  y   
Assim, se _1 x  1, arccos(x) é o número entre 0 y   cujo co-seno é x. 
15 
 
 
 
 
Exemplos: 1) arccos(1/2) = /3. 2) arccos(
2
/2) = /4 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
1.3 Derivadas dasfunções trigonométricas 
1) f(x) = sen (x)  f ’(x) =cos (x) 
Dem.: f ’(x) = 
h
xfhxf
h
)()(
lim
0


 =
h
xhx
h
)sen()sen(
lim
0


 
= 
h
xhxhx
h
)sen()sen().cos()cos().sen(
lim
0


=

















 
 h
h
x
h
h
x
h
)sen(
).cos(
1)cos(
)sen(lim
0
 
=





 
 h
h
x
hh
1)cos(
lim)sen(lim
00
+
)cos(lim
0
x
h
.






 h
h
h
)sen(
lim
0
= sen(x).0 + cos(x).1 = cos(x). 
 
2) f(x) = cos(x)  f ’(x) = -sen(x) 
Demonstração: Exercício 
 
3) f(x) = tg(x)  f ’(x) = sec2(x) 
Demonstração: 
f(x) = tg(x) = 
)cos(
)sen(
x
x
 
f ’(x) =
2))(cos(
))sen().(sen()cos().cos(
x
xxxx 
= 
)(cos
)(sen)(cos
2
22
x
xx 
= 
)(cos
1
2 x
= sec2(x) 
 
4)(f(x) = cotg(x)  f ’(x) = -cossec2(x) 
Demonstração: Exercício. 
 
5) f(x) = sec(x)  f ’(x) = sec(x).tg(x) 
Demonstração: 
f(x) = sec(x) =
)cos(
1
x
 f ’(x) = 
)(cos
))sen(.(1)cos(.0
2 x
xx 
= 
)(cos
)sen(
2 x
x
= 
)cos().cos(
)sen(
xx
x
= 
)cos(
)sen(
.
)cos(
1
x
x
x
 =sec(x) .tg(x). 
6) f(x) = cossec(x)  f ’(x) = -cossec(x).cotg(x) 
Demonstração: Exercício. 
 
2.4 Derivadas das funções trigonométricas inversas 
Seja f uma função inversível, com inversa g, temos que f(g(x))=x, para todo xDg. Deste modo, 
para todo x Dg [f(g(x))]’ = x’ 
f ’(g(x)).g’(x) = 1 
g’(x) =
))(('
1
xgf
 
Agora, podemos estabelecer a derivada das funções trigonométricas inversas: 
g(x) = arcsen(x)  g’(x) = 
21
1
x
, -1< x <1 
Demonstração: Lembre-se que sen (arcsen(x)) = x, pois g(x) =arcsen (x) é inversa de f(x)=sen(x). 
g(x) = arcsen(x)  g ’(x) = 
))(arcsen('
1
xf
=
))(cos(arcsen
1
x
=*
21
1
x
. 
 
* cos2(arcsen(x))+sen2(arcsen(x))=1 cos2(arcsen(x))+x2=1 cos2(arcsen(x))=1-x2 
17 
 
cos(arcsen(x)) = 
21 x
, pois arcsen(x) [-/2, /2]. 
 
g(x) = arccos(x)  g’(x) = -
21
1
x
, -1< x <1 
Demonstração: Exercício. 
 
g(x) = arctg(x)  g’(x) = 
21
1
x
 
Demonstração: Exercício. 
 
 
Lista de exercícios 
1) Derive: 
a) F(x) = cos(ln(x)) k) f(x) = e-cos(x) 
b) F(x) = cos(x).cossec(x) l) f(x) = 7cossec(x) 
c) F(x) = ln(cotg(7x)) m) f(x) = (cos(x))5 
d) F(x) = (tg(2x))5 n) f(x) = 
)sen(x
 
e) F(x) =arcsen(x²) o) f(x) = sec²(x) 
f) f(x) = cotg(x) p) f(x) = sec(x²) 
g) F(x) = cossec(3-x) q) f(x) = 
h) F(x) = sen(x).tg(x) r)f(x) = (cos(2x))4 
i) F(x) = s) f(x) = 5.sen(x²-2) 
j) F(x) = tg(x+5) 
 
2) Uma partícula move-se sobre o eixo x de modo que no instante t a posição é dada por 
x = cos(4t). Determine: 
a) a posição no instante t = π/12 e t = π/4 
b) a velocidade no instante t. 
c) a aceleração no instante t. 
 
2. ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES 
 Através dos conceitos de diferenciabilidade e de continuidade de uma função num intervalo 
contido em seu domínio, vamos descobrir que é possível estudar sua variação e, portanto, 
construir o seu gráfico. Para tanto, precisamos estabelecer alguns conceitos e alguns resultados, 
como, por exemplo, determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, a concavidade, o 
ponto de inflexão. Um resultado que é muito importante e estabelece um dos resultados centrais 
do Cálculo Diferencial, com consequências fundamentais para o estudo de uma função, a partir de 
informações sobre sua derivada num determinado intervalo é o Teorema do Valor Médio. 
 
2.1. Intervalos de crescimento e decrescimento 
Seja f uma função definida em um intervalo I. 
f é crescente em I se para todos pontos x1, x2  I temos x1 < x2  f ( x1 ) < f ( x2 ) . 
f é decrescente em I se para todos pontos x1, x2  I temos x1 < x2  f ( x1 ) > f ( x2 ) . 
 
Se y = f(x) é derivável no intervalo J. Então temos: 
Se f ’(x) > 0 para todo x interior a J, f(x) será crescente em J. 
Se f ’(x) < 0 para todo x interior a J, f(x) será decrescente em J. 
 
Se f ’(p) = 0, então p é dito ponto crítico. 
 
18 
 
Exemplos: 
1. f(x) = x2 -3x +2 
f’(x) = 2x-3 > 0  x >3/2  f é crescente em (3/2, +). 
f’(x) = 2x-3 < 0  x <3/2  f é decrescente em (-, 3/2). 
 
2. f(x) = x3-2x2 + x + 2 
f ’(x) = 3x2- 4x +1=0  x = 1 ou x = 1/3 
 
Testando um ponto em cada intervalo: 1/3 1 
x=0 f’(0) =3.02–4.0+1=1>0 
x= 0,5f’(0,5) =3.0,52–4.0,5+1=-0,25 <0 
x=2 f’(x) =3.2–4.2+1=5>0 
Portanto, f é crescente em (-, 1/3), ou seja, x<1/3 e em (1, +), ou seja, x>1; e f é decrescente 
em (1/3,1), ou seja, 1/3 < x <1. 
 
2.2.Concavidade e ponto de inflexão 
Se f ’’(x) > 0 em J, então o gráfico de y = f(x) terá concavidade para cima em J. 
Se f ’’(x) < 0 em J, então o gráfico de y = f(x) terá concavidade para baixo em J. 
 
 
 Concavidade para cima f ”(x) > 0 
 Decrescente f ’(x) < 0 
 
 
 
Concavidade para baixo f ” (x) < 0 
 Decrescente  f ’(x) < 0 
 
 
 
 Concavidade para cima  f ” (x) > 0 
 Crescente f ‘(x) >0 
 
 
 Concavidade para baixo  f ”(x) < 0 
 Crescente  f ’(x) >0 
 
 
 
 
Os pontos, onde a concavidade se altera, são chamados de pontos de inflexão. 
Em economia, o ponto de inflexão é conhecido como ponto de retorno decrescente. 
 
Por exemplo, o total de vendas de um fabricante de ar condicionado em função da quantia aplicada 
com propaganda é dado pelo gráfico abaixo, onde vemos que o ponto de inflexão é (50, 2700). 
Pelo gráfico vemos que o total de vendas cresce vagarosamente a princípio, mas a medida que é 
gasto mais com propaganda, o total de vendas cresce rapidamente. Atingindo o ponto onde 
qualquer gasto adicional com propaganda resulta em crescimento de vendas, mas a uma taxa 
menor. Esse é o ponto de retorno decrescente. 
 
19 
 
 
Exemplos: 
1) Estude as funções com relação à concavidade e pontos de inflexão. 
 
 a). f(x) = x3 –6x2 +4x -10  f ’(x) = 3x2-12x + 4 
 f ’’(x) = 6x-12 > 0  x > 2 f tem concavidade para cima em (2,+). 
 f ’’(x) = 6x –12 < 0  x < 2 f tem concavidade para baixo em (-, 2). 
 Logo 2 é o ponto de inflexão. 
 
 b). f(x) = x2 +3x f ’(x) = 2x+3 
 f ’’(x) = 2> 0 para todo x. Logo f tem concavidade para cima em todo seu domínio. 
Não há pontos de inflexão. 
 
2.3. Teorema do valor médio 
Antes de enunciar o teorema do Valor médio, vamos analisar alguns resultados. O teorema 
abaixo garante a existência de pontos extremos (máximo e mínimo) de uma função, sem a 
hipótese de que a função seja derivável. 
 
Teorema (Weierstrass): Seja f : [a, b] → R contínua. Então existem x1 e x2 em [a, b] tais que: 
f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2), para todo x [a, b]. 
 
FIGURA 1 
 
Teorema (Rolle): Seja f : [a, b] → R contínua, derivável em (a, b) e tal que f(a) = f(b). Então, existe 
pelo menos um c (a, b) tal que f′(c) = 0. 
20 
 
 
FIGURA 2 
 
A importância do próximo teorema deve-se ao fato dele estabelecer uma relação 
importante entre a função e sua derivada. 
Teorema do valor Médio: Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável em (a,b) então existe c 
pertencente a (a,b) tal que 
ab
afbf
cf



)()(
)('
 
Em outras palavras, existe pelo menos um ponto no gráfico de f, onde a reta tangente 
nesse ponto é paralela à reta secante que liga (a, f(a)) e (b, f(b)), ou seja, a reta tangente ao 
gráfico de f traçada pelo ponto (c,f(c)) é paralela à reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)). 
 
 
 (b,f(b)) 
 (c,f(c)) 
 
 
 
 
 
 (a, f(a)) (c,f(c)) 
 
FIGURA 3 
É preciso observar que o TVM não garante a unicidade do ponto c. Na figuraacima, existem dois 
desses pontos. 
Na figura abaixo apenas um: x0. 
21 
 
 
FIGURA 4 
Corolários 
1. Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Se f′(x) = 0 para todo x  (a, b), então 
f é constante. 
2. Sejam f e g funções contínuas em [a, b] e deriváveis em (a, b). Se f′(x) =g′(x) para todo x  (a, b) 
então f(x) = g(x) + k, onde k é uma constante. 
 
Exemplos: 
1. Suponhamos que um carro percorre uma distância de 180 km em 2 horas. Denotando por s = 
s(t) a distância percorrida pelo carro após t horas, a velocidade média durante esse período de 
tempo é: 
vm = 
02
0180
02
)0()2(




 ss
= 90km/h 
Portanto, pelo Teorema do Valor Médio, temos que o carro deve ter atingido a velocidade de 90 
km/h pelo menos uma vez nesse período de tempo. 
 
2. Encontre um número c que satisfaça a conclusão do Teorema do Valor Médio para a função f(x) 
= x²+2x-1 no intervalo [1,5]. 
ab
afbf
cf



)()(
)('
=
8
4
234
15
)1()5(




 ff
 
Mas, f ’(x) = 2x+2. Portanto f ’(c) = 2c+2 = 8. Logo, 2c=6 e, portanto c = 3. 
 
3. Verifique que a função f satisfaz as 3 hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado e 
encontre todos os valores de c que satisfazem a conclusão do Teorema de Rolle. 
a) f(x) = x²-4x+1, [0,4]. 
H1) f é contínua em [0,4], pois é uma polinomial. 
H2) f é derivável em todos os pontos interiores de [0,4], sua derivada é f ’(x) =2x-4. 
H3) f(0) = 0²-4.0+1 =1 e f(4) = 4²-4.4+1 = 1, portanto, f(0)=f(4). 
Logo, existe c(0,4) tal que f ’(c) = 0. Mas, f´(x) = 2x-4 e assim, f´(c) = 2c-4=0 implica que c = 2. 
 
b) f(x) =x³-3x²+2x+5, [0,2]. 
H1) f é contínua em [0,2], pois é uma polinomial. 
H2) f é derivável em todos os pontos interiores de [0,2], sua derivada é f ’(x) =3x²-6x+2. 
H3) f(0) = 0³-3.0²+2.0+5 = 5 e f(2) =2³-3.2²+2.2+ 5 = 5, portanto, f(0)=f(2). 
Logo, existe c(0,2) tal que f ’(c) = 0. Mas, f´(c) = 3.c²-6.c+2 =0 implica que c = 3+
3
 e c = 3 -
3
. 
Como 3+
3
(0,2), temos que a solução é c= 3-
3
. 
 
 
4) Seja f(x) = x2+5x, para 1  x  3, determine c e esboce os gráficos de f e das retas s e T. 
22 
 
Solução: Temos que a = 1 e b = 3, f(a) = f(1) = 12+5.1 = 6 e f(b) = f(3) = 32+5.3 =24. Também, 
temos que f ’(x) = 2x+5, logo f ’(c) = 2c+5. 
Usando o TVM temos
)('
)()(
cf
ba
afbf




13
624


=2c+5 9 = 2c+5 c=2. 
2.4 Máximos e mínimos 
 
Sejam y = f(x) uma função e p um número real pertencente ao domínio da f. Dizemos que p é um 
ponto de máximo local de f se existir um intervalo aberto J, com p em J, tal que para todo x em J 
e x no domínio da f ocorrer: f(x)  f(p). Neste caso, f(p) é o valor máximo local. 
 
Dizemos que p é um ponto de mínimo local de f se existir um intervalo aberto J, com p em J, tal 
que para todo x em J e x no domínio da f ocorrer: f(x)  f(p). Neste caso, f(p) é o valor mínimo 
local. 
 
Se f(x)  f(p) para todo x no domínio da f então p é um ponto de máximo global ou absoluto. Se 
f(x)  f(p) para todo x no domínio da f então p é um ponto de mínimo global ou absoluto. 
Os pontos de máximo ou de mínimo são ditos extremos da função f. 
 
Teorema: Seja f uma função contínua e sejam a, b, c números reais tais que a < b < c e tal que 
[a,c]  Df. Então, se: 
f(a)<f(b) e f(b) > f(c) f tem ponto de máximo p entre a e c. 
f(a)>f(b) e f(b) < f(c) f tem ponto de mínimo p entre a e c. 
 
Este teorema nos fornece um método para determinar estimativas para máximo e mínimo. 
 
Exemplos: 
f(x) =2x3, -5  x  5 
X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 
f(x) -138 -26 32 48 34 2 -36 -68 -82 -66 -8 
Observe: no intervalo [-3,-1] devemos ter um ponto de máximo local, pois f(-3) < f(-2) e f(-2) > f(-1). 
No intervalo [2,4] devemos ter um ponto de mínimo, pois f(2)>f(3) e f(3)<f(4). 
 
Seja y = f(x) função derivável em p, p interior ao domínio. Uma condição necessária para que p 
seja extremante local de f é que f ’(p) = 0, ou seja, p deve ser ponto crítico de f. 
 
A condição f ’(p) = 0 não é suficiente, ou seja, podemos ter f ’(p) = 0, mas p não extremante. (p 
pode ser extremo do intervalo). 
 
Teste da Primeira Derivada 
 Seja f uma função contínua em um intervalo aberto (a, b) contendo xo . Se f é derivável 
em todo os pontos do intervalo (a , b ) , exceto possivelmente em xo , então 
 
i) f ’(x) > 0 , x(a, xo) e f ’(x) < 0, x(xo, b)f tem um valor MÁXIMO RELATIVO em xo . 
ii) f ’(x) < 0 , x(a, xo) e f ’(x) > 0, x(xo, b)f tem um valor MÍNIMO RELATIVO em xo 
 
 
 
 
 
Teste Da Segunda Derivada 
23 
 
Se f ’(p) = 0 e f ”(p) > 0, então p é ponto de mínimo local. 
Se f ’(p) = 0 e f ”(p) < 0, então p é ponto de máximo local. 
 
Exemplos: 
1) Determine os pontos extremos da função f(x) = 2x3 +3x2-12x-7 
Solução: f ’(x) = 6x2 +6x-12 = 0  x =1 ou x =-2 
f ”(x)=12x+6 f ”(1) = 18 >0 e f ”(-2) = -18< 0 
p =1 é ponto de mínimo local e p = -2 é ponto de máximo local. 
 
2) Seja f(x)=x³-9x²-48x+52. Ache os pontos de mínimo e máximo locais de f(x), se existirem, e os 
intervalos de crescimento e decrescimento de f(x): 
f(x)=x³-9x²-48x+52 
f `(x)=3x²-18x-48 
 
f `(x)=0

3x²-18x-48=0 
8
2
6
3018
900
57632448.3.4324
2
1





x
x
x
 
 
1x
=-2 e 
2x
=8 são os pontos críticos da função f. 
f’’(x) = 6x-18 
f’’(-2) = 6.(-2) – 18 = -30 <0  x1 = -2 é o ponto de máximo local de f(x) 
f’’(8) = 6.8 – 18 = 30 > 0  x2 = 8 é o ponto de mínimo local de f(x) 
 
Intervalos de crescimento ou decrescimento de f(x): 
 
Logo f(x) é crescente nos intervalos: (-∞,-2) e (8,∞) 
 f(x) é decrescente no intervalo: (-2,8) 
 
2.5. Regras de L’Hopital 
As regras a seguir aplicam-se a limites que apresentam indeterminações do tipo 
0
0
ou 


. 
 
Teorema: Sejam f e g deriváveis em um intervalo aberto I com p I e g’(x)  0. 
Se 
)(
)(
lim
xg
xf
px
=
0
0
ou
)(
)(
lim
xg
xf
px
=


 e se existir 
)('
)('
lim
xg
xf
px
(finito ou infinito) então 
)(
)(
lim
xg
xf
px
existirá 
e 
)(
)(
lim
xg
xf
px
 = 
)('
)('
lim
xg
xf
px
. 
 
Observe que a regra é válida par x p ou x  p- ou x p + ou x + ou x -. 
 
 
Exemplos: 
 
1. 
1
386
lim
4
35
1 

 x
xxx
x
= 
0
0
 
24 
 
1
386
lim
4
35
1 

 x
xxx
x
=  
 '4
'35
1 1
386
lim


 x
xxx
x
=
4
5
4
8185
lim
3
24
1



 x
xx
x
 
 
2. 



 x
x
x
ln
lim
 

 x
x
x
ln
lim
0
1
lim
1
1
lim
'
)'(ln
lim 
 x
x
x
x
xxx
 
 
 
3. 
13
32
lim
23
3


 xx
xx
x
 
 
2.6. Gráficos 
 
Para o esboço do gráfico de uma função f devemos fazer o estudo completo da função. 
1. Domínio 
2. Pontos críticos 
3. Intervalos de crescimento e decrescimento 
4. Pontos de máximo e mínimo locais 
5. Concavidade e pontos de inflexão 
6. Calcular os limites laterais nos extremos 
7. Calcular os limites nos pontos de descontinuidade 
8. Assíntotas 
9. Cruzamento com os eixos 
 
 
Assíntotas 
 
Dizemos que a reta y = mx+n. é uma assíntota, em +, do gráfico da função y = f(x) 
x
lim
[f(x)-(mx+n)]= 0 
 
Dizemos que a reta y = mx+n. é uma assíntota, em -, do gráfico da função y = f(x) 
x
lim
 [f(x)-(mx+n)]= 0 
 
Intuitivamente, dizer que a reta y = mx+n é uma assíntota, em +, significa que, à medida que x 
cresce, o gráfico de y = f(x) vai encostandocada vez mais no gráfico da reta. 
 
 
 
25 
 
 
 
 y = mx+n 
 
 
y = n 
 
 
y = n é uma assíntota horizontal y = mx+n é assíntota oblíqua 
 
Dizemos que a reta vertical x = k é uma assíntota vertical, à direita, para o gráfico da função y = f(x) 
se 
kx
lim
f(x) =  . 
Dizemos que a reta vertical x = k é uma assíntota vertical, à esquerda, para o gráfico da função y = 
f(x) se
kx
lim
f(x) =  . 
 
 
 
 k k 
 
 
 
 
 
Observe que k é um ponto de descontinuidade. 
 
Exemplo: f(x) = 
x
x 43 
 
x
lim
x
x 43 
= 3  y = 3 é assíntota horizontal em +. 
x
lim
x
x 43 
= 3  y = 3 é assíntota horizontal em -. 
O ponto de descontinuidade é x = 0. 
Como 


 x
x
x
43
lim
0
 temos que x = 0 é uma assíntota vertical à direita e como 
0
lim
x x
x 43 
= - 
 temos que x = 0 é, também, assíntota vertical à esquerda. 
10 0 101
3
7
11
3x 4
x
x 
2) f(x) = 
1
4
2 x
x
 
x
lim
1
4
2 x
x
= 
x
lim
x2
4
= 0 y = 0 é uma assíntota horizontal em +. 
26 
 
x
lim
1
4
2 x
x
= 
x
lim
x2
4
= 0 y = 0 é uma assíntota horizontal em -. 
Os pontos de descontinuidade são 1 e –1. 
1
lim
x 1
4
2 x
x
= + temos que x = 1 é uma assíntota vertical à direita. 
1
lim
x 1
4
2 x
x
= - temos que x = 1 é uma assíntota vertical à esquerda. 
 1
lim
x 1
4
2 x
x
= - temos que x = -1 é uma assíntota vertical à direita. 
 1
lim
x 1
4
2 x
x
= + temos que x = 1 é uma assíntota vertical à esquerda. 
2 0 2
20
20
4x
x
2
1
x 
Listas de Exercícios 
1. Determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, a concavidade, 
ponto de inflexão e pontos extremos das funções: 
a) f(x) = 3x-5 i) f(x) = 4 –2x q) f(x) = x3/3-2x2+3x+5 
b) f(x) = x2+x+1 j) f(x) = x³/3-9x+2 r) f(x) = x3-9x2+6x-5 
c) f(x) = x + 1/x k) f(x) = x3-9x2+6x-5 s) f(x) = -x3 –8x2 +3 
d) f(x) = 2x2+3x +5 l) f(x) = 3x4-8x³+6x²+2 t) f(x) = 4x3+24x2+36x 
e) f(x) = 4x3+3x2-18x +5 m) f(x) = x4-8x2+2 u) f(x) = 2x³/3 -2x²-16x 
f) f(x) = 2x³+3x²-12x-7. n) f(x) = 3x5-5x3 
g)f(x) = x4+8x3+18x2-8 o) f(x) = x3-3x-4 
h)f(x) =
3
²
x
x
 p) f(x) = 
2x
x
 
2. O total de vendas S (em milhares de dólares) de um fabricante de bitorneiras se relaciona com a 
quantidade de dinheiro gasta com propaganda x, por S = -0,01x³+1,5x²+200. Encontro o ponto de 
retorno decrescente (ponto de inflexão). 
 
3. Um índice de preços ao consumidor IPC é descrito por f(t) = -0,2t³+3t²+100, onde t =0 
corresponde ao ano 1991. Encontre o ponto de inflexão e discuta seu significado. 
 
4. Faça o estudo da função f(x) =(x-1)(x+1)(x-3)e esboce o gráfico. 
 
5. Uma folha de papel contém 375 cm² de matéria impressa, com margem superior de 3,5 cm, 
margem inferior de 2 cm, margem lateral direita de 2 cm e margem lateral esquerda de 2,5 cm. 
Determinar quais devem ser as dimensões da folha para que haja o máximo de economia de 
papel. 
 
6. Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada na margem de um rio de 
500 metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2000 metros 
abaixo da central. O custo da obra do rio é de R$ 640,00 por metro, enquanto, em terra, custa R$ 
27 
 
312,00. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável? Obs: O custo da 
obra é dado por f(x) = (2000-x).312+
²500² x
.640, conforme figura abaixo. 
 
 
 
7. Pretende-se estender um cabo de usina de força à margem de um rio com 1200m de largura até 
uma fábrica situada do outro lado do rio, 1500m rio abaixo. O custo de estender um cabo no rio é 
de R$ 25,00 o metro e o custo de estender um cabo em terra é R$ 20,00 o metro. Qual o percurso 
mais econômico para o cabo? 
 
 
8. Um galpão para usina de reciclagem deve ser construído tendo uma área retangular de 
12100m². A prefeitura exige que exista um recuo de 25m na frente, 20 m atrás e 12m em cada 
lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído o 
galpão. 
 
 
10. Calcule o volume máximo de uma caixa, feita com uma folha de papelão de 40 x 40 cm, 
retirando-se um quadrado de lado x de cada canto da folha. 
 
12. A receita obtida com a produção de certa mercadoria é dada por R(x) = 
63
63
2
2


x
xx milhões de 
reais. Qual a produção que proporciona a receita máxima? Qual é esta receita? 
 
13. Determinar as dimensões de uma lata cilíndrica, com tampa, com volume V, de forma que a 
sua área total seja mínima. 
 
14. Um edifício de 2000 m2 de piso deve ser construído, sendo exigido recuos de 5 m na 
frente e nos fundos e de 4 m nas laterais. Ache as dimensões do lote com menor área 
onde esse edifício possa ser construído. 
 
15. Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de 2000 cm3 . O material 
da tampa e da base vai custar R$ 3,00 por centímetro quadrado e o material para os 
lados R$ 1,50 por centímetro quadrado . Encontre as dimensões da caixa de modo que o 
custo seja mínimo . 
28 
 
16. Um fazendeiro tem 1200m de cerca e quer cercar um campo retangular que esta a margem de 
um rio reto. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Quais as dimensões do campo que tem a maior 
área? 
 
17. Seja f(x) = x³ -6x²+9x-3. 
(a) Encontre os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente . 
(b) Encontre e classifique os extremos relativos . 
(c) Encontre o valor máximo absoluto da f no intervalo [ –1 , 2 ) . 
 
18. Uma companhia de software sabe que ao preço de $80 por um determinado software eles 
vendem 300 unidades por mês. Sabem também que para cada redução de $5 no preço eles 
venderão mais 30 unidades. Qual preço a companhia deve cobrar para maximizar a receita? 
 
19. O lucro total (em dólares) da Companhia Acrosonic pela fabricação e venda de caixas de som 
é dado por P(x) = -0,02x²+300x-200. 000. Quantas unidades devem ser produzidas para 
maximizar o lucro? Qual será o lucro máximo? 
 
20. A direção da empresa Trapee and Sons, fabricante de molho de pimenta Texa-pep, estima 
que seu lucro (em dólares) pela produção diária de x caixas de molho picante Texa-Pep é dado por 
L(x) = -0,000002x³+6x-400. Qual é o lucro máximo que a empresa pode obter em um dia? 
 
21. A quantidade demandada por mês da gravação de Walter Serkin, produzida pela Shonatha 
Record, está relacionada com o preço por CD. A equação p(x) = -0,00042x+6 onde p representa o 
preço unitário em dólares e x é o número de CDs demandados. O custo em dólares para prensar e 
embalar x cópias é C(x) = 600+2x-0,00002x². Quantas cópias devem ser produzidas por mês para 
maximizar os lucros? 
 
22. Calcule os seguintes limites: 
 a) 
1
12
lim


 x
x
x
 c) 
xx
x
x  3
32
lim
 e) 
3x-x
9x -x
lim
2
24
0x
 g) 
3
124
lim
3 

 x
x
x
 
b) 
3
32
lim
2
3 

 x
xx
x
 d) 
1
1
lim
2
1 

 x
x
x
 f) 
2
ln
x
x
x
lim
 h) 
3
96
lim
2
3 

 x
xx
x
 
 
23. Esboce os gráficos das funções: 
a) f(x) = x3 –3x2+3x f) f(x) =2x³/3 –2x²-12x 
b) f(x) = 
1
2
x
x
 g) f(x) = 
12
2
3
4
24
 x
xx
 
c) f(x) = x3 –3x2+3x h) f(x) = x 3 –3x-9x 
d) f(x) = x 3 – 3x 2 +1 i) f(x) = 3x5 – 5x 3 
e) f(x) = 
2x
x

 j)f(x) = 
3x
3x

 
 
 
3. Integrais indefinidas e métodos de integração 
 Um sociólogo que conhece a taxa na qual apopulação está crescendo pode querer usar esta 
informação para prever a população futura; um físico que conhece a velocidade de um corpo em 
movimento pode querer calcular a posição futura do corpo; um economista que conhece a taxa de 
inflação pode desejar estimar os preços futuros. 
 O processo de obter uma função a partir de sua derivada é denominado antiderivação ou 
integração. 
Exemplos: 
(1) Qual a função cuja derivada é f(x) = 2 
Lembrando as regras temos que derivando a função P(x) = 2x temos P’(x)=2=f(x). 
29 
 
Observe que derivando P(x) = 2x + 1, também obtemos P’(x) = 2. O mesmo para P(x) = 2x-3, ou 
qualquer função do tipo P(x) = 2x+k, onde k é número fixo. Assim, temos que P(x) = 2x+ k, (k 
constante) é uma família de soluções para esta questão. 
 
Esta família de funções que levam a derivada f(x) = 2 é chamada de primitiva ou antiderivada de 
f(x), ou seja, P(x) = 2x+k é a antiderivada de f(x) = 2. 
 
 
(2) Qual a função cuja derivada é f(x) = 2x 
Lembrando as regras temos que derivando a função P(x) = x² obtemos P’(x)=2x= f(x). 
Mas, derivando P(x) = x² + 10, também obtemos P’(x) = 2x. 
O mesmo para P(x) = x²-13, ou qualquer função do tipo P(x) = x²+k, onde k é número fixo. 
Assim, temos que P(x) = x²+ k, (k constante) é a antiderivada de f(x) = 2x 
 
(3) Qual a função cuja derivada é f(x) = 3x² 
Lembrando as regras temos que derivando a função P(x) = x³ obtemos P’(x) =3x²= f(x). 
O mesmo para qualquer função do tipo P(x) = x³+k, onde k é número fixo. 
Assim, temos que P(x) = x³+ k, (k constante) é a antiderivada de f(x) = 3x². 
 
(4) Qual a função cuja derivada é f(x) = x² 
(5) Qual a função cuja derivada é f(x) = x³ 
 
3.1.Integrais imediatas 
 Seja f uma função definida em um intervalo I. Dizemos que uma função P, definida em I, é uma 
primitiva ou antiderivada de f quando P’(x) = f(x) para todo x em I. A antiderivada de f recebe o 
nome de integral indefinida de f. Denotamos a integral indefinida de f(x) por
 dxxf )(
, ou seja, 
 dxxf )(
 = P(x) +k, onde P’(x) = f(x), para x

I. 
O símbolo

é chamado de sinal de integral, e se assemelha a um “s” alongado. O s vem 
de soma. O símbolo dx que aparece após o integrando indica que a variável de integração é x. 
 
Exemplos: 
a) 
 xdx
= 
2
2x
+ k, pois (
2
2x
+ k)’ = 2x/2 +0 = x. 
b) 
 dx3
= 3x+k, pois (3x+k)’ = 3. 
c) 
 dxx
34
 = x4 +k, pois (x4+k )’ = 4x3. 
d) 
dxx n
=
1
1


n
x n
+k, pois (
1
1


n
x n
+k)’ = xn (se n  -1). 
 
Propriedades: 
1)
   dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
 
2) 
  dxxfkdxxfk )(.)(.
, k :constante 
 
Exemplos: 
1)




 x
x
x
x
dxx
2
2
1
11
2
)12(
211 x2 + x+ k 
2) 
kx
x
xx
xx
x
xx
dxxx 





 22
2
23
3
2
1112
3
)23(
2
3
231112
2
 
30 
 
3) 
x
xx
x
xx
dxxx 3
2
2
4
3
11
2
13
)32(
241113
3 






= 
4
4x
+ x2 + 3x+ k 
4) 
 dx
x 2
1
=
1
112
2
112


 



 x
xx
dxx
=
k
x

1
 
5) 
  dxx
x )
3
4(
5
=
k
x
x
xxxx
dxxx 








 4
2
421511
5
4
3
2
4
3
2
4
15
3
11
4
34
 
6) 
kxx
xx
dxxdxx 




32
32
3
1
2
1
2
1
3
2
.
3
2
2
3
1
2
1
 
7)
 dxx
3
=
kxx
xx
dxx 




3 43
43
4
1
3
1
3
1
4
3
.
4
3
3
4
1
3
1
 
8) 
k
x
xxx
x
xdxxxdx
xx


 



3
||ln23||ln2
1
3||ln232)
32
( 1
1
21
2
 
 
Obtemos então as seguintes regras: 
Regras de integração 
1)
  dxxn
1
1


n
xn
 (n  -1) 4) 
dxa x
=
a
a x
ln
+k 
2) 

 dxx 1
=
dx
x
1
=ln |x|+k 
5)
 xdxsen
= -cos x+k 
3) 
 dxe
x
=ex+k 6) 
 xdxcos
= sen x +k 
 
Você deve ter notado que não existisse uma regra específica para integração de produtos e 
quocientes. Apenas em alguns casos podemos reescrever a função de modo a eliminar o produto 
ou quociente. 
 
Exemplos: 
1) 
 


dxxxxdx
x
xx 22
2
34
753
753
= 
1
7
2
5
3
3 123


xxx
= x3 + 2,5x2-
x
7
+ k. 
 
2) 
dxxx
3
=
dxxdxxx   2
7
2
1
3.
=
92
92
9
9
2
9
2
2
9
xx
x

+k 
 
Mas, a maioria dos produtos e quocientes não pode ser eliminada. Nestes casos, teremos que usar 
um método para chegar no resultado da integração. Para trabalhar com os métodos de integração 
há a necessidade de fazer uso de bastante criatividade, percepção e muitos exercícios! 
 
3.2 Integração por Substituição (mudança de variável) 
 
31 
 
É a “versão integral” da regra da cadeia, ou seja, é a regra para calcular integrais do tipo 
 dxxgxgf )(')).((
. Obtemos a solução dessa integral, fazendo uma substituição ou mudança de 
variável. Assim, 
 dxxgxgf )(')).((
=
 duuf )(
onde u = g(x) e du = g’(x) dx. 
Exemplo: 
 
3)12( x
dx , 
Fazemos u = 2x +1 e du =2 dx, o que nos leva a dx = ½ du. Substituindo na integral: 
 
3)12( x
 dx = 
duu
2
13

= ½ 
 duu
3
 = ½ 
4
4u
+ k =
8
4u
+ k =
8
)12( 4x
+ k. 
Podemos verificar nossa resposta por derivação usando a regra da cadeia: 
[
8
)12( 4x
+ k] ’ =4. 
8
)12( 3x
.2 = (2x+1)3. 
 
LEMBRE-SE: regra da cadeia [f(g(x))]’ = f ’(g(x)).g’(x) 
 
Exemplos resolvidos 
a) 
k
xuu
duudu
x
uxdxxx 

  48
)53(
488
.
6
1
6
1
6
1
.)53.(
8288
7772
 
du
xx
du
dxx
dx
du
xu
6
1
6
653 2 
 
 
b) 
k
xuu
duudu
x
uxdxxx 

  27
)6(
279
.
3
1
3
1
3
1
)6(
399
8
2
82832
= 
du
xx
du
dxx
dx
du
xu
22
23
3
1
3
36 
 
 
c)
kxuu
u
u
duu
x
du
uxdxxxdxxx
u

 
3 423 43
43
4
3
4
3
1
3
1
3
1
23 2
)6(
8
3
8
3
8
3
3
8
3
4
.
2
1
2
1
2
.)6.(6.
 
du
xx
du
dxx
dx
du
xu
2
1
2
262 
 
 
d)  
k
x
uu
u
u
duu
x
du
uxdxxxdxxx
u





 
9
32
9
2
9
2
2
9
2
3
.
3
1
3
1
3
.)3.(3.
33
32
32
3
2
3
2
1
2
2
1
22
1
3232
 
 
du
xx
du
dxx
dx
du
xu
22
23
3
1
3
33




 
32 
 
 
e) 
k
xu
u
u
duuduudxxdx
x u












33
3
3
444
4
)53(9
5
9
5
9
5
3
.
3
5
3
5
3
1
.5)53.(5
)53(
5
 
3
353
du
dx
dx
du
xu 
 
 
f)
k
xuu
duuduudxx 

  40
)35(
4085
1
5
1
5
1
)35(
888
777
 
du
du
dx
dx
du
xu
5
1
5
535 
 
g)
k
xu
u
duudu
x
xudxxxdx
x
x








 525
5
6662
62 )52(5
1
5
1
54
1
4)52(4
)52(
4
 
du
xx
du
dxx
dx
du
xu
4
1
4
452 2 
 
h)
kxuu
u
duudxxdxx   
332
32
3
2
1
2
1
)2(
3
2
3
2
3
2
2
3
)2(2
 
du
du
dx
dx
du
xu 
1
12
 
 
i)
k
xxu
u
duudu
x
uxdxxxxdx
xx
x













424
4
5
552
52
)3(4
1
4
1
4
)32(
1
)32()3)(32(
)3(
)32(
 
du
xx
du
dxx
dx
du
xxu
)32(
1
)32(
)32(32




 
 
3.3.Integração por partes 
O nome integração por partes provém do fato de que, ao utilizar-se tal técnica, não se completa a 
integração. Integra-se apenas uma parte e transfere-se o problema original para outra integral, 
supostamente mais simples. 
Essa técnica vem da regra de derivação do produto, veja: 
[f(x).g(x)]’= f ’(x).g(x) + f(x).g’(x)  f (x).g’(x) = [f(x).g(x)]’- f ’(x).g(x) 
Integrando-se ambos os lados obtemos 
  dx )(x).g(x)' )]'-f([f(x).g(xdx (x)f(x).g'
 
 
  dx (x).g(x)' f- f(x).g(x) dx (x)f(x).g'
 
que é a regra de integração por partes. 
Fazendo u = f(x) e v = g(x) teremos du = f ’(x).dx e dv = g’(x).dx, e substituindo na equação acima, 
obtemos uma forma mais elegante de apresentação dessa regra: 
 dvu
= u.v - 
 duv
 
33 
 
O sucesso da técnica de integração por partes no cálculo de 
 dxxh )(
 consiste em expressar h(x) 
como produto de duas funções de tal maneira que se conheça a primitiva de uma delas, e a 
primitiva do produto dessa última pela derivada da outra. 
 
Exemplo 1) 
keex
dxeex
vduvudxex
xx
xx
dv
x
u




 
.
.
..
 
xx edxev
dxdu
dx
du
xu



1 
Exemplo 2) 
 
k
x
x
xx
x
x
dxx
x
x
x
dxxx
x
vduvudxxxdxxx
duvv
u
dvu





9
)ln(
33
.
3
1
)ln(.
3
3
1
3
.)ln(
33
.)ln(
..)ln(ln.
3333
2
333
22
 
 

3
1
)ln(
3
2 xdxxv
x
dx
dx
xdx
du
xu
 
Exemplo 3) 
k
eex
eex
dxe
ex
dx
ee
x
vduvudxex
xx
xx
x
x
xx
dv
x
u







 
497
.
7
.
7
1
7
.
7
1
7
.
77
.
..
77
77
7
7
77
7
 
7
1
7
7
x
x edxev
dxdu
dx
du
xu



 
Exemplo 4) 
k
xxx
xxx
dxx
xx
dx
xx
x
vduvudxxx
dvu

















100
)10sen(
10
)10cos(.
10
)10sen(
.
10
1
10
)10cos(.
)10cos(
10
1
10
)10cos(.
10
)10cos(
10
)10cos(
.
.)10sen(
 
10
)10cos(
)10(
1
x
dxxsenv
dxdu
dx
du
xu




 
 
 
3.4.Primitivas de funções racionais 
Esta técnica é empregada em um caso bem particular: 
 A função a ser integrada deve ser uma fração, 
34 
 
 O denominador da fração deve ser uma função do 2° grau que tenha 2 raízes (x1 e x2), 
 O numerador deve ser um polinômio de no máximo grau 1. 
Quando o polinômio do numerador tem grau maior do que 1 temos que extrair os inteiros, isto é, 
dividir o numerador pelo denominador. 
 
Assim, usaremos frações parciais, para calcular 
 
dx
bxax
xP
))((
)(
, com grau de P(x)  1. 
O método consiste em transformar a fração original em uma soma de duas outras frações mais 
simples, através da identidade: 
 
))(( bxax
nmx


=
)( ax
A

+
)( bx
B

 
Quando o denominador não estiver na forma fatorada (x-a).(x-b), devemos usar um dos meios da 
fatoração antes de começar a resolução. 
 
Fatoração da expressão ax2+bx+c: 
 Quando a expressão estiver completa usamos a.(x-x1)(x-x2). 
 Quando tivermos b = 0 usamos diferença de quadrados: a2-b2= (a-b)(a+b). 
 Quando tivermos c = 0 colocamos x em evidência. 
 
Divisão de polinômios 
Quando queremos dividir um polinômio f(x) por um g(x), buscamos um quociente q(x) e um resto 
r(x) (o grau de r tem que ser menor que o grau de g(x) ou r(x)=0) de modo que f(x) = g(x).q(x) + 
r(x). 
O método básico da divisão de polinômios (método das chaves) se parece bastante com a 
divisão algébrica usada normalmente por todos nós. Este método consiste em : 
1) dividir o termo de maior grau de f(x) pelo de maior grau de g(x): obtendo assim o primeiro 
termo do quociente q(x). 
2) Multiplicamos o quociente obtido, x, por g(x): O resultado é colocado com o sinal trocado, sob 
os termos semelhantes de f(x). 
3) Somamos os termos semelhantes, e os termos de f(x) que não tem semelhantes devem ser 
copiados. Obtemos um resto parcial. 
4) Repetimos os passos anteriores com o resto parcial obtido ate que o grau de r se torne 
menor que grau de g. Veja esse exemplo: 
 
Exemplos: 
1.) 
 

dx
xx
x
)2)(1(
3
=
 


dx
x
B
x
A
21
= A. ln|x-1| + B. ln| x-2| +k 
35 
 
Assim, só precisamos saber os valores de A e B para que a integral em questão esteja resolvida. 
Para isto vamos usar igualdade de polinômios: 
)2)(1(
)1()2(
21)2)(1(
3 **









xx
xBxA
x
B
x
A
xx
x
 **m.m.c. 
Os denominadores da primeira fração e da última fração são iguais, então os numeradores devem 
ser iguais: x+3 =A(x-2)+B(x-1) 
 
Para descobrir o valor de A devemos eliminar B, assim, atribuímos o valor 1 a x, fazendo com que 
x-1 seja 0: 
x+3 =A(x-2)+B(x-1) 
x=1 1+3 = A(1-2)+B(1-1)4 = A.(-1)+B.04= -A +04 = -AA = -4 
Fazemos o mesmo para encontrar o valor de B, eliminamos A atribuindo a x o valor 2. 
x+3 =A(x-2)+B(x-1) 
x=2 2+3 = A(2-2)+B(2-1)5 = A.0+B.1 5 = 0 + B 5 = BB = 5 
 
Logo, 
 

dx
xx
x
)2)(1(
3
 = -4 ln |x-1| + 5 ln|x-2| +k. 
2.)
 
dx
xx
x
)4)(3(
=
dx
x
B
x
A
 

 43
= A . ln|x-3| + B. ln|x-4|+k 
)4)(3(
)3()4(
43)4)(3(
*







 xx
xBxA
x
B
x
A
xx
x
 *m.m.c 
x = A(x-4) + B(x-3) 
x = 3  3 = A(3-4) + B(3-3)  3 = A.(-1) + B.0  3 = -A A = -3 
x = 4  4 = A.(4-4) + B(4-3)  4 =A.0 + B.1  4 = B B = 4 
Logo, 
 
dx
xx
x
)4)(3(
 = -3 ln|x-3| +4 ln |x-4| +k. 
 
3.) 
 
dx
x 4
1
2
 Neste exemplo, o denominador não está na forma fatorada. Então, este será nosso 
primeiro passo: fatorar a expressão x2-4. Como b = 0, podemos usar diferença de quadrados: x2-4 
= x2 – 22 = (x-2)(x+2). 
 
 
dx
x 4
1
2
=
 
dx
xx )2)(2(
1
=
 


dx
x
B
x
A
22
= A . ln|x-2|+B. ln|x+2| +k 
)2)(2(
)2()2(
22)2)(2(
1







 xx
xBxA
x
B
x
A
xx
 
 1 = A(x+2)+B(x-2) 
x = 21 = A(2+2)+B(2-2) 1 = A .4 +B.0  1 = 4A  4A =1 A = ¼ . 
x = -21 = A(-2+2)+B(-2-2) 1 = A.0 +B.(-4)  1 = -4B  4B =-1 B = -¼ . 
Logo,
 
dx
x 4
1
2
= ¼ . ln|x-2|- ¼ . ln|x+2| +k 
 
4.) 
 
dx
x
x
12
 =
 
dx
xx
x
)1)(1(
=
 


dx
x
B
x
A
11
=A . ln|x-1| +B ln|x+1|+k 
x = A(x+1)+B(x-1) 
x =1 1 = A(1+1)+B(1-1)1 = A .2 +B.0  1 = 2A  A = ½ 
x =-1 -1 = A(-1+1)+B(-1-1) -1 = A.0+B.(-2) -1 = -2B 2B = 1 B = ½ 
36 
 
Logo, 
 
dx
x
x
12
 = ½ ln|x-1| + ½ ln|x+1|+k 
 
5.) 
dx
xx  124
2
2
 
x2-4x-12 =0  = b2-4.a.c = (-4)2-4.1.(-12)= 16 + 48 = 64 
x = 
a
b
2

=
2
84
1.2
64)4( 


 x1 = 12/2 = 6 e x2 = -4/2 = -2 
x2 – 4x-12 = a (x-x1)(x-x2) =1.(x-6).(x-(-2)) = (x-6).(x+2) 
dx
xx  124
2
2
=
 
dx
xx )2)(6(
2
=
 


dx
x
B
x
A
26
=A ln|x-6|+Bln|x+2|+k 
2 = A(x+2)+B(x-6) 
x =6 2 = A(6+2)+B(6-6) 2 = A.8 +B.0 2 = 8A  A = 2/8 = ¼ 
x = -2 2 = A(-2+2)+B(-2-6) 2 = A.0+B(-8) 2 = -8B B = -2/8 = - ¼ 
Logo, 
dx
xx  124
2
2
= ¼ ln|x-6|- ¼ ln|x+2|+k 
 
Observe que nos próximos exemplos, o grau do polinômio no numerador émaior que 1, assim, o 
primeiro passo é proceder a divisão do numerador pelo denominador. 
6.) 
 

dx
xx
xx
82
1
2
3 
 1x3 + 0x2 + 1x + 1 |x2-2x –8 7 | 3 . 7/3 = 2+1/3 
-1x3 + 2x2 + 8x x + 2 -6 2 
 2x2 + 9x +1 1 
 -2x2 + 4x +16 
 13x +17 
 

dx
xx
xx
82
1
2
3 =
 

 dx
xx
x
x
82
1713
2
2
=
  

 dx
xx
x
dxx
82
1713
2
2
=
dx
xx
x
x
x
 


)2)(4(
1713
2
2
2 = 
x
x
2
2
2

+
 


dx
x
B
x
A
24
=
x
x
2
2
2

+Aln|x-4|+Bln|x-2|+k. 
13x+17= A(x+2)+B(x-4) 
x = 4 13.4+17 = A(4+2)+B(4-4) 69 = 6A A = 69/6 =11,5 
x = -2  13.(-2)+17 = A(-2+2)+B(-2-4) -9 = -6B  B = 9/6 =1,5 
Logo
 

dx
xx
xx
82
1
2
3 = 
x
x
2
2
2

+11,5 ln|x-4|+ 1,5ln|x-2|+k. 
 
7.) 
 

dx
xx
x
23
2
2
2 
x2 + 0x + 2 |x2-3x +2 
-x2 + 3x -2 1 
 3x 
 

dx
xx
x
23
2
2
2 =






    dxxx
x
xdx
xx
x
dxdx
xx
x
)1)(2(
3
23
3
1
23
3
1
22
 
x + 
 


dx
x
B
x
A
12
 = x + A ln|x-2|+ B.ln|x-1| +k 
 
37 
 
3x = A(x-1)+B(x-2) 
x =13.1 = A(1-1)+B(1-2) 3 = A.0+B.(-1) 3 = -B B = -3 
x=2 3.2 = A(2-1)+B(2-2)  6= A.1+B.0 6 = A  A = 6 
Logo, 
 

dx
xx
x
23
2
2
2 = x + 6 ln|x-2| - 3.ln|x-1| +k 
8.)
dx
xx
x
  1272
3 
1x3 + 0x2 + 0x + 0 |x2-7x+12 
-1x3 + 7x2 - 12x x + 7 
 7x2 -12x +0 
 -7x2 + 49x -84 
 37x-84 
 
dx
xx
x
  1272
3



  dxxx
x
x
127
8437
7
2 


  dxxx
x
x
x
)4)(3(
8437
7
2
2
 


 dx
x
B
x
A
x
x
43
7
2
2 =
kxBxAx
x
 )4ln()3ln(7
2
2 
 37x-84 = A(x-4)+B(x-3) 
x =337.3-84 = A(3-4)+B(3-3)27 = A.(-1)+B.0 27 =-A A = -27 
x =437.4-84 = A(4-4)+B(4-3)64= A.0+B.1 64 =B B=64 
Logo 
dx
xx
x
  1272
3 =
kxxx
x
 )4ln(64)3ln(277
2
2 
 
 
3.5.Integrais envolvendo funções trigonométricas 
Vamos usar identidades trigonométricas (página 12) para integrar certas combinações de funções 
trigonométricas, e assim, construir uma lista de integrais trigonométricas: 
 
Já sabemos calcular a integral de duas funções trigonométricas sen x e cos x: 
1.
 dxxsen
= cos x + k 
 
2.
 dxxcos
=- sen x +k. 
 
Vamos tentar calcular agora 
 dxtgx
. Temos que tg x = 
x
x
cos
sen
, assim: 
  dxx
x
dxtgx
cos
sen
=
 dxxx
sen
cos
1
=*
)(
1
du
u

= -
 duu
1
=- ln |u| + k = - ln |cos x| + k. 
 
3. 
 dxtgx
= ln |cos x| + k. 
 
 * Usamos a substituição u = cos x, e du = -sen x dx que resulta sen x dx = -du. 
 
Uma outra função trigonométrica é a secante: sec x =
xcos
1
. 
4. 
 dxxsec
= ln |sec x + tg x| +k 
 
38 
 
Relembrando algumas derivadas obtemos novas integrais: 
(tg x)’ = sec2x 5.
 dxx
2sec
= tg x +k 
(cotg x)’ = -cosec2x 6. 
 dxxec
2cos
= - cotg x +k 
 (sec x)’ = sec x. tg x 7.
 xsec
. tg x dx =sec x + k 
(cosec x)’ = -cosec x. cotg x 8.
 .cos xec
cotg x dx = -cosec x +k 
 
Exemplos: 
 
1.
 dxx
2sen
=

dvu
dxxx sen.sen
=*sen x.(-cos x)-
  dxxx cos).cos(
= 
=-sen x cos x +
 dxx.cos
2
= -sen x.cosx + 
  dxx)sen1(
2
= -sen x.cos x + x-
 dxx
2sen
 
Então 
 dxx
2sen
=-sen x.cos x + x -
 dxx
2sen
 * u = sen x du = cos x dx 
 
 dxx
2sen
+
 dxx
2sen
 = x – sen x.cos x dv = sen x dx  v = 
 dxxsen
= -cos x 
 2
 dxx
2sen
 = x – sen x.cos x
 dxx
2sen
 = ½ ( x – sen x.cos x) + k 
 
2. 

duu
dxxx cos.sen
=
 duu
=
2
2u
+ k = 
2
sen2 x
+ k 
 
 
4.Integral de Riemann 
 
Suponha que queremos calcular a área da região R, que está abaixo da curva y = f(x), acima do 
intervalo [a, b] no eixo Ox. R é limitada pelas retas x = a e x= b. Conforme figura 1. 
 
 y y = f(x) 
 
 
 R 
 
 a b x 
 
 
 
figura 
 
 
 
 
Suponha, por exemplo, que se queira aproximar a área da região R abaixo da parábola y = x2 e 
acima do intervalo [0, 2]. Cada coleção de retângulos inscritos dá uma subestimativa de A, e cada 
coleção de retângulos circunscritos dá uma superestimativa de A. Os “triângulos curvilíneos” 
constituem os erros nessas estimativas. Quanto mais retângulos, mais precisa é a aproximação. 
Assim, para aproximar com precisão a área de tal região R, precisa-se de uma maneira eficiente de 
calcular e somar as áreas de coleções de retângulos como os da figura 2. 
 
 
 
 
39 
 
 4 
 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 0,5 1 1,5 2 
 0 2 
Figura 2 
 
Considere a seguinte figura 3. A figura mostra a região abaixo do gráfico de função crescente f 
com valores positivos e acima do intervalo [a, b]. Para aproximar a área A de R, escolhe-se um 
inteiro fixo n e divide-se o intervalo [a, b] em n subintervalos [x0, x1], [x1, x2],..., [x n-1 ,x n] todos com 
o mesmo comprimento 
n
ab
x


. 
 
 f(xi) 
 
f(xi-1) 
 
 
a xi-1 xi b 
 
 
 figura 3 
 
A= lim 
n
 


 
n
i
i xxf
1
1 )(
= lim
n
 



n
i
i xxf
1
)(
 
 
Queremos definir a integral da função f de a até b. Seja f uma função definida num intervalo [a, b]. 

b
a
dttf )(
 lim
n
 



n
i
i xxf
1
)(
. Se 

b
a
dxxf )(
 existir então f é dita integrável. Os números a e b 
são chamados limites inferior e superior, respectivamente, da integral; f(x) é chamada integrando e 
dx indica que a variável x é a variável independente, ou seja, 
 
b
a
dxxf
b
a
dttf )()(
. Observe que 
definimos a integral de Riemann quando a<b, mas podemos convencionar, (se existirem) 
0)( 
a
a
dxxf
 e se a>b 
 
a
b
dxxf
b
a
dxxf )()(
. Mas como calcular a 
dxx
b
a
f )(
? Já vimos que 
  kxFdxxf )()(
, onde F’(x)=f(x), para x

I. 
 
 
 
 
 
 
40 
 
5.Teorema fundamental do cálculo e integral definida 
Se f for integrável em [a,b], e se F for uma primitiva de f em [a, b], então 
dxx
b
a
f )(
= F (b) - F (a) = F (x)
b
a|
. 
Exemplos: Calcule, 
 
1. 
2
3
2
1
2
4
2
1
2
2
2
22
2
1
22
1
| 
x
dxx
 
2. 
825)1.(23.222 |
3
1
3
1



 xdx
 
3.
90
3
27
3
0
3
3
3
33
3
0
33
0
2 | 
x
dxx
 
4. 
2
1
2
21
1
2
1
1
1
2
11
1
1
||
2
1
2
1
12
1
2
2
1
2













 x
x
dxxdx
x
 
 
Propriedades: Sejam f e g integráveis em [a, b] e k uma constante. Então: 
1. f + g é integrável em [a, b] e 
dxxgx
b
a
f ))()(( 
=
dxx
b
a
f )(
+
dxx
b
a
g )(
 
2. k.f é integrável em [a, b] e 
dxx
b
a
fk )(.
=k .
dxx
b
a
f )(
. 
3. Se f(x) 

 0 em [a, b], então 
dxx
b
a
f )(

 0. 
4. Se c

(a, b) e f é integrável em [a, c] e [c, b], então 
dxx
b
a
f )(
=
dxx
c
a
f )(
 + 
dxx
b
cf )(
. 
 
6. Aplicações da Integral: Cálculo de área e de volume. 
 
6.1.Cálculo de áreas 
 
 
 
41 
 
 
 
Para encontrar áreas de regiões entre os gráficos de duas funções integráveis em [a, b], consideremos as curvas y = f(x) e y 
= g(x) entre as retas verticais x = a e x = b, onde f(x) e g(x) são contínuas e f(x)  g(x) para todo x em [a, b], assim a área da 
região A será A = 
 
b
a
dxxfxg )]()([
. Observe que não depende da posição do gráfico em relação ao eixo x. 
 
 
 
42 
 
Exemplo : ( Área entre curvas) Escreva como soma ou diferença de integrais definidas a 
área da região definida pelo gráfico abaixo . 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule área do conjunto limitado pelas retas x = 0 e x = 1 e pelo gráfico de y = 3x2. 
Área A = 

b
a
dxxf )(
=
  1013 33103
1
0
2  xdxx
. 
6.2.Cálculo de volumes e comprimento de arco 
Seja f uma função contínua em [a, b], com f(x)  0 em 
[a,b]. Seja B o conjunto obtido pela rotação em torno do eixo 
x do conjunto A do plano limitado pelas retas x =a e x = b, 
pelo eixo x e pelo gráfico de y = f(x). Definimos o volume de B 
pela rotação em torno do eixo x, de um conjunto A por 
V = dxy
b
a

2 
43 
 
Exemplo: Consideremos o conjunto A, delimitado pelo eixo x, 
o gráfico de f e as retas x=a e x=b: 
 
Seja f uma função contínua em [a, b] com a>0, com f(x)  0 
em [a,b]. Seja B o conjunto obtido pela rotação em torno do 
eixo x do conjunto A={(x,y)|R2| a x  b e 0  y  f(x)}. 
Definimos o volume de B pela rotação em torno do eixo y, de 
um conjunto A por 
V = dxyx
b
a
 .2 
Exemplos: 
1) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno 
do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y) tais que 0  y  
x e 1  x  2. 
V =
dxy
b
a

2
= 
3
7
3
7
.
3
1
3
2
3
.
33
2
1
32
1
2  












x
dxx
 
2) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno 
do eixo y, do conjunto de todos os pares (x,y) tais que 0  y  
x e 1  x  2. 
44 
 
V= dxyx
b
a
 .2 = 
3
14
3
7
.2
3
1
3
2
.2
3
.22.2
33
2
1
32
1
2
2
1
 











 
x
dxxdxxx
 
 
Lista de Exercícios 
1. Calcule as seguintes integrais: 
a) 
 xdx
 b) 
 dx3
 c) 
  dxx )13(
 
d) 
  dxxx )1(
2
 e) 
 dxx
3
 f) 
  dxxx )32(
3
 
g) 
 dxx 7
1
 h) 
  dx
x
x )
1
(
3
 i) 
 dxx
3
 
j) 
 dxx
3 4
 l) 
dxx )33(
5 2 
 m) 
  dxxx
)
86
(
5
 
 
2. Reescreva a função, para eliminar o produto ou o quociente e calcule a integral: 
a) 
 dxxx .
5
 b) 
 dxxx .
2
 c) 


dx
x
x
5
23
 
d) 
dx
x
x


3
8
 e) 
dx
x 3
5
 f)
dxxx 24 .3
 
 
3. Faça como o modelo: 
Modelo: 
k
xuu
duu
x
du
uxdxxx
u


  22
)4(
2211
.
2
1
2
1
2
.)4(
1121111
1010102
 
x
du
dxx
dx
du
xu
2
24 2 
 
 
 
a) 
dxxx 102 )13.(3 
 b) 
  dxxx
832 )26(6
 
 
Modelo:  
k
x
uu
u
u
duu
x
du
uxdxxxdxxx
u



 
9
12
9
2
9
2
2
9
2
3
.
3
1
3
1
3
.)1.(1
33
32
32
3
2
3
2
1
2
2
1
22
1
3232
 
 
2
23
3
31
x
du
dxx
dx
du
xu 
 
c)
dxxx 
3 2 1.4
 d) 
dxxx 
32 23.4
 
45 
 
 
Modelo
k
xu
u
u
u
duu
du
udxxdx
x u















22
2
2
2
333
3
)21(
11
2
2
2
.2
2
4
2
.4)21.(4
)21(
4
 
2
221
du
dx
dx
du
xu 
 
e) 
dx
x 4
5
 g)
dx
x
x
  32 )122(
12
 i)
 

dx
xx
x
52 )4(
)2(
 
f)
 dxxsenx )(.
3 43
 h) 
  dxxxsen )cos(.)2)(2(
8
 j) 
  dxx
3 74
 
 
4. Calcule as seguintes integrais por partes: 
a.
 dxex
x4.
 f.
 dxxx )5cos(.
 k.
 xdxx ln.
3
 
b. 
 dx ex
x2
 g 
 dxex
x32
 l. 
 dxx 2x.sen
 
c.
 dx )ln(xx
 h.
  dx x cos 
22x
 m. 
dx e 
-x
 x8
 
d
 dx sen
2 xx
 i.
 dx x cos e
x
 n. 
 dx ln
4 xx
 
e.
dx 
23

xex
 j.
 dxx
2)(ln
 o.
 dxex
x56
 
 
5. Calcule as seguintes integrais por frações parciais: 
a) 
 

dx
xx
x
)7)(5(
42
 c) 
dx
xx  )3)(1(
5
 e) 
 
dx
xx
x
65
2
2
 
b)
dx
x
xx
 

25
93
2
2 d) 
 
dx
xx
x
672
3 f)
 

dx
xx
xxx
)2)(1(
3223
 
6. Calcule as integrais trigonométricas: 
a.
 dxx
2cos
 c. 
 dxx
3sen
 e.
 dxx
x
2cos
sen
 
b.
 dxx
x
3cos
sen
 d. 
 dxxx cos.sen
2
. f. 
 dxx
x
2cos
sen
 
 
7. Desenhe o conjunto A dado e calcule a área. 
a. A é o conjunto limitado pelas retas x=1, x=3, pelo eixo 0x e pelo gráfico de y = x3. 
b. A é o conjunto limitado pelas retas x=1, x=4, y=0 e pelo gráfico de y = 
x
. 
c. A é o conjunto de todos (x,y) tais que 0 
24 xy 
. 
d. A é o conjunto limitado pelas retas x=-1, x=-2, y=0 e pelo gráfico de y=x2+2x+5. 
e. A é o conjunto limitado pela reta y =x, pelo gráfico de y =x3, com -1
 x
1. 
f. A é a região compreendida entre os gráficos de y =x e y=x2, com 
20  x
. 
g. A é o conjunto de todos pontos tais que 
112  xyx
. 
h. A é o conjunto de todos pontos tais que 
112  xyx
. 
46 
 
 
8. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os 
pares (x,y) tais que : 
a)1

x

3 e 0

y

x b) ½

x

2 e 0

y

1/x2 
c) 1

x

4 e 0

y

x
 d) x2

 y 

x 
 
9) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os 
pares (x, y) tais que: 
a) 1

x

4 e 1

y

x
 b) 0

x

8 e 0

y
 3 x
 
c) 1

x

2 e 0

y

x2-1 d) 0

x


 e 0

y

sen x 
e) 1

x

e e 0

y

 ln x 
 
10) Seja f(x) = sen(x), x[0,]. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f, ou 
seja, pela rotação da região delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e x= . 
 
11) Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = 
x
 , para 0  x  2, sendo 
girada ao redor do eixo x. Calcule o volume.