Aula 05 Condução de calor

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
CAMPUS SERTÃO
EIXO DE TECNOLOGIA
Fenômenos de Transporte 2
Condução de Calor
Prof. Raniery Rodrigues
raniery_rodrigues@hotmail.com
Fenômenos de Transporte 2 2
Condução de Calor
A condução se refere ao transporte de energia em um meio
devido a um gradiente de temperatura e o mecanismo físico
é a atividade atômica ou molecular aleatória.
A transferência de calor por condução é governada pela lei
de Fourier.
A lei de Fourier é fenomenológica, isto é, ela foi
desenvolvida a partir de fenômenos observados ao invés de
ter sido derivada a partir de princípios fundamentais.
Fenômenos de Transporte 2 3
Lei de Fourier
✓ Condução de calor
x
T
Aqx



T e x constante e A varia  qx é diretamente proporcional
A e x constante e T varia  qx é diretamente proporcional
A e T constante e x varia  qx é inversamente proporcional
Isolamento
Fenômenos de Transporte 2 4
Ao mudarmos o material, observaríamos que a
proporcionalidade se mantém, porém para os mesmos T, A
e x o valor de qx é diferente, logo:
Onde k é a condutividade térmica (W/mK), uma importante
propriedade do material.
✓ Condução de calor
x
T
Akqx


=
Fenômenos de Transporte 2 5
Taxa de transferência de calor
Fluxo de calor (fluxo térmico)
✓ Condução de calor
xd
dT
Akqx −=
xd
dT
kqx −=
"
Fenômenos de Transporte 2 6
A lei de Fourier escrita anteriormente, implica que o fluxo
térmico é uma grandeza direcional. A direção de q”x é
normal à área da seção transversal A. De forma geral, a
direção do escoamento de calor será sempre normal a uma
superfície de temperatura constante, chamada de superfície
isotérmica.
✓ Condução de calor
Fenômenos de Transporte 2 7
Reconhecendo que o fluxo térmico é uma grandeza vetorial,
podemos escrever a equação da taxa da condução da
seguinte forma:
Onde é o operador “grad” tridimensional e T (x,y,z) é o
campo escalar de temperaturas.
✓ Condução de calor








+


+


−=−=
z
T
k
y
T
j
x
T
ikTkq"

Fenômenos de Transporte 2 8
Consequentemente, uma forma alternativa da lei de Fourier
é:
Onde q”n é o fluxo térmico em uma direção n, que é normal
a uma isoterma.
✓ Condução de calor
n
T
kqn


−="
Fenômenos de Transporte 2 9
Em coordenadas cartesianas, a expressão geral para o
vetor fluxo térmico:
Logo:
Cada uma dessas expressões relaciona o fluxo térmico
através de uma superfície ao gradiente de temperatura em
uma direção perpendicular à superfície.
✓ Condução de calor
""""
zyx kqjqiqq ++=
x
T
kqx


−="
y
T
kqy


−="
z
T
kqz


−="
Fenômenos de Transporte 2 10
A lei de Fourier é uma expressão que define uma
importante propriedade dos materiais, a condutividade
térmica.
Como expressão vetorial, indica que o fluxo térmico é
normal a uma isoterma e no sentido da diminuição das
temperaturas.
Podemos aplicar a lei de Fourier a toda matéria,
independente do estado físico.
✓ Condução de calor
Fenômenos de Transporte 2 11
Condutividade Térmica
Essa propriedade é conhecida como uma propriedade de
transporte, fornece uma indicação da taxa na qual a energia
é transferida pelo processo de difusão.
Ela depende da estrutura física da matéria, atômica ou
molecular, que está relacionada ao estado da matéria.
✓ Condução de calor
( )nT
q
k xx

−=
"
Fenômenos de Transporte 2 12
Condutividade Térmica
Da equação anterior, para um dado gradiente de
temperatura, o fluxo térmico por condução aumenta com o
aumento da condutividade térmica.
✓ Condução de calor
Fenômenos de Transporte 2 13
Condutividade Térmica
✓ Condução de calor
Fenômenos de Transporte 2 14
✓ Condução de calor
Propriedades relevantes
Para a transferência de calor será necessário o uso de
várias propriedades da matéria:
Propriedades termofísicas: Propriedades de transporte
que incluem o K (condutividade térmica) e (viscosidade
cinemática). E propriedades termodinâmicas que envolvem
densidade (ρ) e o calor específico (CP).
O produto ρCP (J/(m³.K)) é conhecido como capacidade
calorífica volumétrica.
Fenômenos de Transporte 2 15
✓ Condução de calor
Propriedades relevantes
Em análises da transferência de calor, a razão entre a
condutividade térmica e a capacidade calorífica volumétrica
é uma importante propriedade chamada difusividade térmica
(α), que possui unidades de m²/s:
α =
𝑘
ρ. 𝐶𝑝
Ela mede a capacidade do material de conduzir energia
térmica em relação a sua capacidade de armazená-la.
Fenômenos de Transporte 2 16
✓ EXEMPLO
A difusividade térmica α é a propriedade de transporte que
controla um processo de transferência de calor por
condução em regime transiente. Usando os valores
apropriados de k, ρ e Cp, disponíveis no apêndice A, calcule
α para os seguintes materiais nas temperaturas indicadas:
alumínio puro, 300 e 700K; carbeto de silício, 1000K;
parafina, 300K.
Fenômenos de Transporte 2 17
Equação da Difusão de Calor
Um dos objetivos da análise da condução de calor é
determinar o campo de temperaturas em um meio resultante
das condições em uma fronteira.
Desejamos conhecer a distribuição de temperaturas, que
representa como a temperatura varia com a posição no
meio.
Uma vez conhecida essa distribuição, o fluxo de calor por
condução em qualquer ponto de meio pode ser determinado
pela lei de Fourier.
✓ Condução de calor
Fenômenos de Transporte 2 18
Equação da Difusão de Calor
O procedimento para determinar a distribuição de
temperaturas segue da equação de conservação da energia.
O resultado é uma equação diferencial cuja solução, para
condições de contorno especificadas, fornece a distribuição
de temperaturas no meio.
✓ Condução de calor
acugsaientra EEEE
 =+−
Fenômenos de Transporte 2 19
Equação da Difusão de Calor
✓ Condução de calor
x
y
z
xq
yq
zq
dxxq +
dyyq +
dzzq +
dz
dx dy
T(x, y, z)
Fig.: Volume de controle diferencial.
Fenômenos de Transporte 2 20
Equação da Difusão de Calor
A taxas de transferência de calor por condução
perpendicular a cada uma das superfícies de controle são
indicadas pelos termos qx, qy e qz.
Entrada:
Saída:
✓ Condução de calor
zyx qqq ,,
dzzdyydxx qqq +++ ,,
Fenômenos de Transporte 2 21
Equação da Difusão de Calor
No interior do meio pode haver um termo de fonte de
energia associado à taxa de geração de energia térmica.
Onde é a taxa na qual a energia é gerada por unidade de
volume do meio (W/m3).
✓ Condução de calor
dzdydxqEg  =
q
Fenômenos de Transporte 2 22
Equação da Difusão de Calor
O termo referente ao acúmulo de energia, pode ser escrito:
Onde é a taxa de variação com o tempo da
energia sensível no meio, por unidade de volume.
✓ Condução de calor
dzdydx
t
T
cE pacu


= 
tTcp 
Fenômenos de Transporte 2 23
Equação da Difusão de Calor
De acordo com a conservação da energia:
Logo:
✓ Condução de calor
acugsaientra EEEE
 =+−
dzdydx
t
T
cdzdydxq
dz
z
q
qdy
y
q
qdx
x
q
qqqq
p
z
z
y
y
x
xzyx


=
+


−−


−−


−−++

Fenômenos de Transporte 2 24
Equação da Difusão de Calor
As taxas de transferência de calor por condução podem ser
determinadas pela lei de Fourier,
✓ Condução de calor
dzdydx
t
T
cdzdydxqdz
z
q
dy
y
q
dx
x
q
p
zyx


=+


−


−


− 
x
T
dzdykqx


−=
yT
dzdxkqy


−=
z
T
dydxkqz


−=
Fenômenos de Transporte 2 25
Equação da Difusão de Calor
Substituindo e dividindo todos os termos pelas dimensões
do volume de controle (dx.dy.dz), temos:
Que é a forma geral, em coordenadas cartesianas, da
equação da difusão de calor, também chamada equação do
calor.
✓ Condução de calor
t
T
cq
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
p


=+









+









+








 
Fenômenos de Transporte 2 26
Equação da Difusão de Calor
A equação do calor postula que em qualquer ponto do meio,
a taxa líquida de transferência de energia por condução para
o interior de um volume de controle unitário somada à taxa
volumétrica de geração de energia térmica deve ser igual à
taxa de variação da energia térmica acumulada no interior
deste volume.
✓ Condução de calor
Fenômenos de Transporte 2 27
Equação da Difusão de Calor
Podemos ainda reescrever a equação da difusão de calor
considerando:
- Condutividade térmica constante;
- Regime estacionário;
- Ausência de geração de calor;
- Condutividade térmica constante, regime estacionário,
sem geração de calor;
- Condutividade térmica constante, regime estacionário sem
geração de calor, unidimensional.
✓ Condução de calor
Fenômenos de Transporte 2 28
Equação da Difusão de Calor
- Para condutividade térmica constante:
Ou ainda:
Onde: é a difusividade térmica.
✓ Condução de calor
t
T
k
c
k
q
z
T
y
T
x
T p


=+


+


+

 
2
2
2
2
2
2
t
T
k
q
z
T
y
T
x
T


=+


+


+



1
2
2
2
2
2
2 
pck  =
Fenômenos de Transporte 2 29
Equação da Difusão de Calor
- No regime estacionário:
- Sem geração de calor:
✓ Condução de calor
0=+









+









+









q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x

t
T
c
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
p


=









+









+








 
Fenômenos de Transporte 2 30
Equação da Difusão de Calor
- Para condutividade térmica constante, regime estacionário,
sem geração de calor:
- Para condutividade térmica constante, regime estacionário,
sem geração de calor, transferência de calor unidimensional:
✓ Condução de calor
0
2
2
2
2
2
2
=


+


+


z
T
y
T
x
T
0
2
2
=


x
T
Fenômenos de Transporte 2 31
Equação da Difusão de Calor
Coordenadas Cilíndricas
✓ Condução de calor
Fenômenos de Transporte 2 32
Equação da Difusão de Calor
Coordenadas Cilíndricas
A forma geral do vetor fluxo térmico é:
Onde:
são os componentes do fluxo térmico nas direções radial,
circunferencial e axial, respectivamente.
✓ Condução de calor








+


+


−=−=
z
T
k
T
r
j
r
T
ikTkq 
1"
z
T
kq
T
r
k
q
r
T
kq zr


−=


−=


−= """ ,, 
Fenômenos de Transporte 2 33
Equação da Difusão de Calor
Coordenadas Cilíndricas
Aplicando um balanço de energia no volume de controle
diferencial, chegamos a forma geral da equação de calor:
✓ Condução de calor
t
T
cq
z
T
k
z
T
k
rr
T
rk
rr
p


=+









+









+








  2
11
Fenômenos de Transporte 2 34
Equação da Difusão de Calor
Coordenadas Esféricas
✓ Condução de calor
Fenômenos de Transporte 2 35
Equação da Difusão de Calor
Coordenadas Esféricas
A forma geral do vetor fluxo térmico e da lei de Fourier é:
Onde:
são os componentes do fluxo térmico nas direções radial,
polar e azimutal, respectivamente.
✓ Condução de calor








+


+


−=−= 
T
senr
k
T
r
j
r
T
ikTkq
11"
  

−=


−=


−=
T
senr
k
q
T
r
k
q
r
T
kqr
""" ,,
Fenômenos de Transporte 2 36
Equação da Difusão de Calor
Coordenadas Esféricas
Aplicando um balanço de energia no volume de controle
diferencial, chegamos a forma geral da equação de calor:
✓ Condução de calor
t
T
cq
T
senk
senr
T
k
senrr
T
rk
rr
p


=+









+









+








  22222 111
Fenômenos de Transporte 2 37
Equações da Difusão de Calor
Coordenadas Cartesianas
Coordenadas Cilíndrica
Coordenadas Esféricas
✓ Condução de calor
t
T
cq
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
p


=+









+









+








 
t
T
cq
T
senk
senr
T
k
senrr
T
rk
rr
p


=+









+









+








  22222 111
t
T
cq
z
T
k
z
T
k
rr
T
rk
rr
p


=+









+









+








  2
11
Fenômenos de Transporte 2 38
Bibliografias Consultadas:
Condução de Calor
BIRD, B., STEWART, W. E. e LIGHTFOOT, E. N., Fenômenos de Transporte, 2ª ed. Rio
de Janeiro: LTC, 2004.
FILHO, W. B., Fenômenos de Transporte para Engenharia, 2ª Edição, Rio de Janeiro:
LTC, 2006.
CANEDO, E. L. Fenômenos de Transporte, 1ª Edição. Editora LTC, 2010.
INCROPERA, F. P. & DeWITT, D. P., Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 6ª Ed.,
Wiley, 2007.
KREITH, F. e BOHN, M. S., Princípios de Transferência de Calor, Editora Cengage
Learning, 1ª Ed, 2003.
LIVI, C. P., Fundamentos de Fenômenos de Transporte: Um Texto para Cursos
Básicos, 2ª Edição, Rio de Janeiro: LTC, 2012.
SISSOM L. E. e PITTS D. R., Fenômenos de Transporte, Ed. Guanabara Dois S.A.,
1979.