Cálculo Lista 2

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L2
EDUARDO TELES
CA´LCULO DIFERENC. E INTEGRAL I
CURSO DE LICENCIATURA EM F I´SICA
Data: 26/Fev/2013
Nome leg´ıvel:
Assinatura: Matr´ıcula:
E-mail leg´ıvel:
❆ ❆ ❆ INSTRUC¸O˜ES ❆ ❆ ❆
! Data de entrega das resoluc¸o˜es: 12/Mar/2013;
! Entregar as resoluc¸o˜es numeradas em ordem crescente;
! Esta lista pode ser resolvida a la´pis ou a caneta (azul ou preta);
! Questo˜es com rasuras na˜o sera˜o consideradas;
! E´ permitido usar calculadora;
! Todas as respostas devem ser justificadas.
� Derivadas �
[ 01 ] Se uma pedra for atirada verticalmente para cima sobre a superf´ıcie da Lua, com uma velocidade
de 10m/s, sua altura (em metros) apo´s t segundos sera´ h = 10t− 0, 83t2.
(a) Qual a velocidade da pedra apo´s 3 s?
(b) Qual a velocidade da pedra quando ela atingir 25m?
[ 02 ] (a) Encontre a taxa de variac¸a˜o me´dia da a´rea de um c´ırculo em relac¸a˜o a seu raio r quando r
varia de
(i) 2 a 3 (ii) 2 a 2,5 (iii) 2 a 2,1
(b) Encontre a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea quando r = 2.
(c) Mostre que a taxa de variac¸a˜o da a´rea de um c´ırculo em relac¸a˜o a seu raio (para qualquer r) e´
igual ao comprimento da circunfereˆncia do c´ırculo. Tente explicar geometricamente por que isso
e´ verdadeiro, desenhando um c´ırculo cujo raio foi aumentado em ∆r. Como voceˆ pode aproximar
a variac¸a˜o resultante ∆A se ∆r for pequeno?
Pa´g.: 1 de 2
[ 03 ] O nu´mero de ce´lulas de levedura em uma cultura de laborato´rio aumenta rapidamente no in´ıcio,
mas eventualmente estabiliza. A populac¸a˜o e´ modelada pela func¸a˜o
n = f(t) =
a
1 + be−0,7t
em que t e´ medido em horas. No instante t = 0 a populac¸a˜o e´ 20 ce´lulas e esta´ crescendo a uma
taxa de 12 ce´lulas/hora. Encontre os valores de a e b. De acordo com esse modelo, o que ocorre
com a populac¸a˜o de levedura depois de muito tempo?
[ 04 ] A frequeˆncia da vibrac¸a˜o de uma corda de violino e´ dada por
f =
1
2L
√
T
ρ
onde L e´ o comprimento da corda; T , sua tensa˜o; ρ, sua densidade linear.
(a) Encontre a taxa de variac¸a˜o da frequeˆncia em relac¸a˜o:
(i) ao comprimento (quando T e ρ sa˜o constantes);
(ii) a` tensa˜o (quando L e ρ sa˜o constantes);
(iii) a` densidade linear (quando L e T sa˜o constantes).
(b) A intensidade de uma nota (qua˜o alta ou baixa soa a nota) e´ determinada pela frequeˆncia f
(quanto maior a frequeˆncia, maior a intensidade). Use os sinais das derivadas da parte (a) para
determinar o que acontece com a intensidade de uma nota:
(i) quando o comprimento efetivo de uma corda e´ decrescido colocando-se o dedo sobre ela,
de forma que uma porc¸a˜o menor da corda vibre;
(ii) quando a tensa˜o e´ aumentada girando-se a cravelha (pino de afinac¸a˜o);
(iii) quando a densidade linear e´ aumentada, mudando-se a corda.
“Os matema´ticos comparam os mais diversos fenoˆmenos e
descobrem as analogias secretas que os unem.”
Joseph Fourier
Sucesso!!!
Pa´g.: 2 de 2