Cálculo 1 P2

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P2EDUARDO TELESCA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
CURSO DE LICENCIATURA EM F I´SICA
Data: 04/Fevereiro/2013
Nome leg´ıvel:
Assinatura:
Questa˜o Valor Nota Revisa˜o
01 2.0
02 1.0
03 2.0
04 3.0
05 2.0
Extra 1.5
Total∗ 11.5
❆ ❆ ❆ INSTRUC¸O˜ES ❆ ❆ ❆
! Esta avaliac¸a˜o tem durac¸a˜o ma´xima de 100 minutos. Hora´rio final: 22:40h;
! Por favor, desligue o celular;
! A prova deve ser resolvida individualmente;
! A prova pode ser resolvida a la´pis ou a caneta (azul ou preta);
! Questo˜es com rasuras na˜o sera˜o consideradas;
! Na˜o e´ permitido usar nenhum tipo de calculadora ou recurso eletroˆnico;
! Voceˆ NA˜O tem direito de consultar anotac¸o˜es;
! Sua primeira nota e´ calculada da seguinte forma: N2 =
L2 + 2P2
3
.
∗Notas acima de 10 sera˜o rebaixadas para 10.
Pa´g.: 1 de 4
❆ ❆ ❆ QUESTO˜ES ❆ ❆ ❆
[ 01 ] Encontre equac¸o˜es para ambas as retas que sa˜o tangentes a` curva y = 1+ x3 e que sa˜o paralelas
a` reta 12x− y = 1.
[ 02 ] Calcule
lim
x→1
x2000 − 1
x− 1 .
[ 03 ] A equac¸a˜o y′′+ y′− 2y = x2 e´ uma equac¸a˜o diferencial, pois envolve uma func¸a˜o desconhecida y
e suas derivadas y′ e y′′. Encontre constantes A, B e C tais que a func¸a˜o y = Ax2 + Bx + C
satisfac¸a a equac¸a˜o.
[ 04 ] Determine:
(a)
dV
dw
(2) onde V (w) = (2w3 + 3)(w4 − 2w).
(b)
d2H
dr2
(0) onde H(r) = πe
(
r−1
r
2+1
)
.
(c) q′(π) onde q(z) = cos(z) + sen(−pi
2
cos(z)).
[ 05 ] Use a derivac¸a˜o impl´ıcita para encontrar uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva
x
2
3 + y
2
3 = 4
no ponto (−3
√
3, 1).
−10 −5 0 5 10
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
·
x
y
(−3
√
3, 1)
x
2
3 + y
2
3 = 4
y = y0 + y
′(x0)(x− x0)
Figura 1: Astro´ide
Pa´g.: 3 de 4
[ 06 ] [Extra] Um caminho de aproximac¸a˜o para uma aeronave pousando e´ mostrado na Figura 2 e
ele satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
(I) A altitude de cruzeiro e´ h quando a descida comec¸a a uma distaˆncia horizontal ℓ do ponto
de contato na origem.
(II) O piloto deve manter uma velocidade horizontal constante v em toda a descida.
(III) O valor absoluto da acelerac¸a˜o vertical na˜o deve exceder uma constante k (que e´ muito
menor que a acelerac¸a˜o da gravidade).
x
y
ℓ
h
0
y = P (x)
Figura 2: Caminho de aproximac¸a˜o
(a) Encontre um polinoˆmio cu´bico P (x) = ax3+bx2+cx+d que satisfaz a condic¸a˜o (I) impondo
condic¸o˜es adequadas a P (x) e P ′(x) no in´ıcio da descida e no ponto de contato.
(b) Use as condic¸o˜es (II) e (III) para mostrar que
6hv2
ℓ2
≤ k.
(c) Suponha que uma companhia ae´rea decida na˜o permitir que a acelerac¸a˜o vertical do avia˜o
exceda k = 1385 km/h2. Se a altitude de cruzeiro do avia˜o for 11000m e a velocidade for de
480 km/h, a que distaˆncia do aeroporto o piloto deveria comec¸ar a descer?
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“A tradic¸a˜o e´ a personalidade dos imbecis.”
Albert Einstein
Boa Prova!!!
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Pa´g.: 4 de 4