Cálculo 1 P3

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P3EDUARDO TELESCA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
CURSO DE LICENCIATURA EM F I´SICA
Data: 12/Mar/2013
Nome leg´ıvel:
Assinatura: Matr´ıcula:
E-mail leg´ıvel:
Questa˜o Valor Nota Revisa˜o
01 2.0
02 2.0
03 2.0
04 2.0
05 2.0
Extra 1.5
Total∗ 11.5
❆ ❆ ❆ INSTRUC¸O˜ES ❆ ❆ ❆
! O resultado sera´ enviado por e-mail na quinta-feira, 14/Mar/2012, a partir das 18:30h.
Tambe´m estara´ dispon´ıvel na unidade de ensino no mesmo hora´rio;
! Data da prova final: pro´xima terc¸a-feira, 19/Mar/2013 das 20:10h a`s 22:40h;
! Esta prova tem durac¸a˜o ma´xima de 150 minutos;
! Por favor, desligue o celular;
! A prova deve ser resolvida individualmente;
! A prova pode ser resolvida a la´pis ou a caneta (azul ou preta);
! Questo˜es com rasuras na˜o sera˜o consideradas;
! Na˜o e´ permitido usar nenhum tipo de calculadora ou recurso eletroˆnico;
! Voceˆ NA˜O tem direito de consultar anotac¸o˜es;
! Todas as respostas devem ser justificadas;
! Sua nota semestral e´ calculada da seguinte forma:
NS =
L1 + L2 + 2(P1 + P2 + P3)
8
.
Se NS < 3, reprovac¸a˜o; 3 ≤ NS < 7, prova final; NS ≥ 7, aprovac¸a˜o.
∗Notas acima de 10 sera˜o rebaixadas para 10.
Pa´g.: 1 de 5
❆ ❆ ❆ QUESTO˜ES ❆ ❆ ❆
[ 01 ] O nu´mero de ce´lulas de levedura em uma cultura de laborato´rio aumenta rapidamente no in´ıcio,
mas eventualmente estabiliza. A populac¸a˜o e´ modelada pela func¸a˜o
n = f(t) =
a
1 + be−0,7t
em que t e´ medido em horas. No instante t = 0 a populac¸a˜o e´ 20 ce´lulas e esta´ crescendo a uma
taxa de 12 ce´lulas/hora. Encontre os valores de a e b. De acordo com esse modelo, o que ocorre
com a populac¸a˜o de levedura depois de muito tempo?
[ 02 ] Calcule o limite
lim
x→0
arc sen(2x)
x
.
[ 03 ] Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de
f(x) =
3x√
4x2 + 1
no intervalo [−1, 1]. Por que esses valores certamente existem?
[ 04 ] Dada a func¸a˜o f(x) = x3 − 3x+ 2.
(a) Determine o domı´nio de f .
(b) Determine os pontos de intersecc¸a˜o do gra´fico de f com os eixos coordenados.
(c) Obtenha as ass´ıntotas horizontais e verticais, caso existam.
(d) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento.
(e) Determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo e seus respectivos valores funcionais.
(f) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo. Encontre os pontos de
inflexa˜o.
(g) Esboce o gra´fico de f
[ 05 ] Uma maneira de provar que f(x) ≤ g(x) para todo x em um intervalo dado e´ mostrar que ali
f(x) − g(x) ≤ 0, e uma forma de mostrar essa u´ltima desigualdade e´ provando que o ma´ximo
absoluto de f(x)− g(x) no intervalo dado e´ na˜o-positivo. Use essa ideia para provar que
ln(x) ≤ x ∀x ∈ (0,+∞).
Pa´g.: 3 de 5
❆ ❆ ❆ RESPONDA APENAS UMA QUESTA˜O EXTRA ❆ ❆ ❆
[ 06 ] [Extra] Dada a func¸a˜o f(x) =
x− 1
x− 3.
(a) Determine o domı´nio de f .
(b) Determine os pontos de intersecc¸a˜o do gra´fico de f com os eixos coordenados.
(c) Obtenha as ass´ıntotas horizontais e verticais, caso existam.
(d) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento.
(e) Determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo e seus respectivos valores funcionais.
(f) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo. Encontre os pontos de
inflexa˜o.
(g) Esboce o gra´fico de f
[ 07 ] [Extra] A figura a seguir mostra a trajeto´ria de uma mosca cujas equac¸o˜es do movimento sa˜o
x =
cos(t)
2 + sen(t)
, y = 3 + sen(2t)− 2 sen2(t) 0 ≤ t ≤ 2pi.
(a) Quais sa˜o os pontos mais alto e mais baixo do voo?
(b) A que distaˆncias ma´ximas a` esquerda e a` direita da origem ela voa?
[ 08 ] [Extra] A Lei de Gravitac¸a˜o de Newton diz que a intensidade F da forc¸a exercida por um corpo
de massa m sobre um outro corpo de massa M e´
F =
GmM
r2
em que G e´ a constante gravitacional e r e´ a distaˆncia entre os corpos.
(a) Se os corpos esta˜o se movendo, encontre dF
dr
e explique seu significado. O que o sinal de
menos indica?
(b) Suponha que seja conhecido que a Terra atrai um objeto com uma forc¸a que decresce a uma
taxa de 2N/km quando r = 20 000 km. Qua˜o ra´pido essa forc¸a varia quando r = 10 000km?
Pa´g.: 4 de 5
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APEˆNDICE
(a) Se u = u(x) enta˜o
d
dx
[arc sen(u)] =
1√
1− u2 ·
du
dx
(b)
(
f
g
)
′
(x) =
f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)
[g(x)]2
(c) (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)
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“Se eu tivesse oito horas para derrubar uma a´rvore,
passaria seis afiando meu machado.”
Abraham Lincoln
Boa Prova!!!
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Pa´g.: 5 de 5