Produtos Infinitos

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Produto´rios infinitos
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Produto´rios infinitos 3
1.1 Notac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Produto infinito de sen(x), sen(pix) = pix
∞∏
v=1
(1− x
2
v2
). . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Se´ries de Fourier e produtos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 (pix)cossec(piz) =
∞∏
v=1
v2
v2 − x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Seno como produto infinito por meio de varia´veis complexas. . . . 10
1.2.4 cotg(x)− 1
x
=
∞∑
k=1
2x
x2 − pi2k2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.5 Produto infinito para senh(x),
senh(pix)
pix
=
∞∏
v=1
(1 +
x2
v2
). . . . . . . 12
1.2.6 Produto de Wallis
pi
2
=
∞∏
v=1
4v2
(4v2 − 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.7 ln(
pi
2
) =
∞∑
t=1
ζ(2t)
t4t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.8
√
pi = lim
m→∞
22m(m!)2
(2m)!.
√
m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.9 Produto infinito de cos(x) , cos(pix) =
∞∏
v=1
(1− 4x
2
(2v − 1)2 ). . . . . . . 17
1.2.10 Produto infinito de cosh(x) , cosh(pix) =
∞∏
v=1
(1 +
4x2
(2v − 1)2 ).. . . . . 18
2
Cap´ıtulo 1
Produto´rios infinitos
Esse texto ainda na˜o se encontra na sua versa˜o final, sendo, por enquanto, cons-
titu´ıdo apenas de anotac¸o˜es informais. Sugesto˜es para melhoria do texto, correc¸o˜es da
parte matema´tica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email
rodrigo.uff.math@gmail.com.
1.1 Notac¸o˜es
• Usaremos a notac¸a˜o Qf(x) para simbolizar f(x+ 1)
f(x)
, isto e´, Q e´ o operador que
toma o quociente de termos consecutivos .
• Denotamos Em para o operador que faz Emf(x) = f(x+m) .
• A notac¸a˜o D sera´ usada para simbolizar a derivada.
• Definimos a poteˆncia fatorial x(n,h) como o produto´rio
x(n,h) =
n−1∏
k=0
(x− kh)
onde x, h ∈ C e n ∈ Z.
• A func¸a˜o gamma e´ definida pela integral
Γ(x) =
∫ ∞
0
tx−1e−tdt.
3
CAPI´TULO 1. PRODUTO´RIOS INFINITOS 4
1.2 Produto infinito de sen(x), sen(pix) = pix
∞∏
v=1
(1− x
2
v2
).
Nosso objetivo aqui e´ demonstrar o produto infinito de sen(x)
sen(pix) = pix
∞∏
v=1
(1− x
2
v2
).
Primeiro vamos fazer uma deduc¸a˜o na˜o rigorosa dessa identidade, sabemos que um
polinoˆmio de grau n em x que possui ra´ızes x1 · · · xn na˜o nulas pode ser fatorado como
P (x) = p(0)
n∏
k=1
(1− x
xk
)mk
supondo que o mesmo possa ser feito com outros tipos de func¸o˜es, consideramos sen(pix)
que possui raiz em todo valor inteiro k, tentamos escrever
sen(pix) = c.(pix)
∞∏
k=1
(1− x
k
)
∞∏
k=1
(1 +
x
k
) = c.(pix)
∞∏
k=1
(1− x
2
k2
)
onde c e´ uma constante que queremos determinar, sabendo do limite fundamental
lim
sen(x)
x
= 1
sen(pix)
pix
= c
∞∏
k=1
(1− x
2
k2
)
tomando o limite em ambos lados e supondo que podemos trocar ordem com o produto
infinito segue
lim
x→0
sen(pix)
pix
= 1 = c lim
x→0
∞∏
k=1
(1− x
2
k2
) = c
∞∏
k=1
lim
x→0
(1− x
2
k2
) = c
logo ir´ıamos concluir que c = 1 e ter´ıamos a representac¸a˜o de seno como produto infinito
sen(pix) = pix
∞∏
v=1
(1− x
2
v2
).
Agora iremos tentar dar demonstrac¸o˜es rigorosas dessa propriedade.
Usaremos as seguintes propriedades trigonome´tricas
Propriedade 1. 1. 2cos(ux) cos(vx) = cos((u+ v)x) + cos((u− v)x).
CAPI´TULO 1. PRODUTO´RIOS INFINITOS 5
2. Vale cos(vpi) = (−1)v, para v ∈ N. natural
Demonstrac¸a˜o.
1. Valem as identidades
cos((u+ v)x) = cos(ux).cos(vx)− sen(ux).sen(vx)
cos((u−v)x) = cos(ux).cos(−vx)−sen(ux).sen(−vx) = cos(ux).cos(vx)+sen(ux).sen(vx),
somando ambas temos cos((u+ v)x) + cos((u− v)x) = 2cos(ux).cos(vx).
2. Por induc¸a˜o . Para v = 0 temos cos(0pi) = cos(0) = 1 = (−1)0 = 1, tomando por
hipo´tese que cos(vpi) = (−1)v vamos demonstrar para v + 1.
cos(vpi+pi) = cos(vpi)cos(pi)−sen(vpi).sen(pi) = cos(vpi)cos(pi) = (−1)v(−1) = (−1)v+1.
Agora iremos usar a se´rie de fourier para deduzir a expressa˜o de seno como produto
infinito .
1.2.1 Se´ries de Fourier e produtos infinitos
Uma se´rie de Fourier e´ uma se´rie da forma
f(x) =
a0
2
+
∞∑
v=1
avcos(
vpix
l
) + bvsen(
vpix
l
)
cujos coeficientes sa˜o dados por
av =
1
l
∫ l
−l
f(x)cos(
vpix
l
)dx
e
bv =
1
l
∫ l
−l
f(x)sen(
vpix
l
)dx
essas fo´rmulas dependem somente dos valores de f(x) no intervalo −l ≤ x ≤ l e a func¸a˜o
e´ perio´dica, de per´ıodo 2l.
CAPI´TULO 1. PRODUTO´RIOS INFINITOS 6
Propriedade 2. Vale a identidade
picotg(xpi)− 1
x
= −2x
∞∑
v=1
1
v2 − x2 .
Usaremos essa identidade para encontrar a representac¸a˜o de seno como produto infinito .
Demonstrac¸a˜o.
Vamos tomar a func¸a˜o de lei cos(ux) com u na˜o inteiro fixado, em −pi < x < pi, assim
l = pi e a se´rie de Fourier sera´ do tipo
f(x) =
a0
2
+
∞∑
v=1
avcos(
vpix
pi
) + bvsen(
vpix
pi
) =
∞∑
v=1
avcos(vx) + bvsen(vx)
e os coeficientes sera˜o dados por
av =
1
pi
∫ pi
−pi
f(x)cos(
vpix
pi
)dx =
1
pi
∫ pi
−pi
f(x)cos(vx) dx
e
bv =
1
pi
∫ pi
−pi
f(x)sen(
vpix
pi
)dx =
1
pi
∫ pi
−pi
f(x)sen(vx) dx.
Substituindo f(x) = cos(ux) temos bv = 0 (pois f(x)sen(x) e´ uma func¸a˜o ı´mpar integrada
em um intervalo sime´trico) , calculamos enta˜o av,
av =
1
pi
∫ pi
−pi
cos(ux) cos(vx) dx =
como a func¸a˜o e´ par, tem-se
=
2
pi
∫ pi
0
cos(ux) cos(vx) dx =
2cos(ux) cos(vx) podemos escrever como cos((u + v)x) + cos((u − v)x), substituindo na
integral segue
=
1
pi
∫ pi
0
cos((u+v)x)+cos((u−v)x) dx = 1
pi
∫ pi
0
cos((u+v)x) dx+
1
pi
∫ pi
0
cos((u−v)x) dx =
=
1
pi
[
sen((u+ v)x)
u+ v
∣∣∣∣pi
0
+
sen((u− v)x)
u− v
∣∣∣∣pi
0
] =
1
pi
[
sen((u+ v)pi)
u+ v
+
sen((u− v)pi)
u− v ]
vamos agora simplificar essa u´ltima expressa˜o. Expandindo
sen((u+ v)pi) = sen(upi + vpi) = sen(upi) cos(vpi)︸ ︷︷ ︸
(−1)v
+ sen(vpi)︸ ︷︷ ︸
=0
cos(upi) = (−1)vsen(upi)
CAPI´TULO 1. PRODUTO´RIOS INFINITOS 7
sen((u− v)pi) = sen(upi − vpi) = sen(upi) cos(−vpi)︸ ︷︷ ︸
(−1)v
+ sen(−vpi)︸ ︷︷ ︸
=0
cos(upi) = (−1)vsen(upi)
pois sen(vpi) = sen(−vpi) = 0 e cos(−vpi) = cos(vpi) = (−1)v, por cosseno ser func¸a˜o
par.
Voltando a expressa˜o da integral temos
av =
1
pi
[
(−1)vsen(upi)
u+ v
+
(−1)vsen(upi)
u− v ] =
(−1)vsen(upi)
pi
[
u− v + u+ v
(u+ v)(u− v) ] =
(−1)vsen(upi)
pi
[
2u
u2 − v2 ]
logo temos
av =
(−1)vsen(upi)
pi
[
2u
u2 − v2 ].
Tomando v = 0 tem-se
a0 =
(−1)0sen(upi)
pi
[
2u
u2 − 02 ] =
2usen(upi)
u2pi
logo
cos(ux) =
2usen(upi)
2u2pi
+
∞∑
v=1
(−1)vsen(upi)
pi
[
2u
u2 − v2 cos(vx)]
colocando o termo
2u.sen(upi)
pi
em evideˆncia temos
cos(ux) =
2u.sen(upi)
pi
[
1
2u2
+
∞∑
v=1
(−1)vcos(vx)
u2 − v2 ]
fazendo agora x = pi
cos(upi) =
2u.sen(upi)
pi
[
1
2u2
+
∞∑
v=1
(−1)vcos(vpi)
u2 − v2 ]
mudando a varia´vel u por x por questa˜o de familiaridade
cos(xpi) =
2x.sen(xpi)
pi
[
1
2x2
+
∞∑
v=1
(−1)vcos(vpi)
x2 − v2 ]
lembrando que (−1)v = cos(vpi) ficamos com um termo (−1)v(−1)v = (−1)2v = 1, logo o
termo (−1)vcos(vpi) = 1, na˜o precisa ser escrito na se´rie
cos(xpi) =
2x.sen(xpi)
pi
[
1
2x2
+
∞∑
v=1
1
x2 − v2 ]
CAPI´TULO 1. PRODUTO´RIOS INFINITOS 8
dividindo agora por sen(xpi) de ambos lados e lembrando que cotg(xpi) =
cos(xpi)
sen(xpi)
cotg(xpi) =
2x
pi
[
1
2x2
+
∞∑
v=11
x2 − v2 ] = [
1
pix
+
2x
pi
∞∑
v=1
1
x2 − v2 ]
implicando
cotgx(pi)− 1
pix
=
2x
pi
∞∑
v=1
1
x2 − v2
multiplicando ambos termos por pi e alterando x2 − v2 para −[v2 − x2] temos
picotg(xpi)− 1
x
= −2x
∞∑
v=1
1
v2 − x2 .
Propriedade 3 (Seno como produto infinito). Vale a identidade
sen(pix) = pix
∞∏
v=1
(1− x
2
v2
).
Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar que a derivada de ln
(
sen(pix)
pix
)
e´ picot(xpi)− 1
x
,
Dln
(
sen(pix)
pix
)
=
pi2xcos(pix)− pisen(pix)
pi2x2
pix
sen(pix)
=
(
cos(pix)
x
− sen(pix)
pix2
)
pix
sen(pix)
=
= picotg(pix)− 1
x
pelas regras de derivada do quociente e de ln(f(x)). Integrando agora a expressa˜o
picotg(pit)− 1
t
= −2t
∞∑
v=1
1
v2 − t2 com t no intervalo (0, x] tem-se
∫ x
0
picotg(pit)− 1
t
dt = ln(
sen(pit)
pit
)
∣∣∣∣x
0
= ln(
sen(pix)
pix
)− lim
x→0
ln(
sen(pit)
pit
) = ln(
sen(pix)
pix
) =
=
∫ x
0
∞∑
v=1
−2t
v2 − t2dt.
(Emlim
x→0
ln
senpit
pit
aparece o limite fundamental cujo resultado e´ 1).Temos enta˜o
ln(
sen(pix)
pix
) =
∞∑
v=1
∫ x
0
−2t
v2 − t2dt,
a derivada de
−2t
v2 − t2 e´ ln((1−
t2
v2
)), pois
D(ln(1− t
2
v2
)) =
−2t
v2
v2
v2 − t2 =
−2t
v2 − t2
CAPI´TULO 1. PRODUTO´RIOS INFINITOS 9
enta˜o
ln(
senpix
pix
) =
∞∑
v=1
∫ x
0
−2t
v2 − t2dt =
∞∑
v=1
ln(1− t
2
v2
)
∣∣∣∣z
0
=
∞∑
v=1
ln(1− x
2
v2
) = lim
n→∞
n∑
v=1
ln(1− x
2
v2
) =
= lim
n→∞
ln(
n∏
v=1
(1− x
2
v2
)) = ln
∞∏
v=1
(1− x
2
v2
)
por propriedades do logaritmo, logo
ln(
sen(pix)
pix
) = ln(
∞∏
v=1
(1− x
2
v2
))
implicando
sen(pix)
pix
=
∞∏
v=1
(1− x
2
v2
)
e finalmente o seno como produto infinito
sen(pix) = pix
∞∏
v=1
(1− x
2
v2
)
sen(x) = x
∞∏
v=1
(1− x
2
(piv)2
).
1.2.2 (pix)cossec(piz) =
∞∏
v=1
v2
v2 − x2
Corola´rio 1.
sen(pix)
pix
=
∞∏
v=1
(1− x
2
v2
) =
∞∏
v=1
(
v2 − x2
v2
)
tomando o inverso
pix
sen(pix)
=
∞∏
v=1
v2
v2 − x2
isto e´
(pix)cossec(piz) =
∞∏
v=1
v2
v2 − x2
Corola´rio 2. Usando a identidade sen(pix) = pix
∞∏
v=1
(1− x
2
v2
) e tomando x =
1
2
segue
sen(
pi
2
) =
pi
2
∞∏
v=1
(1− 1
4v2
)
CAPI´TULO 1. PRODUTO´RIOS INFINITOS 10
logo
2
pi
=
∞∏
v=1
(1− 1
4v2
).
Exemplo 1. Escrever
√
2 como produto infinito. Temos sen
pi
4
=
√
2
2
logo
sen(
pi
4
) =
√
2
2
=
pi
4
∞∏
v=1
(1− 1
16v2
)
logo
√
2 =
pi
2
∞∏
v=1
(1− 1
16v2
).
Demonstrac¸a˜o.
1.2.3 Seno como produto infinito por meio de varia´veis com-
plexas.
Propriedade 4. Sejam f uma func¸a˜o meromorfa , Γ um contorno circundando os zeros
(zk)
n
1 de sen(piz), tal que
lim
∫
Γn
f(z)cotg(piz)dz = 0
e
lim
∫
Γn
f(z)cossec(piz)dz = 0
enta˜o
∞∑
−∞
f(k) = −pi
n∑
k=1
Res[f(z)cotg(piz)]z=zk
∞∑
−∞
(−1)kf(k) = −pi
n∑
k=1
Res[f(z)cossec(piz)]z=zk
Exemplo 2. Mostrar que
∞∑
k=−∞
2x
x2 + pi2k2
= 2cotgh(x).
Calculamos os res´ıduos nos pontos
ix
pi
e − ix
pi
que sa˜o iguais
cotgh(x)
−pi
CAPI´TULO 1. PRODUTO´RIOS INFINITOS 11
enta˜o o resultado e´
∞∑
k=−∞
2x
x2 + pi2k2
= −picotgh(x)−pi = 2cotgh(x).
∞∑
k=−∞
x
x2 + pi2k2
= cotgh(x).
Corola´rio 3. Manipulando a se´rie anterior
∞∑
k=−∞
x
x2 + pi2k2
=
1
x
+
∞∑
k=1
2x
x2 + pi2k2
= cotgh(x)
logo
cotgh(x)− 1
x
=
∞∑
k=1
2x
x2 + pi2k2
.
1.2.4 cotg(x)− 1
x
=
∞∑
k=1
2x
x2 − pi2k2 .
Corola´rio 4. Trocando x por ix na se´rie de cotgh(x) tem-se
cotg(x)
i
− 1
ix
=
∞∑
k=1
2ix
−x2 + pi2k2
logo
cotg(x)− 1
x
=
∞∑
k=1
2x
x2 − pi2k2 .
Trocando x por xpi
cotg(pi.x)− 1
pi.x
=
∞∑
k=1
2x.pi
pi2x2 − pi2k2
que implica
picotg(pix)− 1
x
=
∞∑
k=1
2x.pi
x2 − k2 .
De posse dessa identidade deduzimos a expressa˜o de seno como fizemos anteriormente.
Exemplo 3. Expressar e2zi − 1 como produto infinito .
e2zi − 1 = eiz(eiz − e−iz) = 2ieiz(e
iz − e−iz
2i
) = 2ieizsen(z)
logo
e2zi − 1 = 2ieizz
∞∏
k=1
(1− z
2
k2pi2
)
CAPI´TULO 1. PRODUTO´RIOS INFINITOS 12
1.2.5 Produto infinito para senh(x),
senh(pix)
pix
=
∞∏
v=1
(1 +
x2
v2
).
Exemplo 4 (Produto infinito para senh(x)). Da identidade,
sen(pix)
pix
=
∞∏
v=1
(1− x
2
v2
)
trocando x por ix, usando que sen(ix) = isenh(x) segue
senh(pix)
pix
=
∞∏
v=1
(1 +
x2
v2
).
1.2.6 Produto de Wallis
pi
2
=
∞∏
v=1
4v2
(4v2 − 1)
Iremos ver algumas maneiras de deduzir o resultado chamado produto de Wallis
pi
2
=
∞∏
v=1
4v2
(4v2 − 1)
Corola´rio 5. Tomando
sen(pix) = pix
∞∏
v=1
(1− x
2
v2
)
com x =
1
2
, segue
sen(
pi
2
) =
pi
2
∞∏
v=1
(1− 1
4v2
)
assim
1 =
pi
2
∞∏
v=1
(1− 1
4v2
) =
pi
2
∞∏
v=1
(
4v2 − 1
4v2
)
da´ı segue
pi
2
=
∞∏
v=1
4v2
(4v2 − 1) =
∞∏
v=1
2v.2v
(2v − 1)(2v + 1) =
2.2.4.4
1.3.3.5
. . .
tal resultado e´ chamado de Produto de Wallis .
CAPI´TULO 1. PRODUTO´RIOS INFINITOS 13
1.2.7 ln(
pi
2
) =
∞∑
t=1
ζ(2t)
t4t
.
Corola´rio 6. Tomando ln em
pi
2
=
∞∏
v=1
4v2
(4v2 − 1) segue que
− ln(pi
2
) =
∞∑
k=1
ln(1− 1
4k2
) =
∞∑
k=1
∞∑
t=1
1
t(4k2)t
=
=
∞∑
t=1
1
t4t
∞∑
k=1
1
(k2t)
=
∞∑
t=1
ζ(2t)
t4t
onde usamos a representac¸a˜o em se´rie de ln(1 + x), da´ı
ln(
pi
2
) =
∞∑
t=1
ζ(2t)
t4t
.
Veremos agora uma outra maneira de deduzir o resultado do Produto de Wallis, usando
integrais, por isso vamos antes demonstrar alguns resultados .
Propriedade 5. Vale a recorreˆncia∫
senn+2(x)dx = −cos(x)
n+ 2
senn+1(x) +
n+ 1
n+ 2
∫
senn(x)dx.
Demonstrac¸a˜o. Vamos aplicar integrac¸a˜o por partes, tomando g(x) = senn+1(x) e
f ′(x) = sen(x) enta˜o g′(x) = (n + 1)cos(x).senn(x). e f(x) = −cos(x), enta˜o a integral
fica como ∫
senn+2(x)dx = −cos(x).senn+1(x) + (n+ 1)
∫
cos2(x)senn(x)dx
usando a identidade trigonome´trica cos2(x) = 1− sen2(x) tem-se∫
senn+2(x)dx = −cos(x).senn+1(x) + (n+ 1)
∫
senn(x)dx− (n+ 1)
∫
senn+2(x)dx
e da´ı ∫
senn+2(x)dx =
−cos(x)
n+ 2
.senn+1(x) +
(n+ 1)
n+ 2
∫
senn(x)dx.
Propriedade 6. Valem as identidades
1. ∫ pi
2
0
sen2n(x) =
pi
2
n∏
k=1
2k − 1
2k
CAPI´TULO 1. PRODUTO´RIOS INFINITOS 14
2. ∫ pi
2
0
sen2n+1(x) =
n∏
k=1
2k
2k + 1
Demonstrac¸a˜o.
1. Da recorreˆncia∫
senn+2(x)dx =
−cos(x)
n+ 2
.senn+1(x) +
(n+ 1)
n+ 2
∫
senn(x)dx
aplicando os limites, tem-se∫ pi
2
0
senn+2(x)dx =
(n+ 1)
n+ 2
∫ pi
2
0
senn(x)dx
substituindo n por 2n tem-se
f(n+ 1) =
∫ pi
2
0
sen2n+2(x)dx =
(2n+ 1)
2n+ 2
∫ pi
2
0
sen2n(x)dx
logo Qf(k) =
(2k + 1)
2k + 2
aplicando
n−1∏
k=0
tem-se
f(n) = f(0)
n−1∏
k=0
(2k + 1)
2k + 2
=
∫ pi
2
0
sen2n(x)dx =
pi
2
n∏
k=1
(2k − 1)
2k
pois f(0) =
∫ pi
2
0
sen0(x)dx =
pi
2
.
2. Da recorreˆncia inicial substituindo n por 2n+ 1 temos
f(n+ 1) =
∫ pi
2
0
sen2n+3(x)dx =
(2n+ 2)
2n+ 3
∫ pi
2
0
sen2n+1(x)dx =
(2n+ 2)
2n+ 3
f(n)
logo Qf(k) =
(2k + 2)
2k + 3
aplicando
n−1∏
k=0
segue
f(n) = f(0)
n−1∏
k=0
(2k + 2)
2k + 3
=
n∏
k=1
(2k)
2k + 1
pois f(0) =
∫ pi
2
0
sen(x)dx = −cos(pi
2
) + cos(0) = 1.
CAPI´TULO 1. PRODUTO´RIOS INFINITOS 15
Corola´rio 7 (Produtode Wallis). Para x ∈ (0, pi
2
) temos 0 < sen(x) < 1 logo
0 ≤ sen2m+1(x) ≤ sen2m(x) ≤ sen2m−1(x)
como a integrac¸a˜o mante´m a relac¸a˜o de ordem segue
0 ≤
∫ pi
2
0
sen2m+1(x)dx ≤
∫ pi
2
0
sen2m(x)dx ≤
∫ pi
2
0
sen2m−1(x)dx
dividindo por
∫ pi
2
0
sen2m+1(x)dx segue
1 ≤
pi
2∫
0
sen2m(x)dx
pi
2∫
0
sen2m+1(x)dx
≤
pi
2∫
0
sen2m−1(x)dx
pi
2∫
0
sen2m+1(x)dx
=
2m+ 1
2m
= 1 +
1
2m
logo por teorema do sandu´ıche segue
lim
pi
2∫
0
sen2m(x)dx
pi
2∫
0
sen2m+1(x)dx
= 1.
Tal identidade implica que
lim
pi
2
n∏
k=1
(2k − 1)(2k + 1)
(2k)2
= 1
logo
∞∏
k=1
(2k − 1)(2k + 1)
(2k)2
=
2
pi
.
1.2.8
√
pi = lim
m→∞
22m(m!)2
(2m)!.
√
m
Propriedade 7.
√
pi = lim
m→∞
22m(m!)2
(2m)!.
√
m
.
Demonstrac¸a˜o.
Temos
pi
2
= lim
m→∞
m∏
v=1
2v.2v
(2v − 1)(2v + 1) = limm→∞
m∏
v=1
2v.2v
m∏
v=1
(2v − 1)
m∏
v=1
(2v + 1)
=
CAPI´TULO 1. PRODUTO´RIOS INFINITOS 16
= lim
m→∞
[
m−1∏
v=1
2v.2v]2m.2m
m∏
v=2
(2v − 1)[
m−1∏
v=1
(2v + 1)](2m+ 1)
=
onde abrimos o limite superior do produto´rio do numerador e de um do denominador,
e abrimos o limite inferior do produto´rio de termo 2v− 1, para v = 1 2.1− 1 = 1, fazendo
mudanc¸a de varia´vel nesse somato´rio agora temos (subtraindo 1 dos limites)
= lim
m→∞
[
m−1∏
v=1
2v.2v]2m.2m
m−1∏
v=1
(2(v + 1)− 1)[
m−1∏
v=1
(2v + 1)](2m+ 1)
= lim
m→∞
[
m−1∏
v=1
2v.2v]2m.2m
m−1∏
v=1
(2v + 1)[
m−1∏
v=1
(2v + 1)](2m+ 1)
em que podemos escrever como o mesmo produto´rio
= lim
m→∞
m−1∏
v=1
(2v)2
(2v + 1)2
2m.2m
(2m+ 1)
=
observando que o limite
lim
m→∞
2m
2m+ 1
= lim
m→∞
2m
2m
1
1 + 1
2m
= lim
m→∞
1
1 + 1
2m
= 1
pois o limite lim
m→∞
1
2m
= 0 escrevemos o produto´rio como
pi
2
= lim
m→∞
m−1∏
v=1
(2v)2
(2v + 1)2
2m
tomando a raiz de ambos lados , temos√
pi
2
= lim
m→∞
m−1∏
v=1
(2v)
(2v + 1)
√
2m
Multiplicando e dividindo por
m−1∏
v=1
2v temos
√
pi
2
= lim
m→∞
m−1∏
v=1
(2v)
m−1∏
v=1
2v
m−1∏
v=1
(2v + 1)
m−1∏
v=1
2v
√
2m
o produto´rio no denominador e´ igual a (2m− 1)! =
2m−1∏
v=1
v,
CAPI´TULO 1. PRODUTO´RIOS INFINITOS 17
Reescrevendo a identidade
√
pi
2
= lim
m→∞
m−1∏
v=1
(2v)2
(2m− 1)!
√
2m
multiplicando e dividindo por (2m)2 dentro do limite, temos
√
pi
2
= lim
m→∞
m−1∏
v=1
(2v)2(2m)2
(2m− 1)!2m.2m
√
2m
um termo(do numerador) anexamos ao limite superior do produto´rio, outro para o fatorial
√
pi
2
= lim
m→∞
m∏
v=1
(2v)2
(2m)!.2m
√
2m = lim
m→∞
22m(m!)2
(2m)!.2m
√
2m
multiplicando e dividindo por
√
2m, ficamos com√
pi
2
= lim
m→∞
22m(m!)2
(2m)!.2m
2m√
2m
= lim
m→∞
22m(m!)2
(2m)!.
√
2m
mais uma simplificac¸a˜o pode ser feita, anulando os termos
√
2 do denominador e chegamos
em √
pi = lim
m→∞
22m(m!)2
(2m)!.
√
m
1.2.9 Produto infinito de cos(x) , cos(pix) =
∞∏
v=1
(1− 4x
2
(2v − 1)2 ).
Propriedade 8. Vale que
cos(pix) =
∞∏
v=1
(1− 4x
2
(2v − 1)2 ).
Demonstrac¸a˜o.
Temos sen(2x) = 2sen(x).cos(x) assim
cos(x) =
sen(2x)
2sen(x)
temos
sen(2x) = 2x
∞∏
v=1
(1− 4x
2
(piv)2
).
CAPI´TULO 1. PRODUTO´RIOS INFINITOS 18
separando os ı´ndices do produto em pares e ı´mpares temos
sen(2x) = 2x
∞∏
v=1
(1− 4x
2
(pi2v)2
).
∞∏
v=1
(1− 4x
2
(pi(2v − 1))2 ) = 2x
∞∏
v=1
(1− 4x
2
4(piv)2
).
∞∏
v=1
(1− 4x
2
(pi(2v − 1))2 ) =
= 2x
∞∏
v=1
(1− x
2
(piv)2
).
∞∏
v=1
(1− 4x
2
(pi(2v − 1))2 )
mas lembrando que
sen(x) = x
∞∏
v=1
(1− x
2
(piv)2
)
temos enta˜o substituindo em sen2x
sen(2x) = 2sen(x)
∞∏
v=1
(1− 4x
2
(pi(2v − 1))2 )
sen(2x)
2sen(x)
=
∞∏
v=1
(1− 4x
2
(pi(2v − 1))2 ) = cos(x)
assim temos o cosseno como produto infinito
cos(x) =
∞∏
v=1
(1− 4x
2
(pi(2v − 1))2 ).
cos(pix) =
∞∏
v=1
(1− 4x
2
(2v − 1)2 ).
Exemplo 5. Escrever
√
2 como produto infinito. Temos que cos(
pi
4
) =
√
2
2
logo
cos(
pi
4
) =
√
2
2
=
∞∏
v=1
(1− 1
4(2v − 1)2 )
logo
√
2 = 2
∞∏
v=1
(1− 1
4(2v − 1)2 )
1.2.10 Produto infinito de cosh(x) , cosh(pix) =
∞∏
v=1
(1 +
4x2
(2v − 1)2 )..
Corola´rio 8. Usando a identidade
cos(pix) =
∞∏
v=1
(1− 4x
2
(2v − 1)2 )
substituindo x por ix tem-se
cosh(pix) =
∞∏
v=1
(1 +
4x2
(2v − 1)2 ).