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Mariele Vilela Bernardes Prado Renata Karoline Fernandes Keila Tatiana Boni Cálculo I Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Prado, Mariele Vilela Bernardes ISBN 978-85-8482-159-4 1. Cálculo. 2. Funções (Matemática). I. Fernandes, Renata Karoline. II. Boni, Keila Tatiana. III. Título CDD 515 P896c Cálculo I / Mariele Vilela Bernardes Prado, Renata Karoline Fernandes, Keila Tatiana Boni. – Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A., 2015. 208 p. © 2015 por Editora e Distribuidora Educacional S.A Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Editora e Distribuidora Educacional S.A. Presidente: Rodrigo Galindo Vice-Presidente Acadêmico de Graduação: Rui Fava Diretor de Produção e Disponibilização de Material Didático: Mario Jungbeck Gerente de Produção: Emanuel Santana Gerente de Revisão: Cristiane Lisandra Danna Gerente de Disponibilização: Nilton R. dos Santos Machado Editoração e Diagramação: eGTB Editora 2015 Editora e Distribuidora Educacional S. A. Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza CEP: 86041 -100 — Londrina — PR e-mail: editora.educacional@kroton.com.br Homepage: http://www.kroton.com.br/ Sumário Unidade 2 | Cálculo de derivadas Seção 1 - A derivada de uma função e regras de derivação para a multiplicação e divisão 1.1 | O Cálculo de Derivadas de funções 1.2 | Técnicas de derivação Seção 2 - A regra da cadeia e derivada de ordem superior 2.1 | A regra da Cadeia e sua aplicação 2.2 | Derivada de ordem superior 2.3 | Concavidade do gráfico 63 67 67 72 79 79 82 87 Unidade 1 | Funções, limite, continuidade e definição de derivada Seção 1 - Revisando funções 1.1 | Domínio e Imagem de uma função 1.2 | Gráficos de funções 1.3 | Operações com funções 1.4 | Função composta 1.5 | Função Elementares 1.6 | Função crescente e decrescente 1.7 | Função injetora, sobrejetora e bijetora 1.8 | Função inversa Seção 2 - Limite de uma função 2.1 | Propriedades de limites 2.2 | Teorema do Confronto 2.3 | Indeterminação 2.4 | Limites Laterais 2.5 | Limites e infinitos 2.6 | Assíntotas 2.7 | Limites fundamentais 2.8 | Definição formal de limite Seção 3 - Funções contínuas 3.1 | Definição de continuidade 3.2 | Propriedades das funções contínuas 3.3 | Continuidade por intervalos 3.4 | Continuidade de funções inversas 3.5 | Valor intermediário Seção 4 - A derivada 4.1 | Taxa de variação 4.2 | Função derivada 7 11 13 15 17 18 19 22 23 24 27 29 30 31 33 36 38 40 41 45 45 47 48 48 49 53 53 55 Seção 3 - Derivadas implícitas e otimização de funções 3.1 | Aplicação de derivadas 3.2 | A Derivada e taxas relacionadas 89 89 95 Unidade 3 | Equações diferenciais, integrais e integrais múltiplas Seção 1 - Introdução ás integrais, técnicas de integração e integrais definidas 1.1 | Introdução à integração 1.2 | Técnicas de integração 1.2.1 | Técnica da substituição 1.2.2 | Técnica da integração por partes 1.3 | A integral definida 1.3.1 | O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC – Parte I) 1.3.2 | O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC – parte II) 1.3.3 | Teorema do Valor Médio para Integrais Seção 2 - Integrais múltiplas 2.1 | A integral dupla 2.2 | A integral tripla 2.3 | Mudança de coordenadas: de cartesianas para polares Seção 3 - Integral de linha e integral de superfície 3.1 | A integral de linha 3.1.1 | Teorema de Green Seção 4 - Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira e de Segunda Ordem 4.1 | Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem 4.1.1 | Soluções de uma Equação Diferencial Ordinária 4.1.2 | Problema de Valor Inicial (PVI) 4.1.3 | Métodos para obtenção de soluções de EDOs de Primeira Ordem 4.1.3.1 | Equações diferenciais de variáveis separáveis 4.1.3.2 | Equações diferenciais com coeficientes homogêneos 4.1.3.3 | Equações diferenciais exatas 4.1.3.4 | Equações diferenciais lineares 4.2 | Equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem 4.2.1 | Teorema de Existência e Unicidade de Soluções 4.2.2 | EDOs Lineares Homogêneas de ordem 2 com coeficientes constantes 111 115 115 117 117 118 120 121 121 124 127 127 132 134 137 137 141 145 145 147 148 149 149 150 151 152 153 154 155 Unidade 4 | Conhecendo matrizes Seção 1 - Matriz, propriedades e classificações 1.1 | Definição de Matrizes Seção 2 - Operações com matrizes Seção 3 - Determinantes de matrizes de diferentes ordens 3.1 | Determinantes 163 167 167 177 189 189 Apresentação Este livro foi elaborado com a intenção de auxiliar no processo de aprendizagem dos estudantes da disciplina de Cálculo I do curso de Ciências Econômicas. Os conteúdos aqui abordados objetivam estudar o comportamento de funções utilizando conceitos de limite, continuidade, derivas e integrais. Este material está dividido em quatro unidades. No início da unidade 1 será realizada uma revisão envolvendo a teoria de funções. Esta revisão é necessária visto que os conceitos que serão abordados no decorrer deste livro tratarão diretamente sobre o assunto. No desdobrar da unidade, serão apresentados os conceitos de limite e continuidade para avaliação do comportamento de funções. Ao final da primeira unidade será apresentada a definição de derivas a partir da ideia de taxa de variação. Na unidade 2, serão apresentados os diferentes métodos de derivação de funções não sendo mais necessária a utilização da definição de derivada apresentada na unidade 1. Ainda na unidade 2, serão trabalhados os conceitos de derivadas de ordem superior, derivadas implícitas e otimização de funções. O foco da unidade 3 será o cálculo de integrais e as equações diferenciais. Serão apresentadas as equações diferenciais de primeira e segunda ordem e as técnicas de integração, além das aplicações de integrais. Na Unidade 4 será abordado o conceito de matrizes. Ao final do estudo desta unidade você compreenderá o processo de resolução e o uso de matrizes nas quatro operações básicas. Você também conseguirá classificar as matrizes, calcular determinante de uma matriz quadrada, realizar escalonamento e calcular a inversa de uma matriz. Cabe ressaltar que a utilização dos links e materiais disponíveis nas seções Saiba mais e Aprofundando o conhecimento deste livro são essenciais para que o aprendizado aconteça de forma completa. Bons estudos! Unidade 1 FUNÇÕES, LIMITE, CONTINUIDADE E DEFINIÇÃO DE DERIVADA Nesta seção, revisaremos os principais conceitos envolvendo funções, as principais definições, gráficos, propriedades e as funções mais utilizadas. Estes conceitos serão fundamentais nos estudos e aplicação do Cálculo. Nesta seção será apresentado, inicialmente, o conceito intuitivo de limite. A partir desta ideia intuitiva trabalharemos as propriedades, os teoremas e as indeterminações envolvendo limites. Serão abordados, ainda, os conceitos de limites laterais, limites envolvendo infinitos, limites fundamentais e assíntotas. Ao final da seção, será apresentada a definição formal de limite. Na seção 3 será apresentada a definição de continuidade, bem como as propriedades das funções contínuas, continuidade por intervalos e continuidade de funções inversas. Será abordado de forma intuitiva o Teorema de Valor Intermediário e suas consequências. Seção 1 | Revisando funções Seção 2 | Limite de uma função Seção 3 | Funções contínuas Objetivos de aprendizagem: Os assuntos abordados nesta primeira unidade têm por objetivo, além de apresentar os conceitos básicos do cálculo, preparar o aluno para a aplicação de derivadas e integrais. Mariele Vilela Bernardes Prado Unidade 1 FUNÇÕES, LIMITE, CONTINUIDADE E DEFINIÇÃO DE DERIVADA Nesta seção, revisaremos os principais conceitos envolvendo funções, as principais definições, gráficos, propriedadese as funções mais utilizadas. Estes conceitos serão fundamentais nos estudos e aplicação do Cálculo. Nesta seção será apresentado, inicialmente, o conceito intuitivo de limite. A partir desta ideia intuitiva trabalharemos as propriedades, os teoremas e as indeterminações envolvendo limites. Serão abordados, ainda, os conceitos de limites laterais, limites envolvendo infinitos, limites fundamentais e assíntotas. Ao final da seção, será apresentada a definição formal de limite. Na seção 3 será apresentada a definição de continuidade, bem como as propriedades das funções contínuas, continuidade por intervalos e continuidade de funções inversas. Será abordado de forma intuitiva o Teorema de Valor Intermediário e suas consequências. Seção 1 | Revisando funções Seção 2 | Limite de uma função Seção 3 | Funções contínuas Objetivos de aprendizagem: Os assuntos abordados nesta primeira unidade têm por objetivo, além de apresentar os conceitos básicos do cálculo, preparar o aluno para a aplicação de derivadas e integrais. Mariele Vilela Bernardes Prado Unidade 1 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 8 Nesta seção, será apresentada a definição de derivada a partir dos conceitos de taxa de variação e retas secantes e tangentes. Seção 4 | A derivada Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 9 Introdução à unidade O Cálculo Diferencial e Integral tem como objetivo estudar o comportamento de funções, fazendo uso de conceitos como limite, continuidade, derivada, integral e séries. Tais conceitos são resultados de estudos feitos de forma independente pelos matemáticos Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716). Newton e Leibniz generalizaram as regras para problemas que antes eram abordados apenas para casos particulares de funções. Nesta primeira unidade, serão abordados os conceitos de limite e continuidade e a definição de derivadas. Antes, porém, é necessário que façamos uma revisão dos conceitos de funções, tema abordado na disciplina de Introdução ao Cálculo. U1 8 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 8 Nesta seção, será apresentada a definição de derivada a partir dos conceitos de taxa de variação e retas secantes e tangentes. Seção 4 | A derivada Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 9 Introdução à unidade O Cálculo Diferencial e Integral tem como objetivo estudar o comportamento de funções, fazendo uso de conceitos como limite, continuidade, derivada, integral e séries. Tais conceitos são resultados de estudos feitos de forma independente pelos matemáticos Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716). Newton e Leibniz generalizaram as regras para problemas que antes eram abordados apenas para casos particulares de funções. Nesta primeira unidade, serão abordados os conceitos de limite e continuidade e a definição de derivadas. Antes, porém, é necessário que façamos uma revisão dos conceitos de funções, tema abordado na disciplina de Introdução ao Cálculo. U1 9 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 10 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 11 Seção 1 Revisando funções A função é descrita por leis científicas e princípios de engenharia como uma quantidade que depende de outra. O termo “função” foi apresentado por Leibniz para indicar a dependência de uma quantidade em relação à outra de acordo com a definição a seguir: As funções podem ser representadas por equações, por tabelas, por gráficos ou até mesmo por meio de palavras. No século XVIII, o matemático Leohnard Euler passou a denotar as funções pelas letras do alfabeto, conforme a seguinte definição: Muitas vezes, a saída de uma função também é denotada por uma letra - normalmente o γ - e escreve-se γ = ƒ ( χ ) . Tal equação expressa γ como uma função de χ . A variável χ é denominada variável independente e a variável γ é denominada variável dependente. Vejamos um exemplo: A equação γ = 2χ2 - 3χ + 4 está na fórmula γ = ƒ ( χ ) em que a função ƒ é dada pela fórmula ƒ ( χ ) = 2χ2 - 3χ + 4 . Para cada entrada χ, a saída correspondente γ é obtida substituindo χ nessa fórmula. Assim, assumindo χ = 2 teríamos ƒ (2) = 2(2)2 - 3(2) + 4 = 8 - 6 + 4 = 6. ƒ associa γ = 6 a χ = 2. Se uma variável y depende de uma variável x de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x. Uma função ƒ é uma regra que associa uma única saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por χ , então a saída será denotada por ƒ ( χ ) . U1 10 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 10 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 11 Seção 1 Revisando funções A função é descrita por leis científicas e princípios de engenharia como uma quantidade que depende de outra. O termo “função” foi apresentado por Leibniz para indicar a dependência de uma quantidade em relação à outra de acordo com a definição a seguir: As funções podem ser representadas por equações, por tabelas, por gráficos ou até mesmo por meio de palavras. No século XVIII, o matemático Leohnard Euler passou a denotar as funções pelas letras do alfabeto, conforme a seguinte definição: Muitas vezes, a saída de uma função também é denotada por uma letra - normalmente o γ - e escreve-se γ = ƒ ( χ ) . Tal equação expressa γ como uma função de χ . A variável χ é denominada variável independente e a variável γ é denominada variável dependente. Vejamos um exemplo: A equação γ = 2χ2 - 3χ + 4 está na fórmula γ = ƒ ( χ ) em que a função ƒ é dada pela fórmula ƒ ( χ ) = 2χ2 - 3χ + 4 . Para cada entrada χ, a saída correspondente γ é obtida substituindo χ nessa fórmula. Assim, assumindo χ = 2 teríamos ƒ (2) = 2(2)2 - 3(2) + 4 = 8 - 6 + 4 = 6. ƒ associa γ = 6 a χ = 2. Se uma variável y depende de uma variável x de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x. Uma função ƒ é uma regra que associa uma única saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por χ , então a saída será denotada por ƒ ( χ ) . U1 11 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 12 Na disciplina de Introdução ao Cálculo, você aprendeu que uma função também pode ser apresentada como uma relação entre dois conjuntos, de modo que, para cada valor do primeiro conjunto teríamos um valor do segundo conjunto. Mas, o que é mesmo uma relação? Dados dois conjuntos A e B, denominamos relação binária de A em B a todo subconjunto R de A ×B, isto é, R é uma relação binária de A em B ⇔ R ⊂ A × B ou ainda x R y ⇔ R ⊂ A × B, sendo A×B o produto cartesiano entre os conjuntos A e B. Produto cartesiano de A por B é o conjunto dos pares ordenados cujos primeiros elementos pertencem a A e os segundos elementos pertencem a B, isto é: A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}. Vejamos um exemplo: Dados os conjuntos A={1,2} e B={2,4,5}, o produto cartesiano A×B={(x,y)|x∈A e y∈B} é dado por A×B= {(1,2),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(2,5)}. Atente para o fato de que o número de elementos de um produto cartesiano é dado pela multiplicação do número de elementos de cada um dos conjuntos envolvidos. No exemplo acima teríamos o conjunto A com 2 elementos e o conjunto B com 3 elementos. Logo, o número de elementos do conjunto formado pelo produto cartesiano A×B é 2 . 3 = 6 elementos. Considere, agora, a relação definida por R={(x,y)∈A×B| γ=2χ}, ou seja, deve-se considerar apenas os pares ordenados em que γ=2x. χ = 1 ⇒ γ = 2 . 1 = 2 χ = 2 ⇒ γ = 2 . 1 = 4 Logo, R={(1,2),(2,4)}. Qualquer relação pode ser considerada como uma função? Lembre-se: Uma relação de A em B é uma função se, e somente se: • Todo elemento χ pertencente a A tem um correspondente γ pertencente a B definido pela relação. • A cada χ pertencente a A não podem corresponder dois ou mais elementos de B por meio da relação. Simbolicamente, definimos uma função como ƒ: A → B . Seƒ é uma função definida pela relação de A em B, dizemos que ƒ é uma função definida em A com valores em B. Se tanto A quanto B forem subconjuntos dos reais (R), dizemos que ƒ é uma função real de variável real. Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 13 1.1 Domínio e Imagem de uma função Em certos momentos, é necessário impor restrições aos possíveis valores de entrada de uma função. É o caso da função ƒ(χ)=x2 que representa a área de um quadrado de lado χ. Embora a equação γ=x2 apresente um único valor de γ para cada número real de χ, o fato de que os comprimentos devem ser números positivos limita γ tal que χ ≥ 0. Em outros casos, a própria fórmula matemática de uma função impõe alguma restrição para os seus valores de entrada. Por exemplo, se γ=√χ devemos ter χ ≥0, uma vez que para χ<0 teríamos um número imaginário, e conforme definimos anteriormente, estamos trabalhando com funções reais de variáveis reais. O mesmo acorre para γ=1 ⁄ χ, em que x deve ser diferente de 0, pois divisão por zero não está definida. Tais restrições são apresentadas ao estabelecermos o domínio de uma função ( Dƒ ). Ou seja, o domínio natural de uma função são todos os números reais para os quais a função apresente valores reais. Ou ainda, o domínio de uma função é o conjunto cujos elementos são todos os possíveis valores de χ para os quais existe um único γ em correspondência. A partir de agora, sempre que falarmos de funções e não definirmos seus conjuntos de entrada e saída, vamos assumir que estamos trabalhando com funções reais de variáveis reais. Para conhecer mais sobre a história das funções acesse: Disponível em: <http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=hist_funcao>. No estudo de relações, há um caso particular denominado aplicação, cuja definição é apresentada abaixo: Sejam A e B conjuntos quaisquer, todo elemento x ∈ A apresenta um correspondente γ ∈ B, sendo γ único para cada χ, definido conforme a relação. Mas esta é a definição que você conhece de funções, não é verdade? Qual seria a diferença então? As funções são um caso particular de aplicação em que o contradomínio de uma aplicação é um conjunto numérico. Perceba que até este momento estamos trabalhando apenas com conjuntos numéricos e por isso utilizamos o conceito de funções. Em estudos futuros, vocês trabalharão com conjuntos não numéricos e o conceito aplicação poderá ser empregado. U1 12 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 12 Na disciplina de Introdução ao Cálculo, você aprendeu que uma função também pode ser apresentada como uma relação entre dois conjuntos, de modo que, para cada valor do primeiro conjunto teríamos um valor do segundo conjunto. Mas, o que é mesmo uma relação? Dados dois conjuntos A e B, denominamos relação binária de A em B a todo subconjunto R de A ×B, isto é, R é uma relação binária de A em B ⇔ R ⊂ A × B ou ainda x R y ⇔ R ⊂ A × B, sendo A×B o produto cartesiano entre os conjuntos A e B. Produto cartesiano de A por B é o conjunto dos pares ordenados cujos primeiros elementos pertencem a A e os segundos elementos pertencem a B, isto é: A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}. Vejamos um exemplo: Dados os conjuntos A={1,2} e B={2,4,5}, o produto cartesiano A×B={(x,y)|x∈A e y∈B} é dado por A×B= {(1,2),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(2,5)}. Atente para o fato de que o número de elementos de um produto cartesiano é dado pela multiplicação do número de elementos de cada um dos conjuntos envolvidos. No exemplo acima teríamos o conjunto A com 2 elementos e o conjunto B com 3 elementos. Logo, o número de elementos do conjunto formado pelo produto cartesiano A×B é 2 . 3 = 6 elementos. Considere, agora, a relação definida por R={(x,y)∈A×B| γ=2χ}, ou seja, deve-se considerar apenas os pares ordenados em que γ=2x. χ = 1 ⇒ γ = 2 . 1 = 2 χ = 2 ⇒ γ = 2 . 1 = 4 Logo, R={(1,2),(2,4)}. Qualquer relação pode ser considerada como uma função? Lembre-se: Uma relação de A em B é uma função se, e somente se: • Todo elemento χ pertencente a A tem um correspondente γ pertencente a B definido pela relação. • A cada χ pertencente a A não podem corresponder dois ou mais elementos de B por meio da relação. Simbolicamente, definimos uma função como ƒ: A → B . Se ƒ é uma função definida pela relação de A em B, dizemos que ƒ é uma função definida em A com valores em B. Se tanto A quanto B forem subconjuntos dos reais (R), dizemos que ƒ é uma função real de variável real. Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 13 1.1 Domínio e Imagem de uma função Em certos momentos, é necessário impor restrições aos possíveis valores de entrada de uma função. É o caso da função ƒ(χ)=x2 que representa a área de um quadrado de lado χ. Embora a equação γ=x2 apresente um único valor de γ para cada número real de χ, o fato de que os comprimentos devem ser números positivos limita γ tal que χ ≥ 0. Em outros casos, a própria fórmula matemática de uma função impõe alguma restrição para os seus valores de entrada. Por exemplo, se γ=√χ devemos ter χ ≥0, uma vez que para χ<0 teríamos um número imaginário, e conforme definimos anteriormente, estamos trabalhando com funções reais de variáveis reais. O mesmo acorre para γ=1 ⁄ χ, em que x deve ser diferente de 0, pois divisão por zero não está definida. Tais restrições são apresentadas ao estabelecermos o domínio de uma função ( Dƒ ). Ou seja, o domínio natural de uma função são todos os números reais para os quais a função apresente valores reais. Ou ainda, o domínio de uma função é o conjunto cujos elementos são todos os possíveis valores de χ para os quais existe um único γ em correspondência. A partir de agora, sempre que falarmos de funções e não definirmos seus conjuntos de entrada e saída, vamos assumir que estamos trabalhando com funções reais de variáveis reais. Para conhecer mais sobre a história das funções acesse: Disponível em: <http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=hist_funcao>. No estudo de relações, há um caso particular denominado aplicação, cuja definição é apresentada abaixo: Sejam A e B conjuntos quaisquer, todo elemento x ∈ A apresenta um correspondente γ ∈ B, sendo γ único para cada χ, definido conforme a relação. Mas esta é a definição que você conhece de funções, não é verdade? Qual seria a diferença então? As funções são um caso particular de aplicação em que o contradomínio de uma aplicação é um conjunto numérico. Perceba que até este momento estamos trabalhando apenas com conjuntos numéricos e por isso utilizamos o conceito de funções. Em estudos futuros, vocês trabalharão com conjuntos não numéricos e o conceito aplicação poderá ser empregado. U1 13 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 14 Exemplo: Apresente o domínio natural das funções: a. ƒ ( χ ) = χ4 b. ƒ ( χ ) = √χ - 5 Exemplo: I. Qual a imagem de ƒ ( χ ) = 5 + √χ - 1 ? Resposta: a. A função ƒ tem valores reais para todo χ real. Logo, seu domínio é o intervalo ( - ∞, ∞ ), ou simplesmente o próprio conjunto dos reais (R). b. A função ƒ apresenta valores reais exceto quando a expressão dentro do radial for negativa. Logo, χ - 5 deve ser maior que zero, ou seja, χ - 5 ≥ 0 ⇔ χ ≥ 5. Se considerarmos que o domínio de ƒ( χ )=γ é o conjunto formado por todas as entradas possíveis, isto é, os possíveis valores para χ, podemos considerar que a imagem desta função (Imƒ) é o conjunto formado por todos os valores de saída a partir dos valores assumidos para x. Isto é, a imagem é dada apenas pelos valores de saída que apresenta relação com algum valor de entrada. Resposta: O domínio de ƒ é o intervalo [1,∞), pois para χ - 1 ≥ 0 (radicando deve ser maior ou igual a zero) temos χ ≥ 1. Quais os possíveis valores de saída quando x assume valores dentro de seu domínio? Observe que para cada valor que χ assume em seu domínio os valores de γ serão sempre maiores que 5. Sendo assim, a imagem de ƒ é o intervalo [5,∞), ou ainda, Imƒ = {γ ∈ R | γ ≥ 5}. χ = 1 → γ = 5 χ =3 ⁄ 2 → γ ≅ 5,71 χ = 2 → γ = 6 χ = 5 → γ = 7 χ = 65 → γ = 13 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 15 II. Qual a imagem de ƒ ( χ ) = ? χ - 1 χ + 1 Observe que, para que o denominador seja diferente de zero, devemos ter χ - 1 ≠ 0 ⇒ χ ≠ 1 . Logo, o domínio natural de ƒ é dado por Dƒ = {χ ∈ R | χ ≠ 1}. Observe, porém, que para γ=1 não teríamos um valor possível para χ , uma vez que a divisão por zero não é definida. Logo, Imƒ = {γ ∈ R | γ ≠ 1}. Foi definido acima que a imagem de uma função é o conjunto formado apenas pelos valores de saída que apresenta relação com algum valor de entrada. Assim, podemos esperar que alguns valores de saída de uma função podem não se relacionar com os valores de entrada. O conjunto formado por todos os elementos do conjunto de saída, independentemente se este valor se relaciona ou não com algum elemento do conjunto de entrada, é chamado de contradomínio de ƒ. Agora, sendo quais os possíveis valores que y pode assumir? χ - 1 χ + 1 γ = Para encontrarmos estes valores, façamos: ⇒ γ (χ-1) = χ + 1 ⇒ γχ - γ = χ + 1 ⇒ γχ - χ = 1 + γ χ - 1 χ + 1 γ = Observe que χ = 1, = 1 ⇒ γ + 1 = γ - 1 ⇔ 1 = - 1, o que é um absurdo. Logo, a restrição denominada por Dƒ não implica restrição para a Imƒ. γ - 1 γ + 1 Para complementar o estudo inicial das funções, você pode acessar: http://ellalves.net.br/textos/conteudo/43/funcao_dominio_e_imagem 1.2 Gráficos de funções Sendo ƒ uma função real de variável real, temos que o gráfico de ƒ no plano cartesiano χγ é dado pelo gráfico da equação γ=ƒ(χ). Ou ainda, o gráfico de ƒ é o conjunto dos pontos dados pelos pares ordenados (χ,γ) em que χ∈Dƒ e γ∈Imƒ. Por exemplo, o gráfico da função f(x)=x^2 é uma parábola construída considerando os pares ordenados (x,y). U1 14 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 14 Exemplo: Apresente o domínio natural das funções: a. ƒ ( χ ) = χ4 b. ƒ ( χ ) = √χ - 5 Exemplo: I. Qual a imagem de ƒ ( χ ) = 5 + √χ - 1 ? Resposta: a. A função ƒ tem valores reais para todo χ real. Logo, seu domínio é o intervalo ( - ∞, ∞ ), ou simplesmente o próprio conjunto dos reais (R). b. A função ƒ apresenta valores reais exceto quando a expressão dentro do radial for negativa. Logo, χ - 5 deve ser maior que zero, ou seja, χ - 5 ≥ 0 ⇔ χ ≥ 5. Se considerarmos que o domínio de ƒ( χ )=γ é o conjunto formado por todas as entradas possíveis, isto é, os possíveis valores para χ, podemos considerar que a imagem desta função (Imƒ) é o conjunto formado por todos os valores de saída a partir dos valores assumidos para x. Isto é, a imagem é dada apenas pelos valores de saída que apresenta relação com algum valor de entrada. Resposta: O domínio de ƒ é o intervalo [1,∞), pois para χ - 1 ≥ 0 (radicando deve ser maior ou igual a zero) temos χ ≥ 1. Quais os possíveis valores de saída quando x assume valores dentro de seu domínio? Observe que para cada valor que χ assume em seu domínio os valores de γ serão sempre maiores que 5. Sendo assim, a imagem de ƒ é o intervalo [5,∞), ou ainda, Imƒ = {γ ∈ R | γ ≥ 5}. χ = 1 → γ = 5 χ = 3 ⁄ 2 → γ ≅ 5,71 χ = 2 → γ = 6 χ = 5 → γ = 7 χ = 65 → γ = 13 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 15 II. Qual a imagem de ƒ ( χ ) = ? χ - 1 χ + 1 Observe que, para que o denominador seja diferente de zero, devemos ter χ - 1 ≠ 0 ⇒ χ ≠ 1 . Logo, o domínio natural de ƒ é dado por Dƒ = {χ ∈ R | χ ≠ 1}. Observe, porém, que para γ=1 não teríamos um valor possível para χ , uma vez que a divisão por zero não é definida. Logo, Imƒ = {γ ∈ R | γ ≠ 1}. Foi definido acima que a imagem de uma função é o conjunto formado apenas pelos valores de saída que apresenta relação com algum valor de entrada. Assim, podemos esperar que alguns valores de saída de uma função podem não se relacionar com os valores de entrada. O conjunto formado por todos os elementos do conjunto de saída, independentemente se este valor se relaciona ou não com algum elemento do conjunto de entrada, é chamado de contradomínio de ƒ. Agora, sendo quais os possíveis valores que y pode assumir? χ - 1 χ + 1 γ = Para encontrarmos estes valores, façamos: ⇒ γ (χ-1) = χ + 1 ⇒ γχ - γ = χ + 1 ⇒ γχ - χ = 1 + γ χ - 1 χ + 1 γ = Observe que χ = 1, = 1 ⇒ γ + 1 = γ - 1 ⇔ 1 = - 1, o que é um absurdo. Logo, a restrição denominada por Dƒ não implica restrição para a Imƒ. γ - 1 γ + 1 Para complementar o estudo inicial das funções, você pode acessar: http://ellalves.net.br/textos/conteudo/43/funcao_dominio_e_imagem 1.2 Gráficos de funções Sendo ƒ uma função real de variável real, temos que o gráfico de ƒ no plano cartesiano χγ é dado pelo gráfico da equação γ=ƒ(χ). Ou ainda, o gráfico de ƒ é o conjunto dos pontos dados pelos pares ordenados (χ,γ) em que χ∈Dƒ e γ∈Imƒ. Por exemplo, o gráfico da função f(x)=x^2 é uma parábola construída considerando os pares ordenados (x,y). U1 15 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 16 x -2 -1 0 1 2 y 4 1 0 1 4 Fonte: Adaptado da ferramenta online Function Graphs (2015) Fonte: O autor (2015) Figura 1.1 | Gráfico de f(x)=x2 Figura 1.2 | Projeção de y=f(x) sobre os eixos coordenados O domínio e a imagem de uma função podem ser encontrados projetando o gráfico γ=ƒ(χ) sobre os eixos coordenados. Observe na figura 1.2 que a projeção de γ=ƒ(χ) sobre o eixo χ é o conjunto dos possíveis valores de χ, isto é, o domínio de ƒ. Já a projeção de γ=ƒ(χ) sobre o eixo γ é o conjunto dos valores de γ que se relacionam com os valores do Dƒ. Nas definições dadas no início da unidade aprendemos que, para que uma função exista, é preciso que exista um único valor da variável dependente para cada valor da variável independente, ou seja, para cada χ pertencente ao conjunto de entrada existe um único γ pertencente ao conjunto de saída. Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 17 Fonte: O autor (2015) Figura 1.3 | Esboços de gráficos Fundamentado nesta observação, podemos utilizar uma forma prática para verificarmos se uma curva no plano χγ é ou não uma função, tal método é também conhecido como “Teste da reta vertical”. Imagine retas verticais, paralelas ao eixo γ, passando pelos elementos do domínio. Caso todas as retas que você imaginou tocarem a curva em apenas um ponto, esta será uma função. É o caso do gráfico (a), da figura 1.3. Já no gráfico (b) as retas verticais tocam a curva em dois pontos, logo, não existe uma função representada por esta curva. Você consegue explicar por que o uso do “Teste da reta vertical” é válido? Para conhecer os gráficos das principais funções acesse: <http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/graficos-das- principais-funcoes-reconheca-as-curvas-mais-comuns.htm>. 1.3 Operações com funções Assim como os números são passíveis de operações, permitindo que sejam somados, multiplicados e divididos para se obter novos números, existem operações possíveis de serem realizadas entre duas ou mais funções, afim de se encontrar uma nova função. U1 16 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 16 x -2 -1 0 1 2 y 4 1 0 1 4 Fonte: Adaptado da ferramenta online Function Graphs (2015) Fonte: O autor (2015) Figura 1.1 | Gráfico de f(x)=x2 Figura 1.2 | Projeção de y=f(x) sobre os eixos coordenados O domínio e a imagem de uma função podem ser encontrados projetando o gráfico γ=ƒ(χ) sobre os eixos coordenados. Observe na figura 1.2 que a projeção de γ=ƒ(χ) sobre o eixo χ é o conjunto dos possíveis valores de χ, isto é, o domínio de ƒ. Já a projeção de γ=ƒ(χ) sobre o eixo γ é o conjunto dos valores de γ que se relacionam com os valores do Dƒ. Nas definições dadas no início da unidade aprendemos que, para que uma função exista, é preciso que exista um único valor da variável dependente para cada valor da variável independente, ou seja, para cada χ pertencente ao conjuntode entrada existe um único γ pertencente ao conjunto de saída. Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 17 Fonte: O autor (2015) Figura 1.3 | Esboços de gráficos Fundamentado nesta observação, podemos utilizar uma forma prática para verificarmos se uma curva no plano χγ é ou não uma função, tal método é também conhecido como “Teste da reta vertical”. Imagine retas verticais, paralelas ao eixo γ, passando pelos elementos do domínio. Caso todas as retas que você imaginou tocarem a curva em apenas um ponto, esta será uma função. É o caso do gráfico (a), da figura 1.3. Já no gráfico (b) as retas verticais tocam a curva em dois pontos, logo, não existe uma função representada por esta curva. Você consegue explicar por que o uso do “Teste da reta vertical” é válido? Para conhecer os gráficos das principais funções acesse: <http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/graficos-das- principais-funcoes-reconheca-as-curvas-mais-comuns.htm>. 1.3 Operações com funções Assim como os números são passíveis de operações, permitindo que sejam somados, multiplicados e divididos para se obter novos números, existem operações possíveis de serem realizadas entre duas ou mais funções, afim de se encontrar uma nova função. U1 17 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 18 (ƒ + g)(χ) = ƒ(χ) + g(χ) (ƒ - g)(χ) = ƒ(χ) - g(χ) (ƒ . g)(χ) = ƒ(χ) . g(χ) (ƒ / g)(χ) = ƒ(χ) / g(χ), para g(χ) ≠ 0 ƒ + g = ƒ(χ) + g(χ) = χ2 + χ - 2 ƒ - g = ƒ(χ) - g(χ) = χ2 - (χ - 2) = χ2 - χ + 2 ƒ . g = ƒ(χ) . g(χ) = (χ2) . (χ - 2) = χ3 - 2χ2 ƒ / g = ƒ(χ) / g(χ) = χ2 / (χ - 2), para χ ≠ 2 Sendo ƒ(χ) e g(χ) duas funções, definimos: O domínio de ƒ + g, ƒ - g e ƒ . g é definido como sendo a intersecção dos domínios de ƒ e g. Já para a função ƒ/g , o domínio é definido como a intersecção dos domínios de ƒ e g, eliminando os pontos em que g(χ)=0. Exemplo: Sejam, ƒ(χ)= χ2 e g(χ)=χ - 2, apresente ƒ + g, ƒ - g, ƒ . g e ƒ/g. Exemplo: Sejam, ƒ(χ)= χ2 - 2 e g(χ)=χ + 3, apresente ƒ o g e g o ƒ. Resposta: 1.4 Função composta Veremos agora outra operação possível de ser realizada entre funções que não apresenta analogia com nenhuma operação entre números. Sejam as funções ƒ e g, define-se função composta de ƒ em g, denotada por ƒ o g (lê-se ƒ composta g) por: (ƒ o g)(χ) = ƒ(g(χ)). Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 19 Resposta: 1.5 Função Elementares ƒ o g = ƒ(g(χ)) = [g(χ)]2 - 2 [g(χ)] = (χ + 3)2 - 2 (χ + 3) = χ2 + 6χ + 9 - 2χ - 6 = χ2 + 4χ + 3 g o ƒ = g(ƒ(χ)) = [ƒ(χ)] + 3 (χ2 - 2) + 3 = χ2 -2χ + 3 Podemos ter [ƒ o g](χ) = [g o ƒ](χ) ? Para saber mais sobre funções compostas acesse: <http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/ conteudo/capitulos/cap71s2.html>. Vamos relembrar agora os as funções mais conhecidas e utilizadas na prática. Uma função polinomial de grau n, ƒ: R → R é definida por: Sendo a i ∈R, i = 0,1,...,n e a n ≠ 0, n∈N. As funções polinomiais apresentam alguns casos particulares. Esses casos são classificados quanto ao grau da função ou aos seus coeficientes. A função ƒ(χ) = aχ + b (primeiro grau) recebe o nome de função afim. Quando uma função afim apresenta um coeficiente linear nulo ( ) recebe o nome de função linear. ƒ(χ) = a0 + a1χ + a2χ 2 + ... + a n χn U1 18 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 18 (ƒ + g)(χ) = ƒ(χ) + g(χ) (ƒ - g)(χ) = ƒ(χ) - g(χ) (ƒ . g)(χ) = ƒ(χ) . g(χ) (ƒ / g)(χ) = ƒ(χ) / g(χ), para g(χ) ≠ 0 ƒ + g = ƒ(χ) + g(χ) = χ2 + χ - 2 ƒ - g = ƒ(χ) - g(χ) = χ2 - (χ - 2) = χ2 - χ + 2 ƒ . g = ƒ(χ) . g(χ) = (χ2) . (χ - 2) = χ3 - 2χ2 ƒ / g = ƒ(χ) / g(χ) = χ2 / (χ - 2), para χ ≠ 2 Sendo ƒ(χ) e g(χ) duas funções, definimos: O domínio de ƒ + g, ƒ - g e ƒ . g é definido como sendo a intersecção dos domínios de ƒ e g. Já para a função ƒ/g , o domínio é definido como a intersecção dos domínios de ƒ e g, eliminando os pontos em que g(χ)=0. Exemplo: Sejam, ƒ(χ)= χ2 e g(χ)=χ - 2, apresente ƒ + g, ƒ - g, ƒ . g e ƒ/g. Exemplo: Sejam, ƒ(χ)= χ2 - 2 e g(χ)=χ + 3, apresente ƒ o g e g o ƒ. Resposta: 1.4 Função composta Veremos agora outra operação possível de ser realizada entre funções que não apresenta analogia com nenhuma operação entre números. Sejam as funções ƒ e g, define-se função composta de ƒ em g, denotada por ƒ o g (lê-se ƒ composta g) por: (ƒ o g)(χ) = ƒ(g(χ)). Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 19 Resposta: 1.5 Função Elementares ƒ o g = ƒ(g(χ)) = [g(χ)]2 - 2 [g(χ)] = (χ + 3)2 - 2 (χ + 3) = χ2 + 6χ + 9 - 2χ - 6 = χ2 + 4χ + 3 g o ƒ = g(ƒ(χ)) = [ƒ(χ)] + 3 (χ2 - 2) + 3 = χ2 -2χ + 3 Podemos ter [ƒ o g](χ) = [g o ƒ](χ) ? Para saber mais sobre funções compostas acesse: <http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/ conteudo/capitulos/cap71s2.html>. Vamos relembrar agora os as funções mais conhecidas e utilizadas na prática. Uma função polinomial de grau n, ƒ: R → R é definida por: Sendo a i ∈R, i = 0,1,...,n e a n ≠ 0, n∈N. As funções polinomiais apresentam alguns casos particulares. Esses casos são classificados quanto ao grau da função ou aos seus coeficientes. A função ƒ(χ) = aχ + b (primeiro grau) recebe o nome de função afim. Quando uma função afim apresenta um coeficiente linear nulo ( ) recebe o nome de função linear. ƒ(χ) = a0 + a1χ + a2χ 2 + ... + a n χn U1 19 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 20 A função linear em que a = 1 é classificada por função identidade. A função do tipo ƒ(χ) = b é chamada de função constante. Fonte: O autor (2015) Figura 1.4 | Esboços de gráficos de funções polinomiais de primeiro grau As funções de segundo e terceiro grau recebem o nome de função quadrática e função cúbica respectivamente. As funções de segundo grau estarão presentes em diversos estudos e aplicações. Por isso, é importante lembrarmos algumas características destas funções. Sendo ƒ(χ) = aχ2 + bχ + c, e a ≠ 0 temos que: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo γ. Para a>0, a parábola apresenta concavidade voltada para cima e para a<0, concavidade voltada para baixo. As raízes, ou zeros da função, são definidos pela intersecção da parábola com o eixo χ. O vértice da parábola apresenta coordenadas , sendo ∆ = b2 - 4ac. -b 2a( (-∆4a Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 21 Fonte: O autor (2015) Figura 1.5 | Esboços de gráficos de funções quadrática e cúbica Uma função é dita racional, se ela é o cociente entre duas funções polinomiais, isto é: ƒ(χ) = p(χ) q(χ) Sendo p(χ) e q(χ) polinômios e q(χ) ≠ 0. Sejam a > 0 e a ≠ 1 , a função exponencial de base a de ƒ : i → i definida por ƒ(χ) = aχ. Sobre as funções exponenciais é importante lembrar que: Im (ƒ) = R + * ƒ é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1. Sejam a > 0 e a ≠ 1, a função logarítmica de base a denotada por log a χ de ƒ : i + → i é definida como ƒ(χ) = log a χ . Existem também as funções trigonométricas. As mais comuns são seno, cosseno e tangente. Estas funções serão definidas e seus gráficos apresentados na figura 1.6, para isso assumimos ƒ: R → R. Para saber mais sobre funções quadráticas, assista ao vídeo disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=W7NbQuiNnsc>. U1 20 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 20 A função linear em que a = 1 é classificada por função identidade. A função do tipo ƒ(χ) = b é chamada de função constante. Fonte: O autor (2015) Figura 1.4 | Esboços de gráficos de funções polinomiais de primeiro grau As funções de segundo e terceiro grau recebem o nome de função quadrática e função cúbica respectivamente. As funções de segundo grau estarão presentes em diversos estudos e aplicações. Por isso, é importante lembrarmos algumas características destas funções. Sendo ƒ(χ) = aχ2 + bχ + c, e a ≠ 0 temos que: O gráfico de uma função quadrática é uma parábolacom eixo de simetria paralelo ao eixo γ. Para a>0, a parábola apresenta concavidade voltada para cima e para a<0, concavidade voltada para baixo. As raízes, ou zeros da função, são definidos pela intersecção da parábola com o eixo χ. O vértice da parábola apresenta coordenadas , sendo ∆ = b2 - 4ac. -b 2a( (-∆4a Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 21 Fonte: O autor (2015) Figura 1.5 | Esboços de gráficos de funções quadrática e cúbica Uma função é dita racional, se ela é o cociente entre duas funções polinomiais, isto é: ƒ(χ) = p(χ) q(χ) Sendo p(χ) e q(χ) polinômios e q(χ) ≠ 0. Sejam a > 0 e a ≠ 1 , a função exponencial de base a de ƒ : i → i definida por ƒ(χ) = aχ. Sobre as funções exponenciais é importante lembrar que: Im (ƒ) = R + * ƒ é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1. Sejam a > 0 e a ≠ 1, a função logarítmica de base a denotada por log a χ de ƒ : i + → i é definida como ƒ(χ) = log a χ . Existem também as funções trigonométricas. As mais comuns são seno, cosseno e tangente. Estas funções serão definidas e seus gráficos apresentados na figura 1.6, para isso assumimos ƒ: R → R. Para saber mais sobre funções quadráticas, assista ao vídeo disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=W7NbQuiNnsc>. U1 21 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 22 Fonte: O autor (2015) Figura 1.6 | Funções trigonométricas Para saber mais sobre algumas funções elementares, acesse os links: <http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoExponencial.aspx>. <http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoLogaritmica.aspx>. <http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/trigonometricas/funcoes_trig_circ_ trig/funcoes_trigon.htm>. Muitas vezes, as funções podem assumir comportamentos diferentes em intervalos do domínio, ou seja, uma mesma função pode ser classificada em crescente e decrescente, dependendo do intervalo considerado. Para saber mais sobre crescimento e decrescimento de funções acesse: <http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/estudo_var_fun/cresc_decresc/ cresc_decresc.htm>. 1.6 Função crescente e decrescente Dizemos que uma função ƒ é crescente em um intervalo [a, b] se à medida que se aumenta o valor de χ, dentro do intervalo, as imagens correspondentes também aumentam. Em outras palavras, ƒ é crescente em [a, b] se para quaisquer valores χ 1 e χ 2 ∈[a, b], com χ 1 < χ 2 , tivermos ƒ(χ 1 ) < ƒ(χ 2 ). Da mesma forma, podemos dizer que ƒ é decrescente em um intervalo [a, b], se à medida que se aumenta o valor de χ , dentro do intervalo, as imagens correspondentes vão diminuindo. Isto é, ƒ é decrescente em [a, b] se para quaisquer valores χ 1 e χ 2 ∈[a, b], com χ 1 < χ 2 , tivermos ƒ(χ 1 ) > ƒ(χ 2 ). Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 23 1.7 Função injetora, sobrejetora e bijetora Seja ƒ : A → B uma função, dizemos que: ƒ é injetora, se para todo χ 1 , χ 2 ∈ A , se ƒ(χ 1 ) = ƒ(χ 2 ) ⇒ χ 1 = χ 2 . ƒ é sobrejetora se Im(ƒ) = B ou, em outra palavras, . ƒ é bijetora se, e somente se, ƒ é injetora e sobrejetora. Através do gráfico da função podemos reconhecer se ƒ é ou não uma função bijetora. Para isso, devemos traçar retas paralelas ao eixo χ pelos pontos que pertencem ao contradomínio da função. Se cada uma dessas retas interceptar o gráfico em um único ponto, a função é bijetora. Para entender de uma forma mais fácil as três definições anteriores, assista ao vídeo do link: <https://www.youtube.com/watch?v=vTJCbbHFMxU> - O gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo das ordenadas, isto é, toda reta paralela ao eixo corta o gráfico simetricamente. - O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação à origem. - Uma função que não é par nem ímpar é chamada de função sem paridade. A função é par se para todo , . Vejamos alguns exemplos: é uma função par, pois . é uma função par, pois . A função é ímpar se para todo , . Vejamos alguns exemplos: é uma função ímpar pois, é uma função ímpar pois, U1 22 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 22 Fonte: O autor (2015) Figura 1.6 | Funções trigonométricas Para saber mais sobre algumas funções elementares, acesse os links: <http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoExponencial.aspx>. <http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoLogaritmica.aspx>. <http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/trigonometricas/funcoes_trig_circ_ trig/funcoes_trigon.htm>. Muitas vezes, as funções podem assumir comportamentos diferentes em intervalos do domínio, ou seja, uma mesma função pode ser classificada em crescente e decrescente, dependendo do intervalo considerado. Para saber mais sobre crescimento e decrescimento de funções acesse: <http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/estudo_var_fun/cresc_decresc/ cresc_decresc.htm>. 1.6 Função crescente e decrescente Dizemos que uma função ƒ é crescente em um intervalo [a, b] se à medida que se aumenta o valor de χ, dentro do intervalo, as imagens correspondentes também aumentam. Em outras palavras, ƒ é crescente em [a, b] se para quaisquer valores χ 1 e χ 2 ∈[a, b], com χ 1 < χ 2 , tivermos ƒ(χ 1 ) < ƒ(χ 2 ). Da mesma forma, podemos dizer que ƒ é decrescente em um intervalo [a, b], se à medida que se aumenta o valor de χ , dentro do intervalo, as imagens correspondentes vão diminuindo. Isto é, ƒ é decrescente em [a, b] se para quaisquer valores χ 1 e χ 2 ∈[a, b], com χ 1 < χ 2 , tivermos ƒ(χ 1 ) > ƒ(χ 2 ). Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 23 1.7 Função injetora, sobrejetora e bijetora Seja ƒ : A → B uma função, dizemos que: ƒ é injetora, se para todo χ 1 , χ 2 ∈ A , se ƒ(χ 1 ) = ƒ(χ 2 ) ⇒ χ 1 = χ 2 . ƒ é sobrejetora se Im(ƒ) = B ou, em outra palavras, . ƒ é bijetora se, e somente se, ƒ é injetora e sobrejetora. Através do gráfico da função podemos reconhecer se ƒ é ou não uma função bijetora. Para isso, devemos traçar retas paralelas ao eixo χ pelos pontos que pertencem ao contradomínio da função. Se cada uma dessas retas interceptar o gráfico em um único ponto, a função é bijetora. Para entender de uma forma mais fácil as três definições anteriores, assista ao vídeo do link: <https://www.youtube.com/watch?v=vTJCbbHFMxU> - O gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo das ordenadas, isto é, toda reta paralela ao eixo corta o gráfico simetricamente. - O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação à origem. - Uma função que não é par nem ímpar é chamada de função sem paridade. A função é par se para todo , . Vejamos alguns exemplos: é uma função par, pois . é uma função par, pois . A função é ímpar se para todo , . Vejamos alguns exemplos: é uma função ímpar pois, é uma função ímpar pois, U1 23 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 24 1.8 Função inversa A inversa de , denotada por , é a função que satisfaz, sendo i a função identidade. Para evidenciarmos a definição dada acima, vamos considerar os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e a função ƒ : A → B definida por ƒ(χ) = 2χ + 3. A função inversa de ƒ é ƒ-1(χ) = χ .1 2 3 2 Verificamos assim que ƒoƒ-1= ƒ-1oƒ = i satisfeito, então ƒ-1 (χ) = . 1 2 χ - 3 2 É importante perceber que apenasfunções bijetoras admitem inversa. Reflita o porquê de a afirmação acima ser verdade. A função inversa pode ser encontrada aplicando uma regra simples. Dada a função bijetora ƒ: A→B definida pela sentença γ = ƒ(χ), para obtermos a sentença aberta que define ƒ-1 devemos seguir os seguintes passos: i. Na sentença γ = ƒ(χ), trocamos as variáveis, isto é, colocamos χ no lugar do γ e γ no lugar do χ. ii. Transformamos algebricamente a expressão χ = ƒ(γ), expressando γ em função de χ. χ - 7 4 Exemplo: Qual a função inversa da função ƒ bijetora em i definida por ƒ(χ) = 4χ + 7? A função dada é γ = ƒ(χ) = 4χ + 7 i. γ = 4χ + 7 → χ = 4γ + 7 ii. χ = 4γ + 7 ⇒ 4γ + 7 = χ ⇒ 4γ = χ - 7 ⇒ γ = . Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 25 Logo, a inversa de ƒ, isto é, ƒ-1 é dada por γ = . χ - 7 4 2. Seja ƒ(χ) = χ2 e g(χ) = χ -3. A composta ƒog é: a. χ2 - 3 b. χ2 - 6χ + 9 c. χ2 - 6χ - 3 d. χ2 + 6χ + 9 e. χ2 - 6χ + 3 1. Considere a afirmação: ‘A função ƒ(χ)=√(χ2-1) é injetora e par’. Tal afirmação está: a. Correta. b. Incorreta, pois ƒ(χ) é injetora, mas não é par. c. Incorreta, pois ƒ(χ) é par, mas não é injetora. d. Incorreta, pois não é possível analisar ƒ(χ). e. Incorreta, pois ƒ(χ) não é par e não é injetora. a. ƒ-1 = b. ƒ-1 = c. ƒ-1 = e. ƒ-1 = d. ƒ-1 = χ + 2 3 χ - 2 3 2 - χ 3 χ 3 - (2 + χ) 3 3. Seja ƒ(χ): R → R definida por ƒ(χ) = 3χ - 2 . A sua inversa ƒ-1 é: U1 24 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 24 1.8 Função inversa A inversa de , denotada por , é a função que satisfaz, sendo i a função identidade. Para evidenciarmos a definição dada acima, vamos considerar os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e a função ƒ : A → B definida por ƒ(χ) = 2χ + 3. A função inversa de ƒ é ƒ-1(χ) = χ .1 2 3 2 Verificamos assim que ƒoƒ-1= ƒ-1oƒ = i satisfeito, então ƒ-1 (χ) = . 1 2 χ - 3 2 É importante perceber que apenas funções bijetoras admitem inversa. Reflita o porquê de a afirmação acima ser verdade. A função inversa pode ser encontrada aplicando uma regra simples. Dada a função bijetora ƒ: A→B definida pela sentença γ = ƒ(χ), para obtermos a sentença aberta que define ƒ-1 devemos seguir os seguintes passos: i. Na sentença γ = ƒ(χ), trocamos as variáveis, isto é, colocamos χ no lugar do γ e γ no lugar do χ. ii. Transformamos algebricamente a expressão χ = ƒ(γ), expressando γ em função de χ. χ - 7 4 Exemplo: Qual a função inversa da função ƒ bijetora em i definida por ƒ(χ) = 4χ + 7? A função dada é γ = ƒ(χ) = 4χ + 7 i. γ = 4χ + 7 → χ = 4γ + 7 ii. χ = 4γ + 7 ⇒ 4γ + 7 = χ ⇒ 4γ = χ - 7 ⇒ γ = . Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 25 Logo, a inversa de ƒ, isto é, ƒ-1 é dada por γ = . χ - 7 4 2. Seja ƒ(χ) = χ2 e g(χ) = χ -3. A composta ƒog é: a. χ2 - 3 b. χ2 - 6χ + 9 c. χ2 - 6χ - 3 d. χ2 + 6χ + 9 e. χ2 - 6χ + 3 1. Considere a afirmação: ‘A função ƒ(χ)=√(χ2-1) é injetora e par’. Tal afirmação está: a. Correta. b. Incorreta, pois ƒ(χ) é injetora, mas não é par. c. Incorreta, pois ƒ(χ) é par, mas não é injetora. d. Incorreta, pois não é possível analisar ƒ(χ). e. Incorreta, pois ƒ(χ) não é par e não é injetora. a. ƒ-1 = b. ƒ-1 = c. ƒ-1 = e. ƒ-1 = d. ƒ-1 = χ + 2 3 χ - 2 3 2 - χ 3 χ 3 - (2 + χ) 3 3. Seja ƒ(χ): R → R definida por ƒ(χ) = 3χ - 2 . A sua inversa ƒ-1 é: U1 25 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 26 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 27 Seção 2 Limite de uma função Uma das noções básicas no cálculo é o conceito de limite. A ideia de limite será abordada inicialmente de forma intuitiva. Em seguida, será trabalhada sua definição formal e seu cálculo. O conceito de limite nos permite estudar o comportamento de uma função na vizinhança de um ponto fora de seu domínio. Isto é, podemos identificar como uma função se comporta próximo a um ponto, mesmo que este ponto não esteja em seu domínio. Para entendermos melhor a ideia de limite, vamos analisar a função: Vamos estudar ƒ (χ) quando χ assume valores bem próximos de 2. Para χ < 2 teremos: Se χ ≠ 2, podemos dividir o numerador e o denominador por χ - 2 e assim obtermos ƒ (χ) = χ + 1. definida para χ ∈ R / χ ≠ 2. A função não está definida para χ = 2 . Como será o comportamento de ƒ (χ) quando χ assume valores bem próximos de 2? χ 1,00 1,50 1,75 1,90 1,99 1,999 ƒ (χ) 2,00 2,50 2,75 2,90 2,99 2,999 U1 26 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 26 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 27 Seção 2 Limite de uma função Uma das noções básicas no cálculo é o conceito de limite. A ideia de limite será abordada inicialmente de forma intuitiva. Em seguida, será trabalhada sua definição formal e seu cálculo. O conceito de limite nos permite estudar o comportamento de uma função na vizinhança de um ponto fora de seu domínio. Isto é, podemos identificar como uma função se comporta próximo a um ponto, mesmo que este ponto não esteja em seu domínio. Para entendermos melhor a ideia de limite, vamos analisar a função: Vamos estudar ƒ (χ) quando χ assume valores bem próximos de 2. Para χ < 2 teremos: Se χ ≠ 2, podemos dividir o numerador e o denominador por χ - 2 e assim obtermos ƒ (χ) = χ + 1. definida para χ ∈ R / χ ≠ 2. A função não está definida para χ = 2 . Como será o comportamento de ƒ (χ) quando χ assume valores bem próximos de 2? χ 1,00 1,50 1,75 1,90 1,99 1,999 ƒ (χ) 2,00 2,50 2,75 2,90 2,99 2,999 U1 27 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 28 Para χ > 2 teremos: χ 3,00 2,50 2,25 2,10 2,01 2,001 ƒ (χ) 4,00 3,50 3,25 3,10 3,01 3,001 Os limites para χ < 2 e χ > 2 são chamados de limites laterais. O tema será abordado de forma mais completa ainda neste material. Você já deve ter percebido que, conforme o valor de χ se aproxima de 2, ƒ (χ) fica cada vez mais próxima de 3. Ou ainda, podemos tornar ƒ (χ) tão próximo de 3 quanto desejarmos, basta tomarmos χ suficientemente próximo de 2, conforme observado na figura 1.7. A partir desta observação podemos definir, de forma informal: seja ƒ uma função definida em um intervalo que contenha o ponto a, exceto eventualmente no próprio a, dizemos que: Fonte: O autor (2015) Figura 1.7 | Esboço do gráfico de ƒ (χ)=χ+1 para χ≠2 O limite descreve o comportamento da função em pontos extremamente próximos de , mas jamais no próprio . Para saber mais sobre os conceitos de limite, assista ao vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=iUxAIFuX7f4&list=PLB938B28006 4A4AB4 3 1 1 2 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 29 2.1 Propriedades de limites Teorema 3: Se e , então: Ainda explorando a ideia intuitiva de limite, vamos agora apresentar suas propriedades a as regras básicas para seu cálculo. A apresentação será feita por meio de teoremas. Teorema 1: Se existe, ele é único. Teorema 2: Se a, b e c são números reais e ƒ(χ) = bχ + c. Então a. . b. . c. . d. desde que . e. desde que quando n for par. f. e . h. , desde que L 1 > 0. g. Você pode ver a demonstração de algumas das propriedades apresentadas acima acessando: <http://www.uff.br/webmat/Calc1_ LivroOnLine/Cap05_Calc1.html#PropriedadesLimite>. U1 28 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 28 Para χ > 2 teremos: χ 3,00 2,50 2,25 2,10 2,01 2,001 ƒ (χ) 4,00 3,50 3,25 3,103,01 3,001 Os limites para χ < 2 e χ > 2 são chamados de limites laterais. O tema será abordado de forma mais completa ainda neste material. Você já deve ter percebido que, conforme o valor de χ se aproxima de 2, ƒ (χ) fica cada vez mais próxima de 3. Ou ainda, podemos tornar ƒ (χ) tão próximo de 3 quanto desejarmos, basta tomarmos χ suficientemente próximo de 2, conforme observado na figura 1.7. A partir desta observação podemos definir, de forma informal: seja ƒ uma função definida em um intervalo que contenha o ponto a, exceto eventualmente no próprio a, dizemos que: Fonte: O autor (2015) Figura 1.7 | Esboço do gráfico de ƒ (χ)=χ+1 para χ≠2 O limite descreve o comportamento da função em pontos extremamente próximos de , mas jamais no próprio . Para saber mais sobre os conceitos de limite, assista ao vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=iUxAIFuX7f4&list=PLB938B28006 4A4AB4 3 1 1 2 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 29 2.1 Propriedades de limites Teorema 3: Se e , então: Ainda explorando a ideia intuitiva de limite, vamos agora apresentar suas propriedades a as regras básicas para seu cálculo. A apresentação será feita por meio de teoremas. Teorema 1: Se existe, ele é único. Teorema 2: Se a, b e c são números reais e ƒ(χ) = bχ + c. Então a. . b. . c. . d. desde que . e. desde que quando n for par. f. e . h. , desde que L 1 > 0. g. Você pode ver a demonstração de algumas das propriedades apresentadas acima acessando: <http://www.uff.br/webmat/Calc1_ LivroOnLine/Cap05_Calc1.html#PropriedadesLimite>. U1 29 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 30 Utilizando as propriedades apresentadas acima, temos: Qual é o limite de quando χ tende a 2? 2.2 Teorema do Confronto Seja a um número real e ƒ,g e h funções que satisfazem ƒ(χ) ≤ h(χ) ≤ g(χ), para todo χ∈R, exceto eventualmente para χ=a. Se lim ƒ(χ) = lim g(χ) = L. lim h(χ) = L.Então χ → a χ → a χ → a O Teorema do Confronto é também conhecido como Teorema do Sanduíche. Reflita o porquê do termo sanduíche ser aplicado neste contexto. Mais informações sobre o Teorema do Confronto, bem como sua demonstração, você encontra acessando o site: <http://ecalculo.if.usp. br/ferramentas/limites/calculo_lim/teoremas/teo_confronto.htm>. Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 31 2.3 Indeterminação Agora, e . Exemplo: Calcule . Resposta: Podemos afirmar que . Multiplicando a desigualdade por χ4, temos: Pelo Teorema do Confronto, temos que A propriedade d do teorema 3 nos diz que o desde que L 2 ≠ 0. Tal restrição é clara, uma vez que a divisão por zero não está definida. Como calcular, então, o ? Sendo , não podemos aplicar a propriedade. Caso você não percebesse, a princípio, que o denominador tende a zero, e aplicasse a propriedade, você encontraria a expressão , pois também é igual a 0. Temos aqui um caso de indeterminação. Para casos como este, deve-se, quando possível, reescrever a expressão estudada de outra forma equivalente. Para χ ≠ 2, temos que Logo 0 0 U1 30 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 30 Utilizando as propriedades apresentadas acima, temos: Qual é o limite de quando χ tende a 2? 2.2 Teorema do Confronto Seja a um número real e ƒ,g e h funções que satisfazem ƒ(χ) ≤ h(χ) ≤ g(χ), para todo χ∈R, exceto eventualmente para χ=a. Se lim ƒ(χ) = lim g(χ) = L. lim h(χ) = L.Então χ → a χ → a χ → a O Teorema do Confronto é também conhecido como Teorema do Sanduíche. Reflita o porquê do termo sanduíche ser aplicado neste contexto. Mais informações sobre o Teorema do Confronto, bem como sua demonstração, você encontra acessando o site: <http://ecalculo.if.usp. br/ferramentas/limites/calculo_lim/teoremas/teo_confronto.htm>. Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 31 2.3 Indeterminação Agora, e . Exemplo: Calcule . Resposta: Podemos afirmar que . Multiplicando a desigualdade por χ4, temos: Pelo Teorema do Confronto, temos que A propriedade d do teorema 3 nos diz que o desde que L 2 ≠ 0. Tal restrição é clara, uma vez que a divisão por zero não está definida. Como calcular, então, o ? Sendo , não podemos aplicar a propriedade. Caso você não percebesse, a princípio, que o denominador tende a zero, e aplicasse a propriedade, você encontraria a expressão , pois também é igual a 0. Temos aqui um caso de indeterminação. Para casos como este, deve-se, quando possível, reescrever a expressão estudada de outra forma equivalente. Para χ ≠ 2, temos que Logo 0 0 U1 31 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 32 Outros casos de indeterminação são , 0.∞ e ∞ - ∞ (e suas variações). Para conhecer alguns exemplos de indeterminações, acesse: <http:// www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/cap07_TiposIndeterm.html>. ∞ ∞ Exemplo: I. Calcule II. Calcule Como Fatorando os polinômios do numerador e do denominador, podemos escrever: Logo, O limite apresenta mais uma vez uma indeterminação do tipo . Neste caso, não se trata de um quociente de polinômios e para reescrever a expressão pode-se usar o artifício de multiplicar o numerador e o denominador por . temos uma indeterminação do tipo . e 0 0 0 0 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 33 III. Calcule O exemplo III apresenta outro tipo de indeterminação do tipo . Aqui, uma solução possível para encontrarmos uma expressão equivalente que permita o cálculo do limite é utilizar o artifício da mudança de variável. Assumindo , reescreveremos toda a expressão em função de u. Se então, , logo χ = 9 - u3. Se χ → 1, então . Logo u → 2. Assim, A expressão pode ser reescrita na forma . Logo, 0 0 No início dos estudos de limites foi mencionada a existência dos limites laterais. Vimos que o estudo do comportamento de uma função nos valores próximos a a, isto é, uma função definida em um intervalo que contenha o ponto a, exceto eventualmente no próprio a, deve ser feita para valores menores que a e maiores que a. Para χ < a, é calculado o limite lateral à esquerda, e para χ > a calculamos o limite lateral à direita. Esses limites são definidos da seguinte forma: Seja ƒ uma função definida em um intervalo aberto ]a,b[ . O limite de ƒ(χ) , quando χ se aproxima de a pela direita é L 1 e escrevemos . 2.4 Limites Laterais U1 32 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 32 Outros casos de indeterminação são , 0.∞ e ∞ - ∞ (e suas variações). Para conhecer alguns exemplos de indeterminações, acesse: <http:// www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/cap07_TiposIndeterm.html>. ∞ ∞ Exemplo: I. Calcule II. Calcule Como Fatorando os polinômios do numerador e do denominador, podemos escrever: Logo, O limite apresenta mais uma vez uma indeterminação do tipo . Neste caso, nãose trata de um quociente de polinômios e para reescrever a expressão pode-se usar o artifício de multiplicar o numerador e o denominador por . temos uma indeterminação do tipo . e 0 0 0 0 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 33 III. Calcule O exemplo III apresenta outro tipo de indeterminação do tipo . Aqui, uma solução possível para encontrarmos uma expressão equivalente que permita o cálculo do limite é utilizar o artifício da mudança de variável. Assumindo , reescreveremos toda a expressão em função de u. Se então, , logo χ = 9 - u3. Se χ → 1, então . Logo u → 2. Assim, A expressão pode ser reescrita na forma . Logo, 0 0 No início dos estudos de limites foi mencionada a existência dos limites laterais. Vimos que o estudo do comportamento de uma função nos valores próximos a a, isto é, uma função definida em um intervalo que contenha o ponto a, exceto eventualmente no próprio a, deve ser feita para valores menores que a e maiores que a. Para χ < a, é calculado o limite lateral à esquerda, e para χ > a calculamos o limite lateral à direita. Esses limites são definidos da seguinte forma: Seja ƒ uma função definida em um intervalo aberto ]a,b[ . O limite de ƒ(χ) , quando χ se aproxima de a pela direita é L 1 e escrevemos . 2.4 Limites Laterais U1 33 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 34 Seja ƒ uma função definida em um intervalo aberto ]c,a[. O limite de ƒ(χ), quando χ se aproxima de a pela esquerda é L 2 e escrevemos . Exemplo: Observe os limites das funções apresentadas na figura 1.8. Os limites laterais de ƒ(χ) quando χ tende a a são lim ƒ(χ) = 2 e lim ƒ(χ) = 6 . Logo, podemos afirmar que lim ƒ(χ) não existe, pois seus limites laterais são diferentes. Já na função g(χ), os limites laterais são lim g(χ) = 5 e lim g(χ) = 5 . Sendo os limites laterais iguais, podemos afirmar que lim g(χ) existe e é igual a 5. Mesmo que o valor de g em χ=b seja diferente do limite de g(χ) quando χ→b. Condição de existência para lim ƒ(χ) é que os limites laterais existam e sejam iguais. Isto é: χ → a χ → a χ → a χ → a lim ƒ(χ) = L se, e somente se, lim ƒ(χ) + lim ƒ(χ) = L. Para o caso de termos lim ƒ(χ) ≠ lim ƒ(χ), dizemos que lim ƒ(χ) não existe. χ → a+ χ → b+ χ → b- χ → a- χ → a χ → a χ → a Fonte: O autor (2015) Figura 1.8 | Esboços de ƒ(χ) e g(χ) Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 35 II. Seja ƒ(χ)=χ2 - 4, temos que lim ƒ(χ) = 0 e lim ƒ(χ) = 0. Logo, lim ƒ(χ) existe e é também igual a 0. III. Seja vamos determinar lim g(χ) e lim g(χ). O primeiro passo é reescrevermos g(χ) eliminando o valor absoluto. Como χ2 - 4 = (χ - 2)(χ + 2), podemos escrever: Agora fica fácil calcularmos os limites laterais, basta utilizarmos a ideia apresentada no início da seção. Como, lim g(χ) = lim g(χ) temos que lim g(χ) não existe. Logo, χ → 2+ χ → 2+ χ → 2- χ → 2- χ → a logo χ → 2+ χ → 2- χ → 2 U1 34 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 34 Seja ƒ uma função definida em um intervalo aberto ]c,a[. O limite de ƒ(χ), quando χ se aproxima de a pela esquerda é L 2 e escrevemos . Exemplo: Observe os limites das funções apresentadas na figura 1.8. Os limites laterais de ƒ(χ) quando χ tende a a são lim ƒ(χ) = 2 e lim ƒ(χ) = 6 . Logo, podemos afirmar que lim ƒ(χ) não existe, pois seus limites laterais são diferentes. Já na função g(χ), os limites laterais são lim g(χ) = 5 e lim g(χ) = 5 . Sendo os limites laterais iguais, podemos afirmar que lim g(χ) existe e é igual a 5. Mesmo que o valor de g em χ=b seja diferente do limite de g(χ) quando χ→b. Condição de existência para lim ƒ(χ) é que os limites laterais existam e sejam iguais. Isto é: χ → a χ → a χ → a χ → a lim ƒ(χ) = L se, e somente se, lim ƒ(χ) + lim ƒ(χ) = L. Para o caso de termos lim ƒ(χ) ≠ lim ƒ(χ), dizemos que lim ƒ(χ) não existe. χ → a+ χ → b+ χ → b- χ → a- χ → a χ → a χ → a Fonte: O autor (2015) Figura 1.8 | Esboços de ƒ(χ) e g(χ) Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 35 II. Seja ƒ(χ)=χ2 - 4, temos que lim ƒ(χ) = 0 e lim ƒ(χ) = 0. Logo, lim ƒ(χ) existe e é também igual a 0. III. Seja vamos determinar lim g(χ) e lim g(χ). O primeiro passo é reescrevermos g(χ) eliminando o valor absoluto. Como χ2 - 4 = (χ - 2)(χ + 2), podemos escrever: Agora fica fácil calcularmos os limites laterais, basta utilizarmos a ideia apresentada no início da seção. Como, lim g(χ) = lim g(χ) temos que lim g(χ) não existe. Logo, χ → 2+ χ → 2+ χ → 2- χ → 2- χ → a logo χ → 2+ χ → 2- χ → 2 U1 35 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 36 Em alguns casos, a função pode assumir valores cada vez maiores, ou cada vez menores. Observe a função ƒ(χ) = definida para R*. Como é o comportamento de ƒ(χ) próximo a 0? Para χ < 0 teremos: A partir da tabela acima e do gráfico de ƒ(χ) apresentado na figura 1.9 é fácil perceber que, conforme χ se aproxima de 0 pela direita, os valores de ƒ(χ) crescem infinitamente e de forma positiva. Quando χ se aproxima de 0 pela esquerda, ƒ(χ) assume valores negativos e decrescem infinitamente. Para χ > 0 teremos: 2.5 Limites e infinitos χ 1 χ -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 ƒ (χ) -1 -10 -100 -1.000 -10.000 χ 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 ƒ (χ) 10.000 1.000 100 10 1 Fonte: O autor (2015) Figura 1.9 | Gráfico de ƒ(χ) = χ 1 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 37 Quando lim ƒ(χ) = + ∞ e lim ƒ(χ) = + ∞ , podemos afirmar que lim ƒ(χ) existe, e ainda lim ƒ(χ) = + ∞. De forma análoga, temos que lim ƒ(χ) = + ∞ se lim ƒ(χ) = lim ƒ(χ) = + ∞. Outra caso que envolve valores infinitos é quando χ assume valores cada vez maiores, ou menores. Nestes casos, teremos limite no infinito. Para definir esses limites, usamos a seguinte notação: lim ƒ(χ) = L se os valores de ƒ(χ) forem se aproximando cada vez mais de L à medida que χ cresce indefinidamente. Da mesma forma podemos dizer que: lim ƒ(χ) = L se os valores de ƒ(χ) forem se aproximando cada vez mais de L à medida que χ decresce indefinidamente. Além das propriedades para o cálculo de limites já apresentadas, que são válidas para limites no infinito, devemos saber também que: χ → a+ χ → a+ χ → a- χ → a- χ → a χ → a χ → + ∞ χ → - ∞ χ → a As demonstrações das propriedades acima podem ser conferidas acessando o link: <http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1. html#Observacao_7-1>. Exemplo: Calcule . U1 36 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 36 Em alguns casos, a função pode assumir valores cada vez maiores, ou cada vez menores. Observe a função ƒ(χ) = definida para R*. Como é o comportamento de ƒ(χ) próximo a 0? Para χ < 0 teremos: A partir da tabela acima e do gráfico de ƒ(χ) apresentado na figura 1.9 é fácil perceber que, conforme χ se aproxima de 0 pela direita, os valores de ƒ(χ) crescem infinitamente e de forma positiva. Quando χ se aproxima de 0 pela esquerda, ƒ(χ) assume valores negativos e decrescem infinitamente. Para χ > 0 teremos: 2.5 Limites e infinitos χ 1 χ -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 ƒ (χ) -1 -10 -100 -1.000 -10.000 χ 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 ƒ (χ) 10.000 1.000 100 10 1 Fonte: O autor (2015) Figura 1.9 | Gráfico de ƒ(χ) = χ 1 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 37 Quando lim ƒ(χ) = + ∞ e lim ƒ(χ) = + ∞ , podemos afirmar que lim ƒ(χ) existe, e ainda lim ƒ(χ) = + ∞. De forma análoga, temos que lim ƒ(χ) = + ∞ se lim ƒ(χ) = lim ƒ(χ) = + ∞. Outra caso que envolve valores infinitos é quando χ assume valores cada vez maiores, ou menores. Nestes casos, teremos limite no infinito. Paradefinir esses limites, usamos a seguinte notação: lim ƒ(χ) = L se os valores de ƒ(χ) forem se aproximando cada vez mais de L à medida que χ cresce indefinidamente. Da mesma forma podemos dizer que: lim ƒ(χ) = L se os valores de ƒ(χ) forem se aproximando cada vez mais de L à medida que χ decresce indefinidamente. Além das propriedades para o cálculo de limites já apresentadas, que são válidas para limites no infinito, devemos saber também que: χ → a+ χ → a+ χ → a- χ → a- χ → a χ → a χ → + ∞ χ → - ∞ χ → a As demonstrações das propriedades acima podem ser conferidas acessando o link: <http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1. html#Observacao_7-1>. Exemplo: Calcule . U1 37 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 38 Observe que o limite apresenta uma indeterminação do tipo . Afim de resolvermos o problema, vamos dividir o numerador e o denominador da função por χ3. Observe que tal argumento só é válido pois χ ≠ 0. ∞ ∞ Como , temos Vamos voltar ao exemplo do tópico anterior, a função ƒ(χ) = definida para R* , com o gráfico apresentado na figura 1.9. Observe que ƒ(χ) aproxima-se da reta χ = 0 cada vez mais, chegando a confundir-se com ela. Do mesmo modo, ƒ(χ) aproxima-se da reta γ = 0 cada vez mais. Retas que apresentam características como as descritas acima são chamadas de assíntotas e são definidas da seguinte maneira: 2.6 Assíntotas 1 χ • Uma reta χ = a é uma assíntota vertical ao gráfico de ƒ(χ) caso lim ƒ(χ) = + ∞ ou lim ƒ(χ) = + ∞ χ → a+ χ → a- - - • Uma reta γ = a é uma assíntota horizontal ao gráfico da função ƒ(χ) caso lim ƒ(χ) = b. χ → + ∞- • lim ƒ(χ) e lim ƒ(χ), sendo a um ponto de descontinuidade de ƒ. Caso esses limites sejam +∞, temos que a reta χ = a é uma assíntota vertical. - - • Calcular os lim ƒ(χ) e lim ƒ(χ), e se o valor encontrado for um número real a, temos que a reta γ = a é uma assíntota horizontal. χ → + ∞ χ → - ∞ Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 39 Verificar a existência de assíntotas e identificá-las facilita a construção do gráfico de uma função, tornando mais fácil o seu estudo. Exemplo: O esboço do gráfico de ƒ(χ) pode ser verificado na figura 1.10. Vamos verificar a existência de assíntotas verticais: Temos que χ=-3 é um ponto crítico de , pois para χ=-3, teríamos o valor zero no denominador. Vamos, então, calcular . , temos que γ=1 é uma assíntota horizontal. , temos que γ=1 é uma assíntota horizontal. Seja a função vamos encontrar, caso exista, suas assíntotas. Vamos verificar a existência de assíntotas horizontais: Para facilitar o cálculo dos limites, vamos reescrever ƒ(χ) Logo, e χ=-3 é assíntota vertical. U1 38 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 38 Observe que o limite apresenta uma indeterminação do tipo . Afim de resolvermos o problema, vamos dividir o numerador e o denominador da função por χ3. Observe que tal argumento só é válido pois χ ≠ 0. ∞ ∞ Como , temos Vamos voltar ao exemplo do tópico anterior, a função ƒ(χ) = definida para R* , com o gráfico apresentado na figura 1.9. Observe que ƒ(χ) aproxima-se da reta χ = 0 cada vez mais, chegando a confundir-se com ela. Do mesmo modo, ƒ(χ) aproxima-se da reta γ = 0 cada vez mais. Retas que apresentam características como as descritas acima são chamadas de assíntotas e são definidas da seguinte maneira: 2.6 Assíntotas 1 χ • Uma reta χ = a é uma assíntota vertical ao gráfico de ƒ(χ) caso lim ƒ(χ) = + ∞ ou lim ƒ(χ) = + ∞ χ → a+ χ → a- - - • Uma reta γ = a é uma assíntota horizontal ao gráfico da função ƒ(χ) caso lim ƒ(χ) = b. χ → + ∞- • lim ƒ(χ) e lim ƒ(χ), sendo a um ponto de descontinuidade de ƒ. Caso esses limites sejam +∞, temos que a reta χ = a é uma assíntota vertical. - - • Calcular os lim ƒ(χ) e lim ƒ(χ), e se o valor encontrado for um número real a, temos que a reta γ = a é uma assíntota horizontal. χ → + ∞ χ → - ∞ Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 39 Verificar a existência de assíntotas e identificá-las facilita a construção do gráfico de uma função, tornando mais fácil o seu estudo. Exemplo: O esboço do gráfico de ƒ(χ) pode ser verificado na figura 1.10. Vamos verificar a existência de assíntotas verticais: Temos que χ=-3 é um ponto crítico de , pois para χ=-3, teríamos o valor zero no denominador. Vamos, então, calcular . , temos que γ=1 é uma assíntota horizontal. , temos que γ=1 é uma assíntota horizontal. Seja a função vamos encontrar, caso exista, suas assíntotas. Vamos verificar a existência de assíntotas horizontais: Para facilitar o cálculo dos limites, vamos reescrever ƒ(χ) Logo, e χ=-3 é assíntota vertical. U1 39 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 40 Fonte: O autor (2015) Figura 1.10 | Gráfico de ƒ(χ) e suas assíntotas Para saber mais sobre as assíntotas, acesse os links: <http://checkmath.wordpress.com/2013/06/20/retas-assintotas/>. <https://www.youtube.com/watch?v=-FfodxO713c>. Limites de funções também podem ser calculados a partir de limites já conhecidos, chamados de limites fundamentais. São três os limites fundamentais que iremos trabalhar: 1. 2. 3. 2.7 Limites fundamentais Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 41 Agora que você já entendeu o conceito de limite de forma intuitiva, será apresentada a definição formal. Para apresentar tal definição, vamos mais uma vez usar um exemplo: Seja, Seja u=5χ, então χ=u / 5 e se χ→0 , u→0. Substituindo na função inicial, temos Exemplos: I. Calcule . II. Calcule . III. Calcule . Calculamos, então, o limite. Colocando 35χ em evidência, tem-se . Para obtermos um expoente igual ao denominador, podemos ainda multiplicar a expressão por , obtendo . A expressão pode ser escrita na forma . O artifício é utilizado a fim de se obter o expoente χ igual ao denominador 2χ. Feito isso, temos que: 2.8 Definição formal de limite -3 -3 U1 40 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 40 Fonte: O autor (2015) Figura 1.10 | Gráfico de ƒ(χ) e suas assíntotas Para saber mais sobre as assíntotas, acesse os links: <http://checkmath.wordpress.com/2013/06/20/retas-assintotas/>. <https://www.youtube.com/watch?v=-FfodxO713c>. Limites de funções também podem ser calculados a partir de limites já conhecidos, chamados de limites fundamentais. São três os limites fundamentais que iremos trabalhar: 1. 2. 3. 2.7 Limites fundamentais Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 41 Agora que você já entendeu o conceito de limite de forma intuitiva, será apresentada a definição formal. Para apresentar tal definição, vamos mais uma vez usar um exemplo: Seja, Seja u=5χ, então χ=u / 5 e se χ→0 , u→0. Substituindo na função inicial, temos Exemplos: I. Calcule . II. Calcule . III. Calcule . Calculamos, então, o limite. Colocando 35χ em evidência, tem-se . Para obtermos um expoente igual ao denominador, podemos ainda multiplicar a expressão por , obtendo . A expressão pode ser escrita na forma . O artifício é utilizado a fim de se obter o expoente χ igual ao denominador 2χ. Feito isso, temos que: 2.8 Definição formal de limite -3 -3 U1 41 Funções, limite, continuidade e definição de derivada U1 42 Usando a ideia de limite que aprendemos
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