exercicio 3 curvas de nivel

Prévia do material em texto

3. Determine quais condições são necessárias para que dada a função
2 2
( , )
1
y
f x y
x y


 
, uma das curvas de nível seja uma e reta e as outras 
círculos. 
 
 
Resolução: 
 
OBS.: Note que o domínio são todos os reais. 
Porém para termos circunferências, cujos elementos são centro e raio, e 
pontos pertencentes a mesma, sendo que o raio é a distância de cada ponto 
ao centro, sendo assim esse valor não pode ser nulo nem negativo. 
 
 
2 2 1
y
Sendo k
x y


 
 
 
0 0.: 0
² ² 1
0k
y
y y
x y

    
 
 
 
     
    
 
   
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 2 1
1 2 2
2 1 0. :
² 2.1. 1 1
2 1 0
0
2 2
1
1 0
1
2
y
y x y y x y
x y
x y y Escrever na forma reduzida
x y y
x y
k
y
x y
y

          
 
   
 
 
   
   
  
 

     
 
    
 
   
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2
1 1
1 4 1
1 4 4
4 1 0 . :
² 2.2. 1 4
4 4 3
0 2 3 : (0, 2)
2
4 4
1
1
3
4
y
y x y y x y
x y
x y y Escrever na forma reduzida
x y y
x y y
x y com C
k
e r
y

          
 
   
     
   
     
   


     
 
    
 
   
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
1 1
1 4 1
1
4
4 4
2
1 4 4
4 1 0 . :
² 2.2. 1 4
4 4 3
0 2 3 : (0, 3
1
2)
y
y x y y x y
x y
x y y Escrever n
y
a forma reduzida
x y y
x y y
x y com C e r
k

           
 
   
     


  
    
  


     
 
 
 
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
1 1
1 5 1
1 5 5
5 1 0 . :
5 25
² 2. . 1
5 5
1
2 4
25 21
5
4 4
5 2
5
1
5
1 5 21 21
0 : (0, )
2 4 2 4 2
2
y
y x y y x y
x y
x y y Escrever na forma reduzida
x y y
x y y
x y com C e
y
r
k

          
 
   
 
       
 
 
    
 
 
        

 
 
 

   

     
 
 
 
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2
1 1
1 5 1
1 5 5
5 1 0 . :
5 25
² 2. . 1
2 4
25 21
5
4 4
5 21 5 21 21
0 :
5
1
5
(0, )
5
2 4 2
5
1
2
4 2
y
y x y y x y
x y
x y y Escrever na forma reduzida
x y y
x y y
x y com C e r
k y

           
 
   
 
       
 
 
   
 
 
 


 
 
      
  


 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que ao atribuirmos alguns valores não é possível determinar 
uma circunferência como descrito na observação inicial. 
Exemplos: 
 
 
 
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2
2
1 1
1
1 0. :
1 1
² 2. . 1
2 4
1 3
4 4
1 3
0
2 4
1
1
3
(0; ) ²
2
2
4
1
y
y x y
x y
x y y Escrever na forma reduzida
x y y
x y y
x x
Sendo e r
k y
C
 


      
 
   
 
       
 
 
    
 
 
     


 



  
 
 
 
 
 
 
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2
2
2 2
2
2 2 2 2
1
2 2 2 0 : 2 1
2
:
1 1
² 2. . 1
4 16
1 15
4 16
1 15
0
2 16
1 15
(0; ) ²
2 16
2
1
4
y
y x y
x y
y
x y y x y
Escrever na forma reduzida
x y y
x y y
x x
Send C e r
y
o
k

      
 
        
 
       
 
 
     
 
 
  
 
 
  
 
  
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico das curvas de nível: 
 
 
 
Gráfico da função: