1 Lajes

Prévia do material em texto

1 
CAPÍTULO 1 
LAJES 
 
1.1 Tipos de lajes 
 
1.1.1 Laje Alveolar 
 
São lajes produzidas em concreto protendido alveolar, com aplicações em grandes vãos, 
reduzindo a espessura média da estrutura e proporcionando economia de material. Tem 
capacidade de carga muito superior à das lajes convencionais de concreto armado e, por isso, 
podem alcançar grandes vãos sem a necessidade de colocação de vigas sob as paredes. Dessa 
forma, proporcionam grande versatilidade do projeto de arquitetura. 
 
 
Figura 1.1 Lajes alveolares 
 
1.1.2 Laje Nervurada 
 
As lajes nervuradas apresentam uma das estruturas mais inteligentes, quando nos 
referimos ao aproveitamento da resistência do material, alcançando-se maiores vãos se 
comparado com as lajes convencionais. O aproveitamento da resistência consiste no afastamento 
 2 
do concreto (material pouco resistente à tração) das zonas tracionadas e concentração desse 
material nas zonas comprimidas. 
As lajes nervuradas podem ser armadas em uma ou em duas direções, são conhecidas 
como laje nervuradas em uma ou duas direções. As nervuras são criadas através de inserção de 
material de enchimento, geralmente isopor. 
A laje nervurada Atex consiste em formas de polipropileno montadas lado a lado, que ao 
serem concretadas formam nervuras nas lajes. Uma característica marcante desse modelo se 
encontra no aproveitamento da forma para acabamento interno. 
 
 
Figura 1.2 Lajes Nervuradas 
 
1.1.3 Laje Cogumelo ou Lisa 
 
Laje cogumelo ou lisa, são placas estruturais moldadas “in loco” apoiadas diretamente 
sobre os pilares, não havendo dessa maneira a existência das vigas de apoio; são conhecidas 
também como lajes puncionadas. Sua armadura é basicamente radial, concentrando maiores 
taxas de armadura próximo as regiões puncionadas, ou melhor, regiões sobre os apoios. 
 
 3 
 
Figura 1.3 Lajes cogumelos ou lisas 
 
1.1.4 Laje Grelha 
 
Geralmente a laje tipo grelha é utilizada para vencer grandes vãos, devido ao pequeno 
peso próprio da estrutura, a qual é formada por um conjunto de vigas responsáveis pela 
resistência ao momento fletor. 
 
 
Figura 1.4 Lajes Grelhas 
 4 
1.1.5 Painel de Concreto 
 
Os painéis laje podem ser empregados em estruturas de concreto convencionais, pré-
moldadas, metálicas e sobre alvenarias autoportantes, sendo basicamente composto por concreto 
e armadura (malha de aço eletro-soldada). Além disso não necessitam de escoramentos e formas 
durante a sua execução. 
Sobre os painéis posiciona-se uma malha de aço soldada, envolvendo-a com o contra-
piso (espessura de 3 a 4 cm). Já as mangueiras, para a passagem das instalações elétricas, devem 
ser embutidas no contra-piso. 
 
 
Figura 1.5 Painel de concreto 
 
1.1.6 Laje Treliçada 
 
As lajes treliçadas são as mais comuns do mercado, sendo composta por vigotas de 
concreto armado, material de enchimento (tijolos cerâmicos ou isopor) e uma cobertura de 
concreto feita “in loco”. 
Sua concepção estrutural é próxima a uma laje nervurada em uma direção, tendo as 
vigotas trabalhando a tração e a capa de concreto trabalhando a compressão. A função do 
enchimento é basicamente diminuir a quantidade de material, principalmente próxima a região 
da linha neutra. 
 
 5 
 
Figura 1.6 Lajes treliçadas 
 
1.1.7 Laje Caixão Perdido 
 
São lajes que apresentam elevada inércia se comparado com uma laje convencional 
construída com a mesma quantidade de material. Isso ocorre devido ao afastamento do material 
resistente das regiões pouco solicitadas pelos esforços (próximas a linha neutra), resultando em 
estruturas mais leves e resistentes, podendo alcançar maiores vãos. 
Sua concepção assemelha-se às lajes nervuradas em uma direção, se diferenciando 
apenas por possuírem um fechamento inferior da estrutura, proporcionando um melhor 
acabamento. 
 
 
Figura 1.7 Laje Caixão perdido 
 6 
1.1.8 Laje Steel Deck 
 
A laje Steel Deck é composta por uma capa de concreto e uma fôrma de aço colaborante. 
O mesmo material utilizado como fôrma é utilizado como armadura da estrutura, a qual é 
responsável por resistir aos esforços de tração. Observa-se a existência de ranhuras e pinos de 
ligação na fôrma, que proporcionam maior aderência entre os materiais. 
 
 
Figura 1.8 Lajes Steel Deck 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
1.2 Lajes retangulares maciças 
 
Os elementos estruturais planos (com duas dimensões predominantes, isto é, 
bidimensionais) sujeitos a cargas transversais a seu plano são chamados genericamente de 
placas. As placas de concreto armado são denominadas de lajes. Normalmente, elas têm forma 
retangular e são maciças, resultando daí a denominação laje retangular maciça. 
Os apoios das lajes são, geralmente, constituídos pelas vigas do piso. Nestes casos, o 
cálculo das lajes é feito, de maneira simplificada, como se elas fossem isoladas das vigas, com 
apoios (charneiras) livres à rotação e indeslocáveis à translação, considerando-se, contudo, a 
continuidade entre lajes contiguas. No detalhamento das armaduras são tomados cuidados 
especiais para “cobrir” o monolitismo existente nas ligações entre a laje e as suas vigas de apoio. 
Nos edifícios usuais, as lajes maciças têm grande contribuição no consumo de concreto: 
aproximadamente 50% do total. 
 
1.2.1 Classificação 
 
Do ponto de vista de comportamento à flexão, as lajes retangulares maciças podem ser 
classificadas em: 
 
1.2.1.1 Lajes armadas em uma direção 
 
Quando a flexão (curvatura) é bastante predominante segundo a direção paralela a um 
dos lados; correspondem às lajes apoiadas em lados opostos (isoladas e contínuas, com ou sem 
balanços laterais), e às lajes “alongadas” apoiadas em todo o seu contorno. 
 
 
Figura 1.9 Laje isolada armada em uma direção 
 
 8 
A figura mostra uma laje (isolada), duas vigas e quatro pilares. A viga V1 é apoiada nos 
pilares P1 e P2 e a viga V2 em P3 e P4. A laje é apoiada em lados opostos nas vigas V1 e V2 e 
tem duas bordas livres segundo P1-P3 e P2-P4. As lajes podem ser estudadas através da análise 
do comportamento do seu plano médio, de maneira análoga às vigas que podem ser analisadas 
através do comportamento do seu eixo. Sob a atuação de uma carga distribuída uniforme a laje 
irá apresentar flechas. Com as simplificações usuais a superfície deformada (plano médio da 
laje) apresentará forma cilíndrica. As flechas segundo os cortes AA e BB (constantes neste 
último corte) estão indicadas na figura; nota-se a presença de curvatura segundo a direção 
perpendicular às vigas V1 e V2. Na direção paralela a essas vigas a curvatura é desprezível. 
Desta forma, visualiza-se a existência de momento fletor muito predominante segundo o corte 
AA que exige uma armadura longitudinal de flexão nesta direção, caracterizando, portanto, a laje 
armada em uma direção. Neste caso, a laje pode ser imaginada como se fosse uma viga simples 
biapoiada de vão lx. 
 
 
Figura 1.10 Laje contínua armada em uma direção 
 
A Figura 1.10 apresenta três lajes contíguas, cada uma apoiada em lados opostos sobre 
vigas. Devido à disposição relativa destas lajes, elas podem ser consideradas contínuas e armadas 
em uma direção; comportam-se como uma viga contínua de dois vãos e um balanço. 
 
 
Figura 1.11 Laje muito alongada 
 9 
A Figura 1.11 mostra uma laje isolada, apoiada em todo o seu contorno sobre vigas, 
porém com grande relação entre os lados. Costuma-se considerar grande relação entre os lados 
quando ultrapassa o valor 2 (ly/lx>2). Os cortes em CC e DD apresentam, esquematicamente,os 
diagramas de deslocamentos quando a laje é submetida a uma carga distribuída uniforme. No 
primeiro corte visualiza-se a presença de curvatura (flexão) ao longo de toda a sua extensão; no 
segundo, a curvatura fica restrita às proximidades dos lados menores. Desta forma, com exceção 
destas extremidades, a laje comporta-se como armada em uma direção e diz-se que a laje pode 
ser considerada armada em uma direção. 
 
1.2.1.2 Lajes armadas em duas direções ou em cruz 
 
Quando as curvaturas paralelas aos lados são de valores comparáveis entre si; 
correspondem ao caso usual de lajes retangulares apoiadas em todo o seu contorno e com lados 
não muito diferentes entre si (na prática considera-se esta situação quando se tem 1 ly/lx2). A 
figura mostra uma laje isolada nestas condições; nota-se as curvaturas comparáveis segundo os 
lados. 
 
 
Figura 1.12 Laje armada em duas direções ou em cruz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
1.2.2 Espessuras e cobrimentos mínimos 
 
As espessuras das lajes e o cobrimento das armaduras devem estar de acordo com as 
especificações da NBR 6118:2014. 
 
1.2.2.1 Espessuras mínimas 
 
De acordo com a NBR 6118:2014, as espessuras das lajes devem respeitar os seguintes 
limites mínimos: 
 7 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
 8 cm para lajes de piso não em balanço; 
 10 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; 
 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de l/42 para lajes de piso 
biapoiadas e l/50 para lajes de piso contínuas; 
 16cm para lajes lisas e 14cm para lajes-cogumelo, fora do capitel. 
 
1.2.2.2 Cobrimentos mínimos 
 
São especificados também os valores mínimos de cobrimento para armaduras das lajes, 
de acordo com a agressividade do meio em que se encontram. Esses valores são dados na Tabela 
1.1, extraída da NBR 6118:2014. 
O valor de c que aparece nesta tabela é um acréscimo no valor do cobrimento mínimo 
das armaduras, sendo considerado como uma tolerância de execução. O cobrimento nominal é 
dado pelo cobrimento mínimo acrescido do valor da tolerância de execução c, que deve ser 
maior ou igual a 10 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
Tabela 1.1 Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para 
c = 10mm (fonte: NBR 6118:2014) 
 
 
1.2.3 Lajes armadas em uma direção 
 
Considere-se a laje esquematizada na Figura 1.13. 
 
 
Figura 1.13 Laje isolada armada em uma direção 
 
Sejam, lx o vão teórico da laje, normalmente, igual à distância entre os eixos das vigas de 
apoio, e ly o seu comprimento. Os cortes AA e BB mostram, esquematicamente, os 
 12 
deslocamentos apresentados pela laje ao ser submetida a uma carga distribuída uniforme de valor 
p. Constata-se a presença de curvatura e, portanto, de momento fletor segundo o corte AA. 
Segundo o corte BB ocorre, praticamente, uma translação com curvatura e flexão desprezíveis. 
Considerem-se, agora, faixas isoladas de larguras unitárias paralelas ao corte AA; o 
carregamento de uma dessas faixas é constituído de carga distribuída uniforme de valor p. Cada 
uma dessas faixas tem, aparentemente, o comportamento de uma viga isostática e o diagrama de 
momento fletor é uma parábola de ordenada máxima igual a plx²/8. Representa-se este momento 
fletor máximo por mx (momento fletor atuando na faixa de largura unitária paralela ao lado lx) 
sendo usual a utilização da unidade de kN.m/m. Portanto, mx = plx²/8. 
Analogamente, a força cortante tem diagrama linear e o seu valor máximo vx = plx/2. 
Analisando-se, isoladamente, a seção transversal desta faixa de largura unitária, Figura 
1.14, nota-se que, devido ao efeito de Poisson, ocorre um aumento da largura junto à face 
superior da laje por conta da tensão de compressão aí presente e, analogamente, uma diminuição, 
junto à face inferior. 
Contudo, nota-se, que estas faces devem-se manter paralelas entre si; isto exige a 
presença de momento fletor my = mx atuando no plano paralelo ao lado ly, também, por unidade 
de largura. Verifica-se, portanto, a presença de momento fletor segundo o corte BB por conta do 
efeito de Poisson. No concreto, sendo  = 0,2, tem-se my = 0,2mx. O momento mx é chamado de 
momento fletor principal e my de secundário. 
 
 
Figura 1.14 Seção transversal de largura unitária 
 
1.2.3.2 Esforços solicitantes 
 
a) Laje isolada: neste caso, a faixa de largura unitária da laje corresponde a uma viga isolada 
sujeita a carga distribuída uniforme. 
 
 13 
 
mx = plx
2/8 
my = νmx 
vx = plx/2 
Figura 1.15 Esforços máximos na laje isolada 
 
b) Laje em balanço: neste caso, a faixa de largura unitária da laje corresponde a uma viga em 
balanço e o carregamento, geralmente, é constituído de uma carga distribuída uniforme p 
mais uma carga concentrada P aplicada junto à extremidade do balanço. 
 
 
m`x =
plx
2
2
+ P ∙ lx 
vx = plx + P 
Figura 1.16 Esforços máximos na laje em balanço 
 
c) Laje continua: neste caso, a faixa de largura unitária da laje corresponde a uma viga 
contínua. 
 
 
Figura 1.17 Esforços máximos na laje contínua 
 
 
 14 
1.2.3.3 Dimensionamento à flexão (ELU) 
 
O dimensionamento é feito para uma seção retangular de largura unitária (normalmente, 
b = 1m = 100cm) e altura útil igual à espessura total da laje, h. 
 
a) Altura útil 
 
A armadura de flexão será distribuída na largura de 100 cm. Em geral, tem-se nos vãos, 
num mesmo ponto, dois momentos fletores (mx e my, positivos) perpendiculares entre si. Desta 
forma, a cada um desses momentos corresponde uma altura útil; dx para o momento fletor mx e 
dy para o momento fletor my. Normalmente, mx é maior do que my; por isso, costuma-se adotar 
dx > dy; para isto, a armadura correspondente ao momento fletor my (Asy) é colocada sobre a 
armadura correspondente ao momento fletor mx (Asx), Figura 1.18. 
 
 
Figura 1.18 Altura útil 
 
Conforme a figura, tem-se: 
dx = h − c − ∅x 2⁄ 
dy = h − c − ∅x − ∅y 2⁄ 
onde 
c – cobrimento mínimo da armadura em lajes 
x – diâmetro da armadura Asx correspondente ao momento fletor mx 
y – diâmetro da armadura Asy correspondente ao momento fletor my 
Nas lajes maciças revestidas, usuais em edifícios (comercial e residencial), pode-se 
adotar aproximadamente: 
dx ≅ h − c − 0,5cm 
dy ≅ h − c − 1cm 
 
 
 15 
b) Cálculo das armaduras 
 
Tem-se uma seção retangular de largura unitária (normalmente, b = 1 m = 100 cm) e 
altura h, sujeita a momento fletor m (mx ou my) em valor característico. A altura d é igual a dx 
para o momento fletor mx e, dy para o monento fletor my. O momento fletor de cálculo é dado 
por 
md = γf ∙ m = 1,4 ∙ m 
 
 
Figura 1.19 Armadura de flexão 
 
Nas lajes, normalmente, a flexão conduz a um dimensionamento como peça subarmada 
com armadura simples (x ≤ x34). Assim, conforme a Figura 1.19, a equação de equilíbrio conduz 
a 
0,68 ∙ b ∙ x ∙ fcd ∙ (d − 0,4x) = md 
resultando, para a altura da zona comprimida o valor 
x = 1,25d [1 − √1 −
md
0,425bd2fcd
] 
e a armadura 
As =
md
fyd(d − 0,4x)
 
onde 
As = Asx , para m = mx 
e 
As = Asy , para m = my 
Normalmente, utilizam-se as unidades kN e cm resultando m e md em kN.cm/m, x em cm 
e As em cm²/m. 
Costuma-se impor a armadura mínima usual de flexão para o momento fletor principal 
mx, e para o momento fletor secundário my e armaduras negativas conforme a Tabela 1.2.16 
Tabela 1.2 Valores mínimos para armaduras passivas aderentes (fonte NBR 6118:2014) 
Armaduras negativas ρs ≥ ρmin 
Armaduras positiva (principal) de lajes 
armadas em uma direção 
ρ
s
≥ ρ
min
 
Armaduras positiva (secundária) de 
lajes armadas em uma direção 
As s⁄ ≥ 20% da armadura principal 
As s⁄ ≥ 0,9 cm
2 m⁄ 
ρ
s
≥ 0,5ρ
min
 
 
onde 
ρs =
As
bh
=
As
100 ∙ h
 (em unidades: cm2e cm) 
 
Tabela 1.3 Valores de min para seção retangular (fonte NBR 6118:2014) 
 
 
c) Escolha das barras 
 
A escolha da bitola x espaçamento ( x s) é feita para as bitolas comerciais com as 
seguintes recomendações: 
ϕmin = 4 mm ≤ ϕ ≤ ϕmax = h 8⁄ 
smin = 8 cm ≤ s ≤ smax = {
armaduras principais ≤ {
2h 
20 cm
armaduras secundárias = 33 cm
 
Para as bitolas, adota-se um mínimo de 4 mm e um máximo correspondente a um oitavo 
da espessura da laje. O espaçamento mínimo de 8 cm tem por finalidade facilitar a concretagem 
da laje e, o espaçamento máximo, visa garantir a uniformidade de comportamento admitida nos 
cálculos. 
 
 
 
 17 
1.2.4 Lajes armadas em duas direções (lajes armadas em cruz) 
 
1.2.4.1 Introdução 
 
Considere-se a laje esquematizada na Figura 1.20, apoiada em todo seu contorno sobre 
vigas, sujeita à carga distribuída p e sejam: 
lx = o menor vão teórico; 
ly = o maior vão teórico (ly ≥ lx). 
 
 
Figura 1.20 Laje armada em cruz 
 
Normalmente, admitem-se as seguintes hipóteses simplificadoras: 
 vigas rígidas à flexão; 
 apoios da laje sobre vigas através de charneiras (rotação livre); 
 a continuidade de lajes vizinhas quando estiverem no mesmo nível. 
A deformada da laje segundo cortes A (paralelo a lx) e B (paralelo a ly) estão 
esquematizados na Figura 1.21. 
Pode-se notar a presença de curvaturas comparáveis segundo os dois cortes, indicando a 
presença de momentos fletores comparáveis: 
mx = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a lx; 
my = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a ly. 
 
 18 
 
Figura 1.21 
Considere-se o corte genérico CC e a deformada segundo este corte. Nota-se, de novo, a 
presença de curvatura e, portanto, de momento fletor (m = momento por unidade de largura 
atuando segundo o corte CC). O arranjo usual das armaduras da laje é composto de armadura 
paralela ao lado lx, para resistir a mx, e armadura paralela a ly, para resistir a my. Os ensaios 
mostram que a resistência segundo o corte CC pode ser expressa por: 
mα = mxcos
2α + mysen
2α 
Em geral, estas armaduras (determinadas para resistir aos momentos máximos paralelos 
aos lados lx e ly) são suficientes para garantir a segurança da laje. 
 
1.2.4.2 Esforços nas lajes isoladas 
 
Nas lajes interessam, particularmente, os momentos fletores máximos (em valor 
absoluto) nos vãos e sobre os apoios (quando engastados). Existem tabelas que nos fornecem 
estes momentos máximos para alguns casos usuais de lajes maciças (tabelas de Kalmanock, 
Barès, Czèrny, Timoshencko, etc). Nos edifícios, onde o carregamento usual é constituído de 
carga distribuída uniforme, são muito úteis as tabelas de Czèrny preparadas com coeficiente de 
Poisson 0,2 (admitido para o concreto). Os momentos fletores extremos são dados por: 
mx =
plx
2
αx
 ; my =
plx
2
αy
 ; m´x = −
plx
2
βx
 ; m´y = −
plx
2
βy
 
onde, as variáveis  e  estão tabeladas em função dos seguintes parâmetros: 
 tipo de carga (por exemplo, distribuída uniforme) 
 condições de apoio da laje (tipos de apoio) 
 relação ly/lx 
Particularmente, interessa-nos o tipo de carga distribuída uniforme, e os tipos de apoio 
indicados a seguir na Figura 1.22. 
 
 19 
 
Figura 1.22 Tipos de apoio 
 
1.2.4.3 Método simplificado aplicável a pisos usuais de edifícios 
 
Para os pisos usuais de edifícios residenciais e comerciais (sobrecargas de valores 
moderados) pode ser aplicado o método simplificado exposto a seguir. Considere-se o piso 
esquematizado na Figura 1.23. 
a) Lajes isoladas: inicialmente, isolam-se as lajes, admitindo-se, para cada uma delas, as 
seguintes condições de apoio: 
 
 apoio livre, quando não existir laje vizinha junto a este apoio; 
 apoio engastado, quando existir laje vizinha no mesmo nível permitindo, assim, a continuidade 
da armadura negativa de flexão de uma laje para a outra; 
 vigas rígidas de apoio da laje; 
 
e, calculam-se os momentos fletores máximos (em valor absoluto) nestas lajes isoladas (mx, my, 
m´x e m´y). 
 
 20 
 
Figura 1.23 Piso típico 
 
b) Correção dos momentos fletores devido à continuidade entre as lajes vizinhas: 
 
 momentos sobre os apoios comuns às lajes adjacentes: adota-se para momento fletor de 
compatibilização, o maior valor entre 0,8m´> e (m´1 + m´2)/2, onde m´1 e m´2 são os valores 
absolutos dos momentos negativos nas lajes adjacentes junto ao apoio considerado e m´>, o 
maior momento entre m´1 e m´2. 
 momentos nos vãos: para sobrecargas usuais de edifícios podem ser adotados os momentos 
fletores obtidos nas lajes isoladas; portanto, sem nenhuma correção devido à continuidade. Para 
sobrecargas maiores convém efetuar essas correções, principalmente, quando acarretar aumento 
no valor do momento fletor. Para isso, existem tabelas apropriadas. 
 
1.2.4.4 Dimensionamento a momento fletor 
 
a) Altura útil 
Do mesmo modo que para as lajes armadas em uma direção, as alturas úteis são dadas 
por: 
 21 
dx = h − c − ∅x 2⁄ 
dy = h − c − ∅x − ∅y 2⁄ 
podendo ser estimadas, nas lajes usuais, por: 
dx ≅ h − c − 0,5cm 
dy ≅ h − c − 1cm 
 
b) Cálculo das armaduras 
 
md = γf ∙ m = 1,4 ∙ m 
x = 1,25d [1 − √1 −
md
0,425bd2fcd
] 
e a armadura 
As =
md
fyd(d − 0,4x)
 
onde 
As = Asx , para m = mx; 
As = Asy , para m = my; 
e 
As = As
´ , para m = m´ 
 
c) Armaduras mínimas 
 
Tabela 1.4 Valores mínimos para armaduras passivas aderentes (fonte NBR 6118:2014) 
Armaduras negativas ρs ≥ ρmin 
Armaduras positiva de lajes 
armadas nas duas direções 
ρ
s
≥ 0,67ρ
min
 
 
onde 
ρs =
As
bh
=
As
100 ∙ h
 (em unidades: cm2e cm) 
 
 
 
 
 
 22 
Tabela 1.5 Valores de min para seção retangular (fonte NBR 6118:2014) 
 
 
d) Escolha das barras 
 
A escolha da bitola x espaçamento ( x s) é feita para as bitolas comerciais com as 
seguintes recomendações: 
ϕmin = 4 mm ≤ ϕ ≤ ϕmax = h 8⁄ 
smin = 8 cm ≤ s ≤ smax = {
armaduras principais ≤ {
2h 
20 cm
armaduras secundárias = 33 cm
 
Para as bitolas, adota-se um mínimo de 4 mm e um máximo correspondente a um oitavo 
da espessura da laje. O espaçamento mínimo de 8 cm tem por finalidade facilitar a concretagem 
da laje e, o espaçamento máximo, visa garantir a uniformidade de comportamento admitida nos 
cálculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
1.2.4.5 Tabelas de Czerny 
 
 
 24 
 
 
 25 
 
 
 26 
 
 
 27 
 
 28 
 
1.2.5 Casos especiais 
 
1.2.5.1 Lajes adjacentes de lados desiguais 
 
Considere-se a Figura 1.24. As lajes L1 e L2 apresentam um lado em comum (sendo 
parcial na laje L1). 
 
 
Figura 1.24 Lajes com lado comum (desiguais) 
 
O cálculo da laje L2 isolada pode ser feito considerando-se este lado comum como 
engastado. Para a laje L1 pode-se adotar o seguinte critério: 
 Se l1 ≥ (2/3) l2, considerar este lado engastado, Figura 1.25 a). 
 Caso contrário, considerar este lado como apoio simples, Figura 1.25 b).Figura 1.25 Simplificações sugeridas 
 
 
 
 29 
1.2.5.2 Paredes sobre lajes 
 
1.2.5.2.1 Lajes armadas em cruz 
 
As paredes sobre lajes armadas em cruz podem ser consideradas, de maneira 
simplificada, através de uma carga permanente adicional, uniformemente distribuída em toda a 
laje. 
Considere-se, por exemplo, a laje da Figura 1.26 recebendo as paredes com pé direito 
(PD) de 2,7 m. 
 
 
Figura 1.26 Parede sobre laje armada em cruz 
 
Seja gp o peso da parede por unidade de comprimento em planta. Tem-se: 
gp = 0,15 ∙ 2,7 ∙ 16 = 6,48 kN/m 
O acréscimo de carga permanente a ser considerado na laje devido à parede será 
6,48 ∙ (1,5 + 2,5)
(3,0 ∙ 4,0)
= 2,16 kN/m² 
Portanto, a carga total a ser considerada no cálculo dos esforços será de 
4,5 + 2,16 = 6,66 kN/m² 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
1.2.5.2.2 Lajes armadas em uma direção 
 
a) Parede paralela ao comprimento ly 
 
 
Figura 1.27 Parede sobre laje armada em uma direção. Parede paralela ao comprimento ly. 
 
Neste caso, o peso da parede por unidade de comprimento (gp) pode ser considerado 
como uma carga concentrada. 
 
b) Parede paralela ao comprimento lx 
 
 
Figura 1.28 Parede sobre laje armada em uma direção. Parede paralela ao comprimento lx. 
 
Neste caso a laje pode ser imaginada como dividida em três partes (A, B e C). As partes 
A e C podem ser calculadas como se não existisse a parede, por estarem relativamente distantes 
dela. A parte B será calculada recebendo o peso total da parede. Normalmente, a armadura de 
flexão calculada para esta parte é estendida para toda a laje. 
 31 
A largura da parte B pode ser estimada em 
b = ba + b1 
onde 
ba = ep + h (ep = espessura da parede) 
e 
b1 = (b1
+) ≅ (lx 2⁄ )[1 − (ba lx⁄ )] → para momento "positivo" 
b1 ≅ 1,5(b1
+) → para momento "negativo" 
Para a laje em balanço (de vão lbal) deve-se tomar lx = 2 lbal. 
Como exemplo, tem-se (Figura 1.28) 
ba = 15 + 7 = 22cm 
b1 = (b1
+) ≅ (lx 2⁄ )[1 − (ba lx⁄ )] = (150 2⁄ )[1 − (22 150⁄ )] = 64cm 
b = 22 + 64 = 86cm 
gp = 0,15 ∙ 2,7 ∙ 16 = 6,48 kN/m 
A carga total para uma faixa de largura unitária equivalente será de 
ptot = 4,5 + 6,48 0,86 = 12,03 kN/m²⁄ 
Completando, tem-se: 
mx = (12,03 ∙ 1,5
2) 8 = 3,38 kN.m/m⁄ 
d ≅ 6cm 
x = 1,17 cm 
Asx = 1,97 cm² m (∅5c/10)⁄ 
 
1.2.5.3 Laje em balanço 
 
Em edifícios comuns, a laje em balanço pode ser utilizada nas sacadas dos apartamentos. 
Considere-se a Figura 1.29 que mostra uma situação típica. 
 
 
Figura 1.29 Laje em balanço 
 32 
A faixa central A de largura unitária recebe uma parede (de 1 m de altura) paralela a ly 
conforme visto no item 1.2.5.2.2a). A faixa B, junto às bordas laterais da laje L2, recebe duas 
paredes: uma, paralela a ly (como na faixa A) e outra, paralela a lx conforme a situação vista no 
item 1.2.5.2.2b). Naturalmente, esta faixa é mais solicitada do que a anterior. Pode-se calcular a 
armadura para esta faixa e estendê-la para toda a laje (a favor da segurança). Tem-se: 
ba = 15 + 10 = 25cm 
b1 = 1,5(b1
+) ≅ 1,5(240 2⁄ )[1 − (25 240⁄ )] = 161cm 
onde se tomou lx = 2.120 = 240 cm por tratar-se de laje em balanço. 
Considerando-se que a parede está posicionada junto à borda lateral da laje, pode-se 
tomar 
b ≅ [(25 + 161) 2⁄ ] + 7,5 = 100,5 cm 
Assim 
mg
′ =
(g + (gp b⁄ )) 1,2
2
2
+ gp ∙ 1,2 =
(3,5 + (2,4 1,0⁄ ))1,22
2
+ 2,4 ∙ 1,2 = 7,13 kN.m/m 
mq
′ =
(2,0 + (2,0 1,0⁄ ))1,22
2
+ 2,0 ∙ 1,2 + 0,8 ∙ 1,0 = 6,08 kN.m/m 
Portanto m’=13,2 kN.m/m. 
Completando, tem-se: 
d ≅ 9 cm 
x = 3,3 cm 
Asx = 5,53 cm² m (∅8 c/9 ou ∅10 c/14)⁄ 
 
1.2.5.4 Furos e aberturas 
 
Quando forem previstos furos e aberturas em elementos estruturais, seu efeito na 
resistência e na deformação deve ser verificado e não podem ser ultrapassados os limites 
previstos na NBR 6118:2014. 
De maneira geral os furos têm dimensões pequenas em relação ao elemento estrutural 
enquanto as aberturas não. Um conjunto de furos muito próximos deve ser tratado como uma 
abertura. 
Em lajes lisas ou lajes-cogumelo a verificação de resistência e deformações deve sempre 
ser realizada. 
Outros tipos de lajes podem ser dispensadas dessa verificação, devendo ser armadas em 
duas direções e verificadas, simultaneamente, as seguintes condições: 
 
 33 
a) As dimensões da abertura devem corresponder no máximo a 1/10 do vão menor (lx); 
b) A distância entre a face de uma abertura e o eixo teórico de apoio da laje deve ser igual ou 
maior que 1/4 do vão, na direção considerada; 
c) A distância entre faces de aberturas adjacentes deve ser maior que a metade do menor vão. 
 
 
Figura 1.30 Dimensões limites para aberturas de lajes com dispensa de verificação (fonte: NBR 
6118:2014) 
 
1.2.6 Exemplos de dimensionamento (ELU) 
 
1.2.6.1 Lajes armadas em uma direção 
 
Calcular e detalhar as lajes da Figura 1.31. 
 
 
Figura 1.31 Exemplo. Lajes armadas em uma direção 
 
fck 20Mpa Cobrimento laje = 2,5cm g = 3,5 kN/m² 
Aço CA50A h = 10cm q = 2,0 kN/m² 
 
 
 34 
Laje L1 
Momento fletor principal (mx) 
mx =
p ∙ lx
2
8
=
5,5 ∙ 42
8
= 11,0kN.m/m 
b = 100cm ; d = dx ≅ h − c − 0,5 = 10 − 2,5 − 0,5 = 7cm 
md = γf ∙ mx = 1,4 ∙ 11 = 15,4kN.m/m = 1540kN. cm/m 
x = 1,25d [1 − √1 −
md
0,425bd2fcd
] = 1,25 ∙ 7
[
 
 
 
 
1 − √1 −
1540
0,425 ∙ 100 ∙ 72 ∙ (
2,0
1,4)]
 
 
 
 
= 2,67𝑐𝑚 
x ≤ xlim = 0,45 ∙ 7 = 3,15cm 
e a armadura 
As =
md
fyd(d − 0,4x)
=
1540
43,48 ∙ (7 − 0,4 ∙ 2,67)
= 5,97cm2/m 
As > As,mín = ρmín ∙ b ∙ h = 0,00150 ∙ 100 ∙ 10 = 1,5cm
2/m 
portanto 
Asx = 5,97cm
2/m 
Para a escolha (bitola x espaçamento) tem-se as seguintes condições: 
ϕmin = 4 mm ≤ ϕ ≤ ϕmax = h 8 = 100 8⁄ = 12,5mm⁄ 
smin = 8 cm ≤ s ≤ smax = armaduras principais ≤ {
2 ∙ 10 = 20cm 
20 cm 
 
Assim, pode-se adotar 8c/8 ou 10c/13, conforme mostra a tabela seguinte: 
 (mm) As1 (cm²) n=Asx/As1 s=100/n 
6,3 0,31 19,258 5,19  smín 
8,0 0,50 11,94 8,37 
10 0,79 7,557 13,23 
12,5 1,23 4,85 20,61  smáx 
 
A barra de 6,3mm conduz a um espaçamento menor do que o mínimo recomendado de 
8cm (o mesmo acontecendo para as bitolas de 4mm e 5mm, não apresentadas na tabela) e a 
bitola de 12,5mm ultrapassa o espaçamento máximo recomendado de 20cm. 
 
Momento fletor secundário (my) 
my = υ ∙ 𝑚𝑥 = 0,2 ∙ 11,0 = 2,2kN.m/m 
b = 100cm ; d = dy ≅ h − c − 1,0 = 10 − 2,5 − 1,0 = 6,5cm 
md = γf ∙ my = 1,4 ∙ 2,2 = 3,08kN.m/m = 308kN. cm/m 
 35 
x = 1,25d [1 − √1 −
md
0,425bd2fcd
] = 1,25 ∙ 6,5
[
 
 
 
 
1 − √1 −
308
0,425 ∙ 100 ∙ 6,52 ∙ (
2,0
1,4)]
 
 
 
 
= 0,50𝑐𝑚 
x ≤ xlim = 0,45 ∙ 6,5 = 2,925cm 
e a armadura 
As =
md
fyd(d − 0,4x)
=
308
43,48 ∙ (6,5 − 0,4 ∙ 0,5)
= 1,12cm2/m 
As < As,mín ≥ {
As s⁄ ≥ 20% da armadura principal
As s⁄ ≥ 0,9cm
2/m 
ρ
s
≥ 0,5ρmín
= {
1,194cm²/m
0,9cm2/m 
0,75cm2/m 
= 1,194cm2/m 
 
portanto 
Asy = 1,194cm
2/m 
Para a escolha (bitola x espaçamento) tem-se as seguintes condições: 
ϕmin = 4 mm ≤ ϕ ≤ ϕmax = h 8 = 100 8⁄ = 12,5mm⁄ 
smin = 8 cm ≤ s ≤ smax = armaduras secundárias = 33 cm 
Assim, pode-se adotar 5c/16 ou 6,3c/25, conforme mostra a tabela seguinte: 
 (mm) As1 (cm²) n=Asx/As1 s=100/n 
5,0 0,20 5,97 16,75 
6,3 0,31 3,85 25,96 
8,0 0,50 2,388 41,87  smáx 
 
A bitola de 8,0mm ultrapassa o espaçamento máximo recomendado de 33cm. 
 
Lajes L2=L3 
Momento fletor principal (mx) no vão 
mx = 6,96kN.m/m 
b = 100cm ; d = dx ≅ h − c − 0,5 = 10 − 2,5 − 0,5 = 7cm 
md= γf ∙ mx = 1,4 ∙ 6,96 = 9,74kN.m/m = 974kN. cm/m 
x = 1,25d [1 − √1 −
md
0,425bd2fcd
] = 1,25 ∙ 7
[
 
 
 
 
1 − √1 −
974
0,425 ∙ 100 ∙ 72 ∙ (
2,0
1,4)]
 
 
 
 
= 1,57𝑐𝑚 
x ≤ xlim = 0,45 ∙ 7 = 3,15cm 
e a armadura 
 36 
As =
md
fyd(d − 0,4x)
=
974
43,48 ∙ (7 − 0,4 ∙ 1,57)
= 3,515cm2/m 
As > As,mín = ρmín ∙ b ∙ h = 0,00150 ∙ 100 ∙ 10 = 1,5cm
2/m 
portanto 
Asx = 3,515cm
2/m 
Para a escolha (bitola x espaçamento) tem-se as seguintes condições: 
ϕmin = 4 mm ≤ ϕ ≤ ϕmax = h 8 = 100 8⁄ = 12,5mm⁄ 
smin = 8 cm ≤ s ≤ smax = armaduras principais ≤ {
2 ∙ 10 = 20cm 
20 cm 
 
Assim, pode-se adotar 6,3c/8 ou 8c/14, conforme mostra a tabela seguinte: 
 (mm) As1 (cm²) n=Asx/As1 s=100/n 
6,3 0,31 11,33 8,82 
8,0 0,50 7,03 14,22 
10 0,79 4,45 22,47  smáx 
 
Momento fletor principal (m´) no apoio interno 
m′ = −11,0kN.m/m 
O dimensionamento desta seção conduz à mesma armadura do meio do vão da laje L1 
(8c/8 ou 10c/13); contudo, esta armadura deve ser posicionada junto à borda superior que é 
tracionada pelo momento fletor solicitante. 
 
Momento fletor secundário (my) 
my = υ ∙ 𝑚𝑥 = 0,2 ∙ 6,96 = 1,392kN.m/m 
b = 100cm ; d = dy ≅ h − c − 1,0 = 10 − 2,5 − 1,0 = 6,5cm 
md = γf ∙ my = 1,4 ∙ 1,392 = 1,95kN.m/m = 195kN. cm/m 
x = 1,25d [1 − √1 −
md
0,425bd2fcd
] = 1,25 ∙ 6,5
[
 
 
 
 
1 − √1 −
195
0,425 ∙ 100 ∙ 6,52 ∙ (
2,0
1,4)]
 
 
 
 
= 0,31𝑐𝑚 
x ≤ xlim = 0,45 ∙ 7 = 3,15cm 
e a armadura 
As =
md
fyd(d − 0,4x)
=
195
43,48 ∙ (6,5 − 0,4 ∙ 0,31)
= 0,7cm2/m 
As < As,mín ≥ {
As s⁄ ≥ 20% da armadura principal
As s⁄ ≥ 0,9cm
2/m 
ρ
s
≥ 0,5ρmín
= {
1,194cm²/m
0,9cm2/m 
0,75cm2/m 
= 1,194cm2/m 
 37 
 
portanto 
Asy = 1,194cm
2/m 
Para a escolha (bitola x espaçamento) tem-se as seguintes condições: 
ϕmin = 4 mm ≤ ϕ ≤ ϕmax = h 8 = 100 8⁄ = 12,5mm⁄ 
smin = 8 cm ≤ s ≤ smax = armaduras secundárias = 33 cm 
Assim, pode-se adotar 5c/16 ou 6,3c/25, conforme mostra a tabela seguinte: 
 (mm) As1 (cm²) n=Asx/As1 s=100/n 
5,0 0,20 5,97 16,75 
6,3 0,31 3,85 25,96 
8,0 0,50 2,388 41,87  smáx 
 
A bitola de 8,0mm ultrapassa o espaçamento máximo recomendado de 33cm. 
 
Detalhamento das armaduras 
As armaduras obtidas para os momentos de vão (também chamadas de armaduras de 
momentos positivos) são, usualmente, estendidas, a favor da segurança, de apoio a apoio da laje. 
As armaduras resistentes calculadas junto aos apoios internos da laje (também chamadas de 
armaduras negativas) são estendidas de modo a “cobrir” o diagrama de momento fletor negativo; 
uma extensão de lx/4 para cada lado do apoio é, normalmente, suficiente para essa finalidade 
(quando as lajes adjacentes têm vãos não muito diferentes entre si, pode-se adotar o maior destes 
vãos para a definição do comprimento da barra). 
Nas bordas da laje, junto às vigas de apoio, costuma-se posicionar uma armadura 
(As,borda) com extensão lx/5, visando atenuar uma eventual fissuração proveniente do 
engastamento parcial da laje nestas vigas. Pode-se considerar suficiente, a As,borda correspondente 
à mín de flexão simples, não menor do que 1,5cm²/m e restringindo o espaçamento entre as 
barras a 2h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 
1.2.6.2 Lajes armadas em duas direções 
 
Calcular e detalhar as lajes da Figura 1.32. 
 
 
Figura 1.32 Exemplo. Lajes armadas em duas direções 
 
fck 20Mpa Cobrimento laje = 2,5cm q = 2,0 kN/m² 
Aço CA50A h = 10cm vigas: bw=20cm; c=3cm 
 
Determinação das cargas 
Peso próprio = 0,10.25 = 2,5kN/m² 
Revestimento = 1,0kN/m² 
Carga total permanente  g = 3,5kN/m² 
Carga total  p = g + q = 5,5kN/m² 
 
 
 39 
Cálculo dos momentos fletores 
Nas lajes isoladas: tem-se L1 = L2 e L3 = L4 = L5 = L6 
Laje Tipo lx ly p ly/lx αx αy βx βy mx my m´x m´y 
L1 3 3,5 4,0 5,5 1,14 28,0 33,9 12,0 13,3 2,4 2,0 -5,6 -5,1 
L3 5B 3,5 4,0 5,5 1,14 32,0 47,1 14,2 17,6 2,1 1,4 -4,7 -3,8 
 
Nos apoios contínuos 
Apoio m´esq m´dir 0,8m´> m´médio m´ij 
L1-L2 m´y = -5,1 m´y = -5,1 -4,1 -5,1 m´12 = -5,1 
L1-L3 m´x = -5,6 m´x = -4,7 -4,5 -5,2 m´13 = -5,2 
L3-L4 m´y = -3,8 m´y = -3,8 -3,0 -3,8 m´34 = -3,8 
L3-L5 m´x = -4,7 m´x = -4,7 -3,76 -4,7 m´35 = -4,7 
 
Armaduras de flexão 
Laje d m md x As mín As,mín Asf Escolha 
L1 
(L2) 
7 mx = 240 336 0,51 1,14 
0,1005 1,005 
1,14 5c/17 
6,5 my = 200 280 0,46 1,02 1,02 5c/19 
7 m´12 = -510 714 1,12 2,51 
0,150 1,5 
2,51 
6,3c/12 
7 m´13 = -520 728 1,15 2,56 2,56 
L3 
(L4) 
(L5) 
(L6) 
7 mx = 210 294 0,44 0,99 
0,1005 1,005 
1,005 
5c/19 
6,5 my = 140 196 0,32 0,71 1,005 
7 m´34 = -380 532 0,82 1,83 
0,150 1,5 
1,83 6,3c/16 
7 m´35 = -470 658 1,03 2,30 2,3 6,3c/13 
 
1.2.7 Lajes armadas em duas direções - Processo das grelhas (teoria das grelhas) 
 
(retirado da fonte: CARVALHO, Roberto Chust. Cálculo e detalhamento de estruturas 
usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014)) 
Devido à impossibilidade de resolver as placas com a equação fundamental, durante 
muito tempo, e mesmo ainda hoje, o cálculo de pavimentos de edifícios compostos de lajes e 
vigas de concreto armado é feito de maneira simplificada, considerando-se as lajes como 
elementos isolados apoiados em elementos rígidos. Entretanto, com o avanço da informática, 
com microcomputadores cada vez mais potentes e velozes e programas de análise estrutural 
avançados, a situação é outra, pois é possível analisar o comportamento de um pavimento como 
um todo, e também lajes isoladas, levando em consideração a influência da flexibilidade dos 
apoios e da rigidez à torção, tanto das lajes como das vigas, sendo ainda possível incluir na 
análise a não linearidade física do concreto armado. 
Entre os diversos processos que possibilitam a análise de pavimentos, com a 
consideração desses parâmetros, destaca-se o de analogia de grelha (ou grelha equivalente), o 
 40 
qual vem sendo muito usado, com grande aceitação no meio profissional, no cálculo de 
estruturas de concreto armado, e é adequado para programação computacional. 
Além de permitir o cálculo integrado de um pavimento, o processo de analogia de grelha 
permite ainda que, fazendo-se apenas pequenas modificações em um mesmo conjunto de dados, 
se analise um mesmo pavimento em diferentes situações de esquema estrutural, propiciando, 
dessa maneira, ao projetista, rapidez na definição do sistema estrutural mais adequado a ser 
utilizado. 
O processo de analogia de grelha baseia-se na substituição de um pavimento por uma 
grelha equivalente, onde as barras da grelha representam os elementos estruturais do pavimento 
(lajes e vigas). Este processo permite reproduzir o comportamento estrutural de pavimentos com 
praticamente qualquer geometria, seja ele composto de lajes de concreto armado maciças, com 
ou sem vigas, ou de lajes nervuradas. Dessa maneira, devem-se dividir as lajes em um número 
adequado de faixas, as quais terão larguras dependentes da geometria e das dimensões dos 
pavimentos. Essas faixas podem ser substituídas por elementos de barras, obtendo-se uma grelha 
(equivalente) que representa o pavimento. 
Admite-se que as cargas distribuídas se dividem entre as barras da grelha de acordo com 
a sua área de influência; as cargas podem ser consideradas uniformemente distribuídas ao longo 
das barras da grelha ou concentradas nos nós. 
As características geométricas das barras da grelha equivalente são de dois tipos: as do 
elemento placa (laje) e as do elemento viga-placa (viga-laje). O cálculo da inércia à flexão dos 
elementos de placa é feito considerando-se uma faixa delargura b, a qual é dada pela soma da 
metade dos espaços entre os elementos vizinhos, e altura h (espessura da placa). A rigidez à 
torção (It), no estádio I, é o dobro da rigidez à flexão (If). Assim, para um elemento de placa, 
pode-se escrever: 
If =
h ∙ b3
12
 
It = 2 ∙ If =
h ∙ b3
6
 
Para o elemento viga-placa, na flexão, pode-se considerar uma parte da placa trabalhando 
como mesa de viga, configurando então, dependendo da posição, uma viga de seção “T” ou meio 
“T”. Uma vez determinada a largura colaborante, a inércia à flexão da seção resultante pode ser 
calculada supondo a peça trabalhando tanto no estádio I como no II. 
A inércia à torção do elemento viga no estádio I, de maneira simplificada, admitindo a 
viga retangular (altura h, largura b), sem considerar a contribuição da laje adjacente, é: 
It =
h ∙ b3
3
 
 41 
Pode-se considerar o valor da inércia à torção do elemento viga, no estádio II, igual a 
10% daquele dado pela resistência dos materiais, e assim: 
It =
h ∙ b3
30
 
 
1.2.8 Lajes armadas em duas direções - Processo de Marcus 
 
Para as lajes maciças, o processo das grelhas apresenta resultados conservadores quando 
comparados com o cálculo exato, ou seja, como placa propriamente dita, por não levar em 
consideração a ação favorável da união entre as faixas e a existência de momentos de torção. 
O processo de Marcus resultou do confronto entre esses resultados e a posterior correção 
dos valores obtidos através do processo de grelhas, de modo a aproximá-los mais dos valores 
reais das placas. 
O cálculo dos momentos fletores em lajes retangulares, apoiadas em todo seu contorno, 
pelo Processo de Marcus pode ser realizado por meio de tabelas conforme o roteiro a seguir: 
 
1) Observa-se, pelo esquema estático, o tipo de laje a ser calculada. Há seis situações possíveis: 
 
2) Calcula-se a relação  =ly/lx, onde lx é a direção que contém o maior número de engastes. No 
caso de igualdade no número de engastes, lx será o menor vão. 
 
3) Com a definição do tipo de laje e do valor de , obtém-se na tabela de Marcus os coeficientes 
m e n para cálculo dos momentos positivos e negativos, respectivamente; 
4) Os momentos são então obtidos pelas expressões: 
 
Observar que o numerador das expressões é sempre o mesmo, plx², nas duas direções. 
 42 
 
 
 
 
 
 43 
1.2.9 Cálculo de reações pelo critério da NBR 6118:2014 
 
Segundo a NBR 6118:2014 o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares 
com carga uniforme, podem ser feitas as seguintes aproximações: 
a) as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios 
determinados através das charneiras plásticas correspondentes à análise efetivada com os 
critérios do item 14.7.4 da NBR 6118:2014, sendo que essas reações podem ser, de maneira 
aproximada, consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos estruturais que lhes 
servem de apoio; 
b) quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por retas 
inclinadas, a partir dos vértices, com os seguintes ângulos: 
 45° entre dois apoios do mesmo tipo; 
 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente 
apoiado, 
 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. 
 
Como consequência estas reações podem ser estimadas através do seguinte modelo 
simplificado: a carga atuante na laje retangular é subdividida em partes proporcionais às áreas 
das 4 figuras, a seguir, estas parcelas são aplicadas como cargas distribuídas uniformas sobre as 
vigas de apoio da laje. Para a carga total p atuando sobre a laje com todos os lados simplesmente 
apoiados, tem-se: 
 
 
Figura 1.33 
 
px =
lx ∙ lx
2 ∙ 2
∙
p
lx
=
p ∙ lx
4
 
 44 
py =
ly + (ly − lx)
2
∙
lx
2
∙
p
ly
=
p ∙ lx
4
(2 −
lx
ly
) = px (2 −
lx
ly
) 
 
Para lajes que não tem todos os lados simplesmente apoiados a NBR 6118:2014 fala que 
as condições de vinculo da laje podem ser consideradas na estimativa das reações da laje, 
conforma ilustra a Figura 1.34. 
 
 
Figura 1.34 Consideração dos vínculos nas reações das lajes 
 
Conforme mostra a figura, a cada lado da laje corresponde uma área carregada. A reação 
(carga distribuída) é obtida, dividindo-se a resultante de carga sobre esta área pelo respectivo 
comprimento do lado. 
Resultam, assim, as reações px1, px2, py1 e py2. 
 
1.2.10 Verificação das flechas 
 
A NBR 6118:2014, item 19.3.1, determina que deve ser verificado o estado limite de 
deformação e que para isso devem ser usados os critérios dados em 17.3.2, considerando a 
possibilidade de fissuração (estádio II). 
A verificação do estado limite de deformação excessiva deve ser feita para as 
combinações de serviço, de acordo com o item 11.8.3 da NBR 6118:2014. As flechas devem 
obedecer aos valores limites de deslocamentos dados no item 13.3 da norma. 
 45 
A flecha imediata é calculada pela equação abaixo e pelos coeficientes α2 fornecidos nas 
tabelas de Czerny: 
wmáx =
p ∙ lx
4
E ∙ h3 ∙ α2
 
onde: 
p – carregamento uniformemente distribuído sobre a laje; 
lx – menor vão da laje; 
E – módulo de deformabilidade do concreto (Ecs – módulo de elasticidade secante); 
h – altura da laje; 
α2 – coeficiente extraído das tabelas de Czèrny; 
 
O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1 + αf), sendo 
que: 
αf =
∆ξ
1 + 50ρ′
 
onde 
ρ′ =
As′
b ∙ d
 
ξ é um coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na tabela 17.1 da NBR 
6118:2014 ou ser calculado pelas expressões seguintes: 
Δξ = ξ(t) – ξ(t0) 
ξ(t) = 0,68 (0,996t) t0,32 para t ≤ 70 meses 
ξ(t) = 2 para t > 70 meses 
 
Tabela 1.6 Valores do coeficiente ξ em função do tempo (tabela 17.1 da NBR 6118:2014) 
 
 
 
 
 
 46 
1.3 Lajes nervuradas 
 
Para pavimentos em que o vão a ser vencido pelas lajes é pequeno ou médio (lajes com o 
menor vão inferior a 5m) e as cargas a serem suportadas não são muito elevadas, normalmente se 
tem empregado as lajes maciças apoiadas em vigas (sistema tradicional), uma vez que a 
espessura demandada pelas lajes, nesta situação é pequena. Para este tipo de sistema, é grande a 
rigidez quanto aos deslocamentos verticais. Por outro lado, para grandes vãos, as lajes maciças 
podem ser antieconômicas, pois a espessura necessária da laje, para atender ao ELU e ao critério 
de pequenos deslocamentos transversais, certamente será elevada. 
Dessa maneira, é interessante utilizar um sistema estrutural que tenha comportamento 
semelhante ao das placas (lajes maciças), porém com a eficiência das vigas na flexão, ou seja, 
grande inércia e peso próprio relativamente pequeno. As lajes de concreto armado com nervuras 
quase sempre atendem a esses requisitos. Essas lajes representam um avanço em relação às 
maciças por necessitarem, em geral, de menor quantidade de material, principalmente quando os 
vãos são grandes. 
Dentre as vantagens que as lajes nervuradas apresentam, algumas merecem ser 
destacadas: 
 permitem vencer grandes vãos, liberando espaços, o que é vantajoso em locais como 
garagens, onde os pilares, além de dificultarem as manobras dos veículos, ocupam 
regiões que serviriam para vagas; 
 podem ser construídas com a mesma tecnologia empregada nas lajes maciças, 
diferentemente das lajes protendidas, que exigem técnicas especificas de execução; 
 têm grande versatilidade de aplicações, podendo ser utilizadas em pavimentos de 
edificações comerciais, residenciais, educacionais, hospitalares, garagens, etc.; 
 são tambémadequadas aos sistemas de lajes sem vigas, em que podem ser necessárias 
regiões maciças apenas nas regiões dos pilares, onde há grande concentrações de tensões; 
 consomem menos concreto e aço que outros sistemas similares, diminuindo o peso 
próprio e aliviando as fundações; 
 pelas suas características (grande altura e pequeno peso próprio), podem suportar cargas 
mais elevadas que as demais. 
As lajes nervuradas apresentam também algumas pequenas desvantagens, podendo-se 
citar como principais a dificuldade na passagem de tubulações e a demanda por alturas maiores 
do edifício e de cada andar. 
 
 47 
Conforme a NBR 6118:2014, as “lajes nervuradas são as lajes moldadas no local ou com 
nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração para momentos positivos esteja localizada nas 
nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte”. 
A solução com laje nervurada reduz o consumo de concreto, porém, para ser mais 
econômica que a laje maciça, o consumo de fôrmas não deve ser alto. Isso pode ser conseguido, 
por exemplo, com a utilização de moldes de plástico reforçado, reaproveitáveis, para a confecção 
das nervuras. Os moldes de plástico têm diversas vantagens, mas o único inconveniente é o 
aspecto resultante para o teto, com as nervuras aparentes. 
Outras soluções podem ser obtidas com o uso de um tablado de madeira, como nas lajes 
maciças, substituindo-se apenas parte do concreto tracionado por materiais mais baratos e leves, 
como blocos de EPS (isopor), concreto celular e os blocos cerâmicos. 
Nas lajes nervuradas duplas, as nervuras ficam situadas entre duas mesas de concreto, 
uma inferior e outra superior. Nos espaços entre as nervuras, podem ser colocados materiais de 
enchimento. Sua execução é difícil e muito trabalhosa. 
 
1.3.1 Dimensões limites 
 
a) Espessura da mesa (hf): 
 quando não existirem tubulações horizontais embutidas, deve ser maior ou igual a 1/15 
da distância entre as faces das nervuras (l0) e não menor que 4 cm; 
 o valor mínimo absoluto da espessura da mesa deve ser 5 cm, quando existirem 
tubulações embutidas de diâmetro menor ou igual a 10 mm; 
 para tubulações com diâmetro () maior que 10mm, a mesa deve ter a espessura mínima 
de 4 cm + , ou 4 cm +2 no caso de haver cruzamento destas tubulações. 
 
b) Espessura das nervuras (bw): 
 não pode ser inferior a 5 cm; 
 nervuras com espessura menor que 8 cm não podem conter armadura de compressão. 
 
c) Espaçamento entre nervuras: 
 para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode ser 
dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do cisalhamento da 
região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios de laje; 
 para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 cm, exige-se a 
verificação da flexão da mesa, e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como 
 48 
vigas; permite-se essa verificação como lajes se o espaçamento e ter eixos de nervuras for 
até 90 cm e a largura média das nervuras for maior que 12 cm; 
 para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm, a 
mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os 
seus limites mínimos de espessura. 
 
Todas as prescrições anteriores relativas às lajes maciças podem ser consideradas válidas, 
desde que sejam obedecidas as condições de 13.2.4.2 da norma. Quando essas hipóteses não 
forem verificadas, deve-se analisar a laje nervurada considerando a capa como laje maciça 
apoiada em uma grelha de vigas.