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Aula 9 – Solicitações Normais 
 
UNIDADE 2 – ESTRUTURAS DE MADEIRA 
 
 
 
 
 
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Aula 9: Solicitações Normais 
 
As peças solicitadas por esforços normais apresentam tensões de naturezas diferentes, ou 
seja, podem estar tracionadas ou comprimidas. A condição de segurança é analisada pela 
comparação da tensão atuante com a resistência de cálculo correspondente ao tipo de 
solicitação. 
 
1. Peças Tracionadas 
As peças de madeira submetidas a um esforço axial de tração apresentam 
comportamento elastofrágil até à ruptura, sem a ocorrência de valores significativos de 
deformações antes do rompimento. Nas estruturas, a tração paralela às fibras ocorre 
principalmente nas treliças e nos tirantes de madeira. Quando a verificação corresponde ao 
caso de peças tracionadas, a segurança estará garantida quando a tensão atuante de tração 
for menor ou igual ao valor de cálculo da resistência à tração. Da clássica equação da 
tensão: 
σt0,d = 
Nsd
Awn
 ≤ ft0,d 
Onde: 
σt,d é a tensão solicitante de cálculo decorrente do esforço de tração; 
ft,d a resistência de cálculo à tração; 
Awn é a área líquida da seção; 
Nsd é o esforço normal solicitante de cálculo. 
Para ft,d, tem-se: 
ft,d = Kmod .
ft,k
𝛾𝑤𝑡
 
Sendo ftd = ft0,d para fibras com inclinação em relação ao eixo da barra. Existe um 
modificador para ft,d com relação às inclinações das fibras da madeira em relação ao ângulo 
de esforço. No caso deste esforço não ser paralelo (0o), considera-se ft,d = ftα,d com α sendo 
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ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
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o ângulo de inclinação do esforço em relação às fibras. Esta fórmula não será estudada 
(Fórmula de Hankinson). 
O item 10.3 da NBR 7190:1997 limita a esbeltez máxima de peças tracionadas em λ = 
173. 
1.1. Determinação da Área Líquida em Peças com Ligações 
Analogamente às peças metálicas já estudadas em aulas passadas, a área útil deve 
considerar a redução por furos ou entalhes na seção quando a redução da área resistente 
for superior a 10% da peça íntegra. Considera-se neste item somente as barras de seção 
retangular h . t. 
Para a seção transversal reta: 
Awn = Aw – n . Af 
Onde: 
Aw = área bruta da seção (h . t); 
n = número de furos da seção; 
Af = área de um furo. 
Tem-se, também: 
Af = t . df → df {
d + 0,5 mm, para parafusos com folga
d, para pregos
 
Exemplo: A linha de uma tesoura está submetida ao esforço solicitante de tração de 
Nsd = 50 kN, considerando uma situação duradoura de projeto, verifique se a seção 7,5 cm x 
10 cm atende a este esforço, considerando: conífera classe C-30; carregamento de longa 
duração; classe 4 de umidade; peças de 2ª categoria; parafusos de diâmetro 12,5 mm. 
 
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Resolução: 
Vamos resolver este exercício de uma forma diferente. Note, aluno, que estes modelos 
de exercício, seja para estrutura de aço, madeira, concreto, etc., sempre nos apresentam 
uma carga ou esforço, nos dá as características do material, e pede para ver se é suportável 
ou não. Desde as primeiras aulas de Estruturas Metálicas, onde exercícios foram resolvidos 
passo-a-passo, é assim. Aqui, não é diferente. Deveremos pegar as características do 
material, obter os coeficientes modificadores, de segurança, etc. em tabelas ou na norma, e 
aplicar uma fórmula pronta para a situação descrita. É pura repetição. 
Para este caso: 
Necessitamos encontrar a resistência de cálculo à tração e a área líquida a que está 
submetida, para, após isso, podermos encontrar a tensão e concluir o exercício. 
Obviamente, deveremos encontrar os coeficientes todos que estas fórmulas envolvem. 
Resumo do exercício: 
O que queremos: Tensão (σ); 
Como encontrá-la: com a relação de um esforço em determinada área (N/A); 
Do que precisaremos: do esforço e da área; 
Como encontrar o esforço: encontrando a tensão de cálculo máxima de acordo com as 
propriedades no material ft,d (o que ele suporta); 
Como encontrar a área: subtraindo-se a área dos furos da área da seção. 
Portanto, rapidamente (em caso de dúvidas de aplicações de fórmulas, consulte aulas 
anteriores): 
1º: Passo: Com as propriedades do enunciado, determinamos Kmod: 
 Kmod = Kmod1 . Kmod2 . Kmod3 → Kmod = 0,7 . 0,8 . 0,8 → Kmod = 0,45 
2º Passo: Com o Kmod, encontramos a tensão de cálculo para comparar com o esforço 
que está atuando (50 MPa/Área): 
ft,d = Kmod .
ft,k
γwt
 → ft,d = 0,45 .
30
1,8
 → ft,d = 7,5 MPa 
3º Passo: Determinação da Área Líquida: 
df = d + 0,5 mm → df = 12,5 + 0,5 → df = 13 mm 
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ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
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Af = t . df → Af = 7,5 . 1,3 → Af = 9,75 cm² 
Awn = Aw – (n . Af) → Awn = (7,5 . 10) – (2 . 9,75) → Awn = 55,5 cm² 
4º Passo: Comparar a tensão aplicada à tensão de cálculo: 
σt,d = 
Nsd
Awn
 → σt,d = 
50
55,5
 → σt,d = 9,0 MPa 
Portanto, 9,0 > 7,5 → não suportará. Algumas outras variáveis deverão ser 
consideradas e aprendidas para este tipo de cálculo, a partir de agora. 
2. Peças Comprimidas 
As barras comprimidas apresentam uma condição adicional correspondente à 
estabilidade, que é a Flambagem. Axialmente, os estados limites últimos se configuram pelo 
esmagamento das fibras, como nas barras denominadas de curtas, ou por instabilidades 
associadas a efeitos de segunda ordem provocados por flambagem típica de Euler, também 
conhecida como flambagem por flexão, no caso das peças esbeltas e semiesbeltas. 
Portanto, existirão mais verificações na compressão do que na tração. 
O índice de esbeltez de barra de barra comprimida, como sabido, é definido por: 
λ = 
L0
rmin
, sendo r = √
I
A
 
onde λ é o índice de esbeltez; L0 é o comprimento de flambagem e rmin é o raio de 
giração mínimo. 
O comprimento de flambagem L0 é igual ao comprimento efetivo da barra, não se 
permitindo reduções em peças com extremidades indeslocáveis, no caso de peças 
engastadas em uma extremidade e livres na outra à L0 = 2L. 
 
 
 
 
Ruptura! 
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2.1. Peças Curtas (λ ≤ 40) 
Uma peça é denominada de curta quando apresenta índice de esbeltez menor ou igual 
a 40. A forma de ruptura caracteriza-se por esmagamento da madeira e a condição de 
segurança da NBR 7190:1997 é expressa por: 
σc0,d = 
Nsd
Awn
 ≤ ft0,d 
Onde σc0,d é a tensão de cálculo devida à solicitação dos esforços de compressão; Aw é 
a área bruta da seção transversal; Nsd o esforço normal solicitante de cálculo (Fd); fc0,d é a 
resistência de cálculo aos esforços de compressão paralela às fibras. 
2.2. Peças Semiesbeltas (40 < λ ≤ 80) 
A forma de ruptura das peças medianamente esbeltas pode ocorrer por esmagamento 
da madeira ou por flexão decorrente da perda de estabilidade. 
A NBR 7190:1997 não considera, para peças medianamente esbeltas, a verificação de 
compressão simples, sendo exigida a verificação de flexocompressão no elemento mesmo 
para carga de projeto centrada. É um critério que estabelece a consideração de possíveis 
excentricidades na estrutura, não previstas no projeto. A verificação deve ser feita 
isoladamente nos planos de rigidez mínima e de rigidez máxima do elemento estrutural. 
A condição de segurança relativa ao estado limite último de instabilidade impõe a 
relação para o ponto mais comprimido da seção transversal, aplicada isoladamente nos 
planos de rigidez mínima e máxima do elemento estrutural. 
σNd
fc0,d
+ 
σMd
fc0,d
 ≤ 1 
Onde: 
σNd é o valor de cálculo da tensão de compressão devida à força normal de compressão 
e σMd é o valor de cálculo da tensão de compressão devida ao momento fletor Md, calculado 
pela excentricidade ed prescrita pela norma. 
 
σnd é definidocomo sendo o valor de cálculo da tensão devido ao esforço normal de 
compressão: 
σNd = 
Nsd
Aw
 
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ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
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σMd é definido como sendo o valor de cálculo da tensão de compressão devido ao 
momento fletor 
Md
W
 , expresso por: 
Md = Nd . ed sendo σMd = 
M𝑑 . 𝑋𝐶𝑀
I𝑦
 
Note que σMd depende do eixo de cálculo, podendo variar XCM e YCM, Iy e Ix, 
dependendo do eixo. 
Onde ed, por sua vez, é definida como sendo a excentricidade de cálculo expressa por: 
ed = e1 (
NE
NE − Nd
) 
Onde e1 é a excentricidade de primeira ordem, expressa por: 
e1 = ei + ea 
Sendo ea uma excentricidade acidental em virtude das imperfeições geométricas da 
barra, com valor máximo dado por: 
ea = 
L0
300
 ≥ 
h
30
 
E ei uma excentricidade decorrente dos valores de cálculo Mld e Nd; 
ei = 
Mld
Nd
 ≥ 
h
30
 
Com M1d sendo ação efetiva atuante sobre a barra que provoque flexão. Se não existir, 
ei = 0. “h” é a altura seção transversal na direção referente ao plano de verificação. 
 
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NE é a Força Crítica de Euler expressa por: 
NE = 
π2 . Ec0,ef . I 
L0
2 
Sendo I o momento de inércia da seção transversal da peça relativo ao plano de flexão 
em que se está verificando a condição de segurança. 
Como podemos ver, em situações de semiesbeltez fica mais difícil de se checar as 
restrições pelo montante de variáveis a se encontrar para proceder com as verificações. 
Porém, tal qual uma receita de bolo, o roteiro é tal qual descrito anteriormente: 
identificadas as condições e características das peças, seguir encontrando os valores para o 
caso dela, como era feito para peças metálicas e de concreto, em Estabilidade. 
2.3. Peças Esbeltas (λ > 80) 
A forma de ruptura das peças esbeltas ocorre por flexão causada pela perda de 
estabilidade lateral. Neste caso, a condição de segurança relativa ao estado limite último de 
instabilidade impõe a relação: 
σNd
fc0,d
+ 
σMd
fc0,d
 ≤ 1 
Definindo-se: 
Md = Nd . e1,ef (
NE
NE − Nd
) 
Onde e1,ef é a excentricidade efetiva de 1a ordem, expressa por: 
e1,ef = e1 + ec → e1,ef = ei + ea + ec 
ea é a excentricidade acidental mínima com valor ≥ h/30 ou L0/300; ec é a 
excentricidade suplementar de primeira ordem que representa a fluência da madeira, 
expressa por (recomenda-se utilizar uma calculadora para se calcular esta expressão, 
quando necessário): 
ec = (ei + ea) . {exp (∆) − 1} 
Iremos abrir um parêntese matemático aqui. 
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ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
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A função exponencial ex foi expressa como “exp” para que não se confunda com o “e” 
da excentricidade, onde Δ vale: 
∆ = 
ф . [Ngk + (ψ1 + ψ2) . Nqk]
NE − [Ngk + (ψ1 + ψ2) . Nqk ]
 
Onde: 
(ψ1 + ψ2) ≤ 1, encontrados na Aula 08, página 96; 
eig ≤ 
M1g,d
Ngd
 
Ngk e Nqk são valores característicos da força normal devidos às cargas permanentes e 
variáveis, respectivamente; M1g,d é o valor de cálculo do momento fletor devido apenas às 
ações permanentes; ф é o coeficiente de fluência relacionado às classes de carregamento e 
de umidade, exposto na Tabela: 
 
Esta análise é relativamente complicada, porém, com o auxílio de tabelas e de material 
de apoio é perfeitamente solucionável. Vamos para um exercício completo de Solicitações 
Normais em peças de madeira envolvendo todos os conceitos envolvidos até aqui. É 
extenso, mas será feito passo a passo para assimilação do aprendizado. Concentre-se. 
Exemplo: Verificar, para a combinação última normal, se a barra do banzo da treliça de 
comprimento de flambagem L0 = 169 cm e com secção transversal de 6 cm x 16 cm (Figura), 
construída em local de classe de umidade 1, é suficiente para resistir a uma solicitação 
devida à carga permanente de grande variabilidade de -2400 daN (decaNewton → 10 N), à 
carga de vento de pressão de -564 daN. A madeira usada é uma folhosa de classe C60 e sem 
classificação visual. 
 
 
 
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Resolução: 
1º Passo: 
Em primeiro lugar, faça-se uma análise da classe de carregamento para que se possa 
saber qual equação utilizar. O enunciado diz “Verificar, para a combinação última 
normal...”, portanto, da Aula 08, tópico “a” (pg. 97), temos que: 
𝐹𝑑 = ∑ 𝛾𝐺𝑖 . 𝐹𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
+ 𝛾𝑄 [𝐹𝑄1,𝑘 + ∑ 𝜓𝑜𝑗 . 𝐹𝑄𝑗,𝑘
𝑛
𝑗=2
] 
 
 
 
Para as ações apresentadas, temos que o exercício nos fornece o seguinte dado: “à 
carga permanente de grande variabilidade de -2400 daN”, ou seja, fazendo uso da última 
tabela da página 96, temos que o coeficiente de majoração para o modelo é γG = 1,4 na 
primeira parcela. 
Para γQ, temos o mesmo se enquadrando como de ação variável permanente, ou seja: 
1,4. Porém, deveremos mitigar a 75% de seu valor, pois, conforme tópico “Combinações 
últimas normais” da página 97 da Aula 08, ações variáveis permanentes que acontecem por 
curta duração deverão ser reduzidas pelo fator de 0,75 (vento). Analisando: são 
permanentes pois acontecerão durante a vida toda do projeto, porém, variáveis pois não 
acontecerão todo o tempo desta vida útil. 
Ademais, para as ações apresentadas, existe somente uma ação variável (vento), a 
qual será considerada principal. Não existe ação variável secundária, portanto, não será 
necessário utilizar a parcela ∑ ψoj . FQj,k
n
j=2 , pois não existirão comparativos a se fazer para 
encontrar o maior esforço considerando, entre as variáveis, uma ou outra maior (PS: caso 
existisse outra ação variável, teríamos que encontrar Fd1 e Fd2, considerando, dentre as 
variáveis, o vento e uma suposta outra ação como primária e secundária, achar qual dentre 
elas produziria o maior valor de Fd para poder utilizar sempre a maior, como segurança, na 
resolução do exercício). 
Temos, portanto: 
Parcela Ações 
Variáveis 
Parcela Ações 
Permanentes 
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ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
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Fd = (1,4 . −2400) + 1,4 . 0,75 [−564] 
Fd = −3360 + 1,05[−564] 
Fd = −3952 daN 
2º Passo 
É necessário calcular as propriedades mecânicas da madeira. Para isso, sabe-se que a 
madeira é maciça e de classe C60. A resistência de cálculo à compressão paralela às fibras é 
dada por (w → c0): 
fc0,d = Kmod .
fc0,k
γc
 
Para resolver a expressão, encontraremos o Kmod. O Kmod,1 é função da ação variável 
principal e classe de carregamento, Kmod,2 é função da classe de umidade e tipo de material 
e Kmod,3 é devido à categoria da madeira. A classe de carregamento para a combinação 
última normal é sempre considerada de longa duração, portanto kmod,1 = 0,70. Para obras 
em madeira serrada e inseridas em locais com classe de umidade 1, kmod,2 = 1,0. Madeira 
sem classificação visual é considerada de 2ª categoria, portanto kmod,3 = 0,8. 
Kmod = Kmod,1 · Kmod,2 · Kmod,3 → Kmod = 0,7 . 1,0 . 0,8 → Kmod = 0,56 
De acordo com a Aula 08 (tabela pág. 90), a madeira classe C 60 apresenta fc0,k = 600 
daN/cm² e γc = 1,4. Assim sendo: 
fc0,d = Kmod .
fc0,k
γc
 → fc0,d = 0,56 .
600
1,4
 → fc0,d = 240 daN/cm² 
3º Passo: 
Necessitaremos também do Módulo de Elasticidade Efetivo, para que se possa calcular 
futuramente no cálculo da Carga Crítica de Euler. Segundo consta na página 91: 
Eco,ef = Kmod · Eco,m → Eco,ef = 0,56 · 245000 → Eco,ef = 137200 daN/cm² 
Note que o valor de Eco,m difere da tabela da página 90 por aquela estar em MPa e aqui 
em daN. 
4º Passo 
Passaremos agora para uma segunda fase da resolução do exercício, que é a análise 
dos critérios de segurança aprendidos aqui nesta aula. A fim de se determinar este critério a 
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ser empregado para a verificação da segurança da peça comprimida, deve ser calculado o 
índice de esbeltez da mesma nas duas direções, visto que, segundo a NBR 7190:1997, a 
verificação deve ser feita nas duas direções independentemente, e então, poderemos 
conhecer em qual situação a peça se encaixará, pois depende de λ. 
λ = 
L0
rmin
, sendo r = √
I
A
 
Para encontrarmos λ, deveremos encontrar o raio de giração, e, para isto, deveremos 
encontrar o Momento de Inércia da peça em ambos os sentidos. Temos, para retângulos, 
que I = bh³/12 no sentido de x e I = b³h/12, no sentido de y. Portanto: 
Ix = bh³/12 → Ix = 6 . 16³/12 → Ix = 2048 cm4 
Iy = b³h/12 → Iy = 6³ . 16/12 → Iy = 288 cm4 
Os raios de giração em torno das direções x e y são então dados por: 
𝑟𝑥 = √
𝐼𝑥
𝐴
 → 𝑟𝑥 = √
2048
6 . 16
 → 𝑟𝑥 = 4,62 𝑐m 
ry = √
Iy
A
 → ry = √
288
6 . 16
 → ry = 1,73 cm 
Portanto, os Índices de Esbeltez são: 
λx = 
L0
rx
 → λx = 
169
4,62
 → λx = 36,6 
λy = 
L0
ry
 → λy = 
169
1,73
 → λy = 97,7 
Assim sendo, em torno do eixo x, o banzo é considerado uma peça curta (λ ≤ 40) e em 
torno do eixo y é considerado esbelto (λ > 80). Portanto, analisaremos a peça com as 
equações do tópico 2.1 para o eixo x e 2.3 para o eixo y. 
5º Passo: 
Para a análise em torno de x, tem-se que σc0,d ≤ ft0,d: 
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ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
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σc0,d = 
Fd
A
 → σc0,d = 
3952
6 . 16
 → σc0,d = 41,17 daN ≤ 240 daN 
A segurança é atendida em torno do eixo x. 
6º Passo: Para a análise em torno de y, tem-se que analisar as seguintes expressões, 
devido a Esbeltez: 
σNd
fc0,d
+ 
σMd
fc0,d
 ≤ 1 
As equações são: 
σc0,d = 
Fd
A
 (esforço normal de compressão, axial); 
σc0,d = 
Md . 𝑋𝐶𝑀
I𝑦
 (tensão de compressão devido ao momento fletor); 
Md = Nd . e1,ef (
NE
NE− Nd
) (momento em função da excentricidade); 
e1,ef = ei + ea + ec (excentricidade de 1ª ordem). 
Calculemos: 
1) A tensão normal devida ao esforço axial já foi calculada anteriormente e é σc0,d = 
41,17 daN; 
2) É necessário calcular as tensões normais devidas à flexão oriunda da 
excentricidade. A carga crítica de Euler é dada por: 
NE = 
π2 . Ec0,ef . I 
L0
2 → NE = 
π2 . 137200 . 288 
169²
 → NE = 13654,4 daN 
Os valores das excentricidades a serem consideradas são: 
ei = 0, pois M1d = 0 (lembrar que o índice numérico 1, associado a um momento 
corresponde a ação efetiva atuante sobre a barra – neste caso não existe ação que 
provoque flexão). Porém, a existe uma restrição mínima de excentricidade a ser atendida: 
ei ≥ 
h
30
 → ei = 
6
30
 → ei = 0,20 cm 
PS: não confunda este h com altura da peça. Este “h” é a altura seção transversal na 
direção referente ao plano de verificação. Portanto, como estamos verificando no sentido 
“y”, este h será x. 
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Tem-se também outra restrição de excentricidade: 
ea = 
L0
300
 ≥ 
h
30
 → ea = 
169
300
 → ea = 0,56 cm 
Como 
L0
300
 ≥ 
h
30
 , utilizaremos o maior valor que é 0,56 cm. 
Portanto: 
ec = (ei + ea) . {exp (∆) − 1} 
Com: 
∆ = 
ф . [Ngk + (ψ1 + ψ2) . Nqk]
NE − [Ngk + (ψ1 + ψ2) . Nqk ]
 
Como Ngk é a carga permanente e Nqk a carga variável, (ф é dado pela classe de 
carregamento em função da umidade, tabela da página 108) tem-se: 
∆ =
ф . [Ngk + (ψ1 + ψ2) . Nqk]
NE − [Ngk + (ψ1 + ψ2) . Nqk ]
 
𝛥 = 
0,8 . [2400 + (0 + 0,2) . 564]
13654,4 − [2400 + (0 + 0,2) . 564 ]
 
𝛥 = 0,18 
Retomando a Equação: 
ec = (ei + ea) . {exp(∆) − 1} → ec = (0,2 + 0,56) . {e
0,18 − 1} → ec = 0,15 cm 
Portanto, finalizando a excentricidade: 
e1,ef = e1 + ec → e1,ef = ei + ea + ec → e1,ef = 0,20 + 0,56 + 0,15 → e1,ef = 0,91 cm 
7º Passo 
Cálculo do Momento (Fd = Nd = 3952 daN): 
Md = Nd . e1,ef (
NE
NE − Nd
) → Md = 3952 . 0,91 (
13654,4
13654,4 − 3952
) → Md = 5061,1 daN. cm 
Como: 
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ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
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σMd = 
Md . 𝑋𝐶𝑀
I𝑦
 
Então temos: 
σc0,d = 
Md . XCM
Iy
 → σMd =
5061,1 . 3
288
 → σMd = 52,71 daN/cm² 
A verificação da segurança em torno do eixo y, dada pela relação abaixo, mostra que o 
banzo está seguro. 
σNd
fc0,d
+ 
σMd
fc0,d
 ≤ 1 → 
41,17
240
+ 
52,71
240
= 0,39 ≤ 1