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Função do Segundo Grau Prof.o Ricardo Reis Universidade Federal do Ceará Campus de Quixadá 25 de março de 2013 1 Definição A função do segundo grau possui equa- ção geral, f(x) = ax2 + bx+ c (1) onde a, b e c são constantes, com a 6= 0, e x é a variável independente. Toda função do segundo grau representa uma parábola como a do esquema a seguir, x y 2 Parábolas Em geometria analítica uma parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes a uma reta denominada geratriz e a um ponto fixo denominado foco. A reta que passa pelo foco de uma parábola e é perpendicular a sua geratriz divide esta parábola em duas partes simétricas entre si. Esta reta é de- nominada eixo de simetria. O ponto de in- tersecção entre o eixo de simetria e a pará- bola é denominado vértice. A medida entre o vértice e o foco é denominada distância focal. Estes elementos são ilustrados na fi- gura a seguir, parábola geratriz foco vértice eixo de simetria dis tân cia foc al Como cada valor no domínio de uma fun- ção só permite um valor de imagem en- tão apenas algumas categorias de parábo- las podem ser representadas por funções. Duas delas se destacam. A primeira são daquelas cujas geratrizes são paralelas ao eixo x, ou seja, g(x) = p (2) onde g(x) denota a função reta geratriz e p uma constante real. Tais parábolas são obtidas das funções de segundo grau abor- dadas neste artigo A segunda categoria é formada por semi- parábolas cujos eixos de simetria são para- lelos ao eixo x. Elas possuem forma geral f(x) = √ ax+ b+ c e serão abordadas em ou- tro artigo. Esquematicamente, f(x) = ax2 + bx+ c f(x) = √ ax+ b+ c 1 3 Concavidade O sinal do coeficiente a da equação-(1) de- fine o sentido da concavidade conforme in- dica tabela, a > 0 a < 0 Quando a > 0 dizemos que a concavidade é para cima e quando a < 0 dizemos que a concavidade é para baixo. Se a = 0 a função não é de segundo grau. 4 Raízes Em uma função de segundo grau o total de raízes e seus respectivos valores depen- dem do parâmetro ∆ definido como, ∆ = b2 − 4ac (3) onde a, b e c são os coeficientes da equação- (1). Se ∆ > 0 então a parábola cruza o eixo x em dois pontos e logo existem neste caso duas raízes reais x1 e x2 dadas por, x1 = −b+√∆ 2a (4) x2 = −b−√∆ 2a (5) Se ∆ = 0 a parábola apenas toca o eixo x num ponto e logo existe apenas uma raiz real. Neste caso pode-se utilizar qualquer uma das equações (4) ou (5) para obter a raiz da função, x1 = x2 = −b±√0 2a = − b 2a Por fim, se ∆ < 0 então a parábola não cruza o eixo x e logo, neste caso, não exis- tem raízes reais (note que nas equações 4 e 5 o parâmetro ∆ fica dentro de uma raiz quadrada que, no âmbito dos reais, não opera raízes de números negativos). Os esquemas a seguir relacionam sentido de concavidade e total de raízes em funções do segundo grau. a > 0 ∆ < 0 ∆ = 0 ∆ > 0 a < 0 ∆ < 0 ∆ = 0 ∆ > 0 ILUSTRAÇÃO 1 Determinar raízes da função f(x) = x2 − 8x− 33. Da equação-(3), ∆ = (−8)2 − 4(1)(−33) = 64 + 132 = 196 Das equação-(4) e equação-(5), x1 = 8 + √ 196 2 = 8 + 14 2 = 11 x2 = 8−√196 2 = 8− 14 2 = −3 ILUSTRAÇÃO 2 Determinar raízes da função f(x) = 4− 4x+ x2. Da equação-(3), ∆ = (−4)2 − 4(1)(4) = 0 Utilizando equação-(4) ou equação-(5), 2 x0 = 4±√0 2 = 4 2 = 2 ILUSTRAÇÃO 3 Determinar raízes da função f(x) = 2x2 − 6x+ 5. Da equação-(3), ∆ = (−6)2 − 4(2)(5) = 36− 40 = −4 Como ∆ < 0 então não existem raízes reais. 4.1 Soma e Produto de Raízes Somando a equação-(4) com a equação- (5) obtemos, x1 + x2 = −b+√∆ 2a + −b−√∆ 2a = −b+√∆− b−√∆ 2a = −2b 2a x1 + x2 = − b a (6) Multiplicando a equação-(4) pela equação-(5) obtemos, x1 · x2 = −b+ √ ∆ 2a · −b− √ ∆ 2a = (−b)2 − (√δ)2 4a2 = b2 −∆ 4a2 = b2 − b2 + 4ac 4a2 = 4ac 4a2 x1 · x2 = c a (7) ILUSTRAÇÃO 4 Determinar a função de se- gundo grau cuja soma de raízes é 10, o pro- duto 21 e cuja parábola passe pelo ponto P (1, 3). Substituindo as coordenadas de P na equação-(1) obtemos, f(x) = ax2 + bx+ c 3 = a(1)2 + b(1) + c a+ b+ c = 3 Utilizando equação-(6) e equação-(7) obte- mos, −b a = 10 b = −10a c a = 21 c = 21a Substituindo estes últimos resultados no primeiro obtemos, a+ b+ c = 3 a+ (−10a) + (21a) = 3 12a = 3 a = 1 4 Consequentemente, b = −10a b = −10(1 4 ) b = −5 2 c = 21a c = 21( 1 4 ) c = 21 4 Destes coeficiente tem-se que f(x) = x 2 4 − 5x 2 + 21 4 = x2 − 10x+ 21 4 5 Vértice O vértice de uma função do segundo grau é o ponto extremo da parábola que ela re- presenta, ou seja, se a < 0 o vértice equivale ao ponto que possui maior valor de imagem e se a > 0 o ponto com menor valor de ima- gem. Esquematicamente tem-se, 3 Vértices As coordenadas do vértice de uma pará- bola, xv e yv, são dadas pelas equações, xv = − b 2a (8) yv = −∆ 4a (9) onde a e b são coeficientes da equação-(1) e ∆ é definido na equação-(3). Quando ∆ = 0, ou seja, quando a pará- bola toca o eixo x em um único ponto, este ponto é o próprio vértice e logo, x1 = x2 = xv ∆ = 0 (10) onde x1 e x2 representam as raízes da fun- ção. Quando ∆ > 0 a abcissa do vértice é a média dos valores das raízes da função, ou seja, xv = x1 + x2 2 ∆ > 0 (11) ILUSTRAÇÃO 5 Determinar o vértice da pa- rábola referente a função f(x) = 3x2 − 15x + 11. Da equação-(8), xv = −−15 2 · 3 = 5 Da equação-(3), ∆ = (−15)2 − 4(3)(11) = 93 Da equação-(8), yv = − 93 4 · 3 yv = −31 4 ILUSTRAÇÃO 6 Determinar a função de se- gundo grau cujo vértice da parábola é (2, 1) e possui uma raiz em x = 1. Da abcissa do vértice, equação-8, xv = − b 2a 2 = − b 2a b = −4a Da equação-11 podemos determinar a se- gunda raiz de f , xv = x1 + x2 2 2 = 1 + x2 2 x2 = 3 Do produto de raízes, equação-7, x1 · x2 = c a (1)(3) = c a c = 3a Aplicando o vértice à equação-1 obtemos, y = ax2 + bx+ c 1 = a(22) + b(2) + c 4a+ 2b+ c = 1 Substituindo b e c já isolados nesta última equação temos, 4a+ 2b+ c = 1 4a+ 2(−4a) + (3a) = 1 a = −1 por fim, b = −4a = −4(−1) = 4 c = 3a = 3(−1) = −3 Destes valores de coeficientes, f pode ser escrita como, f(x) = −x2 + 4x− 3 4 Sergio Filho Realce Sergio Filho Realce 6 Domínio e Imagem O domínio de uma função de segundo grau é formado por todos os reais, ou, D(f) = R (12) A imagem de uma função do segundo grau depende do sinal de a e da ordenada yv de seu vértice conforme ilustra tabela, Im(f) a > 0 {y ≥ yv | y ∈ R} a < 0 {y ≤ yv | y ∈ R} ILUSTRAÇÃO 7 Determinar imagem da fun- ção f(x) = 3x2 − x− 4. Da equação-9, yv = −∆ 4a = −(b2 − 4ac) 4a = −((−1)2 − 4(3)(−4)) 4(3) = −49 12 Como a = 3 > 0 então a imagem é dada por,{ y ≥ −49 12 | y ∈ R } 7 Estudo de Sinal O estudo de sinal trata de determinar em que intervalos do domínio de uma função sua imagem é positiva, zero ou negativa. Este estudo é feito nas proximidades das raízes da função onde o valor de imagem é igual a zero. A análise de sinal numa parábola de- pende dos sinais de a e ∆ conforme descrito nos parágrafos seguintes. Se a > 0 e ∆ < 0 toda imagem tem sinal positivo. Graficamente, + + Se a > 0 e ∆ = 0 então a imagem é zero no ponto onde a parábola toca o eixo x e positiva do contrário. Graficamente, + +0 x1 = x2 = xv Se a > 0 e ∆ > 0 então o sinal da imagem se distribui conforme intervalos, y < 0 x1 < x < x2 y = 0 x ∈ {x1, x2} y > 0 {x < x1 ∪ x > x2} onde x1 e x2 são as raízes da função e ainda x1 < x2. Graficamente, + + - 0 0 x1 x2 Se a < 0 e ∆< 0 toda imagem tem sinal negativo. Graficamente, - - Se a < 0 e ∆ = 0 então a imagem é zero no ponto onde a parábola toca o eixo x e negativa do contrário. Graficamente, - -0 x1 = x2 = xv 5 Por fim se a < 0 e ∆ > 0 então o sinal da imagem se distribui conforme intervalos, y < 0 {x < x1 ∪ x > x2} y = 0 x ∈ {x1, x2} y > 0 x1 < x < x2 onde x1 e x2 são as raízes da função e ainda x1 < x2. Graficamente, - - + 0 0 x1 x2 ILUSTRAÇÃO 8 Efetuar estudo de sinal da função f(x) = −x2 + 7x− 10. Inicialmente determinamos as raízes de f , ∆ = (−7)2 − 4(−1)(−10) = 9 x = −7±√9 2(−1) = {2, 5} Como a < 0 e ∆ > 0 temos que o estudo de sinal é, y < 0 {x < 2 ∪ x > 5} y = 0 x ∈ {2, 5} y > 0 2 < x < 5 8 Interpolação Quadrática Consideremos o problema da interpolação quadrática dados três pontos de entrada, ou seja, deseja-se determinar da função de segundo grau que passa por três pon- tos (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3). Aplicando a equação-(1) individualmente a estes pontos encontramos o sistema, ax1 2 + bx1 + c = y1 ax2 2 + bx2 + c = y2 ax3 2 + bx3 + c = y3 cuja forma matricial é, ∣∣∣∣∣∣ x1 2 x1 1 x2 2 x2 1 x3 2 x3 1 ∣∣∣∣∣∣ · ∣∣∣∣∣∣ a b c ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ y1 y2 y3 ∣∣∣∣∣∣ (13) Denotaremos a primeira matriz da equação-(13) por X, X = ∣∣∣∣∣∣ x1 2 x1 1 x2 2 x2 1 x3 2 x3 1 ∣∣∣∣∣∣ (14) Pelo método de substituição de colunas os coeficientes a. b e c podem ser expressos pelas equações, a = det ∣∣∣∣∣∣ y1 x1 1 y2 x2 1 y3 x3 1 ∣∣∣∣∣∣ detX (15) b = det ∣∣∣∣∣∣ x1 2 y1 1 x2 2 y2 1 x3 2 y3 1 ∣∣∣∣∣∣ detX (16) c = det ∣∣∣∣∣∣ x1 2 x1 y1 x2 2 x2 y2 x3 2 x3 y3 ∣∣∣∣∣∣ detX (17) ILUSTRAÇÃO 9 Determinar a função de se- gundo grau que passa pelos pontos (0, 5), (−1, 10) e (1, 4). Da equação-(14), X = ∣∣∣∣∣∣ 02 0 1 −12 −1 1 12 1 1 ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ 0 0 1 1 −1 1 1 1 1 ∣∣∣∣∣∣ detX = 1− (−1) = 2 Da equação-(15), 6 a = det ∣∣∣∣∣∣ 5 0 1 10 −1 1 4 1 1 ∣∣∣∣∣∣ 2 = 5(−1− 1) + (1)(10 + 4) 2 = −10 + 14 2 a = 2 Da equação-(16), b = det ∣∣∣∣∣∣ 0 5 1 1 10 1 1 4 1 ∣∣∣∣∣∣ 2 = (−5)(1− 1) + (1)(4− 10) 2 = 0− 6 2 b = −3 Da equação-(17), c = det ∣∣∣∣∣∣ 0 0 5 1 −1 10 1 1 4 ∣∣∣∣∣∣ 2 = (5)(1− (−1)) 2 = 10 2 c = 5 Por fim, da equação-(1), f(x) = ax2 + bx+ c = 2x2 − 3x+ 5 ILUSTRAÇÃO 10 Determinar função de se- gundo grau que possui vértice V (3,−25) e contém o ponto P (−1,−9). Como o vértice de uma parábola está no eixo de simetria então existe um ponto Q com mesma ordenada de P e um valor de abcissa cuja mediana com a abcissa de P é a abcissa do vértice. Veja esquema, Q P V Determinemos Q, Qy = Py = −9 Qx + Px 2 = Vx Qx + (−1) 2 = 3 Qx = 2(3)− (−1) = 7 Logo os pontos de entrada ordenados por abcissa ficam, (−1,−9) (3,−25) (7,−9) Da equação-(14), X = ∣∣∣∣∣∣ −12 −1 1 32 3 1 72 7 1 ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ 1 −1 1 9 3 1 49 7 1 ∣∣∣∣∣∣ detX = (1)(3− 7)− (−1)(9− 49) + (1)(9 · 7− 3 · 49) = −4− 40 + (63− 147) = −128 Da equação-(15), a = det ∣∣∣∣∣∣ −9 −1 1 −25 3 1 −9 7 1 ∣∣∣∣∣∣ −128 = 1 −128((−9)(3− 7) − (−1)(−25 + 9) + (1)((−25)(7)− (−9)(3))) = 36− 16 + (−175 + 27) −128 = −128 −128 a = 1 7 Da equação-(16), b = det ∣∣∣∣∣∣ 1 −9 1 9 −25 1 49 −9 1 ∣∣∣∣∣∣ −128 = 1 −128((1)(−25 + 9) − (−9)(9− 49) + (1)((−9)(9)− (49)(−25))) = −16− 360 + 1144 −128 = 768 −128 b = −6 Da equação-(17), c = det ∣∣∣∣∣∣ 1 −1 −9 9 3 −25 49 7 −9 ∣∣∣∣∣∣ −128 = 1 −128((1)((3)(−9)− (−25)(7)) − (−1)((9)(−9)− (−25)(49)) + (−9)((9)(7)− (3)(49))) = 148 + 1144 + 756 −128 = 2048 −128 c = −16 Por fim, da equação-(1), f(x) = ax2 + bx+ c = x2 − 6x− 16 ILUSTRAÇÃO 11 Determine a função de se- gundo grau cujas raízes são 5 e 9 e cuja ordenada do vértice vale −12. Como existem duas raízes reais distintas então a abcissa do vértice, xv, poderá ser obtida pela equação-(11), logo, xv = x1 + x2 2 = 5 + 9 2 = 7 Logo os pontos de entrada ordenados por abcissa ficam (5, 0) (7,−12) (9, 0) Utilizando equação-(14), equação-(15), equação-(16) e equação-(17) calculamos, X = ∣∣∣∣∣∣ 25 5 1 49 7 1 81 9 1 ∣∣∣∣∣∣ detX = −16 A = ∣∣∣∣∣∣ 0 5 1 −12 7 1 0 9 1 ∣∣∣∣∣∣ det(A) = −48 a = −48 −16 = 3 B = ∣∣∣∣∣∣ 25 0 1 49 −12 1 81 0 1 ∣∣∣∣∣∣ detB = 872 b = 872 −16 = −42 C = ∣∣∣∣∣∣ 25 5 0 49 7 −12 81 9 0 ∣∣∣∣∣∣ detC = −2160 c = 135 Logo f(x) = 3x2 − 42x+ 135 9 Exercícios Determine para as parábolas a seguir a ori- entação da concavidade, as raízes se exis- tirem, o ponto de cruzamento com o eixo y, imagem, o estudo de sinal da imagem, a co- ordenada do vértice, a coordenada do foco, a reta geratriz e um esboço do gráfico. 1. f(x) = x2 2. f(x) = x2 − 9 3. f(x) = x2 − 3x+ 11 4. f(x) = x2 − 9x+ 18 8 5. f(x) = −11 + 9x− 2x2 6. f(x) = 11− x2 7. f(x) = −3x2 + 18x− 27 8. f(x) = (x− 5)(x+ 9) 8 9. f(x) = (x− 6)2 − 4 10. f(x) = (5− x)2 + 13 Determine as funções de segundo grau que passam pelos pontos A, B e C nos casos se- guintes, 11. A(−2,−9) B(3, 1) C(5,−23) 12. A(6, 167) B(0, 11) C(4, 91) 13. A(3,−13) B(4,−21) C(5,−31) 14. A(−1, 16) B(0, 11) C(1, 16) 15. A(−11, 605) B(4, 80) C(5, 125) 16. A(1, 6) B(2, 11) C(3, 18) 17. A(0, 0) B(5, 25) C(3, 15) Nos casos a seguir são dados dois pontos P e Q pertencentes a uma função f(x) de se- gundo grau bem como a abcissa do vértice. Determinar f(x). 18. P (−1, 0) Q(1, 0) xv = 0 19. P (0, 0) Q(3, 9) xv = 0 20. P (3, 5) Q(7, 0) xv = 3 21. P (−1,−1) Q(−5, 8) xv = −11 Nos casos a seguir determine as funções de segundo grau cujas parábolas correspon- dentes possuem vértice V e passado pelo ponto P , 22. V (−1, 8) P (−5, 56) 23. V (2, 29) P (4, 1) 24. V (4, 52) P (31,−677) 25. V (0, 13) P (1,−8) 26. V (0, 3) P (3, 0) 9
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