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FUNCAO DO SEGUNDO GRAU - Prof. Ricardo Reis - UFC - Campus Quixadá

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Função do Segundo Grau
Prof.o Ricardo Reis
Universidade Federal do Ceará
Campus de Quixadá
25 de março de 2013
1 Definição
A função do segundo grau possui equa-
ção geral,
f(x) = ax2 + bx+ c (1)
onde a, b e c são constantes, com a 6= 0, e
x é a variável independente. Toda função
do segundo grau representa uma parábola
como a do esquema a seguir,
x
y
2 Parábolas
Em geometria analítica uma parábola é o
lugar geométrico dos pontos equidistantes a
uma reta denominada geratriz e a um ponto
fixo denominado foco. A reta que passa pelo
foco de uma parábola e é perpendicular a
sua geratriz divide esta parábola em duas
partes simétricas entre si. Esta reta é de-
nominada eixo de simetria. O ponto de in-
tersecção entre o eixo de simetria e a pará-
bola é denominado vértice. A medida entre
o vértice e o foco é denominada distância
focal. Estes elementos são ilustrados na fi-
gura a seguir,
parábola
geratriz
foco
vértice
eixo de simetria
dis
tân
cia
foc
al
Como cada valor no domínio de uma fun-
ção só permite um valor de imagem en-
tão apenas algumas categorias de parábo-
las podem ser representadas por funções.
Duas delas se destacam. A primeira são
daquelas cujas geratrizes são paralelas ao
eixo x, ou seja,
g(x) = p (2)
onde g(x) denota a função reta geratriz e
p uma constante real. Tais parábolas são
obtidas das funções de segundo grau abor-
dadas neste artigo
A segunda categoria é formada por semi-
parábolas cujos eixos de simetria são para-
lelos ao eixo x. Elas possuem forma geral
f(x) =
√
ax+ b+ c e serão abordadas em ou-
tro artigo.
Esquematicamente,
f(x) = ax2 + bx+ c f(x) =
√
ax+ b+ c
1
3 Concavidade
O sinal do coeficiente a da equação-(1) de-
fine o sentido da concavidade conforme in-
dica tabela,
a > 0 a < 0
Quando a > 0 dizemos que a concavidade
é para cima e quando a < 0 dizemos que a
concavidade é para baixo. Se a = 0 a função
não é de segundo grau.
4 Raízes
Em uma função de segundo grau o total
de raízes e seus respectivos valores depen-
dem do parâmetro ∆ definido como,
∆ = b2 − 4ac (3)
onde a, b e c são os coeficientes da equação-
(1).
Se ∆ > 0 então a parábola cruza o eixo
x em dois pontos e logo existem neste caso
duas raízes reais x1 e x2 dadas por,
x1 =
−b+√∆
2a
(4)
x2 =
−b−√∆
2a
(5)
Se ∆ = 0 a parábola apenas toca o eixo
x num ponto e logo existe apenas uma raiz
real. Neste caso pode-se utilizar qualquer
uma das equações (4) ou (5) para obter a
raiz da função,
x1 = x2 =
−b±√0
2a
= − b
2a
Por fim, se ∆ < 0 então a parábola não
cruza o eixo x e logo, neste caso, não exis-
tem raízes reais (note que nas equações 4 e
5 o parâmetro ∆ fica dentro de uma raiz
quadrada que, no âmbito dos reais, não
opera raízes de números negativos).
Os esquemas a seguir relacionam sentido
de concavidade e total de raízes em funções
do segundo grau.
a > 0
∆ < 0 ∆ = 0 ∆ > 0
a < 0
∆ < 0 ∆ = 0 ∆ > 0
ILUSTRAÇÃO 1 Determinar raízes da função
f(x) = x2 − 8x− 33.
Da equação-(3),
∆ = (−8)2 − 4(1)(−33) = 64 + 132 = 196
Das equação-(4) e equação-(5),
x1 =
8 +
√
196
2
=
8 + 14
2
= 11
x2 =
8−√196
2
=
8− 14
2
= −3
ILUSTRAÇÃO 2 Determinar raízes da função
f(x) = 4− 4x+ x2.
Da equação-(3),
∆ = (−4)2 − 4(1)(4) = 0
Utilizando equação-(4) ou equação-(5),
2
x0 =
4±√0
2
=
4
2
= 2
ILUSTRAÇÃO 3 Determinar raízes da função
f(x) = 2x2 − 6x+ 5.
Da equação-(3),
∆ = (−6)2 − 4(2)(5) = 36− 40 = −4
Como ∆ < 0 então não existem raízes reais.
4.1 Soma e Produto de Raízes
Somando a equação-(4) com a equação-
(5) obtemos,
x1 + x2 =
−b+√∆
2a
+
−b−√∆
2a
=
−b+√∆− b−√∆
2a
=
−2b
2a
x1 + x2 = − b
a
(6)
Multiplicando a equação-(4) pela
equação-(5) obtemos,
x1 · x2 = −b+
√
∆
2a
· −b−
√
∆
2a
=
(−b)2 − (√δ)2
4a2
=
b2 −∆
4a2
=
b2 − b2 + 4ac
4a2
=
4ac
4a2
x1 · x2 = c
a
(7)
ILUSTRAÇÃO 4 Determinar a função de se-
gundo grau cuja soma de raízes é 10, o pro-
duto 21 e cuja parábola passe pelo ponto
P (1, 3).
Substituindo as coordenadas de P na
equação-(1) obtemos,
f(x) = ax2 + bx+ c
3 = a(1)2 + b(1) + c
a+ b+ c = 3
Utilizando equação-(6) e equação-(7) obte-
mos,
−b
a
= 10
b = −10a
c
a
= 21
c = 21a
Substituindo estes últimos resultados no
primeiro obtemos,
a+ b+ c = 3
a+ (−10a) + (21a) = 3
12a = 3
a =
1
4
Consequentemente,
b = −10a
b = −10(1
4
)
b = −5
2
c = 21a
c = 21(
1
4
)
c =
21
4
Destes coeficiente tem-se que f(x) = x
2
4
−
5x
2
+ 21
4
=
x2 − 10x+ 21
4
5 Vértice
O vértice de uma função do segundo grau
é o ponto extremo da parábola que ela re-
presenta, ou seja, se a < 0 o vértice equivale
ao ponto que possui maior valor de imagem
e se a > 0 o ponto com menor valor de ima-
gem. Esquematicamente tem-se,
3
Vértices
As coordenadas do vértice de uma pará-
bola, xv e yv, são dadas pelas equações,
xv = − b
2a
(8)
yv = −∆
4a
(9)
onde a e b são coeficientes da equação-(1) e
∆ é definido na equação-(3).
Quando ∆ = 0, ou seja, quando a pará-
bola toca o eixo x em um único ponto, este
ponto é o próprio vértice e logo,
x1 = x2 = xv ∆ = 0 (10)
onde x1 e x2 representam as raízes da fun-
ção.
Quando ∆ > 0 a abcissa do vértice é a
média dos valores das raízes da função, ou
seja,
xv =
x1 + x2
2
∆ > 0 (11)
ILUSTRAÇÃO 5 Determinar o vértice da pa-
rábola referente a função f(x) = 3x2 − 15x +
11.
Da equação-(8),
xv = −−15
2 · 3
= 5
Da equação-(3),
∆ = (−15)2 − 4(3)(11)
= 93
Da equação-(8),
yv = − 93
4 · 3
yv = −31
4
ILUSTRAÇÃO 6 Determinar a função de se-
gundo grau cujo vértice da parábola é (2, 1)
e possui uma raiz em x = 1.
Da abcissa do vértice, equação-8,
xv = − b
2a
2 = − b
2a
b = −4a
Da equação-11 podemos determinar a se-
gunda raiz de f ,
xv =
x1 + x2
2
2 =
1 + x2
2
x2 = 3
Do produto de raízes, equação-7,
x1 · x2 = c
a
(1)(3) =
c
a
c = 3a
Aplicando o vértice à equação-1 obtemos,
y = ax2 + bx+ c
1 = a(22) + b(2) + c
4a+ 2b+ c = 1
Substituindo b e c já isolados nesta última
equação temos,
4a+ 2b+ c = 1
4a+ 2(−4a) + (3a) = 1
a = −1
por fim,
b = −4a
= −4(−1)
= 4
c = 3a
= 3(−1)
= −3
Destes valores de coeficientes, f pode ser
escrita como,
f(x) = −x2 + 4x− 3
4
Sergio Filho
Realce
Sergio Filho
Realce
6 Domínio e Imagem
O domínio de uma função de segundo
grau é formado por todos os reais, ou,
D(f) = R (12)
A imagem de uma função do segundo
grau depende do sinal de a e da ordenada
yv de seu vértice conforme ilustra tabela,
Im(f)
a > 0 {y ≥ yv | y ∈ R}
a < 0 {y ≤ yv | y ∈ R}
ILUSTRAÇÃO 7 Determinar imagem da fun-
ção f(x) = 3x2 − x− 4.
Da equação-9,
yv =
−∆
4a
=
−(b2 − 4ac)
4a
=
−((−1)2 − 4(3)(−4))
4(3)
= −49
12
Como a = 3 > 0 então a imagem é dada por,{
y ≥ −49
12
| y ∈ R
}
7 Estudo de Sinal
O estudo de sinal trata de determinar em
que intervalos do domínio de uma função
sua imagem é positiva, zero ou negativa.
Este estudo é feito nas proximidades das
raízes da função onde o valor de imagem é
igual a zero.
A análise de sinal numa parábola de-
pende dos sinais de a e ∆ conforme descrito
nos parágrafos seguintes.
Se a > 0 e ∆ < 0 toda imagem tem sinal
positivo. Graficamente,
+ +
Se a > 0 e ∆ = 0 então a imagem é zero
no ponto onde a parábola toca o eixo x e
positiva do contrário. Graficamente,
+ +0
x1 = x2 = xv
Se a > 0 e ∆ > 0 então o sinal da imagem
se distribui conforme intervalos,
y < 0 x1 < x < x2
y = 0 x ∈ {x1, x2}
y > 0 {x < x1 ∪ x > x2}
onde x1 e x2 são as raízes da função e ainda
x1 < x2. Graficamente,
+ +
-
0 0
x1 x2
Se a < 0 e ∆< 0 toda imagem tem sinal
negativo. Graficamente,
- -
Se a < 0 e ∆ = 0 então a imagem é zero
no ponto onde a parábola toca o eixo x e
negativa do contrário. Graficamente,
- -0
x1 = x2 = xv
5
Por fim se a < 0 e ∆ > 0 então o sinal da
imagem se distribui conforme intervalos,
y < 0 {x < x1 ∪ x > x2}
y = 0 x ∈ {x1, x2}
y > 0 x1 < x < x2
onde x1 e x2 são as raízes da função e ainda
x1 < x2. Graficamente,
- -
+
0 0
x1 x2
ILUSTRAÇÃO 8 Efetuar estudo de sinal da
função f(x) = −x2 + 7x− 10.
Inicialmente determinamos as raízes de
f ,
∆ = (−7)2 − 4(−1)(−10)
= 9
x =
−7±√9
2(−1)
= {2, 5}
Como a < 0 e ∆ > 0 temos que o estudo de
sinal é,
y < 0 {x < 2 ∪ x > 5}
y = 0 x ∈ {2, 5}
y > 0 2 < x < 5
8 Interpolação Quadrática
Consideremos o problema da interpolação
quadrática dados três pontos de entrada,
ou seja, deseja-se determinar da função
de segundo grau que passa por três pon-
tos (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3). Aplicando a
equação-(1) individualmente a estes pontos
encontramos o sistema,
ax1
2 + bx1 + c = y1
ax2
2 + bx2 + c = y2
ax3
2 + bx3 + c = y3
cuja forma matricial é,
∣∣∣∣∣∣
x1
2 x1 1
x2
2 x2 1
x3
2 x3 1
∣∣∣∣∣∣ ·
∣∣∣∣∣∣
a
b
c
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
y1
y2
y3
∣∣∣∣∣∣ (13)
Denotaremos a primeira matriz da
equação-(13) por X,
X =
∣∣∣∣∣∣
x1
2 x1 1
x2
2 x2 1
x3
2 x3 1
∣∣∣∣∣∣ (14)
Pelo método de substituição de colunas
os coeficientes a. b e c podem ser expressos
pelas equações,
a =
det
∣∣∣∣∣∣
y1 x1 1
y2 x2 1
y3 x3 1
∣∣∣∣∣∣
detX
(15)
b =
det
∣∣∣∣∣∣
x1
2 y1 1
x2
2 y2 1
x3
2 y3 1
∣∣∣∣∣∣
detX
(16)
c =
det
∣∣∣∣∣∣
x1
2 x1 y1
x2
2 x2 y2
x3
2 x3 y3
∣∣∣∣∣∣
detX
(17)
ILUSTRAÇÃO 9 Determinar a função de se-
gundo grau que passa pelos pontos (0, 5),
(−1, 10) e (1, 4).
Da equação-(14),
X =
∣∣∣∣∣∣
02 0 1
−12 −1 1
12 1 1
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
0 0 1
1 −1 1
1 1 1
∣∣∣∣∣∣
detX = 1− (−1)
= 2
Da equação-(15),
6
a =
det
∣∣∣∣∣∣
5 0 1
10 −1 1
4 1 1
∣∣∣∣∣∣
2
=
5(−1− 1) + (1)(10 + 4)
2
=
−10 + 14
2
a = 2
Da equação-(16),
b =
det
∣∣∣∣∣∣
0 5 1
1 10 1
1 4 1
∣∣∣∣∣∣
2
=
(−5)(1− 1) + (1)(4− 10)
2
=
0− 6
2
b = −3
Da equação-(17),
c =
det
∣∣∣∣∣∣
0 0 5
1 −1 10
1 1 4
∣∣∣∣∣∣
2
=
(5)(1− (−1))
2
=
10
2
c = 5
Por fim, da equação-(1),
f(x) = ax2 + bx+ c
= 2x2 − 3x+ 5
ILUSTRAÇÃO 10 Determinar função de se-
gundo grau que possui vértice V (3,−25) e
contém o ponto P (−1,−9).
Como o vértice de uma parábola está no
eixo de simetria então existe um ponto Q
com mesma ordenada de P e um valor de
abcissa cuja mediana com a abcissa de P é
a abcissa do vértice. Veja esquema,
Q P
V
Determinemos Q,
Qy = Py
= −9
Qx + Px
2
= Vx
Qx + (−1)
2
= 3
Qx = 2(3)− (−1)
= 7
Logo os pontos de entrada ordenados por
abcissa ficam,
(−1,−9) (3,−25) (7,−9)
Da equação-(14),
X =
∣∣∣∣∣∣
−12 −1 1
32 3 1
72 7 1
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
1 −1 1
9 3 1
49 7 1
∣∣∣∣∣∣
detX = (1)(3− 7)− (−1)(9− 49) + (1)(9 · 7− 3 · 49)
= −4− 40 + (63− 147)
= −128
Da equação-(15),
a =
det
∣∣∣∣∣∣
−9 −1 1
−25 3 1
−9 7 1
∣∣∣∣∣∣
−128
=
1
−128((−9)(3− 7)
− (−1)(−25 + 9)
+ (1)((−25)(7)− (−9)(3)))
=
36− 16 + (−175 + 27)
−128
=
−128
−128
a = 1
7
Da equação-(16),
b =
det
∣∣∣∣∣∣
1 −9 1
9 −25 1
49 −9 1
∣∣∣∣∣∣
−128
=
1
−128((1)(−25 + 9)
− (−9)(9− 49)
+ (1)((−9)(9)− (49)(−25)))
=
−16− 360 + 1144
−128
=
768
−128
b = −6
Da equação-(17),
c =
det
∣∣∣∣∣∣
1 −1 −9
9 3 −25
49 7 −9
∣∣∣∣∣∣
−128
=
1
−128((1)((3)(−9)− (−25)(7))
− (−1)((9)(−9)− (−25)(49))
+ (−9)((9)(7)− (3)(49)))
=
148 + 1144 + 756
−128
=
2048
−128
c = −16
Por fim, da equação-(1),
f(x) = ax2 + bx+ c
= x2 − 6x− 16
ILUSTRAÇÃO 11 Determine a função de se-
gundo grau cujas raízes são 5 e 9 e cuja
ordenada do vértice vale −12.
Como existem duas raízes reais distintas
então a abcissa do vértice, xv, poderá ser
obtida pela equação-(11), logo,
xv =
x1 + x2
2
=
5 + 9
2
= 7
Logo os pontos de entrada ordenados por
abcissa ficam
(5, 0) (7,−12) (9, 0)
Utilizando equação-(14), equação-(15),
equação-(16) e equação-(17) calculamos,
X =
∣∣∣∣∣∣
25 5 1
49 7 1
81 9 1
∣∣∣∣∣∣
detX = −16
A =
∣∣∣∣∣∣
0 5 1
−12 7 1
0 9 1
∣∣∣∣∣∣
det(A) = −48
a =
−48
−16 = 3
B =
∣∣∣∣∣∣
25 0 1
49 −12 1
81 0 1
∣∣∣∣∣∣
detB = 872
b =
872
−16 = −42
C =
∣∣∣∣∣∣
25 5 0
49 7 −12
81 9 0
∣∣∣∣∣∣
detC = −2160
c = 135
Logo f(x) = 3x2 − 42x+ 135
9 Exercícios
Determine para as parábolas a seguir a ori-
entação da concavidade, as raízes se exis-
tirem, o ponto de cruzamento com o eixo y,
imagem, o estudo de sinal da imagem, a co-
ordenada do vértice, a coordenada do foco,
a reta geratriz e um esboço do gráfico.
1. f(x) = x2
2. f(x) = x2 − 9
3. f(x) = x2 − 3x+ 11
4. f(x) = x2 − 9x+ 18
8
5. f(x) = −11 + 9x− 2x2
6. f(x) = 11− x2
7. f(x) = −3x2 + 18x− 27
8. f(x) =
(x− 5)(x+ 9)
8
9. f(x) = (x− 6)2 − 4
10. f(x) = (5− x)2 + 13
Determine as funções de segundo grau que
passam pelos pontos A, B e C nos casos se-
guintes,
11. A(−2,−9) B(3, 1) C(5,−23)
12. A(6, 167) B(0, 11) C(4, 91)
13. A(3,−13) B(4,−21) C(5,−31)
14. A(−1, 16) B(0, 11) C(1, 16)
15. A(−11, 605) B(4, 80) C(5, 125)
16. A(1, 6) B(2, 11) C(3, 18)
17. A(0, 0) B(5, 25) C(3, 15)
Nos casos a seguir são dados dois pontos P
e Q pertencentes a uma função f(x) de se-
gundo grau bem como a abcissa do vértice.
Determinar f(x).
18. P (−1, 0) Q(1, 0) xv = 0
19. P (0, 0) Q(3, 9) xv = 0
20. P (3, 5) Q(7, 0) xv = 3
21. P (−1,−1) Q(−5, 8) xv = −11
Nos casos a seguir determine as funções
de segundo grau cujas parábolas correspon-
dentes possuem vértice V e passado pelo
ponto P ,
22. V (−1, 8) P (−5, 56)
23. V (2, 29) P (4, 1)
24. V (4, 52) P (31,−677)
25. V (0, 13) P (1,−8)
26. V (0, 3) P (3, 0)
9

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