Atv Matemática 2 bim

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GOVERNO DO ESTADO DE RORAIMA
SECRETARIADEESTADODAEDUCAÇÃOEDESPORTO
CEMXXIIMARIA SONIA DE BRITO OLIVA
	
	PROFESSOR (A) :
	JERNIEL PARENTE
	CONCEITO/NOTA
	COMPONENTE CURRICULAR
	MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
	
	ALUNO(A):
	LUCILENE MARTINS FERREIRA
	Nº
	
	
	ANO:
	
	TURMA:
	
	DATA:
	 / /
	
	FUNÇÃO DE 2º GRAU
	
Uma equação do segundo grau possui uma incógnita de expoente 2. O método de Bhaskara é uma opção para encontrar os resultados desse tipo de equação.
Equação do segundo grau e método resolutivo de Bhaskara
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:
· 2x + 1 = 0. O expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.
· 2x² + 2x + 6 = 0. Há duas incógnitas x nessa equação, e uma delas possui expoente 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.
· 
x³ – x² + 2x – 4 = 0. Nesse caso, temos três incógnitas x, e o maior expoente – no caso, expoente 3 – torna a equação como do 3º grau.
O que são raízes ou soluções de uma equação do 2º grau?
Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau por meio do método de "Bhaskara". Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. As raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0, por exemplo, são x = 4 ou x = 6, pois:
Substituindo x = 4 na equação, temos:
x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)
Substituindo x = 6 na equação, temos:
x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)
Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação, mas como podemos determinar os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.
Método de Bhaskara
Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.
Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação: ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são os coeficientes. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.
Na fórmula de Bhaskara, utilizaremos somente os coeficientes. Veja:
1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (∆)
∆ = b² – 4 * a * c
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16
2º passo:
x = – b ± √∆
      2∙a
x = –(– 2) ± √16
       2∙1
x = 2 ± 4
     2
x' = 2 + 4 = 6 = 3
   2       2
x'' = 2 – 4 = – 2 = – 1
2        2
Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.
Exemplo II: Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.
Os coeficientes são:
a = 1
b = 8
c = 16
∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0
x = – b ± √∆
     2∙a
x = – 8 ± √0
     2∙1
x' = x'' = –8 = – 4
    2
No exemplo 2, devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.
Exemplo III: Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.
∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 6² – 4 * 10 * 10
∆ = 36 – 400
∆ = –364
Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o número é negativo, a equação não possui raízes reais.
Exercício
1. Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:
a) 5x2 - 3x - 2 = 0
b) 3x2  + 55 = 0
c) x2 - 6x = 0
d) x2 - 10x + 25 = 0
a) a = 5, b = -3 e c = -2, completa
b) a = 3, c = 55, não é completa.
c) a = 1, b = -6, não é completa.
d) a = 1, b = -10 e c = 25, completa.
2. Achar as raízes das equações:
a) x2 - x - 20 = 0 X= 5, -4
b) x2 - 3x -4 = 0 X=4,-1
c) x2 - 8x + 7 = 0 X=7,1
3. Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x2-2x-8= 0? -2,4
4. O número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c: 2
5. Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número? e .
6. Resolva a equação: 4x2 + 8x + 6 = 0
7. Resolva as equações incompletas do segundo grau:
a) 5x2 – x = 0 X=0
b) 2x2 – 2 = 0 X= 1,-1
c) 5x2 = 0 X=0
8. Resolva a seguinte equação do 2º grau.
9. Calcule o valor de p na equação x² – (p + 5)x + 36 = 0, de modo que as raízes reais sejam iguais.
P= X-5+36/x
Para essa condição, o valor de ∆ precisa ser igual a 0.
Funções:Tipos de Funções, Funções de 1º e 2º Grau
A importância do estudo de função não é restrita apenas aos interesses da matemática, mas colocado em prática em outras ciências, como a física e a química.
Na matemática, o estudo de função é dividido basicamente em:
· Características, tipos e elementos de uma função.
· Função do primeiro grau.
· Função do segundo grau.
Nem sempre percebemos, mas estamos em contato com as funções no nosso dia a dia, por exemplo:
Quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação, comparação de duas grandezas ou até mesmo uma função, mas representada graficamente.
Para que esse gráfico tome forma é necessário que essa relação, comparação, seja representada em uma função na forma algébrica.
Para dar início ao estudo de função é necessário o conhecimento de equações, pois todo o desenvolvimento algébrico de uma função é resolvido através de equações.
Função do 1º grau
A formação de uma função do 1º grau é expressa da seguinte forma: y = ax + b, onde a e b são números reais e a é diferente de 0.
Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma dependente da outra, isto é, para cada valor atribuído a x corresponde um valor para y. Definimos essa dependência como função, nesse caso, y está em função de x. O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado de domínio da função e os valores de y são a imagem da função.
Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma função do 1º grau a lei de formação será a seguinte: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.
Esse tipo de função deve ser dos Reais para os Reais.
A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano. 
Observe:
Função crescente                                                Função decrescente 
Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam.
Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem. 
Exemplos de funções do 1º grau
y = 4x + 2, a = 4 e b = 2
y = 5x – 9, a = 5 e b = –9
y = – 2x + 10, a = – 2 e b = 10
y = 3x, a = 3 e b = 0
y = – 6x – 1, a = – 6 e b = – 1 
y = – 7x + 7, a = –7 e b = 7
Raiz ou zero de uma função do 1º grau
Para determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau é preciso considerary = 0. De acordo com gráfico, no instante em que y assume valor igual a zero, a reta intersecta o eixo x em um determinado ponto, determinando a raiz ou o zero da função.
Vamos determinar a raiz das funções a seguir:
y = 4x + 2 
y = 0
4x + 2 = 0
4x = –2
x = –2/4
x = –1/2
A reta representada pela função y = 4x + 2 intersecta o eixo x no seguintevalor: –1/2
y = – 2x + 10
y = 0
– 2x + 10 = 0
– 2x = – 10 (–1)
2x = 10
x = 10/2
x = 5
A reta representada pela função y = – 2x + 10 intersecta o eixo x no seguinte valor: 5
y = – 7x + 7
y = 0
–7x + 7 = 0
–7x = –7
x = 1
A reta representada pela função y = –7x + 7 intersecta o eixo x no seguinte valor: 1
y = 3x
y = 0
3x = 0
x = 0
A reta representada pela função y = 3x intersecta o eixo x no seguinte valor: 0
Exercício
1. Determine os zeros das funções a seguir:
a) y = 5x + 2b) y = – 2x
c) f(x) =  x + 4
            2
2.Classifique cada uma das funções seguintes em crescente ou decrescente:
a) y = 4x + 6b) f(x) = – x + 10
c) y = (x + 2)2 – (x – 1)2
3. A função real de variável real, definida por f (x) = (3 – 2a).x + 2, é crescente quando:
a) a > 0b) a < 3/2
c) a = 3/2d) a > 3/2
e) a < 3
4. Determine a função afim f(x) = ax + b, sabendo que f(1) = 5 e f(–3) = –7.
5. Encontre a raiz (ou zero) de cada função:
a) f(x)=2x−8f(x)=2x−8b) g(x)=−3x−9g(x)=−3x−9
c) h(x)=−10x+50
6. Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por quilômetro rodado (valor variável). Determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 18 quilômetros. 
7. O preço de venda de um livro é de R$ 25,00 a unidade. Sabendo que o custo de cada livro corresponde a um valor fixo de R$ 4,00 mais R$ 6,00 por unidade, construa uma função capaz de determinar o lucro líquido (valor descontado das despesas) na venda de x livros, e o lucro obtido na venda de 500 livros. 
Função do 2º grau
A função do 2º grau possui uma variável independente elevada ao quadrado e pode ser representada por meio de uma parábola.
A função do segundo grau possui uma variável independente elevada ao quadrado
Uma função é uma regra que liga cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. No Ensino Fundamental, as funções estudadas possuem apenas duas variáveis.
A primeira é chamada de variável independente, é geralmente representada pela letra x e pode assumir qualquer valor dentro de um conjunto numérico dado. A segunda, chamada de variáveldependente, costuma ser representada pela letra y e seu valor está relacionado com o valor da variável x. A função do segundo grau é uma regra que possui as características descritas acima e, pelo menos, uma variável independente elevada ao quadrado.
As funções do segundo grau, portanto, relacionam a variável x à variável y e são escritas, geralmente, na forma reduzida a seguir:
f(x) = y = ax2 + bx + c
· a, b e c são números reais quaisquer;
· a sempre é diferente de zero;
· f(x) é uma segunda notação muito utilizada nesse conteúdo que ajuda na organização dos cálculos.
Exemplos de função do segundo grau
Os exemplos a seguir são de funções do segundo grau:
a) y = 2x2 + 2x + 3. Observe que a = 2, b = 2 e c = 3;
b) y = 3x2 – 9. Observe que a = 3, b = 0 e c = – 9;
c) f(x) = x2. Observe que a = 1, b = 0 e c = 0;
Domínio e imagem
As funções do segundo grau, assim como qualquer função, possuem domínio, contradomínio e imagem. Tendo em vista a definição dada no início do texto:
“Uma função é uma regra que liga cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B.”
A variável independente x pode assumir qualquer valor entre os elementos do conjunto A. Como ela “comanda” o resultado encontrado na variável y, então o conjunto A é “dominante” e é chamado de Domínio. Por sua vez, a variável independente pode assumir qualquer valor entre os elementos do conjunto B; assim, esse conjunto recebe o nome de Contradomínio.
É obrigatório que a função faça “ligações entre conjuntos” usando todos os elementos do conjunto A, mas nem sempre todos os elementos do conjunto B. Todos os elementos do conjunto B que são imagem de algum elemento do conjunto A são chamados de Imagem.
Na função do segundo grau f(x) = y = x2, por exemplo, cujo domínio e o contradomínio são o conjunto dos números reais, temos os seguintes resultados:
x = 3, então y = 32 = 9;
x = 2, então y = 22 = 4;
x = 1, então y = 12 = 1;
x = – 1, então y = (– 1)2 = 1;
x = – 2, então y = (– 2)2 = 4.
Observe que, para valores positivos de x, a função apresenta imagens positivas e, para valores negativos de x, a função também apresenta imagens positivas. Como a função foi definida com contradomínio nos números reais, os números negativos não são resultados possíveis e a imagem fica sendo apenas o conjunto dos números reais não negativos.
Raízes da função do segundo grau
As raízes de uma função são os valores que a variável independente assume e que fazem com que a imagem da função seja zero. Assim, para encontrar as raízes de uma função do segundo grau, escreva y = 0 e substitua y por esse valor. Observe o exemplo:
y = x2 + 8x – 9
0 = x2 + 8x – 9
Dessa maneira, encontraremos os valores de x que zeram a função. Para tanto, utilizaremos a fórmula de Bhaskara ou o método de completar quadrados.
x2 + 8x – 9 = 0
x2 + 8x = 9
x2 + 8x + 16 = 9 + 16
x2 + 8x + 16 = 25
(x + 4)2 = 25
√[(x + 4)2] = √25
x + 4 = ± 5
x = – 4 ± 5
x' = – 4 – 5
x' = – 9
x'' = – 4 + 5
x'' = 1
Assim, as raízes dessa função são – 9 e 1.
O gráfico de uma função do segundo grau
Toda função pode ser representada por um gráfico em um plano cartesiano. A figura relacionada com a função do segundo grau é a parábola. Essa figura pode ser obtida marcando-se ponto a ponto de um plano cartesiano os resultados obtidos ao procurar valores de y relacionados com cada valor de x. Se desenharmos todos os pontos da função y = x2, visualizaremos o seguinte gráfico:
Esse gráfico pode ser desenhado de maneira prática com apenas três de seus pontos – vértice e raízes ou vértice e dois pontos aleatórios em que um está à direita e outro está à esquerda do vértice.
O vértice é o ponto mais alto ou o ponto mais baixo de uma parábola. No caso do exemplo acima, é o ponto mais alto o que toca o ponto (0,0). Para encontrar suas coordenadas (xv, yv) podemos utilizar as seguintes fórmulas:
xv = – b
2a
yv = –Δ
4a
*Δ = b2 – 4ac.
Para encontrar as raízes e desenhar a parábola, utilize a fórmula de Bhaskara ou qualquer método conhecido. Caso não haja raízes ou por qualquer outro motivo não exista a possibilidade desse cálculo, faça o seguinte:
1 – Encontre as coordenadas do vértice;
2 – Faça xv + 1 e calcule o valor de y correspondente a esse número;
3 – Faça xv – 1 e calcule o valor de y correspondente a esse número.
Os quatro valores obtidos acima serão as coordenadas dos pontos que podem ser usados para desenhar a parábola.
PROPRIEDADES GRÁFICAS
O gráfico da Função Polinomial do 2º Grau y = ax2 + bx + c é uma parábola cujo eixo de simetria é uma reta vertical, paralela ao eixo y ou até mesmo o próprio eixo y, passando pelo vértice da parábola.
Análise do sinal
Tendo em vista que a função do segundo grau é uma parábola, é possível analisar o sinal de Δ para saber quantas raízes essa função terá. A raiz de uma função é o valor de x que faz y igual a zero. Dessa maneira, no gráfico, uma raiz é o ponto em que a parábola encontra-se com o eixo x.
Três funções parecidas que possuem número diferente de raízes
As parábolas na imagem acima representam funções do segundo grau e possuem um número diferente de raízes. A primeira, em azul, é o gráfico da função y = x2 + 1, que não possui raízes reais. Observe que o valor de Δ dessa função é negativo e é justamente por esse motivo que concluímos a não existência de raízes reais.
A segunda função, em roxo, é o gráfico de y = x2. Observe que existe apenas uma raiz real, x = 0 e Δ = 0.
A terceira função, em vermelho, é gráfico de y = x2 – 1. Observe que ela possui duas raízes reais, x = 1 e x = – 1, e que Δ é maior que zero.
Concluímos, então, que, quando uma função possui Δ < 0, ela não possui raízes reais. Quando uma função possui Δ = 0, existe apenas uma raiz real e, quando Δ > 0, a função possui duas raízes reais distintas.
Ponto de máximo e mínimo
O ponto de máximo e o ponto de mínimo coincidem com o vértice de uma parábola e são, respectivamente, o ponto mais alto e o ponto mais baixo que uma parábola pode atingir.
Se uma parábola possui o vértice voltado para baixo, então ela possui um ponto de mínimo e não possui ponto de máximo, pois segue infinitamente para cima, e vice-versa.
Não é necessário construir o gráfico de uma função sempre que for pedido seu ponto de máximo ou mínimo. Para encontrar as coordenadas desses pontos, basta encontrar as coordenadas do vértice (xv, yv). Entenda como fazer isso com os macetes a seguir:
Macetes
Existem alguns macetes para funções do segundo grau parecidos com a análise dos sinais acima.
Quando a > 0, o gráficoda função é uma parábola com a “boca” voltada para cima e o vértice para baixo (o vértice é ponto de mínimo);
Quando a < 0, o gráfico da função é uma parábola com a “boca” voltada para baixo e o vértice para cima (o vértice é ponto de máximo);
O valor de c indica o ponto de intersecção da parábola com o eixo y.
Duas funções: uma com ponto de máximo e outra com ponto de mínimo
Observe que a parábola azul possui ponto de mínimo e a parábola vermelha possui ponto de máximo. Suas leis de formação são, respectivamente:
y = x2 + 1
y = – x2 +1
Seus respectivos valores de a são 1 e – 1.
Exercício
1. Encontre o valor de f(x) = x² + 3x – 10 para que f(x) = 0
2. Calcule o valor de 5x² + 15x = 0 para que f(x) = 0
3. Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥0) , onde t é o tempo medido em segundo e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, apos o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo.
b) a altura atingida pela bola.
4. Determine x pertence aos reais tal que (x² – 100x)².(x² – 101x + 100)² = 0.
5. O vértice da parábola y = 2x2 - 4x + 5 é o ponto
a) (2, 5)           b) (1, -3)           
c) (-1, 11)        d) (3, 1)      
e) (1, 3)
6. A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um valor
a) mínimo, igual a -16, para x = 6                      
b) mínimo, igual a 16, para x = -12
c) máximo, igual a 56, para x = 6                       
d) máximo, igual a 72, para x = 12
7. Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é
a) y = (x² /5) - 2xb) y = x² - 10x
c) y = x² + 10xd) y = (x²/5) - 10x
e) y = (x² /5) + 10x
8. A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V.
A equação da reta r é:
a) y = -2x + 2    b) y = x + 2.      
c) y = 2x + 1     d) y = 2x + 2.    
e) y = -2x – 2