FUNCAO EXPONENCIAL - Prof. Ricardo Reis - UFC - Campus Quixadá

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Função Exponencial
Prof.o Ricardo Reis
Universidade Federal do Ceará
Campus de Quixadá
30 de maio de 2013
1 Potências
Denota-se ab como a potência de base a e
de expoente b. Se b ∈ Z+ e a ∈ R então,
ab = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
b termos
a ∈ R b ∈ Z+ (1)
Outras propriedades,
a−b =
1
ab
(2)
ab+c = ab · ac (3)
ab−c = ab · a−c = a
b
ac
(4)
abc = (ab)c = (ac)b (5)
a0 = 1 (6)
a1 = a (7)
a
b
c =
c
√
ab = ( c
√
a)b (8)
onde a, b, c ∈ R.
ILUSTRAÇÃO 1 Simplificar a expressão
0.253−
7
2 .
SOLUÇÃO
Fazemos,
0.253−
7
2 = 0, 25
6−7
2
= 0.25−
1
2
=
1
0.25
1
2
=
1√
0.25
=
1
0.5
= 2
2 Séries de Potências
Uma série de potências é uma soma cujos
termos são potências de uma mesma base
real e expoentes inteiros. Uma série de po-
tência de expoentes consecutivos pode ser
expressa em forma de somatório como se-
gue,
b∑
k=a
ck = ca + ca+1 + ca+2 + · · ·+ cb−1 + cb (9)
onde c ∈ R representa a base comum aos
termos da série e a...b (a, b ∈ Z | a ≤ b) o inter-
valo de expoentes consecutivos. A equação-
(9) possui solução exata e igual a,
b∑
k=a
ck =
cb+1 − ca
c− 1 (10)
ILUSTRAÇÃO 2 Determinar o valor da soma-
tória,
1 + 3 + 32 + 33 + · · ·+ 310
SOLUÇÃO
A forma reduzida do somatório anterior é,
10∑
j=0
3j
De onde temos que a = 0, b = 10 e c = 3.
Logo, da equação-(10), temos,
cb+1 − ca
c− 1 =
311 − 30
3− 1
=
177147− 1
2
= 88573
1
3 Equações Exponenciais
Equações exponenciais são aquelas cujas
variáveis surgem como parte do expoente
de um ou mais termos da equação. Para
resolver uma equação exponencial de uma
variável real x devem-se dispor em ambos
lados da equação potências de mesma base
preferencialmente constantes, e expoentes
que sejam funções de x, em seguida igua-
lar estes expoentes e resolver a nova equa-
ção encontrada. As ilustrações seguintes
demostram o processo descrito.
ILUSTRAÇÃO 3 Resolver a equação,
22x − 16 = 0
SOLUÇÃO
Fazemos,
22x − 16 = 0
22x = 16
22x = 24 ⇒ 2x = 4
x = 2
ILUSTRAÇÃO 4 Resolver a equação,
1
31−2x
= 27x
SOLUÇÃO
No intuito de gerar potências de mesma
base em ambos lados da equação fazemos,
1
31−2x
= 27x
3−1+2x = (33)x
32x−1 = 33x ⇒ 2x− 1 = 3x
x = −1
4 Definição
A função exponencial mais simples é de-
finida como,
f(x) = ex (11)
onde e é um número irracional conhecido
como número de Euler e cujo valor é aproxi-
madamente 2.718281828459045. A gene-
ralização da função da equação-(11) é dada
por,
f(x) = k × amx+b (12)
onde k, a,m, b ∈ R são constantes e ainda
a > 0 e a 6= 1. O expoente da equação-(12) é
um polinômio de primeiro grau. A equação-
(11) é um caso particular da equação-(12)
quando k = m = 1, b = 0 e a = e.
ILUSTRAÇÃO 5 Dada a função f(x) = 21−x
determine f(0), f(1) e f(2).
SOLUÇÃO
f(0) = 21−0 = 21 = 2
f(1) = 21−1 = 20 = 1
f(2) = 21−2 = 2−1 =
1
2
= 0.5
5 Domínio e Imagem
Os domínios da função da equação 12
corresponde ao conjunto dos números re-
ais, ou seja,
D(f) = R (13)
A potência de números positivos gera ou-
tros números positivos de forma que a ima-
gem da função da equação-(12) ou é com-
pletamente positiva ou completamente ne-
gativa dependendo do sinal de k. Matema-
ticamente,
Im(f) =
{
R+ k > 0
R− k < 0 (14)
Note que zero não pertence a imagem.
6 Gráfico
O gráfico da função exponencial,
equação-(11), é crescente e possui as-
pecto,
2
f(x) = ex
1
Note que a curva gerada nunca toca o eixo
x mas que tende a aproximar-se dele a pro-
porção que os valores de domínio se afas-
tam de zero por valores negativos (da direita
para esquerda no gráfico). Se o contrário
ocorre, ou seja, se os valores de domínio se
afastam da origem por valores positivos (da
esquerda para a direita no gráfico) então os
valores da imagem tendem a valores posi-
tivos elevados. Esta forma de crescimento
da imagem não proporcional ao domínio é
conhecida como crescimento exponencial.
Consideremos o crescimento da função
da equação-(12) quando k > 0. Quando
m > 0 e a > 1 ou m < 0 e 0 < a < 1 a curva
da função possui comportamento crescente
(quando x aumenta, f(x) também aumenta)
exatamente como no caso de f(x) = ex. En-
tretanto quando m < 0 e a > 1 ou m > 0
e 0 < a < 1 a curva da função passa a ser
decrescente (quando x aumenta, f(x) dimi-
nui). Veja Tabela-1.
O gráfico a seguir ilustra o comporta-
mento das funções f(x) = 2x, f(x) = 2−x,
f(x) = 0.8x e f(x) = 0.8−x.
f(x) = 2x
f(x) = 2−x
f(x) = 0.8x
f(x) = 0.8−x
Em funções exponenciais decrescentes a
aproximação da curva do eixo x inverte de
lado em relação às crescentes, ou seja, a
imagem se aproxima de zero quando os va-
lores de domínio se afastam da origem por
valores positivos. De forma similar quando
os valores de domínio se afastam da origem
por valores negativos então os valores de
imagem tendem a valores elevados. Este
comportamento é conhecido como decresci-
mento exponencial.
A função da equação-(12) não possui raí-
zes, mas cruza o eixo y em um ponto. No
caso de f(x) = ex o ponto é (0, 1) pois
f(0) = e0 = 1. No caso geral fazemos
f(0) = k × am 0+b = k × ab e logo o ponto de
intersecção com y fica sendo (0, kab).
ILUSTRAÇÃO 6 Determine em que ponto a
função f(x) = 34−x cruza o eixo y e se a fun-
ção é crescente ou decrescente.
SOLUÇÃO
Como k = 1, a = 3 > 1 e m = −1 < 0 então a
curva de f é decrescente e ainda como b = 4
então o ponto de intersecção com o eixo y é
(0, (1)34) = (0, 81).
Consideremos o comportamento da fun-
ção da equação-(12) quando k < 0. Tais
funções são intrinsecamente negativas,
seus gráficos ficam abaixo do eixo x e es-
pelham, em relação a este eixo, a função
f(x) = |k| × amx+b. No gráfico a seguir são
plotadas as curvas das funções f(x) = −[2x]
e seu respectivo reflexo f(x) = 2x (trace-
jado).
f(x) = 2x
f(x) = −[2x]
1
Note que quando k < 0 a forma de cres-
cimento da função exponencial é inversa a
da função |k|amx+b. Neste exemplo 2x é cres-
cente, mas −[2x] é decrescente.
3
m > 0 m < 0
0 < a < 1 decrescente crescente
a > 1 crescente decrescente
Tabela 1: Crescimento da função f(x) = k × amx+b quando k > 0.
7 Aplicação,
Juros Compostos
7.1 Taxa de Juros
Denomina-se taxa de juros ao percentual
de correção aplicado a um determinado va-
lor monetário definido para intervalos regu-
lares de tempo em geral medidos em dias,
meses ou anos. Se C0 é um capital inicial a
ser corrigido por ação de uma taxa de juros
j regular 1 que incide regularmente sobre o
montante (o que se deve até o momento) por
um total de n períodos (dias, meses, anos e
etc) então o custo final final C será,
C = C0 ·
(
1 +
j
100
)n
(15)
Denomina-se juros a diferença entre o ca-
pital final e inicial, ou seja, C − C0 (Depen-
dendo do contexto os juros podem repre-
sentar lucro ou prejuízo!).
ILUSTRAÇÃO 7 Uma fatura de cartão acusa
750 R$ de valor a pagar. Depois do ven-
cimento a multa diária é de 0.3 % ao dia.
Qual será o prejuízo dado por esta conta se
paga 30 dias após o vencimento?
SOLUÇÃO
Da equação-(15),
C = C0 ·
(
1 +
j
100
)n
= 750 ·
(
1 +
0.3
100
)30
= 820.52
Assim o valor final a pagar será 820.52 R$.
Para calcular o prejuízo fazemos,
C − C0 = 820.52− 750
= 70.52
1Em geral a taxa de juros está no intervalo 0 ≤ j ≤
1 ou 0 ≤ j ≤ 100 quando expressa em percentual.
Por fim o prejuízo será de 70.52 R$.
7.2 Calculando Parcelas Fixas
Seja C0 o preço de a vista de um produto
que pode ser pago em n parcelas de valor P
constante calculadas com base numa taxa
de juros j. Para diminuir os juros finais
ainda poderá ser dado um valor de entrada
E (E < C0). Mostraremos a seguir como de-
terminar o valor de P como função de C0, j,
n e E.
Seja qk a fatia do capital em dívida, C0−E
(custo original menoso valor de entrada),
que ao final de k meses, por correção men-
sal e progressiva da taxa de juros j, se
torna a parcela de valor P do k-ésimo mês.
Notoriamente,
C0 − E =
n∑
i=1
qk (16)
Como cada fatia qk é corrigida para um
valor de parcela constante P então, da
equação-(15), pode-se escrever que,
P = qk ·
(
1 +
j
100
)k
(17)
Isolando qk na equação-(17) e substi-
tuindo na equação-(16) obtemos,
C0 − E =
n∑
k=1
P(
1 +
j
100
)k
C0 − E = P ·
n∑
k=1
1(
1 +
j
100
)k
P =
C0 − E
n∑
k=1
 1
1 +
j
100

k
4
Por questões de simplificação definimos a
constante A como segue,
A = 1 +
j
100
(18)
Com a qual reescrevemos a equação de P
como,
P =
C0 − E
n∑
k=1
(
1
A
)k
Usando a equação-(10) podemos eliminar
a somatória desta última equação obtendo
assim,
P =
C0 − E(
1
A
)n+1
−
(
1
A
)
(
1
A
)
− 1
P =
(C0 − E)
((
1
A
)
− 1
)
(
1
A
)n+1
−
(
1
A
)
Multiplicando numerador e denominador
nesta última equação por −An+1 obtemos,
P =
(C0 − E)(An+1 − An)
An − 1 (19)
Uma vez determinado P o valor total
pago, Q, é facilmente calculado por,
Q = E + n · P (20)
E consequentemente os juros pagos, J, se
calculam por,
J = Q− C0 (21)
A listagem a seguir implementa em lin-
guagem C o cálculo de parcelas fixas uti-
lizando a equação-(19), a equação-(20) e a
equação-(21),
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main() {
int n;
float C0, E, j, A, P, Q, J;
printf("Informe o custo original: ");
scanf("%f", &C0);
printf("Informe valor de entrada: ");
scanf("%f", &E);
printf("Informe taxa de juros: ");
scanf("%f", &j);
printf("Informe numero de parcelas: ");
scanf("%d", &n);
A = 1.0 + j/100;
P = (C0-E)*(pow(A,n+1) - pow(A,n))/(pow(A,n)-1);
Q = E + n * P;
J = Q - C0;
printf("Valor da parcela: R$ %.2f \n", P);
printf("Total pago: R$ %.2f\n", Q);
printf("Juros: R$ %.2f\n", J);
return 0;
}
ILUSTRAÇÃO 8 Um produto custa R$
450.00 e será pago em 1 ano com juros
mensais de 0.3 %. Se não for paga ne-
nhuma entrada qual deverá ser o valor da
prestação? Qual será o valor total pago?
Quanto em juros será pago?
SOLUÇÃO
Utilizando equações 18, 19, 20 e 21,
A = 1 +
0.3
100
= 1.003
P =
(450.0− 0)(1.00313 − 1.00312)
1.00312 − 1
= 38.24
Q = E + n · P
= 0 + 12(38.24)
= 458.82
J = 458.82− 450.00
= 8.82
Assim a parcela a pagar será R$ 38.24, o
total pago será R$ 458.82 e os juros pagos
serão de R$ 8.82.
8 Exercícios
Simplifique as expressões seguintes,
1. (−3)2
2. −32
3.
(
−1
3
)4
5
4. −
(
−3
2
)3
5. (−5)0
6. 53 · 52
7. (−2)6
8.
(
2
3
)−1
9. (0.1)−2
10.
(
−3
2
)−3
11. −3−2
12. (−5)−2
13. (−0.5)−3
14.
1
(−3)−3
15.
1
(0.01)−2
16.
2−1 − (−2)2 + (−2)−1
z2 + 2−2
17.
(a3 · b−2)−2
(a−4 · b3)3
Determine x nas equações seguintes,
18. 100x = 0.001
19.
(
1
125
)x
= 25
20. 82x−1 = 0.25
21. 3x2−6 = 27
22. 2x2+8 = 43x
23.
1
3x
= 91−x
24. 2x =
1
8x+1
25. 62x − 3
x
144
= 0
26. 53x−1 =
(
1
25
)2x+3
27.
(√
2
)3x−1
=
(
3
√
16
)2x−1
28. 8x2−x = 4x+1
29. 32x+1 · 93x+4 = 27x+1
30.
√
5x−2 · x√252x−5 − 2x√53x−2 = 0
31. 3x
2+ 1
x2 =
81
3x+
1
x
Determine o valor das somatórias a seguir,
32. 1 + 5 + 52 + 53 + · · ·+ 510
33. 42 + 43 + · · ·+ 48
34.
1
23
+
1
24
+
1
25
+ · · ·+ 1
210
35. 1− 2 + 22 − 23 + 24 − 25 + · · · − 219 + 220
36. 2 + 23 + 25 + 27 + 29 + · · ·+ 219
Para cada função exponencial seguinte de-
termine se é crescente ou decrescente, o
ponto de intersecção com o eixo y e um es-
boço do gráfico,
37. f(x) = 21−x
38. f(x) = 3
x+1
2
39. f(x) =
(
1
2
)2x+1
40. f(x) = 2x − 3
41. f(x) = 2− 3x
42. f(x) =
(
1
3
)x
+ 1
43. f(x) = 3 · 2x−1
44. f(x) =
1
5
32x−1
45. f(x) = 2x + 2−x
46. f(x) = 2x − 2−x
Nas equações a seguir determine valores de
m ∈ R de forma a admitirem pelo menos uma
raiz real,
6
47. 4x − (m− 2) · 2x + 2m+ 1 = 0
48. 32x − (2m+ 3) · 3x + (m+ 3) = 0
49. 22x+1 − (2m− 3) · 2x+1 + (7− 2m) = 0
Nos casos a seguir determinar a parcela fixa
a ser paga na compra de um produto de va-
lor a vista C0, entrada E, parcelado em n ve-
zes com taxa de juros j,
50. C0 = 550.00 E = 0.00 n = 28 j = 0.25
51. C0 = 1248.00 E = 400.00 n = 10 j =
0.3
52. C0 = 200.00 E = 20.00 n = 12 j = 1.0
Resolva os problemas a seguir,
53. Reimplemente o problema da compra
com parcelas fixas de forma que o cli-
ente escolha o valor da parcela P a pa-
gar. Neste caso serão dados como en-
trada o valor de a vista C0, o valor de
entrada E, a taxa de juros j e o valor
da parcela P . Como saída deverão ser
calculados o total de períodos n, o total
pago Q e os juros decorridos J do pro-
cesso. Implemente um programa para
agilizar o uso das equações obtidas.
54. Consideremos agora o problema das
parcelas amortizadas no pagamento de
um produto de custo a vista C0. Nesta
forma de pagamento é dada uma en-
trada E e as parcelas correspondem a
valores decrescentes de uma quantia
fixa T . Ao final de n períodos (dias, me-
ses, anos e etc) sobre uma taxa de ju-
ros invariante j (diária, mensal, anual e
etc) o valor da parcela atinge um valor
menor ou igual a T momento este em
que a dívida deve ser quitada. Deduza
equações que, dadas como entrada C0,
E, j e T , calculem o total de meses n
que decorrerão para quitação e ainda
os valores de cada uma das parcelas
a serem pagas. Implemente um pro-
grama que agilize o uso destas equa-
ções.
7