livro - matematica empresarial

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Matemática
Empresarial
Márcia Castiglio da Silveira
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e Cultura, mantenedora da Universidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO).
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universo - Campus Niterói
Silveira, Márcia Castiglio.
Matemática empresarial / Márcia Castiglio da Silveira – Porto Alegre 
: Imprensa Livre, 2009.
194 p. 
ISBN 978-85-7697-127-6
1. Matemática aplicada. I. Título
 
 
CDU 51
Bibliotecária responsável: Elizabeth Franco Martins CRB 7/4990
S587m
3
Matemática Empresarial
Informações sobre a disciplina
NOME DA DISCIPLINA: Matemática Empresarial
CARGA HORÁRIA: 45h
CRÉDITOS: 03
EMENTA
Razão e proporção, grandezas proporcionais, regra de três, regras de arredon-
damento, porcentagem, conceitos básicos de estatística, juros, desconto, estudo 
das taxas e equivalência de capitais e séries de pagamento. 
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Matemática Empresarial
Sumário
Apresentação da disciplina...............................................................................................................7
Plano da disciplina...............................................................................................................................9
Unidade 1 | Razão e Proporção....................................................................................................13
Unidade 2 | Grandezas Proporcionais e Regra de Três.........................................................29 
Unidade 3 | Regras de Arredondamento e Porcentagem...................................................43
Unidade 4 | Estatística: Conceitos Básicos................................................................................61
Unidade 5 | Medidas de Tendência Central.............................................................................83
Unidade 6 | Medidas de Variabilidade.......................................................................................99
Unidade 7 | Juros............................................................................................................................115
Unidade 8 | Desconto....................................................................................................................137
Unidade 9 | Estudo das taxas e equivalência de capitais.................................................151
Unidade 10 | Séries de pagamento..........................................................................................167
Conhecendo a autora.....................................................................................................................187
Referências.........................................................................................................................................189
Anexos.................................................................................................................................................191
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Matemática Empresarial
Apresentação da disciplina
Caro aluno,
Apresentamos neste livro o conteúdo da disciplina de Matemática Empresarial. Ela 
contempla dois assuntos importantes: matemática financeira e estatística.
Nos primeiros capítulos revisamos conceitos básicos de razão, proporção, grandezas 
proporcionais e regra de três, pois esses são essenciais para o entendimento das 
relações entre as variáveis, tanto na matemática financeira quanto na estatística.
Vamos ver diferentes modos de cálculos envolvendo porcentagens e os conceitos 
básicos de estatística, as tabelas, os gráficos e as medidas de tendência central e de 
variabilidade.
Com relação à matemática financeira, vamos estudar os juros, os descontos, as taxas, 
as equivalências de capitais e as séries de pagamento.
No estudo de matemática financeira, além das operações simples como multiplica-
ções e divisões, são também realizadas operações como potenciação e radiciação. 
Assim, uma calculadora com quatro operações é insuficiente para realizar as ativida-
des propostas. Para operar com as fórmulas da matemática financeira precisamos, 
no mínimo, de uma calculadora científica. Além dela, podemos utilizar calculadoras 
financeiras (por exemplo a HP-12C) e também a planilha de cálculo Excel. Por isso, ao 
longo do livro você vai encontrar dicas de como utilizar essas ferramentas de cálculo. 
Para complementar seus estudos, sugerimos alguns livros que apresentam os conte-
údos de matemática financeira com o uso de calculadoras financeiras:
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Matemática Empresarial
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira aplicada: método algébrico, 
HP-12C, Microsoft Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.
DAL ZOT, Wili. Matemática Financeira. 4. ed. rev. Ampl. Porto Alegre: Ed. da Universi-
dade da UFRGS, 2006.
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP 12c e Excel. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2006.
KRUSE, Fábio. Matemática financeira: conceitos e aplicações com uso da HP-12C. 2. 
ed. Novo Hamburgo : Ed. FEEVALE, 2005.
Concluindo, cada aluno deve fazer uso da calculadora que melhor se adequar as suas 
necessidades.
Bons estudos!
Profª. Márcia Castiglio da Silveira
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Matemática Empresarial
Plano da disciplina
UNIDADE 1: RAzãO E PROPORçãO
1.1 Razão
1.2 Razão inversa ou recíproca
1.3 Proporção
1.4 Propriedade Fundamental das Proporções
1.5 Números proporcionais
1.6 Divisão Proporcional
UNIDADE 2: GRANDEzAS PROPORCIONAIS E REGRA DE TRêS
2.1 Grandezas diretamente e inversamente proporcionais
2.2 Regra de três simples
2.3 Regra de três composta
UNIDADE 3: REGRAS DE ARREDONDAMENTO E PORCENTAGEM
3.1 Regras de Arredondamento
3.2 Porcentagem
3.3 Imposto de Renda
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Matemática Empresarial
UNIDADE 4: ESTATíSTICA: CONCEITOS BÁSICOS
4.1 Tabelas
4.2 Gráficos
UNIDADE 5: MEDIDAS DE TENDêNCIA CENTRAL
5.1 Medidas de tendência central para dados não agrupados
5.2 Medidas de tendência central para dados agrupados
UNIDADE 6: MEDIDAS DE VARIABILIDADE
6.1 Amplitude
6.2 Variância e desvio padrão
6.3 Aplicando o conceito de variabilidade
UNIDADE 7: JUROS
7.1 Juros Simples
7.2 Taxas de Juros
7.3 Juros Compostos
7.4 Exercícios Resolvidos
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Matemática Empresarial
UNIDADE 8: DESCONTO
8.1 Desconto simples comercial
8.2 Desconto simples racional
8.3 Taxa de desconto e taxa de juros
8.4 Desconto composto racional
UNIDADE 9: ESTUDO DAS TAxAS E EqUIVALêNCIA DE CAPITAIS
9.1 Transformação de uma taxa nominal em uma taxa efetiva
9.2 Transformação de taxas efetivas
9.3 Equivalência de CapitaisUNIDADE 10: SÉRIES DE PAGAMENTO
10.1 Séries Postecipadas
10.2 Séries Antecipadas
10.3 Cálculos de séries de pagamento postecipadas e antecipadas no Excel
10.4 Cálculos de séries de pagamento postecipadas e antecipadas com HP-12C
10.5 Séries Diferidas
1 Razão e Proporção
Razão
Razão inversa ou recíproca
Proporção
Propriedade Fundamental das Proporções
Números proporcionais
Divisão Proporcional
Bem-vindo à primeira unidade!
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Matemática Empresarial
1. Razão e Proporção
Existem conceitos bastante simples em matemática e que são fundamentais em pro-
blemas do dia a dia, além de servirem de base para outros conceitos matemáticos. 
Vejamos, neste capítulo, os conceitos de razão, proporção e divisão proporcional.
1.1 Razão
De modo muito simples, em Matemática, razão significa divisão. Isto é:
Razão é o quociente entre dois números.
Vamos ver alguns exemplos nos quais podemos perceber a razão como um instru-
mento útil para comparar dois números.
a) Em determinado período, enquanto a Revista ABC tem vendagem de 20.000 
exemplares, a Revista XYZ tem vendagem de 5.000 exemplares.
Calculando a razão entre a vendagem das revistas, temos:
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Matemática Empresarial
Isso quer dizer que a Revista ABC vende 4 vezes mais que a Revista XYZ.
b) Uma empresa realiza seleção de funcionários para preenchimento de 15 vagas. 
São inscritos para essa seleção 74 candidatos. Qual é a relação de candidatos por 
vaga?
Calculando a razão entre o número de candidatos e o número de vagas, temos:
Isso significa que existem 4,93333... candidatos por vaga. Nesse caso, como a razão é 
um número decimal, podemos fazer uma aproximação e dizer que temos mais de 4 
candidatos por vaga, ou ainda, que temos aproximadamente 5 candidatos por vaga.
Conceito de Razão1 
Razão de dois números a e b, com b... 0, é o quociente de a por b.
Representação:
Lê-se: a está para b ou, simplesmente, a para b.
Os termos a e b são chamados de antecedente e consequente, respectivamente.
Assim, na razão 2/3 por exemplo, lê-se 2 está para 3 ou 2 para 3, em que 2 é o ante-
cedente e 3 é o consequente.
1 CRESPO, 1999, p. 11.
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Matemática Empresarial
1.2 Razão inversa ou recíproca
Duas razões são chamadas razões inversas ou recíprocas quando o antecendente de 
uma é o consequente da outra, e vice-versa.
Por exemplo:
As razões 2/3 e 3/2 são inversas.
As razões ¼ e 4 são inversas. (Lembre-se que 4 é o mesmo que 4/1)
As razões 5/4 e 4/5 são inversas. (Não há nenhum problema se as duas razões forem 
negativas!)
É importante ressaltar que o número zero não possui razão inversa, pois zero pode 
ser antecedente, mas não pode ser consequente.
Outra observação é que o produto de duas razões inversas é sempre 1 (um). Veja os 
exemplos:
(Lembre-se que menos vezes menos é mais!)
Os conceitos de razão e de razão inversa são bastante simples e muito importantes 
para fundamentar o conceito de proporção.
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Matemática Empresarial
1.3 Proporção
Uma proporção é a igualdade de duas razões. Desse modo, para que se tenha a igual-
dade, as duas razões devem representar a mesma quantidade. Por exemplo, ½ e 4/8 
formam uma proporção, pois ½ = 4/8. Para que fique claro, veja a ilustração abaixo:
Como se pode notar, a parte destacada mais escura que representa ½ é igual a parte 
destacada que representa 4/8.
Nesse caso, a fração ½ é considerada coeficiente de proporcionalidade ou constante 
de proporcionalidade. Usa-se a fração na sua forma irredutível, isto é, que não é mais 
simplificável, mas também está correto utilizar a forma decimal que, neste exemplo, 
é 0,5.
Outros exemplos:
2/6 = 6/18 o coeficiente de proporcionalidade é 1/3, pois as razões são equivalentes 
a 1/3.
20/100 = 2/10 o coeficiente de proporcionalidade é 1/5, pois as razões são equiva-
lentes a 1/5.
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Matemática Empresarial
Conceito de proporção2 
Proporção é a igualdade de duas razões a/b e c/d (com a, b, c e d ≠ 0).
Representação: ou a : b = c : d
Lê-se: a está para b, assim como c está para d.
Os termos a e d são chamados extremos e os termos b e c são chamados meios.
Assim, na proporção 2/3 = 4/6, por exemplo, lê-se 2 está para3, assim como 4 está 
para 6, em que 2 e 6 são extremos e 3 e 4 são meios. 
1.4 Propriedade Fundamental das Proporções
Para toda a proporção, vale a seguinte propriedade: o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos, e vice-versa.
Por exemplo, na proporção 2/3 = 4/6, o produto dos meios (3 × 4) é igual ao produto 
dos extremos (2 × 6) que é igual a 12. Veja na ilustração abaixo:
3 × 4 = 2 × 6
12 = 12
2 CRESPO, 1999, p. 13.
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Matemática Empresarial
Esta propriedade é muito importante para se calcular um termo desconhecido em 
uma proporção. Por exemplo, qual o valor de x na proporção
Utilizando a propriedade fundamental das proporções, faz-se o produto dos meios 
(4 × 9) igual ao produto dos extremos (x × 2), isto é:
4 . 9 = x . 2 (Preferimos utilizar o ponto como sinal de multiplicação.)
36 = 2x
2x = 36 (Simplificamos os dois membros por 2.)
x = 18
Assim, 18 é o termo desconhecido.
Esta propriedade será utilizada na resolução dos problemas em que temos uma divi-
são proporcional e também nos problemas de regra de três.
1.5 Números proporcionais3 
3 PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 25-26.
Podemos comparar duas sucessões numéricas de números reais não-nulos (a, b, c, 
d, ...) e (a’, b’, c’, d’, ...) para saber se elas são sucessões de números direta ou inversa-
mente proporcionais.
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Matemática Empresarial
Para ser, diretamente proporcional, precisamos que:
Para ser, inversamente proporcional, precisamos que os números reais não-nulos a, 
b, c, d, ... sejam diretamente proporcionais ao inverso dos números a’, b’, c’, d’, ..., ou 
seja, diretamente proporcionais a
Isto equivale a: a.a’ = b.b’ = c.c’ - d.d’ = ... = k.
Vejamos dois exemplos:
a) As sucessões (30, 45 e 60) e (2, 3 e 4) são diretamente proporcionais, pois:
b) As sucessões (15, 10 e 6) e (2, 3 e 5) são inversamente proporcionais, pois:
15.2 = 10.3 = 6.5 = 30 30 é a constante de proporcionalidade.
em que K é a constante de proporcionalidade
, isto é:
em que K é a constante de proporcionalidade
15 é a constante de proporcionalidade.
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Matemática Empresarial
1.6 Divisão Proporcional4 
Em algumas situações é necessário dividir um número em partes proporcionais ao 
invés de dividir em partes iguais. Por exemplo, quando duas ou mais pessoas se jun-
tam em uma sociedade com atividade de fins lucrativos é justo que os lucros e os 
prejuízos sejam divididos entre elas proporcionalmente ao que cada uma investiu 
no negócio, ao invés de dividir igualmente.
Por exemplo, imagine duas pessoas entrando em uma sociedade com os valores de 
R$ 20.000 e R$ 30.000. Transcorrido certo tempo, elas obtiveram R$ 100.000 de lucro. 
É justo dividir proporcionalmente. Como cada pessoa investiu um valor diferente, 
cada uma delas irá receber um valor também diferente. Digamos que a pessoa que 
investiu R$ 20.000 vai receber x e a que investiu R$ 30.000 vai receber y. 
Ao total terão que receber R$ 100.000, de onde, x + y = 100.000.
Para ser diretamente proporcional,
4 PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 28.
(Em uma proporção, podemos somar os 
antecedentes entre si e também somar 
os consequentes entre si que a constan-
te de proporcionalidade se mantém.)
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Matemática Empresarial
(Trocamos x + y por 100.000)
(Propriedade Fundamental das 
Proporções)
(Simplificamos os dois membros 
por 50.000.)
Como x + y = 100000, então:
40000 + y = 100000
y = 100000 – 40000
y = 60000
Logo, a pessoa que investiu R$ 20.000 terá direito a R$ 40.000 e a pessoa que investiu 
R$ 30.000 terá direito a R$ 60.000.
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Matemática Empresarial
Exercícios5 – Unidade 1
1. Quais os valores de a e b na proporção , sabendo que a + b = 75?
a) a = 30 e b = 45
b) a = 45 e b = 30
c) a = 40 e b = 35
d) a = 35 e b = 40e) a = 25 e b = 50
2. Sabendo que x + y + z = 29, descubra os valores de x, y e z na proporção.
a) x = 10, y = 16 e z = 3
b) x = 16, y = 10 e z = 3
c) x = 3, y = 10 e z = 16
d) x = 6, y = 13 e z = 10
e) x = 13, y = 6 e z = 10
3. No Distrito Federal, a relação entre o número de funcionários públicos e o número 
de habitantes, em 1989, era, aproximadamente de 2 : 45. Se, nessa época, a popula-
ção do DF era de 1.567.609 habitantes, o número de funcionários públicos pertence 
ao intervalo:
a) entre 50 e 55 mil
b) entre 55 e 60 mil
c) entre 60 e 65 mil
d) entre 65 e 70 mil
e) entre 70 e 75 mil
5 As atividades deste capítulo foram adaptadas de PARENTE e CARIBÉ, 1996.
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Matemática Empresarial
4. Encontre os valores de x, y e z, sabendo que as sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são 
inversamente proporcionais com coeficiente de proporcionalidade k = 36.
a) x = 4, y = 12 e z = 3
b) x = 4, y = 12 e z = 1
c) x = 12, y = 4 e z = 3
d) x = 3, y = 12 e z = 4
e) x = 1, y = 4 e z = 12
5. Duas pessoas formaram uma sociedade comercial e combinaram que o lucro da 
firma seria dividido em partes diretamente proporcionais às quantias investidas por 
cada uma na formação da sociedade. A primeira pessoa investiu R$ 20.000,00 e a 
segunda R$ 30.000,00. Sabendo que a sociedade rendeu R$ 15.000,00, no final de 
um ano, calcule a parte desse lucro que caberá ao sócio que investiu R$ 20.000,00.
a) R$ 1.000,00
b) R$ 3.000,00
c) R$ 6.000,00
d) R$ 9.000,00
e) R$ 12.000,00
6. O dono de uma indústria resolveu distribuir entre seus três gerentes uma gratifica-
ção de R$ 133.700,00. Quanto coube a cada um, se a distribuição foi feita em partes 
de proporcionalidade composta, diretamente ao tempo de serviço de cada um e 
inversa aos seus salários?
Gerente Tempo (anos) Salário (R$)
A 15 12.000
B 13 9.100
C 12 10.800
27
Matemática Empresarial
a) A = R$ 39.200,00, B = R$ 44.100,00 e C = R$ 50.400,00 
b) A = R$ 44.100,00, B = R$ 39.200,00 e C = R$ 50.400,00
c) A = R$ 39.200,00, B = R$ 50.400,00 e C = R$ 44.100,00
d) A = R$ 50.400,00, B = R$ 44.100,00 e C = R$ 39.200,00
e) A = R$ 44.100,00, B = R$ 50.400,00 e C = R$ 39.200,00
7. (Banco do Brasil) A e B fundaram uma sociedade. Três meses depois admitiram 
outro sócio, C. Sete meses depois da entrada do terceiro sócio C, aceitaram também 
o sócio D. Sabendo-se que todos entraram com capitais iguais, calcular a parte do só-
cio D no lucro de R$ 227.835,00, verificado dois anos após a fundação da sociedade.
a) R$ 21.352,00
b) R$ 38.430,00
c) R$ 43.560,00
d) R$ 57.645,00
e) R$ 58.000,00
Grandezas diretamente e inversamente proporcionais
Regra de três simples
Regra de três composta
2Grandezas Proporcionais e Regra de Três
Bem-vindo à segunda unidade!
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Matemática Empresarial
2. Grandezas Proporcionais e 
Regra de Três
Neste capítulo vamos ver mais conceitos fundamentais para lidar com problemas 
matemáticos do cotidiano. Para melhor compreender a regra de três simples e tam-
bém a regra de três composta, precisamos, inicialmente, saber identificar quando 
duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais.
2.1 Grandezas diretamente e 
inversamente proporcionais6
Para iniciar, vamos entender o que vem a ser grandeza:
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido. Por exemplo: comprimento, tempo, 
força, massa, velocidade, área, volume, intensidade de som, entre outros.
Além de ser medida, a grandeza é suscetível a variações, isto é, ela pode aumentar 
ou diminuir. Ao comparar duas grandezas, podemos classificá-las como diretamente 
proporcionais ou inversamente proporcionais entre si.
6 PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 44-45.
32
Matemática Empresarial
– Para que duas grandezas sejam diretamente proporcionais, ao ocorrer o aumento 
do valor de uma, necessariamente ocorre o aumento do valor da outra seguindo a 
mesma proporção.
– Para que duas grandezas sejam inversamente proporcionais, ao ocorrer o aumento 
do valor de uma, necessariamente ocorre a diminuição do valor da outra seguindo 
a mesma proporção.
Vamos ver um exemplo de cada situação:
a) Grandezas tempo e distância são diretamente proporcionais.
Um automóvel com velocidade constante de 80 km/h percorre:
Tempo (h) Distância (km)
1 80
2 160
3 240
Quando ocorre o aumento do tempo de viagem ocorre proporcionalmente o au-
mento da distância percorrida. As sucessões numéricas são diretamente proporcio-
nais, então a razão entre os valores do tempo e os valores da distância é constante, 
isto é:
1/80 = 2/160 = 3/240 = ...
b) Grandezas tempo e velocidade são inversamente proporcionais.
Um automóvel com velocidade constante de 50 km/h percorre certa distância em 
7 horas e com velocidade constante de 70 km/h percorre a mesma distância em 5 
horas.
33
Matemática Empresarial
Velocidade (km/h) Tempo (h)
50 7
70 5
Quando ocorre o aumento da velocidade do automóvel ocorre proporcionalmente 
a diminuição do tempo de viagem. As sucessões numéricas são inversamente pro-
porcionais, então a razão entre os valores do tempo e os valores da distância é cons-
tante, isto é:
50 . 7 = 70 . 5 
350 = 350
2.2 Regra de três simples7
A regra de três é um conceito básico da Matemática que permite comparar duas 
grandezas direta ou inversamente proporcionais, relacionando os seus valores em 
uma proporção, na qual três termos são conhecidos e um termo é desconhecido.
Exemplo 1: Em uma fábrica, 300 operários produzem 9.000 peças ao dia. Com a ad-
missão de mais 100 operários, quantas peças serão produzidas ao dia?
Em primeiro lugar, vamos considerar que a capacidade de cada funcionário é a mes-
7 PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 45.
34
Matemática Empresarial
ma, ou seja, eles têm o mesmo rendimento, produzindo a mesma quantidade de 
peças por dia.
As duas grandezas relacionadas neste problema são: número de operários e número 
de peças produzidas ao dia. Então, para facilitar, anotamos os dados em uma tabela:
Nº de Operários Nº de Peças
300 9000
400 X
Precisamos decidir se a relação entre as grandezas é direta ou inversamente propor-
cional. Veja que quanto mais aumenta o número de funcionários, mais peças serão 
produzidas ao dia. Então, como quando uma grandeza aumenta a outra grandeza 
também aumenta, a relação é diretamente proporcional.
Basta montar a proporção, fazendo a razão entre o número de operários igual a ra-
zão entre o número de peças produzidas ao dia:
Logo, com 400 funcionários a fábrica produz 12.000 peças ao dia.
35
Matemática Empresarial
Exemplo 2: Para realizar a construção de uma casa, 24 pedreiros levaram 180 dias. 
Se, ao invés de 24 fossem 15 pedreiros, quantos dias eles levariam para construir a 
mesma casa?
Novamente, vamos considerar que a capacidade de cada pedreiro seja a mesma, isto 
é, que eles têm o mesmo rendimento de trabalho.
As duas grandezas relacionadas neste problema são: número de pedreiros e quan-
tidade de dias para execução da obra. Então, para facilitar, anotamos os dados em 
uma tabela:
Nº de Pedreiros Nº de Dias
24 180
15 X
Veja que, quanto mais diminui o número de funcionários, mais dias serão necessá-
rios para a conclusão da obra. Então, como quando uma grandeza diminui a outra 
grandeza aumenta, a relação é inversamente proporcional.
Quando a relação é inversa, para montar a proporção, fazemos a razão entre o núme-
ro de pedreiros igual a razão inversa entre o número de dias:
Logo, com 15 pedreiros 
a obra vai levar 288 dias 
para estar concluída.
36
Matemática Empresarial
8 PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 48.
2.3 Regra de três composta8
A regra de três composta nada mais é do que relacionar três ou mais grandezas, 
sendo que uma delas varia na dependência proporcional das outras.
Exemplo 1: Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quan-
tas peças desse mesmo tipo 14 operários produzirão, trabalhando 18 dias?
As três grandezas relacionadas neste problema são: número de operários, número 
de peças produzidas e número de dias.Então, para facilitar, anotamos os dados em 
uma tabela:
No de Operários No de Peças No de Dias
3 400 6
14 X 18
Na regra de três composta, relacionamos a grandeza que contém a variável com as 
demais grandezas.
Comparando o número de operários com número de peças, note que quanto mais 
aumenta o número de operários, mais peças serão produzidas. Então, como quando 
uma grandeza aumenta a outra grandeza aumenta, a relação é diretamente propor-
cional.
Comparando o número de peças com o número de dias, perceba que para produzir 
mais peças são necessários mais dias. Logo, quando uma grandeza aumenta a outra 
grandeza também aumenta, logo, a relação é diretamente proporcional.
37
Matemática Empresarial
Neste caso, para montar a equação, fazemos a razão entre o número de peças (gran-
deza em que temos a variável x) igual a razão entre o número de operários vezes a 
razão entre o número de dias:
Logo, com 14 operários, trabalhando 18 dias, serão produzidas 5.600 peças.
Exemplo 2: Se 20 operários levam 10 dias para levantar um muro de 2 metros de altu-
ra e 25 metros de comprimento, quantos dias levarão 15 operários para construir um 
outro (de mesma largura), mas com 3 metros de altura e 40 metros de comprimento?
As quatro grandezas relacionadas neste problema são: número de operários, núme-
ro de dias, altura e comprimento. Então, para facilitar, anotamos os dados em uma 
tabela:
No de Operários No de Dias Altura (m) Comprimento (m)
20 10 2 25
15 X 3 40
38
Matemática Empresarial
Temos que relacionar a grandeza que contém a variável (nº de dias) com as demais 
grandezas.
Comparando o número de operários com o número de dias, note que quanto mais 
aumenta o número de operários, menos dias serão necessários para a construção 
do muro. Então, como quando uma grandeza aumenta a outra grandeza diminui, a 
relação é inversamente proporcional.
Comparando a altura com o número de dias, perceba que quanto mais alto for o 
muro mais dias serão necessários para a construção. Logo, como quando uma gran-
deza aumenta a outra grandeza aumenta, a relação é diretamente proporcional.
Comparando o comprimento com o número de dias, veja que quanto mais comprido 
for o muro mais dias serão necessários para a construção. Assim, como quando uma 
grandeza aumenta a outra grandeza aumenta, a relação é diretamente proporcional.
Neste caso, para montar a equação, fazemos a razão entre o número de dias (gran-
deza em que temos a variável x) igual a razão inversa entre o número de operários 
vezes a razão entre as alturas vezes a razão entre os comprimentos:
Logo, 15 operários, para 
construir um muro de 3 
metros de altura por 40 
metros de largura levarão 
32 dias.
39
Matemática Empresarial
Exercícios9 – Unidade 2
1. Uma viagem seria feita em 12 dias percorrendo-se 150 km por dia. Quantos dias 
seriam necessários para fazer a mesma viagem percorrendo-se 200 km por dia?
a) 6 dias
b) 9 dias
c) 12 dias
d) 16 dias
e) 18 dias
2. Um litro de água do mar contém 25 g de sal. Quantos litros de água devem ser 
evaporados para obtermos 8 kg de sal?
a) 0,32 litros
b) 3,2 litros
c) 32 litros
d) 320 litros
e) 3200 litros
3. Um certo rei mandou 30 homens plantar árvores em seu pomar. Se em 9 dias eles 
plantaram 1000 árvores, em quantos dias 36 homens plantariam 4400 árvores?
(Proposto no Líber Abaci, do ano de 1202)
a) 17 dias
b) 24 dias
c) 33 dias
d) 47 dias
e) 53 dias
9 As atividades deste capítulo foram adaptadas de PARENTE e CARIBÉ, 1999.
40
Matemática Empresarial
4. Se 6 datilógrafos, em 18 dias de 8 horas, preparam 720 páginas de 30 linhas, com 
40 letras por linha, em quantos dias de 7 horas, 8 datilógrafos comporão 800 pági-
nas, de 28 linhas por página e 45 letras por linha?
a) 10 dias
b) 12 dias
c) 14 dias
d) 16 dias
e) 18 dias
5. A produção de uma tecelagem era de 8 000 m de tecido/dia. Com a admissão de 
mais 300 operários, a indústria passou a produzir 14 000 m de tecido/dia. Qual era 
então o número de operários antes da admissão dos 300?
a) 200 operários
b) 300 operários
c) 400 operários
d) 500 operários
e) 600 operários
6. (Banco do Brasil) Vinte e sete operários, trabalhando 8 horas diárias, durante 15 
dias, fizeram um muro de 20 metros de comprimento, 1 metro e 80 centímetros de 
altura e 30 centímetros de espessura. Quantos operários seriam necessários para a 
construção de outro muro de 30 metros de comprimento, 2 metros de altura e 27 
centímetros de espessura, se eles trabalhassem 9 horas por dia, durante 18 dias?
a) 27 operários
b) 28 operários
c) 29 operários
d) 30 operários
e) 31 operários
41
Matemática Empresarial
7. As dificuldades de dois trabalhos estão na razão de 3 para 4. Um operário, que faz 
20 metros do primeiro trabalho, quantos metros fará do segundo, no mesmo tempo?
a) 15 metros
b) 16 metros
c) 17 metros
d) 18 metros
e) 19 metros
Regras de Arredondamento
Porcentagem
Imposto de Renda
3Regras de Arredondamento e Porcentagem
Bem-vindo à terceira unidade!
45
Matemática Empresarial
3. Regras de Arredondamento 
e Porcentagem
Este capítulo aborda as regras de arredondamento e o conceito de porcentagem. Os 
arredondamentos são necessários, pois os valores obtidos tanto nos cálculos de ma-
temática financeira como nos cálculos estatísticos frequentemente são não exatos, 
de modo que precisamos utilizar um valor aproximado. Já o conceito de porcenta-
gem é fundamental nos cálculos estatísticos e as taxas de juros costumam ser dadas 
como uma taxa percentual.
3.1 Regras de Arredondamento
Para realizar contagens e numerações, utilizam-se, de modo exato, os números natu-
rais (0, 1, 2, 3, 4, ...) que são valores discretos ou descontínuos.
Para realizar algumas outras medidas, utilizam-se escalas contínuas de tal forma que 
os valores sendo não exatos precisam ser arredondados. A precisão da medida está 
relacionada ao número de casas decimais consideradas. Por exemplo, quando traba-
lhamos com moeda interessa uma aproximação em duas casas decimais. No caso do 
Real, uma aproximação em centavos.
46
Matemática Empresarial
Desse modo, quando for necessário realizar um arredondamento de dados, utiliza-
se a Resolução nº 886/66 da Fundação IBGE10:
Tabela 1: De acordo com a Resolução nº 886/66 da Fundação IBGE, o arredondamen-
to é efetuado da seguinte maneira:
Condições Procedimentos Exemplos
< 5
O último algarismo a permanecer 
fica inalterado.
53,24 passa a 53,2
> 5
Aumenta-se de uma unidade o 
algarismo a permanecer.
42,87 passa a 42,9
25,08 passa a 25,1
53,99 passa a 54,0
= 5
Se ao 5 seguir em qualquer casa 
um algarismo diferente de zero, 
aumenta-se uma unidade no 
algarismo a permanecer.
Se o 5 for o último algarismo 
ou se ao 5 só seguirem zeros, o 
último algarismo a ser conser-
vado só será aumentado de uma 
unidade se for ímpar.
2,352 passa a 2,4
25,6501 passa a 25,7
76,250002 passa a 76,3
24,75 passa a 24,8
Fonte: Adaptado de CRESPO, 1998, p.174.
De modo mais prático:
– Quando a condição for menor que 5, o último algarismo fica inalterado.
– Quando a condição for maior ou igual a 5, aumenta-se uma unidade no último 
algarismo a permanecer.
OBSERVAçÕES:
– Em todos os capítulos deste livro serão utilizadas as regras acima.
10 CRESPO, 1998, p. 174.
47
Matemática Empresarial
– Para evitar distorções, não devem ser feitos arredondamentos sucessivos, o melhor 
é fazer o arredondamento no final dos cálculos.
Usando uma calculadora:
As calculadoras científicas operam no modo algébrico, as calculadoras financeiras, 
como, por exemplo, a HP-12C operam no modo RPN. Ambas apresentam no visor 
valores arredondados, mas elas operam, internamente, com o máximo de precisão.
Em uma calculadora financeira, podemos definir o número de casas decimais no vi-
sor, por exemplo, usando as teclas f (2) determinamos que serão usadas duas casas 
decimais.
Desse modo, ao fazer (2 / 3 x 100) digitamos:
2 Enter 3 / 100 x no visor mostrará 66,67.48
Matemática Empresarial
Usando o Excel:
O Excel (planilha de cálculo do pacote Microsoft Office) possui uma função 
=ARRED(núm;núm_digitos) para arredondamentos. O exemplo acima poderia ser 
feito assim:
3.2 Porcentagem11
A expressão p%, que se lê “p por cento”, é chamada taxa percentual* e representa a 
razão p/100 .
p% = P/100
*Também é correta a expressão taxa porcentual.
11 MORGADO, CESAR, 2005.
49
Matemática Empresarial
Assim,
5% = (cinco por cento)
12% = (doze por cento)
30% = (trinta por cento)
A taxa percentual pode ser transformada em taxa unitária, fazendo a razão ser 
expressa na forma decimal. Isto é:
Cálculo direto de porcentagem
Calcular p% de um valor x é multiplicar x por P/100.
Exemplo: Calcule 15% de 800.
É multiplicar 800 por 15%.
50
Matemática Empresarial
Como 15% = 15/100 = 0,15, na prática, basta multiplicar por 0,15:
800 × 0,15 = 120
Logo: 15% de 800 é 120.
Cálculo direto de acréscimo
Acrescentar p% a um valor x é multiplicar x por um fator de correção f (maior que 1), 
dado por f = 1 + P/100.
Exemplo: Um produto com preço R$ 150,00 tem seu valor reajustado em 18%. Cal-
cule o seu novo preço.
Valor Inicial: 150
Acréscimo: 18%, então f = 1 + P/100 = 1 + 18/100 = 1 + 0,18 = 1,18
Valor final: 150 × 1,18 = 177
Logo: O seu novo preço será de R$ 177,00.
Cálculo direto de desconto
Reduzir um valor x de p% é multiplicar x por um fator de correção f (menor que 1), 
dado por f = 1 - P/100 .
Exemplo: Um produto com preço R$ 150,00 tem seu valor reduzido em 18%. Calcule 
o seu novo valor.
Valor Inicial: 150
Redução: 18%, então f = 1 - P/100 = 1 - 18/100 = 1 - 0,18 = 0,82
51
Matemática Empresarial
Valor final: 150 × 0,82 = 123
Logo: O seu novo valor é R$ 123,00.
Cálculo direto de “quanto por cento”
Para saber quanto por cento um valor x é de um valor y, calcula-se a razão entre x e 
y, ou seja, x/y.
Exemplo: 182 corresponde a quanto por cento de 650?
Calcula-se a razão 182/650 = 0,28 = 28/100 = 28%
Então, 182 corresponde a 28% de 650.
Cálculo do fator de correção
Podem ocorrer três casos:
f (correção) > 1, neste caso houve um acréscimo.
f (correção) = 1, neste caso valor final é igual ao valor inicial.
f (correção) < 1, neste caso houve uma redução.
Exemplo 1: Um equipamento teve seu valor reajustado de R$ 100,00 para R$ 125,00. 
Qual foi o percentual de acréscimo?
f (correção) = 125/100 = 1,25 = 125% = 100% + 25%
52
Matemática Empresarial
Então, o percentual de acréscimo foi de 25%.
Exemplo 2: Um produto com preço R$ 500,00 foi vendido por R$ 450,00. Qual o per-
centual de redução no preço deste produto?
f (correção) = 450/500 = 0,9 = 90% = 100% – 10%
Então, o percentual de redução é de 10%.
Cálculo do fator acumulado
f (% acumulado) = produto dos fatores
Exemplo: Os índices semestrais de inflação em certo ano foram de 4,2% e 5,5%, res-
pectivamente. Qual o índice de inflação nesse ano?
f (% acumulado) = 1,042 × 1,055 = 1,09931 = 1 + 0,09931 = 100% + 9,931%
Então, p% = 9,931%
Cálculo do ganho real
Para f (ganho nominal) diferente de f (inflação) podem ocorrer dois casos:
f (ganho real) > 1, neste caso, houve um ganho real.
f (ganho real) < 1, neste caso, houve uma perda real.
Exemplo 1: Uma aplicação semestral foi remunerada à taxa de 30%. Se nesse período 
a inflação foi de 25%, qual o ganho real desse investimento?
53
Matemática Empresarial
f (ganho real) = 1,30/1,25 = 1,04
Exemplo 2: Com uma inflação anual de 12% admitindo-se que o salário foi corrigido 
em 8%, qual a variação real do poder de compra de um assalariado?
f (ganho real) = 1,08/1,12 = 0,9643
Como 0,9643 é menor que 1, houve uma perda é de 1 - 0,9643 = 0,0357 = 3,57%
Então, a perda real é de 3,57%.
Imposto de Renda12
Vamos ver o exemplo de contribuição ao Imposto de Renda (IR) como uma aplicação 
dos cálculos de porcentagem. Como o cálculo da contribuição ao IR é feito sobre o 
salário bruto menos a contribuição ao Instituto Nacional do Seguro Social (INSS), 
vamos conhecer primeiro como é calculada a contribuição ao INSS.
Mensalmente, os trabalhadores segurados pelo INSS pagam uma alíquota propor-
cional ao seu salário bruto, seguindo normas estabelecidas. Este valor vem descon-
tado em sua folha de pagamento.
Veja abaixo as alíquotas válidas a partir de 1º de março de 2008.
Tabela 2: Tabela de contribuição dos segurados empregados, empregado domésti-
co e trabalhador avulso, para remuneração a partir de 1º de março de 2008.
Salário de Contribuição (R$) Alíquota para fins de reolhimento do INSS
até 911,70 8,00%
de 911,71 até 1.519,50 9,00%
de 1.519,51 até 3.038,99 11,00%
12 ARAÚJO, 2006, p. 27.
Fonte: Portaria nº 77, de 12 de março de 2008
54
Matemática Empresarial
Existe um valor máximo de contribuição, também denominado teto de contribuição. 
Para esse período a partir de 1º de março de 2008 o teto foi fixado em R$ 334,28.
Vamos ver alguns exemplos:
Exemplo 1: Um trabalhador com salário bruto de R$ 750,00 está na primeira faixa de 
contribuição, sendo a alíquota de 8%. Calculando:
750 . 8% = 60
Este trabalhador contribui com R$ 60,00.
Exemplo 2: Outro trabalhador com salário bruto de R$ 2.500,00 está na segunda fai-
xa de contribuição, sendo a alíquota de 11%. Calculando:
2500 . 11% = 275
Este trabalhador contribui com R$ 275,00.
Depois de descontada a contribuição ao INSS, é descontado o Imposto de Renda. 
O desconto desse imposto segue uma tabela anualmente atualizada pelo governo 
federal e publicada no Diário Oficial. Vamos citar abaixo a tabela válida para 2008.
Tabela 3: Tabela Progressiva Mensal – 2008
Base de Cálculo (R$) Alíquota Parcela a Deduzir do IR (R$)
Até 1.372,81 – –
De 1.372,82 até 2.743,25 15 205,92
Acima de 2.743,25 17,5 548,82
Fonte: Receita Federal. 
Disponível em: http://www.receita.fazenda.gov.br/Legislacao/Leis/2007/lei11482.htm. Acesso em 12/12/08.
Exemplo 1: O trabalhador com salário bruto de R$ 750,00 e contribuição ao INSS de 
R$ 60,00, terá como salário líquido parcial 750 – 60 = 690.
55
Matemática Empresarial
Então, R$ 690,00 é menos que R$ 1.372,81, por isso este trabalhador é isento.
Exemplo 2: O trabalhador com salário bruto de R$ 2.500,00 e contribuição ao INSS 
de R$ 275,00, terá como salário líquido parcial 2500 – 275 = 2225.
R$ 2.225,00 está na segunda faixa, na qual a alíquota do imposto é de 15%. 
Então, 2225 . 15% = 244,75.
Do valor R$ 244,75 deduzir a parcela R$ 205,92:
244,75 – 205,92 = 38,83
Salário líquido: 2225 – 38,83 = 2.186,17.
Exemplo 3: O trabalhador com salário bruto de R$ 5.000,00 terá como contribuição 
ao INSS o teto de R$ 334,28 e seu salário líquido parcial 5000 – 334,28 = 4.665,72.
R$ 4.665,72 está na terceira faixa, na qual a alíquota do imposto é de 27,5%. Então,
4665,72 . 27,5% = 1283,073, arredondando R$ 1.283,07.
Do valor R$ 1.283,07 deduzir a parcela R$ 548,82:
1283,07 – 548,82 = 735,25
Salário líquido: 4665,72 – 735,25 = 3.930,47.
57
Matemática Empresarial
Exercícios13 – Unidade 3
1. Qual a porcentagem de desconto que a loja está dando na venda de uma jaqueta 
de couro de R$ 260,00 por R$ 221,00?
a) 8%
b) 10%
c) 12%
d) 15%
e) 17%
2. Sobre o trabalho noturno feminino, consta na Consolidação das Leis do Trabalho 
(CLT): “Cada hora do período noturno de trabalho das mulheres terá 52 minutos e 
30 segundos”. Levando-se em conta que uma funcionária trabalha das 22h às 5h do 
dia seguinte, qual será, aproximadamente, o percentual de acréscimo do seu salário 
nesse período?
a) 10,2%
b) 12,1%
c) 14,3%
d) 16,3%
e) 18,4,%
3. O salário de um trabalhador passou de R$ 840,00 para R$ 966,00. Qual foi a por-
centagem de aumento?
a) 14%
b) 15%
13 As atividades deste capítulo foram adaptadas do Banco de Questões Super Pro da Interbits. 
58
Matemática Empresarial
c) 16%
d) 18%
e) 19%
4. A diferença entre o preço de venda anunciado de uma mercadoria e o preço de 
custo é igual a R$ 2,00.Se essa mercadoria for vendida com um desconto de 10% 
sobre o preço anunciado, dará ainda um lucro de 20% ao comerciante. Determinar 
seu preço de custo. a) R$ 6,00
b) R$ 6,60
c) R$ 6,90
d) R$ 7,20
e) R$ 7,50
5. A população de uma certa cidade crescerá 10% a cada ano por 4 anos. A porcenta-
gem de crescimento da população após esse período é de, aproximadamente,
a) 10%
b) 20%
c) 24%
d) 40%
e) 46%
6. Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve 
ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém, ele prepara a tabela de preços 
de venda acrescentando 80% ao preço de custo porque sabe que o cliente gosta 
de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode 
conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?
a) 10 %
59
Matemática Empresarial
b) 15 %
c) 20 %
d) 25 %
e) 36 %
7. 95% da massa de uma melancia de 10 kg é constituída por água. A fruta é submeti-
da a um processo de desidratação (que elimina apenas água) até que a participação 
da água na massa da melancia se reduza a 90%. A massa da melancia após esse 
processo de desidratação será igual a:
a) 5/9 kg
b) 9/5 kg
c) 5 kg
d) 9 kg
e) 9,5 kg
Tabelas
Gráficos
4Estatística: Conceitos Básicos
Bem-vindo à quarta unidade!
63
Matemática Empresarial
4. Estatística: Conceitos Básicos
Veja como Cordani14 explica o que é Estatística: 
O verbete Estatística foi introduzido no século XVIII, com origem na palavra latina status (Estado), 
e serviu inicialmente a objetivos ligados à organização político-social, como o fornecimento de 
dados ao sistema de poder vigente, provavelmente para cobrança de impostos e registros de nas-
cimento e morte.
Hoje em dia, a metodologia estatística é utilizada em diferentes contextos, como testes ligados ao 
desempenho escolar, pesquisas eleitorais, estudos financeiros, controle de qualidade, análises de 
crescimento de doenças, taxas populacionais, data mining, índices de desenvolvimento, índices de 
desemprego, modelagem de fenômenos da natureza etc.
Assim, de maneira geral, pode-se dizer que a Estatística surgiu da necessidade de 
organizar dados e informações para o Estado. No Brasil, os dados são coletados, or-
ganizados e divulgados pelo IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística15, 
órgão federal subordinado ao Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão.
Os jornais e revistas apresentam dados estatísticos organizados em tabelas ou em 
gráficos. Para compreensão destas informações, as pessoas devem ser capazes de ler 
e interpretar tabelas e gráficos. Assim, neste capítulo, vamos conhecer as caracterís-
ticas das tabelas e dos diferentes tipos de gráficos.
14 CORDANI, 2006, p. 3.
15 http://www.ibge.gov.br/
64
Matemática Empresarial
4.1 Tabelas
As tabelas são quadros que resumem um conjunto de dados observados. Em uma 
tabela, temos:
a) corpo – conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre a variável 
em estudo;
b) cabeçalho – parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas;
c) coluna indicadora – parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas;
d) linhas – retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados 
que se inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas;
e) casa ou célula – espaço destinado a um só número;
f) título – conjunto de informações, as mais completas possíveis, respondendo às 
perguntas: O quê?, Quando?, Onde?, localizando no topo da tabela.
Há ainda a considerar os elementos complementares da tabela, que são a fonte, as 
notas e as chamadas, colocados, de preferência, no seu rodapé.
Fo
nt
e:
 C
RE
SP
O
, 1
99
8,
 p
. 2
5
65
Matemática Empresarial
Para nosso estudo, interessa conhecer as tabelas de distribuição de frequências. Va-
mos ver tabelas de distribuição de frequências para dados não agrupados e tabelas 
de distribuição de frequências para dados agrupados.
Vamos supor que a Empresa ABC deseje contratar um plano de saúde para seus fun-
cionários e que para isso precise conhecer se seus funcionários são mais jovens ou 
mais velhos. Para isso, foi anotada a idade de cada funcionário e organizada em or-
dem crescente, como mostrado abaixo:
Tabela 1: Idade dos funcionários da Empresa ABC
26 36 41 45 54
28 38 41 51 58
34 39 42 51 60
36 40 42 53 60
36 41 42 54 65
A partir destes dados, pode ser organizada uma tabela de distribuição de frequên-
cias, anotando em uma coluna a variável idade e na outra a frequência com que esta 
idade ocorre entre os funcionários:
Tabela 2: Frequência de idade dos funcionários da Empresa ABC
Idade (anos) Frequência
26 1
28 1
34 1
36 3
38 1
39 1
Fonte: Hipotética
66
Matemática Empresarial
16 Existem outras regras, como a regra de Sturges, que calcula k = 1 + 3,3 . log n, mas também não é uma 
determinação, vai depender de um julgamento pessoal.
40 1
41 3
42 3
45 1
51 2
53 1
54 2
58 1
60 2
65 1
A tabela acima apresenta os dados não agrupados, no entanto, ele não é prático, na 
medida em que apresenta cada uma das idades que ocorre na população (funcioná-
rios da Empresa ABC).
Assim, podemos apresentar a tabela de outro modo, criando intervalos de idades. 
Em estatística, os intervalos são denominados classes. Para definir quantas classes 
teremos, podemos calcular , em que n é o número de elementos da amos-
tra e 5 < K ≤ 20, isso porque com menos de 5 classes pode-se perder muita informa-
ção ou com mais de 20 classes pode-se ter detalhamento desnecessário. Na verdade, 
este é um cálculo feito apenas para dar alguma referência a quem está organizando 
a tabela, mas não é um valor determinante16.
No exemplo acima, , Então fazemos 5 classes.
Depois disso, precisamos calcular a amplitude total (H) que é a variação total dos 
dados da amostra.
H = Ls – Li
67
Matemática Empresarial
Em que:
Ls é o limite superior da distribuição de frequências.
Li é o limite inferior da distribuição de frequências.
No exemplo, H = Ls – Li = 65 – 26 = 39
A partir daí, vamos calcular a amplitude da classe (h) que é a variação dentro de cada 
uma das classes:
h = H/k
h = 39/5
h = 7,8
Então, para usar números inteiros, vamos fazer classes com variação de oito anos e 
colocar na primeira coluna (Idade em anos).
Tabela 3: Frequência de idade dos funcionários da Empresa ABC.
68
Matemática Empresarial
Na segunda coluna (Ponto médio da classe) calcularmos o valor que representa a 
classe. Ele é a média entre o limite inferior e o limite superior de cada classe. Por 
exemplo, na primeira classe (26 |- 34) a média é calculada por e assim 
por diante.
Importante: o símbolo |- significa que o intervalo é fechado a esquerda e aberto a di-
reita, ou seja, na primeira classe (26 |- 34) o 26 está e o 34 não está na primeira classe.
Na terceira coluna (Frequência absoluta - fi) calculamos a frequência de ocorrência 
em cada classe. 
Na quarta coluna (Frequência absoluta acumulada - Fi) calculamos o somatório 
das frequências ocorridas até a classe em que estamos.
Na quinta coluna (Frequência relativa - fri) calculamos a razão entre a frequência 
absoluta e o total de elementos.
Na sexta coluna (Frequência relativa acumulada - Fri) calculamos o somatório das 
frequências relativas ocorridas até a classe em que estamos.
69
Matemática Empresarial
Os gráficos apresentam os dados estatísticos de modo rápido para uma leitura visu-
al. Eles podem ser de diferentes tipos: linhas, colunas, barras, setores e outros.
Gráfico de linhas
Os gráficos de linhas também são conhecidos como gráficos de segmentos ou grá-
ficos em curva. Esse tipo é utilizado, principalmente, quando a intenção é verificar a 
variação de um valor em tempos distintos ou para estimar valores entre dois pontos 
quaisquer.
Para construir o gráfico utilizamos os eixos cartesianos e marcamos pontos represen-
tados pelo par ordenado (x, y).
Exemplo:Suponhamos que uma livraria fez o levantamento dos livros vendidos du-
rante os seis primeiros meses de 2008, obtendo os seguintes resultados:
Tabela 4: Número de livros vendidos
Mês Número de livros vendidos
Janeiro/08 460
Fevereiro/08 420
Março/08 540
Abril/08 540
Maio/08 575
Junho/08 520
17 CRESPO, 1998, p. 38-53.
Fo
nt
e:
 H
ip
ot
ét
ic
a
4.2 Gráficos17
70
Matemática Empresarial
Gráfico 1: Número de livros vendidos
A inclinação de cada segmento indica se houve crescimento, decréscimo ou estabi-
lidade entre um mês e outro. Por exemplo:
– De janeiro para fevereiro houve um decréscimo nas vendas.
– De março para abril houve uma estabilidade nas vendas.
– De fevereiro a março houve um acréscimo nas vendas.
Gráfico de colunas ou de barras
Este tipo de gráfico representa os valores usando retângulos que podem ser dispos-
tos verticalmente (colunas) ou horizontalmente (barras).
Exemplo: Imagine que uma empresa avaliou o desempenho de seus funcionários e 
chegou ao seguinte resultado:
71
Matemática Empresarial
Tabela 5: Desempenho dos funcionários
Desempenho Número de Funcionários
Ótimo 15%
Bom 65%
Regular 15%
Insuficiente 5%
Gráfico 2 (em colunas): Desempenho dos funcionários
Note que quando o gráfico é de colunas, a altura de cada retângulo varia de acordo 
com a frequência que ele representa em cada categoria. Usando o mesmo exemplo, 
veja como ficaria o gráfico de barras:
Gráfico 3 (em barras): Desempenho dos funcionários
Fo
nt
e:
 H
ip
ot
ét
ic
a
72
Matemática Empresarial
Observe que quando o gráfico é de barras, o comprimento de cada retângulo varia 
de acordo com a frequência que ele representa em cada categoria.
Tanto o gráfico de colunas como o gráfico de barras mantêm os retângulos espaça-
dos uns dos outros.
Gráfico de setores
O gráfico de setores, também conhecido como gráfico “pizza”, mostra a contribuição 
de um valor para um total.
Usa-se um círculo para representar o total e cada categoria é representada por um 
setor do círculo, isto é, por uma “fatia da pizza”.
É comum usar esse tipo de gráfico quando se tem poucas categorias e quando os 
valores são dados em porcentagem.
Para calcular o tamanho de cada setor usa-se uma regra de três simples e direta, 
lembrando que 360º corresponde a 100%.
Exemplo: Vamos considerar uma empresa divida em três setores distintos, cada um 
deles contribuindo com os lucros.
Tabela 6: Lucros da empresa por setor
Setor Contribuição nos lucros
A 55%
B 25%
C 20%
 
Fonte: Hipotética
73
Matemática Empresarial
Gráfico 4: Contribuição nos lucros por setor
Observe que como o setor do círculo cinza claro é maior, podemos visualmente con-
cluir que o setor A contribui mais que os setores B e C para os lucros da empresa. 
Além disso, é possível perceber que o setor A contribui com mais da metade dos 
lucros, pois sua região é maior do que a metade do círculo.
Histograma
O histograma é usado quando os dados são agrupados em classes (intervalos).
A representação é feita por retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre 
o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos 
médios dos intervalos de classe.
Exemplo: Vamos usar a tabela apresentada anteriormente que apresenta a frequên-
cia de idade dos funcionários da Empresa ABC:
Fonte: Hipotética
74
Matemática Empresarial
Tabela 7: Frequência de idade dos funcionários da Empresa ABC
Idade (anos) Ponto médio 
da classe
Frequência 
absoluta (fi)
26 |- 34 30 2
34 |- 42 38 10
42 |- 50 46 4
50 |- 58 54 5
58 |- 66 62 4
Histograma 1: Frequência de idade dos funcionários da Empresa ABC
Pictograma
Os pictogramas têm uma fácil compreensão. São gráficos cuja representação gráfica 
utiliza figuras e imagens relacionadas ao assunto do gráfico.
Exemplo: Pictograma 1: Pictograma da venda anual de lâmpadas em um supermer-
cado
75
Matemática Empresarial
Fonte: : Imagem disponível em http://www.codelco.com/educa/divisiones/norte/estudio/matematica2.html
77
Matemática Empresarial
Exercícios18 – Unidade 4
1. (ENEM 2003) O tempo que um ônibus gasta para ir do ponto inicial ao ponto final 
de uma linha varia, durante o dia, conforme as condições do trânsito, demorando 
mais nos horários de maior movimento. A empresa que opera essa linha forneceu, 
no gráfico abaixo, o tempo médio de duração da viagem conforme o horário de saí-
da do ponto inicial, no período da manhã.
De acordo com as informações do gráfico, um passageiro que necessita chegar até 
as 10h30 ao ponto final dessa linha, deve tomar o ônibus no ponto inicial, no máxi-
mo, até as:
a) 9h20
b) 9h30
c) 9h00
d) 8h30
e) 8h50
18 As atividades deste capítulo foram adaptadas do Banco de Questões Super Pro da Interbits. 
78
Matemática Empresarial
2. (ENEM 2004) O excesso de veículos e os congestionamentos em grandes cidades 
são temas de frequentes reportagens. Os meios de transportes utilizados e a forma 
como são ocupados têm reflexos nesses congestionamentos, além de problemas 
ambientais e econômicos. No gráfico a seguir, podem-se observar valores médios do 
consumo de energia por passageiro e por quilômetro rodado, em diferentes meios 
de transporte, para veículos em duas condições de ocupação (número de passagei-
ros): ocupação típica e ocupação máxima.
Esses dados indicam que políticas de transporte urbano devem também levar em 
conta que a maior eficiência no uso de energia ocorre para os:
a) ônibus, com ocupação típica.
b) automóveis, com poucos passageiros.
c) transportes coletivos, com ocupação máxima.
d) automóveis, com ocupação máxima.
e) trens, com poucos passageiros.
3. (FGV 2006) O gráfico a seguir representa os lucros anuais, em reais, de uma empre-
sa ao longo do tempo.
79
Matemática Empresarial
Podemos afirmar que:
a) O lucro da empresa em 2003 foi 15% superior ao lucro de 2001.
b) O lucro da empresa em 2005 foi 30% superior ao lucro de 2001.
c) O lucro da empresa em 2004 foi 10% inferior ao de 2002.
d) O lucro em 2003 foi 90% do lucro obtido pela empresa no ano anterior.
e) O lucro obtido em 2005 superou em 17% o do ano anterior.
4. (UFMG 2006) Este gráfico representa o resultado de uma pesquisa realizada com 1 
000 famílias com filhos em idade escolar:
Considere estas afirmativas referentes às famílias pesquisadas:
I) O pai participa da renda familiar em menos de 850 dessas famílias.
80
Matemática Empresarial
II) O pai e a mãe participam, juntos, da renda familiar em mais de 500 dessas famílias.
Então, é CORRETO afirmar que
a) nenhuma das afirmativas é verdadeira.
b) apenas a afirmativa I é verdadeira.
c) apenas a afirmativa II é verdadeira.
d) ambas as afirmativas são verdadeiras.
5. (UFRN 2003) O gráfico abaixo representa a taxa de desemprego na grande São 
Paulo, medida nos meses de abril, segundo o Dieese:
Carta Capital, 05 de jun. de 2002. Ano VIII, nº 192.
Analisando o gráfico, podemos afirmar que a maior variação na taxa de desemprego 
na Grande São Paulo ocorreu no período de
a) abril de 1985 a abril de 1986.
b) abril de 1995 a abril de 1996.
c) abril de 1997 a abril de 1998.
d) abril de 2001 a abril de 2002.
81
Matemática Empresarial
6. (UFRN 2004) Em uma pesquisa de opinião, feita para verificar o nível de aprovação 
de um governante, foram entrevistadas 1.000 pessoas, que responderam sobre a 
administração da cidade, escolhendo uma - e apenas uma - dentre as possíveis res-
postas: ótima, boa, regular, ruim e indiferente. O gráfico abaixo mostra o resultado 
da pesquisa.
De acordo com o gráfico, pode-se afirmar que o percentual de pessoas que conside-
ram a administração ótima, boa ou regular é de
a) 28%.
b) 65%.
c) 71%.
d) 84%.
7. (UFRGS 2004) Os resultados de uma pesquisa de opinião foram divulgados utili-
zando um gráfico de setores circulares, como o representado na figura abaixo.
Ao setor a estão associadas 35% das respostas, ao setor 
b, 270 respostas e, aos setores c e d, um mesmo número 
de respostas. Essenúmero é:
82
Matemática Empresarial
a) 45.
b) 90.
c) 180.
d) 450.
e) 900.
8. (UFSCAR 2001) Em um curso de iniciação à informática, a distribuição das idades 
dos alunos, segundo o sexo, é dada pelo gráfico seguinte.
Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar que:
a) o número de meninas com, no máximo, 16 anos, é maior que o número de meni-
nos nesse mesmo intervalo de idades.
b) o número total de alunos é 19.
c) a média de idade das meninas é 15 anos.
d) o número de meninos é igual ao número de meninas.
e) o número de meninos com idade maior que 15 anos é maior do que o número de 
meninas nesse mesmo intervalo de idades.
Medidas de tendência central para dados não agrupados
Medidas de tendência central para dados agrupados
5 Medidas de tendência central
Bem-vindo à quinta unidade!
85
Matemática Empresarial
5. Medidas de tendência central
As medidas de tendência central são bastante importantes, pois os valores de uma 
distribuição de frequência tendem a se agrupar em torno dos valores centrais. Den-
tre as medidas de tendência central, as mais utilizadas são: média aritmética, media-
na e moda.
Neste capítulo vamos ver como são calculadas essas medidas de tendência central 
com dados não agrupados e com dados agrupados.
19 ARAÚJO, 2006, p. 37-48.
5.1 Medidas de tendência central 
para dados não agrupados19 
Vejamos como calcular média aritmética, mediana e moda para dados não agrupa-
dos.
Média Aritmética para dados não-agrupados (X)
A média aritmética é, com certeza, a medida de tendência central mais utilizada no 
cotidiano. É calculada pela soma dos elementos, dividido pela quantidade de ele-
mentos. 
86
Matemática Empresarial
Exemplo: Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, observa-
mos que a média de idade é:
Dizemos então que a média de idade do grupo é de 21,4 anos.
Generalizando, com n valores x1, x2, x3, ..., xn de uma variável, a média aritmética (x) 
é obtida por:
Nota: o símbolo significa o somatório dos números x sabendo que o índice 
i varia de 1 a n.
A média aritmética pode ser ponderada, isto é, quando a importância dos elementos 
é diferente e para cada um deles é dado um “peso”.
Para calcular a média aritmética ponderada (podemos dizer apenas média pondera-
da), multiplicamos o valor de cada elemento pelo seu “peso”, somamos os resultados 
e dividimos pela soma dos “pesos”.
Exemplo20: O Índice Geral de Preços (IGP-M) é calculado pela Fundação Getúlio Var-
gas (FGV) por meio de uma média ponderada entre o Índice de Preços no Atacado 
(IPA), que tem peso 6; o Índice de Preços ao Consumidor (IPC) no Rio designifica o 
somatório dos números x sabendo que o índice i varia de 1 a n.
n
x
n
x...xxx
x
n
1i
i
n321
∑
==
++++
=
n
x
n
x...xxx
x
n
1i
i
n321
∑
==
++++
=
20 ARAÚJO, 2006, p. 56.
87
Matemática Empresarial
A média aritmética pode ser ponderada, isto é, quando a importância dos elementos 
é diferente e para cada um deles é dado um “peso”.
Para calcular a média aritmética ponderada (podemos dizer apenas média pondera-
da), multiplicamos o valor de cada elemento pelo seu “peso”, somamos os resultados 
e dividimos pela soma dos “pesos”.
Exemplo : O Índice Geral de Preços (IGP-M) é calculado pela Fundação Getúlio Vargas 
(FGV) por meio de uma média ponderada entre o Índice de Preços no Atacado (IPA), 
que tem peso 6; o Índice de Preços ao Consumidor (IPC) no Rio de Janeiro e São Pau-
lo, com peso 3; e o Índice de Custo da Construção Civil (INCC), com peso 1. Imagine 
que, em um determinado mês, o valor do IGP-M tenha sido de alta de 0,992%, do IPA 
tenha sido de alta de 1,2%, do INCC, alta de 0,32%. Qual será a alta registrada para 
o IPC?
Escrevendo a expressão para a média ponderada temos:
88
Matemática Empresarial
Generalizando, com n valores x1, x2, x3, ..., xn de uma variável e pesos f1, f2, f3, ..., fn, 
respectivamente, a média aritmética ponderada (MP) é obtida por:
Nota: o símbolo significa o somatório dos produtos dos valores de x pelos 
valores dos pesos p, sabendo que o índice i varia de 1 a n. O símbolo significa 
o somatório dos pesos fi, sabendo que o índice i varia de 1 a n.
Mediana para dados não-agrupados (Md)
A mediana é a medida de tendência central que divide os dados ordenados em duas 
partes de mesma frequência.
Deste modo, com n elementos colocados em ordem crescente ou decrescente, a 
mediana é:
– o número que ocupa a posição central, se n for um número ímpar;
– a média aritmética dos dois números centrais, se n for um número par.
Exemplo: Vamos supor que estas sejam as notas de 15 alunos:
3; 5; 7; 6; 9; 10; 7; 4; 8; 9; 7; 2; 6; 7; 3;
89
Matemática Empresarial
Moda para dados não-agrupados (Mo)
A moda nada mais é do que o valor mais frequente de um grupo de valores obser-
vados.
No exemplo anterior, a moda é a média 7,0, pois ela é a que mais aparece, em um 
total de quatro vezes.
Em um evento em que temos dois valores que aparecem em uma mesma quantida-
de, e são os que mais aparecem, dizemos que ele é bimodal.
90
Matemática Empresarial
5.2 Medidas de tendência central 
para dados agrupados21
21 ARAÚJO, 2006, p. 49-60.
22 CRESPO, 1998, p. 85.
Vejamos como calcular média aritmética, mediana e moda para dados agrupados.
A média aritmética para dados agrupados (x)
Para calcularmos a média aritmética para dados agrupados, convencionamos que 
todos os elementos de uma classe sejam iguais ao seu ponto médio e calculamos a 
média aritmética ponderada por meio da fórmula:
Onde xi é o ponto médio da classe e fi é a frequência da classe.
Exemplo22: Considere a tabela a seguir com dados das alturas de 40 pessoas.
x
91
Matemática Empresarial
Tabela 1: Frequência de alturas
i Alturas (cm) fi xi fi xi
1 150 |- 154 4 152 608
2 154 |- 158 9 156 1404
3 158 |- 162 11 160 1760
4 162 |- 166 8 164 1312
5 166 |- 170 5 168 840
6 170 |- 174 3 172 516
 = 40 = 6440
O modo mais fácil é criando na tabela colunas para fi (frequência da classe), xi (ponto 
médio da classe), e xi fi (produto das duas colunas anteriores). Assim,
Portanto, a média de altura das 40 pessoas é 161 cm.
Mediana para dados agrupados (Md)
O cálculo da mediana para dados agrupados é bastante semelhante ao cálculo da 
mediana para dados não-agrupados. Um cálculo importante a se fazer é a frequên-
cia acumulada em cada classe.
Encontrada a classe mediana, ou seja, aquela classe que corresponde à frequência 
acumulada imediatamente superior a 
Fonte: CRESPO,1998, p. 85.
92
Matemática Empresarial
Usando o exemplo das alturas de 40 pessoas, vemos que a classe mediana é a ter-
ceira, pois:
Tabela 2: Frequência de alturas
i Alturas (cm) fi Fi 
1 150 |- 154 4 4
2 154 |- 158 9 13
3 158 |- 162 11 24
4 162 |- 166 8 32
5 166 |- 170 5 37
6 170 |- 174 3 40
 = 40
Para o cálculo da mediana, devemos supor que dentro da classe os valores estejam 
uniformemente distribuídos. Então, como há 11 elementos na classe mediana e o 
intervalo de classe é igual a 4, fazemos:
Logo, Md = 160,54 cm.
93
Matemática Empresarial
Generalizando:
1º) Determinamos as frequências acumuladas
2º) Calculamos 
3º) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente su-
perior a – classe mediana – e, em seguida, empregamos a fórmula:
Na qual:
l* é o limite inferior da classe mediana
F(ant) é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana
f* é a frequência simples da classe mediana
h* é a amplitude do intervalo da classe mediana.
Fonte: CRESPO, 1998, p. 98
Moda para dados agrupados (Mo)
No caso de dados agrupados, a moda está na classe de maior frequência, sendo, 
portanto, denominada classe modal.
No entanto, é possível calcular uma moda bruta, fazendo o ponto médio da classe 
modal.
94
Matemática Empresarial
Onde:
l* é o limite inferior da classe modal
L* é o limite superior da casse modal
Usando o exemplo das alturasde 40 pessoas, vemos que a classe modal é a terceira.
Tabela 3: Frequência de alturas
i Alturas (cm) fi Fi 
1 150 |- 154 4 4
2 154 |- 158 9 13
3 158 |- 162 11 24
4 162 |- 166 8 32
5 166 |- 170 5 37
6 170 |- 174 3 40
 = 40
Fazendo:
Logo, a moda é 160 cm.
Fonte: CRESPO, 1998, p. 85
95
Matemática Empresarial
Exercícios23 – Unidade 5
1. (FGV 2007) Quatro amigos calcularam a média e a mediana de suas alturas, tendo 
encontrado como resultado 1,72 m e 1,70 m, respectivamente. A média entre as al-
turas do mais alto e do mais baixo, em metros, é igual a:
a) 1,70.
b) 1,71.
c) 1,72.
d) 1,73.
e) 1,74.
2. (FGV 2008) Sejam os números 7, 8, 3, 5, 9 e 5 seis números de uma lista de nove 
números inteiros. O maior valor possível para a mediana dos nove números da lista é
a) 5. 
b) 6. 
c) 7. 
d) 8. 
e) 9.
3. As notas de um candidato em suas provas de um concurso foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 
8,7 e 7,2. A nota média, a nota mediana e a nota modal desse aluno são, respectiva-
mente:
a) 7,9; 7,8; 7,2
b) 7,2; 7,8; 7,9
c) 7,8; 7,8; 7,9
23 As atividades deste capítulo foram adaptadas do Banco de Questões Super Pro da Interbits. 
96
Matemática Empresarial
d) 7,2; 7,8; 7,9
e) 7,8; 7,9; 7,2
4. (FUVEST/G.V. 92) Em um determinado país a população feminina representa 51% 
da população total. Sabendo-se que a idade média (média aritmética das idades) da 
população feminina é de 38 anos e a da masculina é de 36 anos, qual a idade média 
da população?
a) 37,02 anos
b) 37,00 anos
c) 37,20 anos
d) 36,60 anos
e) 37,05 anos
5. (UFU 99) O Departamento de Comércio Exterior do Banco Central possui 30 fun-
cionários com a seguinte distribuição salarial em reais.
Quantos funcionários que recebem R$3.600,00 devem ser demitidos para que a me-
diana desta distribuição de salários seja de R$2.800,00?
a) 8
b) 11
c) 9
d) 10
e) 7
97
Matemática Empresarial
6. (PUCCAMP 2005) Nas principais concentrações urbanas do país, trabalhadores de 
baixa renda percorrem grandes distâncias a pé. Outros pedalam muitos quilôme-
tros para usar uma condução a menos, deixando a bicicleta em estacionamentos 
próprios.
A tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa sobre a faixa salarial dos fun-
cionários de uma empresa que usam bicicleta para ir ao trabalho.
O salário médio desses trabalhadores é
a) R$ 400,00
b) R$ 425,00
c) R$ 480,00
d) R$ 521,00
e) R$ 565,00
Amplitude
Variância e desvio padrão
Aplicando o conceito de variabilidade
6Medidas de variabilidade
Bem-vindo à sexta unidade!
101
Matemática Empresarial
6. Medidas de variabilidade
As medidas de tendência central – média aritmética, moda e mediana – são impor-
tantes para caracterizar um conjunto de valores, mas não o bastante, pois não con-
seguem expressar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre 
os valores que compõem um conjunto. Então, neste capítulo, para ver o quanto um 
conjunto de valores é homogêneo ou heterogêneo, estudaremos as medidas de va-
riabilidade: amplitude (A), a variância (s2) e o desvio padrão (s).
24 CRESPO, 1998, p. 109-111.
6.1 Amplitude24
A amplitude é medida de variabilidade que nos diz em quanto os valores variaram, 
logo, é dada pela diferença entre o maior e o menor dos valores.
Com dados não agrupados, fazemos:
A = xmáx – xmín
Em que:
xmáx é o maior valor observado e xmín é o menor valor observado.
102
Matemática Empresarial
Exemplo: Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos a ampli-
tude é dada por:
A = xmáx – xmín
A = 24 – 20
A = 4
Com dados agrupados, fazemos a diferença entre o limite superior da última classe 
e o limite inferior da primeira classe.
A = Lmáx – Lmín
Em que:
Lmáx é o limite máximo e Lmín é o limite mínimo.
Exemplo: Considere a tabela abaixo com dados das alturas de 40 pessoas.
Tabela 1: Frequência de alturas
i Alturas (cm) fi xi fi xi
1 150 |- 154 4 152 608
2 154 |- 158 9 156 1404
3 158 |- 162 11 160 1760
4 162 |- 166 8 164 1312
5 166 |- 170 5 168 840
6 170 |- 174 3 172 516
 = 40 = 6440
Fonte: CRESPO,1998, p. 85.
103
Matemática Empresarial
A amplitude é calculada por:
A = Lmáx - Lmín
A = 174 - 150
A = 24
A amplitude nos dá uma noção da variabilidade, mas é pouco precisa, na medida 
em que só considera dois valores extremos, desconsiderando a variabilidade entre 
os valores intermediários. Em situações como determinar a variação da temperatura 
em um dia, calcular a amplitude pode ser suficiente, mas, em outras situações, é 
melhor utilizar outras medidas de variabilidade, como a variância e o desvio padrão.
6.2 Variância e Desvio Padrão25
25 CRESPO, 1998, p. 111-113.
A variância ( ) é uma medida de variabilidade que considera os valores de um con-
junto em sua totalidade e, por isso, é mais geralmente empregada que a amplitude 
que só considera os extremos.
A variância utiliza os desvios em torno da média aritmética, calculando a média dos 
quadrados dos desvios, ou seja:
104
Matemática Empresarial
Em que:
xi são os valores da variável
x é a média aritmética
n é o número de elementos do conjunto
 é o somatório
Quando temos uma população, utilizamos a fórmula acima, mas quando temos ape-
nas uma amostra (isto é, parte da população), devemos multiplicar o resultado da 
variância por . Então, para o cálculo da variância:
De uma população, usamos
De uma amostra, usamos
Porém, esta não é uma medida de variabilidade muito utilizada, pois não expressa o 
resultado na mesma unidade dos valores observados (conjunto de dados). Em geral, 
a medida usada é o desvio padrão ( ) que significa o quanto, em média, os valores 
estão afastados do valor médio e, como se pode perceber, o desvio padrão ( ), por 
não ter o termo ao quadrado ( ), é dado pela raiz quadrada da variância, ou seja:
105
Matemática Empresarial
O desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores observados (conjunto 
de dados).
O cálculo da variância para dados agrupados é feito pela fórmula:
O desvio padrão é calculado da mesma forma, ou seja, é a raiz quadrada da variância.
Exemplo com dados não agrupados: Considerando um grupo de pessoas com 22, 
20, 21, 24 e 20 anos.
Precisamos da média aritmética:
Fazemos uma tabela.
(para a população)
(para a amostra)
106
Matemática Empresarial
Tabela 2: Frequência de idade
xi xi – x (xi – x )2
20 20 – 21,4 = – 1,4 (– 1,4)2 = 1,96
20 20 – 21,4 = – 1,4 (– 1,4)2 = 1,96
21 21 – 21,4 = – 0,4 (– 0,4)2 = 0,16
22 22 – 21,4 = 0,6 0,62 = 0,36
24 24 – 21,4 = 2,6 2,62 = 6,76
 = 107 = 11,2
Calculando a variância:
Calculando o desvio padrão:
Exemplo com dados agrupados: Considere a tabela abaixo com dados das alturas 
de 40 pessoas.
Tabela 3: Frequência de alturas
i Alturas (cm) fi xi fi xi
1 150 |- 154 4 152 608
2 154 |- 158 9 156 1404
3 158 |- 162 11 160 1760
4 162 |- 166 8 164 1312
5 166 |- 170 5 168 840
6 170 |- 174 3 172 516
 = 40 = 6440
Fonte: CRESPO,1998, p. 85.
107
Matemática Empresarial
Calculamos a média aritmética:
Calculamos a variância de uma população, para isso, vamos fazer uma tabela que 
nos auxiliará nos somatórios:
Tabela 4: Frequência de alturas
i Alturas (cm) fi xi fi xi fi (xi)2
1 150 |- 154 4 152 608 92416
2 154 |- 158 9 156 1404 219024
3 158 |- 162 11 160 1760 281600
4 162 |- 166 8 164 1312 215168
5 166 |- 170 5 168 840 141120
6 170 |- 174 3 172 516 88752
 = 40 = 6440 =1038080
Calculando a variância para dados agrupados:
Fonte: CRESPO,1998, p. 85.
108
Matemática Empresarial
Calculando o desvio padrão:
Observações:
– Quando todos os valores de um conjunto de dados são iguais, a variância e o des-
vio padrão são iguais a zero.
– Quanto mais próximo de zero o desvio padrão, mais homogênea é a distribuição 
de valores no conjunto de dados.
6.3 Aplicando o conceito de variabilidade
Vamos utilizar o conceito de variabilidade em uma situação concreta para perceber 
a vantagem do usoda variância e do desvio padrão.
Suponha que você seja responsável pelo departamento de recursos humanos e há 
uma vaga de gerente de produção. Após realizar testes com diferentes candidatos, 
você separou os dois melhores candidatos cujos desempenhos estão na tabela a 
seguir:
109
Matemática Empresarial
Tabela 5: Desempenho dos candidatos Ana e Felipe
Ana Felipe
Conhecimento de 
informática
8,5 9,5
Língua Portuguesa 9,5 9,0
Língua Inglesa 8,0 8,5
Matemática 7,0 8,0
Conhecimentos de 
economia
7,0 5,0
Média = 8,0 Média = 8,0
Como podemos notar, a média aritmética dos candidatos é a mesma, portanto, não 
há como diferenciá-los.
Então, vamos calcular a variância e o desvio padrão de Ana e de Felipe, de modo a 
ver qual deles tem um desempenho mais homogêneo, ou seja, que suas notas sejam 
menos dispersas da média.
Tabela 6: Desempenho de Ana
Ana xi – x (xi – x)2
8,5 8,5 – 8 = 0,5 0,52 = 0,25
9,5 9,5 – 8 = 1,5 1,52 = 2,25
8,0 8,0 – 8 = 0 02 = 0
7,0 7,0 – 8 = –1 (–1)2 = 1
7,0 7,0 – 8 = –1 (–1)2 = 1
 = 4,5
Variância:
Assunto
Candidato
110
Matemática Empresarial
Desvio padrão:
Tabela 7: Desempenho de Felipe
Felipe xi – x (xi – x)2
9,5 9,5 – 8 = 1,5 1,52 = 2,25
9,0 9,0 – 8 = 1 12 = 1
8,5 8,5 – 8 = 0,5 0,52 = 0,25
8,0 8,0 – 8 = 0 02 = 0
5,0 5,0 – 8 = – 3 (–3)2 = 9
 = 12,5
Variância:
Desvio padrão:
Comparando, vemos que a variância do desempenho de Ana é menor do que a va-
riância do desempenho de Felipe (0,9 < 2,5). Comparando o desvio padrão deles 
temos 0,95 < 1,58, isso quer dizer que Ana teve um desempenho mais regular do 
que Felipe.
111
Matemática Empresarial
Exercícios26 – Unidade 6
1. Podemos dizer que a média, associada ao desvio padrão, é uma boa medida de 
variabilidade quando:
a) todos os valores da população ou da amostra estão em seu entorno, o que implica 
em um grande desvio padrão.
b) todos os valores da população ou da amostra estão em seu entorno, o que implica 
em um pequeno desvio padrão.
c) os valores da população ou da amostra estão bastante dispersos e implicam em 
um grande desvio padrão.
d) os valores da população ou da amostra estão bastante dispersos e implicam em 
um pequeno desvio padrão.
2. Um pequeno desvio padrão significa que:
a) todos os valores da amostra ou da população estão bem afastados da média.
b) alguns dos valores da amostra ou da população estão bem próximos da média, 
mas a maioria deles bastante afastada dela.
c) a grande maioria dos valores da população ou da amostra está bem próxima da 
média.
d) a variância é um valor bem grande.
3. Um conjunto de dados numéricos tem variância igual a zero. Podemos concluir 
que:
a) a média também vale zero.
b) a mediana também vale zero.
26 As atividades deste capítulo foram adaptadas do Banco de Questões Super Pro da Interbits e de Dante, 
2008 
112
Matemática Empresarial
c) a moda também vale zero.
d) o desvio padrão também vale zero.
e) todos os valores desse conjunto são iguais à zero.
4. A tabela adiante apresenta o levantamento das quantidades de peças defeituosas 
para cada lote de 100 unidades fabricadas em uma linha de produção de autopeças, 
durante um período de 30 dias úteis.
Considerando S a série numérica de distribuição de frequências de peças defeituo-
sas por lote de 100 unidades, julgue os itens abaixo, atribuindo-lhes a letra V, quando 
verdadeiras, e a letra F, quando falsas.
(1) A moda da série S é 5.
(2) Durante o período de levantamento desses dados, o percentual de peças defeitu-
osas ficou, em média, abaixo de 3,7%.
(3) Os dados obtidos nos 10 primeiros dias do levantamento geram uma série numé-
rica de distribuição de frequências com a mesma mediana da série S.
a) V V V
b) F F F
c) V F V
113
Matemática Empresarial
d) F V F
e) F V V
5. Às vésperas de um jogo decisivo, o técnico de uma equipe de basquetebol deve 
optar pela escalação de um dentre dois jogadores A e B. As duas tabelas seguintes 
mostram o desempenho de cada jogador nos últimos cinco jogos dos quais parti-
cipou:
Para tomar sua decisão o técnico calculou o desvio padrão de cada um dos jogado-
res nesses cinco jogos. Ele obteve como desvio padrão do jogador A e como desvio 
padrão do jogador B, respectivamente:
a) 1,26 e 6,57
b) 6,57 e 1,26
c) 0,63 e 3,28
d) 3,28 e 0,63
e) 0,54 e 2,28
6. A tabela abaixo mostra o peso (em quilogramas) de um grupo de 20 pessoas.
114
Matemática Empresarial
A média, a mediana e a moda são, respectivamente,
a) 51,4 kg; 50 kg e 50 kg
b) 50 kg; 51,4 kg e 50 kg
c) 50 kg; 50 kg e 51,4 kg
d) 51,4 kg; 51,4 kg e 50 kg
e) 50 kg; 51,4 kg e 51,4 kg
Juros Simples
Taxas de Juros
Juros Compostos
Exercícios Resolvidos
7 Juros
Bem-vindo à sétima unidade!
117
Matemática Empresarial
7. Juros
O conceito de juros é fundamental em Matemática Financeira. Este capítulo vai abor-
dar juros simples e também juros compostos.
Em primeiro lugar, é preciso ficar claro o que é juro. Nas palavras de Garrity (2000)27:
Sempre que se pega dinheiro emprestado, é cobrada uma taxa pelo uso destes fundos. Da mesma 
forma, quando você investe ou deposita dinheiro em uma caderneta de poupança, você é pago 
pelo uso de seus recursos. O juro (J) refere-se à quantidade de dinheiro que se ganha ou se cobra 
pelo uso do dinheiro. Às vezes, você ganha, como quando deposita em uma caderneta de poupan-
ça, às vezes você paga, quando financia um carro ou faz uma hipoteca. O valor dos juros é determi-
nado pela taxa que o banco emprega para calculá-los. E com a matemática, seremos capazes de 
determinar o valor dos juros.
São dois os fatores que influenciam o cálculo dos juros: tempo e taxa.
Quanto mais tempo, mais juros serão gerados.
Quanto maior a taxa, maiores os juros.
Tempo e taxa implicam nos juros e consequentemente no valor futuro (montante).
27 GARRITY, 2000, p. 5.
118
Matemática Empresarial
28 Vamos utilizar preferencialmente as mesmas siglas utilizadas na calculadora HP-12C.
29 PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 83.
7.1 Juros simples
No regime de juros simples, não há capitalização dos juros no final de cada período, 
só no final do prazo. Isso quer dizer que os juros simples são calculados unicamente 
sobre o valor presente (PV)28, também denominado valor inicial, capital ou principal. 
O valor futuro (FV) também é denominado valor final ou montante.
A taxa de juros refere-se sempre a um dado período financeiro: ao dia (a.d.), ao mês 
(a.m.), ao bimestre (a.b.), ao semestre (a.s.), ao ano (a.a.), etc. e pode ser apresentada 
de duas formas: 
– Percentual, por exemplo, 14% a.m.
– Unitária, por exemplo, 0,14 a.m.
O número de períodos é o tempo que decorre desde o início até o final da operação 
financeira. É o prazo durante o qual os juros estão sendo acumulados.
Existem duas convenções29 para contagem dos períodos de tempo:
– Prazo exato: é aquele que leva em conta o ano civil de 365 dias e 366 dias (anos 
bissextos).
– Prazo comercial (ou bancário): é aproximado considerando o mês com 30 dias e 
o ano com 360 dias.
Observação: O prazo comercial (ou bancário) é o mais frequentemente usado, por 
119
Matemática Empresarial
isso, neste livro, será utilizado o prazo comercial (ou bancário) quando não estiver 
especificado o uso do prazo exato.
Exemplo: Vamos analisar os juros um capital de $ 10.000,00, aplicados por cinco 
meses, à taxa de 5% a.m.
Tabela 1: Juros Simples
Meses (n) Capital (PV) Juros (J) Montante (FV)
1 10.000,00 500,00 10.500,00
2 10.000,00 500,00 11.000,00
3 10.000,00 500,00 11.500,00
4 10.000,00 500,00 12.000,00
5 10.000,00 500,00 12.500,00
Fórmula para cálculo do Montante no regime de Juros Simples
FV = PV + PV. i . n
FV = PV (1 + i . n)
FV: valor futuro, valor final, montante.
PV: valor presente, valor inicial, capital, principal.
i: taxa de juros.
n: número de períodos.
No exemplo:
FV = 10000 (1 + 0,05 . 5)
FV = 12500,00
120
Matemática Empresarial
Usando a calculadora científica
Digitar:10000 × (1 + 0.05 × 5 ) =
Usando acalculadora HP-12C
f(2) Define o número de casas decimais no visor
f REG Limpa memória
5 Enter 0.05 x Multiplica 5 por 0,05
1 + Adiciona 1
10000 x Multiplica por 10000 
Usando o Excel
O montante é uma P.A. (Progressão Aritmética) de razão (PV. i).
No exemplo: (10500, 11000, 11500, 12000, 12500).
121
Matemática Empresarial
7.2 Taxas de Juros30
Devemos sempre ter o cuidado de utilizar a taxa de juros e o período em uma mes-
ma unidade de tempo. Tratando-se de juros simples, basta multiplicarmos ou dividir-
mos diretamente valores que obteremos esta relação, veja dois exemplos:
Taxa de 15% a.m. é o mesmo que:
Se o período estiver em dias: 15 ÷ 30 = 0,5 % a.d.
Se o período estiver em anos: 15 x 12 = 180% a.a.
3 meses é o mesmo que: 
Se a taxa estiver em dias: 3 x 30 = 90 dias
Se a taxa estiver em anos: 3 ÷ 12 = 0,25 anos
Desta forma, quando temos juros com taxas mensais, nosso período tem de ser em 
meses, se a taxa for diária, o período tem de ser em dias, e assim por diante.
30 ARAÚJO, 2006, p. 88.
122
Matemática Empresarial
7.3 Juros compostos
No regime de juros compostos há capitalização dos juros no final de cada período. 
Isso quer dizer que os juros simples são calculados, em cada período, sobre o mon-
tante do período anterior.
Exemplo: Vamos analisar os juros um capital de $ 10.000,00, aplicados por cinco me-
ses, à taxa de 5% a.m.
Tabela 2: Juros Compostos
Meses (n) Capital (PV) Juros (J) Montante (FV)
1 10.000,00 500,00 10.500,00
2 10.500,00 525,00 11.025,00
3 11.025,00 551,25 11.576,25
4 11.576,25 578,81 12.155,06
5 12.155,06 607,75 12.762,82
Fórmula para cálculo do Montante no regime de Juros Compostos
FV = PV . (1 + i)n
FV: valor futuro, valor final, montante.
PV: valor presente, valor inicial, capital, principal.
i: taxa de juros.
n: número de períodos.
123
Matemática Empresarial
No exemplo:
FV = 10000 (1 + 0,05)5
FV = 12762,82
Usando a calculadora científica
Digitar: 10000 × (1 + 0.05) ^ 5 =
Obs.: A tecla de potência pode ser ^ ou ainda xy dependendo do modelo da calcu-
ladora.
Usando a calculadora HP-12C
f (2) Define o número de casas decimais no visor
f REG Limpa memória
STO EEx Convenção exponencial
10000 CHS PV Memoriza 10000 como valor presente
5 n Memoriza o prazo de 5 meses
5 i Memoriza a taxa mensal de 5%
FV Calcula valor futuro 
Obs.: Para usar a convenção exponencial temos que ter no visor a letra “C”. Para isso, 
teclamos STO EEX. Ao teclar novamente, apagamos a letra “C”, desabilitando a con-
venção exponencial.
124
Matemática Empresarial
Outra forma de usar a calculadora financeira é fazendo o cálculo algébrico e usando 
a tecla que calcula potência:
No exemplo: 1 Enter 0,05 + 5 10000x
Usando o Excel
O montante é uma P.G. (progressão geométrica) de razão (1+ i).
No exemplo: (10500; 11025; 11576,25; 12155,06; 12762,82).
Comparando graficamente Juros Simples e Juros Compostos
125
Matemática Empresarial
A função que descreve o montante no regime de juros simples é uma função poli-
nomial do primeiro grau, enquanto a função que descreve o montante no regime de 
juros compostos é uma função exponencial.
Quando o período varia entre 0 e 1, o montante a juros simples é maior que o mon-
tante a juros compostos.
Quando o período é igual a 1, os montantes são iguais (veja que os gráficos se cru-
zam).
Quando o período é maior que 1, o montante a juros simples é menor que o mon-
tante a juros compostos.
Logo, juros compostos crescem mais rapidamente que juros simples.
7.4 Exercícios resolvidos
a. Calcular os juros simples produzidos por um capital de $ 3.000,00 aplicado duran-
te 1 ano a uma taxa de 1,8% a.m. de juros simples. 
PV = 3000
n = 1 ano = 12 meses
i = 1,8% a.m. = 0,018 a.m. J = PV . i . n
J = 3000 . 0,018 . 12
J = 648
126
Matemática Empresarial
b. Um capital de $ 500,00 produziu em 1 semestre um montante de $ 590,00. Qual 
a taxa de juros simples mensal aplicada?
c. O preço à vista de um produto é R$ 480,00. O mesmo pode ser pago com uma 
entrada de 25% mais um cheque pré-datado de R$ 381,60. Determine o prazo do 
cheque, sabendo que a taxa mensal de juros simples é de 4% a.m.
127
Matemática Empresarial
d. Determine em que prazo um empréstimo de $ 11.000,00 pode ser quitado em 
um único pagamento de $ 22.125,00 sabendo que a taxa é de 15% a.s., capitalizado 
semestralmente, em regime de capitalização composta.
Usando logaritmos:
Quando a variável aparece no expoente, precisamos utilizar logaritmos. Optamos 
aqui por utilizar logaritmo neperiano (ou logaritmo natural, representado por ln), 
pois é a função que temos disponível na calculadora HP-12C. No entanto, com uma 
calculadora científica ou com o Excel, também é possível utilizar logaritmo de base 
10.
No exemplo acima, usamos a “propriedade do tombo”:
128
Matemática Empresarial
O N que é expoente do logaritmando “cai” multiplicando o ln M.
No exemplo:
Para calcular usando a HP-12C, digitamos:
f REG Zera as memórias
f (2) Duas casas decimais
22125 Enter 11000 ÷ Divide 22125 por 11000
g LN Calcula o logaritmo natural de 2,01
1,15 g LN Calcula o logaritmo natural de 1,15
÷ Calcula a divisão entre os logarítmos
No Excel, pode ser assim calculado:
129
Matemática Empresarial
e. O valor de $ 550.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 12% a.m. com 
capitalização mensal durante 5 meses. Qual o valor acumulado no final da operação?
f. Ao aplicar $ 654.000,00 durante 7 meses resgatou-se o montante de $ 2.145.883,80. 
Qual a taxa mensal de juros da operação a juros compostos?
130
Matemática Empresarial
Usando raízes de índice maior que 2:
No exemplo acima, precisamos em 3,28116789 = (1+i)7 tirar o expoente 7. Para isso, 
extraímos a raiz sétima dos dois membros da equação:
Então, como calcular raiz sétima?
Na calculadora científica, costuma aparecer a tecla neste caso, digitamos: 
7 3.28116789 =
Na calculadora HP-12C só é possível calcular raiz quadrada, então uma opção é 
transformar uma raiz em uma potência de expoente fracionário. Vale a propriedade:
O expoente a “está por dentro”, quem “está por dentro fica por cima”. O índice b “está 
por fora”, quem “está por fora está por baixo”.
Daí, podemos calcular fazendo
Na calculadora HP-12C, digitamos:
3.28116789 Enter 1 Enter 7 ÷ yx
No visor, 1,185000000
No Excel para fazer 
131
Matemática Empresarial
g. Qual o juro pago no empréstimo de $ 1.000,00 à taxa de juro composto de 2% a.m. 
capitalizado mensalmente e pelo prazo de 10 meses?
133
Matemática Empresarial
Exercícios31 – Unidade 7
31 As atividades deste capítulo foram adaptadas de diversos livros citados nas referências.
1. Determine os juros simples de um capital de $ 800,00 aplicado a uma taxa de 12% 
a.a., durante sete meses.
a) $ 56,00
b) $ 58,00
c) $ 60,00
d) $ 63,00
e) $ 65,00
2. O capital de $ 200,00 foi investido a juros simples, à taxa de 7,5% a.m., após certo 
prazo a taxa foi majorada para 10% a.m. O montante 4 meses após a majoração foi 
de $ 370,00. Qual o prazo total da aplicação?
a) 2 meses
b) 4 meses
c) 6 meses
d) 8 meses
e) 10 meses
3. O capital de $ 400,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 4% a.m. Após 1 semes-
tre a taxa foi majorada, ficando durante três meses com este valor. Se o montante no 
final de 9 meses foi $ 568,00, qual a taxa no segundo período?
a) 4% a.m.
b) 5% a.m.
134
Matemática Empresarial
c) 6% a.m.
d) 7% a.m.
e) 8% a.m.
4. Calcule o montante produzido por um capital de $ 20.000,00 aplicado em regime 
de juro composto a uma taxa de 5% a.m. capitalizado mensalmente, durante 2 me-
ses.
a) $ 20.050,00
b) $ 21.500,00
c) $ 22.050,00
d) $ 23.500,00
e) $ 24.050,00
5. Calcule o capital que produziu um montante de $ 3.200,00, aplicado em regime de 
juro composto a 2% a.m., capitalizado mensalmente, durante 4meses.
a) $ 2.870,29
b) $ 2.956,31
c) $ 3.950,45
d) $ 3.157,09
e) $ 3.450,11
6. Uma loja financia um bem no valor de $ 320.000,00, sem entrada, para pagamento 
em uma única prestação de $ 404.000,00 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal 
cobrada, a juros compostos, pela loja se a capitalização é mensal?
a) 0,18% a.m.
b) 1,49% a.m.
c) 2,66% a.m.
135
Matemática Empresarial
d) 3,96% a.m.
e) 4,12% a.m.
7. Ao aplicar $ 654.000,00 durante sete meses resgatou-se o montante de $ 
2.145.883,80. Qual a taxa mensal de juros compostos da operação?
a) 18,5% a.m.
b) 18,9% a.m.
c) 19,3% a.m.
d) 19,9% a.m.
e) 20,7% a.m.
Desconto simples comercial
Desconto simples racional
Taxa de desconto e taxa de juros
Desconto composto racional
8Desconto
Bem-vindo à oitava unidade!
139
Matemática Empresarial
8. Desconto
Desconto é o abatimento sobre o valor de um título ao qual alguém faz jus por trocá-
lo em data anterior ao seu vencimento. Vamos, neste capítulo, conhecer o desconto 
simples comercial, o desconto simples racional e o desconto composto racional.
No desconto de um título são elementos importantes:
– Valor nominal (valor futuro do título, valor de face ou valor de resgate) é o valor do 
título na data do seu vencimento.
– Valor atual (valor presente do título) é o valor do título na data (antecipada) em que 
ele é resgatado.
Veja o esquema abaixo:
D = valor nominal – valor atual
D = VN – VA
140
Matemática Empresarial
32 KRUSE, 2005, p.91.
Segundo Kruse32:
São inúmeras as situações onde contraímos dívidas a serem pagas no futuro. Para que os credores 
possam provar que são os beneficiados, emite-se um título com vencimento determinado, onde 
constam também o nome do devedor, do credor e o valor a ser pago. Os títulos mais conhecidos 
são: nota promissória (NP) (muito usada entre pessoas físicas ou entre pessoa física e uma insti-
tuição financeira), duplicata (emitida por uma pessoa jurídica), e a letra de câmbio (LC) (que já era 
muito usada antigamente).
Os descontos simples podem ser de dois tipos: comercial (bancário ou “por fora”) ou 
racional (matemático ou “por dentro”).
No Brasil, usa-se predominantemente o desconto simples comercial quando as ope-
rações são de curto prazo. O desconto simples racional é muito pouco usado.
O desconto composto racional costuma ser utilizado em operações de longo prazo.
8.1 Desconto simples comercial
O desconto comercial (bancário ou “por fora”) equivale ao juro simples produzido 
pelo valor nominal (valor de face) do título no período de tempo correspondente e 
à taxa de desconto (id) fixada.
Dc = VN . id . n
141
Matemática Empresarial
Como o desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, substituindo na 
fórmula anterior temos:
VN – VA + VN id N
VN – VN . id .n = VA
VN (1 – id.n) = VA
ou
Exemplo: Qual o valor líquido de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$ 
120,75, à taxa de desconto de 6% a.a., quatro meses antes do vencimento?
VA = 118,335, arredondando, VA = 118, 34.
O valor líquido (atual) será de R$ 118,34.
142
Matemática Empresarial
8.2 Desconto simples racional
O desconto racional (matemático ou “por dentro”) equivale aos juros simples produ-
zidos pelo valor atual (presente) do título numa taxa (i) fixada e durante o tempo (n) 
correspondente.
Dr = VA . i . n
Como o desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, substituindo na 
fórmula acima temos:
VN – VA = VA . i . n
VN = VA - VA . i . n
VN = VA . (1 + i . n)
Exemplo: Determine o desconto de um título de valor nominal equivalente a R$ 
135,00, pago 2 meses antes do vencimento, à taxa de juros de 1% a.m.
VN = VA . (1 + i . n)
135 = VA . (1 + 0,01 . 2)
135 = VA . 1,02
VA = = 132,3529412, arredondando, VA = 132,35.
D = VN – VA
D = 135,00 – 132,35
D = 2,65
O desconto será R$ 2,65.
143
Matemática Empresarial
8.3 Taxa de desconto e taxa de juros33
A taxa de desconto e a taxa de juros não são iguais. É fácil perceber isso, na medida 
em que a taxa de desconto (id) incide sobre o valor nominal e a taxa de juros (i) 
incide sobre o valor atual, sendo o valor nominal maior que o valor atual, a taxa de 
desconto (id) será menor que a taxa de juros (i).
As taxas de desconto e as taxas de juros se relacionam diretamente:
Exemplo: Em uma nota promissória de valor nominal R$ 452,40, foi abatida a taxa 
de desconto de 21% a.m., faltando 18 dias para seu vencimento. Calcule o valor do 
desconto e a taxa de juros, respectivamente.
33 KRUSE, 2005, p.96-97.
144
Matemática Empresarial
VA = 452,40.0,874
VA = 395,3976, arredondando, VA = 395,40.
D = VN - VA
D = 452,4 - 395,40 = 57,00
O desconto é de R$ 57,00.
Taxa de juros 24% a.m.
Em resumo:
No desconto simples comercial devemos utilizar taxa de desconto (id).
No desconto simples racional devemos utilizar taxa de juros (i).
id < i (taxa de desconto é sempre menor que taxa de juros, pois incide sobre um 
capital maior)
145
Matemática Empresarial
8.4 Desconto composto racional34
34 CRESPO, 1998, p. 127.
Vamos estudar apenas o desconto composto racional, pois o desconto composto 
comercial não é utilizado.
No regime de juro composto, o desconto é calculado por:
VA (1 + i)n = VN
O termo (1 + i)n é o fator de descapitalização. 
Exemplo: Calcule o valor atual de um título de valor nominal de $ 1.120,00, com 
vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 18% ao semestre, capitalizados semes-
tralmente. (Desconto composto racional)
VN = 1120
i = 18% a.s. = 0,18 a.s.
n = 2 anos e 6 meses = (4 + 1) semestres = 5 semestres
146
Matemática Empresarial
Usando a calculadora científica
Para calcular uma potência com expoente negativo, basta atribuir o sinal ao expo-
ente.
No exemplo acima, digitamos: 1.18 ^ 5 – × 1120
Resultado: 489,56
Atenção: O – “negativo” não é a tecla de “menos” que faz a operação de subtração, 
mas sim a tecla que muda o sinal do número que está no visor. Dependendo do mo-
delo da calculadora científica essa tecla pode ter diferentes apresentações.
Usando a HP-12C
Para calcular uma potência com expoente negativo, basta atribuir o sinal ao expoen-
te, utilizando a tecla CHS.
No exemplo acima: 1.18 Enter 5 CHS yx 1120 ×
Resultado: 489,56
Usando o Excel:
147
Matemática Empresarial
Exercícios35 – Unidade 8
35 As atividades deste capítulo foram adaptadas de CESAR, 2000 e PARENTE e CARIBÉ, 1996.
1. Qual o valor atual de uma nota promissória de R$ 7.500,00, quatro meses antes de 
seu vencimento, quatro meses antes de seu vencimento, à taxa de 60% a.a.? (Consi-
dere o desconto racional simples.)
a) R$ 5.250,00
b) R$ 5.500,00
c) R$ 6.250,00
d) R$ 6.450,00
e) R$ 6.700,00
2. Por uma duplicata de R$ 20.000,00, um banco pagou o líquido de R$ 19.250,00. 
Quantos dias ainda faltavam para o vencimento do título, se a operação deu-se à 
taxa comercial de 30% a.a.?
a) 15 dias
b) 30 dias
c) 35 dias
d) 45 dias
e) 60 dias
3. (Petrobrás) Resgatei um título em um banco que me pagou o líquido de Cr$ 
20.350,00. O resgate deu-se a 10 dias do vencimento, à taxa de 24% a.m., pelo crité-
rio do desconto racional. O valor nominal desse título é:
a) Cr$ 22.780,00
b) Cr$ 22.030,00
148
Matemática Empresarial
c) Cr$ 21.978,00
d) Cr$ 21.359,00
4. (Banco do Brasil) Descontei duas notas promissórias de valores diferentes, cuja 
soma é de Cr$ 400.000,00, usando a taxa de 7% a.m., de desconto comercial simples. 
Uma era vencível em 36 dias e a outra, vencível em 48 dias. O total dos descontos foi 
de Cr$ 36.400,00. O maior valor nominal dentre os referidos títulos é:
a) Cr$ 250.000,00
b) Cr$ 300.000,00
c) Cr$ 320.000,00
d) Cr$ 350.000,00
5. (TTN) O valor atual racional de um título, cujo valor de vencimento é de $ 
256.000,00, daqui a sete meses, sendo a taxa de juros simples, utilizada para o cálcu-
lo, de 4% ao mês é:
a) $ 200.000,00
b) $ 220.000,00
c) $ 180.000,00
d) $ 190.000,00
6. (AFTN) Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00de valor nominal, ven-
cível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um 
desconto racional composto e desprezando os centavos.
a) R$ 9.140,00
b) R$ 9.126,00
c) R$ 9.151,00
d) R$ 9.100,00
e) R$ 9.174,00
149
Matemática Empresarial
7. Um título no valor de $ 20.000,00 foi saldado três meses antes do vencimento. 
A taxa de desconto comercial composto aplicada foi de 10% ao mês. Qual o valor 
recebido?
a) R$ 12.640,00
b) R$ 13.160,00
c) R$ 13.570,00
d) R$ 14.290,00
e) R$ 14.580,00
Transformação de uma taxa nominal em uma taxa efetiva
Transformação de taxas efetivas
Equivalência de Capitais
9Estudo das taxas e equivalência de capitais
Bem-vindo à nona unidade!
153
Matemática Empresarial
9. Estudo das taxas e equivalência de capitais
Neste capítulo, serão abordadas as taxas efetivas e as taxas nominais36.
– Chamamos de taxas efetivas de juros aquelas em que o período de capitalização 
da taxa coincide com o período de referência da taxa. 
Exemplo: 10% a.m./c.m. (Lê-se dez por cento ao mês com capitalização mensal).
Veja que o período de capitalização (mês) é igual ao período de referência (mês).
OBSERVAÇÃO: Quando se tem uma taxa efetiva se pode omitir o período de capita-
lização. Então, 10% a.m. é o mesmo que 10% a.m./c.m.
– As chamadas taxas nominais de juros são aquelas cujo período de capitalização 
não coincide com o período de referência da taxa.
Exemplo: 10% a.m./c.b. (Lê-se 10 por cento ao mês com capitalização bimestral. 
Como você pode perceber, o período de capitalização é bimensal e o período de 
referência é mensal).
36 KRUSE, 2005, p.76-77.
154
Matemática Empresarial
9.1 Transformação de uma taxa 
nominal em uma taxa efetiva 
É bastante comum no mercado financeiro o uso de taxa nominal (geralmente ao 
ano), por isso devemos saber transformar uma taxa nominal em uma taxa efetiva. 
Para calcular uma taxa proporcional equivalente à taxa nominal, basta multiplicar 
ou dividir.
Exemplos:
a) 12% a.a./c.m (taxa nominal)
Para transformar em taxa efetiva, devemos mudar a.a. para a.m. Então, como um ano 
tem 12 meses, dividimos por 12.
12% ÷ 12 = 1% a.m./c.m. (taxa efetiva)
b) 1,4% a.m./c.a. (taxa nominal)
Para transformar em taxa efetiva, devemos mudar a.m. para a.a. Então, como 12 me-
ses equivalem a um ano, multiplicamos por 12.
1,4% .12 = 16,8% a.a./c.a. (taxa efetiva)
c) 15% a.a./c.s. (taxa nominal)
Para transformar em taxa efetiva, devemos mudar a.a. para a.s. Então, como um ano 
tem 2 semestres, dividimos por 2.
15% ÷ 2 = 7,5% a.s./c.s. (taxa efetiva)
155
Matemática Empresarial
d) 0,6% a.d./c.m. (taxa nominal)
Para transformar em taxa efetiva, devemos mudar a.d. para a.m. Então, como 30 dias 
equivalem a um mês, multiplicamos por 30.
0,6% . 30 = 18% a.m./c.m. (taxa efetiva)
Generalizando:
Para calcular a taxa efetiva (iE), basta dividir a taxa nominal (iN) pelo número de capi-
talizações no período ao qual se refere a taxa nominal (k), isto é:
Um exemplo clássico nos livros de Matemática Financeira é a taxa de juros da Cader-
neta de Poupança. Essa taxa é calculada pela variação da TR e por uma taxa de juros 
de 6% a.a. A taxa de 6% a.a. é nominal, pois a Poupança tem capitalização mensal, 
logo, é 6% a.a./c.m. Transformando em taxa efetiva temos:
156
Matemática Empresarial
9.2 Transformação de taxas efetivas37
Duas ou mais taxas de juros são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, 
por tempos iguais, produzem montantes iguais.
Para transformarmos taxas efetivas não basta dividirmos pelo número de capitali-
zações, já que temos uma capitalização composta. A partir da expressão dos juros 
compostos, facilmente obtemos a seguinte relação para estas taxas:
Onde:
ia = taxa desejada ib = taxa dada
a = prazo da taxa desejada (ia) b = prazo da taxa dada (ib)
Vamos ver as relações entre taxas anuais e taxas mensais.
Se for dada a taxa mensal e se deseja a taxa anual:
ianual = (1 + imensal) - 1, pois um ano é composto de 12 meses.
Se for dada a taxa anual e se deseja a taxa mensal:
imensal= (1 + ianual) - 1, pois um ano é composto de 12 meses.
Como você pode perceber, a razão a/b serve, apenas, para indicar quantas vezes o 
tempo da taxa que queremos é maior (ou menor) que o tempo da taxa que temos.
37 PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 155
157
Matemática Empresarial
As relações entre as taxas equivalentes podem ser assim resumidas38:
(1 + id)360 = (1 + im)12 = (1 + it)4 = (1 + is)2 = (1 + ia)1
Onde:
id é a taxa diária de juro composto
im é a taxa mensal de juro composto
it é a taxa trimestral de juro composto
is é a taxa semestral de juro composto
ia é a taxa anual de juro composto
Usando a calculadora científica
Por exemplo: vamos transformar imensal = 12% em taxa anual.
Na calculadora digitamos: 1.12 ^ 12 – 1.
Resultado: 2,895975993 arredondando 289,60% a.a.
Não é preciso utilizar parênteses, pois a calculadora científica realiza a operação de 
potenciação antes da subtração.
Por exemplo: vamos fazer o contrário, transformar ianual = 12% em taxa mensal.
38 PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 156
158
Matemática Empresarial
Na calculadora digitamos: 1.12 ^ ( 1 / 12 ) – 1.
Resultado: 0,009488793 arredondando 0,95% a.m.
Para calcular uma potência de expoente fracionário, fazemos o uso de parênteses, 
pois é preciso que a divisão de 1 por 12 seja feita antes de elevar 1.12 ao resultado 
dessa divisão.
Usando a calculadora HP-12C
Para calcular na HP-12C potências:
Por exemplo:
Na calculadora digitamos: 1.12 Enter 12 yx 1 –
Resultado: 2,895975993 arredondando 289,60% a.a.
No exemplo com expoente fracionário:
Na calculadora digitamos: 1.12 Enter 1 Enter 12 ÷ yx 1 –
Resultado: 0,009488793 arredondando 0,95% a.m.
Usando o Excel:
No exemplo com expoente fracionário:
159
Matemática Empresarial
Outro modo de calcular potências no Excel é usando a função Potência pré-definida: 
=POTÊNCIA (núm;potência)
No exemplo acima:
Exemplo 1: Em Boletim do Banco Central do Brasil de 2003, foi informado que a 
taxa Selic mensal era de 1,37% a.m. e que esta mesma taxa anual foi de 17,737% 
a.a. Vamos verificar a equivalência entre essas taxas. Vamos encontrar a taxa anual 
equivalente à taxa mensal de 1,37%.
Como vemos, 17,737% a.a. é o mesmo que 1,37% a.m.
Exemplo 2: No ano de 2002, a taxa TBF ficou em 21,78% a.a. Qual a taxa média ao 
mês?
160
Matemática Empresarial
9.3 Equivalência de Capitais
Em Dal Zot39, encontramos uma boa explicação para a equivalência de capitais:
Uma situação que ocorre, com muita frequência, no mundo dos negócios é o desequilíbrio entre 
as entradas e as saídas de caixa, fazendo com que as empresas ou instituições financeiras ora te-
nham excesso de disponibilidades de caixa, ora tenham falta de recursos financeiros. Reduzir esse 
desequilíbrio, atenuando os picos e valores da disponibilidade de caixa, é um dos mais importantes 
objetivos da administração financeira. Para atenuar o desequilíbrio de caixa, busca-se substituir 
direitos ou obrigações existentes por outros de datas diferentes.
Desse modo, equivalência de capitais é utilizada para mudar a data de vencimento 
de um título ou para mudar a forma de pagamento, por exemplo, trocando um título 
por outros dois títulos. 
Dois ou mais capitais, com datas de vencimento diferentes, são ditos capitais equi-
valentes quando, transportados para uma mesma data, à mesma taxa, produzirem, 
nessa data, valores iguais.
A1 = A2 igualando os valores atuais
N1 (1 - id.n1) = N2 (1 - id.n2)
39 DAL ZOT, 2006, p.115.
161
Matemática Empresarial
Exemplo 1: Um título, com valor nominal de R$ 450,00 e vencimento para 4 meses, 
será substituído por outro com vencimento para 10 meses. Se a taxa de desconto 
utilizada nessa operação é de 3% a.m., qual o valor nominal do novo título?
N1 . (1 - id.n1) = N2 . (1 - id.n2)
450 . (1 - 0,03 . 4) = N2 . (1 - 0,03 . 10)
450 . 0,88 = N2 . 0,7
396 = N2 .0,7
N2 =
N2 = 565,71428, arredondando, 565,71.
Logo, ovalor nominal do novo título será R$ 565,71.
Exemplo 2: Um título de R$ 3.000,00 com vencimento para 4 meses será substituído 
por dois novos títulos de mesmo valor nominal com vencimento respectivamente 
para 3 e 6 meses, considerando a taxa de desconto de 2% a.m. Qual o valor nominal 
dos novos títulos?
N1 (1 - id.n1) = N2 (1 - id.n2) + N3 (1 - id.n3)
3000 . (1 - 0,02 . 4) = N2 . (1 - 0,02 . 3) + N3 . (1 - 0,02 . 6)
2760 = N . 0,94 + N . 0,88 (Substituímos N2 e N3 por N, pois serão valores iguais)
2760 = N . 1,82
N =
N = 1516,48351, arredondando, 1516,48.
Logo, os dois novos títulos terão o valor R$ 1.516,48.
163
Matemática Empresarial
Exercícios40 – Unidade 9
1. (FISCAL TRIB.-CE) Obter a taxa de juros anual equivalente à taxa mensal de 5%, a 
juros compostos, em porcentagem e aproximação de uma casa decimal.
a) 60,0%
b) 69,0%
c) 72,8%
d) 74,9%
e) 79,6%
2. (AFTN) Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 
8% ao ano com capitalização semestral.
a) 8,20%
b) 8,05%
c) 8,16%
d) 8,10%
e) 8,00%
3. (Banco do Brasil) Qual a taxa semestral equivalente à taxa de 25% ao ano?
a) 11,40%
b) 11,50%
c) 11,60%
d) 11,70%
e) 11,80%
40 As atividades deste capítulo foram adaptadas de diversos livros citados nas referências.
164
Matemática Empresarial
4. (AFTN) A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivalente a uma 
taxa trimestral de:
a) 60,0%
b) 66,6%
c) 68,9%
d) 72,8%
e) 84,4%
5. Um credor deve a uma financeira dois títulos, um de R$ 1.500,00, com vencimen-
to para 2 meses e outro de R$ 1.800,00 com vencimento para 5 meses. Esse credor 
pretende substituir esses dois títulos por outros dois com vencimento para 12 meses 
e 24 meses, respectivamente, sendo o segundo, com o dobro do valor nominal do 
primeiro. Admitindo-se uma taxa de 2,4% a.m., qual o valor nominal desses novos 
títulos?
a) R$ 1.430,56 e R$ 3.761,12
b) R$ 1.930,77 e R$ 3.861,54
c) R$ 1.870,72 e R$ 2.580,45
d) R$ 1.290,32 e R$ 3.541,23
e) R$ 2.230,07 e R$ 3.901,08
6. Um título de R$ 3.000,00 com vencimento para quatro meses será substituído por 
dois novos títulos de mesmo valor nominal com vencimento respectivamente para 
três e seis meses, considerando a taxa de desconto de 2% a.m. Qual o valor nominal 
dos novos títulos?
a) R$ 1.298,16
b) R$ 1.450,33
c) R$ 1.516,48
d) R$ 1.602,91
e) R$ 1.870,29
165
Matemática Empresarial
7. Dois títulos de R$ 1.000,00 cada, exigíveis em três e quatro meses respectivamen-
te, serão substituídos por dois títulos de mesmo valor nominal para cinco e seis me-
ses respectivamente, com taxa de desconto de 3% a.m. Calcule o valor nominal dos 
novos títulos.
a) R$ 1.071,86
b) R$ 1.155,37
c) R$ 1.276,27
d) R$ 1.302,45
e) R$ 1.477,05
Séries Postecipadas
Séries Antecipadas
Cálculos de séries de pagamento postecipadas e antecipadas no Excel
Cálculos de séries de pagamento postecipadas e antecipadas com HP-12C
Séries Diferidas
10 Séries de pagamento
Bem-vindo à décima unidade!
Matemática Empresarial
169
9. Estudo das taxas e equivalência de capitais
Séries de pagamento também são chamadas de renda certa ou de anuidades.
Vamos ver, neste capítulo, que séries de pagamento são usadas para construir um 
capital ou resgatar uma dívida depositando ou pagando certas quantias em épocas 
distintas.
Capitalização × Amortização41 
•	 Ao construir um capital temos uma capitalização.
•	 Ao resgatar uma dívida temos uma amortização
Principais Elementos das Séries
•	 PV: valor presente, valor atual, soma dos temos descapitalizados.
•	 FV: valor futuro, valor nominal, montante, soma dos termos capitalizados.
•	 PMT: valor de cada prestação, pagamento, termo.
•	 n: número de períodos.
•	 i: taxa.
Séries Uniformes de Pagamentos Periódicos
•	 Postecipadas
•	 Antecipadas
•	 Diferidas
41 ARAÚJO, 2006, p. 137.
Matemática Empresarial
170
10.1 Séries Postecipadas 
São aquelas em que o pagamento é efetuado no final de cada período e o valor fu-
turo coincide com o pagamento da última prestação. São as compras sem entrada, 
por exemplo.
Adaptado de Araújo, 2006, p.138.
Matemática Empresarial
171
Valor presente de uma série postecipada
O valor presente (PV) de uma série postecipada é definido como o somatório das 
prestações descapitalizadas até o instante zero.
O termo chamado Fator de Valor Presente.
Logo, PV = PMT . fvp(i%,n)
Sendo fvp (i%, n) o fator de valor presente tabelado.
Valor futuro de uma série postecipada
O valor futuro (FV) de uma série postecipada é definido como o somatório das pres-
tações capitalizadas até a data da última prestação. Basta capitalizarmos o valor pre-
sente por n períodos.
aplicando a propriedade 
distributiva
Matemática Empresarial
172
O termo é chamado Fator de Valor Futuro.
Logo, FV = PMT . fvf(i%,n)
Sendo fvf (i%, n) o fator de valor futuro tabelado.
Séries Antecipadas
São aquelas em que o pagamento é efetuado no início de cada período e o valor 
futuro é obtido num intervalo de tempo após o pagamento da última prestação. São 
as compras com entrada, por exemplo, onde já no ato da compra é paga a primeira 
prestação.
Adaptado de Araújo, 2006, p.147
Matemática Empresarial
173
Valor presente de uma série antecipada
O valor presente de uma série antecipada PV (ant) pode ser interpretado como a 
capitalização de um período do valor presente de uma série postecipada PV.
O termo é chamado Fator de Valor Presente.
Logo, PV(ant) = PMT . fvp (i%.n).(1 + i)
Sendo fvp (i%, n) é o fator de valor presente tabelado.
Valor futuro de uma série antecipada
O valor futuro de uma série antecipada FV (ant) pode ser interpretado como a capi-
talização de um período do valor futuro de uma série postecipada FV.
FV(ant) = FV . (1 + i)
O termo é chamado Fator de Valor Futuro.
Matemática Empresarial
174
Logo, FV(ant) = PMT . fvf(i%,n) . (1 + i)
Sendo fvf (i%, n) o fator de valor futuro tabelado.
10.3 Cálculos de séries de pagamento 
postecipadas e antecipadas no Excel
A seguir serão apresentadas algumas fórmulas pré-definidas do Excel sobre valor 
presente (PV), valor futuro (FV), valor da prestação (PMT), número de prestações (n) 
e taxa de juros (i) de séries de pagamento postecipadas e antecipadas, juntamente 
com seus respectivos exemplos:
=VP(taxa;nper;pgto;vf;tipo) – Exibe o valor presente de uma série de pagamentos 
iguais, mediante algumas informações: taxa (constante), número de prestações, va-
lor da prestação ou valor futuro e tipo. O valor da prestação deve ser precedido do 
sinal (-), pois significa uma saída de caixa. Dessa forma, o valor presente calculado 
será positivo.
Atenção: Tipo significa definir se a série de pagamento é postecipada ou antecipa-
da. Digitamos em Tipo o número 1 para série de pagamento antecipada e digitamos 
0 para série de pagamento postecipada. Se não for informado o tipo, o Excel consi-
dera uma série postecipada.
Matemática Empresarial
175
Exemplo 1:
Supondo que você deseje comprar um DVD pagando em 8 parcelas de R$ 68,80, sem 
entrada, à taxa de 2,5% ao mês. Qual é o valor presente do DVD?
Lembrete: como é sem entrada, o problema trata de uma série de pagamento pos-
tecipada, por isso podemos omitir a definição do tipo, ou digitar 0.
=VP(0,025;8;-68,80; 0;0) é igual a R$ 493,31
=VF(taxa;nper;pgto;vp;tipo) - Exibe o valor futuro de uma série de pagamentos 
iguais, mediante algumas informações: taxa (constante), número de prestações, va-
lor da prestação ou valor presente e tipo. O valor da prestação deve ser precedido 
do sinal (-), pois significa uma saída de caixa. Dessa forma, o valor futuro calculado 
será positivo.
Exemplo 2:
Suponha que você deseje comprar um DVD pagando em oito parcelas de R$ 68,80 
a uma taxa de 2,5% ao mês, sendo a primeira parcela paga no ato da compra. Qual 
é o valor futuro do DVD?
Matemática Empresarial176
Lembrete: como a primeira parcela coincide com o ato da compra, o problema trata 
de uma série de pagamento antecipada, por isso devemos informar que o tipo é 1.
=VF(0,025;8;-68,8;0;1) igual a R$ 616,07
=PGTO(taxa;nper;vp;vf;tipo) – Exibe o valor da prestação a ser paga, mediante al-
gumas informações: taxa (constante), número de prestações, valor presente ou valor 
futuro e tipo. O valor presente ou o valor futuro serão informados com sinal positivo, 
desta forma o valor de PGTO calculado será negativo, pois significa uma saída de 
caixa.
Exemplo 3:
Suponha que você deseje comprar um DVD pagando em oito parcelas, sem entra-
da, a uma taxa de 2,5% ao mês e com valor presente de R$ 493,31. Qual é valor da 
prestação do DVD?
Matemática Empresarial
177
=PGTO(0,025;8;493,31;0;0) é igual a R$ 68,80
=NPER(taxa;pgto;vp;vf;tipo) – Exibe o número de prestações, mediante algumas 
informações: taxa (constante), valor da prestações, valor presente ou valor futuro e 
tipo. O valor da prestação deve ser precedido do sinal (-), pois significa uma saída de 
caixa. Os valores de vp e vf são positivos.
Exemplo 4:
Suponha que você deseje comprar um DVD com a prestação de R$ 68,80, sem en-
trada, a uma taxa de 2,5% ao mês, valor presente de R$ 493,31. Quantas serão as 
prestações?
=NPER(0,025;-68,8;493,31;0;0) é igual a 8.
=TAxA(nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa) – Exibe a taxa de mediante algumas in-
formações: valor da prestação, número de prestações, valor presente ou valor futuro, 
tipo e estimativa. O valor da prestação deve ser precedido do sinal (-), pois significa 
uma saída de caixa. Os valores de vp e vf são positivos.
Exemplo 5:
Suponha que você deseje comprar um DVD pagando em 8 prestações de R$68,80, 
Matemática Empresarial
178
=TAXA(8;-68,8;493,31;0;0) é igual a 2,5% ao mês
sem entrada, com o valor presente de R$ 493,31. Qual será a taxa de juros?
10.4 Cálculos de séries de pagamento 
postecipadas e antecipadas com HP-12C
Para o cálculo de séries postecipadas, você pode usar funções financeiras básicas42:
42 GIMENES, 2006, p. 120-121.
Grupo 1 – PV PMT FV
Grupo 2 – i n
Matemática Empresarial
179
Ao realizar um cálculo usando a HP-12C, deve-se lançar o número zero para tecla 
do Grupo 1 que não será utilizada. Procure sempre digitar os cinco valores, pois as 
funções são programadas para trabalhar conjuntamente.
Exemplo: Você compra uma televisão de 29 polegadas financiada em 10 parcelas 
iguais. A loja cobra juros de 5% ao mês e a primeira parcela vence 30 dias após a com-
pra. Calcule o valor das parcelas, sabendo que o valor à vista da TV é de $ 1.500,00.
Na HP-12C:
f CLx
f (2)
1500 PV
0 FV
10 n
5 i
PMT
O valor no visor será -194,26.
OBS.: VP e PMT sempre têm sinais contrários. O PMT negativo quer dizer que você 
irá pagar as parcelas. 
Para cálculo de séries antecipadas, a HP-12C tem uma função especial, que deve 
ser acionada antes do cálculo. A função é denominada BEGIN (significa ‘início’). Ela é 
acionada pelas teclas g 7(BEG).
Exemplo: Você compra uma televisão de 29 polegadas financiada em 10 parcelas 
iguais. A loja cobra juros de 5% ao mês e a primeira parcela é dada na entrada. Calcu-
le o valor das parcelas, sabendo que o valor à vista da TV é de $ 1.500,00.
Matemática Empresarial
180
Na HP-12C:
f CLx
f (2)
g 7(BEG).
1.500 PV
0 FV
10 n
5 i
PMT
O valor no visor será -185,01.
Depois do cálculo, para desativar a função BEGIN, devem ser pressionadas as teclas 
g 8(END). A palavra BEGIN desaparece do visor.
10.5 Séries Diferidas
São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre após certo período de carência 
(também chamado de diferimento inicial).
Também pode ocorrer um diferimento final, quando o valor futuro é obtido num 
certo período de tempo após o pagamento da última prestação.
Matemática Empresarial
181
k – períodos de carência
n – prestações
Valor presente de uma série diferida
O valor presente de uma série diferida PV(dif ) pode ser interpretado como a descapi-
talização de k períodos do valor presente de uma série antecipada PV(ant).
PV(dif) = PV(ant) . (1 + i)-k
Logo, PV(dif ) = PMT X fvp(i%,n) x (1 + i)–k+1
Sendo fvp (i%, n) é o fator de valor presente tabelado.
Adaptado de Araújo, 2006, p.151
Matemática Empresarial
182
Valor futuro de uma série diferida
O valor futuro de uma série diferida FV(dif ) pode ser interpretado como a capitaliza-
ção de k períodos do valor futuro da série antecipada FV(ant).
FV(dif) = FV(ant) . (1 + i)k
Logo, FV(dif ) = PMT . fvf(i%,n) . (1 + i)k+1
Sendo fvf (i%, n) é o fator de valor futuro tabelado.
Matemática Empresarial
183
Exercícios43 – Unidade 10
1. O valor da prestação do financiamento de uma geladeira, em seis vezes, sem en-
trada, é R$ 230,00. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada foi de 3,5% ao mês, cal-
cule o preço, à vista, da geladeira.
a) R$ 1.225,57
b) R$ 1.268,46 
c) R$ 1.559,26 
d) R$ 1.506,54 
2. Qual o valor atual de uma série de 20 prestações iguais a R$ 12.500,00, postecipa-
das, a uma taxa de 1,9% ao mês?
a) R$ 306.424,66
b) R$ 300.711,15
c) R$ 210.300,37
d) R$ 206.379,17
3. Sabendo-se que uma loja financia suas vendas com uma taxa de juros de 4% ao 
mês e que um cliente deseja comprar um eletrodoméstico no valor à vista de R$ 
430,00, em cinco prestações mensais sem entrada, calcule o valor da prestação.
a) R$ 76,34
b) R$ 79,34
c) R$ 92,87
d) R$ 96,59
43 As atividades deste capítulo foram adaptadas de diversos livros citados nas referências.
Matemática Empresarial
184
4. Uma loja calculou o financiamento de um conjunto de estofados em 10 presta-
ções mensais iguais a R$ 600,00, a primeira delas na entrada. Sabe-se que o crediário 
da loja utiliza uma financeira cuja taxa de juros é de 2,5% ao mês. Calcule qual foi o 
valor dos sofás à vista.
a) R$ 5.251,24
b) R$ 5.382,52
c) R$ 6.722,03
d) R$ 6.890,08
5. O departamento de crédito de uma loja financia seus clientes em cinco prestações 
mensais iguais, sendo a primeira na entrada. Sabendo-se que a taxa de juros utiliza-
da é de 3,5% ao mês, calcule qual será o valor da prestação do financiamento de um 
refrigerador, no valor de R$ 1.200,00.
a) R$ 216,21
b) R$ 223,78
c) R$ 256,79
d) R$ 265,78
6. Calcule o valor da prestação de um enxoval de noivas de R$ 1.700,00, financiado 
em 6 prestações mensais iguais, a primeira vencendo quatro meses após a compra, 
a uma taxa de juros de 3,9% ao mês.
a) R$ 376,69
b) R$ 362,55
c) R$ 323,24
d) R$ 311,11
7. Sabendo-se que a taxa de juros adotada pelo crediário de uma loja é de 2,70% ao 
mês, calcule o valor, à vista, de um refrigerador que foi vendido em 12 prestações 
iguais a R$ 120,00, sendo a primeira com vencimento em cinco meses após a com-
pra.
Matemática Empresarial
185
a) R$ 1.064,48
b) R$ 1.093,22
c) R$ 1.216,16
d) R$ 1.248,99
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História do Serviço Social
Conhecendo a Autora
Autora: Márcia Castiglio da Silveira
Natural de Porto Alegre, Rio Grande do Sul, nasceu em 25 de março de 1977. For-
mou-se professora das Séries Iniciais no Curso de Magistério em 1995. Ingressou na 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) em 1996, recebendo o diploma 
de Licenciada em Matemática em 30 de janeiro de 2000. Realizou o curso de Mes-
trado em Educação pelo Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul (PPGEDU/UFRGS), no período 2000-2002. Sua disserta-
ção tem o título “Produção de significados sobre Matemática nos cartuns”. Em 2008, 
concluiu o curso de Especialização em Educação à Distância pelo Senac/RS.
Iniciou sua carreira na docência como professora substituta na Faculdade de Educa-
ção da UFRGS, entre 2002 e 2004. Ainda em 2002, foi nomeada professora do Estado 
do Rio Grande do Sul, onde ainda trabalha como professora de Matemática no Ensi-
no Médio. Desde 2004, é professora na Universidade Luterana do Brasil (ULBRA) em 
diversos cursos tecnológicos, de graduação e extensão.
189
Históriado Serviço Social
Referências
ARAÚJO, Eduardo. Matemática para negócios e finanças. Curitiba: IESDE Brasil S.A., 
2006.
CESAR, Benjamin. Matemática Financeira: teoria e 800 questões. Rio de Janeiro: Im-
petus, 2000.
CORDANI, Lisbeth K. Oficina “Estatística para todos”. Associação Brasileira de Estatís-
tica – ABE. Disponível em < http://www.redeabe.org.br/OFICINA%20site_educacao.
pdf >. Acesso em: 15 abr. 2008.
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 16. ed. São Paulo: Saraiva, 1998.
___________________. Matemática Comercial e Financeira fácil. 13. ed. São Paulo: 
Saraiva, 1999.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. São Paulo: Ática 2008.
DAL ZOT, Wili. Matemática financeira. 4. ed. rev. ampl. Porto Alegre: Editora da UFR-
GS, 2006.
DI AGUSTINI, Carlos Alberto; ZELMANOVITS, Nei Schilling. Matemática Aplicada à 
Gestão de Negócios. Rio de Janeiro: Editora FGV, 2005.
FARIA, Rogério Gomes de. Matemática comercial e financeira: com exercícios e cálcu-
los em Excel e HP-12C. São Paulo: Ática, 2007.
GARRITY, Peter. MBA compacto, matemática aplicada aos negócios. Trad. Carlos An-
dré Oighenstein. Rio de Janeiro: Campus, 2000.
190
História do Serviço Social
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP 12c e Excel. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2006.
KRUSE, Fábio. Matemática Financeira: Conceitos e Aplicações com o uso da HP-12C. 
2. ed. Novo Hamburgo: Feevale, 2005.
MORGADO, Augusto César; CESAR, Benjamin. Matemática financeira: 220 questões 
de concursos e provas resolvidas. Rio de Janeiro: Elsevier, 2005.
PARENTE, Eduardo A. de M.; CARIBÉ, Roberto. Matemática comercial e financeira. Ed. 
reform. São Paulo: FTD, 1996.
VIEIRA, Sonia. Introdução à bioestatística. Rio de Janeiro: Campus, 1991.
Anexos
193
História do Serviço Social
Gabaritos
Unidade 1
1.a 2.c 3.d 4.b 5.c 6.e 7.b
Unidade 2
1.b 2.d 3.c 4.e 5.c 6.d 7.a
Unidade 3
1.d 2.c 3.b 4.a 5.e 6.c 7.c
Unidade 4
1.e 2.c 3.d 4.c 5.c 6.d 7.d 8.d
Unidade 5
1.e 2.d 3.a 4.a 5.d 6.e
Unidade 6
1.b 2.c 3.d 4.e 5.a 6.a
Unidade 7 
1.a 2.e 3.c 4.c 5.b 6.d 7.a
Unidade 8 
1.c 2.d 3.c 4.b 5.a 6.c 7.e
Unidade 9 
1.e 2.c 3.e 4.d 5.b 6.c 7.a
Unidade 10 
1.a 2.d 3.d 4.b 5.c 6.b 7.b