FÓRMULAÇÃO E SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE UMA BARRA PRISMÁTICA EM COORDENADAS PLANAS ATRAVÉS DA FUNÇÃO DE AIRY EM ELASTICIDADE 2D

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FÓRMULAÇÃO E SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE UMA BARRA 
PRISMÁTICA EM COORDENADAS PLANAS ATRAVÉS DA FUNÇÃO 
DE AIRY EM ELASTICIDADE 2D 
 
 
Augusto de Souza Pippi1; Jonathas Iohanathan Felipe de Oliveira2 
 
1 Universidade De Brasília; Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil; 
augustopippi@hotmail.com 
2 Universidade De Brasília; Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil; 
jonathasiohanathan@hotmail.com 
 
RESUMO 
A Teoria da Elasticidade é um campo da física-matemática fundamental para a formulação de problemas 
clássicos de diferentes áreas da engenharia. Em especial, a Teoria da Elasticidade aplicada a estruturas sustenta a 
formulação de métodos numéricos amplamente utilizados no cotidiano da prática da engenharia, como o Método 
dos Elementos Finitos, Método dos Elementos de Contorno e Métodos Sem Malha. Devido a sua importância, o 
presente trabalho apresenta um problema clássico da Teoria da Elasticidade, e busca não apenas sua a solução, 
como também explana de forma clara e objetiva os conceitos que lhe precedem. O problema consiste em uma 
placa bidimensional, onde é conhecida a função de Airy que satisfaz as condições de compatibilidade, e as 
soluções do campo de tensões, esforço normal, momentos fletores e esforço cortante, são apresentados para uma 
direção. Os resultados são então comentados, destacando as características do problema e inferências sobre a 
abrangência dos resultados. 
 
Palavras-Chave: Teoria da Elasticidade. Função de Airy. Estado Plano de Tensão. 
 
ABSTRACT 
The Theory of Elasticity is a field of physical-mathematics, fundamental to the formulation of classical problems 
from diferente engineering areas. In particular, the Theory of Elasticity applied to structural analysis, supports 
the formulation of some of the numerical methods widely used in the daily pratice of engineering, such as the 
Finite Element Method, Countour Element Method and Meshless Methods. Due to is importance, this present 
papper presentes a classic problem of Theory of Elasticity, and not only it’s solution as well the explanation in a 
clear and objective way the concepts that precede it. A two-dimensional plate problem, which the Airy’s 
function that satisfies the compatibility conditions is know a priori. The stress field, normal and shear forces, 
and bending moments solutions are presented to a single direction. The results are then commented, highlighting 
the problem’s characteristics and inferences about a comprehensiveness of the results. 
 
Palavras-Chave: Theory of Elasticity. Airy’s Function. Plane Stress State. 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Quando se aplicam ações externas sobre um objeto ele sofre deslocamentos e/ou 
deformações. Porém, sua tendência e se manter em equilíbrio. Surge então esforços internos 
que se opõem a essas deformações e que geram um estado de tensões internas. Na maioria dos 
materiais usados na engenharia, segundo Timoshenko e Goodier (1934), pode-se perceber um 
comportamento elástico até certo nível de carregamento externo. Isto significa que após 
cessada as ações externas, ele retorna ao seu estado natural, isto é, não deformado. Esse 
fenômeno é estudado pela chamada teoria das elasticidade, que tem muitas aplicabilidades em 
problemas gerais de engenharia. 
Sabe-se que a matéria é formada por moléculas, porém, em problemas mais clássicos, 
tratados pela teoria da elasticidade, dentro da mecânica do contínuo, não considera sua 
estrutura atômica. Conforme Alves (2007), considerar o material contínuo é coerente com 
observações experimentais. Além disso, é possível utilizar um volume infinitesimal de 
matéria para caracterizar uma partícula. 
Este trabalho tratará da resolução de problemas da mais clássica teoria da elasticidade, 
na qual o comportamento do material é elástico com comportamento linear, seguindo a Lei de 
Hooke, isto é, onde as tensões são proporcionais às deformações. As equações que governam 
essa teoria são diferenciais parciais lineares, que seguem o princípio da superposição de 
efeitos. Isso implica que a soma das soluções individuais do grupo de equações também é 
solução das equações. Outro fator importante é que nessa teoria clássica o teorema da 
unicidade é válido. Assim, cada problema tem uma solução única e que depende das suas 
condições de contorno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 BASE TEÓRICA 
 
2.1 Deformações e deslocamentos 
 
Como resultado de carregamentos, sólidos com comportamento elástico 
mudam sua forma. Pode-se quantificar essas deformações por deslocamentos em 
pontos no material. A hipótese do material ser contínuo permite criar um campo de 
deslocamentos que agrega todos os pontos do sólido elástico. Usando aproximações 
geométricas é possível desenvolver medidas de deformação construídas através do 
desenvolvendo de um tensor de deformação. Assim, os componentes de deformação 
são relacionados com os de descolamento. É importante ressaltar que as formulações 
são feitas considerando pequenas deformações. Assim, concorda com a teoria da 
elasticidade linear. 
O tensor gradiente de deslocamento é dado por: 
 
𝑢𝑖,𝑗 =
[
 
 
 
 
 
 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑧 ]
 
 
 
 
 
 
 (1) 
Esse tensor pode ser decomposto em duas partes, uma simétrica e uma 
antissimétrica, assim: 
 
𝑢𝑖,𝑗 = 𝑒𝑖,𝑗 + 𝑤𝑖,𝑗 (2) 
Na qual: 
𝑒𝑖𝑗 =
1
2
∗ (𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖) (3) 
e 
𝑤𝑖𝑗 =
1
2
∗ (𝑢𝑖,𝑗 − 𝑢𝑗,𝑖) (4) 
 
O tensor 𝑒𝑖𝑗 é chamado de tensor de deformação e o 𝑤𝑖𝑗 de tensor de rotação. 
Como considera-se um campo de deslocamento que engloba todo objeto, então o 
tensor engloba as deformações locais e o movimento de corpo-rígido. 
 
Geometricamente, os tipos de movimento que um corpo pode sofrer são: 
corpo-rígido, rotação, extensão e por cisalhamento. O movimento de corpo-rígido não 
afeta o campo de deformação, assim, não afeta a tensão. Considerando a figura 1: 
 
 
Fig. 1 Deformação em duas dimensões (fonte: Elasticity, M. Saad.) 
 
Pode-se ver que as componentes de deslocamento do ponto 𝐴(𝑥, 𝑦) é 𝑢(𝑥, 𝑦) e 
𝑣(𝑥, 𝑦). No ponto B tem-se 𝑢(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦) e 𝑣(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦). Como se está trabalhando 
com a teoria das pequenas deformações, é coerente a afirmação que: 
 
𝑢(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦) ≈ 𝑢(𝑥, 𝑦) + (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
) 𝑑𝑥 (5) 
 
Esta afirmação é análoga para as outras direções. A deformação normal na 
direção de 𝑥 pode ser definida como: 
 
𝜀𝑥 =
𝐴′𝐵′ − 𝐴𝐵
𝐴𝐵
 (6) 
sendo, por geometria: 
 
𝐴′𝐵′ = √(𝑑𝑥 +
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑑𝑥)
2
+ (
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
2
= √1 + 2
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
)
2
+ (
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
2
𝑑𝑥 ≈ (1 +
𝜕𝑢
𝜕𝑥
) 𝑑𝑥 (7) 
 
Os termos com maior ordem podem ser desconsiderados, por serem ínfimos. 
Conforme figura 1: 𝐴𝐵 = 𝑑𝑥, e isso implica em: 
 
 
𝜀𝑥 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 e 𝜀𝑦 =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
 (8) 
 
Ainda, na teoria das pequenas deformações, por cisalhamento: 
 
𝛾𝑥𝑦 =
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
 (9) 
 
Assim, chega-se nas relações de deformação-deslocamento, sendo, por 
exemplo, 𝑒11 = 𝑒𝑥 = 𝜀𝑥 e 𝑒12 = 𝑒𝑥𝑦 = 1/2 𝛾𝑥𝑦 e no campo 3D, chega-se a relação 
(3), que é um tensor de segunda ordem e simétrico. 
A relação (3) resulta em 6 equações distintas de deformação em função de 3 
deslocamentos. Se os deslocamentos 𝑢, 𝑣, 𝑤 são contínuos com um único valor, então 
a diferenciação resultará em um campo de deformação bem comportado. Porém, na 
integração isto não é necessariamente verdade, podendo gerar diferentesvalores de 
deslocamentos. Para garantir que esses deslocamentos sejam contínuos, são 
introduzidas as chamadas equações de compatibilidade de Saint-Venant, descritas a 
seguir: 
𝜕2𝑒𝑥
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑒𝑦
𝜕𝑥2
= 2 
𝜕2𝑒𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
 
(10) 
𝜕2𝑒𝑦
𝜕𝑧2
+
𝜕2𝑒𝑧
𝜕𝑦2
= 2 
𝜕2𝑒𝑦𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑧
 
𝜕2𝑒𝑧
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑒𝑥
𝜕𝑧2
= 2 
𝜕2𝑒𝑧𝑥
𝜕𝑧𝜕𝑥
 
𝜕2𝑒𝑥
𝜕𝑦𝜕𝑧
=
𝜕
𝜕𝑥
(−
𝜕𝑒𝑦𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕𝑒𝑧𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝑒𝑥𝑦
𝜕𝑧
) 
𝜕2𝑒𝑦
𝜕𝑧𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑦
(−
𝜕𝑒𝑧𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝑒𝑥𝑦
𝜕𝑧
+
𝜕𝑒𝑦𝑧
𝜕𝑥
) 
𝜕2𝑒𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑧
(−
𝜕𝑒𝑥𝑦
𝜕𝑧
+
𝜕𝑒𝑦𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕𝑒𝑧𝑥
𝜕𝑦
) 
 
Essas 6 equações, conforme Saad (2005) de compatibilidade funcionam muito 
bem para regiões com conexões simples. Para regiões com conectividades múltiplas as 
relações (10) podem não ser suficientes, sendo necessário desenvolver e impor outras 
condições. 
 
 
2.2 Tensões 
 
De acordo com a mecânica do continuo, como comentado, as forças externas 
aplicadas em um corpo geram forças internos que são distribuídas ao longo desse todo 
esse sólido. Essas forças são categorizadas, normalmente, em duas categorias: forças 
de volume e forças de superfície. As forças de volume são proporcionais a massa, 
como exemplo, a força gravitacional, a força magnética e as forças inerciais. As forças 
de superfície são provenientes de contatos físico com outros corpos e atuam na 
superfície. Um corpo qualquer, submetido a forças externas, sejam elas distribuídas ou 
pontuais, pode-se separar esse corpo em dois, criando duas seções, conforme figura 2. 
 
 
Fig. 2 Corpo submetido a forças externas (fonte: Elasticity, M. Saad.) 
 
Pegando uma área infinitesimal ∆𝐴 e um vetor perpendicular a essa área “𝑛”, 
as forças de superfície atuando são ∆𝐹, aproxima-se o vetor de tensão da seguinte 
forma: 
 
𝑇𝑛(𝑥, 𝑛) = lim
∆𝐴→0
∆𝐹
∆𝐴
 (11) 
 
Nota-se que a direção do vetor de tensão depende da direção do vetor normal a 
superfície em volta do ponto investigado. Agora, considerando que o vetor unitário 
coincida com eixo de coordenadas planas, apontando para o lado positivo, conforme 
figura 3. Considerando um cubo infinitesimal, pode-se definir para as três direções dos 
vetores unitários: 
 
 
Fig. 3 tensões em um volume infinitesimal (fonte: Elasticity, M. Saad.) 
 
𝑇𝑛(𝑥, 𝑛 = 𝑒1) = 𝜎𝑥𝑒1 + 𝜏𝑥𝑦𝑒2 + 𝜏𝑥𝑧𝑒3 
(12) 𝑇𝑛(𝑥, 𝑛 = 𝑒2) = 𝜏𝑦𝑥𝑒1 + 𝜎𝑦𝑒2 + 𝜏𝑦𝑧𝑒3 
𝑇𝑛(𝑥, 𝑛 = 𝑒2) = 𝜏𝑧𝑥𝑒1 + 𝜏𝑧𝑦𝑒2 + 𝜎𝑧𝑒3 
 
Na forma matricial, tem-se o conhecido tensor de tensões: 
 
𝜎 = [
𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑥
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧
] (13) 
 
2.3 Equações de equilíbrio 
 
O campo de tensões em um sólido contínuo é distribuído em todo ele e 
unicamente determinado a partir das cargas aplicadas. Como se está trabalhando com 
corpos estáticos, isto é, em equilíbrio, as cargas aplicadas devem satisfazer as 
equações de equilíbrio. Se todo o corpo está em equilíbrio, então todas as suas partes 
também estarão. Pode-se então, particionar esse sólido em vários subdomínios, então 
o somatório de todas as forças e momentos devem ser zeros. 
Considerando um volume 𝑉 e uma superfície 𝑆 de um corpo em equilíbrio. 
Sendo as forças de superfície 𝑇𝑛 e as forças de volume 𝐹, obtém-se: 
 
∬ 𝑇𝑖
𝑛𝑑𝑆 + ∭ 𝐹𝑖𝑑𝑉
𝑉
= 0
𝑆
 (14) 
 (15) 
 
∬ 𝜎𝑗𝑖𝑛𝑗⃑⃑ ⃑𝑑𝑆 + ∭ 𝐹𝑖𝑑𝑉
𝑉
= 0
𝑆
 
 
Conforme teorema de Gauss: 
 
∬ �⃑� ∙ �⃑� 𝑑𝑆 + ∭ 𝑎𝑖𝑗….𝑘,𝑘𝑑𝑉
𝑉
= 0
𝑆
 (16) 
 
De (15) obtém-se: 
 
∭ (𝜎𝑗𝑖,𝑗 + 𝐹𝑖)𝑑𝑉
𝑉
= 0 (17) 
 
Pelo teorema do valor-zero: 
 
𝜎𝑗𝑖,𝑗 + 𝐹𝑖 = 0 (18) 
 
O campo de tensões estará em equilíbrio se estiver satisfazendo essas relações 
de (18): 
 
𝜕
𝜕𝑥
𝜎𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦
𝜏𝑥𝑦 +
𝜕
𝜕𝑧
𝜏𝑥𝑧 + 𝐹𝑥 = 0 
(19) 
𝜕
𝜕𝑥
𝜏𝑦𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦
𝜎𝑦 +
𝜕
𝜕𝑧
𝜏𝑦𝑧 + 𝐹𝑦 = 0 
𝜕
𝜕𝑥
𝜏𝑧𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦
𝜏𝑧𝑦 +
𝜕
𝜕𝑦
𝜎𝑧 + 𝐹𝑧 = 0 
 
2.4 Relações construtivas 
 
Até agora foram vistas relações físicas de um sólido contínuo, submetido a 
forças externas. Assim, somando, foram definidas 9 equações, sendo três de 
deformação-deslocamento, três de equilíbrio e três de compatibilidade (três 
independentes). Porém são: três deslocamentos, seis deformações e seis tensões, que 
somados geram 15 incógnitas. Portanto, são necessárias mais seis equações, que são 
oriundas das propriedades do próprio material do sólido. Muitas dessas relações 
 
construtivas são empíricas, provenientes de observações experimentais. Segundo Coda 
(2013) os materiais homogêneos aplicados na engenharia são também isotrópicos, isto 
é, o comportamento do material é o mesmo em qualquer direção do sólido. Costuma-
se utilizar a relação entre tensão e deformação para caracterizar um material, da forma: 
 
𝜎𝑖𝑗 = ℂ𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙 (20) 
 
Da qual os valores de ℂ são parâmetros do material. A equação (20) escrita na 
forma matricial fica: 
 
{
 
 
 
 
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜎𝑧
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥}
 
 
 
 
=
(
 
 
 
ℂ11 ℂ12 ℂ13
ℂ21 ℂ22 ℂ23
ℂ31 ℂ32 ℂ33
ℂ14 ℂ15 ℂ16
ℂ24 ℂ25 ℂ26
ℂ34 ℂ35 ℂ36
ℂ41 ℂ42 ℂ43
ℂ51 ℂ52 ℂ53
ℂ61 ℂ62 ℂ63
ℂ44 ℂ45 ℂ46
ℂ54 ℂ55 ℂ56
ℂ64 ℂ65 ℂ66
 
)
 
 
 
∙
{
 
 
 
 
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝜀𝑧
2𝛾𝑥𝑦
2𝛾𝑦𝑧
2𝛾𝑧𝑥}
 
 
 
 
 (21) 
 
Ainda, de forma inversa a equação (20) fica: 
 
𝜀𝑖𝑗 = 𝐷𝑖𝑗𝑘𝑙𝜎𝑘𝑙 (22) 
 
Conforme ensaios, pode-se observar que as tensões 𝜎𝑥, 𝜎𝑦 e 𝜎𝑧 não geram 
distorções 𝛾𝑥𝑦, 𝛾𝑦𝑧 e 𝛾𝑧𝑥, assim, 𝐷41, 𝐷42, 𝐷43, 𝐷51, 𝐷52, 𝐷53, 𝐷61, 𝐷62, 𝐷63 são nulos. 
De maneira análoga, tensões cisalhantes não causam deformações longitudinais, logo: 
𝐷14, 𝐷15, 𝐷16, 𝐷24, 𝐷25, 𝐷26, 𝐷34, 𝐷35, 𝐷36 são também nulos. Em materiais 
isotrópicos os coeficientes 𝐷44, 𝐷55, 𝐷66 são iguais a 1/2𝐺, na qual G é conhecido 
como o módulo de elasticidade transversal do material, o que gera as equações: 
 
𝜏𝑥𝑦 = 𝐺 𝛾𝑥𝑦 
(23) 𝜏𝑦𝑧 = 𝐺 𝛾𝑦𝑧 
𝜏𝑧𝑥 = 𝐺 𝛾𝑧𝑥 
 
Observações experimentais no ensaio de tração constataram que quando se 
aplica uma força de tração em uma direção de um sólido, este se deforma (encurta) 
lateralmente proporcionalmente ao alongamento da fibra na direção da força. A 
 
constante de proporcionalidade é chamada de coeficiente de Poisson (𝜈). Assim, tem-
se que as constantes 𝐷11, 𝐷22, 𝐷33 tem o a forma 1/𝐸, na qual 𝐸 é o módulo de 
elasticidade do material e 𝐷12, 𝐷21, 𝐷13, 𝐷31, 𝐷32, 𝐷23 são −𝜈/𝐸, em que o sinal 
negativo significa que ouve encurtamento. Portanto: 
 
𝜀𝑥 =
1
2𝐺
𝜎𝑥 − −
𝜈
𝐸
∗ (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧) 
(24) 𝜀𝑦 =
1
2𝐺
𝜎𝑦 − −
𝜈
𝐸
∗ (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧) 
𝜀𝑧 =
1
2𝐺
𝜎𝑧 − −
𝜈
𝐸
∗ (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧) 
 
e: 
 
{
 
 
 
 
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝜀𝑧
2𝛾𝑥𝑦
2𝛾𝑦𝑧
2𝛾𝑧𝑥}
 
 
 
 
=
1
𝐸
(
 
 
 
1 −𝜈 −𝜈
−𝜈 1 −𝜈
−𝜈 −𝜈 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(1 + 𝜈) 0 0
0 (1 + 𝜈) 0
0 0 (1 + 𝜈)
 
)
 
 
 
∙
{
 
 
 
 
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜎𝑧
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥}
 
 
 
 
 (25) 
 
Sabendo que a constante de Lamé (𝜆) é dada por: 
 
𝜆 =
𝜈𝐸
(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)
 (26) 
 
e utilizando a forma inversa de (25), chega-se nas 6 equações que faltavam: 
 
𝜎𝑥 = 2𝐺𝜀𝑥 + 𝜆(𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧) 
(27) 
𝜎𝑦 = 2𝐺𝜀𝑦 + 𝜆(𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧) 
𝜎𝑧 = 2𝐺𝜀𝑧 + 𝜆(𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧) 
𝜏𝑥𝑦 = 𝐺 𝛾𝑥𝑦 
𝜏𝑦𝑧 = 𝐺 𝛾𝑦𝑧 
𝜏𝑧𝑥 = 𝐺 𝛾𝑧𝑥2.5 Condições de contorno 
 
Segundo Seangatith (2001) as condições de contorno são condições pré-
descritas de deslocamentos e forças no contorno do sólido. Na figura 4 pode-se 
observar um problema com um misto entre uma condição de contorno referente a 
forças (carga P) e uma condição de descolamento (borda AB engastada). 
 
 
Fig. 4 Condições de contorno (fonte: Advanced mechanics of materials, S. Seangatith.) 
 
Conforme Saad (2005), as condições de contorno são descritas utilizando as 
coordenadas especificadas no problema, assim, pode-se utilizar-se das condições como 
valores prescritos. Por exemplo, para condições de contorno do tipo apoio, é comum 
fixar bordas que zeram os deslocamentos. 
Agora considerando a figura 5, escreve-se as forças prescritas apenas nas 
facetas de normal paralela ao plano 𝑥𝑦. Sendo 𝑙 = cos 𝛼 e 𝑚 = cos 𝛽, obtém-se: 
 
 
Fig. 5 força aplicada no contorno (fonte: Introdução à Teoria da Elastic., S. F. Villaça/L. F. T. Garcia) 
 
𝜎𝑥𝑙 + 𝜏𝑦𝑥𝑚 = �̅�𝑥 
(28) 
𝜏𝑥𝑦𝑙 + 𝜎𝑦𝑚 = �̅�𝑦 
 
 
 
Assim, a figura 6 representa um resumo das equações para formulação de um 
problema de elasticidade: 
 
 
Fig. 6 Sistemas de equações para elasticidade (fonte: Elasticity, M. Saad.) 
 
2.6 Função de Airy 
 
Como foi demonstrado, para solucionar um problema de elasticidade é preciso 
a integração das equações diferenciais do equilíbrio, junto com a equação de 
compatibilidade e as condições de contorno. Para problemas planos, essas equações se 
reduzem à: 
 
𝜕𝜎𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑦
+ 𝐹𝑥 = 0 
(a) Eq. do 
equilíbrio 
(29) 
𝜕𝜎𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥
+ 𝐹𝑦 = 0 
(
𝜕2
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝜕𝑦2
) (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦) 
(b) Eq. da 
compatibilidade 
 
As equações de equilíbrio podem ser satisfeitas pelas funções de tensões 
𝜙(𝑥, 𝑦). G. B. Airy relacionou as tensões da seguinte forma: 
 
 
𝜎𝑥 =
𝜕2𝜙
𝜕𝑦2
; 𝜎𝑦 =
𝜕2𝜙
𝜕𝑥2
; 𝜏𝑥𝑦 = −
𝜕2𝜙
𝜕𝑥𝜕𝑦
 (30) 
 
E, substituindo (29) em (28,b), obtém-se: 
 
𝜕4𝜙
𝜕𝑥4
+ 2
𝜕4𝜙
𝜕𝑥2𝜕𝑦2
+
𝜕4𝜙
𝜕𝑦4
= ∇4𝜙 = 0 (31) 
 
Essa é uma formulação para problemas bidimensionais desconsiderando forças 
externas, de modo que exige a solução de uma equação biharmônica, que deve 
satisfazer as condições de contorno. Portanto, o uso da função de tensões de Airy 
assegura o atendimento ao equilíbrio, e reduz o problema a uma única equação 
diferencial envolvendo uma única incógnita. 
Esse tipo de solução são chamadas de soluções polinomiais, onde têm a forma 
de: 
𝜙(𝑥, 𝑦) = ∑∑𝑐𝑚𝑛𝑥
𝑚𝑦𝑛
𝑛𝑚
 (32) 
 
Para m, n < 3, a equação (31) é sempre satisfeita. Para polinômios com grau 
maior, deve-se procurar relações entre as constantes para satisfazer (31). 
 
 
3 PROBLEMA DE ESTUDO 
 
Considerando uma barra prismática de espessura unitária com coordenadas planas 
{(𝑥, 𝑦) ∈
ℝ2
0
≤ 𝑥 ≤ 𝐿,−𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑐} e a função de Airy 𝜙(𝑥, 𝑦) = 𝑐4𝑥
2𝑦2 (na qual 𝑐4 é uma 
constante), determinar: 
 
(a) As tensões no contorno da barra (𝑥 = 0, 𝑥 = 𝐿, 𝑦 = 𝑐 e 𝑦 = −𝑐); 
(b) O esforço normal ao longo do eixo x; 
(c) O esforço cortante ao longo de x; 
(d) O momento fletor interno ao longo do eixo x. 
 
 
 
3.1 Tensões no contorno 
 
Para a resolução desse problema, utiliza-se as relações (30), onde se considera 
que as forças de volume são nulas. Assim, obtém-se: 
 
 Na direção x 
 
𝜎𝑥 =
𝜕2𝜙
𝜕𝑦2
= 2𝑐4𝑥
2 
(33) 
𝑥 = 0 → 𝜎𝑥 = 𝟎 
𝑥 = 𝐿 → 𝜎𝑥 = 𝟐𝒄𝟒𝑳
𝟐 
 
𝜏𝑥𝑦 = −
𝜕2𝜙
𝜕𝑥𝜕𝑦
= −4𝑐4𝑥𝑦 
(34) 𝑥 = 0 → 𝜏𝑥𝑦 = 𝟎 
𝑥 = 𝐿 → 𝑡𝑥𝑦 = −𝟒𝒄𝟒𝑳𝒚 
 
 Na direção y 
 
𝜎𝑦 =
𝜕2𝜙
𝜕𝑥2
= 2𝑐4𝑦
2 
(35) 𝑦 = 𝑐 → 𝜎𝑦 = 𝟐𝒄𝟒𝒄
𝟐 
𝑦 = −𝑐 → 𝜎𝑦 = 𝟐𝒄𝟒𝒄
𝟐 
 
𝜏𝑥𝑦 = −
𝜕2𝜙
𝜕𝑥𝜕𝑦
= −4𝑐4𝑥𝑦 
(36) 𝑦 = 𝑐 → 𝜏𝑥𝑦 = −𝟒𝒄𝟒𝒙𝒄 
𝑦 = −𝑐 → 𝑡𝑥𝑦 = 𝟒𝒄𝟒𝒙𝒄 
 
O que geram as tensões no contorno conforme figura 7 a seguir: 
 
 
 
 
Fig. 7 Tensões na barra (fonte: autor.) 
 
3.2 Esforço Normal na direção x 
 
Segundo a teoria de vigas de Bernoulli-Euler, calcula-se o esforço normal da 
seguinte forma: 
 
𝑁 = ∫ 𝜎𝑥𝑑𝐴
𝐴
 (37) 
 
A área “A” é função da direção em y e da espessura do sólido, da qual é 
unitária nesse caso. Tem-se então: 
 
𝑁 = ∫ 2𝑐4𝑥
2𝑑𝑦
𝑐
−𝑐
= 2𝑐4𝑥
2𝑦 |
𝑦 = 𝑐
𝑦 = −𝑐 → 𝑵𝒙 = 𝟒𝒄𝟒𝒄𝒙
𝟐 (38) 
 
 
3.3 Esforço Cortante na direção x 
 
Conforme a teoria de vigas: 
 
𝑉 = ∫ 𝜎𝑥𝑦𝑑𝐴
𝐴
 (39) 
 
 
𝑉𝑥 = ∫ −4𝑐4𝑥𝑦𝑑𝑦
𝑐
−𝑐
= −2𝑐4𝑥𝑦
2 |
𝑦 = 𝑐
𝑦 = −𝑐 → 𝑽𝒙 = 𝟎 (40) 
 
3.4 Momento Fletor na direção x 
 
Como o esforço normal, o momento fletor é dado como: 
 
𝑀 = ∫ 𝜎𝑥𝑦𝑑𝐴
𝐴
 (41) 
 
𝑀𝑥 = ∫ 2𝑐4𝑥
2𝑦𝑑𝑦
𝑐
−𝑐
= 𝑐4𝑥
2𝑦2 |
𝑦 = 𝑐
𝑦 = −𝑐 → 𝑴𝒙 = 𝟎 (42) 
 
 
4 ANÁLISE DOS RESULTADOS 
 
Conforme comentando, a função de Airy satisfaz naturalmente a equação de 
equilíbrio (20,a). 
 
𝜕𝜎𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑦
= 4𝑐4𝑥 − 4𝑐4𝑥 = 0 
(43) 
𝜕𝜎𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥
= 4𝑐4𝑦 − 4𝑐4𝑦 = 0 
 
Devido a tensão em 𝑥 ser constante na seção transversal, isto é, não variar com 
𝑦, o momento em torno de 𝑥 é igual a zero. O mesmo princípio se aplica ao esforço 
cortante. As tensões normais em 𝑦 são uniformemente distribuídas nas bordas da 
chapa. Ao longo de 𝑥 = 𝐿, as tensões normais são também constantes. As tensões 
cisalhantes são proporcionais a 𝑥 e 𝑦, da qual são triangulares em 𝑦 (−𝑐, 𝑐), variando 
em função de 𝑥. Quando 𝑥 = 0 são nulas e na borda 𝑥 = 𝐿, variam em função de 𝑦. O 
esforço normal varia parabolicamente com a seção e sua intensidade depende da 
constante 𝑐4. Na figura 8, pode-se visualizar um gráfico mostrando a distribuição de 
tensões normais em 𝑥, considerando 𝐿 = 10𝑚 e 𝑐 = 𝑐4 = 1. A cor vermelha é a parte 
de maior intensidade e azul a de menor. 
 
 
Fig. 8 Tensões 𝜎𝑥 ao longo da barra (fonte: autor.) 
 
 
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
A função de Airy é uma ótima ferramenta para resolução de problemas da elasticidade 
clássica. Porém, é importante analisar minuciosamente as condições de contorno. Cada 
polinômio oferece inúmeras soluções, da qual, dependem das constantes, sendo encontradas a 
partir das condições de contorno. 
A teoria da elasticidade, na estática, apresenta as soluções praticamente exatas de 
problemas mais simples. Contudo, a representação matemática de condições de contorno, 
carregamentos e comportamento do material podem ser complexos. Isso exige simplificações 
que podem não trazer a solução de forma analítica. Assim, é necessário adotar métodos 
numéricos. 
 
 
 
Agradecimentos 
 
Agradecemos ao PECC e às agências fomentadoras CAPES e CNPq pelo apoio 
financeiro. 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
ALVES, L.M..Introdução a Mecânica do Contínuo: uma abordagem moderna. 2001. 329 f. 
Notas de Aula (Introdução a Mecânica do Contínuo) – Departamento de Engenharia Civil, 
Universidade do Paraná, Curitiba, 2001. 
 
CODA, H.B.. Fundamentos da Mecânica dos Materiais e das Estrutras. 2013. 165 f. Notas 
de Aula (Fundamentos da Mecânica dos Materiais e das Estrutras) – Departamento de 
Engenharia de Estruturas, Universidade de São Carlos, São Paulo, 2013. 
 
GARCIA, L.F; VILLAÇA, S.F. Introdução à Teoria da Elasticidade. Rio de Janeiro: 
COPPE/UFRJ, 1998. 247 p. 
 
SADD, M. Elasticity: Theory, applications, and numerics. Oxford: Elsevier, 2005. 567 p. 
 
SEANGATITH, S.. Advanced Mechanics of Materials. 2001. 308 f. Notasde Aula (Advanced 
Mechanics of Materials) – School of Civil Engineering, Suranaree University of Technology, 
Nakhon Ratchasima, 2001. 
 
TIMOSHENKO, S.; GOODIER, J.N. Theory of Elasticity. Michigan: McGraw-Hill, 1969. 
567 p.