Elasticidade30Mar2020

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E 
CONSTRUÇÃO CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE ESTRUTURAS I 
Notas de Aula: Introdução à Teoria da Elasticidade 
 
 
 
 
 
 
 
Profs. Evandro Parente Junior e Antônio Macário Cartaxo de Melo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fortaleza, Ceará 
Março, 2020 
2 
 
 
 
ÍNDICE 
 
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 3 
2. TEORIA DA ELASTICIDADE....................................................................................... 4 
2.1. Tensões e Equilíbrio ...................................................................................................... 6 
2.1.1. Simetria do tensor das tensões .................................................................................. 9 
2.1.2. Tensões em um plano qualquer .............................................................................. 11 
2.1.3. Equações diferenciais de equilíbrio........................................................................ 13 
2.2. Cinemática ................................................................................................................... 15 
2.2.1. Relações entre deslocamentos e deformações ....................................................... 18 
2.2.2. Compatibilidade....................................................................................................... 21 
2.3. Relações constitutivas ................................................................................................. 22 
2.3.1. Exercícios .................................................................................................................. 27 
2.4. Solução de problemas de elasticidade ........................................................................ 28 
2.4.1. Estado Plano de Tensão e Estado Plano de Deformação ..................................... 30 
2.4.2. Exercícios .................................................................................................................. 48 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 50 
 
3 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 A bibliografia em português sobre análise de estruturas é bastante vasta (Sussekind, 
1974, Soriano, 2005; Soriano e Lima, 2006; Martha, 2010). Infelizmente, estes livros tratam 
apenas da análise de estruturas reticuladas, i.e. estruturas formadas por barras, como vigas, 
pórticos, treliças e grelhas. Assim, estruturas 2D e 3D são deixadas de lado. 
 Isto não ocorre porque estas estruturas não sejam importantes, afinal não é possível 
pensar no projeto de estruturas de edifício sem considerar as lajes, que são elementos 
estruturais essencialmente bidimensionais (placas). O mesmo ocorre no caso de edifícios de 
alvenaria estrutural, cujos elementos portantes são as paredes (chapas). 
 O foco da literatura sobre análise estrutural nas estruturas reticuladas decorre 
principalmente de duas razões. A primeira, sem dúvida, é a importância dos elementos de 
barra no projeto de estruturas de aço ou concreto, utilizadas na grande maioria das pontes e 
edifícios de múltiplos pavimentos construídos atualmente. A segunda razão é que o estudo de 
estruturas 2D e 3D é bem mais complexo que o de estruturas reticuladas, uma vez no primeiro 
caso a análise de estruturas recai em sistemas de Equações Diferenciais Parciais (EDP) de 
difícil solução, enquanto a análise de barras requer apenas o uso de Equações Diferenciais 
Ordinárias (EDO), cuja solução analítica pode ser realizada sem grande dificuldade. 
 Assim, o objetivo destas notas de aula é preencher a lacuna existente na literatura, 
apresentando de forma resumida os fundamentos da Teoria da Elasticidade e da Análise de 
Placas, necessários ao entendimento dos métodos utilizados na análise de estruturas 2D e 3D. 
Estes assuntos são tratados aqui em nível introdutório, acessível a alunos de graduação em 
Engenharia Civil. Os interessados em aprofundar seus conhecimentos podem consultar livros 
de Teoria da Elasticidade (Timoshenko e Goodier, 1980) e Placas (Souza e Cunha, 1998). 
 O texto está dividido em três capítulos. O Capítulo 2 apresenta uma introdução à Teoria 
da Elasticidade, incluindo tensões e equilíbrio, deslocamentos, deformações e 
compatibilidade, relação tensão-deformação e solução de problemas de elasticidade. O 
Capítulo 3 discute a análise de placas, apresentando tanto métodos simplificados como a 
Teoria das Placas, incluindo a solução de Navier e o uso de tabelas. 
 
4 
 
 
2. TEORIA DA ELASTICIDADE 
 
 A Teoria da Elasticidade corresponde ao ramo da Mecânica do Contínuo que trata do 
estudo de sólidos elásticos, em especial dos sólidos que apresentam relação linear entre 
tensões e deformações (lei de Hooke). Qualquer material se deforma sob a ação de um 
carregamento externo. Como será discutido posteriormente, o comportamento de um material 
é considerado elástico quando este retorna ao seu estado inicial imediatamente após a retirada 
do carregamento, não havendo o surgimento de trincas ou deformações permanentes. 
 A Mecânica do Contínuo ou Mecânica dos Meios Contínuos busca descrever o 
comportamento mecânico dos materiais sem considerar os detalhes da estrutura atômica e 
molecular dos materiais. Ela é baseada na hipótese do contínuo, segundo a qual: a natureza 
descontínua (i.e. discreta) da matéria pode ser representada por um material (ou meio) 
contínuo hipotético. 
 A hipótese do contínuo permite descrever o comportamento dos corpos deformáveis 
através de equações diferenciais, conciliando a física (mecânica) com a matemática (cálculo 
diferencial e integral). É interessante notar que matematicamente os elementos diferenciais 
podem ser infinitesimais, mas em um problema físico este processo de limite recairia em 
elementos diferenciais que poderiam conter apenas o núcleo de um átomo e outros que seriam 
vazios! 
 Obviamente as propriedades mecânicas dos materiais são determinadas pela sua 
composição e estrutura atômica, sendo um tópico de estudos da Ciência e Engenharia de 
Materiais. Contudo, um volume mesmo pequeno de material contém milhões (ou bilhões) de 
átomos, o que permite definir propriedades macroscópicas médias destes materiais para serem 
utilizadas na análise de elementos estruturais. Outro aspecto importante é que como a 
Mecânica do Contínuo lida com grandezas macroscópicas ela pode ser formulada utilizando 
os conceitos da Mecânica Newtoniana, sem a necessidade de considerar os fenômenos 
quânticos necessários ao estudo de átomos e moléculas. 
 É interessante notar que a hipótese do contínuo pode ser utilizada não apenas para 
abstrair a estrutura atômica e molecular dos materiais, mas também em escalas maiores 
através do conceito de homogeneização, ilustrado na Figura 1. 
 
 
 
 
5 
 
 
 
Figura 1 – Homogeneização. 
 
 O conceito de homogeneização forma a base para a análise de estruturas de materiais 
compósitos, como o concreto. Este material é formado pela combinação de cimento, água, 
agregado miúdo (areia) e agregado graúdo (brita) em uma mistura heterogênea, mesmo vista a 
olho nu. Contudo, se o objetivo é analisar uma barragem, ponte, edifício ou mesmo uma viga 
isolada, não seria possível (nem necessário) considerar a heterogeneidade do concreto. Isto 
ocorre porque as dimensões dos constituintes do concreto são de ordens de grandeza menores 
que os das estruturas citadas, afetando o estado de tensões localmente, mas tendo pouca 
influência no comportamento global da estrutura. 
 Utilizando o conceito de homogeneização, as propriedades dos materiais utilizadas na 
análise estrutural são obtidas em laboratório utilizando amostras (corpos de prova) de 
dimensões apropriadas, de maneira a obter valores compatíveis com as dimensões do sólido 
ou estruturaa ser analisado. As dimensões dos corpos de prova são definidas a partir de um 
Elemento de Volume Representativo (EVR) do material. 
 O EVR pode ser definido como o menor volume de material cujas propriedades médias, 
também conhecidas como efetivas ou aparentes, representam de forma satisfatória o 
comportamento do material, quando visto de uma escala macroscópica. Desta forma, o 
tamanho do EVR depende da estrutura interna (microestrutura) do material. Se o EVR for 
muito pequeno ele não representará bem o comportamento do material, podendo haver grande 
variabilidade das propriedades calculadas. Por outro lado, um EVR (e um corpo de prova 
correspondente) muito grande é difícil de manusear em laboratório. A influência da 
pasta + ag. miúdo + ag. 
graúdo
concreto
 
 
microestrutura do material fica clara na diferença do tamanho dos 
nos ensaios com argamassas e concretos.
 É importante notar que a hipótese do contínuo permite realizar a análise de estruturas 
sem se preocupar com a composição química 
fatores são considerados de maneira indireta nas propriedades mecânicas utilizadas na análise, 
como o módulo de elasticidade
 
2.1. Tensões e Equilíbrio 
 
 As forças externas atuantes sobre um sólido 
básicos: 
 Forças de corpo (ou de volume)
distribuída no interior do só
eletromagnéticas. As forças de corpo 
 Forças de superfície (ou forças de contato)
sólido onde este entra em contato com outros corpos
força/área (F/L-2). 
 Além das forças externas, os corpos também são 
correspondentes à interação entre 
suas partes também estão. Considere 
na Figura 2. Se este corpo for dividido de forma imaginária em 2 partes distintas (
Figura 3) por uma seção plana
forças de interação entre as partículas das partes 
internas que mantém as duas partes do sólido unidas ou as partes isoladas em
individualmente. 
6 
microestrutura do material fica clara na diferença do tamanho dos corpos 
nos ensaios com argamassas e concretos. 
É importante notar que a hipótese do contínuo permite realizar a análise de estruturas 
r com a composição química e a microestrutura dos materiais. O efeito destes 
fatores são considerados de maneira indireta nas propriedades mecânicas utilizadas na análise, 
como o módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson, tensão de escoamento
As forças externas atuantes sobre um sólido podem ser classificadas em
orças de corpo (ou de volume): correspondem àquelas que atuam 
distribuída no interior do sólido, como as forças gravitacionais (pe
As forças de corpo têm unidades de força/volume (
orças de superfície (ou forças de contato): atuam apenas na superfície externa do 
sólido onde este entra em contato com outros corpos. Estas forças têm
Além das forças externas, os corpos também são submetidos 
interação entre suas partículas. Se o corpo está em equilíbrio, então todas as 
o. Considere um corpo submetido a forças externas
. Se este corpo for dividido de forma imaginária em 2 partes distintas (
) por uma seção plana, surgirão nesta seção forças distribuídas correspondentes às 
interação entre as partículas das partes I e II. Estas forças correspondem às forças 
as duas partes do sólido unidas ou as partes isoladas em
 
 
 de prova utilizados 
É importante notar que a hipótese do contínuo permite realizar a análise de estruturas 
microestrutura dos materiais. O efeito destes 
fatores são considerados de maneira indireta nas propriedades mecânicas utilizadas na análise, 
tensão de escoamento, etc. 
podem ser classificadas em dois tipos 
correspondem àquelas que atuam de forma 
lido, como as forças gravitacionais (peso próprio) e 
nidades de força/volume (F/L-3). 
na superfície externa do 
Estas forças têm unidades de 
submetidos a forças internas 
Se o corpo está em equilíbrio, então todas as 
forças externas, como mostrado 
. Se este corpo for dividido de forma imaginária em 2 partes distintas (I e II - 
surgirão nesta seção forças distribuídas correspondentes às 
Estas forças correspondem às forças 
as duas partes do sólido unidas ou as partes isoladas em equilíbrio 
7 
 
 
Figura 2 – Sólido em equilíbrio. 
 
 
Figura 3 - Forças internas. 
 
 As forças internas portanto são forças de superfície distribuídas na seção S. A tensão 
média ( ) atuante nesta seção é um vetor que pode ser definido como a razão: 
 (1) 
onde F é o vetor resultante da forças internas e A é a área da seção S. O subscrito n foi 
utilizado para enfatizar que o vetor tensão depende da seção S, caracterizada pelo seu vetor 
normal unitário n, sempre definido no sentido do interior do corpo para o meio externo. É 
importante notar que, a tensão média não é uma boa medida para caracterizar o 
comportamento do sólido, uma vez que as forças internas normalmente variam ponto a ponto. 
Como ilustrado na Figura 4, o vetor tensão (tn) em um ponto é definido pelo limite: 
 (2) 
É interessante notar que a partir de sua definição, o vetor tensão é uma força de superfície. 
Assim, a força atuante no elemento diferencial de área pode ser calculada simplesmente 
multiplicando a tensão pela área do elemento: 
 (3) 
 
nt
An
F
t 
dA
d
AAn
FF
t 



 0
lim
dAd ntF 
8 
 
 
 
Figura 4 – Vetor tensão. 
 
 O vetor tensão pode ser decomposto em 2 componentes ortogonais, uma paralela ao 
vetor normal (n) e outra perpendicular a este vetor, como mostrado na Figura 5. A 
componente paralela ao vetor n corresponde à tensão normal (n) e a componente 
perpendicular a n (i.e. tangencial à seção S) corresponde à tensão cisalhante (n). A 
componente normal do vetor tensão pode ser escrita como 
 (4) 
onde  corresponde ao valor da tensão normal, sendo considerada positiva quando em tração 
(mesmo sentido de n) e negativa em compressão (sentido oposto a n). A componente 
tangencial do vetor tensão pode ser obtida então por diferença de vetores: 
 (5) 
onde n é módulo da tensão de cisalhamento. 
 
 
Figura 5 – Decomposição do vetor tensão. 
 
 Como indicado pela presença do vetor n na Equação (2), o vetor tensão t varia não 
apenas com o ponto considerado (x, y, z), mas também com o plano escolhido. Assim, existem 
infinitos vetores t em um ponto do sólido. Contudo, pode ser demonstrado que o estado de 
nn
nnnnn τ τσt 
9 
 
 
tensões em um ponto é definido de maneira única pelos valores das componentes do vetor 
tensão em 3 planos perpendiculares, cujas componentes são agrupadas no tensor das tensões. 
 
Figura 6 – Tensor das tensões. 
 
 O tensor das tensões é formado pelos vetores tensão atuantes nos planos cartesianos: 
 (6) 
onde a componente ij do tensor das tensões é calculada como a razão entre a força na direção 
j e a área cuja normal é paralela ao eixo i, como ilustrado na Figura 6. Na notação de 
engenharia, as componentes  correspondem às tensões normais e as componentes  às 
tensões de cisalhamento (ou tangenciais). De acordo com esta equação, o estado de tensão em 
um ponto é caracterizado por 9 componentes. 
 Em muitas situações de interesse prático, o carregamento, a geometria e os apoios são 
tais que as tensões na direção z são nulas. Neste caso, tem-se um Estado Plano de Tensão e o 
tensor das tensões pode ser escrito de forma compacta como: 
 (7) 
Neste caso, apenas 4 componentes são necessárias para caracterizar o tensor das tensões. 
 
2.1.1. Simetria do tensor das tensões 
 
y
x 
z 
dx 
yz
yx
y
zy
zx
z
xy
xz
x
dz 
dy 






















zzyzx
yzyyz
xzxyx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx






 ou













yyx
xyx
yyyx
xyxx




 ou
10 
 
 
 A partir do equilíbrio dos momentos atuantes no elemento diferencial de espessura dz 
submetido a um Estado Plano de Tensão e mostrado na Figura 7 tem-se: 
 (8) 
Aplicando o mesmo raciocínio aos planos xz e yz, pode-se mostrar que yx = xy e zx = xz. 
Portanto, as tensões decisalhamento atuantes em planos perpendiculares são sempre iguais. 
 
Figura 7 – Equilíbrio dos momentos. 
 
 Como as tensões de cisalhamento em planos ortogonais são iguais, o tensor das tensões 
pode ser escrito como 
 (9) 
Portanto, em consequência direta do equilíbrio de momentos verifica-se que o tensor das 
tensões é simétrico: 
 (10) 
 Devido à simetria, o tensor das tensões possui apenas 6 componentes independentes no 
caso tridimensional. Em consequência, as tensões podem ser escritas de forma mais 
conveniente utilizando a notação vetorial: 
xyyxyxxyz dydzdxdxdzdyM   )()(0
dx 
.O dy x x 
xy 
xy 
y 
y 
xy 
xy 











zyzxz
yzyxy
xzxyx



σ
11 
 
 
 (11) 
Pois neste caso, evita-se a repetição de elementos iguais. No caso bidimensional, a simetria do 
tensor das tensões implica que: 
 (12) 
Utilizando-se a notação vetorial, tem-se simplesmente: 
 (13) 
 
2.1.2. Tensões em um plano qualquer 
 
 As tensões em um plano qualquer podem ser obtidas a partir do equilíbrio do tetraedro 
diferencial mostrado na Figura 8: 
 (14) 
Por outro lado, a relação entre a normal e as áreas do tetraedro é dada por: 
 (15) 
Portanto, ni são as componentes (i.e. os cossenos diretores) do vetor normal unitário n. 
 





















yz
xz
xy
z
y
x






σ







yxy
xyx














xy
y
x




00
00
00






zzzyyzxxzzz
zzyyyyxxyyy
zzxyyxxxxxx
dAdAdAdAtF
dAdAdAdAtF
dAdAdAdAtF



zyxi
dA
dA
ndAndA iiii ,,onde, 
12 
 
 
 
Figura 8 – Tetraedro de Cauchy. 
 
 Substituindo a Equação (15) na Equação (14) e escrevendo o resultado na forma 
matricial, tem-se 
 (16) 
De acordo com esta expressão, o vetor de tensões (t) em um plano qualquer pode ser 
calculado a partir do tensor das tensões () e do vetor normal a este plano (n). Isto demonstra 
que o estado de tensões em um ponto pode ser totalmente descrito pelo tensor das tensões. 
 Esta expressão foi obtida inicialmente por Cauchy no século XIX e o tensor utilizado é 
conhecido como tensor das tensões de Cauchy. Em consequência da simetria do tensor das 
tensões, tem-se que 
 (17) 
 No caso de pontos localizados na superfície externa (i.e. contorno ou fronteira) do 
sólido, o vetor tensão (t) é igual a força externa de superfície (fs) aplicada nestes pontos. 
Desta forma, de acordo com a Equação (17), para que um dado campo de tensões seja a 
solução de um problema de elasticidade é necessário que a condição 
y 
x 
z 
dAx 
dAy 
dAz 
yx
yz
y
zx
zy
z
 xy
 xz
x
tn n 
nt 































z
y
x
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
z
y
x
n
n
n
t
t
t



13 
 
 
 (18) 
seja satisfeita em toda a superfície do sólido onde forças de superfície são prescritas, 
incluindo o caso de superfícies livres de forças externas (fs = 0). É importante notar que a 
Equação (18) é uma das condição de contorno do problema de análise de tensões. 
 
2.1.3. Equações diferenciais de equilíbrio 
 
 O campo de tensões no interior do sólido pode variar de um ponto para outro. Portanto, 
no caso de um estado plano de tensão tem-se que: 
 (19) 
Contudo, as condições de equilíbrio impõem restrições sobre a variação do campo de tensões, 
levando a um conjunto de equações diferenciais de equilíbrio. 
 
Figura 9 – Elemento diferencial em equilíbrio. 
 
 Se um sólido submetido a forças externas está em equilíbrio, então cada elemento 
diferencial deste sólido também deve estar em equilíbrio. Considere por exemplo o elemento 
diferencial em estado plano de tensão submetido a forças de corpo bx e by mostrado na Figura 
9. O equilíbrio de forças na direção x resulta na equação: 
 (20) 
Agrupando os termos comuns, escrevendo os incrementos de tensão e dividindo pelo volume 
diferencial dV = dx dy dz chega-se a 
),(
),(
),(
yx
yx
yx
xyxy
yy
xx






dx 
O 
bx dy 
by 
x+dx x 
xy+dxy 
xy 
y 
y+dy 
xy 
xy+dxy 
( x +d x )dydz   x dydz + ( xy +d xy)dxdz  xy dxdz+ bxdxdydz 0
14 
 
 
 
(21) 
Reconhecendo que os dois primeiros termos na equação acima correspondem às derivadas 
parciais das tensões, chega-se à equação diferencial de equilíbrio na direção x: 
 (22) 
 Analogamente, o equilíbrio do elemento diferencial da Figura 9 na direção y leva à 
equação 
 (23) 
Rearranjando os termos, escrevendo os incrementos de tensão e dividindo pelo volume 
diferencial dV = dx dy dz chega-se a 
 
(24) 
Portanto, a equação diferencial de equilíbrio na direção y é dada por 
 (25) 
 Desta forma, o campo de tensões no interior de um sólido em equilíbrio em um estado 
plano de tensão deve satisfazer às equações diferenciais de equilíbrio: 
 (26) 
Utilizando o mesmo raciocínio, mas considerando um elemento diferencial sujeito a um 
estado geral de tensões, obtêm-se as equações diferenciais de equilíbrio para o caso 
tridimensional: 
 (27) 

x
+
¶
x
¶x
dx
æ
èç
ö
ø÷
 
x
dx
+

xy
+
¶
xy
¶y
dy
æ
è
ç
ö
ø
÷   xy
dy
+ b
x
 0
0+
¶
¶
+
¶
¶
x
xyx b
yx

( y + d y)dxdz   ydxdz + ( xy +d xy)dydz  xy dydz+ bydxdydz 0

xy
+
¶
xy
¶x
dx
æ
è
ç
ö
ø
÷   xy
dx
+

y
+
¶
y
¶y
dy
æ
è
ç
ö
ø
÷   y
dy
+ b
y
 0
0+
¶
¶
+
¶
¶
y
yxy b
yx








+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
0
0
y
yxy
x
xyx
b
yx
b
yx











+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
0
0
0
z
zyzxz
y
yzyxy
x
xzxyx
b
zyx
b
zyx
b
zyx



15 
 
 
 
2.1.4. Exercícios 
 
1. Utilize as condições de contorno na superfície externa de um corpo para determinar o 
maior número de componentes de tensão nos pontos A, B, C e D da chapa abaixo 
(Estado Plano de Tensões) de espessura t (m) submetida à carga distribuída q (N/m). 
 
2. Considere que as tensões no plano xy são dadas por x = -6ax2, y = 12ax2 e xy = 6ay2, 
onde a é uma constante. 
(a) Considere uma região retangular 0 ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ b. Determine as forças de 
superfície (fx e fy) em cada lado desta região e represente estas forças graficamente. 
(b) Se as forças de corpo são nulas, este campo de tensões é possível? Justifique. 
 
2.2. Cinemática 
 
 Cinemática é a parte da Mecânica que trata do estudo do movimento sem considerar as 
suas causas. No caso de corpos deformáveis, a cinemática trata não apenas de deslocamentos, 
mas também das deformações. 
A 
B 
C D q x 
y 
16 
 
 
 
Figura 10 – Configurações inicial (I) e final (II) de um corpo. 
 
 Considere um corpo deformável que sai da sua configuração (i.e. geometria) inicial (I) e 
assume uma configuração final (II) devido uma certa ação externa, como mostrado na Figura 
10. Durante este movimento um ponto qualquer P(x) no interior do corpo se move para a 
posição ( ). Os deslocamentos deste ponto correspondem à diferença entre a posição 
inicial e final: 
 (28) 
Portanto, o deslocamento u é um vetor cujas componentes nas direções dos eixos cartesianos 
são dadas por: 
 (29) 
É importante notar que em um corpo deformável cada ponto pode apresentar deslocamentos 
diferentes fazendo com que o campo de deslocamentos possa variar ponto a ponto. Portanto: 
 (30) 
 Em geral, os deslocamentos sofridos pelos corpos podem ser decompostos em duas 
parcelas: os deslocamentos de corpo rígido e as deformações. No caso de estruturas, 
deslocamentos globais de corpo rígido não são aceitáveis e apoios apropriados devem ser 
P x
xxu 








zzw
yyv
xxu








),,(
),,(
),,(
zyxww
zyxvv
zyxuu
I 
II 
17 
 
 
utilizados para impedir a sua ocorrência. Portanto, quando submetida a forças externas as 
estruturas sofrem deformações cuja avaliação é um dos objetivos da Teoria da Elasticidade.(a) Normais (b) Cisalhantes 
Figura 11 – Deformações. 
 
 As deformações podem ser de dois tipos básicos: as deformações normais ou 
extensionais () e as deformações cisalhantes ou angulares (). As deformações normais 
medem a variação do comprimento ao longo de uma linha AB qualquer entre a configuração 
inicial e a configuração final, como ilustrado na Figura 11(a). Matematicamente a deformação 
normal é definida como a variação de comprimento sobre o comprimento inicial: 
 (31) 
Portanto, as deformações normais são positivas no caso de alongamento (tração) e negativas 
no caso de encurtamento (compressão). 
 As deformações cisalhantes medem a variação angular (distorção) sofridas pelo corpo, 
como ilustrado na Figura 11(b). Como os ângulos já são grandezas adimensionais, a 
deformação angular é definida como: 
 (32) 
Onde os ângulos devem ser medidos em radianos. 
 A partir das definições acima, percebe-se que variando a inclinação das retas AB e AC 
diferentes deformações seriam medidas no ponto A. Na verdade, assim como no caso das 
tensões, a caracterização das deformações em um ponto é feita por um tensor: 
 (33) 
O tensor das deformações também é simétrico: 
ds
dssd 

 











zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx



ε
 
 B 
A 
O 
 
B’ 
A’ 
 O’ 

’ 
 
A
B
ds 
 
 B’ 
A’ 
ds' 
18 
 
 
 (34) 
Assim, as deformações podem ser escritas utilizando a notação vetorial: 
 
(35) 
No caso do bidimensional, as deformações se simplificam para 
 
(36) 
 
2.2.1. Relações entre deslocamentos e deformações 
 
 O campo de deformações é obtido a partir do campo de deslocamentos no interior do 
corpo. Na maioria das estruturas utilizadas na prática os deslocamentos relativos são 
pequenos, fazendo com que as deformações sejam pequenas quando comparadas com a 
unidade: 
(37) 
A hipótese de pequenos deslocamentos simplifica bastante as relações entre deslocamentos e 
deformações, como será visto a seguir. 
 
 








zyyz
zxxz
yxxy













































yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
x












2
2
2
ε






















xy
y
x
xy
y
x






2
ε
1)1(1 + 
 
 
Figura 12 –
http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory
 Os deslocamentos sofridos pelo corpo
definida a partir da variação do comprimento horizontal da linha 
onde o comprimento deformado pode
pontos A e B: 
Substituindo esta expressão na Equação 
 A deformação y é definida a partir
onde o comprimento deformado pode ser determinado a partir das coordenadas finais dos 
pontos A e C: 
ydxxudxxxd +++ )),((
dyyxvdyyyd +++ )),((
19 
 
– Relações deslocamento-deformação (Fonte: 
http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory)
 
Os deslocamentos sofridos pelo corpo são mostrados na Figura 12. A
definida a partir da variação do comprimento horizontal da linha AB: 
 comprimento deformado pode ser determinado a partir das coordenadas finais dos
Substituindo esta expressão na Equação (38) chega-se a: 
 definida a partir da variação do comprimento horizontal da linha 
 deformado pode ser determinado a partir das coordenadas finais dos 
dx
dxxd
AB
ABBA x
x




)(
dxyxuydxxudxyxux +++ ),(),()),(())
x
u
x ¶
¶

dy
dyyd
AC
ACCA x
y




)(
dyyxvdyyxvdyyxvy +++ ),(),()),(())
D’ 
C’ 
B’ 
A’ 
 
Fonte: 
). 
. A deformação x é 
(38) 
ser determinado a partir das coordenadas finais dos 
 
(39) 
(40) 
da variação do comprimento horizontal da linha AC: 
(41) 
deformado pode ser determinado a partir das coordenadas finais dos 
 
(42) 
dx
x
u
dx
¶
¶
+
dy
y
v
dy
¶
¶
+
20 
 
 
Substituindo esta expressão na Equação (41) chega-se a: 
 
(43) 
 Finalmente, de acordo com a Figura 12 a deformação angular é dada por 
(44) 
Considerando que  e  são os ângulos pequenos e utilizando as Equações (38) e (41), pode-
se escrever: 
 
(45) 
Portanto, a deformação angular pode ser calculada a partir da expressão: 
 
(46) 
A rotação (xy) do ponto A pode ser escrita como: 
 
(47) 
sendo positiva a rotação no sentido anti-horário. A rotação é útil na aplicação das condições 
de contorno em deslocamentos. 
 Utilizando um procedimento análogo, obtêm-se as relações deslocamento-deformação 
para problemas tridimensionais: 
 
(48) 
y
v
y ¶
¶

 +xy
y
u
dy
dy
y
u
yd
dy
y
u
tg
x
v
dx
dx
x
v
xd
dx
x
v
tg
y
x
¶
¶

+
¶
¶


¶
¶

¶
¶

+
¶
¶


¶
¶

)1(
)(
)1(
)(




y
u
x
v
xy ¶
¶
+
¶
¶


xy

1
2
  ( ) xy  12
¶v
¶x

¶u
¶y
æ
èç
ö
ø÷
z
v
y
w
z
u
x
w
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u
yz
xz
xy
z
y
x
¶
¶
+
¶
¶

¶
¶
+
¶
¶

¶
¶
+
¶
¶

¶
¶

¶
¶

¶
¶







21 
 
 
 É importante notar que na obtenção das deformações foi considerado que os 
deslocamentos e rotações são pequenos (para xy << 1). Neste caso, as diferenças entre a 
geometria inicial (indeformada) e a geometria final (deformada) são muito pequenas e o 
equilíbrio pode ser escrito na geometria inicial (conhecida), simplificando a análise estrutural. 
Este tipo de análise é chamada de linear ou de 1a ordem, em oposição a análise não-linear 
geométrica ou de 2a ordem, que deve ser utilizada quando os deslocamentos são grandes. 
 Quando o sólido sofre grandes deslocamentos, as equações de equilíbrio devem ser 
escritas na configuração deformada (desconhecida), uma vez que é nesta configuração que o 
corpo atinge o equilíbrio, tornando a análise bem mais complexa. Portanto, as equações 
deduzidas nesta seção não são adequadas para problemas com grandes deslocamentos, onde 
equações mais complexas devem ser utilizadas para o cálculo das deformações. 
 
2.2.2. Compatibilidade 
 
 A solução de um problema de elasticidade requer que o campo de deslocamentos seja 
compatível (ou admissível). Para que um campo de deslocamentos seja compatível ele deve 
ser contínuo, apresentando apenas um valor em cada ponto do corpo. Esta condição é 
necessária para que o corpo deformado não apresente trincas ou superposição de material, 
uma vez que duas partículas não podem ocupar o mesmo ponto simultaneamente. 
 As equações deduzidas na seção anterior permitem calcular as deformações em 
qualquer ponto do corpo a partir do campo de deslocamentos. Se o campo de deslocamentos é 
contínuo (compatível), então as deformações são definidas de forma única em cada ponto. 
 Contudo, na solução de problemas de elasticidade muitas vezes parte-se o campo de 
deformações para obter o campo de deslocamentos. Neste caso, é importante verificar se as 
deformações arbitradas são válidas (compatíveis ou admissíveis), i.e. se elas podem ser a 
solução de um problema de elasticidade. Por simplicidade, considere inicialmente o caso 
plano. Derivando as expressões das deformações, tem-se: 
 
(49) 
Portanto, para que as deformações sejam compatíveis é necessário que: 
yx
v
xy
u
yxy
u
x
v
yx
v
xy
v
xy
u
yx
u
xy
xy
y
y
x
x
¶¶
¶
+
¶¶
¶

¶¶
¶

¶
¶
+
¶
¶

¶¶
¶

¶
¶

¶
¶

¶¶
¶

¶
¶

¶
¶

2
3
2
32
2
3
2
2
2
3
2
2





22 
 
 
 
(50) 
 Uma interpretação para a necessidade da equação de compatibilidade é que existem 3 
deformações no caso plano, mas apenas 2 deslocamentos independentes (u e v). Portanto, se 
as deformações forem definidas de forma arbitrária existe a possibilidade que o campo de 
deslocamentos obtido a partir da integração das deformações apresente valores diferentes em 
um mesmo ponto, tornando este campo de deslocamentos incompatível (i.e. inválido). 
 No caso de problemas tridimensionais existem 6 componentesde deformações e 3 
componentes de deslocamentos (u, v e w). Utilizando um procedimento similar ao anterior 
chega-se a 6 equações de compatibilidade: 
 
(51) 
 As equações anteriores mostram que é muito mais simples obter as deformações a partir 
dos deslocamentos (derivação) do que o inverso (integração + equações de compatibilidade). 
Assim, métodos aproximados como o Método de Rayleigh-Ritz e o Método dos Elementos 
Finitos iniciam a solução de problemas de elasticidade a partir de um campo de 
deslocamentos escolhido, obtendo as deformações a partir da derivação dos deslocamentos. 
 
2.3. Relações constitutivas 
 
 É importante notar que as equações de equilíbrio e as relações cinemáticas obtidas nos 
itens anteriores são válidas para quaisquer materiais, sendo baseadas apenas na hipótese do 
contínuo. Contudo, sabe-se que diferentes materiais submetidos às mesmas ações externas 
apresentam deformações distintas. 
yxxy
xyyx
¶¶
¶

¶
¶
+
¶
¶  2
2
2
2
2
2
2222
2
2222
2
2222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zzxzyyx
yyxzyzx
xyxzxzy
zyyz
zxxz
yxxy
xyyzxzz
xzyzxyy
yzxzxyx
yzzy
xzzx
xyyx
¶
¶

¶¶
¶
+
¶¶
¶

¶¶
¶
¶
¶

¶¶
¶
+
¶¶
¶

¶¶
¶
¶
¶

¶¶
¶
+
¶¶
¶

¶¶
¶
¶¶
¶

¶
¶+
¶
¶
¶¶
¶

¶
¶
+
¶
¶
¶¶
¶

¶
¶
+
¶
¶






23 
 
 
 Ao contrário das relações entre forças e tensões e das relações entre deslocamentos e 
deformações, as relações entre tensões e deformações não podem ser deduzidas 
matematicamente, sendo sua caracterização realizada de forma experimental. Estas relações 
são chamadas na literatura de modelos ou relações constitutivas. 
 Os estudos experimentais têm mostrado que as deformações dependem não só das 
tensões aplicadas como também de outros parâmetros como a velocidade de aplicação do 
carregamento, a temperatura, a umidade, etc. Assim, as relações constitutivas podem ser 
expressas matematicamente como: 
 (52) 
onde t é representa o tempo e T a temperatura e as funções f e g são determinadas de forma a 
representar os resultados obtidos experimentalmente. 
 Os materiais utilizados em engenharia apresentam uma grande variedade de 
comportamentos mecânicos distintos, podendo apresentar fenômenos como fluência, 
relaxação, plasticidade, trincamento e deformação permanente. 
 A Teoria da Elasticidade lida apenas com materiais cujo comportamento possa ser 
considerado como elástico. O material elástico é que após a retirada do carregamento retorna 
imediatamente a sua configuração inicial, sem apresentar deformação permanente, trincas ou 
qualquer outra forma de dano. É interessante notar que alguns materiais retornam a sua 
configuração inicial após a retirada do carregamento, mas requerem um tempo significativo 
para que isto ocorra. Estes materiais apresentam fluência (deformação lenta) e relaxação, 
sendo estudados pela Teoria da Viscoelasticidade. Portanto, o efeito do tempo (t) não é 
relevante para materiais elásticos, mas é importante para materiais viscoelásticos. 
 O comportamento elástico não implica em linearidade, existindo vários materiais que 
apresentam comportamento elástico não-linear. Contudo, o modelo elástico linear (lei de 
Hooke) é o mais utilizado para representar o comportamento mecânico dos materiais devido a 
sua simplicidade. Em problemas uniaxiais a lei de Hooke pode ser escrita como 
 (53) 
onde E é o módulo de elasticidade do material. O módulo de elasticidade é a constante de 
proporcionalidade entre tensões e deformações. 
 Em problemas planos e tridimensionais, é necessário considerar também o efeito de 
Poisson. Como o problema é linear, vale a superposição dos efeitos. Assim, para se 
),,,(ou),,,(  TtgTtf εσσε 
E
E xxxx
 
24 
 
 
determinar as deformações devido a um estado de tensões pode-se considerar o efeito de 
cada componente de tensão separadamente e depois somar os resultados. 
 Outro aspecto importa a ser considerado é se as propriedades do material dependem da 
direção em que esta propriedade é medida. O material é considerado isotrópico se as suas 
propriedades são as mesmas para todas as direções e anisotrópico quando as propriedades 
variam em todas as direções. Alguns materiais, como os compósitos reforçados por fibras, 
apresentam propriedades diferentes segundo três eixos perpendiculares, sendo denominados 
de ortotrópicos. Aqui serão considerados apenas materiais isotrópicos, que correspondem a 
maior parte dos materiais utilizados em engenharia. 
 
 
 
Figura 13 – Efeito das tensões normais. 
 
 Considerando a Figura 13, a tensão x agindo isoladamente provoca as deformações: 
 (54) 
onde  é o coeficiente de Poisson. Por outro lado, a tensão y agindo isoladamente provoca as 
deformações: 
 
(55) 
 
0


xy
x
xy
x
x
E
E



0


xy
y
yx
y
y
E
E





 
x 
25 
 
 
 
Figura 14 – Efeito das tensões de cisalhamento. 
 
 No caso de materiais isotrópicos, as deformações de cisalhamento são desacopladas das 
deformações normais, como mostra a Figura 14. Portanto: 
 (56) 
onde 
 (57) 
As deformações totais são obtidas somando as Equações (54), (55) e (56): 
 (58) 
Esta equação pode ser escrita na forma matricial como: 
 (59) 
Invertendo-se esta relação, pode-se obter a expressão que permite calcular as tensões a partir 
das deformações: 
0

yx
xy
xy G



)1(2 +

E
G
xyxy
xyy
yxx
E
E
E



)1(2
)(
1
)(
1
+























+













xy
y
x
xy
y
x
E









)1(200
01
01
1
 xy xy 
xy 
xy 
26 
 
 
 (60) 
 Adotando-se o mesmo procedimento para problemas tridimensionais, chega-se: 
 (61) 
Estas relações podem ser escritas na forma matricial como 
 (62) 
Finalmente, invertendo-se esta equação obtém a relação entre tensões e deformações: 
 (63) 
 Examinando as equações anteriores verifica-se que, tanto para estados planos quanto 
tridimensionais, a relação entre tensões e deformações pode ser escrita de forma simbólica 
como: 


































xy
y
x
xy
y
x
E










2
1
00
01
01
1 2
yzyz
xzxz
xyxy
yxzz
zxyy
zyxx
E
E
E
E
E
E






)1(2
)1(2
)1(2
)(
1
)(
1
)(
1
+

+

+












































+
+
+
























yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
x
E


















)1(200000
0)1(20000
00)1(2000
0001
0001
0001
1


















































+





















yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
x
E



















2
)21(
00000
0
2
)21(
0000
00
2
)21(
000
000)1(
000)1(
000)1(
)21)(1(
27 
 
 
 (64) 
onde as matrizes C e D são sempre simétricas. A matriz C é conhecida na literatura como 
matriz constitutiva (ou matriz de rigidez) do material, enquanto a matriz D é conhecida como 
matriz de flexibilidade (ou matriz de compliância) do material. 
 
2.3.1. Exercícios 
 
3. Determine se o seguinte campo de tensões bidimensional: x = 3ax2y, y = ay3, 
xy = -3axy2, onde a é uma constante, é solução de um problema de elasticidade. 
Considere que e que as forças de corpo são nulas e que o material é linear elástico com 
módulo de elasticidade E e coeficiente de Poisson . 
Dica: A solução de um problema de elasticidade deve satisfazer as equações de 
equilíbrio, as relações tensão-deformação e as equações de compatibilidade. 
 
4. Considere o seguinte campo de tensões em uma chapa fina de espessura t, material 
linear elásticocom módulo de elasticidade E, coeficiente de Poisson 𝜐 e sem forças de 
corpo: 
𝜎 = 𝑎 [𝑦 + 𝜐(𝑥 − 𝑦 )] 
𝜎 = 𝑎 [𝑥 + 𝜐(𝑦 − 𝑥 )] 
𝜏 = −𝑎 𝜐𝑥𝑦 
(a) Determine as relações entre as constantes a1, a2 e a3 de forma que as equações 
diferenciais de equilíbrio sejam satisfeitas. 
(b) Determine e represente graficamente as forças de superfície atuantes nas quatro 
faces da chapa considerando que a força resultante na face da direita é 425 kN. 
Considere t = 4 mm, h = 1 m, L = 4 m e 𝜐 = 0,25. 
(c) Determine o campo de deformações e calcule as deformações no ponto (2; 0,4). 
Considere E = 150 GPa. 
(d) Considerando que a solução de um problema de elasticidade é única, então o 
campo de tensões dado é a solução do problema de análise da chapa abaixo 
submetida às forças de superfície determinadas no item (b)? Justifique. 
1onde,ou  DCεCσσDε
28 
 
 
 
5. Use a lei de Hooke para relacionar a deformação volumétrica (v) com a pressão 
hidrostática (p): 
 
Determine o módulo de elasticidade volumétrico (K) em função de E e . Mostre que 
para  = 0,5 o material é incompressível (K =
 
∞).
 
6. Modifique as Equações (59) e (60) para incluir o efeito de uma variação de 
temperatura T. 
Dica: Determine a deformação devido a atuação isolada da variação da temperatura 
e depois faça a superposição com as deformações devido às tensões normais. A 
variação de temperatura não causa deformações de cisalhamento em um material 
isotrópico. 
 
2.4. Solução de problemas de elasticidade 
 
 Considere o corpo deformável mostrado na Figura 15, submetido a forças de corpo b no 
seu domínio V e forças de superfície fs atuando em Sf e com deslocamentos prescritos Su. O 
objetivo da Teoria da Elasticidade é determinar os campos de deslocamentos, deformações e 
tensões que satisfazem as equações de equilíbrio, compatibilidade e lei constitutiva no interior 
do corpo e as condições de contorno na superfície externa S: 
 (65) 
onde 
L/2 
x 
L/2 
h/2 
h/2 
y 
v x +y +z e p
 x + y + z
3
u





fs
u
S
S
em,
em,
fn
uu

29 
 
 
 (66) 
 
 
Figura 15 – Corpo deformável submetido a forças externas. 
 
 Todo corpo deformável é um objeto tridimensional, portanto a análise estrutural destes 
corpos requer a consideração várias equações: 
 3 equações diferenciais de equilíbrio – Equação (27); 
 6 relações deformação-deslocamento – Equação (48); 
 6 equações de compatibilidade – Equação (51); 
 6 equações tensão-deformação – Equação (63). 
Estas equações envolvem várias incógnitas: 
 3 componentes de deslocamentos; 
 6 componentes de deformação; 
 6 componentes de tensão. 
Em se tratando de um problema tridimensional, todas as incógnitas são funções de x, y, z. 
 É importante considerar que os campos de tensão, deformações e deslocamento não são 
independentes entre si. Utilizando a Equação (48) é possível escrever as deformações em 
função dos deslocamentos ((u)). Em seguida, substituindo estas deformações a Equação 
(63) é possível escrever as tensões em função dos deslocamentos ((u)). Finalmente, 
substituindo-se estas tensões na Equação (27), obtém-se um sistema com: 
 3 equações diferenciais de equilíbrio; 
 3 incógnitas: u(x, y, z), v(x, y, z) e w(x, y, z). 


uf
uf
SS
SSS


V 
Su 
Su 
Sf 
Sf 
S fS 
b 
30 
 
 
 As equações da Teoria da Elasticidade apresentadas até aqui descrevem completamente 
o comportamento mecânico dos sólidos, permitindo a determinação dos deslocamentos, 
deformações e tensões causados pelas ações externas desde que 3 hipóteses sejam válidas: 
1. O corpo possa ser tratado como um meio contínuo; 
2. Os deslocamentos e deformações sejam pequenos (linearidade geométrica); 
3. O material tenha comportamento linear elástico (linearidade física). 
 Em consequência das hipóteses 2 e 3, as equações diferenciais da Teoria da Elasticidade 
são todas lineares. Pode-se mostrar que este sistema de equações lineares sempre tem solução 
e esta solução é única (Teorema da Existência e Unicidade). Contudo, apesar da solução 
existir, a sua obtenção de maneira analítica geralmente é muito complexa e muitas vezes até 
impossível, exceto quando a geometria, carregamento e condições de contorno são bastante 
simples. 
 
2.4.1. Estado Plano de Tensão e Estado Plano de Deformação 
 
 Devido a dificuldade de resolver as equações diferenciais da elasticidade tridimensional, 
é interessante poder reduzir a dimensão do problema de 3D para 2D. A primeira situação onde 
esta simplificação é possível corresponde ao Estado Plano de Tensão (EPT), discutido 
anteriormente de forma sucinta. Esta situação ocorre em casos como estruturas cuja espessura 
é muito menor que as outras dimensões e estão submetidas apenas a cargas no plano xy, como 
ilustrado na Figura 16. 
 Considerando que as faces perpendiculares ao eixo z estão livres de tensão, tem-se que 
nestas faces: 
 
Como a espessura é pequena, pode-se admitir com boa aproximação que as tensões não 
variam com a direção z. Assim, o problema pode ser considerado bidimensional e as 
componentes de interesse são: 
 (67) 
É deixado como exercício (ver Item 2.4.4) mostrar que neste caso a deformação z pode ser 
escrita em função das deformações x e y. Assim, as deformações de interesse no EPT são 
apenas: 
0 zyzxz 








),(
),(
),(
yx
yx
yx
xyxy
yy
xx



31 
 
 
 (68) 
Finalmente, os deslocamentos de interesse são no EPT são: 
 (69) 
As equações de equilíbrio e compatibilidade referentes ao EPT já foram apresentadas nas 
equações anteriores. Exemplos de estruturas que podem ser analisadas como EPT incluem 
vigas de seção retangular, paredes, chapas e vigas-parede. A hipótese de EPT também é 
utilizada no desenvolvimento da Teoria das Placas. 
 
 
 
Figura 16 – Estado Plano de Tensão (Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Plane_stress). 
 
 O Estado Plano de Deformação (EPD) é utilizado para simplificar a análise de 
estruturas cujo comprimento (direção z) é muito maior do que as dimensões da seção 
transversal (plano xy), como ilustrado na Figura 17. Se as cargas atuantes sobre esta estrutura 
estiverem contidas no plano xy e não variarem ao longo do eixo z e as extremidades destas 
estruturas estiverem impedidas de se deslocar neste eixo, então pode-se dizer que o campo de 
deslocamentos será: 








),(
),(
),(
yx
yx
yx
xyxy
yy
xx








),(
),(
yxvv
yxuu
 
 
Consequentemente, as deformações não variam ao longo do comprimento da estrutura e
problema se resume a analisar uma seção transversal típica. 
utilizada na análise de estruturas geotécnicas como barragens
consequência do campo de deslocamentos descrito pela Equação 
tensões de interesse são as mesmas do EPT.
2.4.4) que neste caso a tensão 
Figura 17 – Estado Plano de Deformação
 
2.4.2. Princípio de Saint-Venant
 
 Considere as quatro chapas retangulares mostradas 
seção transversal da chapa. Como a resultante é a mesma em todos os c
entre eles é a forma de aplicação do carregamento. Obviamente, a distribuição de tensões na 
face carregada é bastante diferente de uma chapa para outra, devido à diferença 
de superfície aplicadas nas quatro situações
carregada, os campos de deslocamentos, deformações e tensões são aproximadamente os 
mesmos. 
32 
 
Consequentemente, as deformações não variam ao longo do comprimento da estrutura e
problema se resume a analisar uma seção transversal típica. A condição de EPD é muito 
utilizada na análise de estruturas geotécnicas como barragens, cortes
do campo de deslocamentos descrito pela Equação (70),
tensões de interesse são as mesmas do EPT. Contudo, pode-se mostrar (
tensão z não é nula, mas pode ser calculada em função de 
 
 
Estado Plano de Deformação (Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Plane_strain)
Venant 
Considere as quatro chapas retangulares mostradas na Figura 18,onde
. Como a resultante é a mesma em todos os casos, a única diferença 
entre eles é a forma de aplicação do carregamento. Obviamente, a distribuição de tensões na 
face carregada é bastante diferente de uma chapa para outra, devido à diferença 
as quatro situações. Contudo, a partir de uma certa distância da face 
carregada, os campos de deslocamentos, deformações e tensões são aproximadamente os 








0
),(
),(
w
yxvv
yxuu
(70) 
Consequentemente, as deformações não variam ao longo do comprimento da estrutura e o 
A condição de EPD é muito 
, cortes e aterros. Em 
, as deformações e 
se mostrar (Exercício do Item 
não é nula, mas pode ser calculada em função de x e y. 
 
.wikipedia.org/wiki/Plane_strain). 
, onde A é a área da 
asos, a única diferença 
entre eles é a forma de aplicação do carregamento. Obviamente, a distribuição de tensões na 
face carregada é bastante diferente de uma chapa para outra, devido à diferença entre as forças 
Contudo, a partir de uma certa distância da face 
carregada, os campos de deslocamentos, deformações e tensões são aproximadamente os 
33 
 
 
 
Figura 18 – Princípio de Saint-Venant. 
 
 Esta característica dos problemas de elasticidade foi reconhecida no XIX, sendo 
conhecida como Princípio de Saint-Venant: Os campos de deslocamentos, deformações e 
tensões em um sólido causados por diferentes sistemas de forças estaticamente equivalentes 
são aproximadamente iguais em regiões distantes dos pontos de carregamento. 
 Assim, as diferenças nas soluções da elasticidade para problemas com carregamentos 
distintos, mas com a mesma resultante, estão concentrados nas regiões próximas às cargas 
aplicadas, incluindo as reações de apoio. Os termos “regiões distantes” e “aproximadamente 
iguais” variam de um problema para outro, devendo ser entendidos de forma qualitativa. 
 
2.4.3. Exemplos de Aplicação 
 
 Nesta seção serão apresentados alguns exemplos de aplicação da Teoria da Elasticidade 
e comparação destas solução com as soluções da Resistência dos Materiais. 
 
2.4.3.1. Chapa Submetida ao Próprio Peso 
 
 Considere a chapa de seção retangular (b x h) submetida apenas ao seu próprio peso 
( = g) e engastada na sua base, como mostrado na Figura 19. Obtenha o campo de 
deslocamentos, deformações e tensões usando as equações da elasticidade. 
P/2 P P/2 P/3 P/3 P/3 P/A 
34 
 
 
 
Figura 19 – Chapa submetida ao próprio peso. 
 
 Como a viga possui largura (b) bem menor que as demais dimensões (h e L) e suas faces 
laterais estão livres de tensão, podemos considerar este exemplo como um problema de 
Estado Plano de Tensão. O carregamento externo é dado pelas forças de corpo: bx = 0 e 
by = -. 
 De acordo com Figura 19, a superfície em Sf corresponde às faces Superior (S), 
Esquerda (E) e Direita (D), uma vez que a Face da Inferior (I) e corresponde à Su. Em todas as 
faces que formam Sf as forças de superfícies são nulas fx = fy = 0. Assim, na Face E temos: 
f
x
f
y










x

xy

xy

y








1
0





 

x

xy









f
x
 
x
 0
f
y
 
xy
 0




 
Além disso, na Face D temos: 
f
x
f
y










x

xy

xy

y








1
0





 

x

xy









f
x

x
 0
f
y
 
xy
 0




 
Como só existe carga vertical, vamos adotar a hipótese que x = xy = 0. Agora, vamos 
verificar as equações diferenciais de equilíbrio: 
¶
x
¶x
+
¶
xy
¶y
+ b
x
 0+ 0 + 0  0
¶
xy
¶x
+
¶
y
¶y
+ b
y
 0+
¶
y
¶y
  0 
¶
y
¶y
 
 
L 
h/2 h/2 
x 
y 
35 
 
 
Integrando em relação a y: 
¶ y
¶y
  
y
  y+ f (x) 
onde f(x) é uma função a ser determinada a partir das condições de contorno. Na Face S 
temos: 
f
x
f
y










x

xy

xy

y








0
1





 

xy

y









f
x
 
xy
 0
f
y

y
 0




 
Assim, utilizando a condição de tensão y nula na Face S: 

y
(x,L)   L+ f (x)  0  f (x)   L 
Portanto, o campo de tensões é dado por: 

x
 0

y
  (y L)

xy
 0






 (71) 
Este campo de tensões satisfaz as equações diferenciais de equilíbrio e as condições de 
contorno em Sf. 
 É interessante notar que esta é a mesma solução da Resistência dos Materiais na qual a 
tensão vertical é obtida dividindo a força normal (N) pela área da seção transversal (A): 

y

N
A

V
y
A

 bh(L  y)
bh
  ( y L) 
onde Vy corresponde ao volume de material acima da seção transversal definida pela 
coordenada y. 
 Agora, precisamos calcular as deformações e verificar a compatibilidade. Utilizando a 
lei de Hooke: 

x

1
E
(
x

y
) 
 (L  y)
E

y

1
E
(
y

x
) 
 (y L)
E

xy


xy
G
 0
 
Verificando a compatibilidade: 
36 
 
 
¶2
x
¶x2
+
¶2
y
¶y2

¶2
xy
¶x¶y
 0+ 0  0 
Como o campo de tensões dado pela Equação (71) satisfaz as equações de equilíbrio e 
gerada deformações compatíveis, então ele é a solução de um problema de elasticidade. 
 A etapa final da solução deste problema consiste na determinação do campo de 
deslocamentos. Integrando inicialmente as deformações normais: 

x

¶u
¶x


E
(L  y)  u 

E
(L  y)x+ f
1
( y)

y

¶v
¶y

 (y L)
E
 v 

E
y2
2
 Ly
æ
èç
ö
ø÷
+ f
2
(x)
 
onde f1(y) e f2(x) são funções a determinar. Substituindo estes deslocamentos na expressão da 
deformação de cisalhamento, obtemos: 

xy

¶u
¶y
+
¶v
¶x
 
 x
E
+
df
1
( y)
dy
+
df
2
(x)
dx
 0 
Esta equação pode ser escrita como: 
df
1
(y)
dy

 x
E

df
2
(x)
dx
 
Note que do lado esquerdo temos apenas termos que variam com y e do lado direito apenas 
termos que variam em x. A única possibilidade destes termos serem iguais para todo x e y é 
eles serem iguais a uma constante, que vamos chamar de C1. Dessa forma: 
df
1
(y)
dy
C
1
 f
1
(y) C
1
y+C
2
 
e 
 x
E

df
2
(x)
dx
C
1

df
2
(x)
dx

 x
E
C
1
 f
2
(x) 
 x2
2E
C
1
x+C
3
 
onde C1, C2 e C3 são constantes a determinar considerando a simetria do problema e as 
condições de contorno em Su. Juntando as informações anteriores, podemos escrever: 
u 

E
(L  y)x+C
1
y+C
2
v 

E
y2
2
 Ly
æ
èç
ö
ø÷
+
 x2
2E
C
2
x+C
3
 
Devido a simetria, os deslocamentos horizontais devem ser nulos ao longo de todo o eixo y: 
37 
 
 
u(0, y)  0+C
1
y+C
2
 0  C
1
C
2
 0 
Finalmente, para determinar a última constante, podemos usar a condição: 
v(0,0)  0 + 0+C
3
 0  C
3
 0 
Portanto, o campo de deslocamentos é dado por: 
u 

E
(L  y)x
v 

E
y2
2
 Ly
æ
èç
ö
ø÷
+
 x2
2E
 
 É importante notar que na Face I (y = 0), correspondente à Su, os deslocamentos não são 
todos nulos, como se espera em um engaste, mas iguais a: 
u 
 Lx
E
v 
 x2
2E
 
Assim, estes deslocamentos são nulos apenas na origem (x = 0). É importante notar que estes 
deslocamentos são causados pelo efeito de Poisson. A compressão vertical causada pelo peso 
próprio tende a fazer os pontos se afastarem do eixo y de forma simétrica, além de causar 
deslocamentos verticais para cima. Portanto, a solução obtida só corresponde ao que se espera 
de um engaste (u = v = 0) quando o coeficiente de Poisson for nulo. 
 Por outro lado, mesmo considerando um material real ( ≠ 0) e a base engastada, o 
Princípio de Saint-Venant mostra que o campo de tensão simples dado pela Equação (71) é 
uma solução adequada em pontos distantes do apoio (região B) e que apenas próximo ao 
apoio (região D) o campo de tensões é mais complexo. 
 
2.4.3.2. Viga em Flexão Pura 
 
 Considere a viga de seção retangular (b x h) submetida a uma carga momento M na sua 
face esquerda, como mostrado na Figura 20. Sendo I = bh3/12 o momento de inércia da viga, 
verifiquese o campo de deslocamento: 
 (72) 
u  
M y (x L)
EI
v 
M (L2  2Lx + x2 + y2 )
2EI
38 
 
 
é a solução exata desta viga em flexão pura. 
 
Figura 20 – Viga em flexão pura. 
 
 Como a viga possui largura (b) bem menor que as demais dimensões (h e L) e suas faces 
laterais estão livres de tensão, podemos considerar este exemplo como um problema de 
Estado Plano de Tensão. 
 A primeira etapa para resolvermos este problema é usar as relações cinemáticas para 
calcular as deformações: 

x

¶u
¶x
 
M y
EI

y

¶v
¶y

M y
EI

xy

¶u
¶y
+
¶v
¶x
 
M (x L)
EI
+
M (2L+ 2x)
2EI
 0
 (73) 
Não precisamos verificar a compatibilidade, uma vez que as deformações foram obtidas a 
partir de um campo de deslocamentos contínuo. 
 Em seguida, utilizamos a Lei de Hooke para calcular as tensões: 
 
(74) 
 Podemos verificar que este é o campo de tensões correspondente à flexão pura da 
teoria de vigas da Resistência dos Materiais. A próxima etapa é verificar se este campo de 
tensões satisfaz as equações de equilíbrio. Como as forças de corpo são nulas: 
L 
x h/2 
h/2 
y 
M 

x

E
1 2

x
+
y( )  E1 2 
M y
EI
+
 2M y
EI
æ
èç
ö
ø÷
 
M y
I

y

E
1 2

y
+
x( )  E1 2
M y
EI

M y
EI
æ
èç
ö
ø÷
 0

xy
G
xy
 0
39 
 
 
¶
x
¶x
+
¶
xy
¶y
+ b
x
 0 + 0 + 0  0
¶
xy
¶x
+
¶
y
¶y
+ b
y
 0 + 0+ 0  0
 
 Se o campo de deslocamentos proposto satisfaz as condições de compatibilidade e 
equilíbrio, então ele é solução de um problema de elasticidade. Contudo, isso não garante que 
ele seja a solução do problema mostrado na Figura 20. 
 Assim, é necessário verificar se as forças de superfície em Sf, associadas ao campo de 
tensões, corresponde à problema Figura 20. Neste problema, a superfície em Sf corresponde às 
faces Superior (S), Inferior (I) e Esquerda (E). Na Face S temos: 
 
Na Face I temos: 
 
Finalmente, na Face E temos: 
 
Portanto, para que o campo de deslocamentos da Equação (72) seja a solução exata do 
problema da Figura 18 é necessário que a carga momento M seja aplicada na forma de uma 
carga distribuída variando linearmente na Face E, como mostrado na Figura 21, onde 
W = bh2/6 é o módulo de resistência à flexão da viga. 
 
Figura 21 – Carregamento na Face E. 
f
x
f
y










x

xy

xy

y








0
1





 
f
x
 
xy
 0
f
y
 
y
 0




f
x
f
y










x

xy

xy

y








0
1





 
f
x
 
xy
 0
f
y
 
y
 0




f
x
f
y










x

xy

xy

y








1
0





 
f
x
 
x

My
I
f
y
 
xy
 0





L 
x h/2 
h/2 
y 
M/W 
M/W 
40 
 
 
 
 Como é difícil aplicar o carregamento da forma mostrada na Figura 21, é importante 
discutir o que ocorre se a carga momento for aplicada de outra forma, como por exemplo, 
através do binário como mostrado na Figura 22. Um comentário importante é que a aplicação 
de cargas concentradas devem ser evitadas, pois nenhum material real suporta tensões 
infinitas. Assim, do ponto de vista prático é necessário distribuir as cargas concentradas em 
uma certa região cuja área depende do material utilizado. 
 
Figura 22 – Binário aplicado na Face E. 
 
 Obviamente, o campo de tensões dado pela Equação (74) não é solução deste caso, uma 
vez que este carregamento exige que tenhamos na Face E: x = +∞ na base, x = -∞ no topo e 
x = 0 nos demais pontos. Portanto, a solução da Resistência dos Materiais só é correta se o 
carregamento for aplicada da forma mostrada na Figura 21. Contudo, como os 
carregamentos da Figura 21 e da Figura 22 são estaticamente equivalentes (i.e. geram as 
mesmas forças e momentos resultantes), o Princípio de Saint-Venant mostra que a partir de 
uma certa distância da Face E as tensões e deformações devido aos dois carregamentos são 
iguais. 
 De acordo com a Equação (72), o deslocamento vertical (v) ao longo do eixo x é dado 
por: 
 
Estes deslocamentos são idênticos aos obtidos utilizando a Equação da Linha Elástica da 
Resistência dos Materiais. 
 Considerando que a carga é aplicada da forma mostrada na Figura 21, falta apenas 
verificar se o campo de deslocamentos da Equação (72) atende às condições de contorno em 
Su, correspondente à Face D (x = L): 
L 
x h/2 
h/2 
y 
M/h 
M/h 
v(x,0) 
M (L2  2Lx + x2 )
2EI
 v
max
 v(0,0) 
M L2
2EI
41 
 
 
 (75) 
De acordo com esta equação, para que o campo de deslocamento proposto seja a solução do 
problema da Figura 20, a Face D não pode ser um engaste, uma vez que o deslocamento 
vertical (v) só é nulo no centro da face, mas deveria ter apoios da forma mostrada na Figura 
23. A condição de engaste (i.e. todos os deslocamentos nulos) só seria satisfeita pelo campo 
proposto se o coeficiente de Poisson () for nulo, o que não ocorre para materiais reais. 
 
Figura 23 – Apoios na Face D. 
 
 Como podemos interpretar estes resultados? Uma maneira é notar que a parte inferior da 
viga é tracionada e a superior da viga é comprimida na direção x, assim ocorrem deformações 
da direção transversal (y) devido ao efeito de Poisson. Os apoios da Figura 23 deixam que 
essa deformação ocorra livremente, fazendo com que não apareçam tensões na direção 
vertical (y =y = 0), como previsto pela Equação (74). Contudo, se o apoio na Face D for um 
engaste perfeito que impede todos os deslocamentos, então as deformações verticais deveriam 
ser nulas fazendo com que apareçam tensões verticais (y e xy) para restringir essas 
deformações. 
 Em resumo, o campo de deslocamentos proposto na da Equação (72) é solução de uma 
viga em flexão pura, mas com o carregamento e os apoios da Figura 23 e não os da Figura 
20. Contudo, as reações de apoio nos dois casos são estaticamente equivalentes, pois o 
carregamento externo é o mesmo (i.e. o momento M). Desta forma, o Princípio de Saint-
Venant mostra que as diferenças nos campos de tensões e deformações são limitadas a uma 
região próxima aos apoios (Face D). 
u(L, y)  0
v(L, y) 
My2
2EI
L 
x h/2 
h/2 
y 
M/W 
M/W 
42 
 
 
 
Figura 24 – Regiões B e D. 
 
 Na verificação de estruturas de concreto, é comum dividir a estrutura em partes, 
conhecidas como regiões B (de Bernoulli) e D (de descontinuidade). Sendo que na primeira 
valem as hipóteses de Bernoulli (seções planas) e a solução da Resistência dos Materiais é 
adequada, enquanto das regiões D o campo de tensões e deformações é mais complexo e 
depende dos detalhes do carregamento e apoio. Neste caso as soluções da Resistência dos 
Materiais não são adequadas. 
 
2.4.3.3. Viga em Balanço com Carga Transversal 
 
 Considere a viga de seção retangular (b x h) submetida a uma carga transversal P na sua 
face esquerda, como mostrado na Figura 25. Obtenha o campo de deslocamentos, 
deformações e tensões usando as equações da elasticidade. 
 
Figura 25 – Viga submetida a carga transversal. 
 
 Como a viga possui largura (b) bem menor que as demais dimensões (h e L) e suas faces 
laterais estão livres de tensão, podemos considerar este exemplo como um problema de 
Estado Plano de Tensão. As forças de corpo são nulas (bx = by = 0). 
 Como não é possível resolver diretamente este problema, vamos considerar que as 
tensões axiais podem ser obtidas usando a teoria de vigas da Resistência dos Materiais: 
h 
M/h 
M/h 
B D D 
≈ h ≈ h 
L 
x h/2 
h/2 
y 
P 
43 
 
 

x
 
M y
I

P x y
I
 (76) 
onde M = -Px é o momento fletor e I = bh3/12 é o momento de inércia da seção transversal da 
viga. As demais componentes serão determinadas e forma a satisfazer as equações de 
equilíbrio e condições de contorno em Sf. 
 Vamos considerar inicialmente o equilíbrio na direção horizontal: 
¶
x
¶x
+
¶ xy
¶y
+ b
x

P y
I
+
¶ xy
¶y
 0 
¶ xy
¶y
 
P y
IIntegrando em relação a y: 
¶ xy
¶y
 
P y
I
 
xy
 
P y2
2I
+ f (x) 
onde f(x) é uma função a ser determinada a partir das condições de contorno. De acordo com 
Figura 25, as faces Superior (S) e Inferior (I) estão livres de forças de externas (fx = fy = 0). 
Assim, na Face S temos: 
f
x
f
y










x

xy

xy

y








0
1





 
0
0





 

xy
 0

y
 0




 
Considerando que as tensões cisalhantes devem ser nulas em y = h/2: 

xy
 
Ph2
8I
+ f (x)  0  f (x) 
Ph2
8I
 
Portanto, as tensões de cisalhamento tem uma variação parabólica ao longo da seção 
transversal da viga: 

xy

P
2I
h2
4
 y2
æ
èç
ö
ø÷
 (77) 
com valor nulo nas faces superior e inferior (y = ±h/2) e valor máximo no centro da seção: 

max

Ph2
8I

12Ph2
8bh3

3P
2A
 
Onde A = bh é a área da seção transversal. É importante notar que esta distribuição das 
tensões de cisalhamento é idêntica a da Resistência dos Materiais. 
 Vamos considerar agora o equilíbrio na direção vertical: 
44 
 
 
¶ xy
¶x
+
¶ y
¶y
+ b
y
 0 
¶ y
¶y
 0
 
 
Integrando em relação a y: 
¶ y
¶y
 0  
y
 g(x) 
onde g(x) é uma função a ser determinada a partir das condições de contorno. Como as Faces 
S e I são livres de forças de superfície, as tensões y são nulas nestas faces, logo: 

y
 0  g(x)  0 
Portanto, o campo de tensões é dado por: 

x

P x y
I

y
 0

xy

P
2I
h2
4
 y2
æ
èç
ö
ø÷









 (78) 
Este campo de tensões satisfaz as equações diferenciais de equilíbrio e as condições de 
contorno nas Faces S e I. 
 Uma verificação interessante consiste em calcular os esforços internos resultantes 
correspondente a um dado campo de tensões e verificar se eles correspondem aos esforços 
gerados pelo carreamento externo. Os esforços internos para uma barra no plano são: 
N  
x
dA
Aò
Q  
xy
dA
Aò
M  y
x
dA
Aò







 (79) 
onde N é a força normal, Q a força cortante e M o momento fletor. Substituindo o campo de 
tensões da Equação (78) e integrando na seção transversal, obtemos: 
N  0
Q  P
M  P x





 (80) 
que correspondem exatamente aos esforços externos da viga da Figura 25. 
 Finalmente, calculando as forças de superfície, na Face E temos: 
45 
 
 
f
x
f
y










x

xy

xy

y








0
1





 
f
x
 
xy
 
P
2I
h2
4
 y2
æ
èç
ö
ø÷
f
y
 
x
 0






 
Portanto, para que campo de tensões dado pela Equação (78) satisfaça as condições de 
contorno em Sf é necessário que a carga transversal (P) seja aplicada da forma de uma carga 
distribuída parabólica na Face E, como mostrado na Figura 26. 
 
Figura 26 – Carregamento na Face E. 
 
 Contudo, de acordo com o Princípio de Saint-Venant, mesmo que o carregamento seja 
aplicado de outra forma, o campo de tensões da Equação (78), que é idêntico ao da 
Resistência dos Materiais, ainda é uma solução válida em pontos distantes da Face E (região 
B). 
 Agora, precisamos calcular as deformações e verificar a compatibilidade. Utilizando a 
lei de Hooke: 

x

1
E
(
x

y
) 
Px y
EI

y

1
E
(
y

x
)  
Px y
EI

xy

2(1+)
E

xy

(1+)P
EI
h2
4
 y2
æ
èç
ö
ø÷
 
Verificando a compatibilidade: 
¶2
x
¶x2
+
¶2
y
¶y2

¶2
xy
¶x¶y
 0+ 0  0 
Como o campo de tensões dado pela Equação (78) satisfaz as equações de equilíbrio e 
gerada deformações compatíveis, então ele é a solução de um problema de elasticidade. 
L 
x h/2 
h/2 
y 
3P 
2A 
46 
 
 
 A etapa final da solução deste problema consiste na determinação do campo de 
deslocamentos. Integrando inicialmente as deformações normais: 

x

¶u
¶x

P x y
EI
 u 
Px2 y
2EI
+ f
1
( y)

y

¶v
¶y
 
Px y
EI
 v  
Px y2
2EI
+ f
2
(x)
 
onde f1(y) e f2(x) são funções a determinar. Substituindo estes deslocamentos na expressão da 
deformação de cisalhamento, obtemos: 

xy

¶u
¶y
+
¶v
¶x

Px2
2EI
+
df
1
( y)
dy

P y2
2EI
+
df
2
(x)
dx

(1+)P
EI
h2
4
 y2
æ
èç
ö
ø÷
 
Esta equação pode ser escrita como: 
Px2
2EI
+
df
2
(x)
dx

(1+)P
EI
h2
4
 y2
æ
èç
ö
ø÷
+
P y2
2EI

df
1
(y)
dy
 
Note que do lado esquerdo temos apenas termos que variam com x e do lado direito apenas 
termos que variam em y. A única possibilidade destes termos serem iguais para todo x e y é 
eles serem iguais a uma constante, que vamos chamar de C1. Dessa forma: 
P x2
2EI
+
df
2
(x)
dx
C
1
 f
2
(x)  
P x3
6EI
+C
1
x+C
2
 
e 
(1+)P
EI
h2
4
 y2
æ
èç
ö
ø÷
+
P y2
2EI

df
1
( y)
dy
C
1
 f
1
( y) 
(1+)P
EI
h2 y
4

y3
3
æ
èç
ö
ø÷
+
P y3
6EI
C
1
y+C
3
 
onde C1, C2 e C3 são constantes a determinar considerando as condições de contorno em Su. 
Juntando as informações anteriores, o campo de deslocamentos pode ser escrito como: 
u 
Px2 y
2EI
+
(1+)P
EI
h2 y
4

y3
3
æ
èç
ö
ø÷
+
P y3
6EI
C
1
y+C
3
v  
Px y2
2EI

Px3
6EI
+C
1
x+C
2
 
 Precisamos de 3 condições de contorno em Su (Face D) para determinar as constantes de 
integração. Existem várias possibilidades, mas vamos considerar que os deslocamentos e a 
derivada ¶u / ¶ysão nulos no centro da Face D. Assim: 
47 
 
 
u(L,0)  0  C
3
 0
v(L,0)  0  C
1
L +C
2

PL3
6EI
¶u
¶y
(L,0)  0  C
1

PL2
2EI
+
(1+)Ph2
4EI
 C
2
 
PL3
3EI

(1+)Ph2L
4EI
 
Portanto, o campo de deslocamentos é dado por: 
u 
Px2 y
2EI
+
(1+)P
EI
h2 y
4

y3
3
æ
èç
ö
ø÷
+
P y3
6EI

PL2
2EI
+
(1+)Ph2
4EI
æ
èç
ö
ø÷
y
v  
Px y2
2EI

Px3
6EI
+
PL2
2EI
+
(1+)Ph2
4EI
æ
èç
ö
ø÷
x 
PL3
3EI

(1+)Ph2L
4EI
 (81) 
 De acordo com esta equação os deslocamentos horizontais (u) variam cubicamente ao 
longo da altura (y), mostrando que a hipótese das seções planas não é válida para vigas 
submetidas a esforço cortante. É importante notar que este problema não ocorre na flexão 
pura, onde os deslocamentos horizontais variam linearmente ao longo da altura, como 
mostrado na Equação (72). 
 É importante notar que na Face D (x = L), os deslocamentos u e v são nulos apenas no 
ponto central, ao contrário do que se espera em um engaste. Contudo, o Princípio de Saint-
Venant mostra que o campo de tensão simples dado pela Equação (78) é uma solução 
adequada em pontos distantes do apoio (região B). 
 Finalmente, podemos obter a expressão da deflexão do eixo da viga. De acordo com a 
Equação (81), o deslocamento vertical (v) ao longo do eixo x é dado por: 
v  
Px3
6EI
+
PL2
2EI
+
(1+)Ph2
4EI
æ
èç
ö
ø÷
x 
PL3
3EI

(1+)Ph2L
4EI
 
Estes deslocamentos são diferentes dos obtidos utilizando a Equação da Linha Elástica da 
Resistência dos Materiais. Este resultado era esperado, pois a Equação da Linha Elástica é 
baseada na hipótese das seções planas, que só vale para vigas em flexão pura. A flecha 
máxima ocorre em x = 0 (Face D): 
v
max
 
PL3
3EI
1+
3(1+)
4
h
L
æ
èç
ö
ø÷
2







 (82) 
É interessante notar que o termo fora dos colchetes corresponde à flecha prevista pela 
Equação da Linha Elástica, portanto o segundo termo dentro dos colchetes corresponde ao 
erro desta teoria em relação à solução da Teoria da Elasticidade, onde o efeito do 
48 
 
 
cisalhamento foi considerado. Este termo existe mesmo que o coeficiente de Poisson seja 
considerado nulo. 
 A Equação (82) mostra que o efeito do cisalhamento sobre a deflexão depende da 
relação h/L, sendo pequeno para vigas esbeltas e maior para vigas espessas. Por exemplo, 
considerando um material com  = 0.2, o erro varia de 0.9% para h/L = 1/10 a 10% para 
h/L = 1/3. Desta forma, apesar da inconsistência da hipótese das seções planas, o erro da 
teoria clássica de vigas é pequeno para vigas usuais. 
 
2.4.4. Exercícios 
 
7. Utilizando as relações tensão-deformação tridimensionaldetermine as deformações no 
Estado Plano de Tensão. Mostre que a deformação z depende de x e y e em seguida 
expresse z em função de x e y. 
8. Obtenha as relações constitutivas elásticas para o Estado Plano de Deformação. 
Dica: Parta das relações tridimensionais e elimine as deformações nulas. 
9. Determine as tensões correspondentes ao Estado Plano de Deformação. Mostre que a 
tensão z depende de x e y e em seguida expresse z em função de x e y. 
10. Expresse a equação de compatibilidade do Estado Plano de Tensão (EPT) em função 
das componentes de tensão (x, y, xy). 
11. Expresse as componentes de tensão (x, y e xy) do Estado Plano de Tensão (EPT) em 
função dos deslocamentos (u, v). 
12. Expresse as equações de equilíbrio do Estado Plano de Tensão (EPT) em função em 
função dos deslocamentos (u, v). 
13. A função de tensão de Airy é definida de forma que: 
 
(a) Mostre que as equações de equilíbrio para problemas de Estado Plano de Tensão 
sem forças de corpo são automaticamente satisfeitas. 
(b) Obtenha a equação de compatibilidade em termos da função . 
(c) Comente sobre a utilização desta função na solução de problemas de elasticidade. 
14. A viga em balanço de comprimento L e seção transversal retangular (b x h) mostrada 
abaixo é fixada em x = 0 e carregada por uma carga uniformemente distribuída q. De 
 x 
¶2
¶y2
,  y 
¶2
¶x2
,  xy  
¶2
¶x¶y
49 
 
 
acordo com a teoria elementar de vigas, os deslocamentos nas direções transversal e 
axial valem respectivamente: 
 
(a) Use estes deslocamentos para avaliar os campos de deformações e tensões. 
(b) Verifique se as equações de compatibilidade são satisfeitas. 
(c) As tensões em x = 0 produzem a força e o momento correto? Comente. 
 
15. Para a viga do exemplo anterior, mostre inicialmente que a solução da Resistência dos 
Materiais, dado por 
 e demais tensões nulas, não satisfaz as equações de equilíbrio. Em seguida: 
(d) Avalie os valores máximos das tensões em x = 0 e compare estes valores com os 
valores da Resistência dos Materiais em função da relação h/L. Comente. 
(e) Determine as deformações e verifique as equações de compatibilidade. 
(f) Finalmente, determine o campo de deslocamentos utilizando condições de 
contorno apropriadas. Obtenha a flecha máxima da viga e compare com os 
resultados da Resistência dos Materiais. Comente. 
u y dv
dx
v  q
24EI
x2 (x2  4Lx+ 6L2 )
L 
q 
x 
y 
h 
 x  
M (x) y
I
50 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Martha, L. F., Análise de Estruturas – Conceitos e Métodos Básicos, Campus-Elsevier, 2010. 
Soriano, H. L., Análise de Estruturas – Formulação Matricial e Implementação 
Computacional, Editora Ciência Moderna, 2005. 
Soriano, H. L., Lima, S. S., Análise de Estruturas - Método das Forças e Método dos 
Deslocamentos, 2ª Ed., Editora Ciência Moderna, 2006. 
Sussekind, J. C., Curso de Análise Estrutural, Volumes 1, 2 e 3, Editora Globo, 1974. 
Villaça, S. F., Garcia, L. F. T., Introdução à Teoria da Elasticidade, 4ª Ed., COPPE/UFRJ, 
2000. 
Souza, V. C. M.; Cunha, A. J. P., Lajes em Concreto Armado e Protendido, 2ª Ed, EDUFF, 
1998. 
Timoshenko, S. P.; Goodier, J. N., Teoria da Elasticidade, 3ª Ed, Guanabara Dois, 1980.