Apostila_estruturasI

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FURG 
 
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
Escola de Engenharia 
 
Av. Itália, km 8 - Campus Carreiros - Rio Grande/RS - CEP 96203-900 
Fone: (053) 32336620 - e-mail: escola.de.engenharia@furg.br - Caixa Postal: 474 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Estrutural I 
 
Prof. Luiz Antonio Bragança da Cunda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTRUTURAL
1.1 CONCEITOS BÁSICOS 1
1.1.1 – Estrutura 1
1.1.2 – Forças Externas e Esforços Solicitantes (ou esforços internos) 1
1.2 TIPOS DE ESTRUTURAS 4
 1.2.1 – Estruturas Lineares 4
 1.2.2 – Estruturas Laminares 4
1.2.3 – Blocos 5
1.2.4 – Estruturas Reticuladas 5
1.3 CARGAS 5
1.4 EQUILÍBRIO 8
1.5 GRAUS DE LIBERDADE - VÍNCULOS 8
1.5.1 – Graus de Liberdade 8
1.5.2 – Vínculos 8
1.5.3 – Estruturas Planas Carregadas no Plano 9
1.5.4 – Cálculo das Reações de Apoio 10
1.6 ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 12
1.6.1 – Estaticidade 12
1.6.2 – Estabilidade 12
1.7 PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS 13
2. TRELIÇAS PLANAS ISOSTÁTICAS
2.1 INTRODUÇÃO 15
2.2 CLASSIFICAÇÃO DAS TRELIÇAS 18
2.2.1 – Quanto ao Tipo 18
2.2.2 – Quanto à Estaticidade 20
2.3 MÉTODOS DE SOLUÇÃO PARA TRELIÇAS PLANAS 21
2.3.1 – Método dos Nós 21
2.3.2 – Método de Ritter 23
2.3.3 – Método de Ritter para Treliças de Altura Constante 24
2.3.3.1 Treliças com uma diagonal por painel 25
2.3.3.2 Treliças com duas diagonais por painel 27
2.3.4 – Treliças Compostas 30
2.3.5 – Treliças Complexas – Método de Henneberg 31
3. VIGAS ISOSTÁTICAS
3.1 INTRODUÇÃO 33
3.2 RELAÇÕES ENTRE CARGA DISTRIBUÍDA, ESFORÇO CORTANTE E
 MOMENTO FLETOR 34
3.3 VIGAS FUNDAMENTAIS 36
3.3.1 – Viga Bi-Apoiada 36
3.3.1.1 Viga Bi-Apoiada com uma carga concentrada 36
3.3.1.2 Viga Bi-Apoiada com duas cargas concentradas 37
3.3.1.3 Viga Bi-Apoiada com carga uniformemente distribuída 39
3.3.1.4 Viga Bi-Apoiada com carga distribuída linear – caso direto 40
3.3.1.5 Viga Bi-Apoiada com carga distribuída linear – caso inverso 41
3.3.1.6 Viga Bi-Apoiada com carga momento – sobre o apoio 42
______________________________________________________________________________ Sumário__ ii
3.3.1.7 Viga Bi-Apoiada com carga momento – ao longo do vão 43
3.3.2 – Viga Engastada-Livre 44
3.3.2.1 Viga Engastada-Livre com uma carga concentrada 44
3.3.2.2 Viga Engastada-Livre com duas cargas concentradas 45
3.3.2.3 Viga Engastada-Livre com carga uniformemente distribuída 46
3.3.2.4 Viga Engastada-Livre com carga distribuída linear – caso direto 47
3.3.2.5 Viga Engastada-Livre com carga distribuída linear – caso inverso 47
3.3.2.6 Viga Engastada-Livre com carga momento 48
3.3.3 – Viga Bi-Apoiada com Balanços 49
3.4 SOLUÇÃO POR SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS 50
3.5 SOLUÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM VIGAS BI-APOIADAS 51
3.6 VIGAS INCLINADAS E VIGAS COM CARREGAMENTO OBLÍQUO 51
3.7 VIGAS GERBER 52
4. PÓRTICOS PLANOS ISOSTÁTICOS
4.1 INTRODUÇÃO 55
4.2 ESTATICIDADE DAS ESTRUTURAS PLANAS 56
4.2.1 Estruturas planas abertas constituídas por várias barras 58
4.2.2 Estruturas planas fechadas constituídas por várias barras 60
4.3 TRAÇADO DAS LINHAS DE ESTADO (DIAGRAMAS) 64
4.4 PÓRTICOS MÚLTIPLOS 66
4.5 PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS 66
4.6 ARCOS TRIARTICULADOS 70
4.6.1 - Linha de Pressões 72
5. GRELHAS ISOSTÁTICAS 75
BIBLIOGRAFIA 79
ANEXO
1. INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTRUTURAL
1.1 CONCEITOS BÁSICOS
1.1.1 – Estrutura: uma estrutura é uma peça ou conjunto de peças conectadas entre si, que apresenta a
capacidade de resistir a um determinado carregamento. Na engenharia civil são bons exemplos de estruturas
pilares, vigas, pontes, torres. Além disso, cascos de navios, fuselagem de aviões, tanques de armazenamento,
vasos de pressão e até mesmo sistemas mais simples como cadeiras, escadas domésticas, varais, são estruturas.
Ao se projetar uma estrutura busca-se atender fundamentalmente a dois requisitos: resistência às cargas
aplicadas com adequada rigidez, isto é, deformações pequenas ou moderadas. Além de atender a esses requisitos,
ainda deve-se levar em conta a segurança, economia, durabilidade e estética. É comum numa fase inicial de
projeto conduzir-se em paralelo o estudo de duas ou mais estruturas capazes de atender aos mesmos requisitos
básicos. Em uma etapa mais adiantada do projeto alguma das estruturas se revelará mais conveniente, seja por
motivos construtivos, seja por questões econômicas ou técnicas.
Definida a estrutura a ser empregada, e conhecido o carregamento que a solicita, passa-se à
determinação dos esforços internos, que são as solicitações que ocorrem nos diversos trechos da estrutura. Este
será o campo de trabalho da análise estrutural.
1.1.2 – Forças Externas e Esforços Solicitantes (ou esforços internos): forças externas podem ser classificadas
como diretas ou indiretas: como forças externas diretas temos o peso próprio, efeito do vento, pressão de
líquidos, etc... como forças externas indiretas temos cedimento de apoio, efeitos térmicos e excitações
provenientes de sismos. Os esforços solicitantes ou ações internas surgem em virtude da ação das forças externas,
para garantir o equilíbrio.
Um dos principais problemas da análise estrutural é a investigação da resistência interna de um corpo,
isto é, se as tensões internas que surgem para equilibrar as forças externas não excedem a resistência do material
do qual é constituído o corpo. As tensões internas são forças distribuídas ao longo da seção cortada, como na
figura acima. Da estática temos que qualquer conjunto de forças pode ser substituído por uma força resultante e
um momento resultante. As componentes cartesianas dessa força e desse momento resultante são chamadas
esforços internos ou esforços solicitantes.
Se o corpo como um todo se encontra em equilíbrio, qualquer parte dele também se encontra. Podemos
separar o corpo em duas partes distintas, que estão em equilíbrio. Pode-se então concluir o seguinte: as forças
aplicadas externamente em um dos lados de um plano de corte arbitrário devem ser contrabalançadas pelas
tensões internas que o outro lado exerce na seção de corte, ou seja, as forças externas são equilibradas pelas
____________________________________________________________ Introdução à Análise Estrutural__ 2
tensões internas. Essas tensões internas levam aos esforços internos ou esforços solicitantes. Em estruturas
compostas por barras, é usual empregar-se um sistema de referência com eixo x orientado segundo o
comprimento da barra. Assim, a seção transversal situa-se no plano yz. Empregando um sistema de referência
assim estabelecido, conforme os esforços solicitantes se encontram orientados, recebem nomes particulares: Mx é
o chamado momento torsor ou torque, também representado por T ou Mt; My e Mz são os momentos fletores; Fy e
Fz são os esforços cortantes, pois tendem a cortar o corpo. Normalmente são chamados Vy e Vz. Fx é conhecido
como esforço normal, sendo representado por N.
A convenção de sinais empregada no estudo dos esforços acima será a seguinte:
• esforço normal: o esforço normal provoca um encurtamento ou alongamento da região limitada entre duas
seções muito próximas. Será considerado positivo quando for de tração, ou seja, quando provocar uma
tendência de afastamento entre duas seções tracionadas muito próximas, ocasionando alongamento da região
entre estas. É representado por um vetor de seta simples, orientado segundo o eixo longitudinal da peça,
atuando no centróide da seção transversal. Abaixo se mostra a representação de esforço normal positivo.
• esforço cortante: o esforço cortante provoca um deslizamento entre duas seções infinitamente próximas.
Será considerado positivoquando ao se analisar o efeito das forças à esquerda de uma seção obtivermos uma
força resultante para cima. Por outro lado, ao se analisar as forças à direita da seção, o esforço cortante será
positivo quando obtivermos uma força para baixo, conforme indicado na figura abaixo. O esforço cortante
positivo provoca um giro horário nas faces perpendiculares à seu plano de atuação. É representado por
vetores paralelos às seções.
• momento fletor: o momento fletor provoca encurtamento de fibras situadas de um lado do centróide, e
alongamento das fibras do outro, ocasionando assim uma curvatura do eixo longitudinal. Abaixo se mostra
um momento fletor representado por uma seta dupla.
Normalmente se decompõe o vetor momento em suas em duas componentes segundo eixos cartesianos
centroidais contidos no plano da seção, assim, para um vetor momento genérico teremos
____________________________________________________________ Introdução à Análise Estrutural__ 3
O momento fletor My será considerado positivo quando tracionar as fibras situadas na parte positiva do
eixo z, como indicado na figura. O vetor seta dupla correspondente ao momento positivo concorda com o sentido
positivo do eixo y. O momento fletor Mz será considerado positivo quando tracionar as fibras inferiores da seção,
localizadas na parte negativa do eixo y, como na figura. Também aqui, o sentido do vetor momento positivo
concorda com o sentido positivo do eixo.
Em estruturas planas, situadas no plano xy, com carregamento atuando nesse mesmo plano, somente
existirá o momento fletor Mz. Nesse caso, adota-se uma representação alternativa para os momentos fletores Mz
positivos. Note que qualquer que seja a representação, para que um momento Mz seja dito positivo ele deve
tracionar as fibras inferiores.
• momento torsor: o momento torsor ou de torção provoca giro relativo entre seções adjacentes. Será
considerado positivo quando for representado por um vetor de seta dupla que sai da seção transversal, como
na figura abaixo.
____________________________________________________________ Introdução à Análise Estrutural__ 4
1.2 TIPOS DE ESTRUTURAS
1.2.1 – Estruturas Lineares: chamadas de barras ou hastes. Uma dimensão excede em muito o valor das outras
duas. A maior dimensão é chamada eixo longitudinal, e as duas outras definem a seção transversal. As barras
podem ter eixo reto ou curvo. As barras podem aparecer na construção civil ou mecânica sob denominações
particulares, que veremos a seguir.
• viga: barra em geral horizontal ou pouco inclinada, sujeita à cargas transversais ao eixo. Assim, o
esforço predominante é o esforço de flexão,estando também presente o esforço cortante.
• pilar: barra em geral vertical ou pouco inclinada, sujeita principalmente à esforço normal. Quando a
seção transversal é circular é chamado coluna.
• escora: barra inclinada recebendo predominantemente esforço de compressão.
• tirante: barra que recebe predominantemente esforço de tração.
• mola: barra com eixo curvo e seção transversal muito reduzida, capaz de sofrer grandes deformações
com armazenamento de energia elástica.
• viga-coluna: barra onde tanto os esforços de flexão quanto o esforço normal são significativos.
• cabos: são estruturas com baixa rigidez à flexão, que são capazes de resistir unicamente a esforços
de tração.
• arcos: são estruturas de eixo curvo projetadas para resistir fundamentalmente a esforços de
compressão.
 
 1.2.2 – Estruturas Laminares: quando duas dimensões predominam sobre a terceira. A menor dimensão é
chamada espessura. O plano médio é definido pelas dimensões predominantes. Conforme o carregamento e a
geometria, temos vários tipos de estruturas laminares:
 
 
 
• placas e chapas: as placas tem o carregamento aplicado perpendicularmente a seu plano médio. Na
construção civil são chamadas lajes. As chapas tem o carregamento aplicado em uma direção
contida no plano médio. Dois tipos de chapas merecem destaque: o primeiro, as chamadas vigas-
parede, em geral verticais e retangulares, semelhantes a uma viga de grande altura em relação ao
comprimento (relações vão/altura de 2 a 5, por exemplo). E o segundo, os discos, circulares e
normalmente dotados de movimento de rotação.
____________________________________________________________ Introdução à Análise Estrutural__ 5
• cascas: são peças onde não se fala em um plano médio, mas em uma superfície média, que é curva.
Quando a espessura da casca é bastante fina, os esforços predominantes serão os esforços normais, e
neste caso a casca será chamada de membrana. As membranas são estruturas de emprego mais
difundido na engenharia mecânica. Na engenharia civil surgem por vezes em coberturas.
1.2.3 – Blocos: são peças espaciais em que não há predominância de uma dimensão sobre as outras.
1.2.4 – Estruturas Reticuladas: uma estrutura normalmente é constituída por uma associação entre barras,
chapas, placas, cascas e blocos. Aqui serão estudadas as estruturas constituídas por associação de barras. Estas
estruturas são chamadas estruturas reticuladas e podem ser divididas em seis categorias, segundo a geometria,
tipo de vinculação interna e carregamento. São eles: vigas, treliças planas, treliças espaciais, pórticos planos,
pórticos espaciais e grelhas.
• vigas: membro reto ou curvo que tem um ou mais pontos de apoio. Supõe-se que as forças aplicadas a uma
viga atuam num plano que contém um eixo de simetria da seção transversal da viga (um eixo de simetria é
também um eixo principal da seção transversal). Os binários exteriores que atuam sobre a viga tem seus
vetores momento normais a este plano. Quando o eixo é curvo, a viga recebe nomes especiais. Se a curvatura
se der no plano de atuação das cargas teremos um arco. Se a curvatura se der em um plano perpendicular ao
plano de atuação das cargas teremos uma viga-balcão, cujo comportamento se aproxima mais do
comportamento de uma grelha.
• treliça plana: é um sistema de membros existentes num plano e ligados entre si por rótulas. Todas as forças
aplicadas são consideradas como atuando no plano da estrutura e aplicadas nos nós.
• treliça espacial: semelhante à treliça plana, porém em 3 dimensões.
• pórtico plano: é constituído por membros dispostos em um único plano, tendo eixos de simetria nesse plano,
como no caso da viga. Os nós entre os membros são ligações rígidas (nós elásticos). As forças atuantes e os
deslocamentos originados estão no mesmo plano da estrutura. Todos os binários que atuam no pórtico tem
seus vetores momento normais ao plano. É possível no pórtico plano a presença de alguns nós articulados.
• grelha: é composta de membros contínuos que se interceptam ou se cruzam mutuamente. No último caso,
muitas vezes as ligações entre membros são consideradas como articuladas, ao passo que no primeiro caso as
ligações são consideradas rígidas. Todas as forças são normais ao plano da estrutura e todos os binários têm
seus vetores momento no plano da grelha.
• pórtico espacial: é o tipo mais geral de estrutura reticulada, visto que não há restrições na posição dos nós,
direções dos membros ou direções das cargas. Os nós que conectam as barras normalmente são elásticos,
podendo entretanto existirem alguns nós articulados.
1.3 CARGAS
As cargas em uma estrutura resultam do próprio peso da estrutura e dos pesos dos corpos que a estrutura
suporta. Podem serem classificadas de várias maneiras: permanentes ou acidentais, móveis e excepcionais. Ainda
podem ser classificadas segundo a lei de distribuição. Segundo a lei de distribuição, temos 3 tipos de cargas:
cargas concentradas, cargas distribuídas e cargas momento.
• cargas concentradas: são cargas aplicadas em uma área suficientemente pequena em relação às dimensões da
estrutura, de forma a que se possa considerar a carga como aplicada em um ponto. Um bom exemplo de tal
situação é a carga aplicada por uma roda de caminhão sobre o tabuleirode uma ponte. Devido à deformação
do pneu, a carga é aplicada em uma área finita, porém tão pequena em relação às dimensões da ponte que se
pode imaginar a carga como aplicada em um ponto.
• cargas distribuídas: são cargas cuja área de aplicação é considerável em relação à dimensão da estrutura.
Seja a estrutura E abaixo, que suporta o corpo C, feito de um material com peso específico γ. O corpo C
introduz um carregamento na estrutura, distribuído e contínuo, com uma determinada taxa de distribuição.
____________________________________________________________ Introdução à Análise Estrutural__ 6
O volume do corpo que carrega um trecho de comprimento ds da estrutura é Sds, sendo S a área da
seção determinada em C por um plano perpendicular ao eixo da estrutura. o peso deste volume será dP=Sγds
e a taxa de distribuição de carregamento q(s) ao longo do eixo da estrutura vale, então, q(s)=dP/ds=Sγ,
conforme a figura abaixo, variando então proporcionalmente com a variação da área S.
Os tipos mais usuais de cargas distribuídas que ocorrem na prática são as cargas uniformemente
distribuída (q constante), e linear, correspondendo a empuxos de terra e água, principalmente.
 
Com menor freqüência ocorrem carregamentos parabólicos, e em casos excepcionais, de distribuição
aleatória. De qualquer maneira, conhecida a lei de distribuição do carregamento, é possível determinar sua
resultante e o ponto de aplicação desta, necessários para a determinação das reações de apoio.
Como uma carga distribuída pode ser entendida como a soma de infinitas cargas concentradas
infinitesimais qds, conforme a figura abaixo, o carregamento resultante será
∫= baqdsR
____________________________________________________________ Introdução à Análise Estrutural__ 7
ou seja, é igual à área Ω limitada entre a curva que define a lei de variação do carregamento e o eixo da
estrutura. Para obtermos a posição desta resultante, basta lembrarmos que, como ela é a força tal que é capaz
de substituir estaticamente o carregamento distribuído atuante, ela deverá dar em relação a qualquer ponto
do espaço o mesmo momento que o das forças da qual ela é resultante. Assim, chamando s* à distância da
resultante a um ponto genérico O, temos:
∫== baqdssRs **resultanteda Momento
∫= ba sqds)( comp. das momentos dosSoma 
Igualando, obtemos:
∫
∫
= b
a
b
a
qds
qsds
s*
Analisando a expressão acima verifica-se que ela nada mais representa que o quociente entre o momento
estático da área Ω correspondente à carga em relação a um eixo oz, e a própria área Ω. Esse quociente dá a
posição do centróide da área em relação a esse eixo oz. Portanto, o ponto de aplicação da resultante
correspondente à área ΩΩΩΩ é o centróide da área ΩΩΩΩ.
• cargas momento: as cargas momento nada mais são que binários. Não aparecem comumente como
carregamento nas estruturas, porém têm grande importância, pois tem largo emprego nos processos de
solução de estruturas hiperestáticas, cálculo de deslocamentos, etc... As cargas momento normalmente são
representadas ou por uma seta curva, ou por um vetor com seta dupla perpendicular ao plano de atuação do
momento.
 
Quanto à forma de atuação, ao longo do tempo, temos pelo menos dois tipos de cargas, as permanentes
e as acidentais.
• cargas permanentes: são aquelas que atuam constantemente na estrutura, tendo valor e ponto de aplicação
fixos. Normalmente se devem ao peso próprio da estrutura, peso de revestimentos e enchimentos.
• cargas acidentais: são aquelas que podem ou não ocorrer na estrutura, ou seja, apresentam variação temporal
em sua atuação. Por exemplo, ventos, empuxos de terra ou água, impactos laterais, aceleração ou frenagem
de veículos, sobrecargas (cargas de utilização), peso de materiais que vão encher a estrutura (reservatórios,
silos), peso de neve (regiões frias). Dentro das cargas acidentais particularizam-se as chamadas cargas
móveis, que são aquelas devidas a veículos que percorrem a estrutura (caso de pontes rodoviárias,
ferroviárias, viadutos e pontes rolantes industriais), tendo portanto um ponto de aplicação variável, e as
cargas excepcionais, por exemplo, efeito de sismos, explosões, colisões.
Após avaliado o valor da carga com a precisão julgada adequada ao problema e resolvido o problema de
determinação de esforços, empregam-se os chamados coeficientes de majoração, que nada mais são que
coeficientes de segurança. Os valores dos coeficientes de majoração são dados em norma - no Brasil a norma
NBR 8681/84 “Ações e segurança nas estruturas” - levando em conta o tipo de carga (permanente, acidental ou
excepcional), se o efeito da carga é favorável ou desfavorável e ainda um coeficiente considerando a combinação
entre ações permanentes, acidentais e excepcionais.
____________________________________________________________ Introdução à Análise Estrutural__ 8
1.4 EQUILÍBRIO
Quando se projeta uma estrutura admite-se que esta esteja em equilíbrio, ou seja, o somatório de forças
e momentos que atuam sobre a estrutura, devido às cargas e às reações de apoio, deve ser nulo. Dessa forma fica
garantida a inexistência de movimentos de translação e rotação da estrutura como um todo. Em forma vetorial
essas condições podem serem expressas por
!
F =∑ 0 e !M =∑ 0
ou em componentes:
Fx =∑ 0 Mx =∑ 0
Fy =∑ 0 M y =∑ 0
Fz =∑ 0 Mz =∑ 0
No plano as equações acima reduzem-se a:
Fx =∑ 0 Fy =∑ 0 e Mz =∑ 0
As equações de equilíbrio devem se verificar para um corpo como um todo, o que é garantido pelas
reações de apoio, e também para cada parte do corpo. Quem garante o equilíbrio de parte de um corpo são as
tensões internas (que levam aos esforços internos).
1.5 GRAUS DE LIBERDADE - VÍNCULOS
1.5.1 – Graus de Liberdade: a ação estática de um sistema de forças no espaço, em relação a um dado ponto, é
igual à de sua resultante e à de seu momento resultante em relação àquele ponto, provocando, a primeira, uma
tendência à translação e o segundo, uma tendência à rotação. Como no espaço uma translação pode ser expressa
por suas componentes segundo 3 eixos triortogonais, e uma rotação como a resultante de 3 rotações, cada uma
em torno de um desses eixos, dizemos que uma estrutura no espaço possui um total de 6 graus de liberdade - 3
translações e 3 rotações, segundo 3 eixos triortogonais.
Estes graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar que a estrutura apresente
movimento de corpo rígido. Esta restrição ao movimento é garantida pelos vínculos. Cada vínculo exerce uma
força ou momento sobre a estrutura, conforme seu tipo. Assim, a restrição de um grau de liberdade se dará
através da imposição de uma força ou momento. O conjunto de forças e momentos exercidos pelos vínculos é
chamado reações de apoio, e deve ser capaz de equilibrar a tendência de movimento provocada pelo sistema de
cargas que atua sobre a estrutura. O sistema de forças constituído pelas reações de apoio e pelas forças aplicadas
se constituí então em um sistema de forças equilibrado, ou seja, com força resultante nula e momento resultante
nulo.
1.5.2 – Vínculos: a função dos vínculos, conforme vimos, é a de restringir graus de liberdade das estruturas,
despertando com isto reações de apoio nas direções dos movimentos impedidos.
Eles serão classificados em função do número de graus de liberdade restringidos (ou do número de
movimentos impedidos), podendo ser então de 6 tipos diferentes, isto é, podendo restringir 6, 5, 4, 3, 2 ou 1
movimento. Os exemplos seguintes esclarecerão.
a) Seja o apoio apresentado a seguir, em que temos a estrutura apoiada sobre uma esfera perfeitamente
lubrificada. O único movimento que ela será capaz de impedir é a translação na direção vertical y, aparecendo
com isto uma reaçãoRy agindo sobre a estrutura. O apoio será dito então um apoio com 5 graus de liberdade
(ou com 1 movimento impedido).
____________________________________________________________ Introdução à Análise Estrutural__ 9
b) Seja agora o apoio constituído por 3 esferas ligadas entre si por 3 hastes de modo a ficar formado um conjunto
rígido. Ficam impedidos, no caso, além da translação na direção y as rotações em torno dos eixos x e z. O apoio
será dito então um apoio com 3 graus de liberdade (que são, no caso, a rotação em torno do eixo y e as
translações nas direções dos eixos x e z) ou com 3 movimentos impedidos. Aparecerão agindo sobre a estrutura
as reações Mx, Mz e Ry indicadas na figura.
c) O esquema abaixo representa a ligação rígida entre a estrutura e seu apoio, de dimensões tão maiores que as da
estrutura, que podem ser consideradas infinitas em presença daquelas. Neste caso o apoio impedirá todos os
movimentos possíveis.
1.5.3 – Estruturas Planas Carregadas no Plano: Neste caso, bastante freqüente na análise estrutural, existem
apenas 3 graus de liberdade a restringir.
____________________________________________________________ Introdução à Análise Estrutural__ 10
Supondo a estrutura no plano xy, os graus de liberdade a restringir são as translações nas direções x e y e
a rotação em torno de eixo perpendicular ao plano, no caso o eixo z, pois estas são as únicas tendências de
movimentação capazes de serem produzidas pelo sistema de forças indicado.
São os seguintes os apoios utilizáveis para impedir estes movimentos:
• Apoio do 1o. gênero, apoio simples ou “Charriot”: pode ser obtido por uma das duas formas representadas; na
primeira temos a estrutura apoiada sobre um rolo lubrificado que impede apenas o deslocamento na direção y,
permitindo a livre rotação em torno dele, assim como livre translação na direção x. Na segunda, a rotação é
assegurada por um pino sem atrito e a translação na direção de x pelos rolos diretamente em contato com o
plano que serve de apoio continuando impedido o deslocamento em y.
 
 
 
• Apoio do 2o. gênero, articulação, rótula ou apoio duplo: se no apoio simples substituirmos os rolos por uma
chapa completamente presa ao plano-suporte, estaremos impedindo todas as translações possíveis,
permanecendo livres apenas a rotação, assegurada pelo pino lubrificado.
 
 
 
• Apoio do 3o. gênero ou engaste: se ancorarmos a estrutura num bloco de dimensões que possam ser
consideradas infinitas em presença das dimensões da estrutura, na seção de contato entre ambos estarão
impedidos, pela rigidez do bloco, todos os movimentos possíveis da estrutura, e dizemos que o bloco engasta
a estrutura.
1.5.4 – Cálculo das Reações de Apoio: definidos os apoios, o cálculo de suas reações é imediato, pois elas são
forças ou momentos de ponto de aplicação e direção conhecidos, e valores tais que equilibrem as cargas
aplicadas à estrutura. Serão calculadas então, a partir das equações de equilíbrio instituídas anteriormente,
considerando-se as cargas aplicadas, de valor conhecido, e as reações de apoio, que serão as incógnitas. Para o
caso plano,
Fx =∑ 0 equilíbrio horizontal
Fy =∑ 0 equilíbrio vertical
Mz =∑ 0 equilíbrio rotacional
____________________________________________________________ Introdução à Análise Estrutural__ 11
Exemplo: Calcular as reações de apoio para a estrutura abaixo.
Fx =∑ 0 40 0kN H A− = H kNA = 40
M A =∑ 0 − + + − =80 60 4 40 6 8 0kNm kN m kN m m VD. . . V kND = 50
Fy =∑ 0 V V kNA D+ − =60 0 V kNA = 10
Obs.: Os sinais positivos encontrados confirmam os sentidos para as forças. Caso tivéssemos encontrado algum
sinal negativo, o módulo da reação calculado seria o correto, estando o sentido inicialmente arbitrado incorreto.
O calculo prossegue até o final com os sinais encontrados, sendo a inversão do sentido das reações de sinal
negativo efetuada ao final do processo.
Exemplo: Calcular as reações de apoio no engaste A da estrutura espacial abaixo, cujas barras formam em todos
os nós ângulos de 90o.
____________________________________________________________ Introdução à Análise Estrutural__ 12
Fx =∑ 0 R kN kNx − + =20 30 0 R kNx = −10
Fy =∑ 0 R kN kNy − + =40 50 0 R kNy = −10
Fz =∑ 0 R kNz − =10 0 R kNz = 10
M x =∑ 0 M kN m kN mx + − =50 3 10 6 0. . M kN mx = −90 .
M y =∑ 0 M kN m kN my + − =10 4 30 3 0. . M kN my = 50 .
Mz =∑ 0 M kN m kN m kN m kN mz + − + − =20 6 40 4 50 4 30 6 0. . . .
M kN mz = 20 .
1.6 ESTATICIDADE E ESTABILIDADE
1.6.1 – Estaticidade: a noção de estaticidade está ligada ao número de graus de liberdade restringidos pela
vinculação.
• os vínculos são em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura.
Neste caso, o número de reações de apoio a determinar é igual ao número de equações de equilíbrio
disponíveis (número de incógnitas = número de equações), chegando-se a um sistema de equações possível e
determinado. Diremos então que a estrutura é isostática ou estaticamente determinada.
• os vínculos são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura.
Neste caso, evidentemente, teremos mais equações que incógnitas. A estrutura apresenta graus de liberdade
não restringidos, sendo possível a ocorrência de movimentos de corpo rígido. A estrutura é chamada
hipostática, e não deve ser empregada para fins de engenharia civil.
• os vínculos são em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura.
Neste caso, teremos menor número de equações de equilíbrio que de incógnitas a determinar, conduzindo a
um sistema de equações indeterminado. As equações universais da estática não serão suficientes para a
determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de
deformações. A estrutura será dita hiperestática ou estaticamente indeterminada. Normalmente as estruturas
empregadas em engenharia civil são hiperestáticas.
1.6.2 – Estabilidade: o conceito de estabilidade está ligado à capacidade da estrutura resistir ao carregamento, ou
ao carregamento com uma pequena variação em intensidade ou direção, apresentando deslocamentos pequenos
ou moderados. O conceito oposto seria o de instabilidade, ou seja, quando para uma pequena perturbação no
carregamento a estrutura apresenta deslocamentos grandes.
Para garantir que uma estrutura seja estável, deve-se ter além de uma quantidade de vínculos adequada,
uma adequada disposição destes. As estruturas hipostáticas serão sempre instáveis. As estruturas isostáticas
podem serem instáveis, se apresentarem uma disposição de vínculos inadequada. O mesmo pode ocorrer com as
estruturas hiperestáticas, que podem apresentar uma vinculação excessiva em uma região e deficiente em outra,
caracterizando instabilidade.
____________________________________________________________ Introdução à Análise Estrutural__ 13
No caso da estrutura plana à esquerda, que possui 3 graus de liberdade, temos um apoio do segundo
gênero e um apoio de primeiro gênero, dando um total de 3 reações de apoio a determinar. Do ponto de vista do
cálculo das reações de apoio, à primeira vista teríamos uma estrutura isostática, fato que não ocorre, pois o apoio
A impede translações nas direções x e y, e o apoio B também impede translações em x. Temos então duas reações
horizontais colineares. A rotação do sistema, no entanto, não é impedida por vínculo algum, e a estrutura é então
instável. Como curiosidade fica o seguinte fato: considere-se uma carga na direção do eixo da barra. Se
pretendêssemos determinar o valor das reações horizontais em A e B, isto não seria possível apenas com o
emprego das equações de equilíbrio da estática, pois temos duas forças colineares.
Analogamente, a estrutura à direita é hiperestática (estaticamente indeterminada) quanto ao número de
reações de apoio, porém instável, pois se houveruma pequena componente de carga na horizontal a viga
apresentará movimento de corpo rígido, visto que não há impedimento à translação na direção x.
Outro tipo de instabilidade é a chamada flambagem. Quando uma peça muito esbelta - seja ela um pilar,
laje ou mesmo viga - é sujeita à compressão, se a carga ultrapassar um determinado patamar existe a
possibilidade da peça flambar, ou seja, assumir uma configuração de equilíbrio muito afastada de sua geometria
inicial, ou mesmo atingir a ruptura.
1.7 PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS
O Princípio de Superposição dos Efeitos (PSE) é largamente empregado em engenharia. Permite que se
considere o efeito de uma soma de causas como a soma dos efeitos das causas.
Em análise estrutural, se pode aplicar o princípio de superposição de efeitos ao cálculo de
deslocamentos, esforços e tensões, desde que algumas condições que veremos a seguir sejam satisfeitas.
Imaginemos um carregamento constituído por algumas forças. Pode-se dizer que o deslocamento de um ponto em
uma dada direção será a soma dos deslocamentos nesse ponto, nessa direção, provocados por cada uma das
cargas atuando em separado. Da mesma forma, a tensão em um ponto da estrutura será a soma da tensão nesse
ponto provocada por cada uma das cargas atuando em separado.
As condições necessárias para que o PSE possa ser aplicado à análise estrutural são:
• material com comportamento linear elástico.
• deformações pequenas, de modo que as condições de equilíbrio possam ser estabelecidas
empregando-se a geometria indeformada da estrutura.
• garantia de que não existe a possibilidade de instabilidade em peças comprimidas – flambagem.
• o carregamento não depende da deformação da estrutura – cargas conservativas.
____________________________________________________________ Introdução à Análise Estrutural__ 14
2. TRELIÇAS PLANAS ISOSTÁTICAS
2.1 INTRODUÇÃO
As treliças planas são estruturas compostas por barras retas conectadas entre si por articulações. As
articulações são denominadas nós. As treliças normalmente são compostas por associações entre triângulos, uma
vez que esta construção é dita “indeformável”, “rígida” ou “indeslocável”, no sentido de não apresentar
movimento relativo entre suas componentes. As demais construções fechadas possíveis são ditas “deslocáveis”.
 
 INDESLOCÁVEL DESLOCÁVEL
Admite-se que o carregamento atua apenas nos nós, e no mesmo plano da treliça. Dessa maneira, o
único esforço que se tem é o esforço normal. A convenção empregada para o esforço normal é positivo para
esforço normal de tração e negativo para esforço normal de compressão. Na figura abaixo indica-se os esforços
normais positivo (tração) e negativo (compressão). O esforço normal positivo (tração) ocasiona alongamento nas
barras em que atua, conforme indicado na figura mais abaixo.
A seguir se mostra algumas treliças empregadas para cobertura. O carregamento nessas treliças vêm da
ação do vento sobre o telhado, pesos próprios da treliça e da cobertura, sobrecarga, e possibilidade de neve, se
houver. Normalmente a escolha do tipo de treliça a empregar se dá em função do tipo de telhado (peso e
declividade) e do vão a vencer.
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 16
A treliça Scissors (tesoura) é empregada quando o vão a vencer é pequeno, possibilitando um pé direito
maior no centro. As treliças Howe e Pratt são usadas para vãos moderados, da ordem de 18 a 30m. As treliças
Fan e Fink são indicadas para vãos maiores. Para uma cobertura com baixa declividade, é indicada a treliça
Warren. A treliça Sawtooth (Dente de serra) é indicada onde é necessário iluminar o ambiente, e onde a posição
dos apoios não é restrição. Muito empregada como cobertura de indústrias. A treliça Bowstring é empregada para
garagens, pequenos hangares. A treliça em arco triarticulado é indicada para vencer grandes vãos.
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 17
A seguir se mostra algumas treliças comumente empregadas em pontes. O carregamento nessas treliças
vêm de seu peso próprio, do peso do tabuleiro da ponte e da ação do trem-tipo (carregamento hipotético previsto
por norma, empregado no projeto de pontes).
As treliças Pratt, Howe e Warren são normalmente usadas para vãos da ordem de 60 m. A mais comum
é a Warren, com verticais. Para vãos maiores, a treliça Parker se mostra indicada, chegando a ser aplicada em
vãos de 90 m. Para uma maior economia, as barras inclinadas devem manter-se entre 45º e 60º. Para vãos
grandes acaba-se recaindo em uma treliça com grande altura. Para fugir do problema de barras longas
comprimidas, surgiram as treliças Baltimore, Warren subdividida e ainda a chamada treliça K.
Observações:
• Na chamada “treliça ideal” não se admite carga aplicada nas barras. Na verdade está-se fazendo uma
idealização, uma vez que o peso próprio se encontra distribuído ao longo do comprimento da barra. O que se
costuma fazer para considerar o peso próprio é calcular cargas nodais equivalentes correspondentes ao peso
próprio. Se houverem cargas aplicadas nas barras, pode-se aplicar tratamento semelhante, sendo que nas
barras com cargas fora dos nós teremos além do esforço normal a presença de esforço cortante e momento
fletor.
• O nó articulado e sem atrito na prática é muito difícil de se construir, especialmente em estruturas “civis”. O
nó possível de se construir é diferente. Por vezes é articulado, porém com atrito, ou às vezes é construído por
soldagem das barras em uma chapa - chamada placa Gusset - como na figura a seguir. No entanto, se os
eixos das barras que chegam ao nó forem concorrentes em único ponto, admite-se que os esforços
secundários (momentos fletores, devido ao impedimento à rotação) são desprezíveis e se pode tratar tal nó
como articulado.
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 18
2.2 CLASSIFICAÇÃO DAS TRELIÇAS
2.2.1 – Quanto ao Tipo: quanto ao tipo as treliças classificam-se conforme a lei de formação que lhes dá origem.
• Simples: são formadas a partir de uma treliça básica, à qual se adiciona um novo triângulo, ou seja,
duas barras e um nó.
 
• Composta: formadas pela união de duas ou mais treliças simples. Normalmente cada união entre
treliças é feita ou por um nó e uma barra, ou por três barras não paralelas entre si nem concorrentes
em um ponto. Eventualmente pode se considerar como treliça composta a união de treliças simples
por um nó, empregando-se uma vinculação constituída por dois apoios duplos.
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 19
• Complexas: aquelas que não se enquadram nos grupos anteriores.
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 20
2.2.2 – Quanto à Estaticidade: quanto à estaticidade as treliças classificam-se em hipostáticas, isostáticas e
hiperestáticas. Como critério de classificação emprega-se o conceito de grau de hiperestaticidade., O conceito de
grau de hiperestaticidade será desenvolvido de forma mais abrangente quando do estudo dos pórticos planos. Por
hora, nos basta saber que para treliças, o grau de hiperestaticidade pode ser calculado por
nbrgT 2−+=
onde r é o número de reações de apoio, b o número de barras e n o número de nós. Conforme o valor de gT a
treliça será classificada em
• Hipostática: quando gT < 0.
• Isostática: quando gT = 0.
• Hiperestática: quando gT > 0.
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 21
É conveniente lembrar que uma adequada vinculação é aquela que garante uma boa estabilidade, ou
seja, inexistência de movimentos de corpo rígido. Nãobasta verificar numericamente o valor de gT, pois uma
treliça aparentemente isostática ou até hiperestática pode ter uma vinculação com disposição inadequada. No
caso da treliça a seguir, à esquerda, não existe reação capaz de impedir o giro em torno do apoio duplo esquerdo.
No caso da treliça à direita, não existe reação capaz de impedir o movimento horizontal.
Em alguns casos, barras com disposição inadequada podem levar a uma treliça aparentemente isostática,
quando analisada exclusivamente em função do gT. Analisemos as treliças a seguir. A treliça à esquerda, possui
um painel deformável, CBFE. A treliça à direita é uma treliça composta. As barras CF, AD e BE são
responsáveis por impedir os movimentos de corpo rígido da treliça interna ABC, isto é, funcionam como vínculos
para a treliça ABC. No entanto, as reações proporcionadas pelas barras de ligação são concorrentes no ponto O,
sendo portanto incapazes de impedir movimentos de rotação da treliça ABC.
 
2.3 MÉTODOS DE SOLUÇÃO PARA TRELIÇAS PLANAS
Diversos métodos se encontram disponíveis para a solução de treliças planas isostáticas, desde os
métodos gráficos, passando pelos métodos analíticos até os métodos computacionais.
Os métodos gráficos (Método de Cremona e outros) tiveram larga aplicação no passado, sendo que hoje
se encontram quase em desuso. Envolvem processos de desenho gráfico.
Os métodos computacionais tem ganho importância com a evolução da informática, que hoje é capaz de
fornecer ao usuário máquinas com grande capacidade de memória a baixo custo. Com o emprego dos métodos
computacionais, é possível a solução de grandes estruturas hiperestáticas de forma bastante rápida.
Os métodos analíticos servem como embasamento ao estudo dos métodos computacionais. Assim como
a isostática é uma ferramenta indispensável ao estudo da hiperestática, os métodos analíticos são uma ferramenta
indispensável ao uso e interpretação dos resultados fornecidos por um programa computacional.
2.3.1 – Método dos Nós: o método dos nós é um método básico de análise de treliças. Consiste no estudo do
equilíbrio de cada nó, aplicando-se a ele as condições de equilíbrio. No caso da análise do equilíbrio do nó, as
condições de equilíbrio para estruturas planas carregadas no próprio plano ficam reduzidas a duas, pois as forças
envolvidas são concorrentes no mesmo ponto - o nó - não tendo sentido se fazer somatório de momentos.
Fx =∑ 0 Fy =∑ 0
Após conhecidas as reações de apoio, inicia-se a análise por um nó que tenha no máximo duas
incógnitas, pois dispõe-se apenas de duas equações de equilíbrio. Normalmente admite-se que os esforços
nas barras sejam de tração. Se a hipótese for correta, a incógnita resultará positiva, o que concorda com a
convenção adotada para esforço normal. Se a incógnita resultar negativa, significa que a barra se encontra
comprimida, e a concordância com a convenção se mantém.
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 22
Seja determinar os esforços normais nas barras da treliça a seguir, empregando o método dos nós. Após
calcular as reações de apoio e montar o diagrama de corpo livre, escolhe-se o nó pelo qual se vai iniciar.
No caso da treliça anterior é indiferente iniciar pelo nó A ou pelo nó D, pois ambos possuem apenas
duas incógnitas, que são os esforços normais das barras que a eles concorrem. Supondo-se que o início se dê pelo
nó A:
Aplicando as equações de equilíbrio nas direções x e y é possível calcular os esforços nas barras AB e
AG. O próximo nó a calcular deve ser o nó G, uma vez que o nó B ainda apresenta mais que 2 incógnitas, mesmo
após calculado esforço em AB. Depois de calculado o nó G, percorre-se os demais nós da treliça, sempre
calculando os que tenham no máximo duas incógnitas.
Em alguns casos é possível determinar o esforço em algumas barras apenas por inspeção, sem que seja
preciso equacionar o nó, embora a “inspeção” se faça tendo em mente o equilíbrio em uma ou mais direções.
Vejamos o caso da treliça a seguir. No apoio E, as duas únicas forças verticais são a reação de apoio Ey
e o esforço normal na barra BE. Portanto, o esforço normal em BE deverá ser igual à reação de apoio Ey, para
que haja equilíbrio vertical. No nó C, somente se conecta uma barra vertical e uma horizontal. Assim, o esforço
na barra vertical será tal que equilíbre a componente vertical das cargas aplicadas no nó C, o mesmo raciocínio
podendo ser feito para o esforço na barra horizontal BC.
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 23
2.3.2 – Método de Ritter: é um método bastante adequado para quando se deseja saber os esforços apenas em
algumas barras da treliça. Também se presta muito bem ao cálculo de treliças de altura constante sujeitas a
carregamento vertical, como veremos a seguir.
O método de Ritter baseia-se na premissa de que se a estrutura como um todo está em equilíbrio, cada
parte dela também está. Aplica-se uma seção que atravesse toda a treliça, denominada seção de Ritter. Aplica-se
as condições de equilíbrio a uma das partes da treliça
Fx =∑ 0 Fy =∑ 0 Mz =∑ 0
e com isso se obtém o valor das incógnitas procuradas. Procura-se determinar as incógnitas na ordem mais
favorável, sendo que a escolha do eixo para fazer o somatório de momentos também é inteiramente arbitrária,
segundo a conveniência do problema. Seja a treliça a seguir, para a qual se quer obter o esforço normal nas
barras 2 e 7.
Aplicando-se uma seção de Ritter que as atravesse, é possível obter a resposta com o emprego de apenas
duas equações. Tomando-se as forças à esquerda da seção S1-S1 e fazendo somatório de momentos em relação ao
ponto D, calcula-se N7. Tomando as mesmas forças e fazendo somatório de momentos em relação ao ponto C,
calcula-se N2.
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 24
Para que se obtenha solução, as seções de Ritter devem seguir algumas regras:
• as seções de Ritter devem cortar não mais que 3 barras, salvo exceções, pois dispomos de apenas 3
equações de equilíbrio. Essas barras não devem ser paralelas entre si nem concorrentes em um
mesmo ponto. É possível uma mesma barra ser seccionada duas vezes, o que implica no
cancelamento de seus esforços, quando do cálculo.
Após aplicada a seção acima e calculados os esforços nas barras 1, 2 e 3, é possível aplicar a
seção abaixo, que corta 4 barras. Note que conhecido o esforço na barras 1 e 3, é possível a
determinação do esforço nas barras 4 e 5.
• As seções de Ritter devem ser contínuas e separar a treliça em duas porções, podendo ser uma
porção interna e outra externa.
2.3.3 – Método de Ritter para Treliças de Altura Constante: quando se emprega o método de Ritter para analisar
treliças de altura constante, desde que sujeitas a carregamento paralelo à altura da treliça, é possível encaminhar
o problema no sentido de recair no estudo de uma viga de substituição. A partir dos esforços na viga de
substituição determina-se os esforços normais na treliça.
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 25
2.3.3.1 Treliças com uma diagonal por painel: seja a treliça abaixo, sujeita a carregamento vertical. Veremos
como o cálculo de esforços na treliça pode ser conduzido de forma a que os esforços na treliça sejam dados em
função dos esforços na viga de substituição, mostrada a seguir.
Empregaremos inicialmente uma seção de Ritter S1-S1 com o intuito de determinar os esforços nas
barras O3, D3 e U3.
O valor de U3 será obtido através de ΣMG = 0. Observe-se que as forças que geram momento em relação
a G são, além de U3 , as forças verticais VA, P1, P2 e P3. O momento calculado em relação ao ponto G
empregando-se o trecho de treliça limitado pela seção de Ritter S1-S1 se confundecom o momento calculado em
relação ao ponto g da viga de substituição, empregando-se as forças à esquerda do ponto. Assim, temos:
03 =− hUM g ou h
MU g+=3
O valor de O3 será obtido através de ΣMF’ = 0. Por analogia com o caso anterior, temos:
03 =+ hOM f ou h
MO f−=3
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 26
O valor de D3 será obtido através de ΣFy = 0. As forças que tem componente vertical sobre a seção S1-S1
são VA, P1, P2 e P3.
0sen3321 =+−−− ϕDPPPVA
O somatório (VA - P1 - P2 - P3) pode imediatamente ser identificado com o esforço cortante no trecho fg
da viga de substituição. Assim,
ϕsen3
fgVD =
O sinal do esforço normal atuante nas barras inclinadas não pode ser determinado a partir da viga de
substituição. Deve ser determinado por análise caso a caso, uma vez que na expressão anterior não se leva em
conta a inclinação da diagonal.
Para a determinação dos esforços nas barras verticais, utilizaremos a seção de Ritter S2-S2, mostrada
abaixo.
Na determinação do esforço normal na barra V3, empregaremos ΣFy = 0. Assim, temos
034321 =−−−−− VPPPPVA
onde o somatório (VA - P1 - P2 - P3 - P4) pode ser associado ao esforço cortante na viga de substituição, no
trecho gh. Ficamos então com
fgVV =3
Como no caso das barras inclinadas, não se pode determinar o sinal do esforço nas barras verticais
unicamente a partir dos esforços na viga de substituição. É necessário analisar a forma da treliça. No exemplo
anterior, se as diagonais dos painéis adjacentes à barra vertical em questão tivessem inclinação contrária, o sinal
do esforço na barra vertical se inverteria. Esse é o método geral para determinação de esforço em barras
verticais. Algumas barras verticais no entanto podem ser resolvidas imediatamente, apenas por análise do
equilíbrio do nó ao qual se conectam, conforme se havia mencionado quando do estudo do método dos nós. Na
treliça anterior é o caso das barras V0, V2, V5 e V7. Vejamos:
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 27
Então, resumindo o que se viu acima, podemos dizer que:
• os esforços normais nas barras horizontais superiores e inferiores são iguais aos momentos fletores na viga
de substituição, multiplicados por 1/h, no ponto onde se encontram as outras duas barras do painel. O sinal
do esforço normal em barras inferiores acompanha o sinal do momento fletor na viga de substituição,
enquanto que o sinal do esforço normal das barras superiores é oposto ao do momento fletor na viga de
substituição.
• os esforços normais nas diagonais são, em módulo, iguais aos esforços cortantes na viga de substituição
multiplicados por 1/senϕ. O sinal são obtidos por análise do equilíbrio da região seccionada, sendo
analisados caso a caso.
• para barras verticais tais que lhes possamos dar uma seção de Ritter que as atravesse e a mais duas barras
horizontais somente, seus esforços normais são iguais, em módulo, aos esforços cortantes na viga de
substituição no trecho, onde o carregamento está definido, interceptado pela seção de Ritter. Seus sinais,
obtidos por análise do equilíbrio do trecho interceptado pela seção, deverão ser estudados em cada caso.
• Os esforços normais em barras verticais e diagonais variam caso o carregamento esteja disposto na parte
superior ou inferior da treliça. Os esforços normais das barras horizontais não variam quando se varia a
disposição do carregamento.
2.3.3.2 Treliças com duas diagonais por painel: seja a treliça abaixo, cuja viga de substituição associada se
encontra também representada.
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 28
A partir da seção S1-S1, considerando equilíbrio à rotação, obtemos:
∑ = 0EM hMU e=3
∑ = 0'EM hMO e−=3
Analisando a seção S2-S2, impondo a condição de equilíbrio vertical temos que:
0sensen 33321 =−−−−− ϕϕ isA DDPPPV
onde sD3 e 
iD3 representam os esforços nas diagonais superior e inferior do painel 3. Considerando o equilíbrio
horizontal do nó ao qual se conectam as barras sD3 e 
iD3 , verificamos que em módulo 
sD3 e 
iD3 são iguais.
Assim, o valor do esforço nas diagonais fica dado por
ϕsen233
efis VDD ==
sendo que o sinal dos esforços em sD3 e 
iD3 será contrário, ou seja, se uma for tracionada a outra será
comprimida, sinais estes que devem ser analisados conforme a inclinação das diagonais. Se a inclinação das
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 29
diagonais superiores sϕ e inferiores iϕ em relação à horizontal for diferente, pelo equilíbrio horizontal do nó
ao qual ambas se conectam temos que
0coscos 33 =−
ssii DD ϕϕ ou si
s
i DD 33 cos
cos
ϕ
ϕ
=
Nesse caso, os esforços nas diagonais ficam dados por
i
i
s
s
efs VD
ϕ
ϕ
ϕϕ sen
cos
cossen
3
+
= e 
s
s
i
i
efi VD
ϕ
ϕ
ϕϕ sen
cos
cossen
3
+
=
Os esforços normais atuantes nas barras verticais superiores e inferiores são definidos a partir da análise
feita a seguir. Seja determinar os esforços normais nas barras em sV2 e 
iV2 . Analisando o esquema abaixo,
verificamos que se a inclinação das diagonais superior e inferior com a horizontal for idêntica, o esforço nas
verticais é dado por
2
sen32
deii VDV == ϕ
Conhecido iV2 , a partir do esquema abaixo é possível determinar o módulo e o sinal de 
sV2 , sabendo-se
que a soma entre os dois esforços normais anteriores deve equilibrar o esforço cortante no trecho ef da viga de
substituição, ficando assim definido sV2 em módulo e sinal.
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 30
2.3.4 – Treliças Compostas: normalmente na análise das treliças compostas, após calculadas as reações de apoio,
isola-se as treliças que deram origem à treliça composta, aplicando-se uma seção de Ritter nas 3 barras que fazem
a ligação. Caso a ligação seja feita por uma barra e um nó, aplica-se uma seção que passe na barra de ligação e
no nó comum. Tomando-se um dos lados da treliça composta, o somatório de momentos em torno do nó de
ligação deve ser nulo. Daí resulta o valor do esforço na barra de ligação. Após, pode-se adotar o processo mais
conveniente para determinar os demais esforços.
A seguir apresenta-se alguns exemplos de treliças compostas, indicando-se os elementos de ligação
entre as treliças simples.
 
As treliças a seguir aceitam mais de uma interpretação quanto aos elementos de ligação: ou podem ser
imaginadas obtidas por ligação entre duas treliças simples através de 3 barras, ou por uma barra e um nó.
 
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 31
2.3.5 Treliças Complexas – Método de Henneberg: o método de Henneberg é o método empregado na solução
de treliças complexas. Seja a treliça complexa abaixo:
O método de Henneberg propõe transformar uma treliça complexa em uma treliça simples imaginária,
através da eliminação e acréscimo de barras. A treliça da figura anterior pode ser transformada em uma treliça
simples se eliminarmos as barras AH e FB, e acrescentarmos as barras CF e DH. Com esta mudança a treliça
passa de complexa a simples, mantendo sua condição estática, uma vez que o número total de barras não se
altera.
Uma outra condição deve ser satisfeita: o estado de forças que solicita os nós da treliça complexa deve
se manter. É necessário então a aplicação sobre os nós A e H de um par de forças unitárias, com sentidos opostos
e direção AH – chamadas aqui de X1 – de modo a representar o esforço que a barra AH exercia sobre esses nós.
Sobre os nós F e B deve ser aplicado um outro par de forçasunitárias, de direção FB e sentidos opostos,
representando o esforço da barra FB sobre esses nós, chamado aqui de X2. Os esforços X1 e X2 serão calculados
de forma a que os esforços nas barras “fictícias” CF e DH resultem nulos, para que a condição estática dos nós C,
F, D e H não se altere devido à introdução das barras “fictícias”. Aplicaremos o princípio de superposição dos
efeitos para obter a equação dos esforços nas barras fictícias CF e DH.
________________________________________________________________ Treliças Planas Isostáticas__ 32
021110 =++ XNXNN
CFCFCF
021110 =++ XNXNN
DHDHDH
As equações acima representam a condição de esforço nulo nas barras “fictícias”, podendo ser
denominadas de condições de compatibilidade estática. Os subíndices representam o sistema de cargas que
solicita a treliça, 0 para o sistema real de cargas, 1 para X1 e 2 para X2. Ao sistema de equações anterior está
associado o determinante
DHDH
CFCF
NN
NN
21
21
=∆
Se o determinante for nulo significa que a treliça complexa é instável. De posse da solução do sistema,
podemos escrever uma equação geral para o esforço em uma barra genérica k
21110 XNXNNN
kkkk ++=
Podemos agora enunciar um roteiro da solução de treliças complexas pelo método de Henneberg:
• Eliminar barras (o menor número possível) na treliça complexa dada, substituindo-as por igual
número de barras, de tal modo a obter uma treliça simples de substituição.
• Obter os esforços normais na treliça simples de substituição devido ao carregamento externo e a
pares de cargas unitárias de sentidos opostos, colocadas nos nós extremos e na direção de cada
barra eliminada na treliça complexa, em separado (N1, N2,...., Nn).
• Calcular o valor das forças Xi, tais que façam com que os esforços normais na treliça de
substituição, nas barras criadas em substituição às eliminadas sejam nulos, a partir de um sistema de
equações da forma:
0....... 12
1
21
1
1
1
0 =++++ nn XNXNXNN
0....... 22
2
21
2
1
2
0 =++++ nn XNXNXNN
. . . . .
. . . . .
. . . . .
0.......22110 =++++ n
n
n
nnn XNXNXNN
onde cada equação representa o esforço normal nulo em cada uma das barras acrescentadas à treliça
complexa para se chegar à treliça simples.
• Calcular os esforços normais nas barras da treliça complexa, através da equação
n
k
n
kkkk XNXNXNNN ++++= .......22110
3. VIGAS ISOSTÁTICAS
3.1 INTRODUÇÃO
Vigas são estruturas lineares, com eixo reto ou de pequena curvatura. Neste capítulo serão estudadas as
vigas de eixo reto, ficando as com eixo curvo para serem abordadas juntamente com as grelhas. As principais
vigas isostáticas são a viga bi-apoiada e a viga engastada-livre, assim denominadas em função da vinculação.
 
As cargas normalmente são forças perpendiculares ao eixo da viga, dispostas em um mesmo plano,
plano este que contém uma direção principal de inércia. Também podem aparecer momentos fletores que atuem
no mesmo plano das cargas, ou seja, com vetor perpendicular ao plano de atuação das cargas.
Caso as cargas sejam perpendiculares ao eixo da estrutura e dispostas em um plano que contenha uma
direção principal de inércia, os únicos esforços presentes são momento fletor atuando no plano das cargas e
esforço cortante na direção das cargas. Caso existam cargas inclinadas em relação ao eixo longitudinal, porém
ainda em um plano que contenha uma direção principal de inércia, surgirá também esforço normal.
O estudo dos esforços nas vigas se faz através do emprego das chamadas linhas de estado. Uma linha de
estado nada mais é do que a representação gráfica do valor do esforço em questão, empregando como referência
o eixo da estrutura. As linhas de estado são também chamadas diagramas. No caso das vigas são de particular
interesse os diagramas de momento fletor (DMF) e de esforço cortante (DEC). Caso existam cargas inclinadas
em relação ao eixo da viga, considera-se também o diagrama de esforço normal (DEN).
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 34
3.2 RELAÇÕES ENTRE CARGA DISTRIBUÍDA, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR
Suponhamos uma viga sujeita a um carregamento distribuído qualquer:
Isolando-se um segmento de viga de comprimento ∆x temos os esforços cortantes V e V + ∆V, os
momentos fletores M e M + ∆M; temos também a resultante do carregamento externo, que devido ao pequeno
comprimento ∆x, pode ser considerada de valor q∆x e aplicada no centro do segmento de viga isolado.
Aplicando-se a condição de equilíbrio vertical ΣFy = 0 temos
0)( =∆+−∆− VVxqV
x
Vq
∆
∆
−=
No caso em que ∆x tende a zero, tomando o limite da relação acima temos a derivada. Então
q
dx
dV
x
V
x
−==


∆
∆
→∆ 0
lim
Aplicando-se a condição de equilíbrio à rotação ΣMz = 0, tomando-se momentos com relação à face
esquerda do segmento de viga
0)()(
2
=∆∆+−∆++−∆∆− xVVMMMxxq
0
2
2
=∆∆−∆−∆−∆ xVxVxqM
xVxVxqM ∆∆+∆+∆=∆
2
2
mas xqV ∆−=∆
2
2xqxVM ∆−∆=∆
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 35
e dividindo por ∆x
2
xqV
x
M ∆
−=
∆
∆
Novamente, tomando-se o limite da expressão acima quando ∆x tende a zero, temos a derivada.
lim
∆
∆
∆x
M
x
dM
dx
V
→
  = =0
Temos então que:
• a primeira derivada da função V dá o valor da carga, com o sinal trocado.
• a função V é de grau imediatamente superior ao da função q.
• a primeira derivada da função M dá o valor do esforço cortante.
• a função M é de grau imediatamente superior ao da função V.
• a inclinação da tangente à função V (dV/dx) em qualquer seção dá o valor de q, com o sinal trocado.
• a inclinação da tangente à função M (dM/dx) em qualquer seção dá o valor de V.
A expressão
q
dx
dV
−=
pode ser colocada na forma
qdxdV −=
Integrando entre duas seções a e b ficamos com:
∫∫ −= baba qdxdV
b
aab VV ]cargas de diagrama do área[−=−
De forma semelhante, a expressão
V
dx
dM
=
pode ser colocada na forma
VdxdM =
Integrando entre duas seções a e b ficamos com:
∫∫ = baba VdxdM
b
aab MM ]cortante esforço dediagrama doárea [=−
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 36
Do ponto de vista do traçado dos diagramas, convém salientar algumas implicações do relacionamento
entre q, V e M:
• o momento fletor apresenta um máximo relativo toda vez que o esforço cortante se anular, ou trocar de
sinal.
• sob carga concentrada o diagrama de esforço cortante apresenta uma descontinuidade de magnitude igual à
carga concentrada, estando definido imediatamente à esquerda e imediatamente à direita do ponto de
aplicação da carga.
• sob carga concentrada o diagrama de momento fletor apresenta um ponto anguloso.
• a variação de esforço cortante entre dois pontos é igual à variação de área do diagrama de cargas, com o
sinal trocado, desde que não haja cargas concentradas aplicadas no trecho.
• a variação de momento fletor entre dois pontos é igual à variação de área do diagrama de esforço cortante,
desde que não haja momentos aplicados no trecho.
3.3 VIGAS FUNDAMENTAIS
3.3.1 Viga Bi-Apoiada: viga bi-apoiada é aquela que tem como vinculação dois apoios, um do primeiro e um do
segundo gênero, de forma impedir os movimentos de corpo rígido no plano. Esses apoios podem ou não se
encontrar nas extremidades da viga. Caso um dos apoios não se encontre na extremidade, a viga será dita viga bi-
apoiada com balanço.
3.3.1.1 Viga Bi-Apoiada com uma carga concentrada:
∑ =−+= 0 0 PBAF yyy
∑ == 0 0 xx AF
∑ =−= 0 0 PaLBM yAz
 
L
PbAy =L
PaBy =
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 37
Trecho AC:
L
PbAV yAC ==
L
PbxxAM yAC ==
L
PbVA = L
PbV esqC =
0=AM L
PabM C =
Trecho CB:
L
PaPAV yCB −=−=
( )axPxAM yCB −−=
L
PaV dirC −= L
PaVB −=
L
PabM C = 0=BM
3.3.1.2 Viga Bi-Apoiada com duas cargas concentradas:
 ∑ =−−+= 0 0 21 PPBAF yyy
 ∑ == 0 0 xx AF
∑ =+−−= 0)( 0 21 baPaPLBM yAz
L
cPcbPAy 21
)( ++
=
L
baPaPBy
)(21 ++
=
Trecho AC:
L
cPcbPAV yAC 21
)( ++
== x
L
cPcbPxAM yAC 

 ++
==
21 )(
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 38
L
cPcbPVA 21
)( ++
=
L
cPcbPV esqC 21
)( ++
=
0=AM aL
cPcbPM C 

 ++
=
21 )(
Trecho CD:
L
aPcPPAV yCD 121
−
=−= )()()( 1211 axPxL
cPcbPaxPxAM yCD −−

 ++
=−−=
L
aPcPV dirC 12
−
=
L
aPcPV esqD 12
−
=
a
L
cPcbPM C 

 ++
=
21 )( bPba
L
cPcbPM D 121 )(
)(
−+

 ++
=
Trecho DB:
L
aPbaPPPAV yDB 1221
)( ++
−=−−=
)()()()()( 212121 baxPaxPxL
cPcbPbaxPaxPxAM yCD −−−−−

 ++
=−−−−−=
L
aPbaPV dirD 12
)( ++
−=
L
aPbaPVB 12
)( ++
−=
bPba
L
cPcbPM D 121 )(
)(
−+

 ++
= 0=BM
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 39
3.3.1.3 Viga Bi-Apoiada com carga uniformemente distribuída:
∑ =−+= 0 0 qLBAF yyy
∑ == 0 0 xx AF
∑ =−= 02 0 LqLLBM yAz
 
2
qLAy = 2
qLBy =
Trecho AB:
qxqLqxAV yAB −=−= 2
 
222
22 qxqLxqxxAM yAB −=−=
2
qLVA = 2
qLVB −= 0=AM 0=BM
Pela teoria de máximos e mínimos, um máximo ou mínimo relativo de uma função ocorre onde sua
derivada se anula. Assim,
0
2
=−=−= qxqLqxA
dx
dM
y
AB ou 2
Lx =
Substituindo a abscissa encontrada na função momento no trecho AB, encontra-se o valor do momento
máximo.
8
)(
2
2max
qLxMM LAB ===
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 40
3.3.1.4 Viga Bi-Apoiada com carga distribuída linear – caso direto:
∑ =−+= 02 0 qLBAF yyy
∑ == 0 0 xx AF
∑ =−= 0322 0 LqLLBM yAz
 
6
qLAy = 3
qLBy =
Trecho AB:
L
qxq ='
L
qxqLxqAV yAB 262
' 2
−=−= 
L
qxqLxxqxAM yAB 666
' 32
−=−=
6
qLVA = 3
qLVB −= 0=AM 0=BM
Empregando novamente a teoria de máximos e mínimos calcula-se a posição onde o momento fletor é
máximo.
0
263
'2 2
=−=−=
L
qxqLxqA
dx
dM
y
AB ou Lx 577,0=
Substituindo a abscissa encontrada na função momento no trecho AB, encontra-se o valor do momento
máximo.
2
max 0642,0)577,0( qLLxMM AB ===
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 41
3.3.1.5 Viga Bi-Apoiada com carga distribuída linear – caso inverso:
∑ =−+= 02 0 qLBAF yyy
∑ == 0 0 xx AF
∑ =−= 032 0 LqLLBM yAz
 
3
qLAy = 6
qLBy =
Trecho AB: neste caso, se for necessário equacionar o problema tomando como referência uma origem sobre o
apoio A, o que se faz é separar a carga em duas. Uma carga distribuída uniforme de valor q, para baixo, e um
triângulo como tratado no caso anterior, para cima, com valor q no apoio B, de forma a manter a carga final
inalterada, facilitando o equacionamento.
L
qxq ='
qx
L
qxqLqxxqAV yAB −+=−+= 232
' 2
 26326
' 2322 qx
L
qxqLxqxxqxAM yAB −+=−+=
3
qLVA = 0=AM
6
qLVB −= 0=BM
Empregando novamente a teoria de máximos e mínimos calcula-se a posição onde o momento fletor é
máximo.
2
0
233
'
=−+=−+= qx
L
qxqLqxxqA
dx
dM
y
AB ou Lx 423,0=
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 42
Substituindo o valor encontrado na função momento no trecho AB, encontra-se o valor do momento
máximo.
2
max 0642,0)423,0( qLLxMM AB ===
3.3.1.6 Viga Bi-Apoiada com carga momento – sobre o apoio:
∑ =+= 0 0 yyy BAF
∑ == 0 0 xx AF
∑ =+= 0 0 0MLBM yAz
 
L
MAy 0= L
MBy 0−=
Trecho AB:
L
MAV yAB 0== )(
00
00 LxL
M
x
L
M
MxAMM yAB −=+−=+−=
L
MVA 0= 0MM A −=
L
MVB 0= 0=BM
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 43
3.3.1.7 Viga Bi-Apoiada com carga momento – ao longo do vão:
∑ =+= 0 0 yyy BAF
∑ == 0 0 xx AF
∑ =−= 0 0 0MLBM yAz
 
L
MAy 0−= L
MBy 0=
Trecho AC:
L
MAV yAC 0−== xL
MxAM yAC 0−=−=
L
MVA 0−= 0=AM
L
MV esqC 0−= aL
MM esqC 0−=
Trecho CB:
L
MAV yCB 0−== 


−=−=
L
xMxAMM yCB 100
L
MV dirC 0−= bL
MM dirC 0=
L
MVB 0−= 0=BM
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 44
3.3
vig
3.3
Tre
.2 Viga Engastada-Livre: viga engastada livre é aquela que tem como única vinculação um engaste. É uma
a de fácil solução, sendo que para calcular os esforços não é necessário sequer determinar reações de apoio.
.2.1 Viga Engastada-livre com uma carga concentrada:
∑ =−= 0 0 PAF yy
∑ == 0 0 xx AF
∑ =+−= 0 0 PLMM aAz
 PAy = PLM a =
cho AB:
PAV yAB == )( LxPMxAM ayAB −=−=
PVA = PLM A −=
PVB = 0=BM
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 45
3.3.2.2 Viga Engastada-Livre com duas cargas concentradas:
∑ =−−= 0 0 21 PPAF yy
∑ == 0 0 xx AF
∑ =++−= 0 0 21 LPaPMM aAz
 21 PPAy += LPaPM a 21 +=
Trecho AC:
21 PPAV yAC +== )()( 21 LxPaxPxAMM yaAC −+−=+−=
21 PPVA += LPaPM A 21 −−=
21 PPV
esq
C += bPM C 2−=
Trecho CB:
21 PPAV yCB =−= )(2 LxPxAMM yaCB −=+−=
2PV
dir
C = bPM C 2−=
2PVB = 0=BM
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 46
3.3.2.3 Viga Engastada-Livre com carga distribuída uniforme:
∑ =−= 0 0 qLAF yy
∑ == 0 0 xx AF
∑ =+−= 02 0
2qLMM a
A
z
 qLAy = 2
2qLM a =
Trecho AB:
)( xLqqxAV yAB −=−= 
2)(
2
xLqMxAM ayAB −−=−=
qLVA = 2
2qLM A −=
0=BV 0=BM
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 47
3.3.2.4 Viga Engastada-Livre com carga distribuída linear – caso direto:
∑ =−= 02/ 0 qLAF yy
∑ == 0 0 xx AF
∑ =+−= 0322 0 LqLMM aAz
 
2
qLAy = 3
2qLM a =
Trecho AB:
)(
2
)
22
(
2
' 222 xL
L
q
L
xLqxqAV yAB −=−=−= onde L
qxq ='
)
33
2(
26
' 322
L
xLLxqxqMxAM ayAB −−=−−=
2
qLVA = 3
2qLM A −=
0=BV 0=BM
3.3.2.5 Viga Engastada-Livre com carga distribuída linear – caso inverso:
∑ =−= 02/ 0 qLAF yy
∑ == 0 0 xx AF
∑ =+−= 032 0 LqLMM aAz
 
2
qLAy = 6
2qLM a =
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 48
Trecho AB: (equações obtidas empregando superposição)
)2(
2
)
22
(
2
' 222 xLxL
L
q
L
xxLqxqqxAV yAB +−=+−=+−= onde L
qxq ='
)
33
2(
26
' 322
L
xLLxqxqMxAM ayAB −−=−−=
2
qLVA = 3
2qLM A −=
0=BV 0=BM
3.3.2.6 Viga Engastada-Livre com carga momento:
∑ == 0 0 yy AF
∑ == 0 0 xx AF
∑ =+−= 0 0 0MMM aAz
 0=yA 0MM a =
Trecho AC:
0=ACV 0MMM aAC −=−=
0=AV 0MM A −=
0=esqCV 0MM
esq
C −=
Trecho CB:
0=CBV 0=CBM
0=dirCV 0=
dir
CM
0=BV 0=BM
_______________________________________________________________________Vigas Isostáticas__ 49
3.3.3 Viga Bi-Apoiada com Balanços: uma viga bi-apoiada com balanços pode ser tratada separando-se os
balanços do trecho bi-apoiado. Assim, do ponto de vista de esforços, os balanços serão estudados de forma
independente do vão central, comportando-se como se fossem vigas engastadas-livres. Após, estuda-se o vão
central (trecho bi-apoiado), acrescentando-se como carregamento as reações de apoio correspondentes aos
balanços, com sentido contrário, no ponto onde estes se conectam. O esquema abaixo procura representar o
procedimento de solução.
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 50
3.4 SOLUÇÃO POR SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS
A solução por superposição se mostra adequada a vigas com vários carregamentos que possam ser
decompostos de forma a que se recaia nas vigas básicas vistas nos itens anteriores. Dessa forma, obtém-se os
esforços para cada carregamento de forma imediata, e somando-se os esforços correspondentes obtém-se a
solução final. Vejamos:
 
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 51
3.5 SOLUÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM VIGAS BI-APOIADAS
A solução por decomposição de uma viga em vigas bi-apoiadas se mostra adequada quando houver um
grande número de carregamentos, ou quando não for possível decompor o carregamento de modo a recair nas
vigas básicas. Após a decomposição é possível aplicar superposição para tratar cada uma das vigas bi-apoiadas
resultantes.
Rote
3.6 V
ocor
oblíq
esfo
long
dos 
iro:
Calcular reações de apoio
Calcular os momentos nos trechos onde serão efetuados os cortes
Efetuar os cortes, separando a viga inicial em tantas componentes bi-apoiadas quantas se julgue
necessário.
Aplicar os momentos dos pontos de separação nas diversas vigas bi-apoiadas.
Resolver cada uma das vigas bi-apoiadas, traçando seus diagramas.
“Colar” os diagramas das vigas bi-apoiadas de forma a obter o diagrama da viga inicial.
IGAS INCLINADAS E VIGAS COM CARREGAMENTO OBLÍQUO
Vigas inclinadas são vigas nas quais as cargas não são perpendiculares ao eixo longitudinal, o mesmo
rendo com as reações de apoio. No caso das vigas com carregamento oblíquo, apenas o carregamento é
uo ao eixo longitudinal. Devido a essa não perpendicularidade entre ações (forças) e o eixo da viga, surge
rço normal. Na análise deste tipo de viga o que se faz é uma decomposição de forças sobre as direções
itudinal (esforço normal) e transversal (esforço cortante) ao eixo da viga. Normalmente no equacionamento
esforços se emprega um sistema de referência cartesiano com eixos vertical e horizontal.
No traçado das linhas de estado, representa-se o esforço na perpendicular ao eixo da viga.
∑ =−+= 0 0 PBAF yyy
∑ == 0 0 xx AF
∑ =−= 0 0 PaLBM yAz
 
L
PbAy = L
PaBy =
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 52
Trecho AC:
αα coscos
L
PbAV yAC ==
αα sensen
L
PbAN yAC −=−=
L
PbxxAM yAC ==
αcos
L
PbVA = αcosL
PbV esqC =
αsen
L
PbN A −=
 αsen
L
PbN esqC −=
0=AM L
PabM C =
Trecho CB:
( ) αα coscos
L
PaPAV yCB −=−=
 ( ) αα sensen
L
PaPAN yCB =+−=
( )axPxAM yCB −−=
αcos
L
PaV dirC −= αcosL
PaVB −=
αsen
L
PaN dirC = αsenL
PaN B =
L
PabM C = 0=BM
3.7 VIGAS GERBER
As vigas Gerber são formadas pela associação de vigas isostáticas, umas servindo de apoio às outras, de
forma a se obter uma estrutura isostática e estável. A associação entre as vigas para se chegar à viga Gerber é
feita empregando-se vínculos internos do tipo rótula.
O processo de solução das vigas Gerber passa pela identificação de quais tramos da viga possuem
“estabilidade própria”, ou seja, não dependem dos demais tramos para apresentarem estabilidade. Observando a
viga abaixo, vemos que a união entre os dois trechos AB e BC funciona como uma rótula, transmitindo força
vertical e horizontal, e deixando livre a rotação entre os trechos. Também verificamos que o trecho AB se
constitui em uma viga isostática que apresenta estabilidade, não dependendo do trecho BC para tal. Ao contrário,
o trecho BC depende do trecho AB para lhe servir de apoio. Diremos então que o trecho AB tem estabilidade
própria, enquanto que o trecho BC não.
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 53
Para se chegar aos esforços nas vigas Gerber faremos então uma decomposição, separando as vigas nas
rótulas, e admitindo que os trechos que tem estabilidade própria servirão de vinculação aos trechos que não a
tem. Dessa forma, a rótula em B servirá de apoio ao trecho BC. A reação de apoio em B devido ao carregamento
atuante no trecho BC será transferida ao trecho AB, com sinal trocado (princípio da ação e reação). Calcula-se
inicialmente o trecho BC. De posse das reações Bx e By é possível calcular o trecho AB. Os trechos com
estabilidade própria serão sempre os últimos a serem calculados, uma vez que para tanto é necessário o
conhecimento do valor de todas forças a eles transmitidas pelas vigas que os empregam como apoio.
Outra forma possível de solucionar uma viga Gerber é através do emprego de equações de equilíbrio
adicionais, de forma a determinar as reações de apoio. A cada rótula interna é possível associar uma equação
adicional, que seria o somatório de momentos tomando as forças de um lado ou do outro da rótula igual a zero.
Tais equações traduzem a impossibilidade de movimento de corpo rígido de uma região da estrutura em relação à
outra. No caso anterior temos como incógnitas Ax, Ay, Ma e Cy. As equações que possibilitam calcular os valores
das incógnitas são:
∑ = 0xF
∑ = 0yF
∑ = 0zM (toda a estrutura)
∑ = 0,dirbzM ou ∑ = 0,esqbzM
Cada rótula interna fornece uma equação adicional, sendo sempre possível determinar as reações de
apoio. A vantagem de um procedimento desse tipo é que não é necessária a análise de quais trechos servem de
apoio para outros, e nem o cálculo das forças que se transmitem de trecho a trecho. Como desvantagem, somos
encaminhados ao traçado de diagramas de toda a viga de uma vez.
_______________________________________________________________________ Vigas Isostáticas__ 54
4. PÓRTICOS PLANOS ISOSTÁTICOS
4.1 INTRODUÇÃO
Pórticos planos são estruturas que se desenvolvem em um plano, com cargas atuando nesse mesmo
plano. Podem também atuar vetores momento orientados de forma perpendicular ao plano da estrutura. As barras
são conectadas entre si por nós elásticos. Por vezes são chamados quadros planos.
Existem quatro tipos fundamentais de pórticos isostáticos planos, aos quais chamamos pórticos simples
ou quadros isostáticos planos, quando ocorrem isoladamente. Quando associados entre si, da mesma forma com
que associamos vigas simples para constituir as vigas Gerber, dão origem aos chamados pórticos múltiplos ou
quadros complexos. São os seguintes os pórticos simples isostáticos:
 
 Bi-apoiado engastado-livre
 
 Triarticulado Bi-articulado com tirante ou escora
A seguir se mostra alguns exemplos de pórticos múltiplos.
________________________________________________________________ Pórticos Planos Isostáticos__ 56
Nem toda associação de pórticos simples leva a um pórtico múltiplo. É necessário que se tenha
estabilidade. E nesta disciplina ainda temos a restrição que o pórtico resultante deve ser isostático. Portanto,
antes de passar ao estudo dos pórticos planos é conveniente que se tenha