Distribuições de Probabilidade disc e cont

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Função de probabilidade da V.A.D
Qualquer função P que atribua pesos a eventos associados a um espaço amostral e que satisfaça as
propriedades abaixo será denominada probabilidade.
Seja X a variável aleatória discreta (v.a.d). A cada possível resultado xi associamos um número p(xi) = P (X = xi),
denominado probabilidade de xi. Os números p(xi) onde i = 1, 2, ..., n devem satisfazer as condições:
i. P(xi) ≥ 0, para todo i;
ii. 𝑖
𝑛 𝑃 𝑥𝑖 = 1
Exemplo: Seja o lançamento de um dado viciado cuja probabilidade é proporcional ao valor obtido no
lançamento. Determine a função de probabilidade e a distribuição de probabilidade dos valores obtidos no
lançamento. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Queremos avaliar a v.a.d X, onde X = {número de pontos obtidos no lançamento}. X pode assumir qualquer
valor de S, porém as respectivas probabilidades são 1p, 2p, 3p, 4p, 5p e 6p. De ii), temos que a soma das
probabilidades é 1.
Função de probabilidade da V.A.D
Exemplos de Função de probabilidade e de Probabilidade acumulada.
Em nosso exemplo, podemos representar a função como:
𝑥𝑖
21
, para xi = 1, ..., 6 є N
0, para x ≠ xi
Função de Distribuição (Acumulada) de v.a.d
Um método alternativo para descrever uma distribuição de probabilidades de uma variável aleatória é utilizar
probabilidades acumuladas como P(X ≤ 𝑥).
Exemplo: Estamos interessados na probabilidade de encontrar 3 ou menos bits defeituosos em uma
população. Dados: 𝑃 𝑋 = 0 = 0,6561, 𝑃 𝑋 = 1 = 0,2916, 𝑃 𝑋 = 2) = 0,0486 , 𝑃 𝑋 = 3 = 0,0036
Buscamos P(X ≤ 3). Nesse caso de v.a.d, esse evento é a união dos eventos {X = 0}, {X = 1}, {X = 2} e {X = 3},
mutuamente excludentes (não há interseção).
Logo, 𝑃 𝑋 ≤ 3 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃(𝑋 = 3)
Suponha que saibamos P X ≤ 2 𝑒 P(X ≤ 3) e queremos P(X = 3)
P(X = 3)= P X ≤ 3 − P(X ≤ 2).
A função de distribuição acumulada de uma v.a.d X será:
F(x) = P( 𝐗 ≤ 𝒙) = 𝒊=𝟏
𝒏 𝒇(𝒙𝒊)
Média ou Valor esperado, variância 
Para resumir uma distribuição de probabilidades podemos utilizar a média ( ou E) e a variância.
𝜇 𝑜𝑢 𝑬 𝒙 = 𝒙=𝟏
𝒏 𝒙𝒇(𝒙)
𝜎2(𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜𝑠) = 𝐸 𝑋 − 𝜇 2 = 𝑥=1
𝑛 𝑥 − 𝜇 2𝑓 𝑥 = 𝑥=1
𝑛 𝑥2𝑓 𝑥 − 𝜇²
 𝑥2 − 2𝑥𝜇 + 𝜇2 𝑓 𝑥 = 𝑥2𝑓 𝑥 − 2𝜇 𝑥𝑓 𝑥 + 𝜇² 𝑓 𝑥 = 𝒙𝟐𝒇(𝒙) − 𝝁²
O desvio padrão 𝝈² = 𝝈
=1=𝜇
Exemplo:
O número de mensagens enviadas por hora em uma rede de computadores têm a seguinte 
distribuição de probabilidades:
Determine a média e o desvio padrão do número de mensagens enviadas por hora.
20171\Tabela aula 2.xlsx
É possível calcular o valor esperado ou esperança de funções de variáveis aleatórias, visto que 
f(x) também é variável aleatória.
X (nº msgs) 10 11 12 13 14 15
F(x) 0,08 0,15 0,30 0,20 0,20 0,07
Distribuições Binomial ou de Bernoulli
É uma distribuição discreta de probabilidades, ou seja, refere-se à variáveis aleatórias discretas (v.a.d.). O 
matemático Bernoulli conduziu um experimento, definido como ensaio de Bernoulli:
1. Em cada ensaio considera-se somente a ocorrência ou não-ocorrência de um certo evento que será 
denominado sucesso (S) e cuja não-ocorrência será denominada falha (F).
2. Os ensaios são independentes.
3. A probabilidade de sucesso, que denotaremos por p, é a mesma em a cada ensaio. A probabilidade de 
falha será denotada por q = 1 – p.
A probabilidade de um ponto amostral com sucessos nos k primeiros ensaios e falhas nos n - k ensaios 
seguintes é de 𝒑 𝑿 = 𝒑𝒌(𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒌 . 
Mas isso vale para 1 ponto apenas, e em nosso caso precisamos saber o número de elementos do evento 
que estamos considerando, que é escolher x objetos dentre n. A combinação realiza essa tarefa:
𝑪𝒏,𝒌 = 
𝒏!
𝒌! 𝒏−𝒌 !
DISTRIBUIÇÕES DE V.A.D
Distribuição Binomial
1. Qual a probabilidade de obter exatamente 2 caras em 6 lances de uma moeda não viciada?
Passo 1: De quantas maneiras podemos escolher 2 caras em 6 lances (6 caras)?
Obs: Escolhidas as caras, as outras só podem ser coroas (já estão determinadas)
𝑪𝟔,𝟐 = 
𝟔!
𝟐! 𝟒 !
Passo 2: Qual a probabilidade de encontrar cara nas duas? Qual a probabilidade de encontrar 
coroa nas outras?
1
2
2
.
1
2
4
Passo 3: Multiplicamos os valores encontrados no passo 1 e no passo 2: 
15
64
Distribuição Binomial
Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa (sucesso) é p = 0, 1. 
Toma-se uma amostra de 10 pecas para serem inspecionadas. Qual a probabilidade de se obter:
A) Uma peca defeituosa? P(X=1) = 𝐂𝟏𝟎,𝟏. (𝟎, 𝟏)
𝟏. (𝟏 − 𝟎, 𝟏) 𝟗
B) Nenhuma peca defeituosa? P(X=0) = 𝐂𝟏𝟎,𝟎. (𝟎, 𝟏)
𝟎. (𝟎, 𝟗) 𝟏𝟎
C) Duas pecas defeituosas? P(X=2) = 𝐂𝟏𝟎,𝟐. (𝟎, 𝟏)
𝟐. (𝟎, 𝟗) 𝟖
D) No mínimo duas pecas defeituosas? Isso quer dizer que podemos ter 2, 3, ..., 10 peças defeituosas. 
Somar essas probabilidades pode ser cansativo, no caso podemos fazer a probabilidade de nenhuma 
peça defeituosa e de 1 peça defeituosa e subtrair de 1, que seria a soma de todas as probabilidades. (1 –
probabilidade do que não quero = o que quero)
P(X ≥ 2) = 1 – (𝐂𝟏𝟎,𝟏. (𝟎, 𝟏)
𝟏. (𝟎, 𝟗) 𝟗+ 𝐂𝟏𝟎,𝟎. (𝟎, 𝟏)
𝟎. (𝟎, 𝟗) 𝟏𝟎)
E) No máximo duas pecas defeituosas? Basta somarmos A, B e C.
Média e Variância em uma Distribuição 
Binomial
A média de uma distribuição binomial é 𝝁 = 𝒏. 𝒑
A variância é 𝝈𝟐 = 𝒏. 𝒑. 𝒒
Exemplo: De 100 lances de uma moeda viciada, cuja probabilidade de dar cara é 60%, calcule a média 
(ou valor esperado) e a variância.
𝛍 = 𝐧. 𝐩 = 100 . 0,6 = 60 caras.
𝝈𝟐 = 𝒏. 𝒑. 𝒒 = 100. 0,6 . 0,4 = 24 caras
O desvio padrão é 𝟐𝟒 ≈ 𝟓
Distribuição de Poisson
É utilizada quando o número de tentativas de um experimento binomial tende a infinito (ocorre em um 
intervalo), enquanto a média é constante. Ou seja, é uma distribuição discreta em um espaço amostral 
contínuo). Ex.: Acidentes por dia, defeitos por metro, clientes por hora, telefonemas por minuto, etc.
𝒇 𝒙 =
𝝁𝒙.𝒆−𝝁
𝒙!
, onde x é o número de ocorrências (x = 1,2,...) e 𝜇 é a média no intervalo.
Exemplo: Se a probabilidade de um indivíduo sofrer uma reação nociva pela injeção de um soro é 0,001, 
determine a probabilidade de, entre 2000 indivíduos:
A) Exatamente 3 sofrerem a reação: f 𝑥 =
𝜇𝑥.𝑒−𝜇
𝑥!
, onde 𝜇 = 2000 . 0,001 = 2
B) Mais que 2 sofrerem a reação: Nesse caso, é melhor fazermos 1 – (probabilidade de 2 ou menos 
sofrerem)
f(0) = 
𝟐𝟎.𝒆−𝟐
𝟎!
, f(1) = 
𝟐𝟏.𝒆−𝟐
𝟏!
, f(2) = 
𝟐𝟐 𝒆−𝟐
𝟐!
f(x > 2) = 1 –
1
𝑒2
+
2
𝑒2
+
2
𝑒2
= 1 -
5
𝑒2
≈ 0,323
Distribuição de Poisson
Exemplo: Um fabricante de determinado tipo de fio condutor de energia informa que seu produto 
apresenta, em média, 3 falhas a cada 100 metros de fio. Se um engenheiro eletricista escolhe 
aleatoriamente um rolo desse fio para inspeção, calcule a probabilidade de que ele encontre:
A) 4 falhas, se esse rolo tem 100 m de fio:
f 𝑥 =
𝜇𝑥.𝑒−𝜇
𝑥!
, onde 𝜇 = 3, temos: f 4 =
34.𝑒−3
4!
B) 1 falha, se esse rolo tem 50 m de fio: 
Nesse caso, 𝜇 = 1,5 pois temos 50 m de fio (grandezas proporcionais)
f 1 =
1,51.𝑒−1,5
1!
A média é 𝜇 e a variância também é 𝜇.
Distribuição Binomial Negativa
Seja X uma variável aleatória que conta o número de tentativas necessárias para se obter k sucessos, em n
ensaios de Bernoulli com probabilidade p em cada ensaio. Notemos que neste caso o último ensaio será o k-
ésimo sucesso. Essa variável é conhecida como binomial negativa. Neste caso, temos que a probabilidade de
realizarmos x ensaios é dada por:
Usamos a notação BN ~ (p, k).
Ex. : Suponha que, para se ganhar um jogo de dados seja necessário obter 3 vezes a face voltada para cima do
dado com o número de 1. Sendo que o número de lançamentos devem ser6 e devemos obter a face 1 voltada
para cima pela terceira vez no sexto lançamento. Supondo que o dado seja honesto, qual será a probabilidade de
vencermos o jogo.
Ex.:Suponha que em uma fábrica produz resistência para chuveiros, com uma taxa de defeitos de 2%. Qual a
probabilidade de que em uma inspeção de 10 resistências se tenha 3 resistências defeituosas sendo que a terceira
defeituosa seja exatamente a décima inspecionada.
Função Densidade de Probabilidade (F.D.P)
É utilizada para variáveis aleatórias contínuas (v.a.c). Dizemos que X é variável aleatória absolutamente contínua se 
existe uma função densidade de probabilidade 𝑅 → 0,+∞ que:
i. 𝑓 𝑥 ≥ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
ii. 𝑎
𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑒 𝑏 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 − ∞ 𝑒 + ∞
Isso mostra que a área sob a curva da função f(x) entre as retas x = a e x = b é igual a 1.
Exemplo de f.d.p de uma v.a.c. com distribuição normal.
Distribuição (acumulada) para v.a.c
Quando temos uma distribuição cumulativa de probabilidades, temos 3 características:
A média ou valor esperado E(x) de uma distribuição:
 −∞
+∞
𝒙. 𝒇 𝒙 𝒅𝒙
O histograma aproxima a curva da f.d.p.
Se quisermos, a partir da distribuição acumulada encontrar a f.d.p, basta calcularmos sua derivada. 
F.d.p e f.d.a normal padrão.
Distribuição (acumulada) para v.a.c
Exemplo: Seja a v.a.c. X a corrente de um fio delgado de cobre. A faixa de X é [4,9 ; 5,1 mA]. Considere
que a f.d.p de X seja f(x) = 5 para 4,9 ≤ x ≤5,1. Calcule a função de distribuição cumulativa.
F(x) = 0, para x ≤ 4,9
F(x) = 4,9
𝑥
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 4,9
𝑥
5𝑑𝑢 = 5𝑢 4,9
𝑥
F(x) = 1 se 5,1 ≤ x (Pois a soma das probabilidades é 1)
Exemplo: Calcule o valor esperado da potência em mA quando uma resistência for de 100 ohms?
Sabe-se que P = 10−6. R. I², onde I é a intensidade da corrente, entre 4,9 e 5,1, e R a resistência em
ohms.
Função Densidade de Probabilidade (F.D.P)
Exemplo: Suponha que escolhamos ao acaso um número no intervalo [0, 1]. Qual a probabilidade 
de se escolher o número 0,31?
Observe que temos uma v.a.c, onde buscamos a área sob a curva f(x) em 0,31:
 0,31
0,31
𝑐𝑑𝑥 = 0 (os eventos são equiprováveis, então a função é uma constante)
A probabilidade é zero, dado que há infinitos números passíveis de escolha.
Exemplo: Seja A = {x / -1 < x < 5} e X uma v.a.c tal que sua f.d.p é definida abaixo, com c constante. 
Determine c.
f(x) = 
𝑐, 𝑠𝑒 𝑥 ∈ 𝐴
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜.
Sabemos, pela propriedade ii) que −1
5
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
Função Densidade de Probabilidade (F.D.P)
Considere a função f(x) abaixo. Encontre k para que f(x) seja uma f.d.p de uma v.a.c. e determine a função 
que define f(x).
Observe que, da propriedade ii) temos: 1
6
𝑓 𝑥 𝑑𝑥, mas não sabemos quem é f(x). Observe que a área 
sob a curva deve ser 1, e podemos formar um trapézio e descobrir o valor de K.
Função Densidade de Probabilidade (F.D.P)
Com o valor de k podemos definir a função:
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
Logo, 𝑓 𝑥 = 
0,04𝑥 + 0,06, 1 < 𝑥 < 6
0, ∀ 𝑥 ≠ [1, 6]
Ainda no exemplo, calcule P(2 ≤ 𝑥 ≤ 3)
 2
3
0,04𝑥 + 0,06 𝑑𝑥
Distribuição Contínua Uniforme
Se a f.d.p for 𝑓 𝑥 =
1
(𝑏−𝑎)
, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 (𝑓 𝑥 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒), ela tem uma distribuição uniforme:
F(x) = 
 𝑎
𝑥 1
𝑏−𝑎
𝑑𝑥 𝑠𝑒 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏
0, 𝑠𝑒 𝑥 < 𝑎
1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 𝑏
= 
𝑥−𝑎
𝑏−𝑎
, 𝑠𝑒 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏
0, 𝑠𝑒 𝑥 < 𝑎
1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 𝑏
Nesse caso, a média ou E(x) = 𝑎
𝑏
𝑥.
1
𝑏−𝑎
dx = 
𝑥²
2(𝑏−𝑎) 𝑎
𝑏
=
𝑎+𝑏
2
A variância é 
(𝑏−𝑎)²
12
.
DISTRIBUIÇÕES DE V.A.C
Distribuição Contínua Uniforme
Exemplo: A ocorrência de panes em qualquer ponto de uma rede telefônica de 7 km foi modelada por
uma distribuição uniforme no intervalo [0, 7]. Qual a probabilidade que uma pane venha a ocorrer nos
primeiros 800 m? E qual a probabilidade que ocorra nos 3 km centrais da rede?
A função densidade da distribuição uniforme é 𝑓 𝑥 =
1
𝑏−𝑎
=
1
7−0
 
𝑓 𝑥 =
1
7
, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 7
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
Queremos P(x ≤ 0,8) = 0
0,8
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Nos 3 km centrais: P(2 ≤ x ≤5) = 2
5
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (isso nada mais é do que a probabilidade de ocorrer nos
primeiros 5 km menos a probabilidade de ocorrer nos dois iniciais)
Observe que qualquer trecho dessa linha com o mesmo comprimento tem essa probabilidade.
Distribuição Exponencial
A v.a.c X tem distribuição exponencial com parâmetro 𝜆, 𝜆 > 0, se tiver uma f.d.p dada por:
𝑓 𝑥 = 𝜆𝑒
−𝜆𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
Sabemos que a função de distribuição acumulada F(x) é dada pela integral de f(x):
𝐹 𝑥 = 0
𝑥
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 0
𝑥
𝜆𝑒−𝜆𝑢𝑑𝑢 = 𝜆 0
𝑥
𝑒−𝜆𝑢𝑑𝑢
Integrando por substituição, temos v = −𝜆𝑢, então dv = −𝜆𝑑𝑢 → 𝑑𝑢 =
−𝑑𝑣
𝜆
𝜆 0
𝑥
𝑒𝑣
−𝑑𝑣
𝜆
= − 1𝑒𝑣= −1𝑒𝜆𝑢 0
𝑥
=−𝑒𝜆𝑥+1
F 𝑥 = 1 − 𝑒
−𝜆𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
Notação X~ 𝐸𝑥𝑝(𝜆)
É utilizada em modelos de tempo de vida de produtos e materiais.
Distribuição Exponencial
Ex.: O tempo até a falha do ventilador de motores a
diesel tem uma distribuição exponencial com
parâmetro 𝜆 = 1 28700 h. Qual a probabilidade de
um desses ventiladores falhar nas primeiras 24.000
horas de funcionamento?
P ( 0 ≤ 𝑥 ≤ 24000) = 1 − 𝑒−𝜆𝑥= 1 − 𝑒−
24000
28700 =
0,5667, ou seja, 56,7%
Distribuição Normal ou de Gauss
Foram coletados os pesos de 5000 recém nascidos no Brasil em um determinado ano.
Essa variável aleatória e muitas outras podem ser descritas pelo modelo normal ou Gaussiano.
Distribuição Normal
Denotamos 𝑁 𝜇, 𝜎 a curva normal com média 𝜇 e desvio padrão 𝜎.
A média refere-se ao centro da distribuição e o desvio padrão ao espalhamento (ou achatamento) da 
curva.
A distribuição normal é simétrica em torno da média o que implica que e média, a mediana e a moda são 
todas coincidentes.
A equação dessa curva ( f.d.p) dessa distribuição é:
A área sob a curva normal (na verdade abaixo de qualquer função de densidade de probabilidade) é 1. 
Então, para quaisquer dois valores específicos podemos determinar a proporção de área sob a curva 
entre esses dois valores. P{a < x < b}
Distribuição Normal
Para calcular as probabilidades para diferentes valores de X de distribuição N 𝜇, 𝜎 , a transformamos em 
uma variável padronizada Z, onde a média é 0 e a variância 1. (Distribuição Normal padronizada)
𝑍 =
𝑥−𝜇
𝜎
, então 𝑓 𝑥 =
𝑒
−1𝑧²
2
𝜎 2𝜋
Temos uma tabela de distribuição, onde é possível
encontrar os valores de P(Z ≤ a), assim não é 
necessário calcular o valor da função todas as vezes.
Distribuição Normal e Normal Padrão
Distribuição Normal
Ex.: A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição N (8, 1.5). Qual 
a chance, de que num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm?
Queremos P(x > 10). Padronizando a variável para Z, temos 
𝑍 =
𝑥−𝜇
𝜎
= 
10− 8
1,5
= 1,33
P(Z > 1,33) = 1 – P(Z ≤ 1,33) = 1 – 0,91 = 0,09
Ou seja, a probabilidade de que a concentração de poluente exceda o limite regulatório é 9%.
Ex.: Determine a área sob uma curva normal padronizada para Z entre -0,204 e 1,93
Queremos P ( -0,204 ≤ Z ≤ 1,93) = P( Z ≤ 1,93) - P ( Z ≤ -0,20)
Da tabela temos que P ( -0,204 ≤ Z ≤ 1,93) = 0,9732 – (1 – 0,5793) = 0,9732 – 0,4207 = 0,5525
Distribuição Normal
Ex.: A altura em posição sentada de motoristas em um projeto de automóveis deve ser µ = 91,5 
cm e 𝜎 = 3,5 𝑐𝑚. Os engenheiros projetam o automóvel para a altura até 98,5 cm. Encontre a 
probabilidade de que a altura de um homem sentado seja menor que 98,5 cm.
Nossa variável X precisa ser padronizada para Z:
𝑍 =𝑥−𝜇
𝜎
= 
98,5 − 91,5
3,5
= 2
Queremos P (x ≤ 98,5) = P (Z ≤ 2) = 0,9772 ou seja, 97,72%
Aproximação da distribuição Binomial 
pela Normal
É um método para melhorar a aproximação de probabilidades
binomiais ( ou seja, uma método de v.a.c. para v.a.d), chamada
correção de continuidade.
Se X é a variável aleatória binomial com parâmetros n (número de
experimentos) e p (probabilidade de sucesso)
𝑍 =
𝑋−𝑛𝑝
𝑛𝑝(1−𝑝)
, será aproximadamente uma variável aleatória
padrão.
P (X ≤ x) = P( X ≤ x + 0,5) ≈ 𝑃 𝑍 ≤
𝑥 + 0,5−𝑛𝑝
𝑛𝑝(1−𝑝)
e P( X ≤ x - 0,5) ≈ 𝑃
𝑥 − 0,5−𝑛𝑝
𝑛𝑝(1−𝑝)
≤ 𝑍
A aproximação é boa para n.p > 5 e n (1-p) > 5
Aproximação da distribuição Binomial 
pela Normal
Ex.: Em um canal, o número de bits com erro pode ser modelado por uma v.a. binomial. A probabilidade
do bit ser recebido com erro é de 1 . 10−5. Se 16 milhões de bits foram transmitidos, qual a probabilidade
de haver 150 erros ou menos?
P (X ≤ 150) = 𝑥=0
150 𝐶150,𝑥 . 10
−5 𝑥(1 − 10−5)16.10
6 −𝑥
Observe que n. p = 16. 106. 10−5 = 160, podemos aproximar!
P (X ≤ 150) = P (X ≤ 150,5) = 𝑃 𝑍 ≤
𝑥 + 0,5−𝑛𝑝
𝑛𝑝(1−𝑝)
𝑃 𝑍 ≤
150 + 0,5−16.106. 10−5
16.106. 10−5(1−10−5)
= 𝑃 𝑍 ≤
150,5−160
160 (1−10−5)
= 𝑃 𝑍 ≤ −0,75
Pela tabela, temos 0,227 ou seja 22,7%
Aproximação da distribuição de Poisson 
pela Normal
Seja a variável aleatória de Poisson, com E(x) = 𝜇
𝒁 =
𝑿−𝝁
𝝁
A aproximação é boa se 𝜇 > 5
Ex.: O número de certa partícula em 1 m² de poeira em uma superfície segue a distribuição de Poisson,
onde 𝜇 = 1000. Se 1 m² for analisado, qual a probabilidade de que 950 ou menos partículas sejam
encontradas?
P (X ≤ 950) = 𝑥=0
950 𝑒
−1000.1000𝑥
𝑥!
ou 1 - 𝑥=0
50 𝑒
−1000.1000𝑥
𝑥!
Aproximando pela Normal: P (X ≤ 950,5) ≈ 𝑃 𝑍 ≤
𝑋−𝜇
𝜇
= 𝑃 𝑍 ≤
950,5−1000
1000
P (Z ≤ -1,57) = 0,058 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 5,8%