3ºTVC - Cálculo III - 2012

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3a Prova de Ca´lculo III – 05/10/2012 – Turma
NOME: MATRI´CULA:
Atenc¸a˜o: Justifique todas as suas respostas de maneira leg´ıvel. Os 100 pontos referentes a` terceira avaliac¸a˜o esta˜o
divididos em 10 pontos da lista (L3) e 90 pontos de prova.
L3 Q1 Q2 Q3 Q4 NOTA
1. (20 pts) Seja R a regia˜o no plano-xy limitada pela elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1. Aplique o teorema de Green para obter
que a a´rea da regia˜o R e´ igual a abpi.
2. (25 pts) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha∮
C
(x+ z)dx+ z2dy + (y + z)dz = −pia
2
4
,
onde C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o do cilindro x2 +y2 = ay com o plano y+ z = a, e indique a orientac¸a˜o
da curva C atrave´s de um esboc¸o.
2
3. (20 pts) Seja S a superf´ıcie obtida girando-se a circunfereˆncia (x− a)2 + z2 = r2, 0 < r < a, em torno do eixo
z. Esta superf´ıcie e´ chamada de toro.
(a) (5 pts) Mostre que S pode ser parametrizada como ~r : [0, 2pi]× [0, 2pi]→ R3 sendo
~r(θ, t) =

x(θ, t) = (a+ r cos t) cos θ
y(θ, t) = (a+ r cos t) sen θ
z(θ, t) = r sen t
(Dica: o paraˆmetro t corresponde a` circunfereˆncia no plano xz e o paraˆmetro θ corresponde ao aˆngulo de
rotac¸a˜o).
(b) (15 pts) Encontre a a´rea de superf´ıcie de S.
3
4. (25 pts) Seja S a superf´ıcie dada pela unia˜o das superf´ıcies S1 e S2, onde S1 e´ definida por z = 4− 2x2 − 2y2,
0 ≤ z ≤ 2, com normal exterior, e S2 e´ definida por z = 1 + x2 + y2, 1 ≤ z ≤ 2, com normal interior.
(a) (5 pts) A superf´ıcie S e´ fechada? Justifique fazendo um esboc¸o da superf´ıcie S.
(b) (20 pts) Calcule o fluxo do campo
~F (x, y, z) =
(
yz, z(x− 2y), z2 + 1)
atrave´s de S.
4