Aula 8 Energia de Deformação

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Aula 8-Energia de Deformação
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
▪ Trabalho de uma força;
▪ Energia de deformação – carga axial;
▪ Energia de deformação cisalhante;
▪ Energia de deformação torção;
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
TRABALHO DE UMA FORÇA
Em mecânica, uma força realiza trabalho quando ocorre um
deslocamento. O trabalho realizado é um escalar definido
por:
Se o deslocamento for x, teremos:
dxFdUe .=
 ==
x
e
x
e dxFUdxFdU
eU
000
..
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
TRABALHO DE UMA FORÇA
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
TRABALHO DE UMA FORÇA
Suponha que na figura anterior a força F aumenta
gradualmente de 0 até P e que o deslocamento final da
barra seja x.
Considerando um material com comportamento linear, a
força é proporcional à deformação. Dessa forma:
x
x
PF

= .
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TRABALHO DE UMA FORÇA
Substituindo a expressão para F na integral do trabalho, e
integrando de 0 a x, temos que:
xPU
dxx
x
P
dx
x
x
PU
e
xx
e
=



= 

.
2
1
...
00
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
Cargas aplicadas num corpo provocam deformações. Não
havendo dissipação de energia na forma de calor, o trabalho
externo realizado pelas cargas será convertido em trabalho
interno denominado energia de deformação.
Essa energia é sempre positiva e é provocada pela ação da
tensão normal ou da tensão de cisalhamento
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CARGA AXIAL
dx
dy
dz
sz
Considere o elemento de
volume da figura. Se este
elemento for submetido a uma
tensão normal sZ, a força
criada nas faces superior e
inferior é:
dydxdAdF zzz ... ss ==
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CARGA AXIAL
Se a carga varia gradualmente de 0 a dF o elemento sofrerá
um deslocamento Z= ez.dz. Assim, o trabalho realizado por dF
é dUi
Mas, dV = dx.dy.dz
dzdydxddFdU zzzzi ...
2
1
.
2
1 es==
dVdU zzi ..
2
1 es=
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CARGA AXIAL
Assim, se o corpo está sujeito a uma tensão normal s, a
energia de deformação será:
Comportamento linear elástico  Lei de Hooke (s = E.e). A 
energia de deformação será:
= V
zz
i dVU
2
es
= Vi dVE
U
.2
2s
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CARGA AXIAL
Considere uma barra de comprimento L, seção transversal
constante A e com esforço axial N, teremos que s = N/A.
Substituindo s na integral da energia de deformação, temos
que:
Mas dV = A.dx, portanto:
 == VVi dVAE
N
dV
E
U
2
22
..2.2
s
dx
AE
N
Udx
AE
N
U i
L
i
..2..2
2
0
2
== 
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX1
Uma haste de aço tem seção transversal quadrada 10 mm
x 10 mm e comprimento de 2 m. Calcule a energia de
deformação quando uma tensão de 400 MPa é aplicada,
tracionando-a axialmente. Considere que para este aço o
módulo de Young seja 200 GPa
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1
SOLUÇÃO:
Energia de deformação (carga axial):
Como s e E são constantes 
• Área: 10 mm = 10.10-3m  A = (10.10-3)2 m2 = 10-4 m2
• Volume: V = 2. 10-4 m3
• Tensão = 400.106Pa
Assim, U = [(400.106)2.2.10-4]/(2.200.109)= 80J
= Vi dVE
U
.2
2s
 == Vi VE
dV
E
U .
.2.2
22 ss
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CISALHAMENTO
Uma expressão de energia de deformação
semelhante à da tensão normal também poderá ser
estabelecida para o material, quando ele é
submetido à tensão de cisalhamento.
Considere um elemento de volume sob a ação de
uma tensão cisalhante provocando uma deformação
do elemento.
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CISALHAMENTO
dx
dy
dz
t
g
g.dz
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CISALHAMENTO
No caso apresentado, a tensão de cisalhamento
provoca a deformação gdz do elemento tal que:
A energia de deformação do elemento será:
Integrando: (Lei de Hooke)
dydxdF ..t=
).(
2
1
).).(..(
2
1
dVdUdzdydxdU ii gtgt ==
= Vi dV
d
U
2
.gt
= Vi dVG
U
2
2t
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CISALHAMENTO
Vamos considerar um elemento estrutural particular, uma
viga de seção retangular constante e dimensões b e h. A
energia de deformação decorrente do cisalhamento V
depende de fS, fator de forma, e é dada por:
Para este elemento estrutural fS = 6/5
=
L
S
i dx
AG
Vf
U
0
2
.2
.
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
Determinar a energia de deformação na viga em balanço
decorrente de cisalhamento, considerando uma seção
transversal quadrada e a carga distribuída uniforme.
DADOS: W = 2kN/m; G = 200 GPa ; a = 50 cm e L = 2m
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
Inicialmente devemos analisar o diagrama do corpo livre
M 
Vw.x 
x
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
Solução:
W = 2000N/m; 200.109 Pa; a = 0,5 m (A = 0,25m2) e L = 2m
DCL - equilíbrio em y: V – w.x = 0  V = w.x
fS = 6/5 (seção retangular)
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
Solução: Como fS , G e A são constantes, temos que:
Substituindo V = w.x na integral, temos que:
Substituindo os valores apresentados no exercício, temos
que: Ui = 0,128 mJ
=
L
S
i dxV
AG
f
U
0
2.
.2
AG
LwwL
AG
dxwx
AG
f
U
L
S
i
..5
.
3
)(
.
.2
5/6
.)(
.2
333
0
2 ==−= 
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – TORÇÃO
Consideremos um eixo cônico. A seção do eixo a uma
distância x de uma extremidade fica submetida a um
torque interno T. A tensão de cisalhamento que provoca T
varia linearmente ao longo do raio da seção.
Num elemento dx com área dA, a tensão é dada por t =
T.r/J (fórmula da torção)
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – TORÇÃO
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – TORÇÃO
A energia de deformação armazenada no eixo será:
Note que a última integral é o momento polar de inércia.
Assim,
No caso de uma barra de seção constante, J é constante e,
portanto:
   






==
V
L
A
i dxdA
JG
T
dxdA
J
T
G
U
0
2
2
2
2
.2
.).(
2
1 rr
=
L
i dx
JG
T
U
0
2
.2
JG
LT
U i
.2
2
=
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3
O eixo tubular da figura (a) está engastado na parede e
submetido a dois torques. Determine a energia de
deformação armazenada no eixo. considere G = 75 GPa
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3
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RESUMINDO
Nesta aula vocês estudaram:
▪ Trabalho de uma força;
▪ Energia de deformação – carga 
axial e aplicações;
▪ Energia de deformação cisalhante 
e aplicações;
▪ Energia de deformação em torção 
e aplicações;