ELETROTÉCNICA SOL LISTA 1

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ANDRADINA 
2017 
 
 
1 
 
 
Engenharia Mecânica – 6º Período 
 
Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 
Docente: Prof. Me. Marcus Vinicius Alves Pereira Disciplina: Eletrotécnica Data: 28/09/2017 
 
 1) Represente as seguintes funções senoidais na forma polar e retangular. 
a) 𝑉(𝑡) = 127 ⋅ sen(500𝑡 + 30°) V 
 
Forma Polar 
 
𝑉 = 127 30° V 
Forma Retangular 
 
𝑎 = 127 ⋅ cos(30°) = 109,985 V 
𝑏 = 127 ⋅ sen(30°) = 63,5 V 
 
∴ 𝑉 ≅ (110 + 𝑗63,5) V 
 
b) 𝑉(𝑡) = 3 ⋅ sen(300𝑡 − 45°) V 
 
Forma Polar 
 
𝑉 = 3 − 45° V 
Forma Retangular 
 
𝑎 = 3 ⋅ cos(−45°) = 2,121 V 
𝑏 = 3 ⋅ sen(−45°) = −2,121 𝑉 
 
∴ 𝑉 = (2,12 − 𝑗2,12) V 
 
c) 𝑖(𝑡) = 30 ⋅ sen(200𝑡) V 
 
Forma Polar 
 
𝑖 = 30 0° V 
Forma Retangular 
 
𝑎 = 30 ⋅ cos(0°) = 30 V 
𝑏 = 30 ⋅ sen(0°) = 0 𝑉 
 
∴ 𝑖 = 30 V 
 
d) 𝑖(𝑡) = 220 ⋅ sen(150𝑡 − 110°) V 
 
Forma Polar 
 
𝑖 = 220 − 110° V 
Forma Retangular 
 
𝑎 = 220 ⋅ cos(−110°) = −75,244 V 
𝑏 = 220 ⋅ sen(−110°) = −206,732 V 
 
∴ 𝑖 = (−75,24 − 𝑗206,73) V 
 
2) Sejam as seguintes fasores: 
 
𝑓1 = 3 + 𝑗10; 𝑓2 = 4 − 𝑗5; 𝑓3 = 15 25° e 𝑓4 = 12 − 10° . 
 
𝑓1 na forma polar: 
 
Módulo: |𝑓1| = √32 + 102 = √109 = 10,44 
Fase inicial: 𝜙1 = tg
−1 (
10
3
) = 73,3° 
𝑓1 = |𝑓1| 𝜙1 = 10,44 73,3° 
𝑓3 na forma retangular: 
 
 
Real: 𝑎3 = 15 ⋅ cos(25°) = 13,594 
 
Imaginário: 𝑏3 = 15 ⋅ sen(25°) = 6,339 
 
𝑓3 = 𝑎3 + 𝑗𝑏3 = 13,6 + 𝑗6,3 
 
𝑓2 na forma polar: 
 
Módulo: |𝑓2| = √42 + (−5)2 = √41 = 6,4 
Fase inicial: 𝜙2 = tg
−1 (
5
4
) = 51,3° 
𝑓2 = |𝑓2| 𝜙2 = 6,4 51,3° 
 
𝑓4 na forma retangular: 
 
 
Real: 𝑎4 = 12 ⋅ cos(−10°) = 11,817 
 
Imaginário: 𝑏4 = 12 ⋅ sen(−10°) = −2,083 
 
𝑓4 = 𝑎4 + 𝑗𝑏4 = 11,8 − 𝑗2,1 
Determine: 
a) 𝑓1 + 𝑓2 
 
𝑓1 + 𝑓2 = (3 + 𝑗10) + (4 − 𝑗5) = (3 + 4) + (𝑗10 − 𝑗5) = 7 + 𝑗5 
 
𝑓1 + 𝑓2 = 8,602 35,5° 
 
b) 𝑓1 ∙ 𝑓2 
 
𝑓1 ∙ 𝑓2 = |𝑓1| ⋅ |𝑓2| 𝜙1 + 𝜙2 = 10,44 ⋅ 6,4 73,3° + 51,3° = 66,85 124,6° 
 
𝑓1 ∙ 𝑓2 = −37,96 + 𝑗55,02 
 
 
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Engenharia Mecânica – 6º Período 
 
Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 
Docente: Prof. Me. Marcus Vinicius Alves Pereira Disciplina: Eletrotécnica Data: 28/09/2017 
 
 c) 𝑓1 − 𝑓2 
 
𝑓1 − 𝑓2 = (3 + 𝑗10) − (4 − 𝑗5) = 2 − 4 + 𝑗10 + 5𝑗 = −1 + 𝑗15 
 
𝑓1 − 𝑓2 = 15,03 − 86,18° 
d) 𝑓3 − 𝑓4 
 
𝑓3 − 𝑓4 = (13,6 + 𝑗6,3 ) − (11,8 − 𝑗2,1) = 13,6 − 11,8 + 𝑗6,3 + 𝑗2,1 
𝑓3 − 𝑓4 = 1,8 + 𝑗8,4 ou 𝑓3 − 𝑓4 = 8,59 77,9° 
 
e) 𝑓3 𝑓4⁄ 
 
𝑓3 𝑓4⁄ = |𝑓3| |𝑓4|⁄ 𝜙3 − 𝜙4 = 15 12⁄ 25° − (−10°) = 1,25 35° 
 
𝑓3 𝑓4⁄ = 1,023 + 𝑗0,7169 
 
f) 𝑓3 ∙ 𝑓4 
 
 
𝑓3 ⋅ 𝑓4 = |𝑓3| ⋅ |𝑓4| 𝜙3 + 𝜙4 = 15 ⋅ 12 25° + (−10°) = 180 15° 
 
𝑓3 ⋅ 𝑓4 = 173,866 + 𝑗46,587 
 
3) Calcule o ângulo de fase para as seguintes ondas e desenhe seus respectivos 
diagramas de fasores. 
 
 
 
𝜙𝑉𝑎 = 𝜙𝐼𝑏 = 90° =
𝜋
2
 
 
Diagrama de fasores 
 
 
 
DDDDDD 
 
𝜙𝑉𝑎 = 0° 
𝜙𝐼𝑏 = 45° =
𝜋
4
 
Diagrama de fasores 
 
 
𝑎 
𝑦 
 
𝑉(𝑡) 
 
𝑏 
𝑦 
⟶ 𝑉 
⟶ 𝐼 
𝑏 
⟶ 𝑉 
⟶ 𝐼 
𝑡 
45° 
𝑎 
 
𝑡 
Im 
ℝ 
𝜙𝐼𝑏 
𝑎 
𝑏 
Im 
ℝ 𝑎 
𝑏 
 
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Engenharia Mecânica – 6º Período 
 
Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 
Docente: Prof. Me. Marcus Vinicius Alves Pereira Disciplina: Eletrotécnica Data: 28/09/2017 
 
 4) Para o circuito abaixo, determine os valores de 𝐼𝑅, 𝐼𝐿 e 𝐼𝑇. Esboce o diagrama fasorial e 
as ondas de 𝑉𝑇, 𝐼𝐿, 𝐼𝑅 e 𝐼𝑇. 
 
 
𝑉 = 𝑉𝑇 = 100 V 
𝑅 = 35 Ω 
𝑋𝐿 = 10 Ω 
𝜙𝑉 = 0° 
 
No circuito RL em paralelo, temos que a impedância 𝑍 na forma retangular é dada 
por: 
 
1
𝑍
=
1
𝑅
− 𝑗
1
𝑋𝐿
=
1
35
− 𝑗
1
10
=
2 − 𝑗7
70
 
 
𝑍 =
70
2 − 𝑗7
⋅
(2 + 𝑗7)
(2 + 𝑗7)
=
140 + 𝑗490
4 + 𝑗7 − 𝑗7 − 𝑗249
=
140 + 𝑗490
4 − (−1) ⋅ 49
=
140 + 𝑗490
4 + 49
 
 
𝑍 =
140
53
+
𝑗490
53
= (2,641 + 𝑗9,245) Ω 
 
Ângulo da fase inicial 
 
𝜙 = tg−1 (
9,245
2,641
) = 74,05° 
 
O módulo da impedância |𝑍|: 
 
|𝑍| = √(2,641)2 + (9,245)2 = √92,4528 = 9,615 Ω 
 
Logo, forma polar temos: 𝑍 = 9,615 74,05° Ω 
 
i) Corrente 𝐼𝑅 
 
𝐼𝑅 = (𝑉 𝑅⁄ ) 𝜙𝑉 = (100 35⁄ ) 0° = 2,857 0° A 
 
ii) Corrente 𝐼𝐿 
 
𝐼𝐿 = (𝑉 𝑋𝐿⁄ ) 𝜙𝑉 − 90° = (100 10⁄ ) 0° − 90° = 10 − 90° A 
 
iii) Corrente 𝐼𝑇 
 
𝐼𝑇 = (𝑉 𝑋𝐿⁄ ) 𝜙𝑉 − 𝜙 = (100 9,615 ⁄ ) 0° − 74,05° = 10,4 − 74,05° A 
 
Em módulo: |𝐼𝑇| = √𝐼𝑅
2 + 𝐼𝐿
2 = √2,8572 + 102 = 10,4 A 
 
iv) Para esboçar os diagramas e formas de onda, temos as seguintes funções para 
circuito 𝑅𝐿 em paralelo: 
 
 𝑉𝑇(𝑡) = 𝑉𝑇 ⋅ sen(𝜔𝑡 + 𝜙𝑉) = 100 ⋅ cos(2𝜋𝑓 ⋅ 𝑡) V 
 
 𝐼𝑅(𝑡) = 𝐼𝑅 ⋅ sen(𝜔𝑡 + 𝜙𝑉) = 2,857 ⋅ cos(2𝜋𝑓 ⋅ 𝑡) A 
 
 𝐼𝐿(𝑡) = 𝐼𝐿 ⋅ sen(𝜔𝑡 + 𝜙𝑉 − 90°) = 10 ⋅ cos(2𝜋𝑓 ⋅ 𝑡 − 90°) A 
 
 𝐼𝑇(𝑡) = 𝐼𝑇 ⋅ sen(𝜔𝑡 + 𝜙𝑉 + 𝜙) = 10,4 ⋅ cos(2𝜋𝑓 ⋅ 𝑡 − 74,05°) A 
𝑋𝐿 = 10Ω 𝑅 = 35Ω 100 V 
 
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Engenharia Mecânica – 6º Período 
 
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 Diagrama de fasores: 
 
Para um circuito RL em 
paralelo, pela primeira lei de 
Ohm, a tensão é mesma no 
indutor e resistência. Por outro 
lado 𝑉𝑇 está em fase com 𝐼𝑅, e 
seu módulo vale 𝐼𝑅 = 2,85 A. 
Temos que o módulo 𝐼𝐿 =
10 A, e está em atraso 
(defasagem) de 90°. Portanto 
o valor do módulo de 𝐼𝑇 =
10,39 A (encontrado pela 
fórmula de Pitagoras) pode ser 
observado pelo diagrama de 
fasores abaixo, bem como o 
seu respectivo ângulo 𝜙 =
74,05° encontrado pelas 
propriedades geométricas. 
 
 
Ondas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,292 rad = 74,05° 
𝑡 
𝜋
2
 𝜋 
3𝜋
2
 2𝜋 
𝑡 
𝑡 
𝐼𝐿(𝑡) 
𝐼𝑇(𝑡) 
𝜋
2
 𝜋 
3𝜋
2
 2𝜋 
𝜋
2
 𝜋 
3𝜋
2
 
2𝜋 
ℝ 
0 
𝐼𝑅 
2,857 
𝑡 
𝜋
2
 
−2,857 
𝜋 
3𝜋
2
 2𝜋 
0 
100 
𝐼𝑇 
−100 
𝐼𝑅(𝑡) 
𝑉 
Im 
𝜙 
0 
0 
10 
−10 
𝐼𝐿 
10,4 
1,292 
−10,4 
𝑉𝑇(𝑡) 
 
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 5) Para o circuito abaixo, determine os valores de 𝑉𝑅, 𝑉𝐿, 𝑉𝑇 e 𝜙. 
 
 
 
 
O circuito acima RL está em série.Logo o valor do ângulo da tensão 𝑉𝐿 está 90° adiantando. 
Por outro lado que 𝑉𝑅 não possui defasagem. Assim aplicando a primeira lei de ohm neste de 
circuito temos que a corrente e a mesma em 𝑅 e 𝑋𝐿, ou seja, temos as tensões: 
 
 𝑉𝑅 = 𝑅 ⋅ 𝐼 = 40 ⋅ 0,8 ⟹ 𝑉𝑅 = 32 V 
 𝑉𝐿 = 𝑋𝐿 ⋅ 𝐼 = 60 ⋅ 0,8 ⟹ 𝑉𝐿 = 48 V 
 
Pelo teorema de Pitagoas, temos encontramos 𝑉𝑇 
 
𝑉𝑇 = √𝑉𝑅
2 + 𝑉𝐿
2 = √322 + 482 = √3.328 ⟹ 𝑉𝑇 ≅ 57,69 V 
 
Portanto o ângulo é 
 
𝜙 = tg−1 (
𝑉𝐿
𝑉𝑅
) = tg−1 (
48
32
) = tg−1(1,5) ⟹ 𝜙 = 56,3 ° 
 
No diagrama de fasores teríamos: 
 
 
𝑅 = 40Ω 
𝑉𝑇 𝑋𝐿 = 60Ω 
𝐼 = 0,8 A 
ℝ 
Im 
𝑉𝑅 
𝑉𝐿 𝑉𝑇 
𝜙