atividade contextualizada - equações diferenciais

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
José Rideyke de Jesus Araújo
01398364
Engenharia elétrica
Como vimos, equações diferenciais são uteis para a resolução de problemas das mais diferentes áreas. No contexto da física elétrica, as equações diferenciais podem envolver aplicações em circuitos elétricos e, por sua vez, os componentes como resistência (R), indutores (L) e capacitores (C).
No exemplo apresentado no case, o objetivo é encontrar a equação da corrente elétrica do circuito RL para 0 ≤ t ≤ 1. No entanto, deseja-se expandir tal resultado para um intervalo de 0 a 4, objetivando uma visualização gráfica do comportamento da corrente para a tensão aplicada de forma binária, conforme o gráfico apresentado.
Para se obter os resultados solicitados, é necessário que você produza um texto com as seguintes informações:
1) A definição de função degrau;
Em matemática e estatística, a função de heaviside (ou função degrau), desenvolvida pelo matemático e engenheiro eletricista Oliver Heaviside, (nascido em 18 de maio de 1850, Londres – morreu em 3 de fevereiro de 1925, torquay devon, eng.) foi um físico que previu a existência da ionosfera, uma camada eletricamente condutora na atmosfera superior que reflete as ondas de radio.
Em 1870, tornou-se telégrafo, mas a surdez crescente obrigou-o a se aposentar em 1874. Ele então se dedicou a investigações sobre eletricidade.
Em “electrical papers” (1892), ele tratou de aspectos teóricos de problemas em telegrafia e transmissão elétrica, fazendo uso de um método incomum de calculo denominado: cálculo operacional, hoje mais conhecido como método das transformadas de Laplace, para estudar correntes transitórias em redes.
Seu trabalho na teoria do telefone tornou pratico o serviço de longa distância.
Na “Electromagnetic theory” (1893 – 1912), ele postulou que uma carga elétrica aumentaria em massa à medida que sua velocidade aumentasse, uma antecipação de um aspecto da teoria da relatividade especial de Einstein.
Quando a telegrafia sem fio se mostrou eficaz em longas distâncias, Heaviside teorizou que existia uma camada condutora de atmosfera que permite que as ondas de rádio sigam a curvatura da terra em vez de viajar para o espaço em linha reta.
Sua previsão foi feita em 1902, pouco depois de Arthur E. Kennelly, trabalhando nos estados unidos, fazer uma previsão semelhante. Assim, a ionosfera foi conhecida como camada Kennelly-Heaviside por muitos anos.
A função Heaviside é uma função singular e descontinua com valor zero quando o seu argumento é negativo e valor unitário quando o argumento é positivo. Nos casos em que o argumento é nulo seu valor assume a média dos limites laterais da função (pela esquerda e pela direita) calculados no ponto em que a abscissa vale “a”. normalmente a função é usada como uma distribuição, mas costuma-se definir por:
Sendo sgn a função sinal.
A função Heaviside com descontinuidade em x = a é da forma:
A função de Heaviside admite diversas representações. Em especial, como limite de funções continuas.
Representação gráfica da função de Heaviside:
Aproximações continuas para a função de Heaviside: a expressão (1) define U(x) como uma função descontínua. Em algumas aplicações, é útil partir de funções continuas adequadas e definir U(x) como um limite, por exemplo:
Onde erfc(x) é a funçãoerro complementar = 1 – erf(x), si é a função seno integral, rect é a função retangular e tri(x) é a função triangular.
Função retangular: a função retangular pode ser escrita como:
Função pulso:
Ela é representada em termos da diferença de duas funções de Heaviside:
Representação gráfica da função de pulso:
Função pulso: pode ser representada pela subtração de funções de Heaviside, em que para valores entre a e b, onde a < b, a função resultante tem valor unitário, e para valores menores que a e maiores que b a função é nula.
2) Cálculos desenvolvidos para a determinação da transformada de Laplace e da solução geral para i(t); 
Seja f(t) uma função definida nos reais não negativos. Quando a integral:
For convergente, ela será chamada de transformada de Laplace da função f(t).
A transformada de Laplace {f (t)} de uma função f(t) é uma função variável s. A notação usual neste contexto é letra minúscula para a função e letra maiúscula para a transformada: {f (t)} = F (s), { f(t)} = G (s), { f(t)} = H (s). nos próximos exemplos, vamos aplicar a definição para calcular a transformadas de Laplace de algumas funções.
Vamos calcular a transformada de Laplace da função f (t) = 1:
Calculando a transformada de Laplace da função f (t) = t é calculada fazendo integração por partes:
Onde a notação indica Observe que, se s > 0, 
a primeira parcela do lado direito do zero e a segunda é , isto é, 
 
onde usamos o resultado deste exemplo:n
para calcular a transformada de Laplace da função f (t) = t usamos a ideia introduzida no exemplo anterior e escrevemos -a em termos da transformada de t . observe primeiro a transformada de t² e t³n - 1
Agora já podemos intuir qual seria a expressão para a transformada de t : n
Essa expressão pode ser formalmente demonstrada pelo método de indução matemática.
3) Gráfico referente à corrente para 0 ≤ t ≤ 4.
Fontes: https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Heavisidehttps://www.guiadaengenharia.com/perda-carga/
https://miltonborba.org/CDL/Impulso.htm#:~:text=Neste%20exemplo%20cada%20fun%C3%A7%C3%A3o%20f,um%20intervalo%20cada%20vez%20menor.
https://www.youtube.com/watch?v=bEM7atrDXbU
https://matematicasimplificada.com/funcao-de-heaviside-ou-degrau-unitario/
SAUTER, Esequia; AZEVEDO, Fábio; STRAUCH, Irene. (15 de maio de 2019). «A função de Heaviside». Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de dezembro de 2019
Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 4, pp. 55-73, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1
 SAUTER, Esequia; AZEVEDO, Fábio; STRAUCH, Irene (15 de maio de 2019). «A função Delta de Dirac». Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de dezembro de 2019
 Bracewell, R. - op. cit., Cap. 5, pp. 74-104
SOUZA, Fellipe (6 de novembro de 2017). «Função Rampa e Delta de Dirac» (PDF). Universidade Federal do Recôncavo da Bahia. Consultado em 20 de dezembro de 2019
Venetis (2014). «An Analytic Exact Form of the Unit Step Function» (PDF). Consultado em 26 de maio de 2019