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Ca´lculo 1 - EE 2a Prova - 07 de Julho de 2014 #1 (2.0 pontos) (a) Calcule ∫ x3 x3+1dx. (b) Calcule lim x→0+ (tg (5x))x #2 (1.8 pontos) (a) Encontre a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas y = sen x, y = sen (2x), x = 0 e x = pi/2. (b) Determine uma expressa˜o para a soma S = 12 + 22 + 32 + ...+ (n− 1)2. Prove sua afirmac¸a˜o. Calcule lim n→∞ S n3 #3 (2.6 pontos) (a) Calcule ∫ t2lnt dt. (b) Considere y = x5 + 2x3 + 5x+ 2 no intervalo (−1, 1). Mostre que pelo menos uma reta tangente a` curva e´ paralela a` reta y = 8x+3. Se usar resultados, voce deve enuncia´-los e mostrar que suas condic¸o˜es esta˜o satisfeitas. (c) Um arame de comprimento L esta´ dispon´ivel para fazer um c´irculo e um quadrado. Como deve ser cortado o arame para que a soma das ar´eas seja ma´xima? #4 (2.6 pontos) Dada a curva f(x) = x3 x2 − 1 (i) Determine Dom(f). (ii) A intersecc¸a˜o com os eixos Ox e Oy. (iii) Analise a simetria do gra´fico. (v) Determine as regio˜es de crescimento e pontos cr´iticos. (vi) Estude ma´ximos e mi´nimos. (vii) Estude a concavidade e pontos de inflexa˜o. (viii) Esboce o gra´fico e determine Im(f). 1
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