Atividade_2

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· Pergunta 1
1 em 1 pontos
	
	
	
	Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y  não se apresenta explicitamente como   A forma implícita pode ser representada como  . Nem sempre é possível explicitar a variável y na expressão implícita, portanto, deve-se derivar a função dada na forma implícita.
Nesse contexto, dada a função  , definida implicitamente, assinale a alternativa que determine o valor de  .
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
.
	Resposta Correta:
	 
.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. Para derivar implicitamente, devem-se derivar ambos os lados da equação. Verifique os cálculos a seguir, que constatam que o valor da derivada é igual a   De fato, temos:
   .
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	Ao derivar uma função composta, é necessário aplicar a regra da cadeia. Verifique que a função   é uma composição da função seno com a função polinomial elevado a 2 (função potência). Assim, para derivar essa função, aplica-se inicialmente a derivada da função potência, em seguida, da função seno e, por fim, a função polinomial.
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é  o valor de 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
.
	Resposta Correta:
	 
.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. De acordo com  os cálculos a seguir, o valor correto é .
  
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras operatórias: deriva da soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou mais funções, derivada do quociente entre duas funções, derivada da cadeia, para derivar as funções constantes. Neste contexto, associe tais regras com suas fórmulas:
 
1 - Derivada do Produto.
2 - Derivada do Quociente.
3 - Derivada da Soma.
4 - Derivada da Cadeia.
 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
 
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a sequência
correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
2, 3, 1, 4.
	Resposta Correta:
	 
2, 3, 1, 4.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. De acordo com as regras estudadas, temos que  = Derivada do Quociente.  = Derivada da Soma. = Derivada do Produto. = Derivada da Cadeia.
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	Numa avaliação, um professor solicitou que os alunos encontrassem a derivada da seguinte função racional polinomial: . Chamou a atenção do professor a resolução do aluno Paulo, que derivou a função uma vez e fez as afirmações descritas nas asserções I e II, a seguir.
 
A partir do apresentado, analise as asserções I e II  e a relação proposta entre elas.
 
I. A derivada da função é  igual 
Pois:
II. para derivar nesse caso é necessário usar a regra do quociente.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	Resposta Correta:
	 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A asserção I é uma proposição falsa. De acordo com a regra do quociente, a derivada da função racional é igual a , diferentemente da derivada proposta na afirmativa I. É evidente que a afirmativa II é verdadeira, pois foi utilizada a regra do quociente para derivar.
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte forma:   funções contínuas não deriváveis,  funções contínuas, que só admitem até 1ª derivada,  funções contínuas, que só admitem até 2ª derivada e assim sucessivamente até a função de classe  . Toda função polinomial racional é uma função de classe  , ou seja admite as derivadas de todas as ordens.
LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1.
 
Nesse contexto, encontre a derivada da função  , sabendo que  , e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para  .
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A derivada correta é igual a . Inicialmente,   deve-se utilizar a regra do quociente para obter a primeira derivada, que é igual a: . Daí, deriva-se novamente para obter a segunda derivada, aplicando novamente a regra do quociente. Portanto, temos: 
  
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	Ao calcular limites, pode ocorrer uma indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite, devemos utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. Para  funções racionais polinomiais de grau 2, é recomendável utilizar a fatoração do polinômio, através da  regra prática em que  . Assim, basta encontrar as raízes do polinômio por Bhaskara. Isso facilita bastante os cálculos. Nesse sentido, encontre o limite   e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
-2.
	Resposta Correta:
	 
-2.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a -2 . Para fatorar o polinômio , utiliza-se o quadrado da diferença, portanto: . Para fatorar o polinômio de grau 2, por Bhaskara, as raízes são -1 e -2, portanto . Assim, .
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	Um tanque contém um  líquido que, por conta da válvula da saída estar com defeito, o líquido está gotejando em um recipiente. Por observação experimental, foi possível, através da modelagem matemática, verificar que após t horas, há  litros no recipiente. Nesse contexto, encontre a taxa de gotejamento do líquido no recipiente, em litros/horas, quando  horas.
 
Após os cálculos, assinale a alternativa que indique o resultado encontrado.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
4,875 litros/horas.
	Resposta Correta:
	 
4,875 litros/horas.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. Para encontrar a taxa de variação do gotejamento do líquido no recipiente em relação ao tempo, basta derivar a função  e aplicar o ponto horas, como mostram os cálculos a seguir. 
	
	
	
· Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	Seja a função espaço tempo  , em que t representa o tempo. A velocidade média em um intervalo de tempo inicial (   e tempo final   é dada por  . A derivada de uma função aplicada em um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. Na cinemática, dizemos que a função velocidade   é a derivada da função espaço em relação ao tempo  , enquanto que a aceleração  é a derivada da função velocidade em relação ao tempo  . Com essas informações, considere a seguinte situação problema: o deslocamento (em metros) de uma partícula, movendo-se ao longo de uma reta, é dado pela equação do movimento  , em que t é medido em segundos.
Neste contexto, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando   e   é igual a 40,0  m/s. 
II. A velocidade instantânea quando   é igual a  .
III. A aceleração é sempre constante.
IV. A aceleração quando o tempo é   é igual a   .
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
II e IV, apenas.
	Resposta Correta:
	 
II e IV, apenas.
	Comentário da resposta:
	Resposta incorreta. A afirmativa I é incorreta, dado que a velocidade média para o período de tempo que começa quando  e  é igual a 40,0  m/s. De fato: . A afirmativa II é correta, uma vez que a velocidade instantânea quando  é igual a . De fato:  A afirmativa III é incorreta, porque a aceleração é sempre constante. De fato: 
 Por fim, a afirmativa IV é correta, já que a aceleração quando o tempo é  é igual a . De fato: 
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	As funções trigonométricas possuem características próprias, tornando-as funções de grande complexidade. Portanto, derivar essas funções a partir da definição de derivadas por limites, torna-se um trabalho árduo. Assim, a tabela de derivadas inclui fórmulas para derivar, também, as funções trigonométricas.
 
A respeito das derivadas de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s)e F para a(s) falsa(s).
 
I. (  )  .
II. (  )  .
III. (  )  .
IV. (  ) 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
V, F, F, V.
	Resposta Correta:
	 
V, F, F, V.
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A afirmativa das alternativas I e IV é verdadeira, pois as derivadas estão de acordo com a tabela de derivadas. Já a afirmativa II é falsa, pois a derivada da função cossecante é dada por  Por fim, a afirmativa III também é falsa desde quando  a derivada da cotangete é 
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	Quando a indeterminação do limite é igual a 0/0, e a função é racional polinomial, recomenda-se utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. Nesse caso de funções racionais polinomiais, utiliza-se a fatoração do polinômio através da  regra prática de Ruffini para facilitar  os cálculos.
 Nesse sentido, encontre o limite   e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a 21/19. Inicialmente, verifica-se que, ao substituir a tendência do limite, a indeterminação é do tipo 0/0. Assim, pela regra de Ruffini, e , portanto, o valor do limite é igual a : .