Questões Prova 2 - Shirlei Serconek

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Ca´lculo 1 - EE
2a Prova - 07 de Julho de 2014
#1 (2.0 pontos)
(a) Calcule
∫
x3
x3+1dx.
(b) Calcule
lim
x→0+
(tg (5x))x
#2 (1.8 pontos)
(a) Encontre a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas y = sen x, y = sen (2x), x = 0 e
x = pi/2.
(b) Determine uma expressa˜o para a soma S = 12 + 22 + 32 + ...+ (n− 1)2. Prove sua
afirmac¸a˜o. Calcule
lim
n→∞
S
n3
#3 (2.6 pontos)
(a) Calcule
∫
t2lnt dt.
(b) Considere y = x5 + 2x3 + 5x+ 2 no intervalo (−1, 1). Mostre que pelo menos uma
reta tangente a` curva e´ paralela a` reta y = 8x+3. Se usar resultados, voce deve enuncia´-los
e mostrar que suas condic¸o˜es esta˜o satisfeitas.
(c) Um arame de comprimento L esta´ dispon´ivel para fazer um c´irculo e um quadrado.
Como deve ser cortado o arame para que a soma das ar´eas seja ma´xima?
#4 (2.6 pontos) Dada a curva
f(x) =
x3
x2 − 1
(i) Determine Dom(f).
(ii) A intersecc¸a˜o com os eixos Ox e Oy.
(iii) Analise a simetria do gra´fico.
(v) Determine as regio˜es de crescimento e pontos cr´iticos.
(vi) Estude ma´ximos e mi´nimos.
(vii) Estude a concavidade e pontos de inflexa˜o.
(viii) Esboce o gra´fico e determine Im(f).
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