Apostila 2011

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TOPOGRAFIA /EDIFICAÇÕES – MÓDULO II 
 10/03/2008 henriquegalery@gmail.com 
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1. Conceitos Fundamentais 
Definição: a palavra “Topografia” deriva das palavras gregas “topos” (lugar) e “graphen” (descrever), 
o que significa a descrição exata e minuciosa de um lugar. 
 
Diferença entre Geodésia e Topografia: A Topografia está inserida na Geodésia, utilizam métodos e 
instrumentos semelhantes, porém, a Geodésia se preocupa com a forma e dimensões da Terra, enquan-
to a Topografia se limita a descrição de área restritas da superfície terrestre. 
Apesar de a superfície terrestre ser bastante irregular, formada de depressões e elevações, é possível 
considerá-la regular em face da reduzida dimensão destes acidentes em relação ao raio da Terra, uma 
vez que a máxima depressão ou elevação é inferior a 10 km, desprezível ante a extensão do raio médio 
da Terra, aproximadamente igual a 6.371 km. Nestas condições, em primeira aproximação, a superfí-
cie terrestre pode ser considerada como a superfície de nível médio dos mares, supostamente prolon-
gada por sob os continentes e normal em todos os seus pontos à direção da gravidade, superfície esta 
denominada de GEÓIDE. 
 É sob este conceito de forma da Terra que a GEODÉSIA trabalha nos estudos que exigem 
maior rigor matemático. A TOPOGRAFIA por sua vez, que considera trechos de dimensões limitadas, 
admite a superfície terrestre como plana, o que corresponde a desprezar a curvatura da Terra. Assim 
sendo, a GEODÉSIA e a TOPOGRAFIA têm os mesmos objetivos, diferindo nos fundamentos mate-
máticos em que se baseiam a geodésia apoiada na trigonometria esférica e a topografia, na trigonome-
tria plana. 
 
2. Objetivos da Topografia 
A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção 
limitada da superfície terrestre, do fundo dos mares ou do interior de minas, desconsiderando a curva-
tura resultante da esfericidade da Terra. Competem ainda à Topografia a locação no terreno de proje-
tos elaborados de Engenharia e Urbanismo. 
Divisões da Topografia: 
PLANIMETRIA: medida de grandezas lineares e angulares em um plano horizontal; 
ALTIMETRIA: medida de grandezas lineares e angulares em um plano vertical. 
Levantamento Topográfico: Consistem na medição de ângulos e distâncias, na execução de cálculos e 
desenhos, indispensáveis para representar em escala os elementos colhidos no terreno. 
Etapas: 
Campo: reconhecimento; medição de ângulos e distâncias 
Escritório: cálculos, desenhos. 
 
 
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3. Influência da forma e dimensões da Terra nos levantamentos topográficos 
3.1. Introdução 
Por levantamento topográfico pode-se entender como sendo o conjunto de operações que tem por ob-
jetivo a determinação da posição relativa de pontos na superfície da Terra ou a pouca altura da mesma. 
Essas operações consistem, essencialmente, em medir distâncias verticais e horizontais entre diversos 
pontos, determinar ângulos entre alinhamentos e achar a orientação destes alinhamentos. Complemen-
tando essas operações tem-se o cálculo das observações permitindo determinar distâncias, ângulos, 
orientações, posições, alturas, áreas e volumes. Com os dados de campo, depois de calculados, pode-se 
representar graficamente, na forma de mapas, perfis longitudinais e transversais, diagramas entre ou-
tros. A execução de um levantamento topográfico, além da necessidade de se conhecer os instrumen-
tos utilizados nas medições requer conhecimentos de geometria, trigonometria plana e esférica, física, 
astronomia e teoria dos erros e sua compensação. Nos levantamentos topográficos parte-se do princí-
pio que a Terra é plana e, por isso, os cálculos são essencialmente fundamentados na geometria Eucli-
diana e na trigonometria plana. Como a Terra não é plana, torna-se necessário verificar a sua influên-
cia nos levantamentos topográficos. 
3.2. Forma e dimensão da Terra 
Geodésia é a ciência que estuda a forma e dimensão da Terra. Em termos de geometria, a atual super-
fície do Planeta é complexa. Vastas áreas (71% de sua superfície total) são tomadas pelos oceanos e 
depressões marítimas que podem atingir até 11.000 m de profundidade. A Terra pode caracterizar 
cordilheiras, montanhas, gargantas sinuosas e profundas, planícies, vales de rios e desfiladeiros. Al-
gumas montanhas são muito altas, por exemplo, a altitude do Monte Everest é de 
8.848 m. A elevação média da Terra sobre o nível do mar é de 875 m. 
 Uma idéia generalizada da forma da Terra pode ser obtida pelo uso do conceito de uma “su-
perfície de nível”. O fio de prumo oscilante assumirá a posição da vertical verdadeira devido à força 
da gravidade. Pela mesma razão uma superfície de água é horizontal e a linha de prumo verdadeira 
será perpendicular a esta superfície. Uma grande quantidade de superfícies de nível pode ser imagina-
da. Em topografia, especial importância é atribuída para a superfície de nível que coincide com o nível 
médio do mar, o nível de uma superfície de água inanimada dos oceanos do mundo. Esta superfície 
fechada e supostamente contínua, inclusive penetrando nos continentes, é perpendicular à direção da 
gravidade em qualquer ponto e é chamada de Superfície Datum ou simplesmente Datum. 
 As direções da gravidade são função da distribuição das densidades das rochas que formam a 
crosta terrestre. As rochas estão distribuídas de forma variável na crosta terrestre. Por esta razão, a 
superfície Datum (geóide) que é ortogonal em qualquer ponto à linha de prumo verdadeira apresenta 
uma forma complexa e irregular. 
 Quando se determina a forma geométrica de objetos procura-se, usualmente, compará-los 
com sólidos geometricamente regulares. A mesma analogia é seguida na geodésia para determinar a 
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forma e tamanho da Terra. A partir de premissas teóricas e observações atuais, a Terra tem, em geral, 
uma forma que pode ser aproximada a um elipsóide de revolução cuja superfície pode ser calculada 
usando fórmulas exatas e é matematicamente bem conhecida. 
 
PLANIMETRIA 
1. Introdução 
Um alinhamento topográfico é um segmento de reta materializado por dois pontos nos seus extremos. 
Tem extensão, sentido e orientação. Por exemplo: 
Orientação: 45° 
Sentido: de A para B. 
Extensão: x metros. 
2. Definição de Rumo, Azimute, Deflexão e Ângulo interno 
Rumo é o menor ângulo formado entre a linha Norte-Sul e o alinhamento em questão. O Rumo varia 
de 0º a 90º e necessita a indicação do quadrante em que se encontra o alinhamento 
 
Figura 2.2 
Considerando-se a Fig. 2.3, ao lado por exemplo: 
 
 
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ROA = 35º NE 
ROB = 35º SE 
ROC = 70º SW 
ROD = 20º NW 
Azimute é o ângulo formado entre o Norte e o alinhamento em questão. É medido a partir do Norte, no 
sentido horário, podendo variar de 0º a 360º. 
Considerando-se a Fig. 2.4, por exemplo: 
Figura 2.4 
AzOA = 35º 
AzOB = 145º 
AzOC = 250º 
AzOD = 340º 
O azimute descrito acima, ou seja, com origem no Norte, variando de 0º a 360º no sentido horário é 
chamado de Azimute topográfico, e é o mais usual. 
 
Conversão de Rumo em Azimute e vice-versa 
Quadrante NE: Az = 180º R = Az 
Quadrante SE: Az = 180º - R R = 180º - Az 
Quadrante SW: Az = 180º + R R = Az - 180º 
Quadrante NW: Az = 360º - R R = 360º - Az 
A seqüência apresentada na Fig. 2.5, mostra o rumo e o azimute nos diversos quadrantes. 
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1. Transformar rumo em azimute ou vice-versa: 
23º40’SE 270º50’ 
45º50’SW 349º20’ 
58º20’SW 28º40’ 
34º50’NW 180º00’ 
49º56’33”NW 201º19’38” 
36º29’48”SE 270º47’42” 
39º47’13”SW159º00’23” 
 
2. O rumo verdadeiro de um alinhamento é 4º35’NW, sabendo-se que a declinação magnética local é 
de 8º11’W, calcule o azimute magnético. 
 
3. O rumo magnético de um alinhamento é de 84º30’SW. Sendo a declinação magnética local de 
13º30’E, calcular o rumo verdadeiro do alinhamento e os azimutes verdadeiro e magnético. 
 
4. O rumo magnético de um alinhamento era 45015’SE em 1947. Sabendo-se que a declinação 
magnética em 1945 era 1040’E e a variação anual é de 8’E, calcule o rumo verdadeiro. 
 
5. O rumo verdadeiro de um alinhamento é de 80015’NW. Sabendo-se que declinação magnética atual 
é de 13000’W e a variação anual é de 11’W, calcule o rumo magnético em 1977. 
 
Rumos e azimutes, magnéticos e verdadeiros 
Até o momento, ao falar em rumos e azimutes não foi especificado a sua referência, a partir do Norte 
verdadeiro ou magnético. Quando o azimute é medido a partir da linha Norte-Sul verdadeira ou geo-
gráfica, o azimute é verdadeiro; quando é medido a partir da linha Norte-Sul magnética, o azimute é 
magnético. O mesmo se dá para os rumos. 
 A diferença angular entre o Norte verdadeiro e o Norte magnético é a Declinação magnética 
local. A declinação magnética é sempre medida do Norte verdadeiro para o magnético. 
As agulhas imantadas colocadas em bússolas fornecem os azimutes magnéticos; para transformá-los 
em verdadeiros é necessário que se conheça a declinação magnética local e fazer a transformação ade-
quada. A posição do Norte verdadeiro pode ser conhecida, diretamente, através de observações aos 
astros (sol e estrelas), obtendo-se assim o azimute verdadeiro. 
A declinação magnética pode variar em função dos fatores tempo e lugar. Os tipos de variação são: 
• Variação geográfica: numa mesma época, cada local apresenta um determinado valor para a decli-
nação. Os pontos da Terra que, num dado instante, tem o mesmo valor de declinação, quando ligados 
por linhas imaginárias, formam as linhas isogônicas. 
• Variação secular: com o decorrer dos séculos, o pólo norte magnético caminha em torno do 
pólo norte verdadeiro, havendo grandes alterações no valor da declinação em um lugar, mudando in-
clusive de sentido (de E para W, por ex.). 
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• Variação anual: esta variação não é bem definida e sua distribuição não é uniforme pelos meses do 
ano, sendo pequena e sem importância para trabalhos topográficos comuns. As linhas que unem locais 
de mesma variação anual da declinação são ditas isopóricas. Sabendo-se disto, quando se vão utilizar 
azimutes magnéticos de antigos levantamentos, devem-se reajustar os seus valores para a época atual. 
Este procedimento é chamado de reaviventação de rumos e azimutes. 
 
Ângulo Interno é o ângulo formado por dois alinhamentos consecutivos de um polígono, é sempre 
medido no sentido horário e tomado internamente. 
 
Poligonal fechada: O ponto inicial do polígono encontra o ponto final do mesmo polígono. 
 
 
Figura 2.8 
Soma dos Ângulos internos pela fórmula geral: ∑Ai = (n – 2). 180°, onde Ai é a soma dos ângulos 
internos, n é números de faces ou dos vértices do polígono fechado. Os ângulos internos são represen-
tados pelas letras gregas: α,β,γ,δ,ε,η e etc. 
 
POLIGONAL ABERTA: 
• Caminhamento à esquerda ou no sentido horário 
Figura 2.9 
Az23 = Az12 – Ai2 + 180° 
Az34 = Az23 – Ai3 + 180° 
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• Caminhamento à direita ou no sentido anti-horário 
 
Figura 2.10 
Az23 = Az12 + Ai2 - 180° 
Az34 = Az23 + Ai3 - 180° 
Generalizando tem-se a Fórmula geral dos azimutes: 
Azn = (Azn -1 ± Ai) ± 180º onde: 
Azn é o azimute do alinhamento; 
Az n-1 é o azimute do alinhamento anterior; e 
Ai é o ângulo horizontal interno. 
Se o caminhamento na poligonal for à direita ou no sentido anti-horário, soma-se o valor do ângulo 
interno ao azimute do alinhamento anterior (Azn -1 + Ai); se o caminhamento na poligonal for à es-
querda ou no sentido horário, subtrai-se o valor do ângulo interno do azimute do alinhamento 
anterior (Azn -1 - Ai). 
Se (Azn-1 ± Ai) > 180º , subtrai-se 180º; se (Azn-1 ± Ai) < 180º , soma-se 180º. 
Uso da bússola de um teodolito 
Estacionado e nivelado o instrumento, faz-se a coincidência do zero do vernier com o zero do limbo 
horizontal, fixa-se o parafuso do movimento do limbo e solta-se o parafuso do movimento da alidade. 
Gira-se a alidade até que o ponto N da graduação da bússola coincida com a indicação da agulha mag-
nética; orientando, desta forma, o círculo azimutal. Se solta o movimento do limbo e visa-se a direção 
em questão, cujo azimute magnético será lido diretamente no limbo. 
 
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 Noções de Levantamentos Expeditos 
São métodos rápidos, econômicos e pouco precisos. Podem ser de três tipos: 
• Passo e bússola; 
• Bússola e trena; e 
• Trena. 
No levantamento de uma poligonal medem-se as grandezas lineares e angulares, sendo que estas últi-
mas tomam como referências a linha N-S magnéticas. 
 
 MEDIDAS DE DISTÂNCIAS: MÉTODOS E INSTRUMENTOS 
A medida entre dois pontos, em topografia, corresponde à medida da distância horizontal entre esses 
dois pontos, mesmo que o terreno seja inclinado. A medição de uma distância pode ser efetuada por 
processo direto, por processo indireto ou, por processos eletrônicos, sendo este último o mais moderno 
e mais preciso. 
 Medida direta de distâncias 
A determinação da extensão de um alinhamento pode ser feita por medida direta quando o instrumento 
é aplicado no terreno ao longo do alinhamento. 
Instrumentos 
Os instrumentos destinados para a medida direta são genericamente denominados de diastímetros. 
Entre os principais têm-se: 
(a) Corrente de agrimensor: é composta de barras de ferro ligadas por elos, dois em cada extremida-
de, para facilitar a articulação; cada barra, com um elo de cada lado, mede 20 cm e a corrente toda é de 
20 m. De metro em metro, encontra-se presa uma medalha onde se acha gravado o nº de metros desde 
o início da corrente. Nas extremidades da corrente existem as manoplas, as quais permitem a extensão 
para eliminar a catenária (curvatura que o peso da própria corrente ocasiona). Atualmente se encontra 
em desuso devido à pouca precisão e praticidade. 
(b) Trena de aço: é uma fita de aço graduada em centímetros, enrolada no interior de uma caixa atra-
vés de uma manivela. Geralmente o primeiro decímetro é milimetrado, para medidas de maior preci-
são. Ocorrem em comprimentos variados, até 50 m, sendo mais comuns as de 20 e 30 m. Apesar de 
apresentar boa precisão nas medidas, a trena de aço é muito pouco prática no uso comum. Pode sofrer 
influência da variação de temperatura (dilatação e contração do aço); parte-se facilmente; pode enfer-
rujar-se rapidamente, necessitando ao final de cada dia de trabalho, limpá-la com querosene e besuntá-
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la com vaselina; e não pode ser arrastada pelo solo, pois gastará a gravação dos números e dos traços 
que constituem sua marcação. 
(c) Fita de aço: são também trenas de aço, porém são enroladas em círculos descobertos munidos de 
um cabo de madeira. Não são gravadas de ponta a ponta, apenas o primeiro e o último decímetro são 
milimetrados, a parte intermediária é marcada a cada 50 cm, tendo nos metros inteiros uma chapinha 
com o número. São mais rústicas que as trenas, permitindo serem arrastadas pelo solo sem maiores 
prejuízos. 
(d) Trena plástica: são fitas plásticas reforçadas com fibra de vidro. Tem diversos comprimentos, 
sendo que a mais utilizada é a de 20 m. São normalmente práticas e apresentam uma precisão razoável, 
o que as torna intensamenteutilizadas. 
ACESSÓRIOS 
Existe uma série de acessórios utilizados na medida direta de distância, dentre os quais se apresentam 
os principais: 
 (a) Baliza: vara de ferro ou madeira, de 2 m de comprimento, pintadas geralmente de branco e verme-
lho. Tem a função de destacar o ponto sobre o terreno. A sua extremidade inferior tem forma cônica, 
para facilitar sua fixação no terreno. A verticalidade da baliza é muito importante, podendo vir acom-
panhada de um nível de bolha. 
(b) Fichas: pequenas barras de ferro (aproximadamente 0,30m), pontiagudas em uma das extremida-
des e com alças na outra, para serem cravadas no solo. São utilizadas para controle do número de ve-
zes que o diastímetro é aplicado para a obtenção da medida de uma grandeza. São normalmente com-
postas por grupos de 10 fichas, presas a uma argola. 
(c) Piquetes e estacas: peças de madeira que são cravadas no terreno para a determinação 
dos pontos. O piquete, geralmente com 20 cm, é cravado na posição do ponto visado, enquanto que a 
estaca, com aproximadamente 40 cm, é cravada a aproximadamente 50 cm do piquete, para facilitar a 
localização deste. 
(d) Dinamômetro: aparelho destinado a medir as tensões aplicadas às trenas, para correção dos valo-
res obtidos, nas medidas de maior precisão. 
(e) Termômetro: para medir a temperatura no momento da medição, para efetuar correções nas medi-
das de precisão. 
 
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EXECUÇÃO DA MEDIDA 
Seja, por exemplo, medir o comprimento horizontal do alinhamento AB, com um diastímetro e cujo 
perfil está representado na Fig. 2.11. 
Figura 2.11 
Com o teodolito instalado e calado no ponto A (o teodolito é opcional, pode ser posta apenasuma bali-
za), colima-se uma baliza posta sobre o ponto B. O balizeiro de ré segura a graduação zero da trena 
sobre o ponto A e o balizeiro de vante caminha segurando a outra extremidade da trena e uma baliza, 
até que a trena fique estendida. Neste momento, o operador do instrumento indica se o balizeiro de 
vante deve deslocar a baliza para a esquerda ou direita, a fim da linha de visada coincidir com o eixo 
da baliza. Estabelecida a posição correta da baliza na direção AB, a graduação zero da trena é mantida 
firme no ponto A e a graduação 20 m é encostada na baliza, estando a trena na horizontal e bem esti-
cada, para diminuir ao máximo a catenária; e assinala-se no terreno o ponto 1, com uma ficha; deste 
modo estará medido um trecho de 20 m. O balizeiro de ré segue para o ponto 1 com o zero da 
graduação da trena, e o balizeiro de vante, caminha na direção do ponto B, com a outra extremidade da 
trena e a baliza, para efetuar a medida do trecho 12, de modo idêntico ao anterior. Procede-se da mes-
ma forma na medida do trecho 23, com uma trenada de 20 m. 
Quando o terreno é fortemente inclinado, como no trecho 35, reduz-se a extensão da trena e completa-
se a medição. 
A DHAB será: 3.20 + 2.10 + 8,2 = 88,2 m. 
MEDIDAS DE ÂNGULOS: MÉTODOS E INSTRUMENTOS 
6.1. Instrumentos 
Teodolito ótico (Mecânico) 
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0 Teodolito é um instrumento capaz de medir tanto ângulos horizontais como verticais. O teodolito 
consta essencialmente das seguintes partes: uma base provida de três ou quatro parafusos niveladores 
(parafusos calantes), contendo um limbo graduado destinado à leitura dos ângulos horizontais. Em 
torno do eixo concêntrico com o círculo horizontal giram os montantes da luneta e o limbo vertical do 
instrumento. O eixo YY’ é denominado eixo vertical de rotação ou eixo principal. O eixo XX’ é de-
nominado de eixo horizontal ou eixo secundário (Fig. 2.17).Para a leitura dos ângulos horizontais, os 
montantes arrastam consigo a alidade do instrumento, que possui dois índices de referência diame-
tralmente opostos; estes índices podem ser de vernier ou micrômetro e permitem apreciar frações dos 
ângulos menores que cada divisão do limbo horizontal. Para a leitura dos ângulos verticais a luneta 
gira em torno do eixo horizontal XX’, levando em seu movimento índices de leitura, também por ver-
nier ou por micrômetro, podendo-se apreciar as frações da divisão do círculo vertical. São, então, em 
número de três os eixos fundamentais do instrumento: eixo principal (YY’), eixo secundário (XX’) e o 
eixo de colimação (LL’). O eixo principal passa pelo centro do aparelho e pelo centro do limbo hori-
zontal; o eixo secundário é o eixo de rotação da luneta, e o eixo de colimação passa pelo centro do 
aparelho e pelo cruzamento dos fios do retículo. Estes três eixos, portanto, cruzam-se no centro do 
instrumento. 
 
Figura 2.17 
Componentes de um Teodolito 
A seguir serão apresentadas as componentes de um teodolito e as suas funções: 
(a) Elementos de visada: 
• Luneta astronômica: fornece imagem invertida; e 
• Luneta terrestre: fornecem imagem direta. 
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A luneta do teodolito é constituída de um tubo em cujas extremidades se situam a objetiva e a ocular. 
A objetiva é um sistema de lentes com a função de fornecer a imagem do objeto visado, e a ocular é 
uma lente cuja função é aumentar as dimensões do objeto. Na extremidade da ocular estão alojados os 
fios de retículo, formados por dois fios ortogonais: um é o fio colimador (vertical) e o outro é o fio 
nivelador (horizontal). 
(b) Elementos de leitura de ângulos: 
Nos teodolitos, as leituras de ângulos são feitas nos limbos graduados. Geralmente, quando se mede 
um determinado ângulo, o índice de leitura do visor cai entre duas divisões do limbo, de maneira que é 
preciso medir esta fração do limbo, para se ter o ângulo determinado com a aproximação do instru-
mento. Assim, torna-se necessário adaptar ao limbo dispositivos capazes de medir frações da menor 
divisão. Tais dispositivos são: 
• nônio ou vernier; 
• microscópio de estima; 
• microscópio de escala; 
• microscópio de vernier; e 
• microscópio micrométrico. 
(c) Elementos de sustentação: 
• tripé; 
• plataforma ou prato do tripé; e 
• parafuso de fixação (fio de prumo). 
(d) Elementos de manobra: 
• parafusos calantes ou niveladores; 
• parafuso do movimento geral (controla o movimento da alidade); 
• parafuso do movimento particular (controla o movimento do limbo); e 
• fixação do eixo horizontal de rotação da luneta. 
(e) Elementos de ajuste: 
• parafuso de chamada do limbo horizontal; 
• parafuso de chamada do limbo vertical; e 
• parafuso de chamada do movimento geral. 
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Os elementos de ajuste são elementos indispensáveis para a obtenção de uma coincidência perfeita da 
linha de colimação com o objeto visado. 
(f) Elementos acessórios: 
• níveis de bolha de ar: destinados ao nivelamento do aparelho; 
• fio de prumo ou prumo ótico: permite a coincidência do centro do instrumento com o ponto da esta-
ção; 
• lupas ou microscópios: para facilitar a leitura do limbo; 
• bússola; e 
• alça de mira. 
Teodolito eletrônico (ver Anexos) 
Os teodolitos eletrônicos são instrumentos que permitem a medição eletrônica dos ângulos verticais e 
horizontais. Os teodolitos eletrônicos surgiram na década de 70. A diferença essencial em relação aos 
teodolitos clássicos se dá na substituição do leitor ótico de um círculo graduado por um sistema de 
captores eletrônicos. Os teodolitos eletrônicos possuem as mesmas características construtivas de um 
teodolito clássico, sendo um aparelho de alta precisão, composto por partes mecânicas e eletrônicas. A 
medida eletrônica dos ângulos é baseada na leitura digital de um círculo graduado em forma binária. 
Além da leitura automática de ângulos, outra característicaimportante dos teodolitos eletrônicos é a 
existência de um compensador eletrônico. O compensador eletrônico permite corrigir, automaticamen-
te, os possíveis erros de calagem do eixo vertical do teodolito e corrigir, desta forma, os valores das 
direções horizontais e verticais lidas. Em termos de eficiência, o teodolito eletrônico apresenta funda-
mentalmente três vantagens com relação aos teodolitos mecânicos: 
(a) os ângulos medidos passaram a ser exibidos diretamente em um visor de cristal líquido; (b) os dis-
tanciômetros eletrônicos passaram a ser conectados diretamente ao teodolito; o processador central do 
teodolito passou a controlar também o distanciômetro; e (c) a leitura automática dos ângulos e das 
distâncias, na composição teodolito eletrônico/distanciômetro, permitiu a adição de uma caderneta 
eletrônica ao conjunto. 
Exemplo: 
Seja o levantamento planimétrico pelo método do ca-
minhamento perimétrico da poligonal fechada ABCD 
na planilha de Campo abaixo e figura 2.19: 
 
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 Figura 2.19 Figura 2.19a 
Cálculo do Erro angular de fechamento da poligonal: 
∑Ai = (n–2)180° 
Onde: 
Ai = ângulo lido = ângulo duplo/2 
n = n° de vértices 
Portanto: 
∑Ai = (4-2)180° = 360° 
∑Ai lidos = 359°58’00” 
EA=∑Ai lidos–∑Ai 
Onde: 
EA = erro angular 
Portanto: 
EA= 359°58’00” – 360°= – 0°02’ 
EAT = ± 1’ S n 
Onde: 
EAT = erro angular tolerável 
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n = n° de vértices 
Portanto: 
EAT = ± 1’ S 4 = ± 2’ 
 MÉTODOS AUXILIARES: COORDENADAS POLARES E BIPOLARES 
 
Método das coordenadas polares ou irradiação 
O método consiste na escolha de um ponto de situação dominante, que seja intervisível a partir de 
todos os vértices da poligonal. Este ponto será a estação (O), e será ligado a todos os vértices da esta-
ção. 
A partir da estação medem-se dois lados e o ângulo por eles compreendido, pois o método 
baseia-se na decomposição da área em triângulos. 
O ponto estação pode ser fora ou dentro da área a ser levantada. 
Assim, tem-se como observações, considerando a Fig. 2.20, as distâncias dos alinhamentos 
OA, OB, OC, OD e OE e os ângulos AÔB, BÔC, CÔD, DÔE e EÔA. 
É um método de levantamento simples, empregado para pequenas áreas e relativamente planas, apre-
sentando precisão razoavelmente boa, mas considerando que não permite controle dos erros que pos-
sam ocorrer, fica na dependência da experiência e cuidados do operador. Tem como inconveniente 
gerar polígonos descobertos e impedir o controle dos resultados com verificação. Se houver necessi-
dade de calcular o comprimento dos lados do polígono pode-se conseguir com o teorema de Carnot, 
onde: 
AB2 = OA2 + OB2 - 2.OA.OB.cos AÔB 
obtém-se, por exemplo, o quadrado do lado AB. 
Para o cálculo das coordenadas de cada um dos pontos pode-se obter por: 
XA = XO + OB.sen AzOA 
YA = YO + OB.cos AzOA 
Figura 2.20 
 
que fornece as coordenadas do ponto A, desde que se conheça ou arbitre as coordenadas do ponto O e 
o azimute do alinhamento OA. 
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Na prática: 
 
• É um método de levantamento empregado 
para pequenas áreas e, além disso, relati-
vamente planas. 
• É utilizado como auxiliar dos levantamen-
tos por caminhamento. 
• É um método simples, de precisão relativamente boa, mas não permite controle dos erros que 
possam ocorrer. 
• O método consiste em se escolher um ponto de situação dominante de onde se possa 
• visualizar todos os pontos do polígono. 
• A partir do vértice, mede-se 2 lados e um ângulo. 
• O método baseia-se na decomposição da área em triângulos. 
 
Método das coordenadas bipolares ou intersecção 
 O método de intersecção é o único método que se pode utilizar quando alguns vértices da 
poligonal são inacessíveis. 
 É um método que também não apresenta a possibilidade de controle de erros. O método tem 
seu princípio de funcionamento baseado na construção de um triângulo em que se conhecem um lado e 
seus dois ângulos adjacentes. A representação da posição do ponto topográfico é determinada pela 
intersecção das direções determinadas pelos dois ângulos formados. 
A condição de aplicação do método é que se escolham dois pontos dentro ou fora da área a 
ser levantada (o alinhamento OP pode ser também um dos lados do polígono ou uma diagonal), a par-
tir dos quais se possa visar todos os vértices da poligonal. Deve-se conhecer a distância entre estes 
dois pontos e a sua orientação. A distância entre esses dois pontos deve ser proporcional ao tamanho 
da área, para que a direção dos vértices obtenha uma boa condição de intersecção. 
 Assim, considerando-se a Fig. 2.21, mede-se uma base OP, e a partir de cada um dos 
vértices da base se medem os ângulos gerados com o alinhamento formado entre o vértice da base e o 
ponto que se pretende levantar. Desta forma, os pontos a levantar representam o vértice de um triângu-
lo que se conhece uma base e os seus ângulos adjacentes. Neste tipo de levantamento planimétrico 
deve-se evitar ângulos inferiores a 30º e superiores a 150º. Em tais circunstâncias, mesmo que as ob-
servações sejam de alta precisão, pode gerar valores errados. 
O processo de intersecção constitui o método básico de levantamento geodésico em triangulações de 
1ª, 2ª e 3ª ordens. 
Para o cálculo da área do polígono, os triângulos devem ser rearranjados em função dos lados conhe-
cidos. 
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 Figura 2.21 
MÉTODOS DE MEDIÇÕES DE ÂNGULOS 
Em geral, nos levantamentos topográficos são empregados quatro processos de medição de 
ângulos horizontais: (a) medida simples,(b) ângulo duplo, (c) repetição; e (d) reiteração. 
Medida simples 
É o processo mais simples de medição de um ângulo, pois o valor do ângulo é medido uma 
única vez. 
Considerando-se a Fig. 2.18, seja medir o ângulo a entre dois alinhamentos OA e OB. 
Procedimento: 
1) instalar e nivelar o teodolito no ponto O; 
2) soltar os parafusos dos movimentos da alidade e do limbo; 
3) acertar, aproximadamente, o zero do vernier e o do limbo horizontal e fixar o parafuso de 
movimento do limbo; 
4) acertar, exatamente, zero a zero, usando o parafuso micrométrico do movimento do limbo; 
5) girar a alidade, visar o ponto A com o auxílio da alça de mira e fixar o movimento da alidade; 
6) fazer a colimação perfeita do ponto A com o parafuso micrométrico do movimento da alidade; 
7) soltar os parafusos de movimento do limbo e da alidade e visar o ponto B, com a alça de mira; 
8) fixar o parafuso do movimento da alidade e fazer a colimação perfeita do ponto B com o auxílio do 
parafuso micrométrico; 
9) fixar o parafuso do movimento do limbo e fazer a leitura do ângulo a. 
A realização da medida de ângulos horizontais é sempre feita no sentido horário, ou seja, da 
esquerda para a direita. 
Zerar o vernier com o limbo horizontal é opcional: pode-se visar o ponto A e anota-se a leitura 
do limbo horizontal (LA). O zero do limbo horizontal está em uma posição qualquer, e em seguida 
visase 
o ponto B, anotando-se a leitura do limbo (LB); então a = LB - LA. 
 
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Figura 2.18 
 
Ângulo duplo 
O procedimento é o mesmo efetuado na medição simples, do item 1 ao 9, com acréscimo: 
(10) depois de obter a leitura do ângulo a; solta-se o parafuso do movimento da alidade e mantém-se 
fixo o parafuso do movimento do limbo; 
11) visa-se novamente o ponto A e fixa-se o movimento da alidade;12) faz-se a perfeita colimação com o parafuso micrométrico; 
13) soltam-se os parafusos dos movimentos da alidade e do limbo e torna-se a visar o ponto B; 
fixando-se então, o movimento da alidade; 
14) faz-se a colimação perfeita do ponto B com o parafuso micrométrico e então fixa-se o limbo; 
15) o ângulo lido no limbo representa o duplo valor do ângulo procurado = 2a; podendo haver apenas 
o erro de precisão do instrumento. 
 
Repetição 
O processo da repetição para a medida de ângulos horizontais admite a existência de erros 
de graduação do limbo, resultantes das imperfeições do processo de gravação do círculo graduado. 
Este processo ameniza estes erros, ao prever uma série de medições do ângulo pela utilização de 
regiões sucessivas do limbo graduado. 
Procede-se da mesma maneira como foi explicado na medição do ângulo duplo e continua, repetindo-
se sucessivamente a operação (5 repetições são o ideal). 
Chamando-se as leituras de L1, L2, L3,....., Ln, ter-se-á para cada ângulo 
a2 = L2 - L1 
a3 = L3 - L2 
an = Ln-1 - Ln 
Sendo a = a1 + a2 + a3 + an / n = Ln - L1 / n 
 
 
Reiteração 
Este processo também objetiva compensar os erros de graduação do limbo. Leva em consideração o 
fato de que os erros de graduação “tendem” a se compensar em regiões opostas do limbo. Para isto, 
efetuam-se medidas na posição direta e inversa da luneta. 
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Para a medição do ângulo a pelo processo da reiteração, procede-se inicialmente como no método de 
medida simples, ao chegar no item 9 tem-se a medida do ângulo a1 na posição direta da 
luneta. A seguir: 
10) inverte-se a posição da luneta; solta-se o parafuso de movimento da alidade e mantém-se fixo o do 
limbo; 
11) visa-se novamente o ponto A, fixa-se a alidade e efetua-se a colimação com o micrométrico; 
12) solta-se o limbo e a alidade e visa-se o ponto B; fixa-se a alidade ; 
13) faz-se a colimação de B com o micrométrico, fixa-se o limbo e realiza-se a leitura do ângulo (a2), 
que deve dar uma diferença de 180º de a1. 
Sendo: a = a1 + a2 / 2. 
Convém salientar, que para executar a medida de um ângulo pelo processo da reiteração utiliza-se um 
teodolito geodésico, ou reiterador. Os teodolitos topográficos são repetidores, não podendo ser utiliza-
dos para a medição de um ângulo pelo processo da reiteração. 
 
LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO 
Por levantamento Planimétrico se entende como sendo o conjunto de operações que tem por objeto a 
determinação da posição relativa de feições naturais ou artificiais na superfície terrestre destinada à 
determinação da projeção horizontal. Nos levantamentos planimétricos pode-se considerar duas fases 
distintas. A inicial é constituída pelos trabalhos de campo. A outra é formada pelos trabalhos de escri-
tório incluindo entre outras operações o planejamento do trabalho a realizar, os cálculos, plantas e a 
elaboração de relatórios. Na fase dos trabalhos de campo, nos levantamentos planimétricos, deve-se 
considerar o instrumental a ser utilizado no levantamento, os métodos existentes de levantamento e o 
problema da orientação do trabalho. 
Os levantamentos planimétricos, de um modo geral, têm por objetivo: 
a) determinar a situação de determinados detalhes na configuração do terreno; e b) a sinalização ou a 
locação de pontos ou de distâncias e azimutes de alinhamentos dados, que haverão de servir de base 
para o projeto de certas obras. 
Pode ser que um mesmo levantamento Planimétrico satisfaça aos dois objetivos anteriores. 
São em número de três os métodos usados para o levantamento planimétrico de um polígono topográ-
fico. O mais preciso deles é o método do caminhamento perimétrico. Têm-se, ainda, dois métodos 
auxiliares: método das coordenadas polares ou irradiação e método das coordenadas bipolares ou in-
tersecção. 
Método do caminhamento perimétrico 
O método do caminhamento perimétrico consiste em percorrer o polígono efetuando-se a medida de 
cada um dos lados, e dos ângulos horizontais em cada um dos vértices. Os ângulos horizontais podem 
ser medidos pelos processos das deflexões ou ângulos internos, sendo mais 
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comum o processo dos ângulos internos. Mede-se, ainda, a orientação de um dos lados do polígono. 
Costuma-se percorrer a poligonal no sentido anti-horário. 
Quanto à forma as poligonais podem ser classificadas em: (a) poligonais fechadas, que iniciam e fina-
lizam nos mesmos pontos. Estas poligonais são controladas com erro angular e linear, podendo ter as 
coordenadas dos vértices ajustadas; (b) poligonais apoiadas ou fechadas em bases diferentes, partem 
de pontos com coordenadas conhecidas e chegam em pontos com coordenadas também conhecidas; e 
(c) poligonais abertas, aquelas que partem de pontos conhecidos por suas coordenadas e terminam em 
pontos de coordenadas não conhecidas. 
 Ainda, quanto à precisão, as poligonais são classificadas como principais ou secundárias. A 
poligonal principal é a que constitui o arcabouço do levantamento, geralmente posicionada nos limites 
da área a ser levantada. A poligonal secundária são poligonais apoiadas ou que se desenvolvem entre 
dois vértices da poligonal principal. 
 É o método de levantamento de poligonais mais utilizados na prática, por ser o mais preciso. 
Quando a poligonal é eletrônica, ou seja, a medição das distâncias é feita pelo distanciômetro eletrôni-
co, a precisão do levantamento aumenta consideravelmente. 
 
• É o método planimétrico mais utilizado na 
prática. 
• Aplicado principalmente para áreas relativa-
mente grandes e acidentadas. 
• O operador deve caminhar sobre as linhas das 
divisas, instalando o aparelho nos pontos 
• que melhor definam os detalhes planimétricos, 
para medir as distâncias e os ângulos formados pelas linhas de divisa. 
• É um método trabalhoso mas muito bom quanto à precisão das medidas. 
 
Procedimentos de campo 
Para realizar um caminhamento perimétrico com medição dos ângulos internos, deve-se orientar o 
caminhamento da poligonal no sentido contrário à graduação do limbo, a fim de se ter a leitura direta 
dos ângulos. 
A medida dos ângulos, geralmente é feita pelo método do ângulo duplo ou da reiteração, sempre no 
sentido horário. 
A medida das distâncias é normalmente feita de forma direta, com a trena, ou então com distanciôme-
tro eletrônico. 
É necessário, ainda, orientar um dos alinhamentos da poligonal. Orientar um alinhamento é assegurar 
sua posição em respeito a alguma direção inicial. As linhas que representam a direção inicial em topo-
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grafia são as linhas do meridiano verdadeiro e do meridiano magnético, assim como a imagem de um 
meridiano central de um fuso. 
Um meridiano verdadeiro é a linha traçada sobre a superfície da Terra por um plano passando ao longo 
de um ponto dado e o eixo de rotação da Terra. Um meridiano magnético é dado por um plano vertical 
através dos pólos da agulha magnética em um ponto dado. 
Um meridiano central é o que passa através do meio do fuso. A linha do meridiano verdadeiro é esta-
belecida a partir de observações astronômicas. Alternativamente pode ser encontrada fazendo-se uso 
de teodolitos giroscópios, desde que se conheçam suas constantes de calibração. 
A linha do meridiano magnético é estabelecida pelo eixo da agulha de uma bússola. 
 Os meridianos verdadeiro e magnético em um mesmo ponto da superfície terrestre dificil-
mente coincidem, e formam entre si um ângulo denominado de declinação magnética. 
A declinação magnética será negativa se o meridiano magnético deflete a oeste do verdadeiro e será 
positiva em caso contrário. 
 Para que um trabalho fique orientado, torna-se necessário determinar o azimute de um ali-
nhamento.O azimute pode ser medido em relação ao meridiano verdadeiro ou magnético, devendo ser 
acrescido esses termos à palavra azimute. Assim, pode-se ter azimute verdadeiro ou azimute magnéti-
co. 
 
Observações gerais sobre a apresentação dos trabalhos práticos 
Exemplo: Levantamento Planimétrico de uma poligonal pelo Método do Caminhamento 
Perimétrico 
Entregar a planilha com os dados originais de campo. 
• Apresentar o croqui com o trabalho executado em campo. 
• O desenvolvimento de todos o cálculos (de áreas, azimutes, compensações angulares e linea-
res, erros de fechamento atingidos e toleráveis, ...) devem ser apresentados em papel separado 
dos dados originais de campo e do desenho da planta. 
• Indicar (calcular) o fechamento angular e devidas compensações (quando existentes). 
• Os valores angulares e lineares dos dados presentes nas planilhas (de campo e/ou calculados) 
devem coincidir com o valores apontados na planta e/ou legenda. 
• Usar letras minúsculas (x,y) para projeções e maiúsculas para coordenadas (X,Y). 
• Os valores angulares a serem usados nos cálculos e nos desenhos (plantas) devem ser valores 
médios (por exemplo: 2á/2, quando da utilização do método do duplo-ângulo). Utilizar valores 
compensados, quando estes forem calculados. 
• Especificar se o NORTE utilizado foi o magnético (Nm) ou geográfico (Ng). 
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• O Norte aponta preferencialmente para a parte superior da folha, devendo estar próximo ao 
desenho pois facilita a orientação e posicionamento do mesmo em relação à direção N-S. Deve 
ser tão bem desenhado quanto o resto da figura, pois é de fundamental importância. 
• O desenho deve estar coerente com a direção ao qual é referenciado (Norte). 
• Os valores angulares são colocados diretamente no desenho, a não ser que prejudiquem a 
compreensão ou a estética do mesmo e, neste caso, devem ser identificados por meio de algu-
ma convenção. 
• Identificar os vértices usando alguma convenção especificada na legenda. 
• Colocar o comprimento dos lados da poligonal (ou prédio) diretamente na planta. 
• Centralizar os itens nos compartimentos do selo. 
• Colocar unidades (m, cm,...) nas escalas gráficas, as quais devem ser precisas e bem desenha-
das. 
• Homogeneizar o selo em termos de tamanho, separações, distribuição e tipos de letras. 
• A legenda se faz necessária sempre que se usar algum símbolo para designar uma característi-
ca na planta. 
• Atentar para precisão gramatical dos termos utilizados. (Ex.: Campus �¨ singular. Campi �¨ 
plural). 
• Os nomes dos responsáveis são escritos com letras normais, iguais às demais partes do selo. 
Assinaturas são colocadas em espaço próprio, permitindo relacioná-la ao respectivo nome do 
responsável. 
• Colocar os nomes dos integrantes do grupo em todo o material entregue (planilhas originais, 
plantas, cálculos, etc). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Roteiro de cálculo: 
 
a) Erro angular: 
Angulo lido = ângulo Duplo / 2 
O erro angular é determinado pela fórmula: 
EA =∑Ai – [(n-2) . 180°] 
Onde: 
EA = erro angular; 
∑Ai = somatório dos ângulos internos lidos; e 
n = número de vértices da poligonal. 
Neste caso: 
∑Ai LIDOS = 90º49’50” + 88º35’00” + 90º45’10” + 89º49’20” = 359º59’20” 
Portanto, o EA = 0°00’40” ou quarenta segundos 
O erro angular tolerável é dado pela fórmula: 
EAT = P. √ n 
Onde: 
EAT = erro angular tolerável; e 
P = precisão do instrumento. 
 
b) Distribuição do erro angular: 
Normalmente o erro angular é distribuído por vértice em quantidades iguais, embora a prática 
tem demonstrado que nas maiores distâncias os erros angulares são menores. 
Ai comp.=EA / n 
 
c) Ângulo compensado: 
O ângulo compensado é determinado pela adição ou subtração do erro no ângulo lido. 
O somatório do erro por vértice deverá ser igual ao erro total da poligonal. O sinal da correção deverá 
ser contrário ao do erro. 
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d) Azimutes: 
A partir do primeiro azimute, medido no campo, são calculados os azimutes dos demais alinhamentos. 
Azn = (Azn-1 + Aicompensado ) +180° 
Onde: 
Azn = azimute do alinhamento; 
Azn-1 = azimute do alinhamento anterior; e 
Ai = ângulo interno (compensado) do vértice comum aos dois alinhamentos. 
Se o caminhamento for à direita ou no sentido anti-horário, a fórmula fica: 
Azn =(Azn-1 + Ai ) ±180° , 
porém, se o caminhamento for à esquerda ou no sentido horário a Fórmula fica: 
Azn =(Azn-1 - Ai ) ±180°. 
Se Azn-1 + Ai < 180º, a fórmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai ) + 180°, 
porém, se Azn-1 + Ai > 180º, a fórmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai ) - 180°. 
Neste caso, 
AzBC = (AzAB + Ai) ± 180º = (313º12’50” + 88º35’10”) - 180º = 221º48’00” 
AzCD = (AzBC + Ai) ± 180º = (221º48’00” + 90º45’20”) - 180º = 132º33’20” 
AzDA = (AzCD + Ai) ± 180º = (132º33’20” + 89º49’30”) - 180º = 42º22’50” 
 
e) Projeções: 
As projeções são calculadas da seguinte forma: 
x = DH . sem Az 
y = DH . cos Az 
Onde: 
x = projeção no eixo x; 
y = projeção no eixo y; 
DH = distância horizontal do alinhamento; e 
Az = azimute do alinhamento. 
Neste caso: 
xAB = DHAB . sen AzAB = 65,62 . sen 313º12’50” = - 47,82 
yAB = DHAB . cos AzAB = 65,62 . cos 313º12’50” = 44,93 
xBC = DHBC . sen AzBC = 31,61 . sen 221º48’00” = - 21,07 
yBC = DHBC . cos AzBC = 31,61 . cos 221º48’00” = - 23,56 
xCD = DHCD . sen AzCD = 65,28 . sen 132º33’20” = 48,09 
yCD = DHCD . cos AzCD = 65,28 . cos 132º33’20” = - 44,15 
xDA = DHDA . sen AzDA = 31,00 . sen 42º22’50” = 20,90 
yDA = DHDA . cos AzDA = 31,00 . cos 42º22’50” = 22,90 
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f) Erro linear: 
O erro linear é determinado pela fórmula: 
EL = √(Dx)2 + (Dy)2 
Onde: 
EL = erro linear; 
Dx = somatório das projeções do eixo x; e 
Dy = somatório das projeções do eixo y. 
Neste caso, EL = 0,16 m 
O erro linear tolerável é dado pela fórmula: 
ELT = 0,8 . √ PERÍMETRO (km) 
Onde: 
ELT = erro linear tolerável. 
Neste caso, ELT = 0,35 m 
 
g) Correção das projeções: 
A correção do erro linear, nos eixos x e y, são dadas pela fórmula: 
Cx = Dx . DH / perímetro. 
Cy = Dy . DH / perímetro. 
Onde: 
Cx = correção da projeção no eixo x; 
Cy = correção da projeção no eixo y; 
DH = distância horizontal do alinhamento; 
Dx = somatório das projeções do eixo x; e 
Dy = somatório das projeções do eixo y. 
Atenção! O sinal da correção é contrário ao sinal do erro. 
 
Neste caso: 
CxAB = Dx . DHAB / PERÍMETRO = 0,10 . 65,62 / 193,51 @ 0,03 
CyAB = Dy . DHAB / PERÍMETRO = 0,12 . 65,62 / 193,51 @ 0,04 
CxBC = Dx . DHBC / PERÍMETRO = 0,10 . 31,61 / 193,51 @ 0,02 
CyBC = Dy . DHBC / PERÍMETRO = 0,12 . 31,61 / 193,51 @ 0,02 
CxCD = Dx . DHCD / PERÍMETRO = 0,10 . 65,28 / 193,51 @ 0,03 
CyCD = Dy . DHCD / PERÍMETRO = 0,12 . 65,28 / 193,51 @ 0,04 
CxDA = Dx . DHDA / PERÍMETRO = 0,10 . 31,00 / 193,51 @ 0,02 
CyDA = Dy . DHDA / PERÍMETRO = 0,12 . 31,00 / 193,51 @ 0,02 
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h) Projeções compensadas: 
A projeção compensada é calculada adicionando ou subtraindo o erro na projeção calculada: 
X’ = x + |Cx| 
Y’ = y + |Cy| 
Onde: 
X’ e Y’ = projeções compensadas nos eixos X e Y, respectivamente; 
X e y = projeções calculadas nos eixos X e Y, respectivamente; e 
Cx e Cy = correções das projeções nos eixos x e y, respectivamente (seus valores absolutos) 
Neste caso: 
X’AB = xAB ± ½CxAB ½= - 47,82 - 0,03 = - 47,85Y’AB = yAB ± ½CyAB ½= 44,93 - 0,04 = 44,89 
X’BC = xBC ± ½CxBC ½= - 21,07 - 0,02 = - 21,09 
Y’BC = yBC ± ½CyBC ½= - 23,56 - 0,02 = - 23,58 
X’CD = xCD ± ½CxCD ½= 48,09 - 0,03 = 48,06 
Y’CD = yCD ± ½CyCD ½= - 44,15 - 0,04 = - 44,19 
X’DA = xDA ± ½CxDA ½= 20,90 - 0,02 = 20,88 
Y’DA = yDA ± ½CyDA ½= 22,90 - 0,02 = 22,88 
Obs: Se a correção está correta, o somatório das projeções deverá ser igual a zero. 
 
i) Coordenadas dos vértices da poligonal de apoio: 
As coordenadas são calculadas por soma algébrica das projeções compensadas, partindo das coorde-
nadas do ponto inicial: 
Xn= Xn-1+X’ 
Yn= Yn-1+Y’ 
Onde: 
Xn= abcissa do ponto; 
Yn= Ordenada do ponto; 
Xn-1= abcissa do ponto anterior; 
Yn-1 = ordenada do ponto anterior; 
X’ = projeção compensada no eixo x; e 
Y’ = projeção compensada no eixo y. 
OBS: ponto conhecido é colocado na origem plano cartesiano. 
Neste caso: 
Vamos arbitrar que XA = 0,00 e YA = 0,00. 
XB = XA + X’AB = 0,00 + (- 47,85) = - 47,85 
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YB = YA + Y’AB = 0,00 + 44,89 = 44,89 
XC = XB + X’BC = - 47,85 + (- 21,09) = - 68,94 
YC = YB + Y’BC = 44,89 + (- 23,58) = 21,31 
XD = XC + X’CD = - 68,94 + 48,06 = - 20,88 
YD = YC + Y’CD = 21,31 + (- 44,19) = - 22,88 
 
j) Regra de Gauss para o cálculo da área da poligonal 
(considere N a abscissa e E a ordenada) = (x,y) = ( a,o) 
Obtemos a área da poligonal através da semi-soma algébrica 
dos produtos cruzados dessas coordenadas. Este processo para 
medida de área é o mais usado em função da precisão obtida. 
Obs: Considerar o sinal ao efetuar as operações. 
Podemos N pelo somatório de x ou ∑x, e E pelo somatório 
de y ou ∑y, onde a letra ∑(épsilon) significa somatório. 
Na matriz ao lado cada local na mesma esta representado pela 
convenção de linha e coluna. Na forma [2 x n] e, portanto o 
item N1 = a 11, onde 1 é a primeira linha e o segundo 1 a 
primeira coluna. Matriz é um arranjo de elementos em linhas 
e colunas. 
 
 
Neste caso: 
2S = {[(N1E2)+(N2E3)+(N3E4)+(N4E1)]-[(E1N2)+(E2N3)+(E3N4)+(E4N1)]} ou 
S = {[(N1E2)+(N2E3)+(N3E4)+(N4E1)]-[(E1N2)+(E2N3)+(E3N4)+(E4N1)]} / 2 
Fórmula geral da área de uma poligonal fechada qualquer: 
Onde tem valor da área é absoluto [A] = (X – Y) / 2 ou [A] = ( ∑X – ∑Y ) / 2 
 
 
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Planilha de campo 
ESTAÇÃO PV SIMPLES DUPLO DH(m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estação: local onde será instalado o aparelho; 
PV: ponto visado, pontos visados pelo aparelho (estação ou teodolito) 
O ângulo escrito em na coluna indicada com a palavra simples indica o zero do teodolito visto que o 
mesmo é medido no sentido horário. 
Duplo: refere-se ao método do ângulo duplo. 
DH: distância horizontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NOTAÇÃO CIENTIFICA 
Observe os números abaixo: 
• 600 000 
• 30 000 000 
• 500 000 000 000 000 
• 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 
• 0,0004 
• 0,00000001 
• 0,0000000000000006 
• 0,0000000000000000000000000000000000000000000000008 
A representação desses números na forma convencional torna-se difícil, em especial no quarto e oitavo 
exemplos. O principal fator de dificuldade é a quantidade de zeros extremamente alta para a velocida-
de normal de leitura dos números. 
Pode-se pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. 
Mas este pensamento é incorreto. Em áreas como a Física e a Química esses valores são freqüentes. 
Por exemplo, a maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 
000 000 metros, e a massa de um próton é aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 
gramas. 
Para valores como esses, a notação científica é mais compacta. Outra vantagem da notação científica é 
que ela sempre pode representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos. Por exem-
plo, a distância observável do universo, do modo que está escrito, sugere a precisão de 30 algarismos 
significativos. Mas isso não é verdade (seria coincidência demais 25 zeros seguidos numa aferição). 
História 
A primeira tentativa conhecida de representar números demasiadamente extensos foi empreendida 
pelo matemático e filósofo grego Arquimedes, e descrita em sua obra O Contador de Areia[1], no sé-
culo III a.C.. Ele desenvolveu um método de representação numérica para estimar quantos grãos de 
areia existiam no universo. O número estimado por ele foi de 1 · 1063 grãos. 
Foi através da notação científica que foi concebido o modelo de representação de números reais atra-
vés de ponto flutuante. Essa idéia foi proposta independentemente por Leonardo Torres y Quevedo 
(1914), Konrad Zuse (1936) e George Robert Stibitz (1939). A codificação em ponto flutuante dos 
computadores atuais é basicamente uma notação científica de base 2. 
A programação com o uso de números em notação científica consagrou uma representação sem núme-
ros subscritos. 1,785 · 105 e 2,36 · 10-14 são representados respectivamente por 1.785E5 e 2.36E-14 
(como a maioria das linguagens de programação são baseadas na língua inglesa, as vírgulas são substi-
tuídas por pontos). 
Descrição 
Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo: 
m · 10 e 
O número m é denominado mantissa e e a ordem de grandeza. 
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Notação científica padronizada 
A definição básica de notação científica permite uma infinidade de representações para cada valor. 
Mas a notação científica padronizada inclui uma restrição: a mantissa deve ser maior ou igual a 1 e 
menor que 10. Desse modo cada número é representado de uma única maneira. 
Como transformar 
Para transformar um número qualquer para a notação científica padronizada devemos deslocar a vírgu-
la obedecendo ao princípio de equilíbrio. 
Vejamos o exemplo abaixo: 
253 756,42 
A notação científica padronizada exige que a mantissa esteja entre 1 e 10. Nessa situação, o valor ade-
quado seria 2,5375642 (observe que a seqüência de algarismos é a mesma, somente foi alterada a po-
sição da vírgula). Para o expoente, vale o princípio de equilíbrio: "Cada casa decimal que diminui o 
valor da mantissa aumenta o expoente em uma unidade, e vice-versa". 
Nesse caso, o expoente é 5. 
Observe a transformação passo a passo: 
253 756,42 = 25 375,642 · 101 = 2 537,5642 · 102 = 253,75642 · 103 = 25,375642 · 104 = 2,5375642 · 
105 
Um outro exemplo, com valor menor que 1: 
0,0000000475 = 0,000000475 · 10-1 = 0,00000475 · 10-2 = 0,0000475 · 10-3 = 0,000475 · 10-4 = 
0,00475· 10-5 = 0,0475 · 10-6 = 0,475 · 10-7 = 4,75 · 10-8 
Desse modo, os exemplos acima ficarão: 
• 6 · 105 
• 3 · 107 
• 5 · 1014 
• 7 · 1033 
• 4 · 10-4 
• 1 · 10-8 
• 6 · 10-16 
• 8 · 10-49 
Operações 
Adição e subtração 
Para somar dois números em notação científica, é necessário que o expoente seja o mesmo. Ou seja, 
um dos valores deve ser transformado para que seu expoente seja igual ao do outro. A transformação 
segue o mesmo princípio de equilíbrio. O resultado possivelmente não estará na forma padronizada, 
sendo convertido posteriormente. 
Exemplos: 
4,2 · 107 + 3,5 · 105 = 4,2 · 107 + 0,035 · 107 = 4,235 · 107 
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6,32 · 109 - 6,25 · 109 = 0,07 · 109 (não padronizado) = 7 · 107 (padronizado) 
Multiplicação 
Multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não 
será padronizado, mas pode ser convertido: 
Exemplos: 
(6,5 · 108) . (3,2 · 105) = (6,5 · 3,2) · 108+5 = 20,8 · 1013 (não padronizado) = 2,08 · 1014 (convertido 
para a notação padronizada) 
(4 · 106) · (1,6 · 10-15) = (4 · 1,6) · 106+(-15) = 6,4 · 10-9 (já padronizado sem necessidade de conversão) 
Divisão 
Dividimos as mantissas e subtraímos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será 
padronizado, mas pode ser convertido: 
Exemplos: 
(8 · 1017) / (2 · 109) = (8 /2) . 1017-9 = 4 · 108 (padronizado) 
(2,4 · 10-7) / (6,2 · 10-11) = (2,4 /6,2) · 10-7-(-11) ≈ 0,3871 · 104 (não padronizado) = 3,871 · 103 (padroni-
zado) 
Exponenciação 
A mantissa é elevada ao expoente externo e o expoente da base dez é multiplicado pelo expoente ex-
terno. 
(2 · 106)4 = (24) · 106 · 4 = 16 · 1024 = 1,6 · 1025 (padronizado) 
SINTAXES DAS CALCULADORAS CIENTÍFICAS 
1. As teclas 2ndF (second function), SHIFT, INV são teclas de mudanças de função, as duas 
primeiras são muito mais comuns que a última. 
2. A tecla DRG: D=DEG, R=RAD, G=GRADO; elas funcionam conforme vamos pressionando 
até surgir no visor a função correspondente. Então, usaremos a função DEG sempre nas opera-
ções. 
A inserção de números inteiros conj. Z1 são inserido mediante as teclas + (operador aritmético de so-
ma) ou – (operador aritmético de subtração) ou a tecla +/- 
Entrada de valores de grau, minutos e segundo(GMS): A grandeza angular: 1200 23´56” lê-se cento e 
vinte graus, vinte e três minutos e cinqüenta seis segundos – sistema sexagesimal. 
Pressionar a tecla a cada entrada, isto é: digitar 120 e pressioná-la, digitar 23 e pressioná-la 
novamente e assim por diante. Na máquina o valor será processado como 1200 23´56”. 
 
1
 Conjunto de números positivos e negativos. 
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A tecla �DEG têm a função de inversão de função sexagesimal em decimal. 
 A função DEG transforma a grandeza angular: 1200 23´56” em 120.2356, onde digitamos 
120 graus pressionamos a tecla de ponto ; os demais valores são respectivamente minuto e segundo. 
Na forma geral G.MMSS , mas nas calculadoras os segundo são fracionados em milésimos na seguinte 
forma geral: G.MMSSSS ou melhor uma grandeza de 1200 23´56,23” será 120.235623 
3. Para transformar a notação de 1200 15´46” em valor decimal: 
Digitamos120.1546 e pressionamos a tecla �DEG , onde 120/1+ 15/60 + 46/3600 no interior do pro-
cessamento os números inseridos será 120+0,25+0,0128= 120.26278; 
Então, a notação de 1200 15´46” em valor decimal é 120.26278 
4. Quando houver operação MATEMÁTICA: 
Usaremos operadores, igualdade e as teclas 2ndF e SHIFT, por exemplo:inserindo dados 120.1546 , 
pressionar �DEG; 
Pressionar os operadores aritméticos(soma, subtração,divisão, produto, etc); 
Inserindo os dados 120.2659 pressionar �DEG; 
Pressionar tecla de igualdade = 
Pressionar a teclas 2ndF ou SHIFT ou INV. 
Pressionar �DEG; Assim teremos o valor em sexagesimal para aquelas máquinas que não tem a tecla 
de GMS (grau,minuto e segundo) 
�IMPORTATE; A tecla ����DEG é diferente de DEG< , a primeira é utilizada nas operações na 
calculadora; e a outra ativa a função representada no visor pela letra D. na operações com ângulos 
deve estra sempre ativa. 
5. As teclas de ENG����,transforma as notações científicas em decimal. Exemplo: 2x10-4 
Com esta tecla ENG pressionada teremos 0, 0001 até surgir na tela ou visor o seguinte valor :0,0002 
00, os últimos números indicam a potência zero que significa um. E todo número elevado a zero é um. 
6. A tecla EXP: possibilita a inserção de uma potencia qualquer inclusive negativa, isto é, eleva 
qualquer valor a uma potência. 
Exemplo: 23x1056 , digite 23 e pressione EXP, aparece um espaço digite então 56 , pressione = temos 
2,3 57 = 2,3x1057 ; 
Se o valor for negativo pressionar +/- antes de digitar os dados: 2x10-12 ou no visor será nesta ordem: 
2 00 e depois de pressionado EXP: 2 -22; 
7. As teclas seno, cosseno e tangente(sin, cos, tan) 
Inserimos dados diretamente ou invertemos utilizando a teclas 2ndF ou SHIFT. 
���� DEG 
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Seno de 300 = 0,5 enquanto que o arc seno de 0,5 é 300 ,isto é, a partir do valor existente calculo o 
valor do ângulo. Se calculo o arco tg 1 = 450, portanto, digitando o número ou dado 1, pressionando a 
tecla shift, pressionando a tecla tan resulta em 450. Portanto, os arcos de sin, cos e tan temos valores 
decimais ou inteiros, enquanto para calcular sen, cos e tan diretamente de grandezas angulares na for-
ma GMS ou G.MS. 
 
8. Inserindo números inteiros (conjunto Z): quando operamos com números negativos a primeira 
parcela de qualquer operação exigem o uso da tecla ( - ) ou (+/-), deve ser utilizada antes da 
digitação do respectivo número na operação. 
Obs. Nas calculadoras Casio® e similares o uso da tecla (-) sem qualquer inconveniente. 
 
ALFABETO GREGO (simboliza os ângulos internos) 
(1) α (Alpha) (13) ν (Nu) 
(2) β (Beta) (14) ξ (Xi) 
(3) γ (Gamma) (15) ο (Omicron) 
(4) δ (Delta) (16) pi (Pi) 
(5) ε (Epsilon) (17) ρ (Rho) 
(6) ζ (Zeta) (18) σ (Sigma) 
(7) η (Eta) (19) τ (Tau) 
(8) ϑ (Theta) (20) υ (Upsilon) 
(9) ι (Iota) (21) ϕ (Phi) 
(10) κ (Kappa) (22) χ (Chi) 
(11) λ (Lambda) (23) ψ (Psi) 
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(12) µ (Mu) (24) ω (Omega) 
 
 
QUESTÕES DE AVALIAÇÃO 
1) Calcule mediante Gauss abaixo a área d o polígono correspondente: 
 
vértices PV x y 
1 2 0,00 0,00 
2 3 -9,20 -8,00 
3 4 -14,64 -12,75 
4 5 -27,91 -23,75 
5 6 -35,51 -29,45 
6 7 -30,17 -37,44 
7 8 -26,70 -34,96 
8 9 -13,82 -24,00 
9 10 3,58 -9,74 
10 1 6,38 -7,44 
 
 
Provas anteriores 
1. Desenhar no plano cartesiano as seguintes coordenadas: A (1,7); B (5,9); C (7,5); D (3,3). Calcule 
a área da poligonal, marcando no polígono os alinhamentos topográficos. Nos respectivos alinha-
mentos marcar graficamente os azimutes2. 
2. Efetue a conversão das medidas angulares: 
2.1 120º12’36” 
2.2 28º29’56” SW 
2.3 28’12” NW 
2.4 10º20’44” 
2.5 96º21’59” 
2.6 15º49’ NE 
3) Caracterize o alinhamento topográfico. 
4) A distinção de Rumo e Azimute 
5) Represente graficamente as conversões do item 2. 
 
2
 Seguir a teoria dos azimutes. Fazê-lo graficamente. 
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ALTIMETRIA 
Nivelamento 
Tipos de Nivelamento 
Geométrico 
Trigonométrico 
Barométrico 
1. Geométrico 
1.1 Definições 
1.2 Introdução 
1.3 Aplicações 
1.4 Nível Verdadeiro e Nível Aparente, Altitude e Cota 
1.5 Instrumental utilizado: 
1.5.1 Níveis 
1.5.2 Miras 
1.5.3 Sapatas 
1.5.4 Níveis de cantoneira 
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1.6 Nivelamento Geométrico Simples 
1.7 Nivelamento Geométrico Composto 
1.8 Técnica de Nivelamento Geométrico 
1.9 Técnica do Cálculo do Nivelamento Geométrico 
2.0 Resolução da Planilha 
2.1 Erro Tolerável 
2.2 Erro Cometido 
2.3 Correções 
2.4 Desenho de um perfil 
2.5 Anexos 
 
ALTIMETRIA: 
É a parte da Topometria que se ocupa com as determinações das Distâncias Verticais ou Diferenças de 
Nível. 
 
NIVELAMENTO: 
Chama-se genericamente de NIVELAMENTO, as operações que se executam em uma determinada 
região, nas quais colhem-se dados com o objetivo de se determinar à diferença de nível de pontos da 
superfície em relação a outros. 
 
Tipos de Nivelamento: 
1. GEOMÉTRICO: é o mais exato dos nivelamentos realizado através de visadas horizontais com um 
instrumento chamado Nível. 
2. TRIGONOMÉTRICO: realizado através de Teodolitos com visadas com qualquer inclinação. Mais 
rápido que o Geométrico, mas menos preciso. 
3. BAROMÉTRICO: Baseia-se na relação existente entre a pressão atmosférica e a altitude. Tem pou-
ca precisão. Há necessidade de se efetuar correções devido à Maré Barométrica. Dispensa visibilidade 
entre os pontos a nivelar. Utiliza-se aneróides para a determinação da pressão atmosférica no campo. 
 
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
Definição: 
Neste tipo de nivelamento os dados são colhidos através de viradas horizontais. Consiste,portanto, em 
criar um plano horizontal e determinar as interseções deste plano com uma série de verticais levanta-
das nos pontos a nivelar e em seguida obter a distância vertical destes pontos ao plano de referência. 
 
 
 
Aplicação: 
Em estradas ao longo do eixo longitudinal; 
Em terraplanagem; 
Em lavouras de arroz e terraceamento; 
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Em barragens. 
Vertical 
 
 
 
NÍVEL VERDADEIRO, NÍVEL APARENTE, ALTITUDE E COTA. 
 
Quando as distâncias verticais são referidas à superfície média dos mares (NÍVEL VERDADEIRO) 
são chamadas de ALTITUDES. Se forem referidas à superfície de nível arbitrária, acima ou abaixo do 
N.M.M, são chamadas de COTAS.(NÍVEL APARENTE) 
 
 
INSTRUMENTAL UTILIZADO: 
 
a) NÍVEL – é um instrumento utilizado para a determinação de superfícies horizontais. 
Principais Componentes 
- Barra Horizontal 
- Luneta 
- Ocular com fios do retículo e estadimédicos 
- Nível de bolha (circular, tubular e bolha bipartida). 
- Parafuso micrométrico e de focalização 
- Suporte com 3 ou 4 parafusos calantes 
- 3 eixos: rotação, ótica (da luneta) e do nível da bolha ou tangente ao mesmo. 
 
b) MIRA – são réguas graduadas que são colocadas verticalmente nos pontos a nivelar e nas quais se 
mede o ponto de intersecção do plano horizontal traçado pelo nível. Sua menor graduação é o cm, 
numeradas de dm em dm e os metros são indicados por pontos. Podem ser extensíveis ou dobráveis. 
Um nível de cantoneira ou um nível de bolha junto à mesma facilita sua verticalidade. Podem ser ex-
tensíveis ou dobráveis.(ver página 46) 
 
Sempre se lê 4 dígitos : metro, decímetro, centímetro e milímetro 
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m , dm cm mm 
 
Decímetro �¨ pelo número impresso 
 
Lê-se: três mil, seiscentos e sessenta e sete; 
Ou: três, ponto, seis, seis, sete. 
Obs : coloca-se a mira sobre o piquete 
 
 
 
Figura 2.12 
 
 
Se observarmos um teodolito ou nível, através da ocular, veremos uma série de fios paralelos e per-
pendiculares entre si, como pode ser visto na Fig. 2.12. 
 
 
As miras são réguas de madeira ou metal usadas no nivelamento para determinação de distâncias ver-
ticais, medidas entre a projeção do traço do retículo horizontal da luneta na mira e o ponto do terreno 
onde a mira está instalada. 
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As miras mais utilizadas são as “miras falantes”. Apresentam geralmente o comprimento de 4 metros, 
sendo graduadas em centímetros. Os centímetros são pintados alternada-mente em preto e branco, os decímetros numerados em preto e os metros 
assinalados por círculos pintados em preto ou vermelho. 
As miras normalmente são de encaixe. São constituídas de três peças, en-
caixadas a primeira dentro da segunda e esta na terceira. Um dispositivo 
com mola fixa uma peça na outra quando a mira está completamente dis-
tendida, de maneira que a graduação de uma seja a continuação de outra. 
Existem miras com graduação direta e graduação indireta, para leitura com 
instrumentos de luneta de imagem direta ou indireta, respectivamente. 
Algumas miras vem acompanhadas de nível esférico, que auxiliam na tarefa 
de mantê-las verticalizadas (Fig. 2.13). 
 
A leitura na mira é constituída de um número de quatro casas decimais 
(metro, decímetro, centímetro e milímetro por estimativa). O ponto indica o 
número de metros; o algarismo o número de decímetros; o traço preto e 
branco alternados, o número de centímetros e o número de milímetros são 
estimados. 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2.13 
 
 
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO SIMPLES 
 
Através de uma única estação do instrumento se determina as DN dos pontos a nivelar. Se o instru-
mento ficar eqüidistante dos extremos então evitará os erros de curvatura terrestre e refração atmosfé-
rica pelo fato da anulação. A distância ideal na prática é de no máximo 50m para cada lado. 
 
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO: 
 
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Devido aos desníveis acentuados e extensão dos pontos a nivelar, se torna necessário estacionar o apa-
relho em mais de uma posição, para se nivelar o local em estudo. Então se decompõe o trecho a nivelar 
em trechos menores e realiza-se uma sucessão de nivelamento geométrico simples. 
 
TÉCNICA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO: 
 
O nivelamento geométrico pode ser realizado ao longo de uma poligonal fechada ou ao longo de uma 
poligonal aberta como, por exemplo, na seqüência do eixo de uma estrada. Geralmente nivela-se pon-
tos a cada 20m e também pontos entre os 20 metros desde que tenham importância na configuração do 
terreno. 
Nas poligonais fechadas começamos o nivelamento pelo ponto inicial e terminamos pelo mesmo ponto 
inicial. Em poligonais abertas começa-se o nivelamento pelo ponto inicial, nivela-se até o ponto final e 
retorna-se ao ponto inicial, seja nivelando todos os pontos (RENIVELAMENTO), seja nivelando ape-
nas alguns pontos (CONTRA – NIVELAMENTO). 
 
TÉCNICA DO CÁLCULO DO NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 
Para se calcular as cotas ou altitudes dos pontos a nivelar é necessário conhecer-se a cota ou altitude 
do ponto inicial (por exemplo, ponto A). Então a cota de A será conhecida ou arbitrada e o ponto A 
passa a chamar-se de RN, ou seja, Referência de Nível. A=RN 
 
Precisa-se agora determinar o APV, altura do plano de visada, que seria a cota ou altitude do plano 
criado pelo instrumento. O APV pode ser chamado de Altura do instrumento (Ai). 
 
APV = CRN + Leitura de Ré RN �¨ APV = CA + Leitura de Ré A 
Leitura de Ré – é uma leitura feita a um ponto cuja cota ou altitude é conhecida. No 
caso, já conhecemos a cota de A. 
 
Para calcular a cota dos demais pontos usamos a seguinte fórmula: 
Cota B = APVI – Leitura de VanteB �¨ CB = APVI – VB 
 
Leitura de Vante – é uma leitura a um ponto de cota ou altitude desconhecida 
Cota C = APVI – VC; Cota D = APVI – VD 
 
Da estação I somente foi possível ler-se até o ponto D. É necessário mudar a estação para a posição II. 
Uma vez instalado o aparelho na estação II, então a primeira atitude que se toma é determinar a nova 
altura do plano de visada, APVII, fazendo-se uma visada de é no ponto D. 
 
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APVII = CD + Ré D 
Leitura Vante de Mudança - é uma leitura feita a um ponto que de uma estação é leitura de Vante e da 
estação seguinte será feita uma leitura de Ré neste mesmo ponto, exemplo: ponto “D”. 
 
CE = APVII – VE 
CF = APVII – VF 
CG = APVII – VG 
 
CÁLCULO DA PLANILHA DE UM NIVELAMENTO GEOMÉTRICO3: 
Dados de Campo (nivelamento de ida) 
 
Contra-nivelamento 
 
Obs.: Distância entre os piquetes é de 20m. 
Fórmulas: 
APV ou Ai = CRN + Ré RN 
Cota ponto = APV – Vante ponto ou Cota ponto = Ai – Vante ponto 
Cota A= 50,000 m 
 
 
Efetuando os cálculos: 
APVI = CA + Ré A = 50,000 + 1,820 = 51,820 
CB = APVI - VB = 51,820 – 3,725 = 48,095 
CC = APVI - VC = 51,820 – 3,749 = 48,071 
APVII = CC + Ré C = 48,071 + 0,833 = 48,904 
 
3
 ver esquema gráfico página 51. 
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CD = APVII - VD = 48,904 – 2,501 = 46,403 
CE = APVII - VE = 48,904 – 2,034 = 46,870 
CF = APV II - VF = 48,904 – 3,686 = 45,218 
CG = APVII - VG = 48,904 – 3,990 = 44,914 
APVIII = CG + Ré G = 44,914 + 3,458 = 48,372 
CC = APVIII – VC = 48,372 – 0,301 = 48,071 
APVIV = CC + RéC = 48,071 + 2,867 = 50,938 
CA = APVIV – VA = 50,938 – 0,934 = 50,004 
 
VERIFICAÇÃO DOS CÁLCULOS: 
É utilizada para se verificar se não houve erros na efetuação dos cálculos, usa-se a seguinte fórmula: 
∑rés - ∑Vmud = Cota final – Cota inicial 
8,978 – 8,974 = 50,004 – 50,000 
0,004 = 0,004 
Conclui-se que não houve erro de cálculo. 
 
ERRO TOLERÁVEL 
E.T. = 3 a 10mm/km E.T. = 10mm�SPerímetro (Km) 
No exemplo: Erro cometido: 0,004m ou 4mm. 
E.T.: 10mm x √0,24 = 4,8 mm. 
 
Observe que o perímetro trata-se da ida e volta. Conclui-se que o erro foi admissível. 
 
CORREÇÕES: 
Verifica-se o número de estações ou o número de Rés. É uma relação entre o número de estações e o 
número total de estações. No exemplo são 4. Assim, no numerador é o número da estação e denomi-
nador o número total da estação. 
Para a 1°estação: ¼ erro = ¼ x 0,004 = 0,001 
Para a 2°estação: 2/4 erro = 2/4 x 0,004 = 0,002 
Para a 3°estação: ¾ erro = ¾ x 0,004 = 0,003 
Para a 4°estação: 4/4erro = 4/4 x 0,004 = 0,004 
 
COTA CORRIGIDA 
Cota corrigida: Cota – (± correção) 
 
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Observe: No gráfico anterior os eixos das abscissas(x) serão inscritas as cotas corrigidas, enquanto no 
eixo das ordenadas(y) serão inscritas os intervalos entre as cotas em escalas distintas. 
 
 
 
 
 
 
 
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PLANILHA ALTIMÉTRICA 
 
Leituras (m) Cotas 
Est. PN 
Ré 
Vante In-
term. 
Vante Mud. 
Ai(m) Cotas (m) Correção 
Corrigidas 
 
1 
 
 
2 
 
 
 
3 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROVAS ANTERIORES 
 
1) Calcule o nivelamento Abaixo, sabendo-se que: 
• A distância entre pontos nivelados é de 20 metros, calcule a declividade do segmento AG eo de-
senho do perfil na escala 
Est. PN Leituras (m) APV(m) Cotas (m) Correção (m) Cotas 
 Ré Vante Interm. Vante Mud. Corrigidas (m) 
 A 1,820 150,000 
1 B 3,749 
 C 3,747 
 C 0,833 
2 D 2,501 
 E 2,034 
 F 3,688 
 G 3,990 
3 G 3,454 
 C 0,301 
4 C 2,867 
 A 0,932