ATPS Pesquisa Operacional (P)

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Faculdade Anhanguera de Caxias do Sul – RS
Curso de Administração - 8º semestre
Pesquisa Operacional
Trabalho referente à disciplina de Pesquisa Operacional, ministrada pela Prof.ª Me Ivonete Melo de Carvalho, e pelo tutor de ensino à distância (EAD) Guilherme Rossi.
Atividade Pratica Supervisionada 
de Pesquisa Operacional
SUMÁRIO
1. – INTRODUÇÃO........................................................................................................05
2. – PROGRAMAÇÃO LINEAR...................................................................................06
	2.1. – Formulação do Problema...........................................................................06
	2.2. – Modelagens de Problemas de Alocação de Recursos................................07
3. – CONSTRUÇÃO DO MODELO..............................................................................08
4. – SOLUÇÃO DO MODELO......................................................................................09
5. – VALIDAÇÃO DO MODELO.................................................................................10
6. – IMPLEMATAÇÃO DA SOLUÇÃO.......................................................................10
7. – AVALIAÇÃO FINAL..............................................................................................11
8. – FORMULAÇÃO DO PROBLEMA.........................................................................12
	8.1. – Variáveis de Decisões................................................................................12
	8.2. – Função Objetivo.........................................................................................12
	8.3. – Restrições...................................................................................................12
9. – CONSIDERAÇÕES FINAIS...................................................................................16
10. – REFERÊNCIAS BIBLIGRÁFICAS......................................................................17
1- INTRODUÇÃO
Observaremos no desenvolvimento desta ATPS diversos contextos que irão nos mostrar o quanto é importante à maximização dos lucros viabilizando alocação de recursos limitados e maximizando os impactos nas tarefas da tomada de decisão.
Na primeira etapa veremos através da Programação Linear, a importância de se executar uma tarefa, como veremos nos exemplos abaixo, onde será feito o levantamento de quantos metros de madeira serão utilizados para a execução de um armário e de uma cadeira. Teremos algumas demonstrações de respectivos valores serão citados para calcularmos quanto seria gasto nos mesmo.
Na segunda etapa será feito um levantamento bibliográfico para observar qual será a melhor maneira de se construir um modelo matemático. Através de alguns estudos vimos que modelo matemático é uma representação ou interpretação simplificada de realidade, ou uma interpretação de um fragmento de um sistema, segundo uma estrutura de conceitos mentais ou experimentais. Baseado nisso dar-se o melhor modelo em questão.
A terceira etapa irá nos falar a respeito de variáveis de folga da matéria prima e mão de obra, onde observaremos detalhadamente; as variáveis, a mão de obra, a matéria prima, e os lucros. Também o tempo gasto para produção de cada uma dessas variáveis, cálculos para melhores detalhes, e gráficos para demonstração.
E a quarta etapa é um complemento da terceira etapa, que irá nos mostrar detalhadamente a resolução dos problemas citados na terceira etapa, para melhor compreensão dessa programação linear.
2. - PROGRAMAÇÃO LINEAR.
A definição de um problema de PL consiste em determinar valores não negativos para as variáveis de decisão, de forma que satisfaçam as restrições impostas e que otimizem (minimizem ou maximizem) uma função (real) linear dessas variáveis. 
É um ramo da Matemática que estuda formas de resolver problemas de optimização cujas condições podem ser expressas por inequações lineares, isto é inequações do primeiro grau. Um problema de programação linear que tenha só duas variáveis pode ser resolvido graficamente, representando as soluções de cada uma das inequações por um semiplano e em seguida procurando o ponto do polígono obtido que corresponde à solução ótima.
Num problema de programação linear com duas variáveis x e y o que se pretende é maximizar (ou minimizar) uma forma linear z = A x + B y (A e B são constantes reais não nulas). 
A forma linear traduz a função objetivo nas variáveis x e y. As variáveis x e y estão sujeitas a certas condições restritivas expressas por inequações lineares em x e y que traduzem as restrições do problema.
2.1. - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA.
Nesta face, deverá haver uma identificação dos elementos do problema que incluem variáveis controláveis, variáveis não controláveis, as restrições sobre as variáveis e os objetivos para definir uma boa solução. O papel do gestor é fundamental, pois é ele quem determina os limites de uma dada analise e o que é uma questão de juízo pessoal. 
Problema. 
Uma marcenaria deseja implementar uma programação diária de produção contendo em seu escopo apenas dois produtos distintos: Armário e Cadeira, ambos em um único modelo produtivo. Seus gestores sabem que, para fazer tal implementação, a mesma tem estas limitações: matéria-prima (madeira), que tem um consumo de 24 m2, e mão de obra, cuja disponibilidade é de oito horas. 
Assim, desenvolva o modelo mais adequado de produção.
O processo de produção é tal que, para fazer um armário, a fábrica gasta 17 m² de madeira e 4:30 hs de mão de obra, já para a fabricação da cadeira são gasto 6 m² de madeira e 3:25 hs de mão-de-obra. Além disso, o fabricante sabe que cada cadeira dá uma margem de contribuição para o lucro de R$ 80 e cada armário de R$ 120.
2.2 - MODELAGENS DE PROBLEMAS DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS.
Programação Linear é uma técnica de otimização bastante utilizada na resolução de problemas quantitativos que tenham seus modelos representados por expressões lineares, sendo elas equações e/ou inequações. Pela sua simplicidade e a possibilidade de aplicação em uma considerável diversidade de problemas, tornou-se um recurso bastante difundido.
Em um modelo de Programação Linear, existe uma combinação de variáveis, cujo objetivo é ser maximizada ou minimizada. Para essa combinação de variáveis de decisão chamaremos de Função Objetivo. Em todo modelo de Programação Linear, existem restrições, representadas por equações e/ou inequações, que indicam uma limitação na situação real, tal como, escassez de recursos, limitações de mercado, etc. Dado um modelo em PL, identificamos sempre um Parâmetro, que são valores fixos e independentes e também as Variáveis de Decisão, sendo elas que poderão assumir diversos valores, de forma a maximizar ou minimizar a função objetivo.
Os problemas de Programação Linear estão entre as aplicações mais bem-sucedidas comercialmente da Pesquisa Operacional; de fato, há considerável evidência de que eles estão entre as aplicações de ao estruturar problema sob a forma de um modelo matemático, o intuito é de nos ajudar no processo de decisão: que atividades empreender e quanto de cada uma, a fim de satisfazer um dado objetivo. Programação Linear é uma ferramenta de planejamento que nos ajuda a selecionar que atividades (variáveis de decisão) empreender, dado que essas alternativas (diversas alternativas) competem entre si pela utilização de recursos escassos (restrições) ou então precisam satisfazer certos requisitos mínimos. O objetivo será maximizar (minimizar) uma função das atividades, geralmente lucros (perdas). O problema resume-se na maximização (ou minimização) de uma função linear, a função objetiva, sujeita a restrições também lineares.
Restrições: 
Quantidade de mão de obra (horas) para a confecção dos dois móveis (armário e cadeira). 
Quantidade de matéria prima (m² de madeira) para a confecção dos dois móveis (armário e cadeira).3- CONSTRUÇÃO DO MODELO
O modelo mais apropriado para a representação do sistema deve ser escolhido com base na definição do problema. Esta é a fase que mais criatividade exige do analista, uma vez que a qualidade de todo o processo seguinte é consequência do grau de representação da realidade que o modelo venha a apresentar. 
Vários tipos de modelo podem ser utilizados para resolver problemas, desde um simples modelo conceitual que apenas representa a inter-relação entre as informações, até modelos matemáticos complexos que exigem uma força de trabalho muito grande para sua formulação e operação. 
Se o modelo elaborado tem a forma de um modelo padrão, como por exemplo, de Programação Linear, a solução pode ser obtida por métodos matemáticos convencionais. Por outro lado, se as relações matemáticas são muito complexas ou mesmo indefinidas, poderemos usar a técnica da simulação, e, em alguns casos, haverá necessidade de usarmos uma combinação de duas metodologias. 
Os modelos de maior interesse em Pesquisa Operacional são os modelos matemáticos, isto é, modelos formados por um conjunto de equações e inequações. 
Uma das equações do conjunto serve para medir a eficiência do sistema para cada solução proposta. É a função objetivo ou função de eficiência. As outras equações geralmente descrevem as limitações ou restrições técnicas do sistema. As variáveis que compõem as equações são de dois tipos: 
Variáveis controladas ou de decisão: são as variáveis cujos valores estão sob controle. Decidir, neste caso, é atribuir um particular valor a cada uma dessas variáveis. Numa programação de produção, por exemplo, a variável de decisão é a quantidade a ser produzida num período, o que compete ao administrador controlar;
Variáveis não controladas: são as variáveis cujos valores são arbitrados por sistemas fora do controle do administrador. Custos de produção, demanda de produtos, preço de mercado são variáveis não controladas. 
Um bom modelo é aquele que tem desempenho suficientemente próximo do desempenho da realidade e é de fácil experimentação. Essa proximidade desejada é variável, dependendo do objetivo proposto. Um bom modelo para um objetivo pode ser péssimo para outro. A fidelidade de um modelo é aumentada à medida que ele incorpora características da realidade, com a adição de novas variáveis. Isso aumenta sua complexidade, dificultando a experimentação, o que nos leva a considerar o fator custo-benefício quando pensamos em melhorar o desempenho de um modelo. 
As variáveis de decisão envolvidas no problema são:
x1: quantidade a produzir de armários
x2: quantidade a produzir de cadeiras
A função objetivo é:
Lucro: z = 120x1 + 80x2
Para as restrições, a relação lógica existente é:
Utilização de recurso = Disponibilidade
4- SOLUÇÃO DO MODELO.
Esta fase tem por objetivo encontrar uma solução para o modelo construído. 
No caso de modelos matemáticos, a solução é obtida pelo algoritmo mais adequado, em termos de rapidez de processamento e precisão da resposta. Isto exige do analista de Pesquisa Operacional um conhecimento profundo das principais técnicas. A solução obtida, neste caso, é dita “ótima”. 
Se modelos de simulação ou métodos heurísticos são utilizados, o conceito de “otimalidade” não é bem definido, e a solução obtida é uma avaliação aproximada das medidas do sistema ou do objetivo a ser atingido. 
5- VALIDAÇÃO DO MODELO.
 
Nessa altura do processo de solução do problema, é necessário verificar a validade do modelo. Um modelo é válido se, a despeito de sua inexatidão em representar o sistema, ele for capaz de fornecer uma previsão aceitável do comportamento do sistema e uma resposta que possa contribuir para a qualidade da decisão a ser tomada. 
Um método comum para testar a validade do sistema é analisar seu desempenho com dados passados do sistema e verificar se ele consegue reproduzir o comportamento que o sistema manifestou. 
É importante observar que este processo de validação não se aplica a sistemas inexistentes, ou seja, em projeto. Nesse caso, a validação é feita pela verificação da correspondência entre os resultados obtidos e algum comportamento esperado do novo sistema.
6- IMPLEMENTAÇÃO DA SOLUÇÃO.
Avaliadas as vantagens e a validade da solução obtida, esta deve ser convertida em regras operacionais. A implementação, por ser uma atividade que altera uma situação existente, é uma das etapas críticas do estudo. É conveniente que seja controlada pela equipe responsável, pois, eventualmente, os valores da nova solução, quando levados à prática, podem demonstrar a necessidade de correções nas relações funcionais do modelo, exigindo a reformulação do modelo em algumas de suas partes. 
A presença da equipe permite, também, superar mais facilmente as resistências e oposições às alterações propostas na sistemática das operações e que, normalmente, aparecem nessa fase do trabalho.
7- AVALIAÇÃO FINAL.
A avaliação dos resultados obtidos em qualquer etapa do processo é de fundamental importância, pois garantirá melhor adequação das decisões às necessidades do sistema e aceitação mais fácil dessas decisões por todos os setores envolvidos. 
Nesta avaliação, um fator que tem papel primordial é a experiência do pessoal envolvido no estudo. Não se deve esquecer que um modelo é apenas uma representação simplificada, não conseguindo por isso captar todas as características e nuanças da realidade. Assim, é com experiência e visão crítica que conseguimos avaliar e determinar a aplicabilidade da decisão.
Para que as empresas alcancem seus objetivos, elas devem se preocupar, obrigatoriamente, com as diversas restrições, tanto a nível interno como externo, sendo a mais importante, dentre as existentes, a política de formação de preços, a fim de programar a produção de seus produtos e atender com eficiência o mercado. Para que a empresa consiga atingir esse ponto ótimo ela tem que desenvolver seu próprio mecanismo de formação de custos, despesas, preços, remuneração do seu investimento, enfim obter um modelo ideal que vai desde a programação da produção até a colocação do produto no mercado. Para que a empresa possa cumprir sua missão, a organização depende dos resultados obtidos, assim, a otimização dos resultados disponíveis constitui um fator de extrema importância, principalmente se considerarmos o alto grau de competitividade como exigência do mercado atual.
A teoria da matemática preocupa-se em construir modelos matemáticos capazes de simular situações reais na empresa. Criação de modelos matemáticos volta-se principalmente para a resolução de problemas de tomada de decisão. É através do modelo que se fazem representações da realidade. Na Teoria Matemática, o modelo é usado geralmente como simulação de situações futuras e avaliação da probabilidade de sua ocorrência. Em síntese os modelos servem para representar simplificações da realidade. Sua vantagem reside nisto; manipular simuladamente as complexas e difíceis situações reais por meio da simplificação da realidade.
8. - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA.
Uma marcenaria produz dois modelos de certo produto, armário e cadeira, ambos de um só modelo. Para efeito de simplificação, vamos considerar que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-de-obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na tabela a seguir.
8.1- VARIÁVEIS DE DECISÃO:
Quantidade de madeira para a produção de um armário (x1) 
Quantidade de madeira para a produção de uma cadeira (x2) 
8.2- FUNÇÃO OBJETIVO:
Encontrar o programa de produção que maximiza a margem de contribuição total para o lucro, ou seja, maximizar a margem bruta total. (Z = 120 x1 + 80 x2)
8.3- RESTRIÇÕES:
Quantidade de mão de obra (horas) para a confecção dos dois móveis (armário e cadeira).
Quantidade de matéria prima (m² de madeira) para a confecção dos dois móveis (armário e cadeira). 
Variáveis
Mão de obra
Mat. prima
Lucro (R$)
�
X¹
1:45h
17m²R$ 120,00
X²
0:45h
6m²
R$ 80,00
�
2:30h
23 m²
O processo de produção é tal que, para fazer uma cadeira a fábrica gasta 6 m2 de madeira e 0:45 h de mão-de-obra. Para fazer um armário, a fábrica gasta 17 m2 de madeira e 1:45 h de mão de obra.
Além disso, o fabricante sabe que cada cadeira dá uma margem de contribuição para o lucro de R$ 80 e cada armário de R$ 120. Sendo assim o problema é encontrar o programa de produção que maximiza a margem de contribuição total para o lucro.
9.4- Montagem do modelo.
As variáveis de decisão envolvidas no problema são:
x1: quantidade a produzir de armários
x2: quantidade a produzir de cadeiras
A função objetivo é:
Lucro: z = 120x1 + 80x2
Para as restrições, a relação lógica existente é:
Utilização de recurso = Disponibilidade
Montagens do modelo:
As variáveis de decisão envolvidas no problema são:
x1: quantidade a produzir de armários
x2: quantidade a produzir de cadeira
A função objetivo : maximizar o lucro
Seja a função: Maxz = 120 x1 + 80x2
Sujeito a 8x1 + x2≤12
16x1 + 5x2 ≤30
x1, x2 ≥0
Maximizar: z= 120 x1 + 80x2
Sujeito a 8x1 + x2+X3 =12
16x1 + 5x2 +X4=30
x1, x2,x3,x4 ≥0
Isolando as variáveis de folga:
X3= 12-8x1-x2
X4= 30-16x1-5x2
X1,X2,X3,X4≥0
Fazendo VNB=0
Teremos:
X3=12
X4= 30
Z= 0
	A partir de agora temos o inicio de novos produtos na marcenaria que serão a mesa e gabinete para micro ondas e a utilização dos recursos também estão relacionadas as seguintes limitações: matéria-prima com um consumo de 8 m² e a mão de obra com uma disponibilidade de 8 (oito) horas. Desenvolveremos assim o modelo mais adequado de produção.
�
X¹
1:00h
3 m²
R$ 110,00
X²
1:30h
5 m²
R$ 90,00
�
 
2:30h
8 m²
9. - CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta ATPS foi muito importante para nosso aprendizado, pois podemos observar por etapa todo o processo de uma programação linear. Observamos que mesma é uma importante área da optimização por várias razões; é também uma programação matemática em que a função-objetivo e as restrições assumem características lineares, tendo diversas aplicações no controle gerencial, como por exemplo, a administração de produção, análise de investimentos, logística empresarial, problemas de transportes, em síntese, etc.
Através de todo esse contexto observamos que essa programação linear está em nosso dia-a-dia, ou seja, em tudo que fazemos. Como grande exemplo tivemos a simulação da quantidade de madeira que se gasta para fazer uma cadeira e um armário.
A princípio foi citado o tanto de madeira que seria gasto, depois se foi calculando passo-a passo o seu processo de produção; para melhor esclarecimento tivemos exposto em uma tabela separadamente para melhor entendermos a quantidade de cada um.
Não podemos deixar de citar o quanto foi importante à parte que nos mostrou de maneira mais detalhada as variáveis de folga, sabemos que é um processo um pouco complicado, porém possível de ser resolvido quando se tem atenção, para isso, é necessário que se tenha uma boa interpretação para que se resolva o problema.
Também para melhor compreensão observamos um gráfico que nos mostrou os resultados detalhados, e por fim resoluções de exercícios que serviram de complemento para nosso cotidiano.
10. - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa Operacional. 4. Ed. São Paulo: Pearson, 2009. PLT 401.
http://www.di.ubi.pt/~cbarrico/Disciplinas/InvestigacaoOperacional/Downloads/Capitulo2.pdf, acessado em 29 de outubro de 2014.