Construção e aplicação

Prévia do material em texto

PESQUISA 
OPERACIONAL
Sirnei César Kach
Construção e aplicação 
dos modelos matemáticos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Desenvolver um modelo matemático.
 � Avaliar as possibilidades do uso de um modelo matemático.
 � Ordenar as etapas de uma modelagem.
Introdução
Basicamente, são três os tipos de modelos matemáticos que a pesquisa 
operacional disponibiliza para análise e suporte na tomada de decisão 
sobre problemas: os físicos, entre os quais podemos destacar o de aero-
naves e das casas, principais referências para quem estuda esse conceito; 
os análogos, representados por relações que empregam os mapas rodo-
viários, obviamente traçando as rodovias em questão e definindo, com 
isso, determinadas rotas (p. ex., um marcador do tanque de gasolina ou 
outro ponto de apoio pode, por intermédio de uma escala circular, mostrar 
a quantidade de gasolina existente no tanque, o que terá alguma relação 
direta na demanda do trajeto previsto a ser seguido); e os simbólicos ou 
matemáticos, como na modelagem para alinhamento de decisões no 
nível gerencial, em que as grandezas são representadas por variáveis de 
decisão e as relações entre essas variáveis, por expressões matemáticas. 
Em todos os casos, a correta estruturação dos modelos obrigatoria-
mente exige dados e, sequencialmente, informações de base quantificada 
(LACHTERMACHER, 2016, p. 4).
Nesse sentido, vale ressaltar a importância de considerar que a res-
posta da ação sobre o problema tem uma relação direta com a adequação 
dos dados no desenvolvimento do modelo matemático levando em 
conta a correta análise dos dados, bem sua gestão e controle e das dife-
rentes possibilidades de aplicação dos modelos matemáticos, o que vai 
desde aquisições, controle de estoques até programação da produção 
e entregas. Assim, de forma adequada, o resultado aponta que todo 
alinhamento contribui para a assertividade dos planos de ação, ou seja, 
quanto mais meticulosas a análise e a organização dos dados, melhor o 
resultado. E isso complementa o conceito de otimização buscado por 
toda empresa, já que atuar de forma otimizada é sinônimo de eficiência, 
considerado uma regra fundamental para a saúde de um negócio. Já a 
adequação do modelo variará conforme o tipo de demanda e o perfil 
de processo em estudo, pois se estrutura com base nas informações do 
cenário em estudo. 
Neste capítulo, você conhecerá mais sobre o desenvolvimento de 
modelos matemáticos, suas formas de estruturação e aplicação, bem 
como os resultados esperados a partir deles, contexto do qual faz parte 
entender muito bem o cenário e quais as possibilidades de aplicação do 
modelo, pois deverá ter sua eficácia comprovada pela necessidade de 
estruturação, para, com isso, garantir seu resultado. Contudo, é importante 
a percepção das etapas de modelagem, compreendendo como se dá 
esse encaminhamento, ao observarmos sua estruturação fundamentada 
em base quantitativa de análise, estruturação e construção de soluções 
para processos em demanda. Assim, e com base nas características desse 
encaminhamento, tem-se a clareza da metodologia e da eficiência da 
modelagem aplicada como análise e solução de problemas. Por fim, 
desenvolverá a capacidade de fazer a análise inicial do problema, definirá 
o modelo matemático alinhando a estrutura que condicionará a melhor 
solução, algo relevante para o resultado sobre o problema em questão, 
e aplicará a sequência correta de estruturação do modelo matemático, 
garantindo sua padronização e eficácia.
1 Modelo matemático e sua estruturação
Além de seguir uma base de dados que traduz informações, desenvolver um 
modelo matemático é um processo construtivo de determinada confiabilidade, 
pois trata de informações quantitativas. É sabido que, na assertividade de 
ações, a base matemática sempre promove uma condição mais adequada e 
que garante a eficiência das decisões. E, sem dúvida, um bom planejamento 
constitui um diferencial no processo a fim de complementar a modelagem 
escolhida para resolução. Entre as verificações, a quantitativa possibilita 
assertividade, porém podemos transformar as informações qualitativas, 
no caso por atributos, em quantitativas, parametrizando essa identificação 
Construção e aplicação dos modelos matemáticos2
e, com isso, melhorando aquilo que, teoricamente, não é quantificado já na 
coleta. Criar essa condição melhorada do que o cenário mostra é fundamental 
para uma efetiva estruturação e aplicação da modelagem para um melhor 
encaminhamento de ações.
Conforme Arenales (2015), fazer ciência aplicada com segurança consiste na 
capacidade de observar e descrever fenômenos naturais, sociais e econômicos 
sobre determinados cenários e/ou necessidades de resolução, delineamento 
sobre o qual matemática terá uma importância fundamental, possibilitando 
uma garantia maior de assertividade nessa interpretação. A partir da obser-
vação de fenômenos, processos ou sistemas (físicos, químicos, biológicos ou 
econômicos), buscam-se métodos ou formas de geri-los ou coordená-los de 
maneira adequada, o que pode ocorrer pelo uso e pela definição adequada 
de ações por relações matemáticas que dão origem aos definidos modelos 
matemáticos, ou seja, entender o sistema em estudo e, a partir disso, descre-
ver a forma mais adequada de modelo matemático como base de auxílio na 
resolução daquilo que se necessita. 
Segundo Arenales (2015), a expressão “modelo” é usada como objeto 
abstrato, que procura imitar as principais características de um objeto real 
para representá-lo matematicamente, ou seja, além de criar essa represen-
tação, utiliza um conceito de alta relevância e efetividade: a matemática. 
A formulação de um modelo matemático para simplificações razoáveis do 
sistema ou problemas reais precisa ser considerada em diferentes níveis, cuja 
validação depende do fato de a solução do modelo matemático ser coerente 
com o contexto original, representando fielmente o que o cenário apresenta. 
Assim, o modelo matemático é uma representação simplificada ou abstrata 
do problema real, porém clara no que tange às informações para modelagem, 
devendo ser suficientemente detalhado, para identificar os principais elementos 
do problema e, ao mesmo tempo, simples, para que possa ser resolvido por 
métodos de resolução e programas de computador de que dispõem as pessoas 
envolvidas ou a empresa. 
A estruturação ou formulação de um modelo matemático, ainda conforme 
Arenales (2015), compreende a condição de transportar uma situação-problema 
em seus detalhes e comportamentos em um cenário real para uma metodologia 
com base matemática, na qual se determina, pela definição do perfil, como 
se organizam os dados e, por conseguinte, as informações, possibilitando 
verificar com base quantitativa aquilo que está ocorrendo na prática. Com essa 
opção de método, facilita-se o encaminhamento de uma solução, transferindo 
a informação do problema com aplicação e uso de simbologias-padrão e 
adequadas além das orientações básicas, estruturando a função matemática, 
3Construção e aplicação dos modelos matemáticos
embasada por variáveis de decisão que oferecerão o alinhamento final no 
processo de tomada de decisão. 
Na Figura 1, apresentamos a representação da abordagem de um problema 
e sua proposta de solução. Embora possa haver ajustes e complementações no 
decorrer do processo, dando condição de uma definição usamos como base 
a modelagem matemática.
Figura 1. Processo simplificado da abordagem e solução de um problema com modelo 
matemático.
Fonte: Adaptada de Arenales (2015).
Sistema ou problema real Modelo matemático
Conclusões do modelo
Conclusões reais ou
decisões
Avaliação/julgamento Dedução/análise
Formulação/modelagem
Interpretação/referência
Na estruturação do conceito de modelagem a partir de uma situação 
real, definem-se as variáveis e as relações matemáticas para descrever o 
comportamento relevante do sistema ou problema real emestudo (Arenales, 
2015). A dedução ou análise do cenário possibilita ou exige a aplicação de 
técnicas matemáticas e tecnologia da informação, promovendo um impor-
tante diferencial na verificação de resultados, com formas mais adequadas e 
fáceis de resolver o modelo matemático e visualizar as conclusões que sugere. 
A interpretação ou inferência sobre o estudo argumenta que as conclusões 
retiradas do modelo têm significado suficiente para inferir conclusões ou 
decisões para o problema real, dando amparo matemático e lógico para o não 
encaminhamento e controle das ações previstas. A avaliação ou julgamento 
sobre o cenário e as ações propostas em relação ao que se concluiu ou, ainda, 
a decisões inferidas mostra que elas não são adequadas e que a definição do 
problema e sua modelagem matemática precisam de revisão — aqui, o ciclo 
Construção e aplicação dos modelos matemáticos4
se repete. Nesse momento, entendemos a aplicação de um ciclo de revisão ou 
simplesmente melhoria contínua daquilo que inicialmente foi visto como um 
importante agregador para a ação prévia definida. Nesse sentido, podemos citar 
os modelos matemáticos, modelos de programação direcionados à otimização 
matemática [p. ex., programação linear (otimização linear), programação 
linear inteira (otimização discreta), programação em redes (otimização em 
redes) e programação não linear (otimização não linear)], além dos modelos 
de teoria de filas, para estudar a congestão em sistemas e determinar medidas 
de avaliação de desempenho e políticas ótimas de operação.
É muito importante sempre procurar realizar a análise de cenário com uma base 
quantitativa e uma coleta de dados rigorosa, seguindo um método-padrão, fatores 
fundamentais para a eficiência na decisão a ser tomada. Avaliar o problema, estudar 
os dados e agir com precisão são fundamentais para uma modelagem adequada e 
eficiente em termos de soluções aos problemas. Não há espaço para suposições quando 
se pretende utilizar a modelagem matemática como fator de suporte nas decisões.
Novamente considerando as percepções de Arenales (2015), a pesquisa 
operacional e a programação matemática tratam de problemas de decisão, 
utilizando modelos matemáticos que procuram representar graficamente o 
problema real. Variáveis definidas como incógnitas são definidas e relações 
matemáticas entre essas variáveis estabelecidas de modo a descrever o com-
portamento do sistema em verificação. Já o modelo é resolvido quando se 
determinam valores para as incógnitas, produzindo soluções, as quais, por sua 
vez, dependem de dados do problema. O passo seguinte consiste na validação 
do modelo, após verificar se as soluções obtidas pela resolução foram eficazes 
nas diferentes situações alternativas eventualmente relacionadas a problemas 
de demandas, custos, etc. A solução do modelo apoia o processo de tomada de 
decisões, mas, em geral, também devemos considerar diversos outros fatores 
pouco tangíveis, e não quantificáveis, para a decisão final, como soluções 
que não levem em conta que o comportamento humano pode falhar, pois os 
modelos não são tomadores de decisão, e sim apenas norteadores. Assim, 
cabe ao analista (humano) tomar a decisão, o que demonstra a importância 
de entender o cenário e a proposta do modelo.
5Construção e aplicação dos modelos matemáticos
A abordagem para resolução de um problema envolve várias fases baseadas 
no diagrama da Figura 1, que podemos determinar como (Figura 2): 
1. definição do problema; 
2. construção do modelo; 
3. solução do modelo;
4. validação do modelo; 
5. implementação da solução. 
Desse modo, a fase (1) define o escopo do problema em estudo, enquanto 
a fase (2) traduz a fase (3) em relações matemáticas ou lógicas de simulação, 
ou, ainda, uma combinação delas. A fase (3) utiliza métodos de solução e 
algoritmos conhecidos para resolver o modelo da fase (2). A fase (4) verifica se 
o modelo proposto representa de forma adequada o que o problema significa. 
A eficácia da solução depende da precisão com que esse modelo representa o 
problema, sua tradução com base em dados corretos. Um modelo mais preciso, 
mesmo que resolvido de forma aproximada, pode ser bem mais útil do que um 
modelo menos preciso, resolvido de maneira exata. Além disso, vale ressaltar 
a qualidade da solução do modelo, levando em conta a qualidade dos dados 
de entrada do modelo (garbage in, garbage out, ou seja, entra lixo, sai lixo). 
Por fim, a fase (5) trata especificamente da implementação da solução na 
prática, traduzindo os resultados do modelo em decisões (ARENALES, 2015).
Figura 2. Diagrama de uma modelagem matemática.
Fonte: Adaptada de Arenales (2015).
1 2
5
6
87
4
Itens �nais: 1, 2 e 3
Itens intermediários: 4, 5,
6, 7 e 8
3
Construção e aplicação dos modelos matemáticos6
O sistema de planejamento das necessidades de materiais (MRP, do inglês 
material requirement planning) é empregado pelo setor de planejamento e con-
trole de produção (PCP) para determinar quanto e quando produzir ou comprar 
componentes e matérias-primas para manufatura de itens finais. Na Figura 2 
(Arenales, 2015), está representada a árvore dos itens componentes 4, 5, 6, 7 e 8, 
usados para produzir os itens finais 1, 2 e 3. Essa estrutura do produto apresenta 
quatro níveis, em que o nível 1 corresponde aos itens finais 1, 2 e 3. Já o nível 
2 está associado aos componentes 4 e 5, o nível 3 ao componente 6 e, por fim, 
o nível 4 aos componentes 7 e 8. A lógica do MRP segue definida como fase I, 
na qual se suponha que a demanda externa dos itens finais seja conhecida ao 
longo de um horizonte de planejamento de T períodos, além do fato de que um 
lote de um item componente esteja disponível no mesmo período em que foi 
produzido ou encomendado. Calculam-se, então, os tamanhos dos lotes dos itens 
finais em cada período do horizonte de planejamento que promovem demandas 
internas dos itens componentes 4 e 5 do nível 2. Na sequência, calculam-se os 
tamanhos dos lotes dos componentes 6 no nível 3 e os tamanhos dos lotes dos 
itens componentes 7 e 8 no nível 4 em cada período. O cálculo dos tamanhos dos 
lotes de todos os itens ignora restrições de capacidade, como horas de trabalho 
e horas de máquinas disponíveis. 
Ainda segundo Arenales (2015), como principal referência nessa demanda, 
na fase II calcula-se a capacidade utilizada para a produção dos lotes de cada 
item e nos respectivos períodos. Se essa capacidade for maior que a capacidade 
disponível em um ou mais períodos, retorna-se à fase I e se alteram os planos 
de produção. Esse procedimento iterativo e interativo entre as duas fases pros-
segue até que se encontre uma solução que respeite a capacidade disponível. 
2 Análise de cenários com uso de modelos 
matemáticos para resolução de problemas
A análise de cenários constitui o primeiro passo para verificar o que realmente 
está ocorrendo e como se dará a ação sobre a demanda em questão. Coletar 
os dados e tratá-los já são partes muito efetivas sobre o que pode estar por vir 
em termos de ação eficaz, seja na otimização do processo, seja na resolução 
de um problema com impacto em perdas ou qualidade da operação. O modelo 
matemático complementa o processo dando suporte com base na análise feita, 
quando os dados analisados repassam uma ideia do contexto e, com isso, 
o modelo é adequado conforme as opções que a pesquisa operacional oferece. 
7Construção e aplicação dos modelos matemáticos
Assim, ao tomarmos a decisão observando características do modelo corre-
lacionando com os dados do problema, fazemos uma leitura que oportuniza 
a melhor ação em favor da otimização da situação em estudo.
Nos fundamentos da otimização e em relação à abrangência de suas apli-
cações, segundo Arenales (2015), um dos principais métodos de solução muito 
aplicado atualmente é o método simplex. Os modelos de otimização linear 
têm sido amplamente utilizados na prática. Muitas situações reais podem ser 
representadas por modelos lineares, que comumenterepresentam subproblemas 
de casos mais complexos. Mesmo considerando a proposição desses modelos 
há mais tempo, em 1947 se iniciou a demarcação da relevância em termos de 
uso e aplicações de sucesso na área da otimização, quando da publicação do 
método simplex. Nesse contexto, seguiram-se diversas e intensas pesquisas de 
novos métodos e implementações eficientes em situações demandantes. Ainda, 
com suas aplicações em diversas áreas, como agricultura, planejamento da 
produção industrial, logística, telecomunicações e finanças, deu-se respaldo à 
adequação de demandas e seus resultados, o que evidencia sucesso e garantia 
de seu conceito como algo responsável pela solução ou otimização de processos. 
Outro marco importante relacionado à otimização pela pesquisa operacional, 
mais precisamente em programação linear, também ocorreu em 1984, com a 
publicação do método então chamado de método de pontos interiores, que, 
como todo e qualquer novo sistema de controle e gestão, precisou de muitas 
evidências de sucesso, com comparativo de resultados e comprometimento de 
pessoas envolvidas com foco em otimização. Atualmente, os modelos do tipo 
simplex e do tipo pontos interiores são os principais métodos utilizados em 
ferramentas computacionais para a resolução de problemas de otimização linear.
É preciso se atentar para cenários em que se ocorre alguma variável a ser mensurada 
e apontada por conta de uma característica definida divergente, como parâmetro de 
qualidade. O mapeamento e o tratamento adequado dos dados destacam-se como 
fundamentais e relevantes para entender o problema, inclusive auxiliando na definição 
do modelo matemático mais adequado.
Construção e aplicação dos modelos matemáticos8
Segundo Goldbarg, Luna e Goldbarg (2015), a representação abstrata de 
elementos específicos do espaço em que está inserido é uma habilidade que 
o ser humano vem praticando há milhares de anos, buscando soluções com 
base de decisões confiáveis. Desde os primórdios, as civilizações usam essas 
habilidades para representar e compreender o mundo. Modelos matemáticos ou 
formas diversas de comunicar ideias, coordenar ações e antecipar problemas 
por meio de previsões quantitativas do que poderia surgir do meio ambiente 
foram essenciais para a preservação da espécie humana e dos demais seres 
existentes. Ao desenvolver a técnica e aplicá-la para isolar elementos da rea-
lidade e representá-los de forma particular e distinta do todo, o homem criou 
a modelagem, a qual, mesmo precisando de ajustes — como de fato ocorreu 
—, partiu de uma base fundamentada e com procedência de confiança para 
analisar diferentes situações e demandas de solução. Nesse sentido, a mode-
lagem passou a ser uma tarefa que comporta identificar componentes de uma 
dada realidade e, com isso, representá-los de forma facilitar um dado raciocínio 
ou comunicação, ou seja, particionar, detalhar e expor de maneira clara o 
problema acabam se tornando a primeira condição de adequar a realidade e 
entender daquilo que o modelo propõe fazer. Assim, ao criarmos uma base 
relacionada ao modelo matemático, promovemos inúmeras possibilidades de 
analisar e verificar o cenário.
Portanto, modelos são primordialmente elementos de simplificação e de 
comunicação (GOLDBARG; LUNA; GOLDBARG, 2015), pois suas carac-
terísticas também servem a outros objetivos, como aprendizagem, deduções, 
induções ou mesmo o simples desfrute do artefato construído. Dessa forma, 
o conceito de modelo passa a ser considerado uma forma de representação 
substitutiva da realidade e tem um significado sutilmente menor que o expresso 
no verbo “modelar”, o qual introduz a ideia da descoberta dos elementos 
fundamentais que possibilitam a simulação da realidade representada por 
ilustrações com diagramas, números ou outras formas, uma atividade conclu-
sivamente bem mais ampla que o resultado final do processo. Um modelo é 
considerado um veículo para uma visão estruturada da realidade, transferida 
de uma realidade abstrata para uma representação que pode ser numérica 
ou ilustrativa, condição mais adequada no que tange à representatividade e 
ao entendimento do que se deseja mostrar para aplicação na análise geral. 
Os modelos são ferramentas construídas pelo cérebro para entender o que 
9Construção e aplicação dos modelos matemáticos
está no mundo, inclusive o próprio cérebro. Lidar com modelos constitui uma 
atividade tão natural que pode independer, inclusive, da consciência sobre a 
dificuldade ou mesmo a complexidade do que se está fazendo, embora isso 
contribua de alguma forma para facilitar a interpretação do cenário ou do 
problema em questão.
Imagens, gráficos, diagramas, fluxos ou equações matemáticas conse-
guem representar elementos do mundo real muito mais complexos, todavia 
transmitindo informações suficientes para possibilitar alcançar conclusões 
decisivas sobre o comportamento de entidades reais. Obviamente, essa re-
presentatividade pode exigir algum conhecimento complementar no sentido 
da análise e da interpretação correta do que está representado, o momento 
de aplicar a pesquisa operacional com base no modelo quase definido como 
ferramenta de interpretação de uma realidade para representações de sua 
condição (GOLDBARG; LUNA; GOLDBARG, 2015).
De acordo com Goldbarg, Luna e Goldbarg (2015), alguns modelos são 
estruturados em vários níveis de complexidade, inclusive aqueles que for-
malizam o funcionamento do próprio modelo, mas sempre com o objetivo de 
organizar as informações. A geometria euclidiana é um modelo que satisfaz a 
um conjunto de axiomas, ou se, constitui um modelo de contexto axiomático, 
que vai desde as transformadas de Laplace e sua Mécanique Céleste até a teoria 
quântica e o átomo de Bohr. Certamente, existem modelos que não lidam com 
elementos concretos, mas que, no contexto epistemológico, por exemplo, estão 
aparelhados para representar tanto objetos concretos quanto imaginários. Em 
resumo, os modelos são. em geral, estruturas abstratas de construção cognitivas 
que visam a facilitar o raciocínio, as conclusões e a tomada de decisão inserida 
no conceito principal da pesquisa operacional. Assim, trazer um dado abstrato 
de sentido visual para uma representatividade, dando condição de análise, 
caracteriza uma transferência de cenários para embasamento e suporte para 
a adequada condição de tomar uma decisão e encaminhar uma solução por 
meios concretos e relevantes (de análise ou decisão).
Construção e aplicação dos modelos matemáticos10
 A atuação de quem busca entender a situação em estudo segue uma di-
nâmica correlacionada a conceitos de pesquisa científica. Seguir um padrão 
como necessidade básica de coerência e orientação torna-se fundamental, como 
mostrado na Figura 3, que apresenta uma sequência lógica de interpretação 
e definições que dão suporte a esse controle de verificação da evolução da 
análise de cenário em questão. 
Figura 3. Modelo circular da atividade científica na análise de cenários.
Fonte: Adaptada de Goldbarg, Luna e Goldbarg (2015).
Goldbarg, Luna e Goldbarg (2015) aponta ainda que o fluxo do particular 
para o geral, e do geral para o particular, é peculiar à atividade científica ilus-
trada para obter uma melhor percepção sobre a análise. Na condição dedutiva 
do que se estuda, o principal instrumento conceitual é a lógica, enquanto, na 
face indutiva, a ferramenta central é a probabilidade. Assim, criamos dois 
principais meios de decisão na correlação de conceitos: os qualitativos e os 
quantitativos.
No Quadro 1, podemos identificar uma correlação de diferentes percepções 
sobre modelos matemáticos como opção de fator suporte na tomada de decisão.
11Construção e aplicação dos modelos matemáticos
Fonte: Adaptado de Goldbarg; Luna e Goldbarg (2015).
Definição Complementação
Representação de uma 
entidade interpretada pelo 
cérebro humano empregando 
um sistema físico ou conceitual
Definição fundamental de modelo
Cada interpretação de 
um sistema formal criadoaxiomaticamente
Aspecto da transformação abstrata como 
interpretação necessária à configuração de 
um modelo
Modelos são representações 
simplificadas da realidade 
que preservam determinadas 
situações e definem enfoques 
relevantes
Modelar é uma atividade cognitiva de alto 
nível que busca alguma vantagem pela 
representação simplificada dos elementos 
e fenômenos que o cérebro lida. Assim, a 
atividade de modelagem procura o equilíbrio 
entre o benefício da simplificação e o ônus 
da redução do alcance da aplicação da 
representação realizada
Os modelos estão sempre 
“errados”, porém o cuidado 
de sua aplicação pode levar 
a objetivos efetivos sobre o 
que se espera em termos de 
suporte nas soluções
A representação abstrata visa a alcançar uma 
dada vantagem sobre a simples observação 
direta do fenômeno natural. Mesmo 
uma fotografia filtra certas informações e 
ressalta outras. A capacidade de substituir 
a realidade nos aspectos julgados mais 
importantes constitui a característica do 
modelo que o torna desejável. A capacidade 
de simplificação útil reside na chave da 
construção de modelos operacionalmente 
factíveis e viáveis, e não sua perfeita 
aderência à realidade
Quadro 1. Definição de modelo matemático sob diferentes percepções
São vários os critérios de medida da adequação ou aderência do modelo 
à realidade representada, a qual pode ser aperfeiçoada de forma interativa 
(GOLDBARG; LUNA; GOLDBARG, 2015). A verificação da representativi-
dade naquilo a que chamamos modelo constitui uma etapa indispensável em 
qualquer procedimento científico para coleta, análise e tomada de decisão. 
Como os modelos se afastam, obrigatoriamente, do fenômeno representado, 
validar um modelo é testar sua eficácia, criando uma capacidade de bem re-
Construção e aplicação dos modelos matemáticos12
presentar o que se propõe a representar, ou seja, transferir dados e informações 
de certa forma abstratas para uma condição visual representativa da situação. 
Sua eficiência reside na capacidade de dispor de uma construção e operação 
factível diante de restrições reais de uso de recursos, como tempo, espaço de 
memória ou número de variáveis envolvidas, complementando o processo de 
encaminhamentos, visando à otimização como um todo.
3 Sequência para estruturação de 
uma modelagem
No contexto da definição de um método para solução de problemas, já ficou 
claro que seguir determinada metodologia é fundamental para a assertividade 
das ações, contexto em que observar cenários e encaminhá-los da melhor 
maneira é, comprovadamente, base científica de estudo, contemplado pelo 
tratamento de dados e pela aplicação de um modelo conforme as caracterís-
ticas do problema e o esperado para otimizar seus resultados. Uma tomada de 
decisão acertada leva em conta benefícios sobre custos da ação e resultados 
melhores que impactam no desempenho e nas percepções externas sobre a 
otimização dos processos da empresa que emprega o modelo matemático na 
sustentabilidade da pesquisa operacional aplicada.
Segundo Lachtermacher (2016), no momento em que os gestores encontram 
situações em que uma decisão deve ser tomada entre uma série de alternativas 
conflitantes e concorrentes, duas opções básicas se apresentam: 
 � usar apenas a intuição gerencial;
 � realizar um processo de modelagem da situação e considerar diversas 
simulações dos mais diversos cenários de maneira a estudar mais profun-
damente o problema e criar uma condição assertiva para ações efetivas.
Até pouco tempo atrás, a primeira opção se constituía na única alternativa 
viável, visto que não existiam dados, informações sobre os problemas ou poder 
computacional para resolvê-los, pois os processos, de modo geral, tinham 
pouca ação gestora no sentido de controlar resultados por meio de dados (LA-
CHTERMACHER, 2016). Porém, com o aumento e a disponibilidade maior 
de acesso à tecnologia de informação, como bancos de dados mais robustos, 
esta deixou de ser a única opção para os tomadores de decisão. Um número 
cada vez maior de empresas e tomadores de decisão (senão a maioria) passou a 
optar pela segunda alternativa, isto é, pela elaboração de modelos para auxiliar 
13Construção e aplicação dos modelos matemáticos
esse processo utilizando a modelagem como principal referência de suporte 
à decisão. Nesse cenário, devemos ressaltar outros dois fatos relevantes para 
o processo de análise:
 � a quantidade de informações disponíveis cresceu exponencialmente 
nos últimos anos, sobretudo pela evolução da internet das coisas e da 
própria internet, o que nos levou a um momento totalmente novo, em que 
se torna impossível montar modelos pela grande quantidade de dados 
disponível. Assim, é importante separar as informações relevantes das 
irrelevantes, modelando a situação para que possamos analisá-la de 
forma sólida e efetiva em termos de variáveis e aporte para as decisões 
de forma assertiva;
 � muitos gerentes deixaram de utilizar sua intuição completamente, o que 
é bastante prejudicial para o processo de tomada de decisão, pois uma 
base de conhecimentos pode estar sendo desperdiçada, ou seja, embora 
tenhamos chegado a um momento que a base de dados é fundamental, 
a questão intuitiva complementa a matemática, principalmente em 
situações adversas.
A intuição gerencial se constrói com base em experiências vividas, nas quais um 
gestor, ao analisar determinado cenário, desde o momento em que busca os dados, 
verifica o comportamento do processo e tenta imaginar soluções, considerando todas 
as hipóteses. A partir da conclusão da análise quantitativa e qualitativa, ele poderá 
encaminhar decisões, pois estará levando em conta tanto o modelo quanto as “arestas”, 
muitas vezes percebidas pela experiência e pelas lições aprendidas anteriormente.
Na Figura 4 (GOLDBARG; LUNA; GOLDBARG, 2015), identificamos 
como se dá o fluxo das trocas de informações e verificações que darão carac-
terísticas específicas da estruturação do processo de construção do modelo 
matemático ideal para o caso em análise. Toda a organização das ideias e 
principais formas de resolução prossegue no fluxo e faz com que a organização, 
por si só, possibilite um bom encaminhamento, observando-se metodologi-
camente a sequência para uma solução sólida e coerente com base nos dados 
do processo ou do problema posto.
Construção e aplicação dos modelos matemáticos14
Figura 4. Fluxograma ideal para a construção do modelo matemático.
Fonte: Adaptada de Goldbarg, Luna e Goldbarg (2015).
Para Goldbarg, Luna e Goldbarg (2015), essa forma de representação nos 
mostra a percepção que o problema precisa propor para a garantia de uma 
verificação efetiva e confiável:
 � definição clara do problema com coleta de dados e análise das 
informações;
 � construção do modelo inicial (com base nas características e nas infor-
mações sobre o caso em estudo);
 � após essa conclusão, valida-se um modelo a ser utilizado. Aqui, validar 
refere-se a tomar uma decisão sobre qual modelo aplicar, e não neces-
sariamente que será eficaz na primeira aplicação;
 � realiza-se a simulação do modelo que foi validado;
 � se o resultado não for eficaz ou pretende-se desgastar mais o propósito 
de solução para o que o modelo é planejado, reformula-se o modelo;
 � após uma ou várias reformulações do modelo validado para o caso, 
ele é aplicado determinado como referência nesse caso em estudo 
especificamente.
15Construção e aplicação dos modelos matemáticos
Claramente, quando falamos de modelos matemáticos voltados à otimiza-
ção, utilizar modelos anteriores e de sucesso é algo necessário, inclusive para 
aplicar o conceito de otimização na própria análise de problemas e, com isso, 
ganhar produtividade no processo decisório sobre novas demandas.
Para complementar o conhecimento sobre conceitos introdutórios da pesquisa ope-
racional com as principais definições dos modelos matemáticos, além de sua correta 
forma de escolha, operação e aplicação, sugerimos que consulte a obra:
HILLIER, F.S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2021.
Padrões para construção de modelos
Apesar de não explorarmos técnicas subjetivas ou estéticas de construção 
de modelos matemáticos nesse contexto, reconhecemos que o estado da arte 
ainda não possibilita um algoritmo preciso, específico, autocontido e efi-
ciente. Objetivamente, sua finalidade principal consiste em solucionar os 
passos indispensáveis para o sucesso da modelagem de um sistema genérico 
e atingir resultados satisfatórios. De acordo com Ackoff e Sasieni (1971 apud 
GOLDBARG; LUNA; GOLDBARG, 2015, p. 15) poderão ser considerados 
cinco padrões de construção de modelos:
Padrão 1: quando a estrutura do sistema é suficientemente simples e evidente 
para ser compreendida por inspeção; assim, o modelo pode ser construído 
com facilidade, o que não significa que não impede que seja muito difícil ou 
até mesmo impossível avaliar as variáveis não controladas e diversos outros 
parâmetros, ainda considerando que o número de variáveis controladas pode 
também impossibilitar a solução prática do problema. 
Construção e aplicação dos modelos matemáticos16
Padrão 2: quando a estrutura do sistema é relativamente aparente, mas a 
representação simbólica não é vista dessa maneira. A busca de um sistema 
análogo à estrutura para esse caso já conhecido constitui uma boa opção. 
O sistema análogo poderá auxiliar na descoberta das propriedades do sistema 
em estudo. No modelo em que se aplicam os conceitos de máximos ou mínimos 
de uma função matemática, são pesquisados por meio de uma analogia que 
varia conforme cada situação estudada.
Padrão 3: quando a estrutura do sistema não é aparente, contudo, uma análise 
estatística dele pode atender ao desejado e indicar, por meio desses dados, sua 
real condição. Nesse caso, o sistema é considerado uma caixa-preta por meio da 
qual conhecemos, com segurança, as respostas para determinados estímulos.
Padrão 4: quando a estrutura do sistema não é aparente nem se pode isolar 
os efeitos das diversas variáveis por meio de uma análise estatística. Nessa 
hipótese, uma boa política consistirá no projeto de experimentos de modo a 
determinar variáveis e correlações relevantes e reduzir o caso ao Padrão 3.
Padrão 5: quando verificamos as situações do Padrão 4, as experimentações 
possíveis sobre o modelo são limitadas para o fim desejado. Será o fim da linha? 
Nesse caso, existem ainda os modelos de Conflitos e Jogos de Operações e, 
caso isso ainda não seja o suficiente, evocaremos a criatividade.
Para Fiani (2015), é relevante conhecer o conjunto de ações de cada in-
tegrante do processo, usando como exemplo o modelo dos jogos, no qual o 
jogador constitui um passo fundamental na análise de um processo de interação 
estratégica. Com efeito, as possibilidades de interação estratégica dependem 
de todas as ações relevantes disponíveis para os jogadores. Cada jogador 
considera não apenas todas as ações relevantes de que dispõe, mas também 
todas as ações relevantes disponíveis para os demais jogadores. Caso algum 
não considerasse alguma ação significativa para o desenvolvimento do jogo à 
sua disposição, ou à disposição dos demais jogadores, seria irracional, pois ele 
não estaria levando em conta todas as informações disponíveis antes de tomar 
sua decisão. Isso não significa que ele não possa descartar determinadas ações 
como inadequadas aos seus objetivos, dadas as possibilidades de resposta dos 
demais jogadores, visto sua função ser justamente essa. Dentro do jogo, em 
que as movimentações acontecem com base em informações ou necessida-
17Construção e aplicação dos modelos matemáticos
des, avaliar e decidir sobre o que fazer tornam-se relevantes e, sem dúvida, 
impactantes no cenário depois das ações tomadas e encaminhadas. Contudo, 
não basta apenas considerar as ações possíveis sobre o cenário, mas também 
entender o impacto delas sobre o processo, melhorando, assim, a condição de 
escolha: embasada em informações coerentes e fortes, a decisão certamente 
será mais assertiva, o mostra sua relação direta com o conceito de jogos, 
já que os jogadores tomam suas decisões ao mesmo tempo ou sucessivamente. 
Ainda segundo Fiani (2015), um bom exemplo é o caso dos bancos — 
a decisão a ser tomada torna-se mais difícil se cada banco precisa escolher o 
que fazer em relação ao seu empréstimo sem conhecer a decisão do outro, em 
comparação a se um deles tem a chance de decidir conhecendo a escolha do 
outro. Conhecendo a respeito da concorrência, sua decisão será mais asser-
tiva, pois esta passa de apenas aleatória para condição defensiva, superior à 
concorrência. Isso se chama ação proativa, que deve se dar sobre as tendências 
de ocorrência, principalmente quanto às falhas ou aos defeitos de modo geral.
Outro caso relevante nessa proposta para construção do modelo ideal ocorre 
quando uma empresa líder decide depois da concorrente com perfil inovador. 
Se a líder decide o preço de seu produto depois de saber que a inovadora efe-
tivamente lançou seu novo produto, disporá de mais informação no momento 
de decidir e, eventualmente, pode acabar obtendo uma situação melhor ao 
final do “jogo” do que se fosse obrigada a decidir ao mesmo tempo que a 
inovadora decide lançar seu produto (FIANI, 2015). Nesse tipo de situação, 
a líder precisaria escolher sua ação sem saber qual será a escolha da inovadora, 
apresentando, dessa forma, menos informação. Em resumo, podemos perceber 
que diferentes processos de interação sobre aquilo que estamos avaliando 
demandam diferentes representações, sempre com base nas diversas tomadas 
de decisão. O pretexto comparativo com jogos torna possível perceber como 
as peças se movimentam dentro do cenário em análise, já que o foco principal 
consiste em desenvolver um modelo matemático de forma clara, pelo menos 
com condição adequada de trazer aquela informação até então abstrata para 
uma condição de melhor percepção, constitui, sem dúvida, um diferencial 
relevante para entender melhor o que acontece e, com isso, gerar respaldo na 
tomada de decisões sobre o problema em questão.
Construção e aplicação dos modelos matemáticos18
Considere uma situação em que se deve desenvolver um modelo de otimização 
do processo de montagem, considerando o atendimento a demanda anual. Em um 
primeiro momento, pode-se questionar como elaborar um plano de produção que 
respeite as limitações da empresa e do mercado, promovendo, ainda, o melhor re-
sultado financeiro para a empresa e a satisfação do cliente. Para a fabricação do skid, 
são necessários dois recursos principais: mão de obra e fornecedor do processo de 
pintura, para os quais a empresa apresenta as limitações descritas no quadro a seguir.
Recursos Disponibilidade
Mão de obra (minutos) 2,880 minutos/dia
Fornecedor do processo de pintura 48 unidades pintadas por semana
Para se chegar à quantidade de tempo necessária de mão de obra, consideraram-se 
2 turnos de trabalho, com 3 funcionários trabalhando, com uma carga horária diária 
de 480 minutos cada turno. As quantidades necessárias de tempo em cada um dos 
processos para montagem do skid estão representadas a seguir.
Etapa Quantidade de funcionários Tempo
Soldagem 1 60 minutos por conjunto
Calibração 2 3 minutos por conjunto
Pintura Fornecedor externo 100 minutos por conjunto
Para encontrar o lucro do produto, a empresa forneceu três dados importantes. 
O custo médio para soldar e calibrar um skid (R$ 70,00), o número de funcionários 
envolvidos diretamente nos processos de soldagem e calibração (3 por turno), além 
do fato de que todo o transporte no processo de pintura é feito pela própria empresa. 
Desse modo, com base na demanda anual de 2.000 skid, foi possível calcular o lucro, 
estimando os salários dos funcionários, o custo da pintura e o gasto com transporte, 
conforme os seguintes quadros.
19Construção e aplicação dos modelos matemáticos
Compo-
nente
Quan-
tidade
Valor 
unitário 
(r$)
Custo 
mensal(R$)
Unidade 
por mês
Custo 
por uni-
dade (R$)
Funcio-
nário
6 6.000,00 36.000,00 192 187,50
Transporte 10 via-
gens/
mês
800,00 8.000,00 192 41,67
Adicional 
noturno
3 funcio-
nários
12,47 823,02 192 4,29
Solda 192 horas/
mês
60,00/h 11.520,00 192 60,00
Calibração 192 
unidades/
mês
10,00 1.920,00 192 10,00
Pintura 192 
unidades/
mês
1.000,00 192.000,00 192 1.000,00
Energia 
e água
352 horas/
mês
18,05 6.355,39 192 33,10
Compo-
nentes 
metálicos
— — 60.000,00 192 312,50
Impostos — — — — 2.000,00
Total 4.500,00
Preço de venda/unidade Custo de produção Lucro
R$ 10.000,00 R$ 4.500,00 R$ 5.500,00
Construção e aplicação dos modelos matemáticos20
Com os dados estimados pelo grupo e os fornecidos pela RD, foi possível construir um 
modelo matemático, como mostra o quadro a seguir, buscando otimizar o processo de 
montagem, minimizando o custo. Função Objetivo: Minimizar os custos de Produção.
F.O MIM – (60* × 11 + 90* × 12+15* × 22) + (A*PA + B*PB) + (3*800)
Restrições
A + B = X11 + X12
A + B = X21 + X22
X11 + X12 = X21 + X22
X11 + X12 >= 48 unidades
1* × 11 <= 8 horas
1* × 12 <= 8 horas
Com o auxílio de uma planilha eletrônica, moldou-se o problema, para que fosse 
resolvido por meio da ferramenta Solver, utilizando o algoritmo simplex. Após a 
resolução obtida pelo Solver e obedecendo a todas as restrições, obtiveram-se os 
seguintes resultados:
Etapas do 
processo
Quantidade 
requerida 
em horas/
unidades
Tempo de 
produção 
disponível
Hora/
homem 
disponível
Custo por 
unidade
Soldar unidade 
manhã
1 8 8 R$ 60,00
Soldar unidade 
noite
1 8 8 R$ 90,00
Calibrar 
unidade 
manhã
0,5 8 16 R$ 10,00
Calibrar 
unidade noite
0,5 8 16 R$ 15,00
Pintar unidade 
produção
1 8 — R$ 1.000,00
21Construção e aplicação dos modelos matemáticos
Demanda Manhã Noite
Demanda semanal de solda 48 0
Demanda semanal de calibragem 48 0
Demanda semanal de calibragem — — 48
Quantidade de A 48 356,5 —
Quantidade de B 0 312,5 —
Análise dos resultados para esse problema
Nesse cenário, a empresa funciona em dois turnos, com jornada diária de 16 horas. 
A modelagem matemática desenvolvida apontou que o atual esquema de produção 
aumenta o custo, pois o segundo turno, por conta da legislação trabalhista, tem um valor 
maior de hora/homem trabalhada, tanto na etapa de solda quanto na de calibração. 
Após todas as análises necessárias e com o auxílio da modelagem, observamos que a 
distribuição de tempo que minimiza o custo é ótima quando se utiliza toda a demanda 
de tempo no período da manhã, refletindo uma produção semanal de 48 unidades. 
Por fim, avaliou-se o impacto de diminuir o tempo de solda para 30 minutos/unidade 
com a inclusão de mais um funcionário no turno da manhã. Essa simulação indicou que 
otimizar essa etapa diminui o custo final da unidade, pois, para cada hora trabalhada, 
duas unidades do produto ficariam prontos, com o consumo da mesma quantidade de 
recursos. Os resultados gerais indicaram que a empresa tem espaço para otimização 
da linha de montagem, possibilitando a diminuição dos seus custos operacionais.
Fonte: Adaptado de Basílio et al. (2016, p. 5).
ARENALES, M. Pesquisa operacional para cursos de engenharia. 2. ed. Rio de Janeiro: 
Elsevier, 2015.
BASÍLIO, B. Desenvolvimento de modelos matemáticos para otimização do processo 
de montagem do SKID. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA, 
64., 2016, Natal. Anais [...]. Natal: UFRN, 2016. Disponível em: http://www.abenge.org.br/
cobenge/arquivos/3/anais/anais/161145.pdf. Acesso em 28 ago. 2020.
FIANI, R. Teoria dos jogos com aplicações em economia, administração e ciências sociais. 
4. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015.
GOLDBARG, M. C.; LUNA, Henrique P.; GOLDBARG, E. F. Programação linear e fluxos em 
rede. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015.
Construção e aplicação dos modelos matemáticos22
Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados, e seu fun-
cionamento foi comprovado no momento da publicação do material. No entanto, a 
rede é extremamente dinâmica; suas páginas estão constantemente mudando de 
local e conteúdo. Assim, os editores declaram não ter qualquer responsabilidade 
sobre qualidade, precisão ou integralidade das informações referidas em tais links.
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2012.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisão. 5. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2016.
Leituras recomendadas
COX III, J. F.; SCHLEIER, J. G. Handbook da teoria das restrições. 1. ed. Porto Alegre: Book-
man, 2013.
MACHLINE, C. et al. Manual da administração da produção. 6. ed. Rio de Janeiro: FGV, 1985.
RODRIGUES, R. Pesquisa operacional. 1. ed. Porto Alegre: Sagah, 2017. E-book. 
23Construção e aplicação dos modelos matemáticos