360595 Instrumentação Aula 06 2018 2 slides

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INSTRUMENTAÇÃO 
Engenharia Elétrica/Química 
Câmpus Pelotas 
 
Prof. Eduardo Costa da Motta 
AULA 06 
5. Teoria de Erros 
5.1 Resultado de medição 
–  A aplicação do sistema de medição sobre o mensurando produz 
um número: a indicação. Porém, o trabalho de medição não se 
encerra com a determinação da indicação. 
–  Quando a medição é efetuada, a indicação obtida estará afetada 
por erros de medição do processo de medição. 
–  É necessário considerá-los, compensar o que for possível e 
apresentar a faixa de dúvidas ainda remanescente no resultado 
da medição. 
2 
5. Teoria de Erros 
–  O resultado de medição é a faixa de valores dentro da qual 
deve estar o valor verdadeiro do mensurando. 
–  Segundo o VIM, é o conjunto de valores atribuídos a um 
mensurando, juntamente com toda outra informação pertinente 
possível. 
–  É composto de duas parcelas: o valor medido e a incerteza de 
medição. Além disso, deve conter a unidade de medida 
correspondente. 
 RM = (VM ± IM) unidade 
3 
5. Teoria de Erros 
•  Valor medido (VM) 
–  É a estimativa do valor do mensurando que, acredita-se, mais se 
aproxima de seu valor verdadeiro. Corresponde à posição central do 
resultado de medição. 
–  Costuma ser chamado de valor numérico ou resultado base. 
–  Caso a incerteza de medição seja considerada desprezível para alguma 
finalidade, o resultado de medição pode ser expresso como um único 
valor medido. Em muitos domínios, esta é a maneira mais comum de 
expressar um resultado de medição. 
4 
5. Teoria de Erros 
•  Incerteza de medição (IM) 
–  É a parcela de dúvida associada à medição. Corresponde à metade do 
comprimento da faixa simétrica e está centrada em torno do resultado 
base, que exprime a faixa de dúvidas associada à medição. 
5 
5. Teoria de Erros 
–  Para que as medições possam ser corretamente interpretadas é 
fundamental que sejam expressas em termos de unidades de 
medida. 
•  Exemplo: 
–  Medida de comprimento: (1,8 ± 0,5) cm 
 
 
–  A expressão “medida” implica a determinação de números que 
representam o mensurando. 
–  O uso dos parênteses com apresentado é recomendado para 
manter a clareza na grafia do resultado da medição. 
6 
- IM + IM RB 
5. Teoria de Erros 
–  O valor medido tem pouco valor se não se conhece a incerteza 
correspondente. 
–  Isto não significa que é necessário fazer medições com altas 
precisões. Quanto maior a precisão, mais demorado e caro é o 
processo de medição. 
–  O melhor método a ser empregado numa medição é o método 
mais simples e que fornece valores com a precisão necessária e 
não mais. 
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5. Teoria de Erros 
5.2 Erro, Incerteza e Desvio 
–  Na literatura, é possível verificar o uso da palavra indeterminação 
na caracterização de uma grandeza física. 
–  Dessa maneira, uma medida é composta por um valor numérico, 
uma indeterminação e uma unidade. 
–  A indeterminação (ou imprecisão) pode ser um 
•  erro, 
•  incerteza ou 
•  desvio 8 
5. Teoria de Erros 
–  Erro, por definição, é a diferença entre o valor obtido (ou medido) 
e o valor verdadeiro, decorrente de causas não só conhecidas 
como perfeitamente determináveis. 
 
–  Dessa maneira, o erro é uma indeterminação calculável ou 
determinável. 
9 
5. Teoria de Erros 
–  Exemplo: 
 
Um voltímetro, numa determinada escala, indica um valor 0,2 V a 
mais do que o valor de uma tensão referência, devido a um 
desajuste mecânico de zero. 
 
O valor 0,2 V é um erro, pois sua causa é conhecida e o erro foi 
determinado. Se o erro não for corrigido e o voltímetro indicar 2,0 V, 
o valor que estará medindo é (2,0 - 0,2) V. 
10 
5. Teoria de Erros 
–  O erro é uma perturbação externa que atua sobre o sistema de 
forma perfeitamente previsível e, como tal, possui o mesmo 
sentido ou mesmo sinal. 
–  O erro mais comum decorre da interação entre o sistema de 
medição e o sistema que está sendo medido, isto é, o erro de 
carregamento (loading error ← loading effect). 
11 
5. Teoria de Erros 
–  Incerteza, por definição, é a diferença entre o valor obtido (ou 
medido) e o valor verdadeiro, decorrente de fenômenos 
incontroláveis e não repetitivos, embora as vezes conhecidos. 
–  Desvio, por definição, é a diferença entre o valor obtido (ou 
medido) em uma medida e o valor médio de diversas medidas. 
Em outras palavras, é o que se afasta da médida. Valor médio é 
a média aritmética de uma série de medidas. 
12 
5. Teoria de Erros 
5.3 Grafia correta do resultado de medição 
 
–  Não há sentido em manter um número excessivamente grande 
de dígitos nas parcelas do resultado de medição. 
–  Além de prejudicar a sua legibilidade, a grafia com muitos dígitos 
contém informações desnecessárias e mesmo sem sentido. 
–  Exemplo: 
•  Medida de comprimento: (1,856827484 ± 0,5122123232452344) cm 
13 
5. Teoria de Erros 
–  Para escrever corretamente o resultado da medição, é 
necessário rever conceitos de algarismos significativos e as 
regras de arredondamento. 
14 
5. Teoria de Erros 
5.3.1 Algarismos significativos 
–  Algarismos significativos são todos aqueles contados, da 
esquerda para a direita, a partir do primeiro algarismo diferente 
de zero. 
•  Algarismo correto e algarismo duvidoso 
–  Se refere a todos aqueles que temos certeza e o primeiro que foi 
estimado. Por exemplo, a medição de um segmento de reta com uma 
régua graduada em centímetros resultou em 27,6 cm. Há dois algarismos 
corretos (2 e 7) e um duvidoso (6). 
15 
5. Teoria de Erros 
•  Significado do zero à esquerda 
–  Zeros à esquerda do primeiro algarismo correto, antes ou depois da 
vírgula, não são significativos. Refletem apenas a utilização da unidade, 
ou seus múltiplos e submúltiplos. 
–  Por exemplo, se fosse preferido expressar o resultado 0,0595 m em 
centímetros, ao invés de metros, deveria ser escrito 5,95 cm . Nada se 
altera, continua os mesmos três algarismos significativos. 
•  Significado do zero à direita 
–  Zeros colocados à direita do resultado da medição, são significativos. 
–  O resultado 0,0450 kg é diferente de 0,045 kg, pois o primeiro tem três 
algarismos significativos enquanto o segundo só tem dois. 
–  No primeiro caso, o zero é o algarismo duvidoso, enquanto no segundo 
caso o algarismo duvidoso é o cinco. Isso significa que houve maior 
exatidão de medição no processo para se obter o resultado 0,0450 kg. 16 
5. Teoria de Erros 
–  Exemplos de contagem de algarismos significativos 
246 possui 3 algarismos significativos 
2,46 possui 3 algarismos significativos 
0,00246 possui 3 algarismos significativos 
0,00000246 possui 3 algarismos significativos 
0,024600 possui 5 algarismos significativos (2,4600 x 10-2) 
24600 possui 5 algarismos significativos (2,4600 x 104) 
17 
5. Teoria de Erros 
5.3.2 Algarismos a conservar para não influenciar o processo de 
medição 
–  Adição e subtração 
•  O resultado final não pode ter mais algarismos significativos depois 
da vírgula (ou casas decimais) do que o que tiver menor quantidade 
deles. 
18 
5. Teoria de Erros 
•  Exemplos 
3,16 + 2,7 = 5,86 = 5,9 
83,42 – 72 = 11,42 =11 
47,816 – 25 = 22,816 (se 25 for um número exato) 
•  O número que se obtém de contagens, ao contrário dos que se 
obtém nas medições, são naturalmente exatos. 
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5. Teoria de Erros 
–  Multiplicação, divisão e radiciação 
•  O resultado final não pode ter mais algarismos significativos do que 
o que tem menor quantidade deles. 
•  Exemplos 
73,24 x 4,52 = 331,0448 = 331 
1,648 ÷ 0,023 = 71,652173913043478260869565217391 = 72 
8,416 x 50 = 420,8 (se 50 for um número exato) 
 = 6,220932405998316262367696039955= 6,22 
20 
7,38
5. Teoria de Erros 
5.3.3 Regras de arredondamento 
–  A norma brasileira NBR 5891:1977 estabelece regras de 
arredondamento na numeração decimal. 
•  Regra 1 – Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último 
algarismo a ser conservado for inferior a 5, o último algarismo a ser 
conservado permanecerá sem modificação. 
-  Exemplo 
1,3333 arredondado para conter uma casa decimal resulta em 1,3. 
21 
5. Teoria de Erros 
•  Regra 2 – Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último 
algarismo a ser conservado for superior a 5, ou, sendo 5, for seguido 
de no mínimo um algarismo diferente de zero, o último algarismo a 
ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade. 
-  Exemplos 
 1,6666 arredondado para conter uma casa decimal resulta em 1,7. 
 4,8501 arredondado para conter uma casa decimal resulta em 4,9. 
22 
5. Teoria de Erros 
•  Regra 3 – Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último 
algarismo a ser conservado for 5 seguido de zeros, o último 
algarismo a ser conservado poderá ou não ser modificado. Será 
mantido sem modificações se for par. Será acrescido de uma 
unidade se for ímpar. 
–  Exemplo 
 4,5500 arredondado à primeira decimal resulta: 4,6 
 4,8500 arredondado à primeira decimal resulta: 4,8 
 
–  A regra tem o intuito de minimizar os erros acumulados por 
arredondamento, quando é necessário efetuar um grande número de 
operações. 
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5. Teoria de Erros 
–  Exemplos de aplicações das regras de arredondamento 
2,43 ⇒ 2,4 
3,688 ⇒ 3,69 
5,6499 ⇒ 5,6 
5,6501 ⇒ 5,7 
5,6500 ⇒ 5,6 
5,7500 ⇒ 5,8 
24 
5. Teoria de Erros 
5.3.4 Regras para a grafia no resultado da medição 
–  A incerteza de medição tem um papel importante por estabelecer 
a posição do algarismo duvidoso do resultado-base. Assim, para 
escrever da forma apropriada a regra 1 deve ser obedecida 
antes da regra 2. 
–  Não há necessidade de envolver mais do que dois algarismos 
significativos para descrever suficientemente bem, o tamanho da 
faixa correspondente à incerteza de medição. 
25 
5. Teoria de Erros 
•  Regra 1 – A incerteza de medição deve ser arredondada para conter no 
máximo dois algarismos significativos. Não importa quantas casas decimais 
resultem. 
-  É recomendado que a incerteza seja dada com dois algarismos, quando o 
primeiro algarismo na incerteza for 1 ou 2. 
•  Regra 2 – O resultado base deve ser arredondado para conter o mesmo 
número de casas decimais da incerteza da medição. Não importa quantos 
algarismos significativos resultem. 
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5. Teoria de Erros 
–  Exemplos de aplicações das regras de grafia do resultado da 
medição 
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Grafia incorreta Grafia correta com um algarismo significativo na IM 
Grafia correta com dois 
algarismos significativos na IM 
(5,150001 ± 0,1924555) cm 
(10,6500 ± 0,2500) kg 
(0,300000 ± 0,000350012) A 
(155,55 ± 5,2456) mV 
5. Teoria de Erros 
–  Exemplos de aplicações das regras de grafia do resultado da 
medição 
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Grafia incorreta Grafia correta com um algarismo significativo na IM 
Grafia correta com dois 
algarismos significativos na IM 
(5,150001 ± 0,1924555) cm (5,2 ± 0,2) cm (5,15 ± 0,19) cm 
(10,6500 ± 0,2500) kg (10,6 ± 0,2) kg (10,65 ± 0,25) kg 
(0,300000 ± 0,000350012) A (0,3000 ± 0,0004) A (0,30000 ± 0,00035) A 
(155,55 ± 5,2456) mV (156 ± 5) mV (155,6 ± 5,2) mV 
5. Teoria de Erros 
5.4 Formas de representação do resultado de medição 
 
–  O resultado de medição pode ser apresentado em qualquer uma 
das seguintes formas: 
•  Absoluta 
•  Relativa 
•  Percentual 
29 
5. Teoria de Erros 
–  Exemplo: 
30 
Forma relativa 
X = x mm ± (Δx/x) 
X = 20,0 mm ± 0,01 
 
Forma percentual 
X = x mm ± (Δx/x).100% 
X = 20,0 mm ± 1% 
 
Forma absoluta 
X = (x ± Δx) mm 
X = (20,0 ± 0,2) mm 
 
5. Teoria de Erros 
–  Exemplos de utilização das formas de representação do 
resultado de medição 
T1 = (100 ± 2)s 
»  T1 = 100s ± 0,02 = 100s ± 2% 
T2 = 200s ± 2% 
»  T2 = 200s ± 0,02 = (200 ± 4)s 
T3 = 300s ± 0,01 
»  T3 = 300s ± 1% = (300 ± 3)s 
31 
5. Teoria de Erros 
5.5 Regras para escrever corretamente as unidades de medida 
adotadas no Brasil 
32 
5. Teoria de Erros 
–  Grafia dos nomes de unidades 
•  Quando escritos, por extenso, os nomes de unidade começam por 
letra minúscula, mesmo quando têm o nome de um cientista (por 
exemplo, ampère, kelvin, newton, etc.), exceto o grau Celsius. 
•  Na expressão do valor numérico de uma grandeza, a respectiva 
unidade pode ser escrita por extenso ou representada pelo seu 
símbolo (por exemplo, quilovolts por milímetro, ou kV/mm), não 
sendo admitidas combinações de partes escritas por extenso com 
partes expressas por símbolo. 
33 
5. Teoria de Erros 
–  Plural dos nomes de unidade 
•  Quando os nomes de unidades são escritos ou pronunciados por 
extenso, a formação do plural obedece às regras básicas: 
 
 a) os prefixos SI são invariáveis; 
 
 b) os nomes de unidades recebem a letra "s" no final de cada palavra, exceto 
 nos casos da alínea "c", 
 - quando são palavras simples. Por exemplo: ampères, candelas, curies, 
 farads, grays, joules, kelvins, quilogramas, parsecs, roentgens, volts, webers, 
 etc. 
 
34 
5. Teoria de Erros 
 - quando são palavras compostas em que o elemento complementar de um 
 nome de unidade não é ligado a este por hífen. Por exemplo: metros 
 quadrados, milhas marítimas, unidades astronômicas, etc. 
 - quando são termos compostos por multiplicação, em que os componentes 
 podem variar independentemente um do outro. Por exemplo: ampères-horas, 
 newtons-metros, ohms-metros, pascals-segundos, watts-horas, etc. 
 
 NOTA: Segundo esta regra, e a menos que o nome da unidade entre no uso 
 vulgar, o plural não desfigura o nome que a unidade tem no singular (por 
 exemplo: becquerels, decibels, henrys, mols, pascals, etc.), não se aplicando 
 aos nomes de unidades certas regras usuais de formação do plural de 
 palavras. 
35 
5. Teoria de Erros 
 c) os nomes ou partes dos nomes de unidades não recebem a letra "s" no 
 final, 
 
 - quando terminam pelas letras s, x ou z. Por exemplo, siemens, lux, hertz, etc. 
 - quando correspondem ao denominador de unidades compostas por divisão. 
 Por exemplo, quilômetros por hora, lúmens por watt, watts por esterradiano, 
 etc.; 
 - quando, em palavras compostas, são elementos complementares de nomes 
 de unidades e ligados a estes por hífen ou preposição. Por exemplo, anos-luz, 
 elétron-volts, quilogramas-força, unidades (unificadas) de massa atômica, etc. 
36 
5. Teoria de Erros 
•  A grafia dos símbolos de unidades obedece às seguintes regras 
básicas: 
 a) os símbolos são invariáveis, não sendo admitido colocar, após o símbolo, 
 seja ponto de abreviatura, seja "s" de plural, sejam sinais, letras ou índices. 
 Por exemplo, o símbolo do watt é sempre W, qualquer que seja o tipo de 
 potência a que se refira: mecânica, elétrica, térmica, acústica, etc.; 
 
 b) os prefixos SI nunca são justapostos no mesmo símbolo. Por exemplo, 
 unidades como GWh, nm, pF etc não devem ser substituídas por expressões 
 em que se justaponham, respectivamente, os prefixos mega e quilo, mili e 
 micro, micro e micro, etc; 
 
37 
5. Teoria de Erros 
 c) os prefixos SI podem coexistir num símbolo composto por multiplicação ou 
 divisão. Por exemplo, kN.cm, kΩ.mA, kV/mm, MΩ.cm, kV/µs, µW/cm2 etc; 
 
 d) os símbolos de uma mesma unidade podem coexistir num símbolo 
 composto por divisão. Por exemplo, Ω.mm²/m, kWh/h, etc.; 
 
 e) o símbolo é escrito no mesmo alinhamento do número a que se refere, e 
 nãocomo expoente ou índice. São exceções os símbolos das unidades não SI 
 de ângulo plano (° ' "), os expoentes dos símbolos que têm expoente, o sinal o 
 do símbolo do grau Celsius e os símbolos que têm divisão indicada por traço 
 de fração horizontal; 
 
38 
5. Teoria de Erros 
 f) o símbolo de uma unidade composta por multiplicação pode ser formado 
 pela justaposição dos símbolos componentes e que não cause ambigüidade 
 (VA, kWh, etc.), ou mediante a colocação de um ponto entre os símbolos 
 componentes, na base da linha ou a meia altura (N.m ou N.m, m.s-1 ou m.s-1 
 etc.); 
 
 g) o símbolo de uma unidade que contenha divisão pode ser formado por uma 
 qualquer das três maneiras exemplificadas a seguir: 
 
 
 
 não devendo ser empregada esta última forma, quando o símbolo, escrito em 
 duas linhas diferentes, puder causar confusão. 
39 
2
2-1-2
sr.m
W,m. W.sr),W/(sr.m
5. Teoria de Erros 
•  Quando um símbolo com prefixo tem expoente deve-se entender que 
esse expoente afeta o conjunto prefixo-unidade, como se esse 
conjunto estivesse entre parênteses. Por exemplo: 
 
 dm3= 10-3m3 
 mm3= 10-9m3 
 
40 
5. Teoria de Erros 
–  Espaçamento entre número e símbolo 
 
•  O espaçamento entre um número e o símbolo da unidade 
correspondente deve atender à conveniência de cada caso, assim, 
por exemplo: 
 a) em frases de textos correntes, é dado normalmente o espaçamento 
 correspondente a uma ou a meia letra, mas não se deve dar 
 espaçamento quando há possibilidade de fraude; 
 
 b) em colunas de tabelas, é facultado utilizar espaçamentos diversos entre 
 os números e os símbolos das unidades correspondentes. 
41 
5. Teoria de Erros 
–  Pronúncia dos múltiplos e submúltiplos decimais das unidades 
•  Na forma oral, os nomes dos múltiplos e submúltiplos decimais das 
unidades são pronunciados por extenso, prevalecendo a sílaba 
tônica da unidade. 
•  As palavras quilômetro, decímetro, centímetro e milímetro, 
consagradas pelo uso com o acento tônico deslocado para o prefixo, 
são as únicas exceções a esta regra; assim sendo, os outros 
múltiplos e submúltiplos decimais do metro devem ser pronunciados 
com acento tônico na penúltima sílaba (mé), por exemplo, 
megametro, micrometro (distinto de micrômetro, instrumento de 
medição), etc. 
42 
5. Teoria de Erros 
–  Grandezas expressas por valores relativos 
•  É aceitável exprimir, quando conveniente, os valores de certas 
grandezas em relação a um valor determinado da mesma grandeza 
tomado como referência, na forma de fração ou percentagem. Tais 
são, dentre outras, a massa específica, a massa atômica ou 
molecular, a condutividade etc. 
43 
5. Teoria de Erros 
44 
Nome Símbolo Fator de multiplicação da unidade 
yotta 	 Y 	 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000	
zetta 	 Z 	 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000	
exa 	 E 	 1018 = 1 000 000 000 000 000 000	
peta 	 P 	 1015 = 1 000 000 000 000 000	
tera 	 T 	 1012 = 1 000 000 000 000	
giga 	 G 	 109 = 1 000 000 000	
mega 	 M 	 106 = 1 000 000	
quilo 	 k 	 10³ = 1 000	
hecto 	 h 	 10² = 100	
deca 	 da 	 10	
deci 	 d 	 10-1 = 0,1	
centi 	 c 	 10-2 = 0,01	
mili 	 m 	 10-3 = 0,001	
micro 	 µ 	 10-6 = 0,000 001	
nano 	 n 	 10-9 = 0,000 000 001	
pico 	 p 	 10-12 = 0,000 000 000 001	
femto 	 f 	 10-15 = 0,000 000 000 000 001	
atto 	 a 	 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001	
zepto 	 z 	 10-21 = 0,000 000 000 000 000 000 001	
yocto 	 y 	 10-24 = 0,000 000 000 000 000 000 000 001	
5. Teoria de Erros 
•  A - Para formar o múltiplo ou submúltiplo de uma unidade, basta 
colocar o nome do prefixo desejado na frente do nome desta 
unidade. O mesmo se dá com o símbolo. 
 EXEMPLO Para multiplicar e dividir a unidade volt por mil 
quilo + volt = quilovolt; k + V = kV; mili + volt = milivolt ; m + V = mV 
•  B - Os prefixos SI também podem ser empregados com unidades 
fora do SI. 
 EXEMPLO milibar; quilocaloria; megatonelada; hectolitro. 
•  C - Por motivos históricos, o nome da unidade SI de massa contém 
um prefixo: quilograma. Por isso, os múltiplos e submúltiplos dessa 
unidade são formados a partir do grama. 
 45 
5. Teoria de Erros 
5.6 Erro de medição 
-  O erro de medição está presente cada vez que a indicação do 
sistema de medição não coincide com o valor verdadeiro do 
mensurando. 
-  Assim, erro de medição é a diferença entre o valor medido de 
uma grandeza e um valor de referência. 
46 
5. Teoria de Erros 
–  Isto é: 
 onde 
 E é o erro de medição, 
 I é a indicação do sistema de medição e 
 VV é o valor verdadeiro do mensurando. 
–  O erro de medição pode ser decomposto em duas parcelas: 
•  Erro sistemático 
•  Erro aleatório 
47 
VVIE −=
5. Teoria de Erros 
–  Erro sistemático 
•  Erro sistemático é a componente do erro de medição que, em medições 
repetidas, permanece constante (se as condições em que as medições 
são feitas também forem mantidas as mesmas) ou varia de maneira 
previsível. Assim, corresponde ao valor médio do erro de medição. 
•  Um valor de referência para um erro sistemático é um valor verdadeiro, 
ou um valor medido de um padrão com incerteza de medição 
desprezível, ou um valor convencional. 
48 
5. Teoria de Erros 
•  O erro sistemático e suas causas podem ser conhecidos ou 
desconhecidos. Pode-se aplicar uma correção no resultado da 
medição para compensar um erro sistemático conhecido. 
•  Para estimar o erro sistemático de um sistema de medição devem 
ser efetuadas medições repetitivas de um mensurando cujo valor 
verdadeiro é bem conhecido. 
49 
5. Teoria de Erros 
•  Quanto maior o número de medições repetitivas, melhor será a 
estimativa do erro sistemático. Este é calculado por: 
 onde 
 Es é o erro sistemático, 
 é a média de um número infinito de indicações e 
 VV é o valor verdadeiro do mensurando. 
50 
VVIEs −= ∞
∞I
5. Teoria de Erros 
•  Como não há tempo para realizar infinitas medições e calcular sua 
média e não se conhece exatamente o valor verdadeiro do 
mensurando, realiza-se, na prática, uma estimativa aproximada do 
erro sistemático, denominada tendência (bias): 
 onde 
 Td é a tendência, 
 é a média de um número finito de indicações e 
 VVC é o valor verdadeiro convencional do mensurando. 
51 
VVCITd −=
I
5. Teoria de Erros 
•  Na prática, não se conhece o valor exato do mensurando, mas 
apenas um valor aproximado, denominado valor verdadeiro 
convencional. 
•  O valor verdadeiro convencional é uma estimativa suficientemente 
próxima do valor verdadeiro do mensurando. 
•  A tendência nunca corresponde exatamente ao valor do erro 
sistemático. É um valor aproximado, ao qual está associado uma 
incerteza, denominada incerteza da tendência. 
•  É possível corrigir os erros sistemáticos subtraindo a tendência de 
sua indicação. Na verdade, compensá-los aproximadamente. 
52 
5. Teoria de Erros 
•  A correção é definida como a constante que deve ser adicionada à 
indicação para corrigir os erros sistemáticos do sistema de medição. 
É calculada por: 
•  Uma indicação corrigida é obtida ao eliminar a parcela sistemática do 
erro de medição, adicionando-se a correção às indicações. 
53 
IVVCTdC −=−=
5. Teoria de Erros 
–  Erro aleatório 
•  Erro aleatório é a componente do erro de medição que, em medições 
repetidas, varia de maneira imprevisível. 
•  Pode ser calculado por: 
 onde 
 é o erro aleatório da i-ésima indicação, 
 é a i-ésima indicação e 
 é a média de indicações. 
54 
IIEa ii −=
I
iEa
iI
5. Teoria de Erros 
•  O valor de referência para um erro aleatório é a média que resultaria 
de umnúmero infinito de medições repetidas do mesmo 
mensurando. 
•  Os erros aleatórios de um conjunto de medições repetidas formam 
uma distribuição que pode ser resumida por sua esperança 
matemática ou valor esperado, o qual é geralmente assumido como 
sendo zero, e por sua variância. 
•  O erro aleatório é igual à diferença entre o erro de medição e o erro 
sistemático. 
55 
5. Teoria de Erros 
•  O valor do erro aleatório por si tem pouco interesse prático. Uma 
informação útil para estimar a faixa de incertezas associadas ao 
resultado de medição é a repetitividade. 
•  A repetitividade é a faixa de valores simétrica em torno do valor 
médio dentro da qual o erro aleatório de um sistema de medição é 
esperado com uma certa probabilidade. 
•  Para caracterizar a repetitividade de um sistema de medição com 
segurança, é necessário reunir um grande número de indicações, 
todas obtidas de medições repetitivas do mesmo mensurando, e 
avaliar os limites da faixa de variação. 
56 
5. Teoria de Erros 
57 
Número de Verificações 
Va
lo
r m
ed
id
o 
Valor verdadeiro 
Erro aleatório 
Erro sistemático 
Valor médio das medidas 
•  Exemplo: 
–  Resultados de testes de tiro 
Erro sistemático 
(tendência - bias) Erro aleatório 
(repetitividade/precisão) 
5. Teoria de Erros 
58 
5. Teoria de Erros 
59 
Alvo 1 
 
-  Erro sistemático grande 
-  Erro aleatório grande 
-  Pouca exatidão 
-  Pouca precisão 
 
Alvo 2 
 
-  Erro sistemático grande 
-  Erro aleatório pequeno 
-  Pouca exatidão 
-  Ótima precisão 
Alvo 3 
 
-  Erro sistemático pequeno 
-  Erro aleatório grande 
-  Boa exatidão 
-  Pouca precisão 
Alvo 4 
 
-  Erro sistemático pequeno 
-  Erro aleatório pequeno 
-  Ótima exatidão 
-  Ótima precisão 
 
5. Teoria de Erros 
–  A precisão é relacionada ao erro aleatório e a exatidão ao erro 
sistemático. Portanto, exatidão e precisão são conceitos 
diferentes. 
•  Exatidão de medição é o grau de concordância entre um valor 
medido e um valor verdadeiro de um mensurando. 
•  Precisão de medição é o grau de concordância entre indicações ou 
valores medidos, obtidos por medições repetidas. 
60 
5. Teoria de Erros 
–  O erro aleatório nunca é eliminado. A manutenção do 
instrumento, usando peças originais e conservando o projeto 
original não melhora a sua precisão, mas evita que ela se 
degrade e ultrapasse os limites originais. 
–  O erro sistemático pode ser diminuído e até eliminado através do 
conjunto calibração-ajuste. 
61 
5. Teoria de Erros 
–  Para melhor compreender e delimitar os efeitos do erro aleatório, 
é comum associá-lo a uma distribuição normal. 
–  Dois parâmetros que caracterizam a distribuição normal são a 
média (µ - lê-se “mi”) e o desvio-padrão (σ - “sigma”). Este 
corresponde à distância entre o valor médio central (µ) e o ponto 
de inflexão da curva. 
62 
Distribuição normal 
µ 
σσ
5. Teoria de Erros 
–  O desvio-padrão de uma distribuição normal associada ao erro 
de medição é usado para caracterizar quantitativamente a 
intensidade da componente aleatória do erro de medição. 
–  A incerteza-padrão é uma medida da intensidade da 
componente aleatória do erro de medição. Corresponde ao 
desvio-padrão dos erros de medição. É comumente representada 
pela letra “u” (derivada do termo em inglês uncertainty). 
63 
5. Teoria de Erros 
–  População é o termo que se usa em estatística para descrever o 
número total de elementos que compõem o universo sobre o qual 
há interesse em analisar. 
–  Há populações finitas e infinitas 
•  Exempo de finita: 
–  número de pães produzidos numa fornada. 
•  Exemplo de infinita: 
–  conjunto total de indicações que podem ser obtidas de medições repetidas 
de um mesmo mensurando. 
64 
5. Teoria de Erros 
–  O desvio-padrão de uma população infinita é calculado por 
–  Na prática, o número de observações possíveis é finito. Neste 
caso, é usada apenas uma amostra dos elementos da 
população, a partir da qual é tirada conclusões ao que se passa 
com a totalidade da população. 
65 
( )
n
xx
n
i
i∑
=
−
=σ 1
2
5. Teoria de Erros 
–  Uma estimativa do desvio-padrão é obtida pelo desvio-padrão da 
amostra 
66 
( )
1
1
2
−
−
=
∑
=
n
xx
s
n
i
i
5. Teoria de Erros 
–  Deve ser associada a incerteza-padrão o número de graus de 
liberdade (ν - lê-se “ni”) com que foi estimada. 
–  O número de graus de liberdade reflete o grau de segurança com 
que a estimativa do desvio-padrão é conhecida. 
–  Quando a incerteza-padrão é estimada a partir do desvio-padrão 
da amostra, o número de graus de liberdade corresponde ao 
número de medições efetuadas menos um. 
–  Quando o desvio padrão é conhecido exatamente o número de 
graus de liberdade é infinito. 
67 
1−=ν n
5. Teoria de Erros 
–  Assim, incerteza-padrão pode ser calculada por 
–  Geralmente, é relacionada ao desvio-padrão da média. A média 
de medições repetidas do mensurando pode reduzir 
consideravelmente os erros aleatórios. 
68 
( )
1
1
2
−
−
=
∑
=
n
xx
u
n
i
i
n
uu
n
ss
x
x
=
=
5. Teoria de Erros 
–  A repetitividade também pode ser calculada a partir do desvio-
padrão da população. 
–  A área sob toda a extensão da curva da distribuição normal é 
unitária, o que, em termos de probabilidade, equivale a dizer que 
há uma chance de 100 % de uma variável aleatória estar no 
intervalo de menos infinito a mais infinito. 
69 
5. Teoria de Erros 
–  A área contida dentro do intervalo limitado por 
•  µ - σ e µ + σ corresponde a cerca de 68,27 % da área total. 
•  µ - 2σ e µ + 2σ corresponde a cerca de 95,45 % da área total. 
•  µ - 3σ e µ + 3σ corresponde a cerca de 99,73 % da área total. 
–  Assim, por exemplo, um nível de confiança de 95,45 % (c %) 
quer dizer que há uma probabilidade de 95,45 % de que o erro 
aleatório esteja contido dentro dos limites dados por ± 2σ (mais 
ou menos dois desvios-padrão). 
 
70 
5. Teoria de Erros 
–  A repetitividade é a metade do valor do intervalo dentro do qual o 
erro aleatório é esperado. Se a probabilidade de 95,45 % é 
adotada, a repetitividade corresponde a 2σ. 
–  É muito comum adotar a probabilidade de 95,45 %, mas outros 
valores podem ser usados. 
71 
–  A distribuição normal padronizada facilita os cálculos de 
probabilidade. Tem média zero e desvio padrão 1. 
5. Teoria de Erros 
72 
Distribuição normal Distribuição normal padronizada 
0 zµ x
Probabilidade Probabilidade 
n
xz
σ
µ−
=
5. Teoria de Erros 
–  As seguintes equações podem ser usadas para determinar o 
intervalo de confiança: 
–  A condição σ ≅ s será aplicada, geralmente, quando a amostra é 
grande, que, do ponto de vista prático, significa n ≥ 30. 
73 
(c%) 
(c%) 
2/2/
2/2/
2/
n
szx
n
szx
n
zx
n
zx
n
zx
cc
cc
c
+≤µ≤−
σ
+≤µ≤
σ
−
σ
±=µ
5. Teoria de Erros 
–  O número de medições efetuadas é, geralmente, pequeno 
(n é substancialmente menor que 30), como em muitos 
experimentos de engenharia. 
–  Nessa situação, a distribuição t de Student tem que ser 
empregada para construir o intervalo de confiança. 
–  Student é o pseudônimo de Willian Sealy Gosset (1876-1937), 
um estatístico amador, que trabalhou, inicialmente, como um 
químico na cervejaria Guiness em Dublin, Irlanda, e abordou o 
intervalo de confiança para pequenas amostras considerando a 
distribuição de uma variável t que substitui σ por s. 
74 
–  A variável t é dada por 
–  A aparência geral da distribuição t é similar a distribuição normal 
padrão. Entretanto,tem mais probabilidade nas extremidades 
(caudas) do que a distribuição normal. 
5. Teoria de Erros 
75 
n
s
xt µ−=
5. Teoria de Erros 
–  A distribuição t depende do número de amostras tomadas 
através dos graus de liberdade υ = n - 1. 
–  À medida que o número de graus de liberdade υ → ∞, a forma 
limite da distribuição t é a distribuição normal padrão. 
–  Para n > 30 as duas distribuições podem ser consideradas 
idênticas. 
76 
5. Teoria de Erros 
77 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
Funções densidade de probabilidade de várias distribuições t 
t 
f(t) 
n1 > n2 > n3 > n4 >> n5 
σ1 < σ2 < σ3 < σ4 < σ5 
υ = 1 
υ = 6 
υ = 10 
υ = 30 
υ = 100 
5. Teoria de Erros 
–  A tabela fornece os percentis da distribuição t de Student para 
vários graus de liberdade (df – degrees of freedom). 
78 
df t.60 t.70 t.80 t.90 t.95 t.975 t.99 t.995
1 .325 .727 1.376 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657
2 .289 .617 1.061 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925
3 .277 .584 .978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841
4 .271 .569 .941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604
5 .267 .559 .920 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032
6 .265 .553 .906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707
7 .263 .549 .896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499
8 .262 .546 .889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355
9 .261 .543 .883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250
10 .260 .542 .879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169
11 .260 .540 .876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106
12 .259 .539 .873 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055
13 .259 .538 .870 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012
14 .258 .537 .868 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977
15 .258 .536 .866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947
16 .258 .535 .865 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921
17 .257 .534 .863 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898
18 .257 .534 .862 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878
19 .257 .533 .861 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861
20 .257 .533 .860 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845
21 .257 .532 .859 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831
22 .256 .532 .858 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819
23 .256 .532 .858 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807
5. Teoria de Erros 
–  Para ilustrar o uso da tabela, o valor de t com 10 graus de 
liberdade, tendo uma área de 0,95 para a esquerda, é: 
79 
812,110;95,0 =t
df t.60 t.70 t.80 t.90 t.95 t.975 t.99 t.995
1 .325 .727 1.376 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657
2 .289 .617 1.061 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925
3 .277 .584 .978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841
4 .271 .569 .941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604
5 .267 .559 .920 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032
6 .265 .553 .906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707
7 .263 .549 .896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499
8 .262 .546 .889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355
9 .261 .543 .883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250
10 .260 .542 .879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169
11 .260 .540 .876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106
12 .259 .539 .873 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055
13 .259 .538 .870 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012
14 .258 .537 .868 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977
15 .258 .536 .866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947
16 .258 .535 .865 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921
17 .257 .534 .863 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898
18 .257 .534 .862 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878
19 .257 .533 .861 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861
20 .257 .533 .860 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845
21 .257 .532 .859 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831
22 .256 .532 .858 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819
23 .256 .532 .858 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807
5. Teoria de Erros 
–  Isto é, a probabilidade que o valor de t com 10 graus de liberdade 
seja menor que 1,812 é de 95 % (nível de confiança). 
80 
95,0)812,1()( 1010;95,010 =<=< tPttP
–  Intervalos de confiança para a estatística t 
5. Teoria de Erros 
81 
t 0 
f(t) 
Intervalo de confiança 
tα 
1-α 
Para um dado υ 
t 0 
f(t) 
Intervalo de confiança 
- tα 
1-α 
Para um dado υ 
t 0 
f(t) 
Intervalo de confiança 
tα/2 
1-α 
Para um dado υ 
- tα/2 
∫
∞
να
=α
,t
f(t)dt ∫ να
−
∞−
=α ,
t
f(t)dt ∫
να−
∞
=
α ,2/
2
t
f(t)dt ∫
∞
να
=
α
,2/2 t
f(t)dt
5. Teoria de Erros 
–  Uma vez que a distribuição t é simétrica em torno de zero, o valor 
de t tendo uma área de 1 - α para a direita (e por conseguinte 
uma área de α para a esquerda) é igual ao negativo do valor de t, 
que tem uma área α na extremidade direita da distribuição. 
Assim, t0,95;10 = - t0,05;10 = - 1,812. 
–  Frequentemente, se quer um intervalo bilateral de confiança para 
a média de uma amostra pequena, para que ambos limites 
inferior e superior na média sejam apresentados. 
82 
5. Teoria de Erros 
–  Com uma confiança de c% = (1 - α), o valor médio verdadeiro 
está no intervalo 
 onde α = 1 - c e ν = n - 1. 
–  Dessa forma, fornece um intervalo bilateral de confiança com 
100(1-α)% para µ. 
–  Algumas vezes α é referido como nível de significância. Há 
tabelas que fornecem o seu valor ao invés da distribuição 
acumulada. 
 
 
83 
(c%) ou (c%) ,2/,2/,2/ n
stx
n
stx
n
stx νανανα ±=µ+≤µ≤−
5. Teoria de Erros 
–  O intervalo de confiança define a incerteza da precisão no 
valor com um nível de confiança de c%. 
–  É possível obter limites unilaterais com 100 (1 - α) % de confiança 
para µ trocando tα/2,υ por tα, υ 
84 
Limite superior de confiança Limite inferior de confiança 
(c%) ,2/ n
stPx να=
x
n
stx να+≤µ , µ≤− να n
stx ,
5. Teoria de Erros 
–  Exemplo 1 
•  Doze valores obtidos para um mesmo estímulo em uma curva de 
calibração tem uma média de e um desvio padrão de s. Qual é o 
intervalo de 95 % de confiança para o valor médio verdadeiro µ ? 
–  O nível de significância é 
–  O número de graus de liberdade é 
85 
x
11112 =−=ν
05,095,01 =−=α
5. Teoria de Erros 
–  Da tabela, o valor necessário de t é 
–  Portanto, 
86 
(c%) 
12
201,2
12
201,2 sxsx +≤µ≤−
201,2,2/ 11;025,0 ==να tt
5. Teoria de Erros 
–  Exemplo 2 
•  Quatorze valores foram obtidos para um mesmo valor de estímulo. 
Baseado nesta amostra, qual é o intervalo com 95 % de confiança 
para a média da população? 
87 
Número de 
Verificações 
Tensão 
(V) 
1 1,08 
2 1,03 
3 0,96 
4 0,95 
5 1,04 
6 1,01 
7 0,98 
Número de 
Verificações 
Tensão 
(V) 
8 0,99 
9 1,05 
10 1,08 
11 0,97 
12 1,00 
13 0,98 
14 1,01 
5. Teoria de Erros 
–  Primeiro é calculada a média da amostra e o desvio-padrão com n = 14. 
–  Da tabela, para ν = n – 1 = 13, é encontrado é t0,025;13 = 2,160. 
–  Logo, temos: 
88 
( )
V 04178,0
1
1
2
=
−
−
=
∑
=
n
xx
s
n
i
i
V 009,11 ==
∑
=
n
x
x
n
i
i
5. Teoria de Erros 
–  Calculando os limites bilaterais de confiança, tem-se 
–  Portanto, pode ser escrito que 
–  Se é requerido os limites inferior e superior com confiança de 95 %. 
–  Então, µ ≤ 1,029 V ou µ ≥ 0,990 V com 95 % de confiança. 
89 
V 02412,0
14
04178,0160,2
13;025,0 ±=
×±
=±
n
st
V 01978,0
14
04178,0771,1
13;5,0 =
×
=
n
st
( ) confiança de 95% com V 024,0009,1 ±=µ
5. Teoria de Erros 
–  Exemplo 3 
•  Um técnico recebeu uma caixa com 2000 resistores. Como resultado 
de um erro de produção, o código de cores não foi pintado no lote. 
Para determinar a resistência nominal e tolerância, o técnico 
seleciona 10 resistores e mede suas resistências com um multímetro 
digital, cuja exatidão é ± (0,5 % of reading + 0,05 % of full scale + 0,2 
Ω). Seu resultado foi tabulado. 
–  Qual é o valor nominal dos resistores? 
–  Qual é a incerteza neste valor? Considere a incerteza da precisão e da 
tendência. Estime a tolerância. 
90 
5. Teoria de Erros 
91 
Resistor Resistência (kΩ) 
1 18,12 
2 17,95 
3 18,17 
4 18,45 
5 16,24 
6 17,82 
7 16,28 
8 16,32 
9 17,91 
10 15,985. Teoria de Erros 
–  O erro de precisão nos resistores pode ser calculado para encontrar um 
intervalo de confiança de 95 %. 
–  A resistência média é o valor nominal aparente dos resistores. 
–  Para encontrar a incerteza neste valor médio, as incertezas de precisão e 
de tendência devem ser estimadas. 
92 
kΩ9820
kΩ3217
 ,s
 ,R
R =
=
5. Teoria de Erros 
–  Primeiro, considerando a incerteza da precisão: 
»  Da tabela, para e 
»  A população média (sem tendência) está na faixa 
»  Entretanto, esta resposta conta somente para a incerteza de precisão, 
especificamente, PR = 0,70 kΩ. 93 
( ) (95%) k 70,032,17
10
982,0262,232,17
,
Ω±=µ
±=µ
±=µ να
R
R
R n
stR
262,29;025,0, ==να tt
9110 =−=ν 0250
2
9501 ,,-α ==
5. Teoria de Erros 
–  Agora, considerando a incerteza da tendência: 
»  A incerteza da tendência no resultado é obtida a partir da descrição da 
calibração do multímetro em seu manual. 
»  Para este exemplo, é classificada como ± (0,5 % of reading + 0,05 % of full 
scale + 0,2 Ω). A confiança não é dada, mas vamos supor que seja 95 %. 
O fundo de escala de leitura do multímetro é 20 kΩ. 
»  Assim, após a avaliação dos termos e soma, a incerteza da tendência pode 
ser estimada como 
94 
( )
(95%) k 10,0 8,96 
2,01020%05,01032,17%5,0 33
Ω±=Ω±=
+×⋅+×⋅±=
R
R
B
B
5. Teoria de Erros 
»  O erro de leitura na escala é somente 0,005 kΩ, que é muito menor que a 
incerteza atual na leitura do multímetro. Este multímetro tem alta resolução 
e precisão, mas uma exatidão muito baixa. 
–  A incerteza total na média da população é 
–  Portanto, a incerteza do valor nominal é uR = 0,71 kΩ (95 %) ou 4%. 
95 
(95%) k 71,0
70,010,0 22
22
Ω=
+=
+=
R
R
RRR
u
u
PBu
5. Teoria de Erros 
–  Uma abordagem para determinar a tolerância é que 95 % de uma 
população Gaussiana está dentro de ± 1,96σ da população média µ. Com 
base nisto, pode-se aproximar σR ≅ sR e µR ≅ de forma que 
–  Isto é, uma tolerância de 11 % (ou 10 %, já que esta é a tolerância de 
produção mais próxima). 
96 
111,0
32,17
982,096,196,196,1% Tolerância =⋅=≅
µ
σ
=
R
s
R
R
R
5. Teoria de Erros 
–  ALBERTAZZI, Armando; SOUSA, André R. de. Fundamentos de 
metrologia científica e industrial. Barueri, SP: Manole, 2008. 
–  BECKWITH, Thomas G.; MARANGONI, Roy D.; LIENHARD V, 
John H. Mechanical measurements. 5th ed. Reading, 
Massachusetts: Addison-Wesley, 1995. 
–  INMETRO. Vocabulário Internacional de Metrologia - Conceitos 
Fundamentais e Gerais de Termos. Associados - VIM. Rio de 
Janeiro. 2009. 
–  _____. Vocabulário Internacional de Termos de Metrologia Legal. 
Rio de Janeiro. 2007. 
–  _____. Quadro Geral de Unidades de Medida. Rio de Janeiro. 
2007. 
97 
5. Teoria de Erros 
–  MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatistica 
aplicada e probabilidade para engenheiros. 4. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2009. 
–  WALPOLE, Ronald E. et al. Probabilidade e estatística para 
engenharia e ciências. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 
98