Lista de Séries (convergências e divergências)

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1) O que é uma sequência? 
2) O que significa dizer que lim!→!! 𝑎! = 8 
3) O que significa dizer que lim!→!! 𝑎! = ∞ 
 
4) Construa um gráfico para cada sequência a seguir para decidir se a sequência é 
convergente ou divergente. Caso a sequência seja convergente, estime o valor do limite a 
partir do gráfico. 
 
a) 𝑎! = −1 ! !!!!   
b) 𝑎! = 2+ − !! ! 
c) 𝑎! = !!!! 
d) 𝑎! = !  .    !  .    !.… !!!!!! ! 
 
5) Determine uma expressão simples para a soma sn dos n primeiros termos de cada série: 
 
a) ...
)2n)(1n(
1...
6.5
1
5.4
1
4.3
1
3.2
1 +
++
+++++ 
 
b) ...
1n
nln...
5
4ln
4
3ln
3
2ln
2
1ln +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
+
++⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ 
 
6) Diga se as séries indicadas convergem ou não, justificando sua resposta: 
a) ∑ − n
5)1( n b) ∑
+
n
1n
5
2 c) ∑
n2
1 d) 
n
n
51∑ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ + 
e)∑ n
3
2
n 
 
7) Encontre a soma da série 𝑥!!!!!! , 𝑜𝑛𝑑𝑒   𝑥 < 1. 
Obs.: Note que essa série começa com n=0 e assim o primeiro termo é 𝑥! = 1, em séries, 
adotamos a convenção de que 𝑥! = 1 mesmo quando 𝑥 = 0. 
8) A série a seguir satisfaz as hipóteses do teste da série alternada. Neste caso estime o valor 
de n, que obtém o erro absoluto dado ao aproximarmos a soma da série pela n-ésima soma 
parcial. −1 !!!𝑘!!!! , 𝑒𝑟𝑟𝑜 < 0,0001 
 
9) Complete o quadro a seguir: 
Série Critério para convergência Critério para divergência 
∑
+∞
=1n
na 
 0lim ≠
+∞→ nn
a 
n
n
ra∑
+∞
=1
 
 
∑
+∞
=1
1
n
pn
 
 
∑
+∞
=
−−
1
1)1(
n
n
n a n 
 
0)(,
1
≥=∑
+∞
=
nfaa n
n
n 
(teste da integral) 
 
∑
+∞
=1n
na 
(teste da raiz) 
 
∑
+∞
=1n
na 
(teste da razão) 
 
∑
+∞
=1n
na 
(teste da comparação) 
convergeb
eba
n
n
nn
∑
∞+
=
≤≤
1
0
 
divergea
eba
n
n
nn
∑
∞+
=
≤≤
1
0
 
∑
+∞
=1n
na 
convergeb
eC
b
a
n
n
n
n
n
∑
∞+
=
+∞→
>=
1
0lim
 
divergeb
eC
b
a
n
n
n
n
n
∑
∞+
=
+∞→
>=
1
0lim