RESOLUÇÃO PROVA INTEGRAL

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1. (5 pontos) Calcule a derivada da função definida a seguir: 
( ) 





−
=
tt
t
senxf
4
2
4
 
( ) ( ) ( )( )24
34
4 4
2444.2
4
2
cos'
tt
tttt
tt
t
xf
−
⋅−−−
⋅





−
=
 ( )24
44
4 4
8882
4
2
cos
tt
tttt
tt
t
−
+−−
⋅





−
=
 ( )24
4
4 4
6
4
2
cos
tt
t
tt
t
−
−
⋅





−
=
 
 
2. (5 pontos) Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em 
gramas: 
( ) ( )




≤≤+
≤≤++
=
9060,6044.24
600,4
2
120 2
tparat
tparat
tw
 
 
onde t é medido em dias 
a) Qual a razão do aumento do peso da ave quando t= 50? 
b) Quanto a ave aumentará no 51o dia? 
c) Qual a razão de aumento de peso quando t=80? 
Para t = 50 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5445050'4142
2
1
'4
2
120 2 =+=⇒+=⋅+⋅⋅=⇒++= wtttwttw g/dias 
Para t = 51 ( ) ( ) ( ) ( ) 5,54478.15,532.1450
2
120451
2
1205051 22 =−=



++−



++=− ww 
 Para t = 80 ( ) ( ) ( ) 4,2480'4,24'6044,24 =⇒=⇒+= wtwttw g/dias 
 
3. (15 pontos) Resolva as integrais usando substituição de variável: 
 
a) ∫
−
+ dx
x
x
13
52
 
( )1
3
22
3
113
3
3
13
+=
+
=⇒+=
=⇒=
−=
ux
u
xux
dudxdxdu
xu
 
( ) ( ) ( ) du
u
udu
u
udu
u
udu
u
u
 ∫∫∫∫
++
=
++
=
++
=⋅
++ 1522
9
1
3
1512
3
1513
2
3
1
3
51
3
2
 
( ) Cuudu
uu
udu
u
udu
u
u
++=





+=
+
=
++
∫∫∫ ln1729
1172
9
1172
9
11522
9
1
 
( ) ( ) ( ) CxxCuu +−+−=++= 13ln
9
1713
9
2ln
9
17
9
2
 
 
b) ( )∫ + dxxxx 332 52cos 
2
2
3
6
6
2
x
dudx
dxxdu
xu
=
=
=
 
( ) ( ) ∫∫ ∫ ⋅+⋅⇒+ dxxxdxxxdxxxx 233332 522cos52cos 
 ( ) Cxsenudxxduu ++=+⇒ ∫∫ 65 6
5
6
15cos
6
1
 
 ( ) Cxxsen ++⇒ 63
6
52
6
1
 
 
 
c) ∫ 





−
− dx
x
x
21
35
 
x
dudx
xdxdu
xu
2
2
1 2
−
=
−=
−=
 ∫ ∫ ∫
−
−
−
=





−
−
222 1
3
1
5
1
35
x
dxdx
x
xdx
x
x
 
 ∫ ∫∫ ∫
−
−−=
−
−
−
⋅⇒ 22 1
31
2
5
1
3
2
5
x
dxdx
ux
dx
x
dx
u
x
 
 ( ) C
x
x
xC
x
x
u +





−
+
−−−=+





−
+
−−⇒
1
1ln
2
31ln
2
5
1
1ln
2
3ln
2
5 2
 
 
1. (5 pontos) Calcule a derivada da função definida a seguir: 
( )
1
ln 2 +
=
x
x
xf
 
( ) ( ) ( ) ( )1lnln1lnln 22 +−⇒+−= xxxxxf 
( ) ( ) ( ) ( )1
1
1
21
1
211
1
11
' 2
2
2
22
2
2
2 +
−
=
+
−+
=
+
−=+⋅
+
−=
xx
x
xx
xx
x
x
x
x
dx
d
xx
xf 
 
2. (5 pontos) Um copo de limonada a uma temperatura de 40oF está em uma sala com temperatura 
constante de 70oF. Usando um princípio da Física, chamado Lei de Resfriamento de Newton, pode-se 
mostrar que se a temperatura da limonada atingir 52oF em uma hora, então a temperatura T da 
limonada como função no tempo decorrido é modelada aproximadamente pela equação 
T = 70 − 30.e−0,5t, onde T está em oF e t em horas. Qual a taxa de variação quando t = 5? e estimar 
o tempo que leva o copo a ter uma temperatura de 60ºF? 
( ) tt ee
dt
dT 5,05,0 155,030 −− ⋅=−⋅−= 
( ) 23,1155 55,0 =⋅= ×−e
dt
dT oF/h 
tt ee 5,05,0 3010307060 −− ⋅−=−⇒⋅−= 
0986,15,0
3
1lnln
30
10 5,05,0
−=−⇒





=⇒
−
−
=
−− tee tt 
1972,2
5,0
0986,1
=
−
−
=t horas 
3. (15 pontos) Resolva as integrais usando substituição de variável: 
 
a) ( )∫ + dxxx 201412 
dxdu
uxxu
 =
−=⇒+= 11
 ( ) ( )∫∫ −=+⋅ duuudxxx 20142014 1212 ( ) Cuuduuu +





−=−= ∫ 20152016
22
20152016
20142015
 
( ) CxxCuu +





−
+
+=+





−=
2015
1
2016
112
2015
1
2016
2 20152015 
 
b) 
( )
∫
++ dx
x
xx 12
 
 
duxdx
dx
x
du
xu
xuxu
 
 
2
2
1
24
2
=
=
=⇒
=⇒=
 
( ) ( ) Cuuuduuudux
x
uu
+++=++=⋅
++
∫∫ 23
2
5
21221
35
24
24
 
 Cxxx +++= 21
2325
2
3
2
5
2 
 ( ) Cxxx +++= 1553
15
2 2
 
c) ( )∫ + dxxx 5573 1 
2
2
33
3
3
11
x
dudx
dxxdu
uxxu
 =
=
−=⇒+=
 
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ −=⋅−=⋅+=+ duuux
du
xuuduxxxduxx 1
3
1
3
111 572
257235735573
 
( ) ( ) Cuuduuuduuu +−=−=−= ∫∫ 5125175751257 36
5
51
5
3
11
3
1
 
( ) ( ) ( )( ) CxxCuu +−++⇒=+−= 171121
612
51712
612
5 35123512
 
( ) ( ) Cxx +−+= 5121
612
5 35123