Calculo II com Wolfram Mathematica - Atividade 2

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Atividade 2 - Calculo II
A interpretação geométrica das derivadas parciais como enunciado no texto de Edwards e
Penney basicamente nos elucida a questão principal de que uma função f (x, y) pode ser interpre-
tada no momento da derivação como uma função de única variável, setando x ou y como con-
stantes. Portanto, tornando-se então a derivada parcial fx fy o coeficiente angular de uma reta
tangente a certa curva na superfície z = f (x, y). Para ilustrar, podemos por exemplo definir y = b
e verificar que ao longo da curva da superfície z, a coordenada x irá variar enquanto y per-
manece constante uma vez que a curva está no plano vertical y = b. Ou seja, uma curva de
intersecção com z definindo um plano vertical paralelo ao plano xz sendo chamada então de
curva x na superfície. Vejamos a ilustração no plano xz. 
Para isso fazemos o desenvolvimento tal qual para encontrar uma reta tangente a uma curva
comum para f(x).
f (x_) = 4- x2;
f ′(x) = 5- 2 x
f (1) = 4
f ′(1) = 3
r(x_) = 3- 2 (x- 1)
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Plot[{f (x), r(x)}, {x, 0, 3}, AxesLabel → {z, x}]
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
z
-4
-2
2
4
x
Podemos agora ignorar a presença de y = b e considerar z = f(x, b) como uma função de variável
única x. Sendo assim, o significado geométrico de fx é que o valor de fx(a,b) é o coeficiente
angular da reta tangente a curva x na superfície z = f (x, y). Podemos verificar considerando y =
b um plano cortante a superfície exemplificada em 3 dimensões. Vejamos com uma nova função
g[x,y] para melhor ilustração:
g[x_, y_] = 40 - 4 x2 - y2;
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e1 = Manipulate[ContourPlot3D[{y ⩵ b, -40 == -4 x2 - y2},{x, -1, 5}, {y, -10, 10}, {z, -3, 3}], {b, -5, 5}]
b
Agora, podemos finalmente analisar as derivadas parciais para podermos encontrar o plano
tangente a essa superfícíe da equação g[x,y]. Para isso, precisamos interpretar o significado dos
pontos da mesma. Ou seja, para cada ponto (λ, μ, g(x,y)) da superfície existem planos cortantes
x = λ, y = μ que definem retas tangentes com seus respectivos versores, façamos então as
derivadas parciais em x e y para encontrarmos seus valores.∂g(x, y)∂y = -2 y
∂g(x, y)∂x = -8 x
Sendo assim, ficamos com os versores das retas, respectivamente: <0, 1, -2y> e <1, 0,
-8x>. Ficando com a equação parametrizada por constantes s e t do plano tangente ao
ponto <λ, μ, g(x,y)> = β[λ, μ, s, t] = (λ, μ, g[x,y]) + s(0, 1, -2y) + t(1, 0, -8x). Agora,
basta normalizá-los para que possamos fazer a plotagem. Segue:
β(λ_, μ_, s_, t_) = {λ, μ, g(x, y)} + s {0, 1, -2 μ}
4 μ2 + 1 + t {1, 0, -8 λ}64 λ2 + 1 ;
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Manipulate[ContourPlot3D[{x ⩵ λ, y ⩵ μ, -40 == -4 x2 - y2},{x, -1, 5}, {y, -10, 10}, {z, -3, 3}], {μ, -5, 5}, {λ, 0, 5}]
μλ
In[1]:= f[x_, y_] = 3 - 3 x2 - y2;
In[2]:= aa = Plot3D[f[x, y], {x, -1, 1},{y, -3, 3}, RegionFunction → Function[{x, y, z}, 3 x2 + y2 ≤ 3]];
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In[8]:= bb = ContourPlot3D[y ⩵ -1, {x, -1, 1}, {y, -3, 3}, {z, 0, 3}];
In[7]:= α[t_] = {t, -1, f[t, -1]};
In[6]:= c = ParametricPlot3D[α[t], {t, -1, 1}, PlotStyle → {Thick}];
In[9]:= Manipulate[
Show[aa, bb, c, Graphics3D[Arrow[{α[λ], α[λ] + (0.5) * α'[λ]}]]], {λ, -0.3, 0.3}]
Out[9]=
λ
Ao manipular o botão podemos perceber que há uma seta (ou prancha) que representa
uma reta tangente a um plano que corta o gráfico da função 3 -3 x2 - y2, sendo a
função do plano o y = -1. O comando Manipulate, como o nome sugere, manipula os
valores inseridos na função α, ou seja, para cada valor dado λ no manipulate a seta
(arrow) chamada pelo Graphics3D se move ao longo do plano y = -1 que corta o
gráfico f[x,y]. 
Podemos perceber que as ideias da questão 1 estão bem representadas nesse gráfico.
Uma vez que temos uma função f[x,y] que assume derivadas parciais. Nesse caso,
setamos y = -1 tornando então f [x, -1] que é uma função de variável única. Esse é o
processo para a derivada parcial ∂ f (x,y)∂x em que se assume y sendo uma constante e
derivando em x. Lembrando que o plano quando y = -1 possui vetor diretor <0, 1,∂ f (x,y)∂x > sendo assim, há a parametrização e a possibilidade de se observar um plano
que corta a função f [x, -1]. Essas são as ideias elucidadas por Edwards e Penney e
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que usamos para poder resolver a questão 1 também.
Sabemos que para encontrar a equação do plano π tangente precisamos primeiro
definir as derivadas parciais em relação a x, y e z. Primeiro vamos plotar o nosso
cone infinito para ilustrarmos a expressão x2 + y2 - z2.
z2 = ContourPlot3D[x^2 + y^2 - z^2 ⩵ 0, {x, -4., 4.}, {y, -4., 4.}, {z, -4., 4.},
Axes → True, BoxRatios → {1., 1., 1.}, ViewPoint → {-1.54086, -2.5349, -0.447241},
PlotRange → All, AxesLabel → {"x", "y", "z"}, ContourStyle →
Directive[RGBColor[1, 0.8, 0.3], Specularity[RGBColor[0.2, 0.2, 0.7], 20]],
Lighting → "Neutral", ColorFunction → None,
BoxStyle → GrayLevel[0, 0.35], PlotTheme -> "Detailed"]
x2 + y2 - z2  0
f[x_, y_, z_] = x2 + y2 = z2;
Agora vamos definir as derivadas parciais e o vetor ∇ que é o vetor Normal do Plano,
sabendo que o ponto (1,1,2) pertence ao Cone:∂x2 + y2 - z2∂x = 2 x î)∂x2 + y2 - z2∂y = 2 y ( j)∂x2 + y2 - z2∂z = -2 z (k)∇f (x, y, z) = (2 x, 2 y, 2 z)
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Finalmente, podemos definir o Plano tendo em mãos um vetor e um ponto π.π : 2 (x - 1) + 2 (y - 1) - 2 (z - 2) = 0;
Set::write : Tag Plus in π : 2 (-1 + x) + 2 (-1 + y) - 2 (-2 + z) is Protected. 
Definido o plano, iremos plotar e depois com o comando Show juntamos o Cone ao Plano e
podemos observar que de fato esse plano tangencia a nossa curva.
z1 = ContourPlot3D[ 2 (x - 1) + 2 (y - 1) - 2 (z - 2) ⩵ 0, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, {z, -3, 3}]
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Show[z1, z2]
x2 + y2 - z2  0
Agora, iremos definir a reta r que passa pelo ponto P0 = < 22 , 22 , 1 > e
pertence ao plano. Para isso basta fazer o produto escalar PP0 = t∇.
P = (x, y, z)
P0 = 22 , 22 , 1
P P0 = t ∇
Logo r: x = 2t + 22 ; y = 2t + 
2
2 ; z = 2t + 1
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