Exercicios de cálculo de áreas.

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Calcule a área das regiões sombreadas nas figuras seguintes, usando integrais. 
1- 
 
 
Resolução de 1- 
Primeiramente usando nosso conhecimento de área de retângulos podemos antes de tudo 
saber qual a área da região sombreada e assim temos a resposta antes de resolver o exercício. 
Isso pode ser útil para verificar ao final da resolução se exercício esta correto. 
 
Então a área da região sombreada é 3+9+8+0.5+3+2+0.5+1=24, fatalidade, mas vamos 
prosseguir. Para calcularmos área sobre gráfico de função precisamos do saber quais são as 
funções, em primeiro lugar. Observamos que os gráficos de função são dados pelos segmentos 
de retas AB, BC, CD, EF e FG. O segmento DE não representa gráfico de função. Então se 
soubermos quais são as funções associadas aos gráficos usando o teorema fundamental do 
cálculo e o fato de que todos os segmentos estão sobre o eixo 0x temos que a integral em seus 
respectivos intervalos corresponde a área a região sob o gráfico. 
 
Antes de começarmos a encontrar as retas, observamos que entre os 
pontos 3 e 5 no eixo 0x a função correspondente ao gráfico entre os 
pontos B e C é a função constante ��(�)= 4, e entre os pontos 6 e 7 no 
eixo 0x a função correspondente ao gráfico entre os pontos E e F é a 
função constante ��(�)= 2. Desta forma, precisamos apenas encontrar as 
funções que serão representantes dos gráficos de função entre os pontos 
A e B, entre C e D e entre F e G. 
Para isso vamos usar o que diz Euclides “Dois pontos determinam uma 
reta”. Sabemos que a equação de uma reta é � = �.� + � , onde 
(�,�) são as coordenadas dos pontos que pertencem a reta. 
Então como os pontos (0,2) e (3,4) são pontos da reta que passa por A e 
B temos 
�
2 = �.0 + �
4 = �.3 + �
 
Resolvendo este sistema temos � = 2 e � =
�
�
 . Portanto a função que 
tem como gráfico o segmento de reta ligando os pontos A e B é ��(�)=
�
�
� + 2. 
Fazendo a mesma coisa com os pontos C e D encontramos para � = �.� +
�, � = 9 e � = −1. Logo ��(�)= − � + 9. Para determinarmos a função 
entre os pontos F e G procedemos da mesma forma e assim teremos 
��(�)= − � + 9. O que é bem lógico se olharmos a figura. 
Então temos tudo o que precisamos para calcularmos a área usando a 
integral e 
Área=∫ ��(�)��
�
�
+ ∫ ��(�)
�
�
�� + ∫ ��(�)�� + ∫ ��(�)�� + ∫ ��(�)�� =
�
�
�
�
�
�
 
 
= �
2
3
� + 2 ��
�
�
+ � 4
�
�
�� + � −� + 9 �� + � 2 ��� − � + 9 �� =
�
�
�
�
�
�
 
 
= �
��
3
+ 2��
�
�
+ [4�]�
� + �−
��
2
+ 9��
�
�
+ [2�]�
� + �−
��
2
+ 9��
�
�
= 
 
 = 9 + 8 + 3,5 + 2 + 1,5 = 24. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-
 
3-
 
4-
 
 
 
 
 
 
 
5- 
 
6-