Relações Matemáticas em Sistemas de Informação

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – Campus Cabo Frio 
Curso: Sistema de Informação - Disciplina: Matemática Computacional - Ano 2018.2 
Profª Gilselene Guimarães 
 
Unidade 3 – Relações 
3.1- Pares Ordenados; 3.2 – Relações Binárias; Propriedades; 3.3 – Relações de Equivalência. 
 
3.1. Pares Ordenados 
►Sistema cartesiano ortogonal de coordenadas 
Auxilia na determinação de um ponto através de um conjunto de informações contidas em 
um plano chamado PLANO CARTESIANO. 
1º) Fixar nesse plano dois eixos reais Ox e Oy; 
2º) Ox e Oy são perpendiculares entre si no ponto O; 
3º) o ponto O é a origem do sistema; 
4º) Ox é o eixo das abscissas 
5º) Oy é o eixo das ordenadas; 
 6º) Quadrantes 
 
 
►Coordenadas de um ponto no plano cartesiano 
Dado um ponto P do plano cartesiano, chamamos de projeção ortogonal de P sobre um dos 
eixos Ox ou Oy a intersecção desse eixo com a perpendicular a ele, traçada por P. 
• P’ – é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Ox; 
• P’’ – é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Oy; 
Dizemos que as coordenadas do ponto P são: a abscissa do ponto P’ e a ordenada do ponto 
P’’. 
 
Uma das formas de representar uma relação é utilizando pares ordenados. 
Notação P(a,b) – P possui abscissa a (P’) e ordenada b (P”). 
O símbolo (a, b) é chamado de par ordenado. 
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Exemplo: 
- P(5, 4) significa que a abscissa de P é 5 e a ordenada é 4; 
- Q(4, 5) significa que a abscissa de Q é 4 e a ordenada é 5. 
Observação: 
I) Um ponto P pertence ao eixo das abscissas se, e somente se, sua ordenada for zero. 
II) Um ponto T pertence ao eixo das ordenadas se, e somente se, sua abscissa for zero. 
 
Exemplos 
(a) O ponto A(5, 0) pertence ao eixo das abscissas; 
(b) O ponto B(0, 4) pertence ao eixo das ordenadas; 
(c) O ponto C(3, 4) pertence ao I Q; 
(d) O ponto D(-2, 5) pertence ao II Q; 
(e) O ponto E(-4, -6) pertence ao III Q; 
(f) O ponto F(5, -2) pertence ao IV Q. 
 
Produto Cartesiano 
Sejam A e B conjuntos. Consideremos o conjunto { (x,y) / x ∊ A e x ∊ B }. 
Notação: A x B (lê-se A cartesiano B). 
 
Exemplo: Sendo A = {1, 2, 3} e B = {5, 8}, temos: A X B = {(1, 5), (1, 8), (2, 5), (2, 8), (3, 5), (3,8)} 
 
Seja R um conjunto. Suponhamos que todos os elementos de R são pares ordenados. 
Dizemos, então, que R é uma relação. Se (x, y) ∊ R, então dizemos que x e y estão associados 
(ou relacionados) através de R. 
Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 6, 10}, determinar: 
a) o produto cartesiano A X B; 
A X B = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 10), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 10), (3, 1), (3,2), 
 (3, 4), (3, 6), (3, 10)} 
 
b) a relação R1 de A em B, dada por R1 = {(x, y) ∊ A X B | y = 2x}; 
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Sejam A e B conjuntos. Suponhamos que R ∊ A x B. 
• A é o conjunto de partida de R. 
• B é o conjunto de chegada ou contradomínio de R. 
*Domínio ►Seja R relação. Consideremos o conjunto formado pelas primeiras coordenadas 
dos pares de R. Dizemos que tal conjunto é o domínio de R e escrevemos D(R). 
*Imagem ►Seja R uma relação. Consideremos o conjunto formado pelas segundas 
coordenadas dos pares de R. Dizemos que tal conjunto é a imagem de R e escrevemos I(R). 
Exemplo: A é o conjunto de partida (CP) e B é o contradomínio (CD) da relação R. 
D(R) = {1, 2, 3}; Im(R) = {2,4,6}. 
 
3.2. Relações Binárias. Propriedades. 
►Relação Binária 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária de A em B a qualquer subconjunto f de 
A x B. Então: Se f é uma relação binária de A em B então f  A x B. 
 
Exemplo: Sejam os conjuntos S = {1,2} e T = {2,3,4} e a relação binária R dada por: x R y  x + 
y é ímpar R = {(1,2), (1,4), (2,3)} 
 
 
►Propriedades 
1- Propriedade Reflexiva 
Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou seja, 
para todo x ∊ A → (x,x) ∊ R, isto é, para todo x ∊ A → xRx. 
Exemplo: Uma relação reflexiva em A = {a,b,c}, é dada por: R = {(a,a), (b,b), (c,c)} 
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Contraexemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c)} sobre A = {a,b,c} não é reflexiva pois c 
não se relaciona com c. 
 
 
Exemplo: Considere a relação R definida em A = {1, 2, 3, 4} tal que “x divide y”. Essa relação 
pode ser escrita como: R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)}. 
Observe que para qualquer valor de x ∈ A, é possível encontrar em R um par ordenado na 
forma (x, x), ou seja, um par ordenado tal que a abscissa divide a ordenada. Concluímos, 
então, que R é reflexiva. 
 
2- Propriedade Simétrica 
Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y, implicar necessariamente 
que y está relacionado com x, ou seja, quaisquer que sejam x ∊ A e y ∊ A tal que ( x, y) ∊ R , 
segue que (y ,x ) ∊ R. 
Exemplo: Uma relação simétrica em A = {a,b,c}, é dada por: R = {(a,a), (a,b), (c,c), (b,a)} 
Contraexemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,c)} sobre A = {a,b,c} não é simétrica pois a se 
relaciona com c, mas c não se relaciona com a. 
 
 
Exemplo: Considere as relações binárias: 
• R1 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 3), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}; 
• R2 = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} e 
• R3 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3)} 
 
Quais são reflexivas e quais são simétricas? 
 
A relação é R1 é reflexiva, pois para todos os valores que x assume (que são 0, 1, 2 e 3), 
podemos encontrar, na relação, o par ordenado (x, x): (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3). Ela também é 
simétrica, pois, para todo par ordenado (x, y) a ela pertencente, podemos encontrar o par 
ordenado (y, x). 
A relação R2 também é reflexiva e simétrica. Veja que para todos os valores que x assume (0, 
1, 2 e 3), conseguimos encontrar o par ordenado (x, x). Além disso, para todo par ordenado na 
forma (x, y) há um par ordenado (y, x), pois todos eles são formados por coordenadas iguais, 
isto é, x = y. 
Já a relação R3 é reflexiva, mas não é simétrica, pois para o par ordenado (2, 3) não 
conseguimos encontrar o seu simétrico, que é (3, 2). 
 
3- Propriedade Transitiva 
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Uma relação R é transitiva, se x está relacionado com y e y está relacionado com z, implicar 
que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquer que sejam x ∊ A , y ∊ A e z ∊ A , se (x ,y 
) ∊ R e (y, z) ∊ R então (x ,z ) ∊ R . 
Exemplo: Uma relação transitiva em A = {a,b,c}, é dada por: R = {(a,a), (a,c), (c,b), (a,b)} 
Contraexemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,c)} sobre A = {a,b,c} não é transitiva pois a 
se relaciona com b e b se relaciona com c, mas a não se relaciona com c. 
 
 
 
 Propriedade Antissimétrica 
Uma relação R é antissimétrica se x e y são elementos distintos do conjunto A então x não tem 
relação com y ou y (exclusivo) não tem relação com x. 
Se (x,y) do conjunto A tem relação desde que o par (y,x) não esteja na relação. 
Exemplo: Uma relação antissimétrica em A = {a,b,c}, é dada por: R = {(a,a), (b,b), (c,b), (a,b)} 
Contraexemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)} sobre A = {a,b,c} não é antissimétrica pois 
sendo a  b , a se relaciona com b e b se relaciona com a. 
 
3.3 - Relações de Equivalência. 
Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, 
e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. 
 
Exemplo:Considere o conjunto finito A = {1, 2, 3, 4} e a relação 
R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)} definida sobreA. 
 
Não é difícil perceber que R é uma relação reflexiva, pois para todo x ∈ A, temos (x, x) ∈ R. 
Isso pode ser percebido pela presença dos pares ordenados (1, 1), (2, 2), (3, 3) e (4, 4) na 
relação. 
A simetria também está presente para todos os termos da relação. Além dos pares ordenados 
com coordenadas iguais, temos: (1, 2) e (2, 1); (3, 4) e (4, 3). 
Quanto à transitividade, note que sempre que se observa as relações x R y e y R z, temos 
também a relação x R z. Portanto, R é uma relação de equivalência em A. 
 
Exercícios Propostos 
1 - Uma pessoa recebe R$ 3,00 por objeto que fabrica. Ela consegue produzir de 5 a 10 
objetos por dia. O seu salário diário s está determinado pelo numero n de objetos que faz 
como pode observar na tabela abaixo. 
 
 
 
 
 
Represente a solução da situação problema em forma de par ordenado. 
n 5 6 7 8 9 10 
s 15 18 21 24 27 30 
6 
 
2 - Sendo A = {x ∊ N/ 1< x < 4} e B = {x ∊ Z/ 5 < x < 10}, o conjunto imagem da relação 
S = {(x,y) AXB/ x + y = 9} é ? 
 
3- Sejam A = { a, b, c }, B = { d, e }. Determine A x B e B x A. 
 
4 – Seja os pares ordenados das seguintes relações binárias em N x N. Determine quais 
são os pares ordenados que pertencem a relação binária R. 
a) x R y  x = y + 1 (2,2) , (2,3) (3,3), (3,2) 
b) X R y  x divide y (2,4),(2,5),(2,6) 
 
5- 
 
 
6- Dada a função f:{−3,2,0,√5}→ℜ, definida pela fórmula f(x)=2x2+1. Determine a sua 
imagem. 
 
7- Dado o esquema abaixo, representando uma função de “A” em “B”, determine: 
 
 
 
 
8- Dados os conjuntos A={a,b,c} e B={1,2,3,4}, podemos construir a relação R em A×B que 
está apresentada no gráfico. 
 
 
9- Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={1,3,4,5} de números reais e a relação definida por 
R={(x,y) A×B: y=2x–1}. Qual dos gráficos cartesianos abaixo, representa a relação R? 
a) O Domínio: 
b) A imagem 
c) f(5) 
d) f(12) 
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10- Sejam os conjuntos A={1,3,4,5} e B={0,6,12,20} e a relação R={(x,y) em A×B: y=x(x–1)} 
definida sobre A×B. Escrever R de uma forma explicita.