119643_4334_27.02.2015 21.03.48_aula_02

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Cálculo Numérico 
Métodos Iterativos para o Cálculo de Raízes 
de Funções 
 
Prof. Onézimo Cardoso 
Link para Aula 02 
http://www.mediafire.com/view/fhpiyrqxbiogw85/aula_02.pdf 
Método da Posição Falsa 
• A exemplo do Método da Bissecção, é 
utilizado para determinarmos uma raiz de 
uma função com uma tolerância pré-
determinada; 
 
• Também se trata de um método iterativo, 
portanto, é composto de duas fases; 
 
 
FASE I : Localização ou isolamento das raízes, o 
qual consiste em obter um intervalo que 
contenha a raiz; 
 
FASE II : Refinamento, que consiste em, 
escolhidas as aproximações iniciais no intervalo 
encontrado na Fase I, melhorá-las 
sucessivamente até se obter uma aproximação 
para a raiz dentro de uma precisão 𝜀 prefixada; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1. Isolamento das Raízes 
 
• Nesse estágio, faz-se uso do seguinte Teorema: 
 
 
 
 
• Perceba, que para a Fase I, o método é idêntico 
ao Método da Bissecção; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema do Valor Intermediário (TVM): Seja 𝑓 𝑥 uma função 
contínua no intervalo fechado 𝑎, 𝑏 , tal que 𝑓 𝑎 e 𝑓(𝑏) possuem 
sinais opostos, isto é 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 < 0. Então existe uma raiz 𝑥 = 𝑐 de 
𝑓 𝑥 = 0 em 𝑎, 𝑏 . 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Dada a função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 9𝑥 + 3, temos 
a tabela a seguir para os sinais dos valores assumidos 
por 𝑓 mediante a variação dos valores de seu 
domínio: 
 
 
 
 
• Visto que 𝑓 é uma função polinomial, ela é contínua 
em todos os pontos de seu domínio e, em particular, 
para qualquer intervalo fechado de seu domínio; 
 
• Então, pelo TVM, temos que existe pelo menos um 
zero de 𝑓(𝑥) em cada um dos intervalos 𝐼1 =
−5,−3 , 𝐼2 = 0, 1 , 𝐼3 = 2, 3 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. Refinamento 
• Nesse método, ao invés de tomar o 𝑐𝑘 como sendo o 
ponto que divide o intervalo ao meio, considera-se o 
ponto que cruza o eixo 𝑥 e está na reta que liga os 
pontos (𝑎, 𝑓(𝑎)) e (𝑏, 𝑓(𝑏)): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Perceba que os triângulos ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆𝐶𝐷𝐸 são 
semelhantes: 
•Daí: 
 
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐶𝐸
 
 
⇒
𝑓(𝑎)
𝑓(𝑏)
=
𝑐 − 𝑎
𝑐 − 𝑏
 
⇒ 𝑓 𝑎 𝑐 − 𝑓 𝑎 𝑏 = 𝑓 𝑏 𝑐 − 𝑓 𝑏 𝑎 
⇒ 𝑐 𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑏 = 𝑓 𝑎 𝑏 − 𝑓 𝑏 𝑎 
 
𝑐 =
𝑓 𝑎 𝑏 − 𝑓 𝑏 𝑎
𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏)
 𝑜𝑢 𝑐 =
𝑓 𝑏 𝑎 − 𝑓 𝑎 𝑏
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
 
• Observe que outras duas caracterizações de 𝑐 
são expressas por: 
 
𝑐 = 𝑏 −
𝑓 𝑏 𝑎 − 𝑏
𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑏
 𝐼 
 
𝑐 = 𝑎 −
𝑓 𝑎
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
𝑏 − 𝑎
(𝐼𝐼) 
• Em (𝐼), observe que: 
 
𝑐 =
𝑏 𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑏)(𝑎 − 𝑏)
𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏)
 
 
⇔ 𝑐 =
𝑏𝑓 𝑎 − 𝑏𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑏 𝑎 + 𝑓(𝑏)𝑏
𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏)
 
 
⇔ 𝑐 =
𝑏𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏)𝑎
𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏)
 
 
• Em (𝐼𝐼), temos: 
 
𝑐 = 𝑎 −
𝑓(𝑎)(𝑏 − 𝑎)
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
 
 
⇔ 𝑐 =
𝑎(𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 ) − 𝑓(𝑎)(𝑏 − 𝑎)
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
 
 
⇔ 𝑐 =
𝑎𝑓 𝑏 − 𝑎𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑎 𝑏 + 𝑓 𝑎 𝑎
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
 
⇔ 𝑐 =
𝑏𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏)𝑎
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
 
 
• Note que se 𝑓 𝑎 𝑓 𝑐 < 0, então, do mesmo 
modo como já ocorria no Método da Bissecção, 
𝑏 = 𝑐; 
 
• Caso contrário, se 𝑓 𝑎 𝑓 𝑐 > 0, então, 𝑎 = 𝑐; 
Critério de Parada (Cont.) 
• 𝑥 é raiz aproximada com precisão 𝜖 se: 
 
1. 𝑏 − 𝑎 < 𝜖1; 
 
2. 𝑓(𝑥 ) < 𝜖2; 
Algoritmo 
• ESTRUTURA ITERATIVA (MÉTODO DA POSIÇÃO 
FALSA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estimar a e b 
f(a)f(c)<0 
 c = 
 (bf(a)-f(b)a)/(f(a)-f(b)) 
 f(a)f(c)>0 
b=c 
a=c 
SE 
SENÃO 
SE 
SENÃO 
|b-a|<є 
FIM! 
|f(c)|<є 
ou 
Exemplo 
• Utilizemos o Método da Posição Falsa para 
determinarmos a raiz da função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 −
𝑥 − 4 = 0, com tolerância f c < 𝜖2 = 0.03; 
 
• Primeiramente, necessitamos descobrir o 
intervalo no qual procuraremos a raiz de 𝑓; 
 
• Observe que: 
 
𝑓 𝑎 = 1 = −4 < 0 
 
𝑓 𝑏 = 2 = 2 > 0 
 
• Portanto, pelo Teorema do Valor Médio, existe 
uma raiz de 𝑓 no intervalo [1,2]; 
 
• Na primeira iteração, temos que o valor de 𝑐 é 
determinado por: 
 
𝑐 =
1 ∙ 𝑓 2 − 2 ∙ 𝑓(1)
𝑓 2 − 𝑓(1)
= 1,666 
 
• Perceba que 
 
𝑓 𝑐 = −1.042 
• Temos nesse caso: 
 
𝑓 𝑎 𝑓 𝑐 > 0 
 
• Então, desse modo, 𝑎 = 𝑐 (para a próxima 
iteração); 
• Na próxima iteração, temos então que: 
 
𝑐 =
1.666 ∙ 𝑓 2 − 2 ∙ 𝑓(1.666)
𝑓 2 − 𝑓(1.666)
= 1.780 
 
• Note que: 
 
𝑓 𝑐 = 1.780 = −0.1402 < 0 
 
• Temos então que 𝑓 𝑎 𝑓 𝑐 > 0, e, portanto, 
𝑎 = 𝑐 na próxima iteração; 
• O cálculo de 𝑐 na iteração seguinte, é descrito 
por: 
 
𝑐 =
1.780 ∙ 𝑓 2 − 2 ∙ 𝑓(1.780)
𝑓 2 − 𝑓(1.780)
= 1.794 
 
• Nesse caso temos: 
 
𝑓 𝑐 = 1.794 = −0.0201 
• Temos nesse caso, que: 
 
𝑓 𝑐 < 0.03 = 𝜖2 
• Portanto 𝑐 = 1.794, é uma raiz com tolerância 
aceitável; 
Exemplo 
• Aplique o método da posição falsa e encontre 
o valor da raiz da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3, com 
𝜖1 = 0.3 e 𝜖2 = 0.01 . Para isso, utilize o 
intervalo 1,2 ; 
Solução: 
 
A aplicação do Método conduz aos seguintes 
resultados: 
Solução no Matlab 
Exemplo 
• Aplique o método da posição falsa e encontre 
o valor da raiz da função 
𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥(3.2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 0.5 cos 𝑥 ) , com 
𝜖1 = 0.3 e 𝜖2 = 0.001. Para isso, utilize o 
intervalo 3,4 ; 
Solução: 
 
A aplicação do Método conduz aos seguintes 
resultados: 
• Aplique o método da posição falsa e encontre 
a raiz de 𝑥3 + 3𝑥 − 5; 
Método do Ponto Fixo 
1. Dada uma função 𝑓 x = 0, escreva a função na 
forma 𝑔 𝑥 = 𝑥; 
2. Nomeei o lado esquerdo em função de 𝑥𝑛+1 e o 
lado direito em função de 𝑥𝑛; 
3. Cheque se 𝑔 𝑥 = 𝑥 irá convergir para a 
solução, no intervalo fornecido; 
4. Escolha um 𝑥0 arbitrário, pertencente ao 
intervalo que contém a raiz, e aplique-o na 
equação 𝑔 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛+1; 
5. Repita o procedimento até a série convergir; 
• Para realizarmos o passo 3, e checarmos se 
uma função 𝑔 𝑥 = 𝑥 é conveniente para 
aplicarmos o método, basta verificar se: 
 
• Dado o intervalo 𝐼 no qual iremos fazer a 
busca pela raiz, precisamos mostrar que: 
 
𝑔′ 𝑥𝑖 < 1 ∀ 𝑥𝑖∈ 𝐼 
Exemplo 
• Dada a função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 8𝑥 − 7 = 0 , 
busquemos uma raiz de 𝑓 no intervalo 0,1 ; 
• Escolhamos 𝑔 𝑥 =
7−𝑥3
8
 e mostremos que: 
 
𝑔′ 𝑥𝑖 < 1 ∀ 𝑥𝑖∈ (0,1) 
 
• Note que: 
 
𝑔′ 𝑥 = −
3
8
𝑥2 
⇒ |𝑔′ 𝑥 | =
3
8
𝑥2 
⇒ 𝑔′ 𝑥𝑖 < 1 ∀ 𝑥𝑖∈ (0,1) 
 
• Visto que: 
 
0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
⇒ 0 ≤ 𝑥2≤ 1 
⇒ 0 ≤
3
8
𝑥2≤
3
8
< 1 
 
• Apliquemos então o Método do Ponto Fixo 
para determinar uma raiz de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 +
8𝑥 − 7 = 0 , no intervalo (0,1) , utilizando 
𝑔 𝑥 =
7−𝑥3
8
 e 𝑥0 = 0.75; 
Iteração (n) 𝒙𝒏 
0 0.75 
1 𝑥1 = 𝑔 𝑥0 = 0.8226 
2 𝑥2 = 𝑔 𝑥1 =0.80550 
3 𝑥3 = 𝑔 𝑥2 =0.80967 
4 𝑥4 = 𝑔 𝑥3 =0.80865 
5 𝑥5 = 𝑔 𝑥4 =0.80890 
6 𝑥6 = 𝑔 𝑥5 =0.80884 
7 𝑥7 = 𝑔 𝑥6 =0.80885 
8 𝑥8 = 𝑔 𝑥6 =0.80885 
• Temos portanto que 𝑐 = 0.80885 é uma 
aproximação para a raiz de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 8𝑥 −
7 = 0; 
 
• De fato, tomando 𝑓 𝑥 = 𝑐 = −0,0000193328; 
Taxa de Convergência do Algoritmo 
• Após determinada a raiz aproximada da função, 
no caso do exemplo anterior, 𝑐 = 0.80885 , 
podemos obter a Taxa de Convergência do 
Algoritmo do Ponto Fixo, simplesmente 
tomando: 
 
𝑔′ 𝑐 = −
3
8
(0.80885)2 = 0.57318 
 
• Quanto menor o valor de |𝑔′(𝑐)| mais rápido o 
algoritmoconverge para a raiz da função 𝑓 𝑥 ; 
Programa em C 
Exemplo 
• Aplique o Método do Ponto Fixo e encontre a 
raiz da equação 𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0 em (1,3); 
tome 
tome 
Não converge converge 
Por que a equação da esquerda 
converge e da direita não? 
• Seja 𝑥𝑛+1 = 𝑔 𝑥𝑛 , temos que: 
 
Se 𝑔′ 𝑟𝑎𝑖𝑧 < 1 então a equação 
representada por 𝑔 𝑥𝑛 converge, caso 
contrário, diverge; 
Exemplo 
• Aplique o método do ponto fixo na equação 
𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 4𝑥2 − 10 e descubra uma de 
suas raízes utilizando o intervalo (0,2) e 
𝑥0 = 1,5; 
• Tomando 𝑔 𝑥 =
10
4+𝑥
 e iniciando com 
𝑥0 = 1,5, a partir da 7ª iteração o valor da raiz 
começa a repetir até 6ª casa decimal 
𝑥 = 1.365230, tal raiz quando substituída em 
𝑓(𝑥), retorna como valor 1,1813E-06 
Exercícios 
1. Aplicando o Método do Ponto Fixo, determine a 
raiz das funções abaixo: (𝜖 = 0.01) 
 
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 𝑥 − 10, em (1,2); 
(𝑔 𝑥 = (𝑥 + 10)1/4) 
 
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
1
2
 , em 1,2 ; 
(𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + (
1
2
)) 
 
 
 
2. Aplicando o Método da Posição falsa, 
determine a raiz das equações abaixo: 
( f c < 𝜖 = 0.01) 
 
a) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 − cos (𝑥), em (1,2); 
 
b) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥−1 − 1.5𝑥 em 0,1 ; 
 
Até próxima aula!