Estatística e Probabilidade - 10. Soma de Variaveis Aleatorias

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Soma	
  de	
  Variáveis	
  Aleatórias	
  
Wendeson	
  da	
  Silva	
  Oliveira	
  
Veremos....	
  
•  Que	
  quando	
  o	
  número	
  de	
  observações	
  de	
  
uma	
  variável	
  aleatória	
  independente	
  é	
  
grande:	
  
– A	
  frequência	
  relaDva	
  se	
  aproxima	
  da	
  
probabilidade	
  teórica;	
  
– Qualquer	
  distribuição	
  pode	
  ser	
  aproximada	
  por	
  
uma	
  normal.	
  
Soma	
  de	
  variáveis	
  aleatórias	
  
•  À	
  medida	
  que	
  o	
  número	
  de	
  repeDções	
  de	
  um	
  
experimento	
  cresce,	
  a	
  frequência	
  relaDva	
  fA	
  
de	
  algum	
  evento	
  A	
  converge	
  para	
  a	
  
probabilidade	
  teórica	
  P(A).	
  
– Este	
  fato	
  permite	
  "idenDficar"	
  a	
  frequência	
  
relaDva	
  de	
  um	
  evento,	
  baseada	
  em	
  um	
  grande	
  
número	
  de	
  repeDções,	
  com	
  a	
  probabilidade	
  do	
  
evento.	
  
Soma	
  de	
  variáveis	
  aleatórias	
  
•  Por	
  exemplo:	
  
–  Se	
  uma	
  nova	
  peça	
  for	
  produzida	
  e	
  não	
  Dvermos	
  
conhecimento	
  anterior	
  sobre	
  quão	
  provável	
  será	
  que	
  a	
  peça	
  
seja	
  defeituosa,	
  poderemos	
  proceder:	
  
•  	
  à	
  inspeção	
  de	
  um	
  grande	
  número	
  dessas	
  peças,	
  digamos	
  N;	
  
•  contarmos	
  o	
  número	
  de	
  peças	
  defeituosas	
  dentre	
  elas,	
  por	
  
exemplo	
  n;	
  	
  
•  depois	
  empregarmos	
  n/N	
  como	
  uma	
  aproximação	
  da	
  
probabilidade	
  de	
  que	
  uma	
  peça	
  seja	
  defeituosa.	
  
–  O	
  número	
  n/N	
  é	
  uma	
  variável	
  aleatória	
  e	
  seu	
  valor	
  depende	
  
de:	
  
»  Probabilidade	
  básica	
  p	
  de	
  que	
  uma	
  peça	
  seja	
  defeituosa;	
  
»  Daquelas	
  N	
  peças	
  que	
  tenham	
  sido	
  inspecionadas.	
  
O	
  que	
  iremos	
  mostrar	
  é	
  que	
  se	
  a	
  técnica	
  de	
  selecionar	
  as	
  N	
  peças	
  for	
  aleatória,	
  	
  
então	
  o	
  quociente	
  n/N	
  será	
  próximo	
  de	
  p.	
  
Lei	
  dos	
  Grandes	
  Números	
  
•  Suponha-­‐se	
  que	
  um	
  míssil	
  guiado	
  tenha	
  a	
  
probabilidade	
  0,95	
  de	
  funcionar	
  adequadamente	
  
durante	
  um	
  certo	
  período	
  de	
  operação.	
  
•  Consequentemente,	
  se	
  soltarmos	
  N	
  mísseis	
  que	
  
tenham	
  a	
  confiabilidade	
  mencionada,	
  e	
  se	
  X	
  for	
  o	
  
número	
  de	
  mísseis	
  que	
  não	
  funcionem	
  
adequadamente,	
  teremos	
  E(X)	
  =	
  0,05N,	
  porque	
  
poderemos	
  admiDr	
  que	
  X	
  seja	
  binomialmente	
  
distribuída.	
  
–  À	
  medida	
  que	
  N	
  crescer,	
  X	
  deve	
  convergir,	
  de	
  algum	
  
modo,	
  para	
  o	
  número	
  0,05.	
  
Lei	
  dos	
  Grandes	
  Números	
  
•  Formulação	
  de	
  Bernouilli:	
  
–  Seja	
  	
  E	
  um	
  experimento	
  e	
  A	
  um	
  evento	
  associado	
  a	
  E;	
  
–  Considere	
  n	
  repeDções	
  independentes	
  de	
  E;	
  
–  Seja	
  nA	
  o	
  número	
  de	
  vezes	
  em	
  que	
  A	
  ocorra	
  nas	
  n	
  
repeDções,	
  e	
  ;	
  
–  Façamos	
  fA	
  =	
  nA/n	
  	
  	
  	
  e	
  	
  	
  P(A)	
  =	
  p.	
  	
  
–  Então,	
  para	
  todo	
  número	
  posiDvo	
  ε,	
  teremos:	
  
–  Isso	
  acarreta:	
  
ou	
  
Lei	
  dos	
  Grandes	
  Números	
  
•  Outra	
  forma	
  da	
  Lei	
  dos	
  Grandes	
  Números	
  é	
  
obDda	
  quando	
  nos	
  fazemos	
  a	
  seguinte	
  pergunta:	
  
–  Quantas	
  repeDções	
  do	
  experimento	
  E	
  deveremos	
  
realizar,	
  a	
  fim	
  de	
  termos	
  uma	
  probabilidade	
  de	
  ao	
  
menos	
  0,95,	
  para	
  que	
  a	
  frequência	
  relaDva	
  difira	
  de	
  p	
  
=	
  P(A)	
  por	
  menos	
  do	
  que	
  0,01?	
  	
  
•  Isto	
  é:	
  para	
  ε=0,01,	
  desejamos	
  escolher	
  n	
  de	
  modo	
  que:	
  
•  Isolando	
  n:	
  
•  SubsDtuindo	
  os	
  valores	
  específicos	
  de	
  0,05	
  e	
  0,01	
  por	
  δ	
  e	
  ε,	
  
respecDvamente,	
  teremos:	
  
Lei	
  dos	
  Grandes	
  Números	
  
•  Exemplo:	
  
–  Quantas	
  vezes	
  deveremos	
  jogar	
  um	
  dado	
  equilibrado,	
  de	
  
maneira	
  a	
  ficarmos	
  ao	
  menos	
  95	
  por	
  cento	
  certos	
  de	
  que	
  a	
  
frequência	
  relaDva	
  de	
  Drarmos	
  um	
  seis,	
  fique	
  a	
  menos	
  de	
  0,01	
  
da	
  probabilidade	
  teórica	
  1/6?	
  
	
  
	
  
•  Portanto:	
  	
  
Lembrando:	
  fA	
  é	
  uma	
  variável	
  aleatória	
  e	
  não	
  apenas	
  um	
  valor	
  observado.	
  
p	
  =	
  1/6;	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  1-­‐p	
  =	
  5/6;	
  
	
  ε=0,01	
  	
  	
  	
  	
  e	
  	
  	
  	
  	
  	
  δ	
  =	
  0,05	
  
n≥(1/6)(5/6)/(0.01)2(0,05)	
  =	
  27.778.	
  
Lei	
  dos	
  Grandes	
  Números	
  
•  Outra	
  formulação	
  da	
  Lei	
  dos	
  Grandes	
  Números	
  
pode	
  ser	
  obDda	
  da	
  seguinte	
  maneira.	
  Suponha	
  
que	
  X1,..,	
  Xn	
  sejam	
  variáveis	
  aleatórias	
  
independentes,	
  idenDcamente	
  distribuídas,	
  com	
  
média	
  e	
  variância	
  finitas.	
  Sejam	
  E(Xi)	
  =	
  µ	
  e	
  V(Xi)	
  =	
  
σ2.	
  Defina-­‐se:	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
•  Das	
  propriedades	
  dai	
  expectância	
  e	
  variância,	
  l	
  
temos	
  imediatamente,	
  E(X)	
  =	
  µ	
  e	
  V(X)	
  =	
  σ2/n	
  
–  Dessa	
  forma,	
  podemos	
  escrever:	
  
X = (1 / n) (X1 + ... + Xn )
Aproximação	
  Normal	
  da	
  Distribuição	
  
Binomial	
  
•  Considerando	
  uma	
  variável	
  aleatória	
  X	
  
binomialmente	
  	
  distribuída,	
  a	
  Lei	
  dos	
  Grandes	
  
Números	
  	
  diz	
  que	
  à	
  medida	
  que	
  o	
  número	
  de	
  
repeDções	
  de	
  um	
  experimento	
  crescer,	
  a	
  
frequência	
  relaDva	
  de	
  sucesso,	
  X/n,	
  convergirá	
  
para	
  a	
  probabilidade	
  de	
  sucesso	
  p.	
  
•  Contudo,	
  saber-­‐se	
  que	
  X/n	
  será	
  "próximo"	
  de	
  
p,	
  para	
  n	
  grande,	
  não	
  nos	
  diz	
  como	
  essa	
  
"proximidade"	
  é	
  alcançada.	
  
Aproximação	
  Normal	
  da	
  Distribuição	
  
Binomial	
  
•  Por	
  exemplo:	
  
– Suponha-­‐se	
  que	
  um	
  processo	
  de	
  fabricação	
  
produza	
  arruelas,	
  cerca	
  de	
  5	
  por	
  cento	
  das	
  quais	
  
são	
  defeituosas.	
  Se	
  100	
  arruelas	
  forem	
  
inspecionadas,	
  qual	
  será	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  
menos	
  de	
  4	
  arruelas	
  sejam	
  defeituosas?	
  
•  Sendo	
  X	
  igual	
  ao	
  número	
  de	
  arruelas	
  defeituosas	
  
encontradas,	
  a	
  Lei	
  dos	
  Grandes	
  Números	
  apenas	
  nos	
  
diz	
  que	
  X/100	
  será	
  "próximo"	
  de	
  0,05.	
  No	
  entanto	
  não	
  
diz	
  qual	
  será	
  a	
  probabilidade.	
  
•  O	
  valor	
  exato	
  dessa	
  probabilidade	
  é	
  dado	
  por:	
  
Aproximação	
  Normal	
  da	
  Distribuição	
  
Binomial	
  
•  Aproximação	
  normal	
  da	
  distribuição	
  binomial	
  é	
  
dado	
  por:•  Então,	
  para	
  n	
  grande,	
  Y	
  terá	
  uma	
  distribuição	
  
aproximadamente	
  N(0,	
  1),	
  no	
  senDdo	
  de	
  que	
  
–  Esta	
  aproximação	
  será	
  válida	
  para	
  valores	
  de	
  n	
  >	
  10,	
  
desde	
  que	
  p	
  seja	
  próximo	
  de	
  1/2.	
  	
  
–  Se	
  p	
  for	
  próximo	
  de	
  0	
  ou	
  1,	
  n	
  deverá	
  ser	
  um	
  tanto	
  
maior,	
  para	
  garanDr	
  uma	
  boa	
  aproximação.	
  
Aproximação	
  Normal	
  da	
  Distribuição	
  
Binomial	
  
•  Voltando	
  ao	
  exemplo	
  acima,	
  observamos	
  que:	
  
•  Daí	
  podemos	
  escrever:	
  
– P(X	
  ≤3)	
  =	
  P(0≤X	
  ≤	
  3)	
  	
  
Aproximação	
  Normal	
  da	
  Distribuição	
  
Binomial	
  
•  Ao	
  empregar	
  a	
  aproximação	
  normal	
  à	
  
distribuição	
  binomial,	
  	
  devemos	
  tomar	
  
cuidado,	
  pois	
  estaremos	
  aproximando	
  a	
  
distribuição	
  de	
  uma	
  variável	
  aleatória	
  discreta	
  
com	
  a	
  distribuição	
  de	
  uma	
  variável	
  aleatória	
  
consnua.	
  
– A	
  aproximação	
  pode	
  ser	
  melhorada	
  através	
  do	
  
uso	
  da	
  Correção	
  de	
  ConAnuidade.	
  
Aproximação	
  Normal	
  da	
  Distribuição	
  
Binomial	
  
•  A	
  correção	
  de	
  conDnuidade	
  consiste	
  em	
  
acrescentar	
  ou	
  reduzir	
  0,5	
  da	
  variável	
  
aleatória	
  X.	
  Por	
  exemplo:	
  
– P(X	
  ≤	
  4)	
  =	
  P(X	
  <	
  4,	
  5)	
  
– P(X	
  <	
  4)	
  =	
  P(X	
  <	
  3,	
  5)	
  
– P(X	
  >	
  4)	
  =	
  P(X	
  >	
  4,	
  5)	
  
– P(X	
  ≥	
  4)	
  =	
  P(X	
  >	
  3,	
  5)	
  
Aproximação	
  Normal	
  da	
  Distribuição	
  
Binomial	
  
•  Exemplo:	
  
– Suponha-­‐se	
  que	
  um	
  sistema	
  seja	
  formado	
  por	
  100	
  
componentes,	
  cada	
  um	
  dos	
  quais	
  tenha	
  
confiabilidade	
  igual	
  a	
  0,95.	
  Se	
  esses	
  componentes	
  
funcionarem	
  independentemente	
  um	
  do	
  outro,	
  e	
  
se	
  o	
  sistema	
  completo	
  funcionar	
  adequadamente	
  
quando	
  ao	
  menos	
  80	
  dos	
  componentes	
  
funcionarem,	
  qual	
  será	
  a	
  confiabilidade	
  do	
  
sistema?	
  
Aproximação	
  Normal	
  da	
  Distribuição	
  
Binomial	
  
•  Exemplo:	
  
– Devemos	
  calcular:	
  
– Temos:	
  
•  Daí,	
  empregando	
  a	
  correção	
  de	
  conDnuidade,	
  
obteremos:	
  
Teorema	
  do	
  Limite	
  Central	
  
•  Se	
  uma	
  variável	
  aleatória	
  X	
  puder	
  ser	
  
representada	
  pela	
  soma	
  de	
  quaisquer	
  n	
  
variáveis	
  aleatórias	
  independentes	
  (que	
  
saDsfaçam	
  a	
  determinadas	
  condições	
  que	
  
valem	
  na	
  maioria	
  das	
  aplicações),	
  então	
  esta	
  
soma,	
  para	
  n	
  suficientemente	
  grande,	
  terá	
  
distribuição	
  aproximadamente	
  normal.	
  
Teorema	
  do	
  Limite	
  Central	
  
•  Teorema	
  do	
  Limite	
  Central:	
  
–  Seja	
  X1	
  ,	
  X2,	
  ...	
  ,	
  Xn,...	
  uma	
  sequência	
  de	
  variáveis	
  aleatórias	
  
independentes,	
  com	
  E(Xi)	
  =µi	
  e	
  V(Xi)	
  =	
  σi2,	
  i=1,2,....	
  
Façamos	
  X=	
  X1	
  +	
  X2	
  +	
  ...	
  +	
  Xn	
  ...	
  	
  
–  Então,	
  sob	
  determinadas	
  condições	
  gerais,	
  temos	
  que:	
  
tem	
  aproximadamente	
  a	
  distribuição	
  N(0,	
  1).	
  
•  Isto	
  é,	
  se	
  Gn	
  for	
  a	
  função	
  de	
  densidade	
  da	
  variável	
  
aleatória	
  Zn,	
  teremos	
  que:	
  
Teorema	
  do	
  Limite	
  Central	
  
•  O	
  fato	
  de	
  que	
  as	
  variáveis	
  Xi	
  possam	
  ter	
  qualquer	
  
espécie	
  de	
  distribuição,	
  e	
  também	
  que	
  a	
  soma	
  X=	
  
X1	
  +	
  ...	
  +Xn	
  possa	
  ser	
  aproximada	
  por	
  uma	
  
variável	
  aleatória	
  normalmente	
  distribuída,	
  
consDtui	
  a	
  razão	
  fundamental	
  da	
  importância	
  da	
  
distribuição	
  normal	
  na	
  teoria	
  da	
  probabilidade.	
  
•  Conclui-­‐se	
  que,	
  em	
  muitos	
  problemas,	
  a	
  variável	
  
aleatória	
  poderá	
  ser	
  representada	
  pela	
  soma	
  de	
  
n	
  variáveis	
  aleatórias	
  independentes	
  e,	
  
consequentemente,	
  sua	
  distribuição	
  poderá	
  ser	
  
aproximada	
  pela	
  distribuição	
  normal.	
  
Teorema	
  do	
  Limite	
  Central	
  
•  As	
  condições	
  gerais,	
  mencionadas	
  no	
  
enunciado	
  do	
  Teorema	
  do	
  Limite	
  Central,	
  
podem	
  ser	
  resumidas	
  da	
  seguinte	
  maneira:	
  	
  
– Cada	
  parcela	
  na	
  soma	
  contribui	
  com	
  um	
  valor	
  sem	
  
importância	
  para	
  a	
  variação	
  da	
  soma,	
  e	
  é	
  muito	
  
improvável	
  que	
  qualquer	
  parcela	
  isolada	
  dê	
  uma	
  
contribuição	
  muito	
  grande	
  para	
  a	
  soma.	
  
– As	
  parcelas	
  não	
  necessitam	
  ser	
  normalmente	
  
distribuídas,	
  para	
  que	
  a	
  soma	
  seja	
  aproximada	
  por	
  
uma	
  distribuição	
  normal.	
  
Teorema	
  do	
  Limite	
  Central	
  
•  Resumindo:	
  	
  
– Qualquer	
  que	
  seja	
  a	
  distribuição	
  da	
  variável	
  de	
  
interesse	
  para	
  grande	
  amostras,	
  a	
  distribuição	
  da	
  
soma	
  será	
  aproximadamente	
  normalmente	
  
distribuída,	
  e	
  tenderá	
  a	
  uma	
  distribuição	
  normal	
  à	
  
medida	
  que	
  o	
  tamanho	
  de	
  amostra	
  crescer.	
  
Teorema	
  do	
  Limite	
  Central	
  
•  Exemplo:	
  
–  Considere-­‐se	
  uma	
  urna	
  que	
  
contenha	
  três	
  espécies	
  de	
  objetos	
  
idenDficados	
  como	
  0,	
  1	
  e	
  2.	
  
Suponha	
  que	
  lá	
  existem	
  20	
  zeros,	
  30	
  
uns	
  e	
  50	
  dois.	
  Um	
  objeto	
  é	
  extraído	
  
aleatoriamente	
  e	
  seu	
  valor,	
  digamos	
  	
  
X,	
  é	
  registrado.	
  Suponha	
  que	
  X	
  
tenha	
  a	
  seguinte	
  distribuição	
  	
  
Teorema	
  do	
  Limite	
  Central	
  
•  Suponha	
  que	
  o	
  objeto	
  extraído	
  
em	
  primeiro	
  lugar	
  seja	
  reposto	
  
na	
  urna	
  e,	
  a	
  seguir,	
  um	
  
segundo	
  objeto	
  seja	
  extraído	
  e	
  
seu	
  valor,	
  digamos	
  Y,	
  seja	
  
registrado.	
  Considere-­‐se	
  a	
  
variável	
  aleatória	
  M	
  =	
  (X+	
  Y)/2,	
  
e	
  sua	
  distribuição	
  
Teorema	
  do	
  Limite	
  Central	
  
•  Os	
  valores	
  de	
  P(M	
  foram	
  obDdos	
  da	
  seguinte	
  
maneira):	
  
– P(M	
  =	
  0)	
  =	
  P(X	
  =	
  0,	
  Y	
  =	
  0)	
  =	
  (0,2)2=	
  0,04;	
  
– P(M	
  =	
  1/2)	
  =	
  P(X	
  =	
  0,	
  Y	
  =	
  1)	
  +	
  P(X	
  =	
  1,	
  Y	
  =	
  0)	
  
– =(0,2)(0,3)	
  +	
  (0,3)(0,2)	
  =	
  0,12	
  	
  
– etc.	
  
Teorema	
  do	
  Limite	
  Central	
  
•  Finalmente,	
  suponha-­‐se	
  que	
  depois	
  que	
  
o	
  segundo	
  objeto	
  tenha	
  sido	
  também	
  
reposto,	
  um	
  terceiro	
  objeto	
  seja	
  extraído	
  
e	
  seu	
  valor,	
  digamos	
  Z,	
  seja	
  registrado.	
  
Considere	
  a	
  variável	
  aleatória	
  N	
  =	
  (X+	
  Y	
  +	
  
Z)/3	
  e	
  sua	
  distribuição:	
  
Teorema	
  do	
  Limite	
  Central	
  
Teorema	
  do	
  Limite	
  Central	
  
•  Existem	
  algumas	
  distribuições	
  importantes,	
  que	
  
não	
  a	
  distribuição	
  binomial,	
  as	
  quais	
  podem	
  ser	
  
aproximadas	
  peladistribuição	
  normal.	
  
•  Em	
  cada	
  caso,	
  como	
  observaremos,	
  a	
  variável	
  
aleatória,	
  cuja	
  distribuição	
  nós	
  aproximaremos,	
  
pode	
  ser	
  representada	
  como	
  a	
  soma	
  de	
  variáveis	
  
aleatórias	
  independentes	
  dando-­‐nos	
  assim	
  uma	
  
aplicação	
  do	
  Teorema	
  do	
  Limite	
  Central.	
  
Distribuição	
  de	
  Poisson	
  
•  Recorde-­‐se	
  de	
  que	
  uma	
  variável	
  aleatória	
  de	
  
Poisson	
  surge	
  quando	
  esDvermos	
  interessados	
  no	
  
número	
  total	
  de	
  ocorrências	
  de	
  algum	
  evento,	
  
em	
  um	
  intervalo	
  de	
  tempo	
  de	
  extensão	
  t,	
  com	
  
intensidade	
  de	
  α.	
  
•  Nós	
  poderemos	
  considerar	
  o	
  número	
  total	
  de	
  
ocorrências	
  como	
  a	
  soma	
  das	
  ocorrências	
  em	
  
intervalos	
  menores	
  não-­‐sobrepostos,	
  tornando,	
  
dessa	
  maneira,	
  aplicáveis	
  os	
  resultados	
  do	
  
teorema	
  do	
  limite	
  central.	
  
Distribuição	
  de	
  Poisson	
  
•  Exemplo:	
  
–  Suponha-­‐se	
  que,	
  em	
  uma	
  determinada	
  central	
  
telefônica,	
  as	
  chamadas	
  cheguem	
  com	
  a	
  taxa	
  de	
  2	
  por	
  
minuto.	
  Qual	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  22	
  ou	
  menos	
  
chamadas	
  sejam	
  recebidas	
  durante	
  um	
  período	
  de	
  15	
  
minutos?	
  	
  	
  
•  Se	
  fizermos	
  X=	
  número	
  de	
  chamadas	
  recebidas,	
  então,	
  E(X)	
  =	
  
2(15)	
  =	
  30.	
  
•  Para	
  calcular	
  P(X<22),	
  e	
  aplicando	
  a	
  correção	
  de	
  conNnuidade,	
  
teremos:	
  	
  
Distribuição	
  de	
  Pascal	
  
•  Se	
  Y	
  =	
  número	
  de	
  provas	
  de	
  Bernouilli	
  
necessárias	
  para	
  obter	
  r	
  sucessos,	
  então,	
  Y	
  
tem	
  uma	
  distribuição	
  de	
  Pascal	
  e	
  pode	
  ser	
  
representada	
  como	
  a	
  soma	
  de	
  r	
  variáveis	
  
aleatórias	
  independentes.	
  
Distribuição	
  de	
  Pascal	
  
•  Exemplo:	
  
– Achar	
  um	
  valor	
  aproximado	
  para	
  a	
  probabilidade	
  
de	
  que	
  serão	
  executados	
  150	
  ou	
  menos	
  provas	
  
para	
  obter	
  48	
  sucessos,	
  quando	
  P(sucesso)	
  =	
  0,25.	
  
Escrevendo	
  X=	
  número	
  de	
  provas	
  necessárias,	
  
teremos:	
  	
  
•  E(X)	
  =	
  r/p	
  =	
  48/0,25	
  =	
  192,	
  e	
  	
  
•  Var	
  X=rq/p2	
  =	
  (48X0,75)/(0,25)ˆ2	
  =	
  576.	
  	
  
– Portanto	
  
Distribuição	
  Gama	
  
•  Relembrando:	
  uma	
  variável	
  aleatória	
  que	
  
tenha	
  a	
  distribuição	
  Gama	
  (com	
  parâmetros	
  	
  α	
  
e	
  r)	
  poderá	
  ser	
  representada	
  como	
  a	
  soma	
  de	
  
r	
  variáveis	
  aleatórias	
  independentes,	
  com	
  
distribuição	
  exponencial.	
  Portanto,	
  para	
  r	
  
grande,	
  também	
  é	
  aplicável	
  o	
  Teorema	
  do	
  
Limite	
  Central.	
  
Distribuição	
  da	
  soma	
  de	
  um	
  número	
  
Finito	
  de	
  Variáveis	
  Aleatórias	
  
•  Sabemos	
  que	
  a	
  soma	
  de	
  um	
  número	
  finito	
  
qualquer	
  de	
  variáveis	
  aleatórias	
  
independentes	
  e	
  normalmente	
  distribuída	
  é	
  
também	
  normalmente	
  distribuída	
  
•  Do	
  Teorema	
  do	
  Limite	
  Central,	
  podemos	
  
concluir	
  que,	
  para	
  n	
  grande,	
  a	
  soma	
  de	
  n	
  
variáveis	
  aleatórias	
  é	
  aproximada	
  e	
  
normalmente	
  distribuída.	
  
Distribuição	
  da	
  soma	
  de	
  um	
  número	
  
Finito	
  de	
  Variáveis	
  Aleatórias	
  
•  A	
  questão	
  seguinte	
  ainda	
  resta	
  	
  a	
  ser	
  
respondida:	
  	
  
– Suponhamos	
  que	
  se	
  considere	
  X1	
  +	
  ...	
  +	
  Xn,	
  onde	
  
os	
  Xi	
  são	
  variáveis	
  aleatórias	
  independentes	
  (não	
  
necessariamente	
  normais)	
  e	
  	
  não	
  seja	
  
suficientemente	
  grande	
  para	
  jusDficar	
  o	
  emprego	
  
do	
  Teorema	
  do	
  Limite	
  Central.	
  Qual	
  será	
  a	
  
distribuição	
  desta	
  soma?	
  	
  
Distribuição	
  da	
  soma	
  de	
  um	
  número	
  
Finito	
  de	
  Variáveis	
  Aleatórias	
  
•  Teorema:	
  
–  	
  Suponha-­‐se	
  que	
  X	
  e	
  Y	
  sejam	
  variáveis	
  aleatórias	
  
independentes,	
  cada	
  uma	
  das	
  quais	
  possa	
  tomar	
  
somente	
  valores	
  inteiros	
  não-­‐negaDvos.	
  	
  
•  Seja	
  p(k)	
  =	
  P(X	
  =	
  k),	
  k	
  =	
  0,	
  1,	
  2,	
  e;	
  
•  Seja	
  q(r)	
  =	
  P(Y	
  =r),	
  r=	
  0,	
  1,	
  2,	
  ...	
  	
  
•  Façamos	
  Z	
  =	
  X+	
  Y	
  e	
  w(i)	
  =	
  P(Z	
  =	
  i).	
  Então:	
  
Distribuição	
  da	
  soma	
  de	
  um	
  número	
  
Finito	
  de	
  Variáveis	
  Aleatórias	
  
•  Exemplo:	
  
– Representemos	
  por	
  X	
  e	
  Y	
  o	
  número	
  de	
  emissões	
  
de	
  parsculas	
  α	
  por	
  duas	
  diferentes	
  fontes	
  de	
  
material	
  radioaDvo,	
  durante	
  um	
  período	
  
especificado	
  de	
  tempo	
  t.	
  Suponha-­‐se	
  que	
  X	
  e	
  Y	
  
tenham	
  distribuições	
  de	
  Poisson,	
  com	
  parâmetros	
  
β1t	
  e	
  β2t,	
  respecDvamente.	
  Representemos	
  por	
  Z	
  
=	
  X	
  +	
  Y	
  o	
  número	
  total	
  de	
  parsculas	
  emiDdas	
  pelas	
  
duas	
  fontes.	
  	
  
Distribuição	
  da	
  soma	
  de	
  um	
  número	
  
Finito	
  de	
  Variáveis	
  Aleatórias	
  
•  Exemplo	
  (ConDnuação):	
  
•  A	
  expressão	
  representa	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  uma	
  variável	
  
aleatória,	
  que	
  tenha	
  uma	
  distribuição	
  de	
  Poisson	
  com	
  parâmetro	
  
β1t	
  +	
  β2t	
  	
  tome	
  o	
  valor	
  i.	
  
•  Deste	
  modo,	
  a	
  soma	
  de	
  duas	
  variáveis	
  aleatórias	
  independentes	
  
com	
  distribuição	
  de	
  Poisson	
  tem	
  distribuição	
  de	
  Poisson.