Tema 11 Conceito de Derivada

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Taxa Média de Variação 
Catiúscia Borges 
 
Segundo Roque (2006) a generalização da noção de função se deve ao 
desenvolvimento da física após Galileu e Descartes. A ideia de uma variação em 
função do tempo (que Descartes havia excluído da geometria) é fundamental 
nos trabalhos de Galileu, onde já encontramos uma certa noção de função, no 
sentido de uma associação entre duas variabilidades, dada por uma lei de 
variação que é encarada como um objeto matemático. 
O estudo de função contempla a avalição da variação entre as grandezas. 
Newton foi um grande estudioso desta variação, os seus estudos, que envolvem 
velocidade, por exemplo, elucidam a variação do espaço e tempo. 
Ao analisar uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), é possível observar que, para uma dada 
variação de 𝑥 em um intervalo [𝑎, 𝑏], há uma variação de 𝑦. Tal variação de 𝑥 é 
definida por 𝛥𝑥 , 𝑥0 = 𝑎 e 𝑥1 = 𝑏. A partir 𝑥0 e 𝑥1, podemos calcular a 
correspondente variação de 𝑦, que denominada 𝛥𝑦. 
A Taxa Média de Variação (TMV) ou Taxa de Variação Média (TVM) é o 
quociente 
𝛥𝑦
𝛥𝑥
. Observe o gráfico abaixo para uma interpretação geométrica da 
Taxa Média de Variação. 
 
 
 
A reta em vermelho representa a variação entre o ponto 𝑃0 e 𝑃1, a TMV 
também pode ser entendida como coeficiente angular desta reta. 
 
 
 
 
Exercícios Resolvido 
 
1) Observe cada função descrita graficamente e determine a taxa média de 
variação em cada caso nos pontos indicados: 
 
a) 
 
Observando o gráfico temos que: 
 𝑃0 = (−1,4) e 𝑃1 = ( 3, 0) 
𝑥0 = −1 → 𝑦0 = 4 
 
𝑥1 = 3 → 𝑦1 = 0 
 
Variação em 𝑦 : ∆𝑦 = 0 − 4 = −4 
 
Variação em 𝑥 : ∆𝑥 = 3 − (−1) = 4 
 
 
𝑇𝑉𝑀 = 
∆𝑦
∆𝑥
= 
−4
4
= −1 
 
 
b) 
Observando o gráfico temos que: 
𝑃0 = (1, −1) e 𝑃1 = ( 3, 3) 
𝑥0 = 1 → 𝑦0 = 1 
 
𝑥1 = 3 → 𝑦1 = 3 
 
Variação em 𝑦 : ∆𝑦 = 3 − (−1) = 4 
 
Variação em 𝑥 : ∆𝑥 = 3 − 1 = 2 
 
 
𝑇𝑉𝑀 = 
∆𝑦
∆𝑥
= 
4
2
= 2 
 
 
 
 
 
2) Determine a TMV em cada caso: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 no intervalo 𝑓: [2 ,4] → ℜ 
𝑥0 = 2 → 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) = 𝑓(2) = 2
3 − 2.2 = 8 − 4 = 4 
 
𝑥1 = 4 → 𝑦1 = 𝑓(𝑥1) = 𝑓(4) = 4
3 − 2.4 = 64 − 8 = 56 
 
Variação em 𝑦 : ∆𝑦 = 56 − 4 = 52 
Variação em 𝑥 : ∆𝑥 = 4 − 2 = 2 
𝑇𝑉𝑀 = 
∆𝑦
∆𝑥
= 
52
2
= 26 
 
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 no intervalo 𝑓: [0 , 4] → ℜ 
𝑥0 = 0 → 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) = 𝑓(0) = 2
0 = 1 
 
𝑥1 = 4 → 𝑦1 = 𝑓(𝑥1) = 𝑓(4) = 2
4 = 16 
 
Variação em 𝑦 : ∆𝑦 = 16 − 1 = 15 
Variação em 𝑥 : ∆𝑥 = 4 − 0 = 4 
𝑇𝑉𝑀 = 
∆𝑦
∆𝑥
= 
15
4
 
 
c) 𝑓(𝑥) = log 𝑥 no intervalo 𝑓: [10, 100] → ℜ 
𝑥0 = 10 → 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) = 𝑓(10) = log 10 = 1 
 
𝑥1 = 100 → 𝑦1 = 𝑓(𝑥1) = 𝑓(100) = log 100 = 2 
 
Variação em 𝑦 : ∆𝑦 = 2 − 1 = 1 
Variação em 𝑥 : ∆𝑥 = 100 − 10 = 90 
𝑇𝑉𝑀 = 
∆𝑦
∆𝑥
= 
1
90
 
 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 no intervalo 𝑓: [−6 , 0] → ℜ 
𝑥0 = −6 → 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) = 𝑓(−6) = (−6)
2 + 6. (−6) = 0 
 
𝑥1 = 0 → 𝑦1 = 𝑓(𝑥1) = 𝑓(0) = 0
2 + 6.0 = 0 
 
Variação em 𝑦 : ∆𝑦 = 0 − 0 = 0 
Variação em 𝑥 : ∆𝑥 = 0 − (−6) = 6 
𝑇𝑉𝑀 = 
∆𝑦
∆𝑥
= 
0
6
= 0 
 
 
 
3) Suponha que a taxa postal de uma carta seja calculada como segue: 
R$0,20 para cada grama mais R$1,60 fixo pela postagem. Se x representa o 
peso de uma carta, determine a taxa média de variação do valor da postagem 
de uma carta em função do seu peso x, quando o peso da carta varia entre 100g 
e 200g. 
O valor de postagem é dado pela função f(x) = 0,20 x + 1,60. 
 
𝑥0 = 100 → 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) = 𝑓(100) = 0,20 . 100 + 1,60 = 21,60 
 
𝑥1 = 200 → 𝑦1 = 𝑓(𝑥1) = 𝑓(200) = 0,20 . 200 + 1,60 = 41,60 
 
Variação em 𝑦 : ∆𝑦 = 41,60 − 21,60 = 20 
 
Variação em 𝑥 : ∆𝑥 = 200 − 100 = 100 
 
𝑇𝑉𝑀 = 
∆𝑦
∆𝑥
= 
20
100
= 0,20 
 
A variação é de R$0,20 por grama 
 
3) Demanda significa a quantidade de um bem ou serviço que os 
consumidores desejam adquirir por um preço definido em um mercado. 
A função demanda para um certo tipo de produto é dada por 𝑝(𝑥) = 
 0,2𝑥2 + 0,1𝑥 + 70, onde p é medido em reais e x em milhares de unidades. 
Calcule a TVM do preço unitário do produto se a quantidade em demanda estiver 
entre 2mil e 4mil produtos. 
 
𝑥0 = 2 → 𝑦0 = 𝑝(𝑥0) = 𝑝(2) = 0,2. 2
2 + 0,1.2 + 70 = 71 
 
𝑥1 = 4 → 𝑦1 = 𝑝(𝑥1) = 𝑝(4) = 0,2. 4
2 + 0,1.4 + 70 = 73,6 
 
Variação em 𝑦 : ∆𝑦 = 73,6 − 71 = 2,6 
 
Variação em 𝑥 : ∆𝑥 = 4 − 2 = 2 
 
𝑇𝑉𝑀 = 
∆𝑦
∆𝑥
= 
2,6
2
= 1,3 
 
A demanda média é de R$1,30 por mil unidades 
 
 
4) O produto interno bruto (PIB) representa a soma (em valores monetários) 
de todos os bens e serviços finais produzidos numa determinada região (quer 
sejam países, estados ou cidades), durante um período determinado (mês, 
trimestre, ano etc). O PIB é um dos indicadores mais utilizados na 
macroeconomia com o objetivo de quantificar a atividade econômica de uma 
região. As projeções são de que o Produto Interno Bruto (PIB) de certo país seja 
de 𝑁(𝑡) = 𝑡3 − 𝑡2 + 5𝑡 + 30 bilhões de dólares daqui a t anos. Qual será a 
TVM desse país entre 2 e 5 anos próximos? 
 
𝑥0 = 2 → 𝑦0 = 𝑁(𝑥0) = 𝑁(2) = 2
3 − 22 + 5.2 + 30 = 44 
 
𝑥1 = 5 → 𝑦1 = 𝑁(𝑥1) = 𝑁(5) = 5
3 − 52 + 5.5 + 30 = 155 
 
Variação em 𝑦 : ∆𝑦 = 155 − 44 = 111 
Variação em 𝑥 : ∆𝑥 = 5 − 2 = 3 
𝑇𝑉𝑀 = 
∆𝑦
∆𝑥
= 
111
3
= 37 
 
A variação média das Projeções do PIB é de 37 bilhões de dólares por ano 
 
5) O faturamento mensal (em reais) obtido com a venda de certos 
barbeadores elétricos está relacionado ao preço (p) por unidade é representado 
através da equação 𝑅(𝑝) = 0,5 𝑝2 − 5𝑝. Calcule o faturamento médio quando 
o preço de um barbeador estiver entre R$15,00 e R$30,00. 
𝑝0 = 15 → 𝑦0 = 𝑅(𝑝0) = 𝑅(15) = 0,5. 15
2 − 5.15 = 37,5 
 
𝑝1 = 30 → 𝑦1 = 𝑅(𝑝1) = 𝑅(30) = 0,5. 30
2 − 5. 30 = 300 
 
Variação em 𝑦 : ∆𝑦 = 300 − 37,5 = 262,5 
 
Variação em 𝑥 : ∆𝑥 = 30 − 15 = 15 
 
𝑇𝑉𝑀 = 
∆𝑦
∆𝑥
= 
262,5
15
= 17,5 
 
O faturamento médio é de R$ 17,50. 
 
 
 
6) Um botânico, após registrar o crescimento diário de uma planta, verificou 
que o mesmo se dava de acordo com a função 𝑓(𝑡) = 0,7 + 0,1. (3)0,5𝑡, com t 
representando o número de dias contados a partir do primeiro registro e 𝑓(𝑡) a 
altura (em mm) da planta no dia t. Nessas condições, determine o crescimento 
médio da planta nos seus 10 primeiros dias, isto é, no intervalo de tempo [0,10]: 
 
𝑡0 = 0 → 𝑦0 = 𝑓(𝑡0) = 𝑓(0) = 0,7 + 0,1 . (3)
0,5.0 = 0,8 
 
𝑡1 = 10 → 𝑦1 = 𝑝(𝑡1) = 𝑓(10) = 0,7 + 0,1 . (3)
0,5.10 = 25 
 
Variação em 𝑦 : ∆𝑦 = 25 − 0,8 = 24,2 
 
Variação em 𝑥 : ∆𝑥 = 10 − 0 = 10 
 
𝑇𝑉𝑀 = 
∆𝑦
∆𝑥
= 
24,2
10
= 2,42 
 
 
O crescimento médio da planta é de 2,42 mm por dia. 
 
 
7) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, 
ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual 
passou a seguir a lei 𝑦 = 1000 . (0,9)𝑥. Determine a variação média da produção 
até o segundo ano desse período recessivo: 
 
𝑥0 = 0 → 𝑦0 = 1000. (0,9)
0 = 1000 
 
𝑥1 = 2 → 𝑦1 = 1000. (0,9)
2 = 810 
 
Variação em 𝑦 : ∆𝑦 = 810 − 1000 = −190 
 
Variação em 𝑥 : ∆𝑥 = 2 − 0 = 2 
 
𝑇𝑉𝑀 = 
∆𝑦
∆𝑥
= 
−190
2
= −95 
 
A produção diminuiu, em média, 95 unidades por ano. 
8) Um capital de R$ 12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros 
capitalizados anualmente. Considerandoque não foram feitas novas aplicações 
 
 
ou retiradas, então a função que expressa o capital acumulado em função do 
tempo contabilizado em anos é dada por 𝑀 = 12000 . (1,08)𝑡. 
Determine a taxa de variação média do capital nos 10 primeiros anos de 
aplicação: 
 
𝑡0 = 0 → 𝑦0 = 𝑀(𝑡0) = 𝑀(0) = 12000 . (1,08)
0 = 12000 
 
𝑡1 = 10 → 𝑦1 = 𝑀(𝑡1) = 𝑀(10) = 12000 . (1,08)
10 = 25907,10 
 
 
Variação em 𝑦 : ∆𝑦 = 25807,10 − 12000 = 13907,10 
 
Variação em 𝑥 : ∆𝑥 = 10 − 0 = 10 
 
𝑇𝑉𝑀 = 
∆𝑦
∆𝑥
=
13907,10
10
= 1390,71 
 
O capital aumentou, em média, R$ 1390,71 por ano. 
 
Referências 
 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Cálculo, vol.1. 5. ed. São Paulo: Ed LTC, 2015. 
 
LEITHOLD, L.. Matemática Aplicada à economia e Administração. São Paulo. 
Editora Harbra Ltda, 2001. 
 
STEWART, James. Cálculo, vol 1. 6. ed. São Paulo: Ed Cengage Learning, 
2012.