CÁLCULO III - PROVA 1

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UNIVERSIDADE ESTAUAL DA PARAÍBA - CAMPUS VIII 
CENTRO DE CIENCIAS, TECNOLOGIA E SAÚDE - CCTS 
COORDENAÇÕES DE ENGENHARIA CIVIL & FÍSICA 
 
ALUNO(A): 
 
Cálculo Diferencial e Integral III – 2014.2 
Prof. Israel B. Galvão 
1ª PROVA DA 1ª UNIDADE – 18/09/2014 
 
Obs.: Expresse suas ideias com clareza e organização. Respostas sem as devidas 
justificativas serão sumariamente desconsideradas. Esta avaliação tem duração máxima 
de 1h:40m (UMA HORA E QUARENTA MINUTOS). 
𝟏. (2,0 pontos) Use o Teorema de Fubini para mostrar que 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑅
= ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑅
, 
onde 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 − 6𝑥2𝑦 e 𝑅: 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, −1 ≤ 𝑦 ≤ 1. Por que não valeria o Teorema 
de Fubini se fosse 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥/𝑦? 
 
𝟐. (2,0 pontos) Determine o volume compreendido entre o gráfico da função 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 + 2 e a região do plano delimitada pelas curvas 𝑥 = 𝑦2 e 𝑦 = 𝑥/2. 
 
𝟑. (2,0 pontos) Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e 
resolva a integral 
∫ ∫
𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑦4 + 1
2
√𝑥
3
8
0
. 
 
𝟒. (2,0 pontos) Um tanque cilíndrico transparente de 12m de comprimento e 3m 
de diâmetro é posto “deitado” horizontalmente. Nele é inserido um líquido de cor 
escura, de modo que pelo fundo 
 
𝟓. (2,0 pontos) Calcule, usando integração tripla, o volume da região do espaço 
delimitada pelos planos coordenados, e pelos planos 𝑥 = 2 e 𝑦 + 𝑧 = 1 dada na figura 
abaixo 
. VAI DAR TUDO CERTO!