Engenharia Economica

Prévia do material em texto

1 
ESTUDOS DE VIABILIDADE 
PARTE I - Engenharia Econômica 
“Quando você tem que tomar uma decisão e não toma, acabou de tomar uma decisão.”. 
William James - (1842-1910) 
1.1- Introdução 
Engenharia econômica é o conjunto de conhecimentos necessários à tomada de decisão sobre 
investimentos. 
Desta forma, os estudos de engenharia econômica serão utilizados sempre que se tiver um 
problema a resolver, onde diversas soluções são possíveis. Estes estudos compreendem a avaliação de 
cada alternativa, determinando suas vantagens e desvantagens, podendo a partir daí compará-las e 
escolher a melhor delas. 
Considerações sobre os estudos de engenharia econômica: 
a) nem sempre a melhor alternativa do ponto de vista técnico será a melhor alternativa do ponto 
de vista dos estudos de engenharia econômica. Nestes estudos a alternativa de não fazer nada deve 
estar sempre presente. 
b) nestes estudos só são consideradas as vantagens e desvantagens futuras. 
c) a impossibilidade de se quantificar certos tipos de vantagens e desvantagens está sempre 
presente nestes estudos, são elementos impalpáveis que se apresentam na análise, chamados também 
de imponderáveis. Devemos considerar portanto que, ainda que um determinado estudo se apresente 
inviável do ponto de vista da engenharia econômica, o mesmo poderá ser considerado viável face a 
estes elementos imponderáveis, ou vice-versa. 
Considerando que as vantagens e desvantagens de um projeto ocorrem em instantes de tempo 
diferentes é usual representa-lo através do seu fluxo de caixa, no qual o tempo é representado na escala 
horizontal, as setas para cima como vantagens (receitas ou benefícios) e as setas para baixo como 
desvantagens (despesas ou custos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São adotadas as seguintes convenções: o investimento é feito no instante 0 (zero); as vantagens e 
desvantagens são tratadas como se ocorressem no final de cada período considerado; na manipulação 
algébrica será atribuído valor positivo às vantagens e negativo às desvantagens. 
R 
B1 B2 B3 Bn 
C1 C2 C3 Cn 
0 1 2 3 n 
I 
 2 
1.1.1- Juros 
A forma mais comum de remuneração do capital imobilizado por um período de tempo é a de se 
estabelecer uma taxa, por unidade de tempo, sobre o capital imobilizado, denominada taxa de juros. 
Pode-se definir juros como o dinheiro pego pelo uso do dinheiro emprestado ou como 
remuneração do capital empregado em atividades produtivas. Assim os juros representam os custos da 
imobilização do capital num dado período. A existência de juros decorre de vários fatores entre os 
quais incluem-se: 
inflação: diminuição do poder aquisitivo da moeda; 
utilidade: indisponibilidade de uso do dinheiro no presente.; 
risco: possibilidade do investimento não corresponder às expectativas; e 
oportunidade: ao se investir em determinado projeto perde-se a oportunidade de ganhos em 
outros. 
1.1.1.1- Juros Simples 
No regime de juros simples, só o capital inicial rende juros ao longo do período de 
investimento. 
 
Período Juros Valor Futuro 
1 i.P F1 = P + i.P = P(1+1.i) 
2 i.P F2 = F1 + i.P = P(1+2.i) 
3 i.P F3 = F2 + i.P = P(1+3.i) 
N i.P Fn = Fn-1 + i.P = P(1+N.i) 
Desta forma, um valor (P) aplicado durante N períodos à taxa de juros i, terá seu valor no 
futuro (Fn) igual a P(1+Ni). 
1.1.1.2- Juros Compostos 
No regime de juros compostos, após cada período, os juros são incorporados ao capital 
inicial e passam, por sua vez, a render juros. 
 
Período Juros Valor Futuro 
1 iP F1 = P + iP = P(1+i) 
2 i.F1 F2 = F1 + i F1 = P(1+i)2 
3 i.F2 F3 = F2 + i F2 = P(1+i)3 
N i.Fn-1 Fn = Fn-1 + i Fn-1 = P(1+i)n 
Desta forma, um valor (P) aplicado durante N períodos à taxa de juros i, terá seu valor no 
futuro (Fn) igual a P(1+i)N. 
 
 3 
1.1.2- Taxa de Juros Nominal 
No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período em que a taxa está 
sendo referenciada não coincide com o período em que sua capitalização está sendo referenciada. 
Para ilustrar a idéia acima suponha um capital de $1000,00 aplicado à taxa de juros de 6% ao 
ano com capitalização mensal. Após 1 ano de aplicação tem-se: 
Fn = P(1 + i)n 
i = 6% a. a. / 12 = 0,5% a. m. 
F12 = 1000 (1 + 0,005)12 = $1061,68 
Observa-se que o valor obtido foi maior que $1060,00, que seria o valor encontrado caso se 
aplicasse o capital de $1000,00 à taxa de 6% ao ano, durante 1 ano. 
1.1.3- Taxa de Juros Efetiva 
Uma taxa de juros é dita efetiva se o período a que ela estiver referenciada for coincidente 
com o período de capitalização. No exemplo acima, a taxa de juros de 0,5% ao mês com 
capitalização mensal é uma taxa efetiva. 
1.1.4- Taxas de Juros Equivalentes 
A taxa de juros in capitalizada n vezes no período N é dita equivalente à taxa ik capitalizada k 
vezes no mesmo período N se, ao serem aplicadas sobre um mesmo principal, produzirem o mesmo 
valor futuro (F). 
Para juros simples tem-se: 
Fn = P (1 + n.in) = P (1 + k.ik) = Fk 
ik = in . n/k 
Seja a taxa de juros de 0,5% ao mês. A taxa de juros anual equivalente, no regime de juros 
simples, será dada por ik= 0,005 . 12 = 0,06 = 6% ao ano , onde in = 0,005 , n=12 e k=1. 
Para juros compostos tem-se: 
Fn = P (1 + in)n = P (1 + ik)k = Fk 
ik = (1 + in)n/k -1 
Para a taxa de 0,5% ao mês, a taxa de juros anual equivalente, no regime de juros 
compostos, será dada por ik = (1+0,005)12 - 1 = 0,06168 = 6,168% ao ano, onde in = 0,005 , 
n=12 e k=1. 
 4 
1.2- Relações de Equivalência de Valores Monetários 
(Fórmulas de Juros) 
seja: 
i = taxa de juros por período de capitalização 
n = número de períodos de capitalização 
P = principal, ou seja, o capital no dia de hoje 
F = montante, ou seja, o capital no fim do período n 
R = série uniforme de pagamentos, definida como uma série de pagamentos iguais que 
ocorrem no final dos períodos 1, 2, 3, ..... n. 
1.2.1- Relação entre P e F 
É o caso mais comum e consiste no relacionamento entre um valor P na data zero com um 
valor F na data N. É a relação fundamental da Matemática Financeira. Sua fórmula, já definida 
anteriormente é dada por: 
Fn = P ( 1 + i )n 
Para ilustrar, considere o caso em que se deseja saber o valor futuro de uma dívida de 
$1000,00 a ser paga após 2 anos a juros de 6% ao ano capitalizados mensalmente. 
F24 = 1000 (1 + 0,005)24 = $1127,16 
1.2.2- Relação entre R e F 
É o caso em que deseja-se saber qual o valor F na data N, equivalente a uma série de valores 
constantes, iguais a R e que ocorrem nos períodos 1,2,3,......,N. 
Fn = R(1+i)n-1 + R(1+i)n-2 + R(1+i)n-3 + .......+ R(1+i)1 + R 
Fn = R[(1+i)n-1 + (1+i)n-2 + (1+i)n-3 + .......+ (1+i)1 + 1] 
A expressão entre colchetes é a soma de uma progressão geométrica com n termos, razão 
(1+i) e cujo primeiro termo é 1, que é igual a (1-razãon)/(1-razão). 
Fn = R [(1+i)n -1] / i 
A título de ilustração, suponha-se que uma pessoa pretenda depositar mensalmente $1000,00 
por um período de 12 meses numa conta de poupança. Se o primeiro depósito for feito daqui a um 
mês e o banco remunerar a poupança a uma taxa de 0,5% ao mês, qual será o saldo na conta após 
o último depósito? 
F12 = 1000 [(1 + 0,005)12 -1] / 0,005 = $12.335,56 
 
 5 
1.2.3- Relação entre R e P 
Nesse caso, deseja-se saber qual o valor P na data zero da mesma série uniforme. 
Considerando que P = Fn / (1+i)n e que Fn = R [(1+i)n -1] / i tem-se: 
P = R [(1+i)n -1] / [i (1+i)n ] 
A título de exemplo, considere-se uma conta que paga juros de 0,5% ao mês. Qual a quantia 
que deverá ser depositada hoje para se poder fazer retiradas mensais de $1000,00 durante 1 ano? 
P = 1000 [(1 + 0,005)12 - 1] / [0,005 (1+ 0,005)12] = $11.618,93 
1.2.4- Custo Capitalizado 
Em alguns estudos, principalmente de obras públicas, pode-se considerar que as propostas de 
investimento fornecerão benefícios por um período tão grande que poderá ser considerado eterno. 
O valor atual de todos os custos inerentes à proposta de investimento chama-se "custo capitalizado". 
O exemplo abaixo serve para ilustrar esta idéia: 
Um município está considerando a execução de uma obra destinada à diversão pública; entre 
as possibilidades sobressaem a construção de um estádio ou a de um parque com jardins, lago, etc. 
Os responsáveis se dividem sobre qual das alternativas proporcionaria maiores benefícios, 
considerando-se, portanto, que sejam equivalentes sob este aspecto. O investimento inicial no 
projeto do parque seria de $6.000.000,00, sendo os benefícios perpétuos. Gastos anuais de cerca 
de $60.000,00 seriam exigidos para manutenção; de 20 em 20 anos, estima-se, seriam exigidos 
gastos de $1.500.000,00 para dragagem do lago, reforma dos jardins e edifícios, etc. 
Considerando-se um a taxa de 5% ao ano, qual o custo capitalizado desta obra? 
O custo anual equivalente aos gastos de 20 em 20 anos será de: 
R = 1.500.000 [0,05] / [(1 + 0,05)20 - 1] = $45.363,88 
Portanto do custo anual será igual a $60.000,00 + $45.363,88 = 105.363,88 
O custo capitalizado será dado por: 
P = 6.000.000,00 + 105.363,88 [(1 + 0,05)n - 1] / [ 0,05 (1 + 0,05)n] 
Quando n tende a infinito, a expressão [(1 + i)n - 1] / [ i (1 + i)n] será igual a 1/i. 
Portanto, o custo capitalizado será igual a 6.000.000,00 + 105.363,88 / 0,05 = 
$8.107.277,60. Nestas condições o estádio só será preferível se o seu custo capitalizado for inferior 
a $8.107.277,60. 
 6 
1.3- SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
No estudo dos sistemas de amortização, busca-se identificar, em qualquer tempo, o estado da 
dívida, isto é, a decomposição do valor de uma prestação em juros e amortização e o saldo devedor 
imediatamente após o pagamento da prestação. 
1.3.1- Sistema Francês de Amortização (também conhecido como Tabela 
Price) 
A característica básica deste sistema é a de ter prestações constantes. O valor de cada 
prestação é calculado pela fórmula: 
 p1 = p2 = p3 = ..... = pn = P [i (1+i)n ] / [(1+i)n -1], 
sendo que qualquer prestação pk será composta pelos juros jk mais a amortização ak, isto é, 
pk = jk + ak. 
Para um financiamento P, contratado a juros de i% por período para ser saldado em N 
períodos, tem-se a seguinte planilha de pagamentos: 
Para montagem da planilha, primeiro é necessário calcular o valor da prestação por período. 
 
Período Prestação Amortização Juros Saldo Devedor 
0 P 
1 p1 a1 = p1-j1 j1 = iP P1 = P-a1 
2 p2 a2 = a1(1+i)1 j2 = p2-a2 P2 = P1-a2 
3 p3 a3 = a1(1+i)2 j3 = p3-a3 P3 = P2-a3 
 
k pk ak = a1(1+i)k-1 jk = pk-ak Pk = Pk-1-ak 
 
n pn an = a1(1+i)n-1 jn = pn-an Pn = Pn-1-an 
onde: a1 + a2 + a3 + ......+ an = P 
Para efeito de ilustração, considere o seguinte exemplo: Elaborar a planilha de Pagamentos de 
um financiamento de $20.000, pelo sistema Francês de Amortização a uma taxa de juros de 36% 
ao ano com capitalização mensal, e a ser pago em oito prestações. 
Calculando-se o valor de cada uma das prestações, para i = 36/12 = 3% ao mês, tem-se: 
p = 20.000 [ 0,03 . (1 + 0,03)8 ] / [ (1 + 0,03)8 - 1] = $2.849,13 
Período Prestação Amortização Juros Saldo Devedor 
0 20.000 
1 2.849,13 2.249,13 600,00 17.750,87 
2 2.849,13 2.316,60 532,53 15.434,27 
3 2.849,13 2.386,10 463,03 13.048,17 
4 2.849,13 2.457,68 391,45 10.590,49 
5 2.849,13 2.531,41 317,71 8.059,08 
6 2.849,13 2.607,36 241,77 5.451,72 
7 2.849,13 2.685,58 163,55 2.766,14 
8 2.849,13 2.766,14 82,98 0,00 
 7 
O Gráfico abaixo ilustra a evolução das prestações no sistema PRICE. 
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Juros
Amortização
Períodos
P
re
st
aç
ão
 
1.3.2- Sistema de Amortização Constante (SAC) 
A característica deste sistema é a de amortizações constantes ao longo de todo o período de 
financiamento, isto é, a1 = a2 = a3 = ...... an = P/N. 
Desta forma, o saldo devedor, a cada prestação paga, decresce sempre de um mesmo valor. 
Para um financiamento P, contratado a juros de i% por período para ser saldado em N 
períodos, tem-se a seguinte planilha de pagamentos: 
Para montagem da planilha, primeiro é necessário calcular o valor da amortização por 
período. 
 
Período Prestação Amortização Juros Saldo Devedor 
0 P 
1 p1 = a1+j1 a1 = P/N j1=iP P1 = P-a 
2 p2 = a2+j2 a2 = P/N j2 = j1-i.a P2 = P-2.a 
3 p3 = a3+j3 a3 = P/N j3 = j1-2.i.a P3 = P-3.a 
 
k pk = ak+jk ak = P/N jk = j1-(k-1).i.a Pk = P-k.a 
 
n pn = an+jn an = P/N jn = j1-(n-1).i.a Pn = P-n.a 
onde: a1 + a2 + a3 + ......+ an = P 
 8 
Tomando-se o mesmo exemplo anterior, tem-se a seguir a planilha de pagamentos montada 
com base no sistema SAC. 
 
Período Prestação Amortização Juros Saldo Devedor 
0 20.000,00 
1 3.100,00 2.500,00 600,00 17.500,00 
2 3.025,00 2.500,00 525,00 15.000,00 
3 2.950,00 2.500,00 450,00 12.500,00 
4 2.875,00 2.500,00 375,00 10.000,00 
5 2.800,00 2.500,00 300,00 7.500,00 
6 2.725,00 2.500,00 225,00 5.000,00 
7 2.650,00 2.500,00 150,00 2.500,00 
8 2.575,00 2.500,00 75,00 0,00 
 
O gráfico abaixo representa a evolução das prestações nos sistema SAC. 
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Juros
Amortização
Período
P
re
st
aç
ão
 
A evolução do saldo devedor nos sistemas PRICE e SAC pode ser visualizada no gráfico 
abaixo. 
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
14.000
16.000
18.000
20.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
PRICE
SAC
Período
S
al
do
 D
ev
ed
or
 
 9 
1.4- Técnicas de Análise de Investimentos 
1.4.1- Taxa Mínima de Atratividade 
A Taxa Mínima de Atratividade (TMA), também conhecida como Taxa Mínima de Retorno 
ou Custo de oportunidade do Capital, é a taxa de desvalorização imposta aos custos e benefícios 
futuros pelo fato dos mesmos só ocorrerem em datas futuras. 
A escolha da TMA é fundamental no processo de Análise de Investimentos pois uma mesma 
oportunidade de investimento, avaliada sob certo horizonte de planejamento, pode tanto mostrar-se 
viável como inviável, dependendo da TMA adotada. 
Ao investir determinada quantia em um projeto, perde-se a oportunidade de outros ganhos, 
ou seja, deixa-se de auferir pelo menos a rentabilidade oferecida pelo mercado. Assim, para que um 
investimento seja considerado atrativo, deve render mais que as oportunidade de investimento 
perdidas por sua causa. Não se tem geralmente um conhecimento preciso sobre as oportunidades 
de investimento que se está a perder. Uma sensibilidade sobre o assunto permite determinar uma 
taxa de rentabilidade que represente essas aplicações. Esta deve ser a taxa mínima que uma nova 
proposta de investimento deverá render para ser atrativa; é a chamada taxa mínima de atratividade. 
1.4.2- Método do Valor Presente Líquido - VPL 
Este método consiste em determinar-se o valor resultante da soma algébrica de todos os 
benefícios e custos de um fluxo de caixa na data zero, calculados à taxa mínima de atratividade. Se 
este valor for positivo, o investimento é atrativo, caso contrário será inviável. 
1.4.3- Método do Índice Benefício / Custo - IBC 
O Índice Benefício / Custo é uma medida de quanto se ganha por unidade de capital 
investido. É uma variante do Método do Valor Presente Líquido, onde o Índice Benefício / Custo é 
a razão entre a soma dos benefícios e a soma dos custos na data zero, calculados à taxa mínima de 
atratividade. O investimento será atrativo quando o IBC for maior que 1 e inviável quando menor 
que 1. 
1.4.4- Método da Taxa Interna de Retorno - TIR 
ATaxa Interna de Retorno é a taxa de juros que faz com que o Valor Presente Líquido de um 
fluxo de caixa seja igual a zero. Esta taxa de juros representa a rentabilidade da proposta de 
investimento representada por aquele fluxo de caixa. O investimento será atrativo quando a TIR for 
maior que a TMA, caso contrário será considerado inviável. 
1.4.5- Método do Valor Presente Líquido Anualizado - VPLA 
O Método do Valor Presente Líquido Anualizado, também conhecido como Valor Anual 
Uniforme Equivalente - VAUE, é mais uma variação do Método do Valor Presente Líquido, onde o 
fluxo de caixa representativo do projeto de investimento é transformado em uma série uniforme. O 
investimento será atrativo quando o VPLA for maior que zero, caso contrário será considerado 
inviável. 
 10 
O quadro abaixo representa os resultados possíveis para cada um dos métodos apresentados. 
 
VPL IBC TIR VPLA CONCLUSÃO 
VPL = 0 IBC = 1 TIR = TMA VPLA = 0 Indiferença 
VPL > 0 IBC > 1 TIR > TMA VPLA > 0 Projeto Viável 
VPL < 0 IBC < 1 TIR < TMA VPLA < 0 Projeto Inviável 
1.5- Comparação Entre Alternativas de Investimentos pelos Métodos 
do VPL, TIR e VPLA. 
Ao se comparar duas ou mais alternativas de investimento utilizando-se dos métodos 
apresentados, observa-se em alguns casos que os indicadores obtidos pela aplicação de diferentes 
métodos conduzem a resultados conflitantes. 
Tome-se como exemplo os projetos A, B e C, cujos dados relevantes para análise estão 
resumidos no quadro abaixo: 
 
 Projeto A Projeto B Projeto C 
Investimento Inicial $1.000,00 $1.500,00 $1.000,00 
Benefícios Anuais $430,00 $600,00 $360,00 
Vida Útil (anos) 3 3 4 
Valor Residual $150,00 $300,00 $100,00 
 
Considerando uma taxa mínima de atratividade de 10% ao ano, calcula-se os índices referentes à 
aplicação de cada um dos métodos, cujo resultado é apresentado no quadro abaixo: 
 
 Projeto A Projeto B Projeto C Classificação 
VPL $182,04 $217,51 $209,45 B, C, A 
TIR 19,55% 17,50% 18,99% A, C, B 
VPLA $73,20 $87,46 $66,08 B, A, C 
Conforme pode-se observar no quadro acima, embora a aplicação de cada um dos métodos 
utilizados levem à mesma conclusão quanto à viabilidade do projeto, o mesmo não acontece quando 
tenta-se fazer a classificação do projeto de acordo com sua viabilidade. 
Quando se compara dois projetos, existem duas situações que podem levar a aplicação de 
métodos diferentes a resultados diferentes. A primeira situação é quando os projetos tem investimentos 
iniciais diferentes e a segunda, quando os projetos apresentam horizontes diferentes. 
 11 
1.5.1- Projetos com Investimentos Iniciais Diferentes e Horizontes Iguais. 
É o caso dos projetos A e B apresentados acima. 
Quando os investimentos iniciais são diferentes, há que se considerar como esta diferença será 
aplicada. Na falta de alguma informação adicional, a hipótese mais plausível é a de que o capital 
flutuante (diferença entre os investimentos iniciais) seja aplicado à TMA. Desta forma a aplicação 
dos métodos do VPL e VPLA apontarão para a solução correta, pois tanto o VPL quanto o VPLA 
do capital flutuante aplicado á TMA será igual a zero. Se o método da TIR apontar para o projeto 
que requeira menor investimento inicial, então o seguinte ajuste deverá ser feito sobre a TIR a fim de 
que seja levado em conta a hipótese de que o capital flutuante seja aplicado à TMA. 
1.5.1.1- Ajuste da TIR 
Sempre que a maior TIR recair sobre o projeto de menor investimento inicial, pode-se 
incorporar a hipótese inicial de que o capital flutuante seja aplicado à TMA. O problema pode 
ser solucionado de duas maneiras: 
Uma das maneiras é fazer uma análise do Projeto Incremental. O Projeto Incremental é 
aquele que terá como fluxo de caixa a diferença entre os fluxos de caixa dos projetos analisados. 
Se este apresentar TIR maior que a TMA, então o projeto de maior investimento inicial será o 
melhor, caso contrário, será o de menor investimento inicial. 
 
 Projeto A Projeto B Projeto (B-A) Projeto A(comb.) 
VPL $182,04 $217,51 $35,46 $182,04 
IBC 1,182 1,145 1,071 1,121 
TIR 19,55% 17,50% 13,56% 16,52% 
VPLA $73,20 $87,46 $14,26 $73,20 
Quando usamos este artifício, estamos representando o ato de investir no Projeto B, por 
investir no Projeto A e no Projeto (B-A), veja que A+(B-A)=B. Como investir no Projeto A, 
significa investir nele mesmo e investir a diferença dos investimentos de (B-A) na TMA, basta 
compararmos o Projeto (B-A) com investir a diferença dos investimentos de (B-A) na TMA. 
Como estamos comparando pela TIR, basta verificar se a TIR do Projeto (B-A) é maior ou 
menor que a TMA. Se a TIR for maior que a TMA, então é melhor investir no Projeto (B-A) 
que significa investir no Projeto B, caso contrário, é melhor investir na própria TMA, o que 
significa investir no Projeto A. Para o exemplo acima, a TIR do projeto (B - A) é igual a 
13,56%. Visto que esta taxa é maior que a TMA (10%), conclui-se que o projeto B é melhor 
que o projeto A. 
Uma outra maneira de ajuste da TIR é montar um projeto combinado, resultante da soma 
do fluxo de caixa do projeto de menor investimento com o fluxo de caixa do projeto 
representando o investimento do capital flutuante à TMA. A análise é feita utilizando-se a TIR 
deste Projeto Combinado na comparação. 
Da mesma forma chega-se a esta conclusão comparando a TIR do Projeto Combinado de 
A (A(comb.)), que no caso é igual a 16,52%, com a TIR do Projeto B, igual a 17,50%. 
 12 
O gráfico abaixo representa o VPL dos projetos A e B em função da taxa de desconto. 
Observe que o ponto de cruzamento das duas curvas se dá para a taxa de desconto igual à TIR 
de (B - A), também conhecido como ponto de Fisher. 
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Taxa de juros - %
V
P
L
Projeto A
Projeto B
 
 
1.5.2-Projetos com Investimentos Iniciais Iguais e Horizontes Diferentes 
É o caso dos projetos A e C, apresentados anteriormente. 
Ao se comparar alternativas de investimento com horizontes diferentes, é necessário fazer a 
suposição do que acontecerá no intervalo de tempo compreendido entre o término da alternativa de 
menor duração até o término da outra. A hipótese mais comum é a de que ao término do projeto 
uma decisão similar deverá ser tomada, desta forma está-se considerando que os reinvestimentos no 
futuro terão a mesma rentabilidade dos investimentos do presente. 
Ao se aplicar o método da TIR a consideração acima está implícita visto que a mesma 
representa a rentabilidade do projeto. O mesmo ocorre com o método do VPLA visto se tratar de 
um valor constante para todos os períodos. 
No caso do VPL, é necessário fixar um horizonte de análise idêntico para ambos os projetos. 
Isso pode ser feito replicando-se os projetos até o mínimo múltiplo comum de suas vidas. 
B 
A 
 13 
Para o exemplo acima, obtém-se o Projeto Ar repetindo-se 3 vezes o Projeto A e o Projeto 
Cr repetindo-se 2 vezes o Projeto C, de tal forma que o horizonte de análise será de 12 anos. 
Calculando-se o VPL para ambos, encontra-se os valores de $498,78 para Ar e $450,22 para Cr, 
podendo-se concluir daí que o Projeto A é melhor que C, chegando-se à mesma conclusão que os 
resultados apresentados pelos cálculos da TIR e do VPLA para os Projetos A e C. 
 
 Projeto A Projeto C Projeto Ar Projeto Cr 
VPL $182,04 $209,45 $498,78 $450,22 
TIR 19,55% 18,99% 19,55% 18,99% 
VPLA $73,20 $66,08 $73,20 $66,08 
1.5.3- Projetos com Investimentos Iniciais Diferentes e Horizontes 
Diferentes 
É o caso do projetos B e C, apresentados anteriormente. 
No caso de Projetos com Investimentos Iniciais e Horizontes diferentes, para se aplicar os 
métodos do VPL e TIR, deve-se tomar o cuidado de aplicar-se simultaneamente os procedimentos 
indicadospara os casos em que, somente os investimentos iniciais ou somente os horizontes dos 
projetos, são diferentes. O método do VPLA pode ser aplicado diretamente na comparação de 
projetos com essas características. 
No exemplo acima, tendo em vista que o VPL de B (Projeto de maior investimento inicial) é 
maior que o VPL de C, é dispensável o cálculo do VPL de Br e Cr para concluir que B é melhor do 
que C. Por outro lado, pelo método da TIR, é necessário ou calcular-se a TIR do projeto 
incremental (Br - Cr), cujo valor corresponde a 14,92% (maior que a TMA), ou calcular-se a TIR 
do Projeto Combinado de Cr, cujo valor corresponde a 15,96% (menor que a TIR do Projeto B), 
donde conclui-se que B é melhor do que C. 
 
 Projeto B Projeto C Projeto Br Projeto Cr Projeto Br-Cr Projeto 
Cr(comb.) 
VPL $217,51 $209,45 $595,94 $450,22 $145,72 $450,22 
TIR 17,50% 18,99% 17,50% 18,99% 14,92% 15,96% 
VPLA $87,46 $66,08 $87,46 $66,08 $21,39 $66,08 
-300
-100
100
300
500
700
900
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Taxa de juros - %
V
P
L
Projeto Br
Projeto Cr
 
Br 
Cr 
 14 
 
 Projeto Ar Projeto Br Projeto Cr Projeto Br-Ar Projeto Br-Cr 
VPL $498,78 $595,94 $450,22 $97,16 $145,72 
TIR 19,55% 17,50% 18,99% 13,56% 14,92% 
VPLA $73,20 $87,46 $66,08 $14,26 $21,39 
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Taxa de juros - %
V
P
L
Projeto Ar
Projeto Br
Projeto Cr
 
1.6- EFEITOS DO IMPOSTO DE RENDA 
Em muitos casos o imposto de renda deve que ser considerado para avaliar uma proposta. 
Portanto, para se levar em conta os efeitos do imposto de renda, deve-se estudar os seus efeitos no 
fluxo de caixa de um investimento. 
O Conceito de Depreciação 
Dos fatores de produção consumidos no processo de transformação da matéria-prima em 
produto acabado, destaca-se o desgaste dos equipamentos utilizados. A parcela teórica dos desgastes 
dos equipamentos, na fabricação de um produto, é apropriada ao custo desse produto, sob a 
denominação de depreciação. Este valor, embora represente um custo de produção, não se materializa 
em desembolso. Os valores correspondentes à depreciação, teoricamente, seriam acumulados em um 
fundo denominado Fundo de Depreciação. A idéia básica da constituição deste fundo é a de permitir 
que, ao se dar baixa de um bem depreciável, o valor monetário correspondente contabilizado nesse 
fundo seja suficiente para a aquisição de outro bem similar. 
O quadro abaixo apresenta alguns bens e a taxa anual de depreciação permitida pela legislação 
brasileira. 
 
Bem Taxa Anual 
Caminhões Off road 25% 
Veículos de passageiros ou de carga 20% 
Computadores e periféricos 20% 
Móveis e utensílios 10% 
Maquinários 10% 
Chatas e Rebocadores 5% 
Edifícios e Construções 4% 
Br 
Ar 
Cr 
 15 
Para se avaliar os efeitos do imposto de renda na análise de viabilidade, além de se fazer a 
análise utilizando-se o Fluxo de Caixa Antes do Imposto de Renda, faz-se necessário a montagem do 
Fluxo de Caixa Após o Imposto de Renda, o qual é obtido da seguinte maneira: 
a) explicite a parcela referente à depreciação e exclua-a do Fluxo de Caixa Antes do Imposto de 
Renda para obter a Renda Tributável; 
b) calcule o Imposto de Renda fazendo incidir sobre a Renda Tributável a alíquota 
correspondente; 
c) calcule o Fluxo de Caixa Após o Imposto de Renda subtraindo o valor do Imposto de Renda 
do Fluxo de Caixa Antes do Imposto de Renda. 
O imposto de renda, que é uma porcentagem do lucro líquido faz com que haja duas taxas 
internas de retorno; uma antes do imposto de renda e outra depois do imposto de renda. A segunda é 
evidentemente menor, podendo se considerada, a grosso modo, como sendo uma porcentagem da taxa 
interna de retorno, antes do imposto de renda, equivalente à porcentagem do imposto de renda sobre 
os lucros. Isto vale também para a taxa mínima de atratividade, havendo pois duas taxas mínimas de 
atratividade, conforme o estudo seja feito antes ou depois do imposto de renda. 
Para ilustrar o procedimento, suponha-se um projeto que demande Investimento Inicial da ordem 
de $10.000 na compra e instalação de determinado equipamento. Este deverá gerar receitas adicionais 
de $3.000 por ano durante sua vida útil, estimada em 5 anos. Mesmo podendo ser depreciado 
totalmente em 5 anos, o equipamento deverá apresentar valor residual igual a 10% do seu valor 
original. Analisar o projeto se a alíquota do imposto de renda for de 30% e a TMA, após o imposto de 
renda, for de 8% ao ano. 
 
 
Período 
Fluxo de 
Caixa Antes 
do IR 
 
Depreciação 
Renda 
Tributável 
Imposto de 
Renda 
(30%) 
Fluxo de 
Caixa Após 
IR 
 a b c = a - b d e = a - d 
0 -10.000 -10.000 
1 3.000 2.000 1.000 300 2.700 
2 3.000 2.000 1.000 300 2.700 
3 3.000 2.000 1.000 300 2.700 
4 3.000 2.000 1.000 300 2.700 
5 4.000 2.000 2.000 600 3400 
VPL $2.658,71 $1.256,73 
TIR 17,2% 12,5% 
 16 
1.7- EFEITOS DA FONTE DE FINANCIAMENTO 
Quando os projetos não são executados integralmente com recursos próprios, faz-se necessário 
introduzir-se nas análises certos ajustes a com o intuito de considerar-se as implicações de se financiar 
parte do projeto. Estes ajustes poderão ser feitos da seguinte forma: a) determinar o valor da 
amortização e do juro contido em cada prestação; b) do Fluxo de Caixa antes do Imposto de Renda, 
subtrair os valores do juro e da depreciação, para se chegar ao valor da Renda Tributável; c) calcular o 
Imposto de Renda, fazendo incidir sobre a Renda Tributável a alíquota correspondente; d) do Fluxo de 
Caixa Antes do Imposto de Renda, subtrair os valores da amortização, do juro e do imposto de renda, 
para se chegar ao valor do Fluxo de Caixa Após Financiamento e Imposto de Renda. 
Considere-se o exemplo onde um projeto que demanda investimento inicial de $25.000 e que 
produzirá benefícios líquidos de $4.500 por ano durante dez anos, pode ser feito integralmente com 
capital próprio, ou ter 80% do seu valor inicial financiado pelo sistema SAC, com prazo de 
amortização de 8 anos e juros de 8% ao ano. Se o TMA da empresa é de 9% ao ano, verificar qual a 
melhor forma de financiar o projeto. 
 
a) Projeto com recursos próprios 
 
 
Período 
Fluxo de 
Caixa Antes 
do IR 
 
Depreciação 
Renda 
Tributável 
Imposto de 
Renda 
(30%) 
Fluxo de 
Caixa Após 
IR 
 a b c = a - b d e = a - d 
0 -25.000 -25.000 
1 4.500 2.500 2.000 600 3.900 
2 4.500 2.500 2.000 600 3.900 
3 4.500 2.500 2.000 600 3.900 
4 4.500 2.500 2.000 600 3.900 
5 4.500 2.500 2.000 600 3.900 
6 4.500 2.500 2.000 600 3.900 
7 4.500 2.500 2.000 600 3.900 
8 4.500 2.500 2.000 600 3.900 
9 4.500 2.500 2.000 600 3.900 
10 4.500 2.500 2.000 600 3.900 
VPL $3.879,46 $28,87 
TIR 12,41% 9,03% 
 17 
b) Projeto Financiado 
 
 
 
P 
e 
r 
í 
o 
d 
o 
 
 
 
Fluxo de Caixa 
Antes do 
Financiamento 
e do IR 
A 
m 
o 
r 
t 
i 
z 
a 
ç 
ã 
o 
 
 
 
J 
u 
r 
o 
s 
 
 
 
Fluxo de Caixa 
Após 
Financiamento 
e Antes do IR 
D 
e 
p 
r 
e 
c 
i 
a 
ç 
ã 
o 
 
 
 
 
Renda 
Tribu-
tável 
 
 
 
 
Imposto 
de 
Renda 
(30%) 
 
 
 
Fluxo de 
Caixa 
Após 
Finan-
ciamento e 
IR 
 a b c d=a-b-c e f=a-c-e g h=a-b-c-g 
0 -25.000 -5.000 -5.000 
1 4.500 2.500 1.600 400 2.500 400 120 280 
2 4.500 2.500 1.400 600 2.500 600 180 420 
3 4.500 2.500 1200 800 2.500 800 240 560 
4 4.500 2.500 1.000 1.000 2.500 1.000 300 700 
5 4.500 2.500 800 1.200 2.500 1.200 360 840 
6 4.500 2.500 600 1.400 2.500 1.400 420 980 
7 4.500 2.500 400 1.600 2.500 1.600 480 1.120 
8 4.500 2.500 200 1.800 2.500 1.800 540 1.260 
9 4.500 4.500 2.500 2.000 600 3.900 
10 4.500 4.500 2.500 2.000 600 3.900V 
P 
L 
 
$3.879,46 
 
$4.546,23 
 
$2.357,09 
T 
I 
R 
 
12,41% 
 
20,43% 
 
15,26% 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
ANJOS JÚNIOR, Ary Haro dos - Noções de Engenharia Econômica - Curitiba: UFPR, 
1986. 
LAPPONI, Juan Carlos - Lotus 123 em Modelos Para Avaliação Econômica de Projetos de 
Investimento - Rio de Janeiro, 1991. 
PUCCINI, Abelardo e outros - Engenharia Econômica - Rio do Janeiro: Difel - Difusão 
Editorial S/A, 1978. 
RAPOSO, Luiz Alfredo e VIEIRA, Fernando Antonio - Fundamentos de Avaliação 
Econômica de Projetos - Recife: Editora Universitária da UFPE, 1991. 
SILVA, Carlos Arthur Barbosa da - Avaliação Financeira de Projetos com o Auxílio de 
Planilhas Eletrônicas - Viçosa: Universidade Federal de Viçosa, 1994. 
SOUZA, Alceu e CLEMENTE, Ademir - Decisões Financeiras e Análise de Investimentos - 
São Paulo: Editora Atlas S/A, 1995.