MÓDULO 2 SISTEMA DE COORDENADAS

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2 Sistema de Coordenadas
2.1 Cartesianas Geocêntricas 
A Superfície de referência para as Coordenadas Cartesianas é o Elipsóide. As
Projeções X, Y e Z possuem origem no centro do Datum. Este sistema de
coordenadas é o sistema de origem para os cálculos geodésicos. O plano X,Y
coincide com o Equador. O eixo Z coincide com o eixo da Terra. O eixo X passa no
meridiano de Greenwich. 
O ponto P projetado sobre a superfície de referência elipsoidal ficará identificado
cartesianamente pelas coordenadas: P(XP,YP,ZP). 
2.2 Geodésicas 
As coordenadas geodésicas: aspectos conceituais 
A Latitude (f) de um ponto situado na superfície terrestre é o ângulo que formado
pela normal à superfície de projeção (N), nesse ponto, com o plano que contém a
linha do Equador. As latitudes são referenciadas a partir do Equador, de 0 � a 90 ,
no Hemisfério Norte (positivas), e de 0 a 90 no Hemisfério Sul (negativas),
seguida da indicação se é Norte (N) ou Sul (S). 
A longitude (l) de um ponto da superfície terrestre é o ângulo diedro que forma o
plano meridiano que passa pelo ponto com o plano que passa pelo meridiano de
Greenwich. 
As longitudes são referenciadas a partir de Greenwich, de 0 a 180 , na direção
Leste, (positivas) ou na direção Oeste.(negativas). 
A Longitude e a Latitude podem ser aplicadas a um sistema de coordenadas
relacionadas ao posicionamento de qualquer ponto situado na superfície da Terra.
Admite-se que a partir de 0º de latitude e 0º de longitude, existam os quadrantes
NE, SE, SW e NW. O conjunto de linhas meridianos e paralelos forma a rede de
linhas imaginárias ao redor do globo terrestre, constituindo as coordenadas
geográficas (Esferóide)/geodésicas (Elipsóide). Essas coordenadas também podem
ser expressas em metros. No Equador esses arcos podem medir 111.321 m de
comprimento, na direção leste/oeste. 
As posições dos pontos na superfície terrestre são definidas por meio de linhas de
referência, denominadas de coordenadas, que ao se cruzarem em ângulos
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estabelecidos, os definem naquele lugar. 
Sistema Elipsoidal de Coordenadas (Geodésico). 
Para que o posicionamento de um ponto sobre o Elipsóide de Referência seja
determinado de maneira única, foram estabelecidas linhas de referência que
permitem que isto possa ser efetivado.
As linhas desenhadas no sentido Norte/Sul são denominadas de meridianos
enquanto que as linhas desenhadas no sentido Leste/Oeste são denominadas de
paralelos.
Estas linhas formam um sistema denominado de Sistema de Coordenadas
Geodésico, cuja origem é um ponto situado sobre o meridiano que passa por
Greenwich (na Inglaterra) e sobre a linha do Equador. As coordenadas definidas
do sistema são denominadas de latitudes e longitudes geodésicas. 
· Projeção de um ponto sobre a superfície de referência elipsoidal. 
Considera-se, simultaneamente, a latitude e a longitude de um ponto na superfície
terrestre. A cada latitude corresponde um paralelo e a cada longitude, um
meridiano. O ponto de encontro dos dois determina a posição do ponto P1 sobre a
superfície de referência. Porém, o ponto P1 é na verdade a projeção do ponto P
sobre a superfície de referência, isto porque o ponto P encontra-se sobre a
superfície real (topográfica). 
 
Geometria do elipsóide 
Como afirmado, o elipsóide é um dos sólidos que melhor se adapta à superfície
física da Terra, por ter uma geometria simples de se calcular, tornando-se a figura
ideal para mapeamentos cartográficos. Este sólido que é gerado pela rotação de
uma elipse meridiana em torno de seu eixo menor (B), e, por se tratar de uma
figura que possui parâmetros conhecidos, poder-s-á determinar matematicamente
a posição relativa de pontos projetados sobre a sua superfície.
Devido à facilidade de programação este sistema é muito usado em
procedimentos computacionais informatizados (softwares). As relações entre os
dois sistemas de coordenadas (cartesiano e elipsóidico) são obtidas pelas
seguintes expressões:
· Transformação de coordenadas geodésicas (j,l, h) para cartesianas (X, Y, Z) 
X = (N + h).cos(f).cos(l) 
Y = (N + h)xcos(f).sen(l) 
Z = [(1 – e²).(N + h)].sen(f)
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· Transformação de coordenadas cartesianas (X, Y, Z) para geodésicas (j,l, h) 
tan(l) = Y/X 
tan(f) = (Z + e².N.sen(f))/(X² + Y²) 
h = X.sec(f).sec(l) – N = Y.sec(f)xcossec(l) – N 
N = a/ (1 – e².sen(f))1/2 
onde,: a : semi-eixo maior 
b : semi-eixo menor 
h : altitude elipsoidal 
(f) : Latitude geodésica 
(l) : Longitude geodésica 
e : excentricidade 
N : raio de curvatura da vertical principal
 
Exercício 1:
Análise as afirmativas seguintes e marque a alternativa CORRETA:
I – Dá-se o nome de Sistema de Coordenadas Geográficas Geodésicas ou, simplesmente, Coordenadas Geodésicas, ao
sistema de coordenadas geográficas cuja superfície esférica de referência é uma esfera definida a partir do estabelecimento
de um Sistema Geodésico que a contém.
II – A longitude geodésica de um ponto na superfície de referência é o valor angular do arco formado pela normal a essa
superfície, nesse ponto, e o plano do equador.
III – A latitude geodésica de um ponto da superfície de referência é o valor do ângulo diedro que forma o plano meridiano,
que passa pelo ponto, com o plano que passa pelo meridiano de origem.
 
A)
 Apenas I é verdadeira
 
B)
Apenas II é verdadeira
 
C)
Apenas III é verdadeira
 
D)
 Todas são verdadeiras
 
E)
Todas são falsas
 
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) resposta certa 
B) resposta certa 
C) resposta certa 
D) resposta certa 
E) resposta certa 
Exercício 2:
Transformar as coordenadas geodésicas em coordenadas cartesianas tridimensionais: 
(f)T1= 17°35’21”S 
(l)T1= 56°05’38”W 
hT1= 1125,241m 
Datum: SIRGAS2000
 
A)
X = 3393333,433 Y = -5048600,823 Z = -1915529,741
 
B)
X = -3393233,433 Y = 5048500,823 Z = -1915429,741
 
C)
X = -3393233,433 Y = -5048500,823 Z = 1915429,741
 
D)
X = 3393233,433 Y = -5048500,823 Z = -1915429,741
 
E)
Todas as alternativas são falsas
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) resposta certa 
B) resposta certa 
C) resposta certa 
D) resposta certa 
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Exercício 3:
Transforme as coordenadas geodésicas para coordenadas cartesianas em
SIRGAS2000 
(f) = 16°49'51,83526"S (l) = 42°05'38,9220 "W h = 0,00 
Datum = SAD-69/2005 
 
 
A)
4531338,117; -4093594,114; -1844991,122
 
B)
5531338,117; -5093594,114; -2834991,122
 
C)
-4531338,117; -4093594,114; -1835991,122
 
D)
-4531338,117; 4093594,114; -1934991,122
 
E)
4531338,117; -4093594,114; -1834991,122
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) resposta certa 
B) resposta certa 
C) resposta certa 
D) resposta certa 
E) resposta certa 
Exercício 4:
Transforme as coordenadas tridimensionais para coordenadas geodésicas em
SIRGAS2000 
X = 5102280,237 
Y = -3773284,034 
Z = -637935,221 
Datum = SIRGAS2000
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A)
(f) = 05°48'43,99688"S e (l) = 36°28'02,39443"W
 
B)
(f) = 05°46'43,99688"N e (l) = 36°29'02,39443"E
 
C)
(f) = 05°46'43,99688"S e (l) = 36°29'02,39443"W
 
D)
(f) = 05°48'43,99688"N e (l) = 36°28'02,39443"E
 
E)
(f) = 06°48'43,99688"N e (l) = 35°28'02,39443"E
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) resposta certa 
B) resposta certa 
C) resposta certa 
Exercício 5:
A latitude geodésica de um ponto na superfície topográfica é o ângulo
_____________________________. Escolha entre as alternativas abaixo, aquela
que preenche CORRETAMENTE a lacuna 
 
 
A)
formado entre a vertical que passa pelo ponto topográfico e o meridiano de
Greenwich.
 
B)
formado entre a vertical que passa pelo ponto topográfico e sua projeção no plano
do equador.
 
C)
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formado entre a normal que passa pelo ponto topográfico e sua projeção no plano
do equador.
 
D)
formado entre o meridiano que passa pelo ponto topográfico e o meridiano de
Greenwich.
 
E)
formado entre a normal que passa pelo ponto topográfico e a vertical que passa
pelo ponto topográfico.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) resposta certa 
B) resposta certa 
B) resposta certa 
C) resposta certa