Funções de Várias Variáveis

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FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
1. SITUAÇÕES PRÁTICAS QUE EXEMPLIFICAM A UTILIZAÇÃO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
a) O volume V de um cilindro é dado por , onde é o raio e é a altura. 
O volume do cilindro, denotado por , é uma função do raio e da altura . 
 ( ) 
 ( ) é uma função de duas variáveis. 
Nesta função, é a variável dependente e e são as variáveis independentes. 
 
b) A equação de estado de um gás ideal é dada por 
 
 
 onde: 
p = pressão 
V = volume 
n = massa gasosa em mol 
R = constante molar do gás 
T = temperatura 
A função ( ) 
 
 
 é uma função de três variáveis. 
Nesta função, é a variável dependente e e são as variáveis independentes. 
2. DEFINIÇÃO 
Seja A um conjunto do espaço n-dimensional ( ), isto é, os elementos de A são n-uplas 
ordenadas ( ) de números reais. Se cada ponto P do conjunto A associamos um 
único elemento temos uma função . Essa função é chamada função de 
n-variáveis reais. Denotamos: 
 ( ) ( ) 
O conjunto A é denominado domínio da função ( ) 
3. VALOR NUMÉRICO DE UMA FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
1) Considere ( ) √ e calcule ( ) 
 
 
2) Dada a função ( ) 
 
 
, calcular ( ) 
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4. DOMÍNIO E IMAGEM DE FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
Domínio – valores que podemos atribuir para as variáveis independentes de função; 
Imagem – Resultado que podemos obter para a função quando substituímos os valores das 
variáveis independentes. 
Exemplos: 
 ) √ 
 
 
 
 
 
Gráfico do Domínio 
 
 
 
b) √ 
 
 
 
Gráfico do Domínio 
 
 
 
c) 
 
 
Gráfico do Domínio 
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d) 
 
 
Gráfico do Domínio 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
√ 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
h) 
 
 
i) √ ( ) 
 
 
 
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5. REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS 
5.1 PONTO 
Exemplos: 
 ) ( ) 
 
 
 
 
 ) ( ) 
 
 
 
 ) ( ) 
 
 
 
 
 
5.2 PLANOS 
Exemplos: 
 ) 
 
 
 
 ) 
 
 
 
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 ) 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 ) 
 
 
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5.3 PARABOLÓIDE 
Exemplos: 
 ) 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
6. MODELOS MATEMÁTICOS 
6.1 Circunferência (centro C(a,b) e raio r) 
Forma reduzida: ( ) ( ) 
Forma geral: 
 
6.2 Plano – forma reduzida 
 
 
6.3 Esfera (centro C(a,b,c) e raio r) 
Forma reduzida: ( ) ( ) ( ) 
Forma geral: 
 
6.4 Paraboloide – forma reduzida 
 ( ) ( ) 
6.5 Cone – forma reduzida – centro na origem 
 √ 
 
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Exercícios sobre Esfera 
1) Encontre a equação reduzida e geral da esfera de centro C(2, -3, 1) e raio r=5. Represente 
graficamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Encontre o centro e o raio da esfera de equação 
 
 
 
 
 
3) Encontre o centro e o raio da esfera Represente graficamente. 
 
 
 
 
 
 
4) Encontre a equação reduzida e geral da esfera de centro C(3, -5, 2) e raio r=2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
EXERCÍCIOS 
1) Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê: 
a) O comprimento de uma escada apoiada como mostra a figura: 
 
b) O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y 
metros de altura. 
c) A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de 
largura a e comprimento b. 
d) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para revestir as 
paredes laterais de um quarto retangular de x metros de largura, y metros de comprimento, se 
a altura do quarto é z metros. 
e) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y, z. 
f) A distância entre dois pontos P(x,y,z) e Q(u,v,w). 
2) Dada a função ( ) 
 
 
, 
a) dar o domínio; 
b) calcular ( ) 
3) Determinar o domínio das seguintes funções e representar graficamente o domínio: 
 ) ( ) 
 ) ( ) 
 
 
 
4) Determinar o domínio e a imagem das seguintes funções: 
 ) ( ) 
 ) 
 ) √ 
5) Represente graficamente: 
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 ) ( ) 
 ) 
 ) 
 ) 
 
6) Complete o quadro: 
Função Domínio Gráfico do domínio 
 
²xyz 
 
 
 
 
 
 
 
²² yxz 
 
 
 
 
 
 
 
 
yx
x
z


3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Dada a função 
yx
yx
yxf
22
6
),(
2



, calcule as seguintes imagens: 
a) 
 ;1 ,2f
 
b) 
)3- ,2(f
. 
 
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