Aula 2 e 3 Teoria de Decisão e Arvore (1)

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Pesquisa Operacional Aplicada
ANÁLISE DE DECISÃO
ANÁLISE DE DECISÃO
Introdução
A Análise de Decisão proporciona a estrutura para analisar uma ampla variedade de modelos de gerenciamento
A estrutura estabelece: 
1. Um sistema de classificação de modelos de decisão baseados na quantidade de informação disponível sobre o modelo
2. Um critério decisório; ou seja, uma medida de “boa qualidade” de uma decisão para cada tipo de modelo
Análise de decisão trata de decisões com relação a natureza (resultados sobre o qual voce não tem controle) os resultados se acumulam apenas para o tomador de decisão 
Em um modelo de análise de decisão, o dado fundamental é uma Tabela de Resultados 
Estado da Natureza
1	 2	 …	 m
Decisão
d1	 r11		 r12	 …	 r1m
d2	 r21		 r22	 …	 r2m
dn	 rn1		 rn2	 …	 rnm
…	 …		 …	 …	 …
Nesta tabela, as decisões alternativas estão listadas na lateral da tabela. 
Os Estados da Natureza estão listados no topo.
Os valores centrais são os resultados para todas as possíveis combinações de decisão e estados da natureza
O processo decisório ocorre da seguinte forma: 
1. Selecione uma das alternativas de decisão (di). 
2. Após sua decisão, ocorre um estado da natureza que está além de seu controle. 
3. O retorno esperado pode então ser determinado pela tabela de resultados (rij).
A decisão selecionada depende da crença relativa ao que a natureza fará (ex., qual estado da natureza irá ocorrer). 
Para nos ajudar a tomar a decisão, vários pressupostos sobre o comportamento da natureza pode ser feito. Cada pressuposto leva a um diferente critério para selecionar a “melhor decisão”.
Três Classes de Modelos de Decisão
As três classes são: 
Decisões com Risco
Decisões com Incerteza
Decisões com Certeza
DECISÕES COM CERTEZA
Uma decisão com certeza é aquela na qual se sabe (com certeza) que estado da natureza acontecerá. 
Por exemplo, de manhã você está resolvendo se leva o guarda chuva para o trabalho e sabe com certeza que estará chovendo quando voce sair do trabalho a tarde. 
A tabela de resultado para este modelo é:
					Chuva
	levar G-Chuva		 0
	Não levar			-7.00
Custa $7.00 para lavar seu terno caso voce for pego pela chuva.
Todos modelos de Programação Linear (LP), Programação com números inteiros (ILP) e Programação Não Linear(NLP) e outros modelos determinísticos podem ser considerados decisões com relação às quais só há um estado da natureza.
Por exemplo, considere o seguinte modelo de LP:
Max 5000E + 4000F
s.t. 10E + 15F < 150
20E + 10F < 160
30E + 10F > 135
E – 3F < 0
E + F > 5
E, F > 5
Estado da Natureza
Decisão
E = 0, F = 0			 -
E = 5, F = 4			 41,000
E = 6, F = 3.5		 44,000	
…	 		 …
…	 		 …
Valor designado para qualquer decisão inviável.
Retorno é definido para ser o valor da função objetivo (5000E + 4000F).
Neste modelo, sabe-se (com certeza) exatamente que retorno obtemos para cada decisão.
Estes retornos podem então ser listados na tabela de retornos.
 Em uma coluna , representado os estados da natureza que certamente irão ocorrer.
É fácil resolver um modelo com um estado da natureza. Simplesmente seleciona-se a decisão que produz o maior retorno. 
DECISÕES COM RISCO
Na maioria dos modelos, existe uma falta de certeza sobre os eventos futuros. Em modelagem quantitativa pode-se lidar com a falta de certeza de várias maneiras. 
Definição de Risco: Risco refere-se a uma classe de modelos decisórios para os quais há mais de um estado da natureza.
Adicionalmente, assume-se que existe uma estimativa de probabilidade para a ocorrência de cada um dos vários estados da natureza.
A probabilidade do estado da natureza j ocorrer é geralmente estimada usando-se freqüências históricas. De outra maneira, estimativas subjetivas são feitas.
O valor esperado de qualquer variável aleatória é a média ponderada de todos os valores possíveis da variável aleatória , em que os pesos são as probabilidades dos valores que ocorrem.
O Retorno Esperado (ERi) associado a decisão i é
E(X) = Spixi
A decisão é baseada no máximo retorno esperado. Em outras palavras, i* é a decisão ótima onde:
ERi* = máximo sobre todos os i de ERi
ERi = Srijpj = ri1p1 + ri2p2 + … + rimpm
j=1
m
O Modelo do Vendedor de Jornal: Um vendedor de jornal pode comprar o Wall Street Journal por 40 cents cada e vende-lo a 75 cents cada.
Entretanto, ele precisa comprar os jornais antes de saber quantos consegue de fato vender. Se ele comprar mais jornais do que consegue vender, ele simplesmente jogará fora o excesso sem nenhum custo adicional. Se ele não comprar jornais suficientes vai deixar de vender neste momento e possivelmente no futuro.
Suponha, por ora, que sua perda de vendas futuras é captada, pelo custo da "boa vontade" (o chamado goodwill) perdida no mercado de 50 centavos por cliente insatisfeito.
A distribuição de Demanda é a seguinte:
P0 = Prob{demanda = 0} = 0.1
P1 = Prob{demanda = 1} = 0.3
P2 = Prob{demanda = 2} = 0.4
P3 = Prob{demanda = 3} = 0.2
Cada um destes quatro valores representa os estados da natureza. A quantidade de jornais pedidos é a decisão. Os retornos, ou resultados são conforme tabela a seguir:
Estado daNatureza (Demanda)
 0 1	 2 3 
Decisão
0 0 -50 -100 -150
1 -40 35 -15 -65
2 -80 -5 70 20
3 -120 -45 30 105
Resultado = 75(# jornais vendidos) – 
40(# jornais pedidos) – 50(demanda não atendida)
Onde 75¢ = preço de venda
	 40¢ = custo de compra do jornal
	 50¢ = custo de perder o goodwill
Agora, o ER é calculado para cada decisão i :
Estado da Natureza (Demanda)
 0 1	 2 3 
Decisão
0 0 -50 -100 -150 -85 
1 -40 35 -15 -65 -12.5
2 -80 -5 70 20 22.5
3 -120 -45 30 105 7.5
ER
Prob. 0.1 0.3 0.4 0.2
ER1 = -40(0.1) + 35(0.3) – 15(0.4) – 65(0.2) = -12.5
ER2 = -80(0.1) – 5(0.3) + 70(0.4) + 20(0.2) = 22.5
ER3 = -120(0.1) – 45(0.3) + 30(0.4) – 105(0.2) = 7.5
ER0 = 0(0.1) – 50(0.3) – 100(0.4) – 150(0.2) = -85
Dos quatro ER’s, escolha o maximo,
E solicite 2 jornais
Outra maneira de comparar as decisões é observar um gráfico de seus perfis de risco:
0 Perfil de Risco mostra todos os resultados possíveis com suas probabilidades associadas para uma dada decisão, e fornece ao gerente uma idéia da gama de resultados possíveis.
O custo da perda de Goodwill: 
Uma análise de sensibilidade com planilha 
Essa decisão se baseia em um custo, o custo da perda de goodwill no mercado cujo valor é muito menos certo do que os outros dois parâmetros, o preço de venda e o custo de compra.
Agora , faça uma análise de sensibilidade para determinar o que aconteceria à decisão ótima se o custo de goodwill perdido no mercado fosse diferente?
Uma planilha excel é de grande auxílio no cálculo da matriz de resultados e retorno esperado. returns.
Este é um modelo de planilha para a tabela de decisão:
=$B$1*MIN($A7,B$6)-$B$2*$A7- 
 $B$3*MAX(B$6-$A7,0)
=SUMPRODUCT(B7:E7,$B$12:$E$12)
Usando o comando Tabela de Dados, com facilidade pode-se criar uma tabela de retornos esperados para um intervalo dos Custos de Goodwill no mercado..
Após copiar toda “Base Case” em uma nova planilha, insira 0 na célula A16, e click em Editar – Preencher– Sequencia – Sequencia em Colunas com um incremento 5 e valor limite de 150.
=F7
=F8
=F9
=F10
Click on Data – Table and enter $B$3 as the column input cell.
Faça um gráfico dos resultadospara auxiliar a organizar os números. 
Marque o intervalo de dados (A16:E46) and click no Assistente Gráfico. Escolha gráfico de linhas e Avançar. 
 Click em Sequencia e indique rotulo da categoria (x) se encontra em A16:A46.
Click Avançar e entre com so titulos
Click Concluir apos escolher onde colocar o gráfico.
Este é o resultado do gráfico.
Para um custo de Goodwill Cost menor que 125 cents, a decisão ótima e pedir 2 jornais
Para um custo de Goodwill Cost de 125 cents, a alternativa ótima é pedir 2 ou 3 jornais.
DECISÕES COM INCERTEZA
Em decisões com incerteza existe mais de um possível estado da natureza. Entretanto, quem toma a decisão não pode especificar as probabilidades de que vários estados da natureza aconteçam. Neste caso, existem alguns tipos de solução.
Critério de Laplace: O critério de Laplace interpreta a condição de “incerteza” como equivalente a presumir que todos os estados da natureza sejam igualmente prováveis.
Por exemplo, no modelo do vendedor de jornais, o pressuposto de que todos os estados são igualmente provaveis significa que, havendo quatro estados, cada um acontece com probabilidade de 0,25.
Usando Laplace tem-se a seguinte tabela de retorno:
Cada estado da natureza tem igual probabilidade de ocorrer = 0,25
Escolha
 o max 
retorno
Então, a decisão que leva ao maximum valor dos minimum retornos (maximin) é selecionada.
DECISÕES COM INCERTEZA
Critério Maximin: O critério Maximin é um método extremamente conservador ou pessimista de tomar decisões . 
Maximin analisa cada decisão pelo minimum retorno possível associado com a decisão. 
Maximin muitas vezes é usado em situações em que o planejador sente que não pode errar. 
Considere o seguinte exemplo de tabela de decisão:
Baseado no critério Maximin, voce escolheria a decisão 2 . Entretanto, esta é a melhor decisão? 
A decisão que leva ao maximum dos maximum retornos (maximax) é então selecionada.
Este método analisa cada decisão pelo maximum retorno possível associado àquela decisão. 
DECISÕES COM INCERTEZA
Critério Maximax: O critério Maximax é um método otimista de tomar decisão. 
Considere a seguinte tabela de decisão: 
Baseado no critério Maximax, voce escolheria a solução 2. Entretanto, esta é a melhor decisão? 
DECISÕES COM INCERTEZA
Arrependimento e Arrependimento Minimax: Arrependimento mede a vantagem de um resultado. A decisão é tomada sobre o menor arrependimento para a escolha.
Até agora, todos os critérios decisórios foram usados em uma tabela de resultados de retornos em dólares medidos por fluxos de caixa líquidos. 
A tabela a seguir mostra o arrependimento para cada combinação de decisão e estado da natureza. 
O arrependimento calculado indica quão melhor podemos fazer após fazerms a escolha. “Arrependimento” é sinonimo de “custo de oportunidade” de não tomar a melhor decisão para um dado estado da natureza. 
Estado da Natureza
 0 1 2 3 
Decisão
0
1
2
3
 0 - = 0
 0 – ( ) = 40
 0 – ( ) = 80
 0 – ( ) = 120
Para montar a tabela de arrependimento, primeiro escolha o maximum valor na in coluna 1:
 0
 -40
 -80
-120
Agora, subtraia todos os valores desta coluna deste valor:
Os valores resultantes são os arrependimentos para a decisão associada e os estados da natureza. 
Repita os passos para as outras colunas
 85
 0
 40
 80
 170
 85
 0
 40
 255
 170
 85
 0
State of Nature (Demand)
 0 1	 2 3 
Decision
0 0 85 170 255 
1 40 0 85 170
2 80 40 0 85
3 120 80 40 0
Max. Regret
Uma vez feita a tabela de arrependimento, escolha o maximum valor em cada linha:
 255
 170
 85
 120
Então, destes maximum valores, escolha o menor [i.e., a decisão que minimizes o maximum arrependimento (critério minimax)].
DECISÕES COM INCERTEZA
Então, usando os 3 critérios de decisão com incerteza, obtivems as seguintes decisões para os dados do vendedor de jornal:
 Criterio				 Decisão
Maximin Fluxo caixa	 Order 1 paper
Note ao tomar decisões sem probabilidades, os 3 critérios listados acima podem resultar em diferentes soluções “otimas”.
Maximax Fluxo caixa	 Order 3 papers
Arrependimento Minimax	 Order 2 papers
 ANALISE DE DECISÃO
O Valor Esperado da Informação Perfeita: O Modelo do Vendedor de Jornal sob Risco
Voltemos ao modelo do vendedor de jornais sob risco (isto é, com a probabilidade de distribuição mediante demanda) para introduzir o conceito do valor esperado da informação perfeita.
O vendedor de jornal sem conhecer a atual demanda, pedia jornal baseado na distribuição da demanda. 
No fim do dia a demanda era revelada ao vendedor de jornal e um retorno atual pode ser determinado pelo pedido colocado baseado na sua decisão e na demanda.
O que aconteceria se o vendedor pudesse comprar a “informação perfeita” sobre a demanda de seus jornais permitindo a ele tomar a melhor decisão? 
A questão que temos que responder é: 
Qual o maior honorário que o vendedor esta disposto a pagar por esta informação perfeita? 
Este honorário é chamado de valor esperado da informação perfeita (EVPI):
EVPI = (valor esperado com um novo trato ) – 
(retorno esperado com a seqüência atual de eventos)
O EVPI da um limite superior ao montante que o vendedor esta disposto a pagar pela “informação perfeita”.
Para calcular o retorno esperado com o novo trato, escolha o maximum valor para cada saída(coluna) e multiplique por sua respectiva probabilidade. Então adicione o resultado da multiplicação. 
Com a informação perfeita o vendedor sempre pedirá o número de jornais que lhe trará o maximum retorno para o estado da natureza que ocorrerá.
Entretanto, o pagamento por esta informação deve ser feito antes do vendedor saber qual será a demanda. 
ER(novo) = 0(0.1) + 35(0.3) + 70(0.4) + 105(0.2)
Estado da Natureza
 0 1	 2 3 
Decisão
0 0 -50 -100 -150
1 -40 35 -15 -65
2 -80 -5 70 20
3 -120 -45 30 105
Prob. 0.1 0.3 0.4 0.2
= 59.5
ER(anterior) = 22.5
EVPI = 59.5 – 22.5 = 37.0 cents
DECISION ANALYSIS
Utilidade e Decisão sob Risco
Utilidade é uma maneira alternativa de medir a atratividade do resultado de uma decisão.É uma maneira alternativa de encontrar os valores para preencher uma tabela de resultados. 
Até agora, usamos retorno líquido em dolares (fluxo de caixa líquido) e arrependimento como duas medidas da “boa qualidade” de uma determinada combinação de decisão e estado da natureza.
Utilidade sugere um outro tipo de medida.
Considere o seguinte jogo onde uma urna contém 99 bolas brancas e uma preta. Uma única bola é retirada da urna. Cada bola tem a mesma probabilidade de ser retirada. 
O PRINCÍPIO LÓGICO PARA UTILIDADE
Se uma bola branca é retirada, voce deve pagar $10.000. Se uma bola preta é retirada , voce recebe $1.000.000. Voce tem que decidir se vai jogar. 
Jogar
Não Jogar	
DECISÃO
ESTADO DA NATUREZA
Bola Branca Bola Preta
-10,000 1,000,000
 0 0
A tabela de resultados (fluxo de caixa líquido):
As probabilidades de uma bola branca e de uma bola preta são respectivamente 0,99 e 0,01. Os valores esperados são:
ER(jogar) = -10,000(0.99) + 1,000,000(0.01)
 = -9900 + 10,000 = 100
ER(não jogar) = 0(0.99) + 0(0.01) = 0
Visto que ER(jogar) > ER(não jogar), deveríamos jogar se aplicarmos o critério de maximizar o fluxo de caixa líquido esperado.
E então, voce joga este jogo ?
Este simples exemplo mostraque voce precisa tomar cuidado ao selecionar um critério adequado. 
Muitas pessoas são aversas ao risco, o que significa que sentem a perda de uma certa quantidade de dinheiro mais dolorosa que o ganho da mesma quantidade. 
Função Utilidade na análise de decisão mede a “atratividade” do dinheiro. Utilidade pode ser considerada uma medida de “satisfação”. Duas características são:
1. Ela é não decrescente , já que mais dinheiro sempre é mais atraente do que menos dinheiro.
2. É concava, (a utilidade marginal do dinheiro é não-crescente)
Para ilustrar, primeiro suponha que voce tenha $100 e alguém lhe dá $100 adicionais. Observe que sua utilidade aumenta em
U(200) – U(100) = 0.680 – 0.524 = 0.156
Agora suponha que voce comece com $400 e alguém lhe da um adicional de $100. Agora sua utilidade aumenta em 
U(500) – U(400) = 0.910 – 0.850 = 0.060
Isto ilustra que um adicional de $100 é menos atraente se voce tem $400 na mão do que se voce começa com $100. 
O ganho de uma quantidade específica de dolares aumenta menos a utilidade que a perda do mesmo número de dolares diminui a utilidade. 
Utilidade
 1.0
0.910
0.850
0.775
0.680
0.524
100 200 300 400 500 600 Dollars
Função Típica de Utilidade de Aversão ao risco:
Go from $400 to $500 results in
A gain in utility of 0.06
Go from $400 to $300 results in
A loss in utility of 0.075
Utility
 1.0
0.590
0.260
0.075
100 200 300 400 Dollars
Função Busca de Risco (convexa):
O ganho de uma quantidade específica de dolares aumenta a utilidade mais que a perda da mesma quantidade de dolares diminui a utilidade.
Go from $200 to $300 results in
A gain in utility of 0.330
Go from $200 to $100 results in
A loss in utility of 0.185
Utilidade
 1.0
 0.90
 0.60
 0.30
100 200 300 400 Dollars
Função Risco indiferente
O ganho ou a perda de uma quantidade específica de dollares produz uma mudança de mesma magnitude na utilidade.
Para iniciar, arbitrariamente selecione os pontos finais de sua função utilidade. 
CRIANDO E USANDO UMA FUNÇÃO UTILIDADE
Por conveniência, defina a utilidade do menor retorno líquido em dollares igual a 0 e a utilidade do maior retorno líquido igual a 1. 
No exemplo do vendedor de jornal, o menor retorno é -150 e o maior +105. Então
U(-150) = 0
U(+105) = 1
Agora, assuma que quem toma a decisão inicie com estes valores e queira encontrar a utilidade de 10 [U(10)]. 
Selecione uma probabilidade p que torna indiferente para ele estas duas alternativas: 
1. Receber um pagamento de 10 com certeza; 
2. Participar de uma loteria na qual ele recebe um pagamento de 105 com a probabilidade p ou um pagamento de -150 com probabilidade 1-p. 
Se p = 1, a alternativa 2 é preferida (um pagamento de 105 é melhor que um pagamento de 10). 
Se p = 0, então alternativa 1 é preferida (um pagamento de 10 é melhor que perder 150). 
Em algum ponto entre 0 e 1 há um valor para p que deixa quem toma decisão indiferente entre as duas alternativas.
Este valor p varia de pessoa para pessoa dependendo de quão atraentes as várias alternativas são para elas. Pode-se chamar este valor p de utilidade para 10.
Por exemplo, escolha p = 0,6 então o valor esperado da loteria é: 
0.6(105) + 0.4(-150) = 3
Neste caso, o administrador está buscando risco uma vez que um pagamento certo de 10 (maior que o retorno esperado de 3) é necessário para compensar a perda de possibilidade de ganhar mais do que o retorno esperado. 
Agora, escolha p = 0,8, o valor esperado da loteria é: 
0.8(105) + 0.2(-150) = 54.0
Neste caso, o administrador é avesso ao risco uma vez que um valor esperado maior que o pagamento certo de 10 é necessário para compensar arriscar na loteria.
Quanto maior o valor de p escolhido, mais avessa ao risco ela é, porque requer um valor esperado maior da loteria para compensar pelo risco. 
Resolvendo a equação
p(105) + (1-p)(-150) = 10
255p – 150 = 10
p = 160/255 = 0.6275
Encontramos o valor de p para o qual o valor esperado da loteria é igual ao pagamento certo de 10. Então,
 p > 0.6275			avesso ao risco
 p = 0.6275			indiferente ao risco
 p < 0.6275			Buscando risco
Para se obter a função utilidade completa, repita este procedimento para todos os outros retornos possíveis.
Outra (e mais popular) maneira de construir uma função utilidade é usar uma função utilidade exponencial. 
Esta função tem uma forma predeterminada ( isto é, concava avessa ao risco) e requer a avaliaçào de apenas um parâmetro.
A função tem a seguinte forma:
U(x) = 1 - e-x/r
Onde 
 x é a quantidade em dolares que vamos converter para utilidade
 r é uma constante que mede o grau de aversão ao risco ( maior o valor de r menor a a aversão ao risco, quanto menor o valor de r, maior a aversão ao risco da empresa ou pessoa).
Uma maneira de determinar r , é primeiro determinar a quantidade em dolares em r de modo que para a gerente tanto faça uma ou outra opção a seguir:
1. Uma tentativa arriscada 50 – 50 em que os resultados são um ganho de r dolares ou uma perda de r/2 dolares. 
2. Um resultado de zero 
Agora, suponha que o vendedor de jornais esteja indiferente entre uma aposta em que ele ganha $ 100 ou perde $50 com igual probabilidade e não apostando não ganha nada, então seu r é de $100.
Uma segunda maneira de determinar r vem da evidência empírica captada a partir de muitas empresas que relaciona as entradas líquidas e as vendas líquidas com o grau de aversão ao risco r.
Esta evidência mostra que r é aproximadamente igual a 124% da renda líquida, 15,7% do patrimônio líquido e 6,4% das vendas líquidas. 
Por exemplo, uma grande empresa com um lucro líquido de $ 1 bilhão, teria um r de 1,24 bilhões, enquanto uma empresa manor com vendas líquidas de $ 5 milhões teria um r de 320 000.
Voltemos ao exemplo do vendedor de jornais:
Como ele tem um negócio muito pequeno, opta por usar um método predeterminado de função utilidade exponencial. 
Adicionalmente, emprega o método de tentativa arriscada 50 – 50 para determinar seu valor r ($100) 
Nesta tabela de resultados, as entradas são a utilidade do fluxo de caixa líquido associado a cada combinação de uma decisão e um estado da natureza (isto é, ele substitui a utilidade do fluxo de caixa líquido pelo respectivo fluxo de caixa) 
Utilizando o Excel, desenvolve um modelo de planilha para utilidade de todos os seus retornos em dolares. 
=1-EXP(-’Base Case’!B7/$B$14)
=SUMPRODUCT(B7:E7,$B$12:$E$12)
Enter –150 in the first cell, then
click on Edit – Fill – Series and 
enter the following parameters:
=1-EXP(-A17/$B$14)
Este é o gráfico da função utilidade:
Baseado no critério de maximizar a utilizada esperada, o vendedor de jornal deve comprar 2 jornais. 
Consiere o seguinte exemplo de seguro de carro: 
10 anos após se graduar em Standford’s Graduate School of Business, Carol Lane comprou um Lexus. O prêmio anual para o seguro de colisão seria de $1000 com um dedutível de $250. 
Existe apenas 0,5% de probabilidade de ela provocar uma colisão no próximo ano. Neste caso, ela pode esperar cerca de $ 50000 em danos. 
Uma vez que ela é totalmente proprietária do Lexus, ela não é obrigada a comprar o seguro contra colisão.
Mas ela deveria comprar o seguro ou não?
=B2 + B1
=B6
=B1
=SUMPRODUCT(E3:F3,$E$6:$F$6)
A seguir a planilha do modelo:
O retorno esperado indica que seria menos caro para ela, em média, não comprar o seguro. 
Baseada na análise da utilidade esperada, Carol conclui que vale a pena comprar o seguro e fica tranquila relativamente a não ter de tirar $ 50000 de suas economias no caso de provocar uma colisão. 
Entretanto, para se assegurar, ela faz uma análise de utilidade. Ela decide que é avessa ao risco, e estima seu valor de r em $10000.
=1-EXP(E3/$F$8)
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ANÁLISE DE DECISÃO
ÁRVORE DE DECISÃO
Árvore de decisão é um meio gráfico para análisede decisão sob risco (modelos na qual decisões e probabilidades dos estados da natureza são especificados).
Árvores de decisão são especialmente úteis quando existe uma sequência de decisões.
EXEMPLO
A empresa Pittsburgh comprou uma área de incorporação para a construção de um condomínio de luxo. A área tem uma vista maravilhosa da cidade. As unidades individuais terão seus preços variando entre R$ 300 000,00 e R$ 1 200 000,00 dependendo do andar, da metragem e de algumas benfeitorias.
	A empresa elaborou 3 estudos preliminares para projetos arquitetônicos com tamanhos diferentes conforme segue: 
6 andares com 30 unidades (condomínio pequeno), 
12 andares com 60 unidades (condomínio médio) e 
18 andares com 90 unidades (condomínio grande). 
	O sucesso financeiro do empreendimento depende diretamente da escolha do tamanho do condomínio.
O primeiro passo na análise de decisão é identificar as alternativas de decisão a serem consideradas, neste caso são:
d1 = condomínio pequeno
d2 = condomínio médio
d3 = condomínio grande
Um fator chave para a seleção das possíveis decisões envolve a demanda por determinado tipo de condomínio.
 
	Quando perguntado sobre as possibilidades de aceite do mercado para os 3 tamanhos de condomínio o tomador de decisão vislumbrou uma situação onde o mercado será para apenas um dos três tipos de condomínio e poderia ser classificada o como:
com alto aceite de mercado e conseqüentemente uma alta demanda para o condomínio
 com baixo aceite de mercado e conseqüentemente uma baixa demanda para o condomínio.
Na análise de decisão eventos que podem ocorrer mas que o tomador de decisão não tem controle são chamados de estados da natureza. Para o projeto do condomínio, dois estados da natureza serão considerados:
s1 = alto aceite de mercado e consequentemente uma alta demanda para o tipo de condomínio
s2 = baixo aceite de mercado e consequentemente uma baixa demanda para o tipo de condomínio
Dada as 3 alternativas e os dois estados da natureza, para a tomada de decisão são necessários os lucros associados com cada combinação de decisão (alternativas e estados da natureza). Utilizando as melhores informações disponíveis o tomador de decisão elaborou a seguinte tabela mostrando os lucros:
Alternativas de Decisão
Estados da Natureza
Alto aceite
s1
Baixo aceite
s2
Condomínio pequeno, d1
8
7
Condomínio médio, d2
14
5
Condomínio grande, d3
20
-9
Valores em milhões de R$
Um nó quadrado, representa um ponto onde uma decisão pode ser tomada.
Cada linha ou ramo, saindo do quadrado representa uma possível decisão
Um nó circular representa um evento (uma situação onde a saída não é certa) .
Cada linha (ramo) saindo do círculo representa uma possível saída.
1
2
3
4
Pequeno, d1
Médio, d2
Grande, d3
Alto, s1
Baixo, s2
Alto, s1
Alto, s1
Baixo, s2
Baixo, s2
8
7
14
5
20
-9
	O tomador de decisão baseado em seus conhecimentos de mercado esta otimista com relação ao empreendimento, e este otimismo esta traduzido da seguinte forma em termos de probabilidade:
80% de probabilidade que o aceite será alto (s1)
20% que o aceite será baixo (s2). 
	Portanto P(s1) = 0,8 e P(s2) = 0,2
1
2
3
4
Pequeno, d1
Médio, d2
Grande, d3
Alto, s1
Baixo, s2
Alto, s1
Alto, s1
Baixo, s2
Baixo, s2
8
7
14
5
20
-9
P(s1)=0,8
P(s1)=0,8
P(s1)=0,8
P(s2)=0,2
P(s2)=0,2
P(s2)=0,2
70
1
2
3
4
Pequena, d1
Média, d2
Grande, d3
VE(d1)=0,8.(8)+0,2.(7) = R$7,8
VE(d2)=0,8.(14)+0,2.(5) = R$12,2
VE(d1)=0,8.(20)+0,2.(-9) = R$14,2
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
É o estudo de como as mudanças nas probabilidades estimadas para os estados da natureza afetam ou alteram as decisões recomendadas.
 
Se considerarmos que:
P(s1) = p
P(s2) = 1 – P(s1) = 1 – p
Substituindo na equação de VE(d1) teremos:
VE(d1) = P(s1).(8) + P(s2).(7)
VE(d1) = p.(8) + (1 – p).(7)
VE(d1) = 8p + 7 – 7p
VE(d1) = p + 7
Repetindo para as outras equações (VE(d2) e VE(d3)) teremos:
VE(d2) = 9p + 5
VE(d3) = 29p – 9
O valor de p onde o VE(d1) = VE(d2) é determinado igualando-se as equações e determinando o valor de p.
 
Assim para VE(d1) = VE(d2) temos p = 0,25 e para VE(d2) = VE(d3) temos p = 0,70
 
Utilizando o gráfico e os valores de p obtidos acima podemos concluir que:
 
para p < 0,25 a decisão 1 é a que nos da o maior valor esperado
para 0,25 < p < 0,70 a decisão 2 é que nos da o maior valor esperado
para p > 0,70 a decisão 3 é que nos da o maior valor esperado
1
2
3
4
Pequeno, d1
Médio, d2
Grande, d3
Alto, s1
Baixo, s2
Alto, s1
Alto, s1
Baixo, s2
Baixo, s2
8
7
14
5
20
-9
P(s1)=0,8
P(s1)=0,8
P(s1)=0,8
P(s2)=0,2
P(s2)=0,2
P(s2)=0,2
VALOR ESPERADO DA INFORMAÇÃO PERFEITA
Maior valor de cada!!!!
VALOR ESPERADO DA INFORMAÇÃO PERFEITA
0,8.(20) + 0,2.(7) = 17,4
R$ 17,4 milhões é o valor esperado com a informação perfeita.
Conforme já calculado,
 
R$ 14,2 milhões é o valor esperado sem a informação perfeita.
 
Portanto o valor esperado da informação perfeita é:
 
<VE(d1)=0,8.(20)+0,2.(-9) = R$14,2>
17,4 – 14,2 = 3,2
VALOR ESPERADO COM AMOSTRA DE INFORMAÇÃO
Probabilidades anteriores
Novas Informações de pesquisas e experimentos
Probabilidades revisadas
	Nos referimos às novas informações obtidas através de pesquisas e experimentos como amostra de informação. A Pittsburgh vai solicitar uma pesquisa para saber se o mercado é Favorável ou de alta aceitação (F) ou Desfavorável ou de baixa aceitação (U).
PROBABILIDADE CONDICIONAL
P(A|B) – é a probabilidade que o evento A ocorra desde que o evento B ocorreu.
P(F  s1) – probabilidade do resultado da pesquisa ser de Favorável dado que o estado da natureza é de alta aceitação é de 90 %
 
P(U  s1) – probabilidade do resultado da pesquisa ser Desfavorável dado que o estado da natureza é de alta aceitação é de 10%
 
P(F  s2) – probabilidade do resultado da pesquisa ser Favorável dado que o estado da natureza é de baixa aceitação é de 25%
 
P(U  s2) – probabilidade do resultado da pesquisa ser Desfavorável dado que o estado da natureza é de baixa aceitação é de 75%
2
4
5
6
Pequena, d1
Média, d2
Grande, d3
Alto, s1
Baixo, s2
Alto, s1
Alto, s1
Baixo, s2
Baixo, s2
8
7
14
5
20
-9
3
7
8
9
Pequena, d1
Média, d2
Grande, d3
Alto, s1
Baixo, s2
Alto, s1
Alto, s1
Baixo, s2
Baixo, s2
8
7
14
5
20
-9
1
Favorável F
P(F)
Desfavorável (U)
P(U)
P(s1F)
P(s1F)
P(s1F)
P(s2F)
P(s2F)
P(s2F)
P(s1U)
P(s1U)
P(s1U)
P(s2U)
P(s2U)
P(s2U)
	Para obter o resultado da estratégia utilizando a árvore de decisão necessita-se conhecer as probabilidades P(F), P(U), P(s1  F), P(s2  F), P(s1  U) e P(s2  U). Irá se utilizar o teorema de Bayes, para obter estas probabilidades.
Os passos para a execução das tabelas que facilitam a obtenção das probabilidades são os seguintes:
 
Na 1a coluna, entrar com os estados da natureza, na 2a coluna, entrar com as probabilidades anteriores dos estados da natureza, na 3a coluna, entrar com as probabilidades condicionais de um relatório favorável para cada estado da natureza;
Na 4a coluna calcular a probabilidade de união multiplicando os valores da 2a coluna e da 3a coluna;
Somar os resultados obtidos na 4a coluna a fim de se obter a P(F) probabilidade de relatório favorável;
Calcular as probabilidades revisadas na 5a coluna dividindo cada probabilidade de união pela probabilidade de relatório favorável P(F).
Tabela para relatório Favorável
Estado da Natureza
sj
Probabilidade anterior
P(sj)
Probabilidade condicional
P(Fsj)
Probabilidade União
P(FUsj)
Probabilidade revisada
P(sjF)
s1
0,8
0,90
0,72
0,9351
s2
0,2
0,25
0,05
0,0649
P(F) =
0,77
Tabela para relatório Desfavorável
Estado da Natureza
sj
Probabilidade anterior
P(sj)
Probabilidade condicional
P(Usj)
Probabilidade União
P(UUsj)
Probabilidade revisada
P(sjU)
s1
0,8
0,10
0,08
0,3478
s2
0,2
0,75
0,15
0,6522
P(U) =
0,23
2
4
5
6
Pequena,d1
Média, d2
Grande, d3
Alto, s1
Baixo, s2
Alto, s1
Alto, s1
Baixo, s2
Baixo, s2
8
7
14
5
20
-9
3
7
8
9
Pequena, d1
Média, d2
Grande, d3
Alto, s1
Baixo, s2
Alto, s1
Alto, s1
Baixo, s2
Baixo, s2
8
7
14
5
20
-9
1
Favorável F
P(F) = 0,77
Desfavorável (U)
P(U) = 0,23
P(s1F)=0,9351
P(s1F)=0,9351
P(s1F)=0,9351
P(s2F)=0,0649
P(s2F)=0,0649
P(s2F)=0,0649
P(s1U)=0,3478
P(s1U)=0,3478
P(s1U)=0,3478
P(s2U)=0,6522
P(s2U)=0,6522
P(s2U)=0,6522
2
4
5
6
Pequena, d1
Média, d2
Grande, d3
3
7
8
9
Pequena, d1
Média, d2
Grande, d3
1
Favorável F
P(F) = 0,77
Desfavorável (U)
P(U) = 0,23
VE(4)=0,9351(8)+0,0649(7)=7,935
VE(5)=0,9351(14)+0,0649(5)=13,416
VE(6)=0,9351(20)+0,0649(-9)=18,118
VE(7)=0,3478(8)+0,6522(7)=7,348
VE(8)=0,3478(14)+0,6522(5)=8,130
VE(9)=0,3478(20)+0,6522(-9)=1,086
VE(1)=0,77(18,118)+0,23(8,130)=15,82
$ 15,82 milhões é o valor esperado com amostra de informação.
Uma vez que o valor esperado sem amostra de informação foi calculado e é R$ 14,2 milhões, o valor esperado da amostra de informação é de (15,82 – 14,2) R$ 1,62 milhões, em outras palavras, é o aumento esperado no valor baseado na amostra de informação.
Ex2) A empresa LCR tem três estratégias a serem consideradas para um investimento. Os Lucros dependem do que acontecer com as taxas da bolsa nos próximos 3 meses, sendo que: para a 1a estratégia, se a taxa cair, o lucro será de R$ 50 mil, se não mudar, será de R$ 70 mil e se a taxa subir, será de R$ 40 mil; para a 2a estratégia, se a taxa cair, o lucro será de R$ 55 mil, se não mudar, será de R$ 35 mil e se a taxa subir, será de R$ 80 mil; para a 3a estratégia, se a taxa cair, o lucro será de R$ 15 mil, se não mudar, será de R$ 60 mil e se a taxa subir, será de R$ 70 mil.
Construa a árvore de decisão;
Se o tomador de decisão não sabe nada sobre as probabilidades dos três estados da natureza, qual recomendação para uma análise otimista, conservadora e minimax ?
Ex3) Suponha que para o exercício 1 as probabilidades para P(s1) = 0,65 , P(s2) = 0,15 , P(s3) = 0,20 , qual o valor esperado para a solução ótima ?
		Uma empresa tem que tomar uma decisão com relação a um produto (M997) desenvolvido por um de seus laboratórios de pesquisa. Deve decidir se prossegue os testes de mercado para o M997 ou se desiste do produto. Ë estimado que os testes de mercado custarão R$100 000,00. Experiências passadas indicam que apenas 30% dos produtos tem sucesso nos testes de mercado.
		Se M997 tiver sucesso no teste de mercado, a companhia terá uma nova decisão a tomar com relação ao tamanho da planta de fabricação para o M997. Uma planta pequena custará R$ 150 000,00 e produzirá 2000 unidades por ano em contrapartida, uma planta grande custará R$ 250 000,00 e produzirá 4000 unidades por ano.
		O departamento de marketing estimou que existe 40% de probabilidade que a concorrência responda com um produto similar e desta forma o preço por unidade vendida será conforme tabela abaixo (assumindo toda produção vendida)
 
				 Planta Grande		 Planta Pequena
Com resposta da concorrência	20			35
Sem resposta da Concorrência	50			65
 
		Assumindo que a vida de mercado para o produto M997 esta estimada em 7 anos e que anualmente o custo de manutenção da planta é de R$ 50 000,00 para ambos os tamanhos de planta.
 A produtora de TV Hales esta pensando em produzir um piloto de um seriado de comédia para uma grande rede de televisão. A rede de televisão pode rejeitar o piloto e a série, mas também pode comprar o programa por 1 ou 2 anos. A Hales deve decidir se produz o piloto ou se transfere os direitos do seriado para um competidor por R$ 100 000,00. Os lucros estimados pela Hales são os seguintes: 
Se produzir o piloto e este for rejeitado ela perde R$ 50 000,00, se produzir o piloto e este for comprado por um ano ela ganha R$ 50 000,00 e se produzir o piloto e este for comprado por dois anos ela ganha R$ 150 000,00;
Se vender para a concorrência seja lá qualquer resultado (rejeitado, comprado por um ano ou comprado por dois anos) ela ganha R$ 100 000,00.
Se a probabilidade estimada de ser rejeitado é de 20%, a probabilidade de ser comprado por um ano é de 30% e a probabilidade de ser comprado por 2 anos é de 50%, o que a empresa deve fazer ?
Qual o máximo que a Hales esta disposta a pagar por informações internas garantindo o que a rede de televisão irá fazer com antecedência ?
	Uma agência ofereceu uma consultoria por uma taxa de R$ 2 500,00 , ela irá rever os planos do seriado de comédia e indicar chances maiores sobre a reação favorável da rede de televisão com relação ao seriado. As probabilidades encontradas pela agência após a análise foram as seguintes:
	Com relação a rejeição do seriado, estatisticamente, a revisão prediz este fato corretamente 70% das vezes e portanto, 30% das vezes a revisão indica resultados favoráveis;
	Com relação a compra por um ano, estatisticamente, a revisão prediz este fato corretamente 60% das vezes e portanto, 40% das vezes a revisão indica resultados desfavoráveis;
	Com relação a compra por dois anos, estatisticamente, a revisão prediz este fato corretamente 90% das vezes e portanto, 10% das vezes a revisão indica resultados desfavoráveis.
Qual é a decisão recomendada e o valor esperado considerando as informações obtidas pela agência ?
Chart1
	0	27.5	32.5	7.5
	-8.5	23.5	31.5	7.5
	-17	19.5	30.5	7.5
	-25.5	15.5	29.5	7.5
	-34	11.5	28.5	7.5
	-42.5	7.5	27.5	7.5
	-51	3.5	26.5	7.5
	-59.5	-0.5	25.5	7.5
	-68	-4.5	24.5	7.5
	-76.5	-8.5	23.5	7.5
	-85	-12.5	22.5	7.5
	-93.5	-16.5	21.5	7.5
	-102	-20.5	20.5	7.5
	-110.5	-24.5	19.5	7.5
	-119	-28.5	18.5	7.5
	-127.5	-32.5	17.5	7.5
	-136	-36.5	16.5	7.5
	-144.5	-40.5	15.5	7.5
	-153	-44.5	14.5	7.5
	-161.5	-48.5	13.5	7.5
	-170	-52.5	12.5	7.5
	-178.5	-56.5	11.5	7.5
	-187	-60.5	10.5	7.5
	-195.5	-64.5	9.5	7.5
	-204	-68.5	8.5	7.5
	-212.5	-72.5	7.5	7.5
	-221	-76.5	6.5	7.5
	-229.5	-80.5	5.5	7.5
	-238	-84.5	4.5	7.5
	-246.5	-88.5	3.5	7.5
	-255	-92.5	2.5	7.5
Order 0
Order 1
Order 2
Order 3
Goodwill Cost (cents)
Expected Return (cents)
Base Case
	Selling Price	75
	Purchase Cost	40
	Goodwill Cost	50
	
			States of Nature
	Decision	0	1	2	3	Expected Return
	0	0	-50	-100	-150	-85
	1	-40	35	-15	-65	-12.5
	2	-80	-5	70	20	22.5
	3	-120	-45	30	105	7.5
	
	Probabilities	0.1	0.3	0.4	0.2
Sensitivity to Goodwill
	Selling Price	75
	Purchase Cost	40
	Goodwill Cost	50
	
			States of Nature
	Decision	0	1	2	3	Expected Return
	0	0	-50	-100	-150	-85
	1	-40	35	-15	-65	-12.5
	2	-80	-5	70	20	22.5
	3	-120	-45	30	105	7.5
	
	Probabilities	0.1	0.3	0.4	0.2
	
	
		-85	-12.5	22.5	7.5
	0	0	27.5	32.5	7.5
	5	-8.5	23.5	31.5	7.5
	10	-17	19.5	30.5	7.5
	15	-25.5	15.5	29.5	7.5
	20	-34	11.5	28.5	7.5
	25	-42.5	7.5	27.5	7.5
	30	-51	3.5	26.5	7.5
	35	-59.5	-0.5	25.5	7.5
	40	-68	-4.5	24.5	7.5
	45	-76.5	-8.5	23.5	7.5
	50	-85	-12.5	22.5	7.5
	55	-93.5	-16.5	21.5	7.5
	60	-102	-20.5	20.5	7.5
	65	-110.5	-24.5	19.5	7.5
	70	-119	-28.5	18.5	7.5
	75	-127.5	-32.5	17.5	7.5
	80	-136	-36.5	16.5	7.5
	85	-144.5	-40.5	15.5	7.5
	90	-153	-44.5	14.5	7.5
	95	-161.5	-48.5	13.5	7.5
	100	-170	-52.5	12.5	7.5
	105	-178.5	-56.5	11.5	7.5
	110	-187	-60.5	10.5	7.5
	115	-195.5	-64.5	9.5	7.5
	120	-204	-68.5	8.5	7.5
	125	-212.5	-72.5	7.5	7.5
	130	-221	-76.5	6.5	7.5
	135	-229.5	-80.5	5.5	7.5
	140	-238	-84.5	4.5	7.5
	145	-246.5	-88.5	3.5	7.5
	150	-255	-92.5	2.5	7.5
Sensitivity to Goodwill
	
Order 0
Order 1
Order 2
Order 3
Goodwill Cost (cents)
Expected Return (cents)
Utility
	
	
	
	
			States of Nature
	Decision	0	1	2	3	Expected Return
	0	0	-0.65	-1.72	-3.48	-1.58
	1	-0.49	0.30	-0.16	-0.92	-0.21
	2	-1.23	-0.05	0.50	0.18	0.10
	3	-2.32	-0.57	0.26	0.65	-0.17
	
	Probabilities	0.1	0.3	0.4	0.2
	
	R=	100
	
	x	Utility (x)
	-150	-3.48
	-145	-3.26
	-140	-3.06
	-135	-2.86
	-130	-2.67
	-125	-2.49
	-120	-2.32
	-115	-2.16
	-110	-2.00
	-105	-1.86
	-100	-1.72
	-95	-1.59
	-90	-1.46
	-85-1.34
	-80	-1.23
	-75	-1.12
	-70	-1.01
	-65	-0.92
	-60	-0.82
	-55	-0.73
	-50	-0.65
	-45	-0.57
	-40	-0.49
	-35	-0.42
	-30	-0.35
	-25	-0.28
	-20	-0.22
	-15	-0.16
	-10	-0.11
	-5	-0.05
	0	0.00
	5	0.05
	10	0.10
	15	0.14
	20	0.18
	25	0.22
	30	0.26
	35	0.30
	40	0.33
	45	0.36
	50	0.39
	55	0.42
	60	0.45
	65	0.48
	70	0.50
	75	0.53
	80	0.55
	85	0.57
	90	0.59
	95	0.61
	100	0.63
	105	0.65
Utility
	
Utility (x)
Dollars
Utility
Risk Profiles
		-150	-145	-140	-135	-130	-125	-120	-115	-110	-105	-100	-95	-90	-85	-80	-75	-70	-65	-60	-55	-50	-45	-40	-35	-30	-25	-20	-15	-10	-5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100	105
	Order 0							0.1															0.3															0.4															0.2
	Payoff	-150	-145	-140	-135	-130	-125	-120	-115	-110	-105	-100	-95	-90	-85	-80	-75	-70	-65	-60	-55	-50	-45	-40	-35	-30	-25	-20	-15	-10	-5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100	105
	Probabilities	0.2										0.4										0.3										0.1
	
	Order 1
	Payoff	-150	-145	-140	-135	-130	-125	-120	-115	-110	-105	-100	-95	-90	-85	-80	-75	-70	-65	-60	-55	-50	-45	-40	-35	-30	-25	-20	-15	-10	-5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100	105
	Probabilities																		0.2					0.1					0.4										0.3
	
	Order 2
	Payoff	-150	-145	-140	-135	-130	-125	-120	-115	-110	-105	-100	-95	-90	-85	-80	-75	-70	-65	-60	-55	-50	-45	-40	-35	-30	-25	-20	-15	-10	-5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100	105
	Probabilities															0.1															0.3					0.2										0.4
	
	Order 3
	Payoff	-150	-145	-140	-135	-130	-125	-120	-115	-110	-105	-100	-95	-90	-85	-80	-75	-70	-65	-60	-55	-50	-45	-40	-35	-30	-25	-20	-15	-10	-5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100	105
	Probabilities							0.1															0.3															0.4															0.2
Risk Profiles
	
Order 0
Payoff (cents)
Probability
Sheet6
	
Order 1
Payoff (cents)
Probability
Sheet7
	
Order 2
Payoff (cents)
Probability
Sheet8
	
Order 3
Payoff (cents)
Probability
Sheet9
	
Sheet10
	
Sheet11
	
Sheet12
	
Sheet13
	
Sheet14
	
Sheet15
	
Sheet16
	
	
	
	
Chart2
	-3.4816890703
	-3.2631145152
	-3.0551999668
	-2.8574255307
	-2.6692966676
	-2.4903429575
	-2.3201169227
	-2.1581929097
	-2.0041660239
	-1.8576511181
	-1.7182818285
	-1.5857096593
	-1.4596031112
	-1.3396468519
	-1.2255409285
	-1.1170000166
	-1.0137527075
	-0.915540829
	-0.8221188004
	-0.7332530179
	-0.6487212707
	-0.5683121855
	-0.4918246976
	-0.4190675486
	-0.3498588076
	-0.2840254167
	-0.2214027582
	-0.1618342427
	-0.1051709181
	-0.0512710964
	0
	0.0487705755
	0.095162582
	0.1392920236
	0.1812692469
	0.2211992169
	0.2591817793
	0.2953119103
	0.329679954
	0.3623718484
	0.3934693403
	0.4230501896
	0.4511883639
	0.4779542232
	0.5034146962
	0.5276334473
	0.5506710359
	0.5725850681
	0.5934303403
	0.6132589765
	0.6321205588
	0.6500622509
X
Utility
Utility(x)
Utility
	
	
	
	
			States of Nature
	Decision	0	1	2	3	Expected Return
	0	0.00	-0.65	-1.72	-3.48	-1.58
	1	-0.49	0.30	-0.16	-0.92	-0.21
	2	-1.23	-0.05	0.50	0.18	0.10
	3	-2.32	-0.57	0.26	0.65	-0.17
	
	Probabilities	0.1	0.3	0.4	0.2
	
	R=	100
	
	x	Utility(x)
	-150	-3.48
	-145	-3.26
	-140	-3.06
	-135	-2.86
	-130	-2.67
	-125	-2.49
	-120	-2.32
	-115	-2.16
	-110	-2.00
	-105	-1.86
	-100	-1.72
	-95	-1.59
	-90	-1.46
	-85	-1.34
	-80	-1.23
	-75	-1.12
	-70	-1.01
	-65	-0.92
	-60	-0.82
	-55	-0.73
	-50	-0.65
	-45	-0.57
	-40	-0.49
	-35	-0.42
	-30	-0.35
	-25	-0.28
	-20	-0.22
	-15	-0.16
	-10	-0.11
	-5	-0.05
	0	0.00
	5	0.05
	10	0.10
	15	0.14
	20	0.18
	25	0.22
	30	0.26
	35	0.30
	40	0.33
	45	0.36
	50	0.39
	55	0.42
	60	0.45
	65	0.48
	70	0.50
	75	0.53
	80	0.55
	85	0.57
	90	0.59
	95	0.61
	100	0.63
	105	0.65
Utility
	
X
Utility
Utility(x)
Base Case
	Selling Price	75
	Purchase Cost	40
	Goodwill Cost	50
	
			States of Nature
	Decision	0	1	2	3	Expected Return
	0	0	-50	-100	-150	-85
	1	-40	35	-15	-65	-12.5
	2	-80	-5	70	20	22.5
	3	-120	-45	30	105	7.5
	
	Probabilities	0.1	0.3	0.4	0.2
	
	
		-85	-12.5	22.5	7.5
	0	0	27.5	32.5	7.5
	5	-8.5	23.5	31.5	7.5
	10	-17	19.5	30.5	7.5
	15	-25.5	15.5	29.5	7.5
	20	-34	11.5	28.5	7.5
	25	-42.5	7.5	27.5	7.5
	30	-51	3.5	26.5	7.5
	35	-59.5	-0.5	25.5	7.5
	40	-68	-4.5	24.5	7.5
	45	-76.5	-8.5	23.5	7.5
	50	-85	-12.5	22.5	7.5
	55	-93.5	-16.5	21.5	7.5
	60	-102	-20.5	20.5	7.5
	65	-110.5	-24.5	19.5	7.5
	70	-119	-28.5	18.5	7.5
	75	-127.5	-32.5	17.5	7.5
	80	-136	-36.5	16.5	7.5
	85	-144.5	-40.5	15.5	7.5
	90	-153	-44.5	14.5	7.5
	95	-161.5	-48.5	13.5	7.5
	100	-170	-52.5	12.5	7.5
	105	-178.5	-56.5	11.5	7.5
	110	-187	-60.5	10.5	7.5
	115	-195.5	-64.5	9.5	7.5
	120	-204	-68.5	8.5	7.5
	125	-212.5	-72.5	7.5	7.5
	130	-221	-76.5	6.5	7.5
	135	-229.5	-80.5	5.5	7.5
	140	-238	-84.5	4.5	7.5
	145	-246.5	-88.5	3.5	7.5
	150	-255	-92.5	2.5	7.5
Base Case
	
Goodwill Cost (cents)
Expected Return (cents)