ALGEBRA DE BOOLE

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ALGEBRA DE BOOLE
Histórico
A Álgebra Booleana, também conhecida como Álgebra de Boole, é a matemática dos sistemas digitais, foi criada pelo matemático inglês George Boole (1815-1864) 
Boole construiu sua lógica a partir de símbolos, representando as expressões por letras e ligando-as através de conectivos - símbolos algébricos
A álgebra booleana trabalha com apenas duas grandezas: falso ou verdadeiro
Atualmente, todos os sistemas digitais são baseados nela, relacionando os níveis lógicos 0 (falso) e 1 (verdadeiro) com a ausência ou passagem de corrente elétrica.
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Fonte: http://descartes.ucpel.tche.br/disciplinas/sd2/algboole2.html acesso em: 23 abr. 2007
Regras e Definições
A Álgebra de Booleana trabalha apenas com duas grandezas: Falso e Verdadeiro. Assim sendo, podemos definir:
Variável Boolena, Lógica ou Binária como a variável que apenas pode assumir dois valores: sim ou não, verdade ou falso, 1 ou 0.
Proposição, como sendo todo o enunciado do qual se pode afirmar que é verdadeiro ou falso (ou sim ou não).
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Fonte: http://www.ncc.up.pt/%7Ezp/aulas/9899/me/trabalhos/alunos/Circuitos_Logicos/AlgBoole.html acesso em: 23 abr. 2007
Regras e Definições
Vejamos:
"Amanhã vai chover?": 
 NÃO constitui uma proposição, pois, as respostas possíveis são: "Sim", "Não", "Talvez...", "Não sei...”
Por outro lado, se eu perguntar: “1 + 1 são 2?”: 
	Esta é uma proposição, pois, permite apenas uma resposta: Ou “sim” ou “não”.
A = "Lisboa é a capital de Portugal"  
B = "Bélgica é um país da América Latina”
	A e B neste contexto são variáveis booleanas. Aqui, podemos associar a A o valor lógico verdade e a B o valor lógico falso e, como tal, são proposições.
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Fonte: http://www.ncc.up.pt/%7Ezp/aulas/9899/me/trabalhos/alunos/Circuitos_Logicos/AlgBoole.html acesso em: 23 abr. 2007
	A álgebra de Boole é um sistema matemático composto por operadores, regras, postulados e teoremas. 
	
	A álgebra booleana usa funções e variáveis, como na álgebra convencional, que podem assumir apenas um dentre dois valores, zero (0) ou um (1). 
	
	A álgebra booleana trabalha com dois operadores, o operador AND, simbolizado por (.) e o operador OR, simbolizado por (+). O operador AND é conhecido como produto lógico e o operador OR é conhecido como soma lógica. Os mesmos correspondem, respectivamente, às operações de interseção e união da teoria dos conjuntos. 
	
Regras e Definições
Operações Lógicas
A álgebra Booleana nos permite fazer algumas operações lógicas sobre as grandezas “Falso” e “Verdadeiro”.
Vejamos algumas destas operações através de um anúncio de jornal feito pela empresa XYZ, mostrado no próximo slide.
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Operações Lógicas
Precisa-se de secretária: Com no mínimo 1,65 m. de altura e que seja fluente em Inglês ou Alemão. Salário R$ 5.200,00.
	Para a vaga acima, apareceram as seguintes candidatas:
Uma mulher com 1,67 de altura mas que não tem fluência em nenhum idioma além do português
Uma mulher com 1,66 de altura que fala inglês fluentemente
Uma mulher com 1,63 de altura com fluência em inglês, francês e alemão
Uma mulher com 1,70 de altura com fluência em francês
Uma mulher com 1,65 de altura com fluência em alemão 
	Pergunta-se: Quais das candidatas acima estão aptas a disputar a vaga?.
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7
Principais Operadores Lógicos
Operador
Representado por
Exemplos
OU
+
v
OR
||
A + B
Av B
A ou B
A or B
A || B
E
.
^
AND
&&
A . B
A^ B
A e B
A and B
A && B
NÃO
¯ ou '
¬ ou ~
NOT
!
A’
¬A
~A
não A
notA
!A
8
8
Prioridade dos Operadores
Operadores
Prioridade
Maior
Menor
( )
4
NÃO
3
E
2
OU
1
9
9
Fonte: http://www.ncc.up.pt/%7Enam/aulas/9899/ic/boole/node1.html acesso em: 27 abr. 2007
Exemplos de Operações Booleanas
Vamos assumir os seguintes valores para as seguintes proposições:
A = Falso 
B = Verdadeiro
Operações:
A + B = Verdadeiro
A . B = Falso
~A = Verdadeiro
~B = Falso
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Mais Exemplos de Operações Booleanas
Vamos assumir os seguintes valores para as seguintes proposições:
A = 1 
B = 3
C = 5
Operações:
A > B = Falso
A < C = Verdadeiro
(A < B) . (8 < C) = Falso
~(B > 5) = Verdadeiro
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11
Tabela Verdade
OU (OR):
A
B
A + B
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
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12
Tabela Verdade
E (AND):
A
B
A . B
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
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13
Tabela Verdade
Negação:
A
¬A
V
F
F
V
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Vamos a um pequeno teste!
Tomando o exemplo citado anteriormente, onde:
A = "Lisboa é a capital de Portugal"  
B = "Bélgica é um país da América Latina”
Podemos efetuar as seguinte operações:
Verdadeiro
Falso
Falso
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso.
A + B =
A . B =
~A =
~B =
~(A + B) =
~(A . B) =
A . ~B =
~A + B =
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Operadores da Álgebra Booleana
	As variáveis booleanas serão representadas por letras maiúsculas, A, B, C,... e as funções pela notação f(A,B,C,D,...)
Álgebra de Boole
Operadores Booleanos Fundamentais
	Operador AND (interseção)
	1- Definição: A operação lógica AND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 1. 
	
	2- Símbolo Lógico
		
	3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
Operadores Booleanos Fundamentais
	Operador OR (união)
	1- Definição: A operação lógica OR entre duas ou mais variáveis apresenta resultado 1 se pelo menos uma das variáveis estiver no estado lógico 1. 
	
	2- Símbolo Lógico
		
	3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
Operadores Booleanos Fundamentais
	Operador NOT (inversor)
	1- Definição: A operação de complementação de uma variável é implementada através da troca do valar lógico da referida variável. 
	
	2- Símbolo Lógico
		
	3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
Operadores Booleanos Secundários
	Operador NAND
	1- Definição: A operação lógica NAND entre duas ou mais 
	2- Símbolo Lógico
		
	3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
Operadores Booleanos Secundários
	Operador NOR
	1- Definição: A operação lógica NOR entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 0. 	
	
	2- Símbolo Lógico
		
	3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
Operadores Booleanos Secundários
	Operador EXOR (OU exclusivo)
	1- Definição: A operação lógica EXOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e somente uma das duas variáveis estiver no estado lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem em estados lógicos diferentes).	
	2- Símbolo Lógico
		
	3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
Operadores Booleanos Secundários
	Operador EXNOR (negativo de OU exclusivo)
	1- Definição: A operação lógica EXNOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente se as duas variáveis estiverem no mesmo estado lógico.	
	
	2- Símbolo Lógico
		
	3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
Postulados da Álgebra de Boole
	
	O significado dos postulados pode ser entendido facilmente se fizermos a associação com a teoria dos conjuntos 
Álgebra de Boole
Expressões Booleanas x Circuitos
A + B . C’
Construção da tabela-verdade - considerar a precedência !
Exercício: desenhar o circuito
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Exercício: fazer tabela-verdade
Efeito da Precedência das Operações
1 - ( )
2 - NOT
3 - AND
4 - OR
Exemplos:
A . B + C
(A . B + C)
A . (B + C)
A . (B + C)
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Exercício: fazer a tabela-verdade
Efeito da Precedência das Operações
1 - ( )
2 - NOT
3 - AND
4 - OR
Exemplos:
A . B + C
(A . B + C)
A . (B + C)
A . (B + C)
27
Exercício: fazer a tabela-verdade
Efeito da Precedência das Operações
1 - ( )
2 - NOT
3 - AND
4 - OR
Exemplos:
A . B + C 
(A . B + C)
A . (B + C)
A . (B + C)
28
Exercício: fazer a tabela-verdade
Efeito da Precedência das Operações
1 - ( )
2 - NOT
3 - AND
4 - OR
Exemplos:
A . B + C
(A . B + C)
A . (B + C)
A . (B + C)
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Efeito da Precedência das Operações
1 - ( )
2 - NOT
3 - AND
4 - OR
Exemplos:
A . B + C 
(A . B + C)
A . (B + C)
A . (B + C)
Comparando as saídas dos quatro circuitos:
30
Exercício: fazer a tabela-verdade
Expressões Booleanas x Circuitos
A + B . (A’ + B’)
Conclusão: o mesmo resultado pode ser obtido apenas com A+B
Conceito importante: “minimizar” a expressão booleana
Exercício: desenhar o circuito
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32
33
34
35
A
B
C
C’
B.C’
A+B.C’
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
A
B
C
C’
A.B
A.B+C’
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
A
B
C
A.B
A.B+C
(A.B+C)’
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
A
B
C
B+C
(B+C)’
A.(B+C)’
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
A
B
C
C’
B+C’
A.(B+C’)
0
0
0
0
0
1
0
1
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0
1
1
1
0
0
1
0
1
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1
0
1
1
1
A
B
C
A.B+C’
(A.B+C)’
A.(B+C)’
A.(B+C’)
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
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0
0
0
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1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
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1
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0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
A
B
A’
B’
A’+B’
B.(A’+B’)
A+B.(A’+B’)
0
0
0
1
1
0
1
1