Material de lógica Booleana

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Lógica 
Marco Aurélio Ferreira
marco.ferreira@ifms.edu.br
Lógica
Lógica digital,
Portas lógicas,
Tabela da verdade,
Circuitos lógicos,
Simplificação de expressão.
Agenda
substantivo feminino
 Modo de raciocinar coerente que expressa uma relação de causa e consequência; 
raciocínio, método: falta lógica nesta obra.
 [Figurado] Maneira particular de raciocinar: a lógica dos sentimentos.
 [Por Extensão] Maneira coerente através da qual os fatos ou situações se encadeiam.
 Disposição para raciocinar com justeza: lógica natural.
 Ciência do raciocínio; obra que ensina essa ciência: Aristóteles formulou os princípios 
da lógica tradicional; a "Lógica" de Aristóteles.
 Lógica moderna, ou dedutiva, ou algorítmica, ou matemática, sistema científico de 
raciocínio, que se divide em cálculo das proposições e cálculo funcional.
Etimologia (origem da palavra lógica). Do grego logiké; tékhné.
Lógica
Talvez Aristóteles chegasse a subscrever esta definição de
lógica, dada recentemente por um intelectual contemporâneo:
“a arte que dirige o próprio ato da razão”1 Caberia, pois, à
lógica a descoberta de leis gerais de encadeamento de conceitos
para formar juízos e de encadeamento de juízos para formar
raciocínios, segundo sintetiza outro pensador contemporâneo,2
acentuando que nessa tarefa a lógica se despiria de
“conteúdos”, atendo-se às “formas”.
1 – MARITAIN, J. Elementos de Filosofia
2 – GRANGER, G.G. Lógica e Filosofia de Ciência. Lógica, Leônidas Hegenberg.
Lógica
É a “ciência do raciocínio” que estuda princípios e métodos de inferência, tendo o objetivo 
principal de determinar em que condições certas coisas se seguem (são consequência), ou 
não de outras.
Raciocinar ou fazer inferência consiste em “manipular” a informação disponível – aquilo 
que sabemos, ou supomos ser verdadeiro – e extrair consequências disso, obtendo 
informação nova
Um argumento pode ser definido como um conjunto (não vazio e finito, para o contexto na 
unidade curricular) de sentenças, das quais uma é chamada de conclusão, as outras 
premissas, pretende-se que as premissas justifiquem, garantam ou deem evidência para a 
conclusão.
Introdução a lógica, Cezar A. Mortari
Lógica
Argumento
Tautologia
 [Lógica] Proposição que, dada como esclarecimento ou prova, está sempre verdadeira 
pela repetição dos mesmos conceitos mencionados anteriormente.
 [Lógica] Proposição em que o predicado repete o sujeito, através de palavras iguais ou 
semelhantes.
Sofisma, falácia
 Argumento ardiloso, aparentemente correto, que pretende induzir o erro, enganar ou 
silenciar o oponente; paralogismo.
 [Lógica] Premissa ou argumentação cujo propósito se estabelece na intenção de 
produzir uma ilusão da verdade, apresentando uma estrutura lógica mas, além disso, 
relações incorretas e propositalmente falsas.
 [Lógica] Discussão argumentativa que supostamente demonstra a verdade, contudo 
possui em sua essência características ilógicas.
Lógica
Argumento
Contextualização histórica
Lógica simbólica, calculo 
de predicado matemática; 
Gottlob Frege, filosofo e 
matemático alemão
Século IV, a.C., filósofo 
grego, Aristóteles, Lógica 
tradicional, Aristotélica
Em 1854, publicação: 
investigação sobre as leis 
do pensamento, George 
Boole, Álgebra booleana
Megáricos e estoicos; 280 –
205 a.C. contribuíram com um 
lógica tão interessante quanto 
a apresentada por Aristóteles, 
formando a base da lógica 
proposicional.
Álgebra booleana
Álgebra booleana em homenagem ao matemático inglês George 
Boole, propôs os princípios básicos dessa álgebra em 1954, em seu 
tratado: An Investigation of the Laws of Thought on Which to 
Found Mathematical Theories of Logical and Probabilities. 
Tornando uma ferramenta conveniente em duas áreas:
Análise: Ela constitui uma forma econômica de descrever a 
função de um circuito digital;
Projeto: Dada uma função a ser implementada, a álgebra 
booleana pode ser usada para desenvolver uma implementação 
simplificada para essa função.
Álgebra booleana
Variáveis e operações
Variáveis que pode ter o valor 1: verdadeiro, presença de sinal; ou 0: 
falso, ausência de sinal.
Operações lógicas básicas: AND, OR, NOT.
A AND B = A * B
A OR B = A + B
NOT A = 
Álgebra booleana
Operações: AND, OR e NOT
A operação AND tem como resultado o valor verdadeiro, valor 
binário 1, se e somente se ambos os operandos têm valor 
verdadeiro. Também conhecido como operação de CONJUNÇÃO (^).
A operação OR tem como resultado verdadeiro, se qualquer dos 
operandos, ou ambos, têm valor verdadeiro. Também conhecido 
como operação de DISJUNÇÃO (v). 
A operação unária NOT inverte o valor do operando.
Álgebra booleana
Operandos booleanos
P Q NOT P P AND (^) Q P OR (v) Q P XOR Q P NAND Q P NOR Q
0 0 1 0 0 0 1 1
0 1 1 0 1 1 1 0
1 0 0 0 1 1 1 0
1 1 0 1 1 0 0 0
Tabela verdade
Álgebra booleana
Operações: AND, OR e NOT
Na ausência de parênteses, a operação AND tem 
precedência sobre a operação OR. A operação AND é 
representada pela concatenação dos operandos podendo 
ser omitida e também representada pelo símbolo *.
A operação XOR efetua a operação OU-Exclusivo de dois 
operandos, resultando em valor 1 se e somente se 
exatamente um dos operandos tem valor 1.
Álgebra booleana
Identidades básicas da álgebra booleanas
Postulados básicos
A * B = B * A A + B = B + A Leis de comutatividade
A*(B+C) = (A*B) + (A*C) A+(B*C) = (A+B)*(A+C) Leis da distributividade
1 * A = A 0 + A = A Elemento identidade
A * = 0 A + = 1 Elemento inverso
Álgebra booleana
Identidades básicas da álgebra booleanas
Outras identidades
0 * A = 0 1 + A = 1
A * A = A A + A = A
A * (B * C) = (A * B) * C A + (B+C) = (A+B) + C Lei da associatividade
Teorema de Morgan
Álgebra booleana
Portas lógicas
Circuitos lógicos digitais são constituídos por portas 
lógicas, por conseguinte as funções lógicas, através dos 
circuitos lógicos.
Uma portal lógica é um circuito eletrônico que produz um 
sinal de saída que é resultado de uma operação 
Álgebra booleana
Portas lógicas
Simbologia: IEEE 91
Álgebra booleana
Condicional e bicondicional
A condicional ( ) é falsa se, e somente se, o primeiro 
operando é verdadeiro e o segundo é falso.
A bicondicional ( ) é verdadeira se, e somente se, ambos 
os operandos forem falsos ou ambos forem verdadeiros.
Álgebra booleana
Condicional e bicondicional
P Q P → Q P ⇔ Q
0 0 1 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 1 1 1
Tabela verdade
Álgebra booleana
Circuitos combinatórios
F = 
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
Álgebra booleana
Circuito lógico
F = 
Álgebra booleana
Construa a tabela verdade para as seguintes expressões 
booleanas:
a) ABC + 
b) ABC + + 
c) A( )
Álgebra booleana
Simplifique as expressões e desenhe o circuito:
b) A B + A C + B A
c) F = 
d) F = 
Álgebra booleana
Determine a expressão 
booleana da tabela verdade:
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
Álgebra booleana
Simplifique as expressões e desenhe o circuito:
a) S = 
b) S = (A + + C) . ( )
Álgebra booleana
Assista o vídeo sobre operadores lógicos na url abaixo:
https://youtu.be/czW7I2CCcUM
Segue uma sugestão de curso para aprimoramento sobre python, canal eXcript
https://youtu.be/j94IGZmwtYI
Referência bibliográfica:
Lógica, Leônidas Hegenberg.
Introdução a lógica, Cezar A. Mortari
Arquitetura e Organização de computadores, Willian Stallings