algebra linear e vetorial

Prévia do material em texto

ÁLGEBRA LINEAR E VETORIAL
Caderno de Estudos
Profª Grazielle Jenske
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
UNIASSELVI
2016
NEAD
Educação a Distância
GRUPO
CENTRO UNIVERSITÁRIO
LEONARDO DA VINCI
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040, Bairro Benedito
89130-000 - INDAIAL/SC
www.uniasselvi.com.br
Copyright  UNIASSELVI 2016
Elaboração:
Profª Grazielle Jenske
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
512
J51a Jenske; Grazielle
 Álgebra linear / Grazielle Jenske; Leonardo Garcia 
dos Santos; Luiz Carlos Pitzer : UNIASSELVI, 2016.
 
 245 p. : il.
 
 ISBN 978-85-7830-956-5
 
 1.Álgebra. 
 I. Centro Universitário Leonardo Da Vinci. 
ÁLGEBRA LINEAR E VETORIAL
APRESENTAÇÃO
Prezado(a) acadêmico(a)! Bem-vindo(a) à disciplina de Álgebra Linear e Vetorial. Este 
é um ramo da matemática que surgiu do estudo minimalista de sistemas de equações lineares. 
Conceitos, definições, propriedades e representações gráficas farão parte dos seus estudos 
nesta disciplina, que tem o intuito de aprimorar seus conhecimentos da matemática algébrica, 
relembrando e ampliando os tópicos já vistos em sua vida de estudante do Ensino Médio.
Este caderno de estudos está dividido em três unidades que contemplam partes 
importantes da Álgebra Linear e Vetorial, como: matrizes, determinantes, sistemas de equações 
lineares, vetores, espaços vetoriais, transformações lineares e a aplicação destes conteúdos.
Na Unidade 1, você terá acesso aos conceitos iniciais de Matrizes, onde estudará suas 
características, propriedades e operações. Aprenderá a representar e interpretar uma tabela de 
números como uma matriz e a resolver as operações possíveis. Irá exercitar técnicas para o 
cálculo do determinante de uma matriz, compreendendo seu significado. Também estudará os 
modelos de resolução de sistemas lineares, sabendo interpretar dados e sugerindo soluções. 
Na unidade seguinte, você terá as primeiras noções de vetores. Estas noções 
servirão como base para o estudo mais aprofundado no decorrer desta unidade e da unidade 
subsequente. Entre as noções que serão apresentadas estão as operações de vetores: soma, 
subtração e multiplicação por escalar. Após este conhecimento, veremos as operações entre 
vetores e suas aplicações na resolução de problemas geométricos que envolve o produto 
escalar, vetorial e misto. Por fim, na última parte desta unidade, você estará estudando sobre os 
espaços vetores, seus subespaços, base, dimensão, ou seja, compreendendo todo o universo 
onde os vetores estão contidos. 
Por fim, na Unidade 3, iremos adentrar no universo da Álgebra Linear e Vetorial aplicada. 
Você irá conhecer o estudo das transformações lineares, que servem como referencial teórico 
para a aplicação das tecnologias gráficas e computacionais. Através deste conceito, iremos 
juntos relacionar o estudo das transformações com sua representação matricial, que irá trazer 
uma praticidade maior para o processo de cálculo e que nos permitirá a troca de referencial 
de um problema, facilitando sua resolução. Em seguida, discutiremos a aplicabilidade dos 
autovalores e autovetores, onde, além de suas aplicações no estudo das matrizes, você irá 
descobrir uma forma de relacionar um modelo analítico com sua caraterização, a partir de sua 
equação geral.
Queremos lembrar, que este material traz um curso introdutório da Álgebra Linear e 
Vetorial. Você deve se sentir curioso e instigado a pesquisar outros materiais para ampliar e 
completar seu aprendizado. Durante o texto, deixamos algumas sugestões e outras podem 
ser verificadas nas referências bibliográficas.
iii
ÁLGEBRA LINEAR E VETORIAL iv
UNI
Oi!! Eu sou o UNI, você já me conhece das outras disciplinas. 
Estarei com você ao longo deste caderno. Acompanharei os seus 
estudos e, sempre que precisar, farei algumas observações. 
Desejo a você excelentes estudos! 
 UNI
Você, aluno da Educação a Distância, deve saber que, além da curiosidade, existem 
outros fatores importantes para um bom desempenho: a disciplina, a organização e um horário 
de estudos predefinido são essenciais para que se obtenha sucesso nesta trajetória. 
Esperamos que, ao término deste estudo, você consiga notar a evolução da sua 
matemática, nos seus conceitos e definições, pois a melhoria constante deve ser o objetivo 
de todo(a) acadêmico(a). Desta forma, esta disciplina pretende oportunizar a compreensão 
da construção dos conhecimentos aqui trabalhados e servir de subsídio para as próximas 
disciplinas.
Bons estudos!
Profª Grazielle Jenske
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
ÁLGEBRA LINEAR E VETORIAL v
ÁLGEBRA LINEAR E VETORIAL vi
SUMÁRIO
UNIDADE 1 – MATRIZES E SISTEMAS LINEARES ....................................................... 1
TÓPICO 1 MATRIZES ...................................................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 3
2 DEFINIÇÃO .................................................................................................................... 4
3 MONTAGEM DE UMA MATRIZ ..................................................................................... 5
3.1 REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ .................................................... 5
3.2 ELEMENTOS CORRESPONDENTES ........................................................................ 7
3.3 IGUALDADE DE MATRIZES ....................................................................................... 7
4 TIPOLOGIA DAS MATRIZES ........................................................................................ 8
5 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM A DEFINIÇÃO DE MATRIZES E SUAS 
TIPOLOGIAS .................................................................................................................. 13
6 OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES .............................................................................. 17
6.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES ................................................................. 18
6.2 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL .............................. 21
6.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ............................................................................. 23
6.4 MATRIZ INVERSA ..................................................................................................... 27
6.5 OUTROS EXEMPLOS QUE ENVOLVEM OPERAÇÕES COM MATRIZES ............. 32
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................. 38
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 39
TÓPICO 2 – DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES .................................... 43
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 43
2 O CÁLCULO DO DETERMINANTE ............................................................................ 44
2.1 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE PRIMEIRA ORDEM ................................... 44
2.2 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM .................................. 45
2.3 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE TERCEIRA ORDEM – REGRA DE 
SARRUS ..........................................................................................................................46
2.4 COFATOR ................................................................................................................. 48
2.5 DETERMINANTE DE ORDEM N > 3 ........................................................................ 49
2.6 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA UTILIZANDO DETERMINANTE ......................... 51
2.7 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES ............................................................. 53
2.8 MATRIZ SINGULAR .................................................................................................. 56
3 ESCALONAMENTO DE MATRIZES ........................................................................... 57
3.1 FORMA ESCALONADA DE UMA MATRIZ ............................................................... 57
3.2 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS .................................................................. 58
3.3 O ESCALONAMENTO NO CÁLCULO DO DETERMINANTE .................................. 63
3.4 O ESCALONAMENTO NO CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA ................................. 65
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................. 68
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 69
ÁLGEBRA LINEAR E VETORIAL vii
ÁLGEBRA LINEAR E VETORIAL viii
TÓPICO 3 – SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO .................................................... 73
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 73
2 EQUAÇÃO LINEAR ..................................................................................................... 73
2.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES .................................................................. 74
2.2 FORMA MATRICIAL .................................................................................................. 75
2.3 MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR ................................................ 75
2.4 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ........................................................... 76
3 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ................................................................... 78
3.1 REGRA DE CRAMER ............................................................................................... 78
3.2 SISTEMAS EQUIVALENTES .................................................................................... 81
3.2.1 Propriedades dos sistemas equivalentes ............................................................... 81
3.3 SISTEMAS ESCALONADOS – MÉTODO DE GAUSS ............................................. 82
4 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR .................................................................... 89
5 APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES ................................................................. 91
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................... 94
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................. 97
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 98
AVALIAÇÃO .................................................................................................................. 103
UNIDADE 2 – ESPAÇOS VETORIAIS ......................................................................... 105
TÓPICO 1 – VETORES ................................................................................................. 107
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 107
2 DEFINIÇÃO DE VETOR ............................................................................................ 107
2.1 VETOR POR SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ............................. 109
2.2 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA EM R2 E R3 ................................................... 109
2.3 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS ................................................................ 112
2.4 VETORES NA FORMA MATRICIAL ......................................................................... 113
2.5 IGUALDADE DE VETORES ..................................................................................... 113
2.6 MÓDULO OU NORMA DO VETOR ......................................................................... 114
2.7 VETOR UNITÁRIO E NORMALIZAÇÃO .................................................................. 115
3 OPERAÇÕES ENTRE VETORES .............................................................................. 116
3.1 ADIÇÃO .................................................................................................................... 116
3.2 SUBTRAÇÃO DE VETORES .................................................................................. 120
3.3 MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR ................................................................... 121
RESUMO DO TÓPICO 1 ............................................................................................... 124
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 125
TÓPICO 2 – OPERAÇÕES VETORIAIS ...................................................................... 127
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 127
2 PRODUTO ESCALAR ............................................................................................... 127
2.1 ÂNGULO ENTRE VETORES .................................................................................. 128
4 PRODUTO VETORIAL ............................................................................................... 131
4.1 CÁLCULO DE ÁREA ............................................................................................... 137
ÁLGEBRA LINEAR E VETORIAL ix
5 PRODUTO MISTO ..................................................................................................... 141
5.1 CÁLCULO DE VOLUMES ....................................................................................... 142
6 PARALELISMO DE DOIS VETORES ........................................................................ 144
RESUMO DO TÓPICO 2 ............................................................................................... 148
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 150
TÓPICO 3 – ESPAÇOS VETORIAIS ............................................................................ 153
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 153
2 DEFINIÇÃO ................................................................................................................ 153
3 SUBESPAÇOS VETORIAIS ...................................................................................... 159
4 COMBINAÇÕES LINEARES ..................................................................................... 162
5 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ......................................................... 164
6 SUBESPAÇOS GERADOS ....................................................................................... 168
7 DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL ................................................................. 172
8 BASE .......................................................................................................................... 172
8.1 BASE ORTOGONAL ............................................................................................... 174
8.2 BASE ORTONORMAL ............................................................................................174
8.3 PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT .............................. 175
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................ 180
RESUMO DO TÓPICO 3 ............................................................................................... 182
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 184
AVALIAÇÃO .................................................................................................................. 186
UNIDADE 3 – OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO ............................................. 187
TÓPICO 1 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES ........................................................... 189
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 189
2 DEFINIÇÃO ................................................................................................................ 189
3 LEI DE FORMAÇÃO DE UMA TRANSFORMAÇÃO ................................................ 191
4 IMAGEM E NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ................................. 192
5 TEOREMA DO NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO ...................... 197
RESUMO DO TÓPICO 1 ............................................................................................... 201
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 202
TÓPICO 2 – MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR .................................... 203
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 203
2 FORMA MATRICIAL DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR .................................. 203
3 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ...................................................... 205
4 TRANSFORMAÇÕES PLANAS ESPECIAIS ............................................................ 206
4.1 TRANSFORMAÇÃO DE REFLEXÃO ..................................................................... 207
4.1.1 Em torno do eixo X ............................................................................................... 207
4.1.2 Em torno do eixo Y ............................................................................................... 208
4.2 TRANSFORMAÇÃO DE PROJEÇÃO ..................................................................... 209
4.2.1 Projeção sobre o eixo X ....................................................................................... 209
ÁLGEBRA LINEAR E VETORIAL x
4.2.2 Projeção sobre o eixo Y ....................................................................................... 210
4.3 TRANSFORMAÇÕES DE DILATAÇÃO OU CONTRAÇÃO ..................................... 211
4.3.1 Na direção do vetor ( ) ................................................................................... 211
4.3.2 Na direção do eixo X (horizontal) ......................................................................... 212
4.3.3 Na direção do eixo Y (vertical) ............................................................................. 214
4.4 TRANSFORMAÇÕES DE ROTAÇÃO (DE UM ÂNGULO a NO SENTIDO ANTI-
HORÁRIO) ..................................................................................................................... 215
5 MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE ............................................................................ 216
RESUMO DO TÓPICO 2 ............................................................................................... 220
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 221
TÓPICO 3 – AUTOVALORES E AUTOVETORES ....................................................... 225
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 225
2 DEFINIÇÃO ................................................................................................................ 225
3 AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ ........................................... 227
4 MULTIPLICIDADE DOS AUTOVETORES DE UMA TRANSFORMAÇÃO ............... 231
5 MATRIZES SEMELHANTES E DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES ............... 232
5.1 MATRIZES SEMELHANTES ................................................................................... 232
5.2 DIAGONALIZAÇÃO ................................................................................................. 233
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................ 236
RESUMO DO TÓPICO 3 ............................................................................................... 240
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 241
AVALIAÇÃO .................................................................................................................. 244
REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 245
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
UNIDADE 1
MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 A partir desta unidade, você será capaz de:
	conceituar, operacionar e interpretar matrizes; 
	calcular o determinante de uma matriz; 
	utilizar a linguagem matricial e as operações com matrizes como 
instrumento para interpretar dados e soluções; 
	utilizar o cálculo de determinantes, a regra de Cramer e o 
escalonamento para a resolução e discussão de sistemas lineares;
	entender vetores;
	visualizar as aplicações de vetores;
	compreender a real importância de autovalores e autovetores;
	formalizar o estudo de transformações lineares.
TÓPICO 1 - MATRIZES
 
TÓPICO 2 - DETERMINANTES E INVERSÃO DE 
MATRIZES
 
TÓPICO 3 - SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO
PLANO DE ESTUDOS
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada 
um deles você encontrará atividades que reforçarão seu aprendizado.
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
MATRIZES
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
A história da matemática retrata que os estudos das matrizes tiveram seu início por 
volta do século II a.C., presentes em textos chineses sobre aplicação de sistemas lineares. O 
livro chinês intitulado “Nove capítulos da arte matemática” apresenta, em seu capítulo VII, 19 
problemas que apresentam o método de matrizes para resolver equações lineares. 
Ainda nas obras matemáticas de autoria chinesa é possível observar o uso de diagramas 
de formato quadrado. Eles também detêm o primeiro registro de um quadrado mágico. 
Um quadrado mágico é uma tabela quadrada de n lados, onde a soma dos números das linhas, 
das colunas e das diagonais é constante, sendo que nenhum destes números se repete. Este 
tipo de quadrado é também conhecido como Sudoko.
 Porém, o nome matriz veio somente no século XIII, com James Joseph Sylvester. E foi 
apenas no século XIX que o matemático inglês Arthur Cayley sistematizou a teoria das matrizes 
a partir da Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é 
um mero capítulo da Teoria das Matrizes.
Assim, foi somente há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua relevância 
reconhecida. Atualmente, consideramos imprescindível estudar essas formas através da notação 
e metodologia matricial e não as encontramos apenas no estudo da matemática, mas também 
na engenharia, na informática, em tabelas financeiras etc. 
UNIDADE 1
UNIDADE 1TÓPICO 14
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
RE
V
E
T
O
R
I
A
L
IMP
OR
TAN
TE! �
 Arthur Cayley nasceu em 16 de agosto 
de 1821, em Richmond, na Inglaterra. 
Vindo de uma família de comerciantes, 
seu pai desejava que continuasse os 
negócios da família, porém, em 1835 ele 
ingressou no Kings College School, onde 
sua aptidão para a matemática se tornou 
mais aparente. Assim, seu pai resolveu 
enviá-lo para Cambridge.
 Em 1838 ele começou seus estudos no 
Trinity College, em Cambridge, onde se 
graduou em 1842.
Em 1843 trabalhou fundamentalmente em álgebra, mas 
também trabalhou em geometrias não euclideanas e geometria 
n-dimensional, usando determinantes como elemento essencial.
A partir de 1849 trabalhou durante 14 anos como advogado, 
e desistiu da docência, pois continuar nela implicaria em 
tomar hábitos religiosos. Embora muito hábil nessa carreira, 
a considerava apenas como uma forma de sustento para 
prosseguir com a matemática. Durante esses 14 anos publicou 
aproximadamente 250 trabalhos matemáticos, a maioria sobre 
a teoria dos invariantes algébricos.
FONTE: Disponível em: <http://www.matematica.br/historia/cayley.
html>. Acesso em: 30 jan. 2016.
É importante destacar que o objetivo deste tópico é dar uma visão geral do conteúdo 
de matrizes, ou seja, pretende-se definir o que é uma matriz, alguns tipos de matrizes, suas 
operações aritméticas, como também estabelecer algumas de suas propriedades algébricas.
2 DEFINIÇÃO
Segundo Paiva (2013, p. 95), denomina-se "matriz do tipo m x n (lê-se m por n) toda 
tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabela deve ser representada entre 
parênteses ( ) ou colchetes [ ]". 
A matriz é representada por uma letra maiúscula do alfabeto e cada item da matriz é 
denominado de elemento. Os elementos de uma matriz podem ser números reais ou complexos 
ou até mesmo expressões algébricas, e são chamados de entradas da matriz. Vejamos alguns 
exemplos: 
UNIDADE 1 TÓPICO 1 5
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Uma matriz é real se os seus elementos são números reais ou expressões que assumem 
valores reais.
3 MONTAGEM DE UMA MATRIZ
Acompanhe a seguir uma situação de montagem de uma matriz. 
Um professor de matemática que trabalha de segunda a sexta fez o seguinte número 
de aulas por dia em três semanas de trabalho: 
• Semana 1 - 5, 2, 7, 8, 6.
• Semana 2 - 10, 7, 6, 8, 9.
• Semana 3 - 4, 7, 3, 8, 6.
Imagine uma matriz que represente nas linhas as semanas de trabalho e nas colunas 
as aulas dadas, nos cinco dias da semana em ordem cronológica. Como são três semanas 
de trabalho, teremos uma matriz com apenas três linhas. Já os dias trabalhados são cinco, 
portanto, o número de colunas será de cinco. 
Para tanto, a matriz resultante do fato acima ficará assim: 
Concluindo, a matriz acima será 3x5, pois tem três linhas e cinco colunas. É importante 
lembrar que sempre escrevemos primeiro o número de linhas e depois o número de colunas.
3.1 REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ 
Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos da matriz. Vejamos, 
por exemplo, a matriz que criamos anteriormente: 
Nela, podemos observar que: 
UNIDADE 1TÓPICO 16
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
•	 O elemento 5 está na primeira linha e na primeira coluna. Indicamos por a11 e lemos “o 
elemento a um um é igual a 5”. 
•	 O elemento 10 está na segunda linha e na primeira coluna. Indicamos por a21 e lemos “o 
elemento a dois um é igual a 10”. 
•	 O elemento 4 está na terceira linha e na primeira coluna. Indicamos por a31 e lemos “o 
elemento a três um é igual a 4”. 
•	 O elemento 2 está na primeira linha e na segunda coluna. Indicamos por a12 e lemos “o 
elemento a um dois é igual a 2”. 
•	 O elemento 3 está na terceira linha e na terceira coluna. Indicamos por a33 e lemos “o elemento 
a três três é igual a 3”. 
Assim, devemos considerar: 
•	 Para representar o elemento de uma matriz usamos uma letra com dois índices: o primeiro 
indica em que linha o elemento se encontra, e o segundo, em que coluna. Por exemplo: a23 
é o elemento que está na segunda linha e na terceira coluna.
•	 O elemento genérico de uma matriz A será indicado por aij, em que i representa a linha e j 
representa a coluna na qual o elemento se encontra; ele é chamado de ij-ésimo elemento 
da matriz.
A matriz A, do tipo mxn, será escrita, genericamente, do seguinte modo: 
ATEN
ÇÃO!
Os m elementos correspondentes às linhas serão localizados 
pelo índice i e os n elementos correspondentes às colunas 
serão localizados pelo índice j.
De maneira abreviada, podemos escrever a matriz A na seguinte forma: 
( L e m o s : m a t r i z A , d o s 
elementos aij do tipo m por n, com i assumindo valores de 1 até m e j assumindo valores de 1 
até n sendo i e j pertencentes ao conjunto dos números naturais). 
Podemos classificar as matrizes quanto ao seu tipo, ou melhor dizendo, sua ordem. 
UNIDADE 1 TÓPICO 1 7
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Generalizando, podemos escrever o tipo, ou ordem, da matriz por: m x n. Observe a 
classificação das matrizes utilizadas nos exemplos do item 2: 
matriz de ordem 2x2 (dois por dois).
matriz de ordem 2x3 (dois por três).
matriz de ordem 2x2 (dois por dois).
matriz de ordem 3x2 (três por dois).
3.2 ELEMENTOS CORRESPONDENTES
Dadas duas matrizes de mesma ordem (ou tipo), A e B, 
dizemos que os elementos de 
mesmo índice (linha e coluna) são correspondentes. 
Assim:
a11 e b11 são correspondentes.
a12 e b12 são correspondentes.
a13 e b13 são correspondentes.
amn e bmn são correspondentes.
3.3 IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes A e B de mesma ordem mxn são iguais quando todos os seus elementos 
UNIDADE 1TÓPICO 18
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
correspondentes são iguais, isto é, sendo A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, temos A = B quando aij = bij 
para todo i (i = 1, 2, 3, ..., m) e todo j (j = 1, 2, 3, ..., n).
Por exemplo, para que as matrizes sejam iguais, 
devemos ter: 
4 TIPOLOGIA DAS MATRIZES 
Nas representações de matrizes, temos nomenclaturas específicas para cada tipo de 
matriz, conforme apresentadas a seguir. 
Matriz Coluna
Dizemos que A é uma matriz coluna quando A for de ordem m x 1, ou seja, quando o 
n = 1. 
Por exemplo: a) é uma matriz coluna de ordem 3x1.
é uma matriz coluna de ordem 5x1.
IMP
OR
TAN
TE! �
Esse tipo de matriz é importante para o estudo da Álgebra Linear, 
pois é comumente utilizada para representar vetores.
Matriz Linha
Dizemos que A é uma matriz linha quando A for de ordem 1 x n, ou seja, quando o m 
= 1. Por exemplo: 
UNIDADE 1 TÓPICO 1 9
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
a) [1 3 -2] é uma matriz linha de ordem 1 x 3. 
b) [cos x 1 0 sen x] é uma matriz linha de ordem 1 x 4. 
Matriz Nula
No conjunto das matrizes, a matriz que tem todos os elementos iguais a zero é 
denominada de matriz nula. São exemplos da matriz nula:
Matriz Transposta
Dada uma matriz A = (aij)mxn, denominamos transposta de A (e indicamos At) a matriz At 
= (a’ji)nxm, tal que a’ji = aij. Em outras palavras, a matriz At é obtida trocando-se as linhas pelas 
colunas da matriz A. Exemplos:
a) A transposta de A= 
Observe que:
a11 = 2 = a’11
a21 = 8 = a’12
a12 = 4 = a’21
a22 = 6 = a’22
b) A transposta de B=
c) A transposta de C=
IMP
OR
TAN
TE! �
Acadêmico(a), note que, se A= (aij) é de ordem mxn, então At = 
(a’ij) é de ordem nxm. 
Matriz Oposta
Dada uma matriz A = (aij)mxn, a sua matriz oposta será definida por – A = (– aij)mxn. Isso 
UNIDADE 1TÓPICO 110
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
significa quea matriz oposta da matriz A é aquela que possui elementos opostos correspondentes 
ao da matriz A. Vejamos os exemplos:
a) A matriz oposta de A= 
Observe que:
a11 = 2 e é oposto de (-a11) = - 2
a21 = 8 e é oposto de (-a21) = - 8
a12 = - 4 e é oposto de (-a12) = 4
a22 = 6 e é oposto de (-a22) = - 6
b) A matriz oposta de B=
c) A matriz oposta de C=
Matriz Quadrada 
Quando m = n, ou seja, o número de linhas for igual ao número de colunas, dizemos que 
a matriz é quadrada de ordem nxn ou simplesmente de ordem n. Nesse caso, teremos ordem 
do tipo 1x1, 2x2, 3x3, 4x4, e assim por diante. Como já sabemos que o número de linhas é igual 
ao número de colunas, basta informar a ordem, ou seja, uma matriz 1x1 pode ser simplesmente 
classificada como matriz de ordem 1, uma matriz 2x2 de matriz de ordem 2, uma matriz 3x3 de 
matriz de ordem 3, uma matriz 4x4 de matriz de ordem 4 e assim sucessivamente. Exemplos: 
é uma matriz quadrada de ordem 2 ( m = n = 2) 
é uma matriz quadrada de ordem 3 (m= n=3)
UNIDADE 1 TÓPICO 1 11
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
IMP
OR
TAN
TE! �
Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos a11, a22, a33, 
... ann formam a diagonal principal da matriz, isto é, onde os 
elementos aij possuem i = j. 
diagonal principal 
diagonal principal 
A outra diagonal da matriz quadrada é denominada diagonal 
secundária, que é composta pelos elementos aij com i + j = n + 1. 
diagonal secundária 
diagonal secundária 
Acadêmico(a), as classificações a seguir são utilizadas somente para matrizes 
quadradas, ou seja, matrizes de ordem n.
Matriz Triangular
Em uma matriz quadrada, quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal 
são todos nulos (iguais a zero), dizemos que a matriz é triangular. Exemplos:
todos os elementos acima da diagonal principal da matriz A são nulos.
todos os elementos abaixo da diagonal principal da matriz B são nulos.
UNIDADE 1TÓPICO 112
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
ATEN
ÇÃO!
Em uma matriz triangular, temos aij = 0 para i > j ou aij = 0 para i < j. 
Matriz Diagonal
Em uma matriz quadrada de ordem n, quando todos os elementos posicionados acima 
e abaixo da diagonal principal são nulos, denominamos de matriz diagonal. Exemplos:
ATEN
ÇÃO!
Em uma matriz diagonal, temos aij = 0 para i ≠ j.
Matriz Identidade 
Em uma matriz quadrada de ordem n, quando todos os elementos da diagonal principal 
são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero, denominamos de matriz identidade e 
seu símbolo é In (onde n representa a ordem da matriz). Exemplos: 
ATEN
ÇÃO!
Em uma matriz identidade, temos aij = 1 para i = j e aij= 0 
para i ≠ j. 
Matriz Simétrica
Em uma matriz quadrada, quando tiver o elemento aij igual ao elemento aji, a matriz é 
UNIDADE 1 TÓPICO 1 13
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
denominada de simétrica. Exemplos:
ATEN
ÇÃO!
Acadêmico(a), perceba que os termos abaixo da diagonal principal 
são uma reflexão dos termos acima da diagonal principal.
5 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM A DEFINIÇÃO DE 
 MATRIZES E SUAS TIPOLOGIAS
Acadêmico(a), neste item vamos resolver algumas situações que envolvem os conceitos 
e definições estudadas até aqui.
Exemplo 1: Dada a seguinte matriz quadrada de ordem 2, escreva a matriz A, com aij 
assumindo os seguintes valores: 
Resolução: Como a matriz é 2x2, ela deverá ter quatro elementos, conforme a matriz 
genérica:
Desta forma, os elementos em que, na sua posição, o número de linhas (i) for maior ou 
igual ao número de colunas (j), serão determinados pela fórmula “i + 2j”, que é o que afirma a 
primeira condição, Assim,
a11 = 3 (sendo i = 1 e j = 1, então: i + 2j = 1 + 2·1 = 3) 
a21 = 4 (sendo i = 2 e j = 1, então: i + 2j = 2 + 2·1 = 4) 
a22 = 5 (sendo i = 1 e j = 2, então: i + 2j = 1 + 2·2 = 5)
UNIDADE 1TÓPICO 114
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Já os elementos em que na sua posição o número de linhas (i) for menor que o número 
de colunas (j), serão determinados pela fórmula Neste caso, apenas o 
elemento de posição a12 obedece este critério, assim: a12 = 0 (neste caso em que i = 1 e j = 2 
(i < j), o valor deste elemento é 0). 
Portanto, a matriz A será igual a: 
Exemplo 2: Construa a matriz quadrada de ordem 3, 
Resolução: Tomemos, inicialmente, a matriz genérica de ordem 3.
Agora, basta aplicar a fórmula para definir o valor de cada elemento, 
levando em consideração sua posição na matriz. Lembre-se de que o i representa a posição 
do elemento em relação à linha e o j representa a posição do elemento em relação à coluna.
Assim, a matriz C será igual a: 
UNIDADE 1 TÓPICO 1 15
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
ATEN
ÇÃO!
Acadêmico(a), observe que temos aqui uma matriz simétrica.
Exemplo 3: A matriz admite a transposta
Nestas condições, calcule x, y e z.
Resolução: Denominamos de matriz transposta de A a matriz At = (a’ji)nxm, tal que a’ji = 
aij. Em outras palavras, a matriz At é obtida trocando-se as linhas pelas colunas da matriz A. 
Assim, podemos estabelecer a seguinte relação para a matriz genérica de A:
ATEN
ÇÃO!
O elemento aij corresponde à matriz A e o elemento a’ij 
corresponde à matriz At (transposta de A). Acadêmico(a), note 
também que os elementos da diagonal principal não se alteram, 
visto que i = j.
UNIDADE 1TÓPICO 116
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Considerando a matriz A e sua transposta At, podemos estabelecer:
Portanto, x = 4, y = 1 e z = 5.
Exemplo 4: Dadas as matrizes
determine x e y sabendo que A = B.
Resolução: Vamos iniciar, determinando os elementos da matriz A.
Assim, a matriz A é: 
Sabemos que A = B, para isso, seus elementos também devem ser iguais. Desta forma, 
temos que:
UNIDADE 1 TÓPICO 1 17
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Exemplo 5: Uma matriz A é simétrica se, e somente se, A = At. Determine o valor de a 
para que A = seja simétrica.
Resolução: A matriz transposta de A é: A condição de simetria nos garante 
que A = At e, como vimos no exemplo 3,
Neste caso:
Para descobrirmos o valor de a, basta calcular a equação a = a2.
a2 – a = 0 (é uma equação do segundo grau incompleta, pois falta o termo c)
a ( a – 1) = 0
Desta forma a’ = 0 e,
a” – 1 = 0
a” = 1
Portanto, para que as matrizes sejam simétricas, o valor de a deve ser 0 ou 1.
6 OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES
No desenvolvimento do cálculo com matrizes realizamos operações matemáticas 
seguindo regras específicas. Veremos, a seguir, estas regras, que são aplicadas na adição, 
subtração e multiplicação.
UNIDADE 1TÓPICO 118
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
6.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Inicialmente, consideremos duas matrizes A e B do tipo 2x3: 
Agora vamos determinar uma matriz C, tal que seus elementos sejam resultantes da 
soma dos elementos de A com os elementos de B, da seguinte forma: cij = aij + bij. Portanto, 
os seis elementos de C (2x3 = 6) serão calculados a partir da mesma posição dos elementos 
em A e B. Vejamos como ficará a adição dessas duas matrizes. 
Portanto: A + B = C e podemos operacionalizar da seguinte maneira:
IMP
OR
TAN
TE! �
Note, acadêmico(a), que somente é possível somar matrizes que 
possuem a mesma ordem, isto é, o mesmo número de linhas e 
colunas.
Assim podemos concluir: 
•	 Denominamos de matriz C a soma da matriz A com a matriz B ou a soma das matrizes A e 
B. 
•	 Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo mxn, a soma da matriz A com a matriz B, que 
representamos por A + B, é a matriz C do tipo mxn que é obtida adicionandocada elemento 
correspondente de A e B. 
UNIDADE 1 TÓPICO 1 19
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Definição: Sejam duas matrizes A = (aij) e B = (bjj) de ordem mxn, a soma A + B é a 
matriz de ordem mxn, tal que: para i = 1, 2, 3, ..., m e j = 1, 2, 3, ..., n.
ATEN
ÇÃO!
Para a subtração de matrizes utilizaremos a ideia de soma com 
a matriz oposta. Assim, sendo A e B duas matrizes do tipo mxn, 
denominamos diferença entre A e B (representada por A - B) a 
soma da matriz A com a matriz oposta de B, isto é, A - B = A 
+ (-B).
Vejamos, também, um exemplo de subtração de matrizes. Dadas as matrizes A e B 
anteriores e vamos determinar a matriz D resultante da subtração A – B.
Portanto: D = A + (– B) e podemos operacionalizar da seguinte maneira:
Propriedade da Adição de Matrizes 
Assim como os números, as matrizes possuem propriedades operatórias. Com a 
definição dada para adição de matrizes é possível verificar que essas propriedades, utilizadas 
para a soma de números reais, também são válidas para a adição de matrizes. Estas 
propriedades poderão auxiliar nas operações entre matrizes, pois nos possibilitam resolvê -las 
mais rapidamente. 
Propriedade Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem mxn, 
vale a igualdade:
UNIDADE 1TÓPICO 120
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
(A + B) + C = A + (B + C)
Prova: [A + (B + C)]ij = aij + (B + C)ij = aij + (bij + cij) = (aij + bij) + cij = (A + B)ij + cij =
= [(A + B) + C]ij
Propriedade Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem mxn, vale 
a igualdade:
A + B = B + A
Prova: (A + B)ij = aij + bij = bij + aij = (B + A)ij
Propriedade do Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer 
outra matriz A de mesma ordem fornecerá a própria matriz A, isto é:
0 + A = A
Prova: Consideremos que A + U = A, para qualquer matriz A, mxn. Comparando os 
elementos correspondentes, temos que aij + uij = aij, ou seja, uij = 0, para i = 1, 2, 3, ..., m e j = 
1, 2, 3, ..., n. Portanto, a única matriz que satisfaz à equação acima é a matriz em que todos 
os seus elementos são iguais a zero. Denotamos esta matriz por: matriz nula e representamos 
por 0.
Propriedade do Elemento oposto: Para cada matriz A existe uma matriz -A, denominada 
a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:
A + (-A) = 0
Prova: Dada uma matriz A de ordem mxn e seja B uma matriz de ordem mxn, tal que: 
A + B = 0.
Comparando os elementos correspondentes, temos que: aij + bij = 0, ou seja, bij = 
- aij, para i = 1, 2, 3, ..., m e j = 1, 2, 3, ..., n. Portanto, a única matriz que satisfaz a equação 
anterior é a matriz em que todos os seus elementos são iguais aos opostos dos elementos 
de A. Denotamos esta matriz por -A.
DIC
AS!
Acadêmico(a), crie matrizes A, B e C de mesma ordem e verifique 
estas quatro importantes propriedades.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 21
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
6.2 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM 
 NÚMERO REAL
Dada a matriz vamos determinar A + A.
Considerando que A + A = 2·A, temos: 
Observamos, então, que o produto de um número real pela matriz A é uma matriz que 
se obtém multiplicando-se o número real pelos elementos de A. 
Definição: Seja a matriz A = (aij)mxn e k um número real. O produto de K pela matriz A 
(indica-se: K·A) é a matriz B = (bij)mxn, em que bij = k·aij, para todo i (i = 1, 2, 3, ..., m) e para 
todo j (j = 1, 2, 3, ..., n).
Observe os exemplos a seguir:
Propriedades da Multiplicação de uma Matriz por um Número Real
Sendo A e B matrizes de mesma ordem mxn e x e y números reais quaisquer, valem 
as seguintes propriedades:
 
Propriedade Associativa: 
UNIDADE 1TÓPICO 122
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Propriedade distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: 
x·(A + B) = x·A + x·B
Onde foi utilizada a distributividade da multiplicação com relação à adição dos números 
reais. c.q.d.
Propriedade distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: 
(x + y) · A = x·A + y·A
UNIDADE 1 TÓPICO 1 23
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
UNI
Acadêmico(a), verifique as demonstrações das propriedades 
da adição de matrizes e busque demonstrar estas quatro 
propriedades. A demonstração é um processo importante da 
matemática. Vá treinando, você usará muito durante a sua 
graduação!
6.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
ATEN
ÇÃO!
Acadêmico(a), a multiplicação de matrizes não é uma operação tão 
simples como as outras já estudadas até aqui, pois não basta multiplicar 
os elementos correspondentes. Fique atento à explicação!
Vamos iniciar este conceito com uma situação-problema. Observe a tabela a seguir, 
ela apresenta as notas obtidas na disciplina de Álgebra Linear e Vetorial pelos acadêmicos 
Cristiane, Leonardo e Luiz nas quatro avaliações propostas.
Avaliação 1 Avaliação 2 Avaliação 3 Avaliação 4
Cristiane 7 6 7 8
Leonardo 4 5 5 7
Luiz 8 7 9 10
Para calcular a média final da disciplina, o professor deve fazer uma média ponderada, 
onde a avaliação 1 tem peso 1, a avaliação 2 tem peso 1, a avaliação 3 tem peso 4,8 e a 
avaliação 4 tem peso 3,2. Assim, a média de cada aluno será determinada pela fórmula: 
o que equivale a escrever:
(Avaliação1×0,10)+(Avaliação2×0,10)+(Avaliação3×0,48)+(Avaliação4×0,32).
A tabela de notas pode ser representada pela matriz:
E os pesos das avaliações, pela matriz:
UNIDADE 1TÓPICO 124
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Agora vamos calcular as médias dos alunos nesta disciplina:
Cristiane: (7×0,10)+(6×0,10)+(7×0,48)+(8×0,32)=7,22
Leonardo: (4×0,10)+(5×0,10)+(5×0,48)+(7×0,32)=5,54
Luiz: (8×0,10)+(7×0,10)+(9×0,48)+(10×0,32)=9,02
Essas médias podem ser registradas em uma matriz C, que é o produto da matriz A 
(notas) pela matriz B (pesos):
A ideia utilizada para obter a matriz C será usada agora para definirmos matematicamente 
a multiplicação de matrizes.
Definição: Dada uma matriz A = (ajj) do tipo mxn e uma matriz B = (bjj) do tipo nxp, 
o produto da matriz A pela matriz B é a matriz C = (cij) do tipo mxp, tal que o elemento cij 
é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos 
elementos da coluna j, da matriz B, e somando-se os produtos obtidos. Para dizer que a 
matriz C é o produto de A por B, vamos indicá-la por AB.
ATEN
ÇÃO!
Observe que só definimos o produto AB de duas matrizes quando 
o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B; 
além disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas 
de A e o número de colunas de B: Amxn . Bnxp = ABmxp.
Acompanhe a multiplicação das matrizes A de ordem 3x2 e B de ordem 2x4: 
O primeiro fato a observar é que só podemos multiplicar matrizes quando o número 
de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Note que 
na definição A tem n colunas e B tem n linhas. Essa igualdade tem que ocorrer para que 
a multiplicação possa ser calculada. Como A possui duas colunas e B possui duas linhas, 
podemos calcular C = A·B
UNIDADE 1 TÓPICO 1 25
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Sabemos que a matriz C terá ordem 3x4 devido à definição, pois a ordem da matriz é 
resultado da multiplicação de duas matrizes, onde herda o número de linhas da primeira e o 
número de colunas da segunda. Observe:
Agora, precisamos definir os elementos cij da matriz resultante C e para isso é necessário 
saber que:
•	 c11 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os elementos 
da 1ª coluna damatriz B.
•	 c12 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os elementos 
da 2ª coluna da matriz B.
•	 c13 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os elementos 
da 3ª coluna da matriz B.
•	 c14 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os elementos 
da 4ª coluna da matriz B.
•	 c21 é o resultado da multiplicação dos elementos da 2ª linha da matriz A com os elementos 
da 1ª coluna da matriz B.
•	 c22 é o resultado da multiplicação dos elementos da 2ª linha da matriz A com os elementos 
da 2ª coluna da matriz B.
•	 c23 é o resultado da multiplicação dos elementos da 2ª linha da matriz A com os elementos 
da 3ª coluna da matriz B.
•	 c24 é o resultado da multiplicação dos elementos da 2ª linha da matriz A com os elementos 
da 4ª coluna da matriz B.
•	 E assim por diante.
Observe o cálculo de cada elemento da matriz resultante C:
UNIDADE 1TÓPICO 126
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Com isso, finalmente, teremos:
IMP
OR
TAN
TE! �
Nunca esqueça: todos os elementos das linhas da primeira matriz 
multiplicam todos os elementos das colunas da segunda matriz.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 27
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
6.4 MATRIZ INVERSA
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz, tal que AX = In e XA = In, 
onde In é a matriz identidade de ordem n, então X é denominada matriz inversa de A, sendo 
simbolizada por 
ATEN
ÇÃO!
Analisando a definição, é possível perceber que a matriz inversa 
nem sempre existe. Quando existir a matriz inversa de A, dizemos 
que A é uma matriz invertível ou não singular.
Acadêmico(a), observe que a matriz é invertível e sua matriz inversa é: 
IMP
OR
TAN
TE! �
Acadêmico(a), observe que a matriz A multiplicada pela 
inversa nos dá a matriz identidade. 
Exemplo 1: Sendo a matriz , vamos determinar a matriz inversa de 
A, se existir.
Resolução: Existindo, a matriz inversa é de mesma ordem de A. Como, para que exista 
inversa, é necessário que A∙A-1= A-1∙A = , vamos trabalhar em duas etapas:
Inicialmente, fixamos a condição de que A∙A-1 = e determinamos A-1:
UNIDADE 1TÓPICO 128
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
A partir da igualdade de matrizes, resolvemos o sistema acima pelo método da adição:
Assim temos:
É importante verificarmos se A∙A-1 = 
UNIDADE 1 TÓPICO 1 29
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Logo, A-1 é inversa de A e pode ser representada por:
Exemplo 2: Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de 
Resolução: Seja X a matriz quadrada de ordem 2 procurada, isto é: 
Pela definição, inicialmente devemos ter: 
Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas:
que resolvido nos dá a = -3 e c = 2. 
que resolvido nos dá b = 8 e d = -5. 
DIC
AS!
Embora teremos um tópico sobre sistemas lineares, acreditamos 
que todos tenham tido contato com esses sistemas pequenos 
tanto no Ensino Fundamental quanto no Médio, como também 
na disciplina de Introdução ao Cálculo. Caso você não entenda 
a resolução deste sistema, é importante que retome o material 
da disciplina de Introdução ao Cálculo e faça um estudo sobre 
os sistemas lineares de ordem 2.
UNIDADE 1TÓPICO 130
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Temos para a qual AX = I2 
A seguir, verificamos se XA = Então, podemos 
dizer que é a matriz inversa de ou seja:
DIC
AS!
Assim, se você quiser ter certeza de que calculou a 
matriz inversa corretamente, basta efetuar a multiplicação 
. Se essa multiplicação resultar na identidade 
, você terá calculado corretamente, caso contrário, 
refaça os cálculos.
Propriedades da Multiplicação de matrizes
Como o produto de matrizes é definido de forma diferente do produto de uma matriz 
por um número real, as propriedades satisfeitas pela multiplicação de números reais em geral 
não valem para a multiplicação de matrizes. 
Vamos supor que as matrizes A, B e C sejam de ordens tais que as operações a seguir 
sejam possíveis. Assim, são válidas as seguintes propriedades para a multiplicação de matrizes:
Propriedade Associativa: (A·B) ·C = A·(B·C)
Demonstração: Suponhamos que as matrizes A, B e C tenham ordens respectivamente: 
Temos que:
Propriedade Distributiva à direta em relação à adição: (A + B) ·C = A·C + B·C
Demonstração: Suponhamos que as matrizes A, B e C tenham ordens respectivamente: 
UNIDADE 1 TÓPICO 1 31
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Temos que:
Propriedade Distributiva à esquerda em relação à adição: A·(B + C) = A·B + A·C
Demonstração: Suponhamos que as matrizes A, B e C tenham ordens respectivamente: 
Temos que:
Importante:
•	 Em geral, A·B ≠ B·A, para A e B duas matrizes quaisquer, isto é, não é válida a propriedade 
comutativa da multiplicação para matrizes.
•	 A·I = I·A = A, onde I é a matriz identidade de ordem apropriada e A é uma matriz qualquer.
•	 (A·B)T = BT·AT , para A e B matrizes.
•	 0·A = 0 e A·0 = 0, para toda matriz A (onde 0 é a matriz nula de ordem apropriada).
IMP
OR
TAN
TE! �
É possível A·B = 0, sem termos A = 0 ou B = 0.
UNIDADE 1TÓPICO 132
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Para exemplificar o que o UNI acabou de informar, considere as matrizes:
e note que A ≠ 0 e B ≠ 0 (onde 0 é a matriz nula de ordem apropriada).
Com isso teremos
6.5 OUTROS EXEMPLOS QUE ENVOLVEM 
 OPERAÇÕES COM MATRIZES
A seguir veremos mais alguns exemplos de situações que envolvem matrizes e suas 
operações.
Exemplo 1: Dadas as matrizes: 
Calcule D.(2A + 3B). 
Resolução: Primeiramente, vamos calcular a prioridade da expressão que é definida 
pelos parênteses.
Agora, resolveremos a multiplicação:
Lembre-se de que é necessário verificar se a multiplicação é possível, ou seja, se o 
número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz.
Exemplo 2: Sejam as matrizes A = (aij)2x2, com aij = 2i – j2 e B = (bij)2x2, com bij = aij - 1, 
encontre a matriz X de modo que: X – 2A + B = 0.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 33
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Resolução: Vamos iniciar construindo as matrizes A e B.
Matriz A
Como é uma matriz 2x2, sua genérica é:
Conforme orienta o enunciado, cada elemento aij será determinado por aij = 2i – j2.
Matriz B
Como é uma matriz 2x2, sua genérica é: 
Conforme orienta o enunciado, cada elemento bij será determinado por bij = aij - 1.
Determinadas as matrizes A e B, vamos resolver a equação X – 2A + B = 0.
DIC
AS!
Assim como em uma equação do primeiro grau, sugerimos isolar 
a matriz X antes de substituir as matrizes.
UNIDADE 1TÓPICO 134
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Exemplo 3: Seja A = (aij) a matriz 2x2 real definida por aij = 1 se i ≤ j e aij = -1 se i > j. 
Calcule A2. 
Resolução: Vamos iniciar construindo a matriz A.
Como é uma matriz 2x2, sua genérica é: 
Conforme orienta o enunciado, cada elemento aij será determinado por aij = 1 se i ≤ j e 
aij = -1 se i > j.
Agora, basta calcularmos A2.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 35
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
ATEN
ÇÃO!
Calcular A2 não é elevar cada um de seus elementos ao quadrado, 
mas sim multiplicar a matriz por ela mesma, ou seja, A2 = A∙A.
Para resolver esta multiplicação é necessário verificar se o número de linhas da 
primeira matriz é igual ao número de colunas da segunda matriz.
Exemplo 4: (UFRJ) Uma confecção vai fabricar três tipos de roupas utilizando três 
materiais diferentes.Considere a matriz A abaixo, onde cada elemento aij representa quantas 
unidades de material j serão empregados para fabricação de roupas do tipo i. 
a) Quantas unidades de material 3 serão empregados na confecção de uma roupa tipo 2?
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas 
do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.
Resolução: De acordo com o enunciado, temos a tabela:
Material 1 Material 2 Material 3
Roupa tipo 1 5 0 2
Roupa tipo 2 0 1 3
Roupa tipo 3 4 2 1
a) O número de unidades de material j = 3 na confecção de uma roupa tipo i = 2 é o elemento 
a23 da matriz A, ou melhor, é o elemento da segunda linha com a terceira coluna a23 = 3 
unidades.
UNIDADE 1TÓPICO 136
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
b) O valor procurado é 5a11 + 4a21 + 2a31 = 5×5 + 4×0 + 2×4 = 25 + 0 + 8 = 33 unidades.
Exemplo 5: (PUC) Um batalhão do exército resolveu codificar suas mensagens através 
da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associa as letras do alfabeto aos números, 
segundo a correspondência abaixo considerada:
Desta forma, supondo que o batalhão em questão deseja enviar a mensagem "PAZ", 
pode-se tomar uma matriz 2x2, da forma: a qual, usando-se da tabela acima, será 
dada por: 
Tomando-se a matriz-chave C para o código, isto é: transmite-se a mensagem 
"PAZ" através da multiplicação das matrizes M e C, ou seja: 
Ou através da cadeia de números 31 47 50 75. Desta forma, utilizando-se a mesma 
matriz-chave C, a decodificação da mensagem 51 81 9 14 será compreendida pelo batalhão 
como a transmissão da palavra:
a) LUTE
b) FOGO
c) AMOR
d) VIDA
e) FUGA
Resolução: Para construir a Matriz D vamos usar o fato de que D é a matriz inversa de 
C se, e somente se, C×D = D×C = I, onde I é matriz identidade. Depois, basta resolvermos os 
sistemas de equações resultantes.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 37
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
IMP
OR
TAN
TE! �
Como já falamos, só existe a inversa de matrizes quadradas. E 
mais do que isso, a inversa terá sempre a mesma ordem da 
matriz além disso, a identidade também terá essa mesma 
ordem.
Acadêmico(a), veja que a matriz C codificou a mensagem multiplicando a matriz M 
pela direita, assim, temos que decifrar a mensagem também pela direita multiplicando por D 
= C-1 , pois a propriedade comutativa no produto de matrizes não é válida. Decodificando a 
mensagem 51 81 9 14, encontramos:
Logo, a mensagem 51 81 9 14 será compreendida como 21 9 4 1, correspondendo à 
palavra VIDA, e a alternativa (D) é a opção correta.
UNIDADE 1TÓPICO 138
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico você viu:
•	 Uma matriz é uma organização de dados em linhas e colunas e que cada ente da matriz é 
denominado elemento. Uma matriz é representada por uma letra maiúscula e os elementos 
podem estar dispostos entre parênteses ou colchetes. A ordem de uma matriz é a informação 
da quantidade de linhas (m) e colunas (n).
•	 Alguns tipos de matrizes: quadrada, nula, coluna, linha, oposta, diagonal, identidade, 
triangular, transposta e simétrica.
•	 Algumas operações: soma de matrizes, multiplicação por um número real e multiplicação 
de matrizes. Aqui vale destacar:
	o	Só podemos somar matrizes de mesma ordem.
	o	Para multiplicar matrizes o número de colunas da primeira matriz tem que ser igual ao 
número de linhas da segunda. Já a matriz resultante (produto) terá o número de linhas da 
primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
	 o	Na multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa, isto é, podemos ter 
 para duas matrizes quaisquer A e B.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 39
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
AUT
OAT
IVID
ADE �
Acadêmico(a), um dos princípios da UNIASSELVI é “Não basta saber, é preciso 
saber fazer”. Agora chegou a sua vez de colocar em prática os conceitos sobre matrizes 
estudados neste tópico.
1 Sendo dadas as matrizes:
Calcule:
a) A + B
b) A+C
c) B + C
d) A + B + C
e) A – B – C 
f) A + C – B 
2 Dadas as matrizes: 
Calcule:
a) 5A + 3B
b) 6A – 4B
c) A + 5B – 2C
d) 2B – C
3 Calcule os produtos indicados:
4 Dada a matriz mostrada adiante:
UNIDADE 1TÓPICO 140
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Determine:
5 Sejam as matrizes A = (aij)2x2, com aij = i – j2 e B = (bij)2x2, com bij = aij + 1, encontre a 
matriz X de modo que: X – At + 2Bt = 0.
6 Dados determine x e y sabendo 
que A = B. 
7 Dadas as matrizes
8 A e B são suas matrizes quadradas de ordem 2, cujos elementos são dados por 
 Calcule 
9 Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 cujos elementos são dados por
Calcule
10 Determine x, y, z e t sabendo que:
UNIDADE 1 TÓPICO 1 41
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
11 (FUNIVERSA) Duas empresas, 1 e 2, são investigadas em três crimes fiscais, I, 
II e III. As evidências que relacionam as duas empresas aos crimes são tais que:
A evidência
Relaciona a(s) 
empresa(s)
Ao(s) crime(s)
A 1 I e III
B 1 e 2 I e II
C 2 II e III
D 1 I e II
E 1 e 2 I, II e III
F 2 III
G 1 I e II
H 1 e 2 II e III
I 2 I e III
Para tratar as informações necessárias à investigação desses crimes, um 
perito montou uma matriz M na qual cada elemento aij corresponde à quantidade de 
evidências que relacionam a empresa i ao crime j.
 
 Com base nessas informações, a matriz M é:
12 (UFMT) Sejam as matrizes A = (aij)2x3 tal que aij = j – 3i; B = (bij)3x2 tal que bij = 2i 
+ j2; e C = (cij)2x2 tal que cij = ij. O elemento de maior módulo dentre os que formam 
a diagonal principal da matriz P, em que P = AB + 20C, é: 
 
a) 20 
b) 9 
c) -16
d) -12
e) 0
13 Leia atentamente as sentenças a seguir:
I- O produto das matrizes A, de ordem 4x2, e B, de ordem 2x2, é uma matriz de ordem 
4 x 2.
II- O produto das matrizes A de ordem 5x4 e B de ordem 5x2 é uma matriz de ordem 
5x2.
III- O produto das matrizes A de ordem 2x3 e B de ordem 3x4 é uma matriz quadrada.
As sentenças verdadeiras são:
UNIDADE 1TÓPICO 142
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
a) ( ) I e III 
b) ( ) Apenas I
c) ( ) Apenas III
d) ( ) Apenas II 
e) ( ) I e II
14 (UEL-PR) Dadas as matrizes A = , definida por , definida 
por , definida por C = A . B, é correto afirmar que o elemento é:
a) ( ) Igual ao elemento 
b) ( ) Igual ao produto de 
c) ( ) O inverso do elemento 
d) ( ) Igual à soma de 
e) ( ) Igual ao produto de 
15 Prove que a matriz A-1 = é inversa de A =
16 Determine a matriz inversa da A =
17 Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i ≥ j e aij = i + j se i < j. Calcule 
a soma dos elementos da diagonal secundária.
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
DETERMINANTES E INVERSÃO DE 
MATRIZES
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 2
Na história da matemática, a ideia de determinante aparece em soluções de sistemas 
lineares pelo menos um século antes do matemático inglês Arthur Cayley criar as teorias das 
matrizes. Apesar de hoje estudarmos primeiro matrizes, depois determinantes e, em seguida, 
sistemas lineares, a ordem histórica foi: sistemas lineares, determinantes e, somente mais 
tarde, as matrizes. 
Presume-se que a primeira ideia de determinante surgiu na China antiga, onde os 
coeficientes de equações lineares eram representados com varetas de bambu. O qual foi 
aperfeiçoado pelo matemático japonês Seki Shinsuke Kowa, no século XVI, e se assemelha 
ao processo usado hoje para o cálculo de determinantes.
Ainda no séculoXVI, o matemático alemão Göttfried Wilhelm Leibniz criou a teoria dos 
determinantes enquanto buscava soluções para sistemas lineares. E, no século seguinte, o 
matemático suíço Gabriel Cramer, por desconhecer os trabalhos já realizados, reinventou os 
determinantes ao estabelecer e publicar uma regra que leva seu nome (a qual estudaremos 
neste tópico), também na busca de resoluções de sistemas lineares.
Em 1812, Cauchy sistematizou o estudo dos determinantes em uma publicação de 84 
páginas e, a partir daí, a teoria dos determinantes tornou-se um ramo da Álgebra, passando, 
então, a ser largamente utilizada.
UNIDADE 1
UNIDADE 1TÓPICO 244
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
NO
TA! �
Até 1858, quando o conceito de matriz aparece pela primeira
vez, não se falava em determinante de uma matriz , mas 
sim em determinante de um sistema 
2 O CÁLCULO DO DETERMINANTE
O determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. É importante 
destacar que cada matriz possui um único determinante.
Dada a matriz indicaremos o seu determinante por 
O determinante de uma matriz A será denotado por “det A” ou por DA.
2.1 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE PRIMEIRA ORDEM
O determinante de uma matriz de primeira ordem, A = (a11), é definido pelo valor do seu 
elemento único a11, ou seja: 
Exemplos:
1) Se M = (6), então det M = 6.
2) Se Z = então det Z = 
UNIDADE 1 TÓPICO 2 45
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
2.2 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
A matriz quadrada de segunda ordem tem como determinante o 
número real obtido pela expressão Indicamos por: 
Portanto, o determinante de uma matriz de segunda ordem é dado pela diferença entre o 
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
Veja os exemplos a seguir:
Exemplo 1: Calcular o determinante da matriz 
Resolução: det B = 2·8 - 7·4 ↔ det B = 16 – 14 ↔ det B = 2.
Exemplo 2: (GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI JR., 2002, p. 314) Calcule o 
determinante da matriz A do tipo 2x2, cujos elementos são: 
Resolução: Partimos da matriz genérica p a r a d e t e r m i n a r o s 
elementos da matriz.
Matriz A
a11 = 1 + 2·1 = 1 + 2 = 3
a21 = 2 + 2·1 = 2 + 2 = 4
a22 = 2 + 2·2 = 2 + 4 = 6
a12 = 12 – 2 = 1 – 2 = –1.
Logo, 
Portanto, det A = 3·6 - 4·(–1) ↔ det A = 18 + 4 ↔det A = 22.
UNIDADE 1TÓPICO 246
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
2.3 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 
 TERCEIRA ORDEM – REGRA DE SARRUS
O cálculo do determinante de terceira ordem pode ser feito por meio de um dispositivo 
prático, denominado regra de Sarrus.
Seja a matriz 
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira coluna: 
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os 
dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com 
os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:
4º passo: Por fim, devemos operar: a soma do produto da diagonal principal com suas 
paralelas, menos a soma do produto da diagonal secundária com suas paralelas. Desta forma:
UNIDADE 1 TÓPICO 2 47
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
ATEN
ÇÃO!
Sempre que tivermos uma matriz dentro de barras simples, 
estaremos tratando de cálculo de determinante. Por exemplo, 
estamos indicando que o determinante da 
matriz é 19.
Exemplo 1: Calcule o determinante da matriz 
Resolução: Iniciamos repetindo as duas primeiras colunas após a terceira. 
Det B = (3·1·4 + 4·5·0 + 2·2·7) – (2·1·0 + 3·5·7 + 4·2·4)
Det B = (12 + 0 + 28) – (0 + 105 + 32)
Det B = 40 – 137
Det B = – 97
Exemplo 2: Resolver a equação: 
Resolução: A representação indica que o determinante desta matriz é 2. Assim, vamos 
calcular o determinante e igualar a 2.
Para simplificarmos a equação, vamos dividir ambos os lados da igualdade por (-2). 
x2 – 3x + 2 = 0
UNIDADE 1TÓPICO 248
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Aplicando a fórmula de Bháskara, determinamos os valores para x que tornam o 
determinante da matriz igual a 2. Assim, x’ = 1 e x” = 2.
2.4 COFATOR
Dada uma matriz A=[aij], quadrada de ordem denominamos cofator 
de aij o produto de (-1) pelo determinante da matriz (Dij) que se obtém de A, suprimindo a 
linha de ordem i e a coluna de ordem j. Notação: cij.
Assim, se considerarmos a matriz quadrada de terceira 
ordem, temos:
Exemplos:
UNIDADE 1 TÓPICO 2 49
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
2.5 DETERMINANTE DE ORDEM N > 3
Para calcularmos o determinante de matrizes de ordem superior a 3, usaremos o 
Teorema de Laplace. Este teorema pode ser utilizado para matrizes de ordem 2 ou superior, 
porém, julgamos que os métodos ensinados anteriormente apresentam resolução mais rápida.
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada de ordem é a soma dos produtos dos 
elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. 
ATEN
ÇÃO!
A resolução se torna mais rápida quando consideramos a fila 
que contém o maior número de zeros, pois neste caso não é 
necessário calcular o determinante.
Exemplos:
UNIDADE 1TÓPICO 250
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
IMP
OR
TAN
TE! �
P i e r r e S i m o n M a r q u i s d e 
Laplace nasceu na França, em Beaumont-
en-Auge, no dia 23 de março de 1749, 
tendo falecido na cidade de Paris, a 5 
de março de 1827. Destacou-se nas 
áreas da Física, da Astronomia e da 
Matemática. Organizou a astronomia 
matemática, sumariando e ampliando 
o trabalho de seus predecessores nos 
cinco volumes do seu Mécanique Céleste 
(Mecânica Celeste) (1799-1825). Esta 
obra-prima traduziu o estudo geométrico 
da mecânica clássica usada por Isaac Newton para um estudo 
baseado em cálculo, conhecido como mecânica física.
Ele também formulou a equação de Laplace. A transformada 
de Laplace aparece em todos os ramos da física matemática, 
campo em que teve um papel principal na formação. O operador 
diferencial de Laplace, do qual depende muito a matemática 
aplicada, também recebe seu nome.
Pierre Laplace era filho de um pequeno trabalhador rural ou talvez 
um empregado de fazenda e ficou a dever a sua educação ao 
interesse de alguns vizinhos abastados, graças às suas habilidades 
e presença atrativa. Parece que, de pupilo, se tornou professor-
assistente na escola em Beaumont; mas, tendo procurado uma 
carta de apresentação a Jean le Rond d’Alembert, foi a Paris tentar 
sua sorte. Um artigo sobre os princípios da mecânica instigou o 
interesse de d’Alembert e, sob sua recomendação, foi oferecido 
um lugar na escola militar a Laplace.
Seguro das suas competências, Laplace dedicou-se, então, 
a pesquisas originais e, nos 17 anos seguintes, entre 1771 e 
1787, produziu uma boa parte dos seus trabalhos originais em 
astronomia. Tudo começou com uma memória, lida perante 
a Academia Francesa em 1773, em que mostrava que os 
movimentos planetários eram estáveis, levando a prova até ao 
ponto dos cubos das excentricidades e das inclinações. Isso foi 
seguido por vários artigos sobre tópicos em cálculo integral, 
diferenças finitas, equações diferenciais e astronomia.
Laplace tinha um amplo conhecimento de todas as ciências 
UNIDADE 1 TÓPICO 2 51
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
e dominava todas as discussões na Académie. De forma 
razoavelmente única para um prodígio do seu nível, Laplace via 
os matemáticos apenas como uma ferramenta para ser utilizadana investigação de uma averiguação prática ou científica.
Laplace passou a maior parte de sua vida trabalhando na 
astronomia matemática, que culminou na sua obra-prima sobre a 
prova da estabilidade dinâmica do sistema solar, com a suposição 
de que ele consistia num conjunto de corpos rígidos movendo-se 
no vácuo. Ele formulou independentemente a hipótese nebular e 
foi um dos primeiros cientistas a postular a existência de buracos 
negros e a noção do colapso gravitacional.
Ele é, nos dias de hoje, lembrado como um dos maiores cientistas 
de todos os tempos (às vezes, chamado de Newton francês ou 
Newton da França), com uma fenomenal capacidade matemática 
natural sem par entre os seus contemporâneos. Parece que Laplace 
não era modesto sobre as suas capacidades e realizações e ele 
provavelmente não conseguia reconhecer o efeito de sua atitude 
sobre seus colegas. Anders Johan Lexell visitou a Académie des 
Sciences em Paris, em 1780-81 e relatou que Laplace deixava 
claro que se considerava o melhor matemático da França. O efeito 
sobre os seus colegas só seria relativamente atenuado pelo fato 
de que Laplace muito provavelmente estaria correto.
FONTE: Disponível em: <http://www.explicatorium.com/biografias/
pierre-laplace.html>. Acesso em: 22 fev. 2016.
2.6 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA UTILIZANDO 
 DETERMINANTE
No tópico anterior vimos como calcular a matriz inversa de uma matriz de ordem 2 
utilizando a definição e resolvendo o sistema linear. Agora, veremos como utilizar o determinante 
da matriz para determinar sua inversa.
Definição: Seja uma matriz onde a, b, c e d são números reais tais 
que det (A) ≠0. Então a inversa de A será dada por 
Exemplo 1: Calcule a inversa de
UNIDADE 1TÓPICO 252
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Resolução: Pela definição, temos:
Assim, precisamos calcular ou seja:
Substituindo os valores de a, b, c, d e do det(A) na definição:
ATEN
ÇÃO!
Veja como é rápido efetuar essa inversa, porém a generalização 
é difícil. Portanto, é importante aprender os outros métodos.
Exemplo 2: Calcule a inversa da matriz
Resolução: Novamente, pela definição, temos: 
Assim, precisamos calcular ou seja:
UNIDADE 1 TÓPICO 2 53
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
Então, da matriz A, sabemos que a = -2, b = 9, c = 1 e d = 3. Usando a definição da 
inversa, basta efetuar as devidas substituições.
2.7 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Acadêmico(a), assim como vimos no estudo das propriedades das matrizes, as 
propriedades dos determinantes facilitam certos cálculos, sendo possível fazer com que 
economizemos tempo na resolução desses cálculos. Vejamos, a seguir, quais são estas 
propriedades:
P1: Se os elementos de uma linha (ou uma coluna) de uma matriz quadrada forem todos 
iguais a zero, seu determinante será zero.
Exemplos:
P2: Se os elementos de duas linhas ou colunas de uma matriz forem iguais, seu 
determinante será nulo.
Exemplo:
UNIDADE 1TÓPICO 254
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
P3: Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então seu determinante 
será nulo.
Exemplo:
P4: Se trocarmos de posição, entre si, duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada, 
o determinante da nova matriz é o anterior com o sinal trocado.
Exemplo:
Trocando as posições de L1 e L2, por exemplo, temos:
P5: Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) por um número real 
, então o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado pelo número .
Exemplos:
UNIDADE 1 TÓPICO 2 55
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
P6: O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta AT.
Exemplo:
P7: Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos 
aos elementos de uma linha (ou coluna) uma combinação linear dos elementos correspondentes 
de linhas ou colunas paralelas.
Exemplo:
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:
UNIDADE 1TÓPICO 256
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
P8: O determinante associado a uma matriz triangular é igual ao produto da diagonal 
principal.
Exemplos:
P9: Teorema de Binet: se A e B são matrizes quadradas, então Det (AB) = Det A∙Det B
Exemplo:
P10: Matriz inversa: seja M uma matriz inversível de ordem n, temos: 
Exemplo:
DIC
AS!
Crie outras matrizes e verifique passo a passo a validade de cada 
uma destas propriedades.
2.8 MATRIZ SINGULAR
Uma matriz é denominada singular quando o seu determinante é nulo. Por exemplo, se 
uma matriz quadrada tiver pelo menos uma linha ou coluna nula, terá determinante zero (0), 
o que caracteriza uma matriz singular.
Existem nove matrizes singulares com dimensão 2x2 compostas dos números 0 e 1:
UNIDADE 1 TÓPICO 2 57
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
DIC
AS!
Descubra quantas matrizes singulares existem de dimensão 3x3.
3 ESCALONAMENTO DE MATRIZES
O escalonamento de matrizes nos auxilia no cálculo de determinantes de qualquer 
ordem, no cálculo da inversa de uma matriz de qualquer ordem e também na resolução de 
sistemas lineares (tema do próximo tópico). Preste muita atenção em cada etapa, pois usaremos 
muito este método!
3.1 FORMA ESCALONADA DE UMA MATRIZ
Uma matriz é denominada de forma escalonada quando o número de zeros no lado 
esquerdo do primeiro elemento não nulo da linha aumenta a cada linha.
Exemplo 1: A matriz é uma matriz escalonada.
Exemplo 2: A matriz não é uma matriz escalonada.
Exemplo 3: No caso de uma linha se tornar nula, todas as linhas seguintes devem ser 
linhas nulas para manter a qualidade de matriz escalonada.
UNIDADE 1TÓPICO 258
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
A matriz é uma matriz escalonada.
3.2 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS
O método de eliminação de Gauss, também conhecido como escalonamento, é utilizado 
para converter uma matriz qualquer na forma de matriz escalonada, aplicando uma sequência 
de operações, denominadas operações elementares.
As operações elementares se constituem de três operações básicas:
•	 Multiplicar: podemos multiplicar uma linha inteira por uma constante não nula. Simbolizamos 
por: 
•	 Trocar ou permutar: podemos trocar duas linhas inteiras entre si. Simbolizamos por: Li = Lk.
•	 Somar ou subtrair: um múltiplo de uma linha a outra linha. Simbolizamos por: Li = Li + ∙Lk 
ATEN
ÇÃO!
Preste bem atenção nas operações permitidas, pois não é 
qualquer operação que não altera os conjuntos relacionados às 
matrizes.
Acadêmico(a), todo o escalonamento é efetuado em etapas, escolhendo as linhas de 
cima para baixo, ou seja, na primeira etapa inicia-se pela linha 1, na segunda etapa escolhe-
se a linha 2 e assim por diante. 
Após determinarmos a linha, teremos o olhar voltado para um elemento especial 
denominado pivô. O pivô, na primeira linha é o elemento a11, na segunda linha é o elemento a22, 
na terceira linha é o elemento a33 e assim sucessivamente. Ele deverá ter seu valor transformado 
em 1 e tem a função de nos auxiliar a anular os elementos abaixo dele, isto é, transformá-los 
em zero utilizando as três operações básicas entre linhas de matrizes.
A melhor forma de compreender o processo de eliminação de Gauss é através de 
exemplos. Vamos a eles:
UNIDADE 1 TÓPICO 2 59
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
E
V
E
T
O
R
I
A
L
ATEN
ÇÃO!
Acadêmico(a), observe que para anular o elemento de uma linha, 
só poderemos usar ele e o múltiplo da linha pivô.
Exemplo 1: Escalonar a seguinte matriz.
O primeiro pivô será o elemento a11 que, no nosso exemplo, já