Calculo 2

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Cálculo Diferencial 
e Integral
Limites
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Esp. Clovis Jose Serra Damiano
Revisão Textual:
Profa. Ms. Selma Aparecida Cesarin
5
•	Introdução
•	Limites
•	Propriedades úteis para avaliação 
dos limites
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, 
além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. 
Não deixe de assistir, também, à apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios resolvidos.
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo 
de realização e envio. 
Estudaremos: Conceito intuitivo de limite; Limites pela esquerda 
e pela direita; Limite inexistente; Limite quando a imagem de a 
não está definida; Indeterminação do limite; Limites envolvendo 
o infinito; Propriedade dos limites; Reta tangente e taxa de 
variação média e instantânea. Definição formal de um limite.
Ao término deste estudo, desejamos que você seja capaz de 
interpretar e conceituar um limite, bem como resolver problemas 
envolvendo o conceito de limite. 
Limites
•	Problemas de aplicação
•	Definição formal de limite
6
Unidade: Limites
Contextualização
O conhecimento matemático è a construção do homem para auxiliá-lo na resolução de 
problemas. Qualquer novo conhecimento leva um tempo para ser internalizado.
Como atividade de contextualização, leia a parte de um artigo muito interessante,retirado do 
site: http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2009/10/aprendendendo-aprender-matematica.
“Ninguém aprende Matemática ouvindo o professor em sala de aula, por mais organizadas e claras 
que sejam suas preleções, por mais que se entenda tudo que ele explica”. Isto ajuda muito, mas 
é preciso estudar por conta própria logo após as aulas, antes que o benefício delas desapareça 
com o tempo... Mas esse estudo exige muita disciplina e concentração: estuda-se sentado à mesa, 
com lápis e papel à mão, prontos para serem usados a todo o momento. Você tem de interromper 
a leitura... para fazer um gráfico ou diagrama, ou alguma figura que ajude a seguir o raciocínio 
do livro, sugerir ou testar uma ideia... Por isso mesmo, não espere que o livro seja completo, sem 
lacunas a serem preenchidas pelo leitor; do contrário, esse leitor será induzido a uma situação 
passiva, quando o mais importante é desenvolver as habilidades para o trabalho independente... 
Os exercícios são uma das partes mais importante do livro. De nada adianta estudar a teoria sem se 
aplicar na resolução dos exercícios propostos. Muitos desses exercícios são complementos da teoria 
e não podem ser negligenciados, sob pena de grande prejuízo no aprendizado. Você estará fazendo 
progresso significativo quando sentir que está realmente aprendendo a aprender.”
7
Introdução
A ideia de limite surgiu na Grécia antiga (século V a.C.). Nesse tempo, Zenão de Eleia desafiou 
os filósofos gregos com uma série de paradoxos . Entre eles, o de Aquiles e a tartaruga. 
Glossário
Um paradoxo é uma declaração aparentemente verdadeira que leva a uma contradição lógica, 
ou a uma situação que contradiz a intuição comum. Em termos simples, um paradoxo é “o oposto 
do que alguém pensa ser a verdade”. A identificação de um paradoxo baseado em conceitos 
aparentemente simples e racionais tem, por vezes, auxiliando significativamente o progresso da 
Ciência, Filosofia e Matemática.
O veloz Aquiles corre para alcançar uma tartaruga que se afasta dele, mas quando ele chega 
ao lugar em que a tartaruga estava ela já partiu. Aquiles nunca pode alcançar a tartaruga, 
porque na altura em que atinge o ponto de onde a tartaruga partiu, ela já terá se deslocado 
para outro ponto. Na altura em que alcança esse segundo ponto, ela terá se deslocado de novo, 
e assim sucessivamente, ad infinitum. 
Arquimedes consolida esse conceito definindo a área do círculo como limite dos polígonos 
inscritos	e	circunscritos,	determinando	como	consequência	o	valor	de	π.
Vamos observar algumas situações em que estão presentes as ideias intuitivas de limite.
Se o câmbio do dólar americano se estabilizar em torno de R$ 2,00, então, o valor pago por 
100 dólares estabilizará em R$ 200,00. 
Logo, podemos dizer que o limite (valor pago por 100 dólares) é igual a R$ 200,00 quando 
o valor pago por 1 dólar tende a R$ 2,00.
Considere sequência (an) de números, com 
*1 , na nn
= ò . 
Veja a sequência numérica e observe o que acontece com a_n, conforme n cresce 
indefinidamente. 
Dizemos que quando n tende ao infinito, o limite da sequência é igual a zero, pois o valor 
obtido tende a zero.
Sequência=1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001...
Imagine uma placa metálica quadrada que se expande de maneira uniforme ao ser aquecida. 
Se 

 é o comprimento do lado, a área da placa é dada por 2A =  . Portanto, quando  se 
aproxima de 3, 2A =  se aproxima de 9 como um limite. Simbolicamente, escreveremos 2
3
lim
→

 = 9.
Pense agora que você está acelerando um automóvel. Quando o acelerador for calcado para 
baixo cerca de 2 cm, a velocidade se manterá próxima a 60 km/h.
8
Unidade: Limites
Logo, podemos dizer que o limite (a velocidade instantânea do carro) é 60 km/h quando o 
acelerador tender a 2 cm para baixo.
 Matematicamente, expressamos essa informação da seguinte maneira:
( )
2
lim 60
x
v x
→
=
Sendo que v(x) é a velocidade instantânea do carro e x é a medida em centímetros calcado 
no acelerador.
Limites
O limite é um conceito matemático rigorosamente definido. Basicamente, estaremos 
preocupados com o que acontece com a variável dependente quando os valores da variável 
independente se aproximam de uma constante a.
Alguns pontos importantes:
•	 O conceito de limite de uma função quando x tende para a não pode ser confundido 
com o conceito do valor da função quando x = a;
•	 O limite quando x tende para a pode existir e a função pode ser definida em a ou não;
•	 A função pode ser definida para a e o limite pode existir ou não;
•	 O limite quando x tende para a pode existir e a função pode ser definida para a, e seus 
valores podem ser os mesmos ou não;
•	 Geralmente x pode tender para a pelos dois sentidos, por meio de valores menores que 
a ou de valores maiores que a;
•	 O limite L deve ser um número finito.
Vamos considerar a função f(x) = x + 2:
x 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1
f(x) = x+2 3,9 3,99 3,999 3,9999 4 4,0001 4,001 4,01 4,1
Podemos observar claramente que quanto mais x se aproxima de 2, tanto para valores 
menores do que 2 (pela esquerda), como para valores maiores do que 2 (pela direita), f(x) se 
aproxima cada vez mais de 4.
Observe no gráfico e analise para que valor a função tende (olhe no eixo y), quando nos 
aproximamos do valor 2 (eixo x).
9
 Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto em torno de x0, Se f(x), fica tão 
próximo de L (tanto quanto quisermos) para todos os valores de x de próximos de x0, dizemos 
que f tem um limite L quando x tende a x0 e escrevemos:
( )
0
lim
x x
f x L
→
=
Lê-se: O limite de f(x) quando x tende à x0 é L.
Limite pela direta e pela esquerda
Quando a variável x tende x = a, mas sempre permanece menor do que a, dizemos que x 
tende a a pela esquerda, ou seja, para valores menores do que a. 
Se o valor de f(x) se aproxima cada vez mais de L- quando x tende a a pela esquerda, 
dizemos que L- é o limite pela esquerda e empregamos o símbolo:
( )lim
x a
f x
→
= L-
Da mesma forma, quando x tende para a, e sempre permanece maior do que a, 
simbolizamos o limite por:
( )lim
x a
f x
→
= L+
Surge, então, a questão: os valores de f(x) sempre tenderão ao número real L quando x tende 
para a, seja pela esquerdaou pela direita? 
A resposta é NÃO.
10
Unidade: Limites
Limite inexistente
Vamos analisar o seguinte caso:
Seja a função ( ) xf x
x
= , sendo 
, 0
 
. 0
x se x
x
x se x
≥
= − <
Observe a função e verifique se ela tem limite ou não. Lembre-se de que para que exista o 
limite, a função deverá tender para o mesmo número, tanto pela direita como pela esquerda.
Se escolhermos para x qualquer valor positivo, o resultado será sempre 1. Portanto, uma 
função constante de valor 1. 
Por exemplo, se escolhermos o valor 5 para o x, para calcular o valor da função vamos 
substituir na expressão:
( ) 55 1
5
f = =
Se a escolha recair em um número negativo, o resultado sempre -1.
Vamos verificar o que acontece com a função quando nos aproximamos do valor zero. 
Se nos aproximarmos do zero pela esquerda (valores menores do que zero, portanto, números 
negativos) o valor da função tende para -1.
Se nos aproximarmos do zero pela direita (valores maiores do que zero, portanto, números 
positivos) o valor da função tenderá para 1.
Conclui-se, então, que os limites tendem para valores diferentes quando nos aproximamos de 
zero pela esquerda ou pela direita. 
Se os valores não coincidem implica que a função não tem limite quando x tende a zero.
f(a) não definida
A existência de um limite quando x tende para a não requer que a esteja no domínio da função.
O conceito de limite requer que a função esteja definida quando x se aproxima de a. É 
possível que f não seja definida no próprio ponto x = a.
Considere a função ( )
4 , 4
4, 4
x para x
f x
x para x
− <
=  − >
Vamos verificar se a função tem limite, e caso tenha, qual é esse limite?
A função é definida no ponto 4?
Saber se essa função tem limite no ponto 4, significa saber se a função tende para um mesmo 
valor quando me aproximo do número 4 pela esquerda (valores menores do que 4) ou pela 
direita (valores maiores do que 4). 
11
Se isto acontecer, significa que a função tem limite e o valor desse limite é o mesmo para o 
qual a função tende.
A função f(x) que estamos analisando não está definida no ponto 4, ou seja, não é possível 
calcular a sua imagem no ponto 4. 
Queremos saber se a função tem limite quando x tende a 4. A função é definida em partes, 
para valores maiores e menores do que 4. Portanto, teremos de calcular os limites laterais para 
saber se a função terá ou não limite. 
Para calcular o limite de forma algébrica, basta substituir o valor de x diretamente na função. 
Observe:
( )
4
lim 4 4 0
x
f x
−→
= − =
( )
4
lim 4 4 0
x
f x
+→
= − =
Portanto, a função tende a zero quando f se aproxima do 4 tanto pela esquerda quanto 
pela direita. 
Se a função tende para um único valor, significa que a função tem limite e o valor desse limite 
é o valor para o qual ela tende. 
Em linguagem matemática: ( )4lim 0x f x→ =
É importante observar que o fato da função não estar definida em um ponto não implica a 
existência ou não de um limite, pois vamos observar o comportamento da função na vizinhança 
do ponto.
Quando o limite do denominador é igual a zero
Quando calculamos o limite, nós o fazemos quando x tende para a e não para x = a. 
A função pode não existir no ponto a e seu limite pode existir. Essas situações nos levam a 
encontrar o limite do denominador igual a zero ou uma indeterminação 0
0
 
  
. 
Para resolver o problema, é preciso manipular algebricamente a função, por exemplo, 
fatorando o denominador.
Vamos encontrar, caso exista, o limite de:
2
2
4 4 4 0lim
2 2 2 0x
x
x→
− −
= =
− −
Substituindo o valor de x na função, chegamos ao resultado acima. 
Como não existe divisão por zero, podemos concluir que o limite não existe?
A resposta é não!
12
Unidade: Limites
Sempre que chegarmos ao resultado 0
0
 
  
, implica que o nosso limite está indeterminado, ou 
seja, ele pode ou não existir. 
Para resolver esse problema, teremos que manipular algebricamente essa função para saber 
se o limite existe ou não. 
Nosso objetivo será eliminar o denominador que está “atrapalhando” a resolução do 
nosso problema.
Podemos fatorar a expressão do numerador e com isso será possível cancelar o 
denominador, observe:
2
2
4 4 4 0lim
2 2 2 0x
x
x→
− −
= =
− −
O numerador é uma expressão que representa a diferença de dois quadrados (produto 
notável), que pode ser reescrita na forma de um produto. 
Ao se reescrever a função como um produto de dois fatores, é possível cancelar um deles (x-2) e, 
portanto, calcular o limite da função substituindo o x por 2.
Limites envolvendo o infinito
Até agora, trabalhamos com limites de funções que tinham a variável independente x 
tendendo para uma certa constante a. 
O que acontece se é permitido que a variável x cresça ou decresça sem limite? 
A expressão tende para o infinito é usada para indicar que x não está se aproximando de 
nenhum número real, mas crescendo indefinidamente.
Notação:
x∞	indica	que	x	cresce	ilimitadamente	através	de	valores	positivos.
x−∞	indica	que	x	cresce	ilimitadamente	através	de	valores	negativos.
Trocando Ideias
Lembre-se de que infinito não é número real que se representa na reta real, mas sim um conceito. 
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Quando X tende para zero
Analise o comportamento da função abaixo, observando a tabela. 
Verifique o seu limite pela esquerda e pela direita, quando x tende para zero: f(x) =1/x. 
Verifique, também, se quando x tende para zero se a função tem valores se aproximando de 
um limite bem definido:
X -1 -0,1 -0,001 -0,0001 0 0,0001 0,001 0,1 1
f(x) -1 -10 -100 -1000 1000 100 10 1
Note que quando nos aproximamos de zero pela esquerda (valores menores do que zero), a 
função vai tendendo para um valor cada vez menor. Ele tende para o menos infinito. 
Quando nos aproximamos do zero pela direita, para valores maiores do que zero, a função 
tende para valores cada vez maiores, ou seja, tende ao mais infinito.
Dizer que uma função tende para mais infinito ou menos infinito é uma forma de dizer que 
essa função não tem limite.
Propriedades úteis para avaliação dos limites
Pro priedade 1
Para qualquer constante real k, lim
x a
k k
→
=
Portanto, 7 o limite de uma constante (k), é a própria constante.
2
lim 7 7
x→
=
Propriedade 2
Para qualquer número real n, lim n n
x a
x a
→
=
Exemplo:
2 2
3
lim 3 9
x
x
→
= =
Propriedade 3
( ) ( )lim lim
x a x a
kf x k f x
→ →
=
14
Unidade: Limites
Exemplo:
2 2
2 2
lim3 3lim
x x
x x
→ →
=
( )22
2
lim3 3. 2 3.4 12
x
x
→
= = =
( )22
2
3lim 3. 2 3.4 12
x
x
→
= = =
Propriedade 4
( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
 ±  = ± 
Exemplo:
2 2
3 3 3
lim( 2 ) lim lim 2
x x x
x x x x
→ → →
+ = +
2 2
3
lim( 2 ) 3 2.3 15
x
x x
→
+ = + =
2 2
3 3
lim lim 2 3 2.3 15
x x
x x
→ →
+ = + =
Propriedade 5
( ) ( ) ( ) ( )lim . lim .lim
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
=
Exemplo:
2 2
5 5 5
lim .3 lim .lim3
x x x
x x x x
→ → →
=
( )22
5
lim .3 5 .3.5 375
x
x x
→
= =
2
5
lim 25
x
x
→
=
5
lim3 3.5 15
x
x
→
= =
2
5 5
lim .lim3 25.15 375
x x
x x
→ →
= =
15
Propriedade 6
( )
( )
( )
( ) ( )
lim
lim , lim 0
lim
x a
x a x a
x a
f xf x
se g x
g x g x
→
→ →
→
= ≠
Exemplo:
22
2
2
2
lim 11lim
3 lim 3
x
x
x
xx
x x
→
→
→
++
=
+ +
2 2
2
1 2 1 5lim 1
3 2 3 5x
x
x→
+ +
= = =
+ +
2 2
2
lim 1 2 1 5
x
x
→
+ = + =
2
lim 3 2 3 5
x
x
→
+ = + =
2
2
2
lim 1 5 1
lim 3 5
x
x
x
x
→
→
+
= =
+Taxas de variação e limites
A taxa de variação é a base do estudo das funções. Ela exprime a “rapidez” com que uma 
função cresce/decresce em um intervalo de tempo.
Exemplo:
Um carro desloca-se de A para B em um intervalo de tempo, conforme descrito na tabela 
abaixo. Calcular a taxa de variação média entre os instantes 1 e 4:
Tempo(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 ...
Espaço (m) 0 2 5 9 14 20 27 35 ...
[ ] 14 21, 4 3 /
4 1
tvm m s−= =
−
16
Unidade: Limites
A taxa de variação média (tvm) de uma função f em um intervalo [XA, XB], é: 
[ ]
( ) ( )
,
Ätvm
ÄA B
B A
X X
B A
f X f X y
X X x
−
= =
−
Os fenômenos físicos muitas vezes envolvem grandezas que variam:
•	 A intensidade do tremor de um terremoto;
•	 A inflação de uma moeda;
•	 O número de bactérias em uma cultura;
•	 A velocidade de um foguete;
•	 Etc.
O objetivo da aula é desenvolver o conceito de “derivada”, que é a ferramenta matemática 
que estuda a taxa segundo a qual varia uma quantidade em relação à outra. 
O estudo de taxas de variação está relacionado ao conceito geométrico de uma reta tangente 
a uma curva. Portanto, estudaremos a definição geral de reta tangente e também os métodos 
para encontrar sua inclinação e equação.
Retas Tangentes
Reta tangente a uma curva y = f(x) num ponto P(x0, f(x0)). Considere um ponto Q(x, f(x)) que 
seja distinto de P e calcule a inclinação da reta secante PQ (m PQ):
m PQ = 
( ) ( )0
0
 f x f x
x x
−
−
Quando x tende a x0, então Q caminha na curva e se aproxima de P. Se a reta secante PQ 
atingir uma posição limite quando x  x0, consideraremos essa posição como a posição da reta 
tangente em P.
Se m nos dá a inclinação da reta, podemos achar a equação da reta tangente pela aplicação 
da fórmula: y=ax+b.
Taxa de variação instantânea de uma função
Vamos tomar, por exemplo, a velocidade de um automóvel em um percurso AB. 
Em geral, a velocidade média do percurso AB não coincide com a velocidade em um 
determinado instante. 
17
Para obter a velocidade instantânea no instante t0, consideram-se intervalos de tempo entre 
t0 e t0 + h e se calcula o limite das taxas de variação (tvm [t0, t0 + h]) quando h tende para zero. 
A velocidade instantânea ou a taxa de variação instantânea (tvi) de uma função f no instante 
t0 ou a derivada da função é dada por:
0
lim
x
y
x∆ →
∆
∆
Sendo:
∆y	=	f(x0	+	∆x)	–	f(x0)
O valor desse limite é denotado por f’(x0) e dizemos que f é derivável em x0.
Graficamente vamos considerar uma reta secante passando por:
Q(x0	+	∆x,	f(x0	+	∆x))
P (x0 + f(x0))
Para	∆x	tendendo	a	zero,	a	reta	secante	que	passa	por	PQ	muda	de	posição,	pois	o	ponto	Q	
vai se aproximando do ponto P, ou seja, tendo à reta tangente ao gráfico em P.
 
Em termos de limite temos:
m = ( ) ( )0
0
lim
∆ →
+ ∆ −
∆
o
x
f x x f x
x
A derivada de uma função f em x0 é igual ao coeficiente angular da reta tangente do gráfico 
de f no ponto de abscissa x0.
18
Unidade: Limites
Exemplo
Vamos	usar	a	ideia	de	limite	para	obter	a	equação	da	reta	t,	tangente	ao	gráfico	de	f(x)	=	–	
x2		–	1	no	ponto	P	de	abscissa	1.
Resolução
O ponto P é um par ordenado. Portanto P (x, y), temos o valor de x e, portanto, precisamos 
achar	o	valor	de	y,	pela	função,	ou	seja,	f(1)	=	–2,	logo	P	=	(1,	–2).
 A partir dessa informação, podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico 
no ponto P.
m(inclinação da reta) = ( ) ( )0
0
lim o
x
f x x f x
x∆ →
+ ∆ −
∆
( ) ( )
0
1 1
lim
x
f x f
x→∆
+ −∆
∆
( ) ( )2
0
[ 1 1] 2
lim
x
f x
x∆ →
∆ − − −
∆
+
( )2
0
1 2 1 2
lim
x
x x
x→∆
 − + + − + ∆ ∆
∆
( )2
0
1 2 1 2
lim
x
x x
x→∆
∆ ∆− − − +
∆
−
( )2
0
2
lim
x
x x
x→∆
∆ ∆−
∆
−
( )
0
2
lim
x
x x
x→∆
− −∆ ∆
∆
Como o limite encontrado é igual à inclinação da reta (ou seja, é o seu coeficiente angular), 
podemos substituir na fórmula:
y=ax+b
y=-2x+b
19
Nosso próximo passo será achar o valor de b, e conseguimos isso substituindo os valores 
conhecidos de x e y (ponto P), na função:
-2=-2.1+b
b=0
A equação da reta tangente ao ponto P é: y=-2x.
Observe no gráfico a seguir a equação da reta encontrada e a equação tangente ao gráfico 
da parábola abaixo.
 
Vamos analisar se f(x) = |x- 2|, para x = 2.
0
2 2 0
lim
x
f x
x→∆
+ − −∆
∆
0
lim
x
x
x→∆
∆
∆
 = 
1, 0
1, 0
se x
se x
>
− <
Podemos observar que os limites laterais não coincidem, ou seja, os limites são diferentes e 
isso implica que não existe limite no ponto 2. 
Conclusão: a função não é derivável no ponto 2.
20
Unidade: Limites
Problemas de aplicação
Exercício 1
Seja f: RR dada por f(x) = ax2, derivável. Calcule o coeficiente angular da reta tangente à 
curva no ponto de abscissa x= a.
Resolução
Como já vimos no exercício anterior, o coeficiente angular da reta tangente à curva em um ponto 
P	qualquer	é	numericamente	igual	ao	limite	da	função	nesse	ponto	quando	o	∆x	tende	a	zero.
Nosso primeiro passo é calcular esse limite:
( ) ( )2
0
lim
x
f a x f a
ax
x∆ →
+ −
=
∆
∆
( ) ( ) ( )2 22. 2f a x a a x a a a x x + = + = + +∆ ∆ ∆∆ 
( ) ( )23 22f a x a a x x+ ∆+ +∆ ∆=
( ) 2 3.f a a a a= =
Vamos calcular o limite:
( )23 2 3
2
0
2
lim
x
a a x x a
ax
x→∆
∆ + + −∆ 
∆
=
( )222
0
2
lim
x
a x x
ax
x→∆
+∆ ∆
∆
=
( )22 2
0
2
lim 2
x
x a x
ax a
x→∆
∆ ∆
∆
+
= =
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente à curva f(x)= ax2 é 2a2.
21
Exercício 2
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 no ponto de abscissa -2.
Resolução
Se o que buscamos é a equação da reta tangente, nosso primeiro passo será identificar 
o coeficiente angular dessa reta, que sabemos ser numericamente igual ao limite da função 
quando o valor de x tende à -2:
( ) ( )2
2
2 2
lim
x
f x f
x
x→−
− −∆+ −
∆
=
( ) ( ) ( )2 22 2 4 2f x x x x+ = + = ∆− +∆ ∆ ∆
( ) ( )22 2 4f − = − =
( )22
2
4 2 4
lim
x
x x
x
x→−
− ∆+ −∆
∆
=
( )2
2
2
lim 4
x
x x
x
x→−
∆ ∆
=
∆
− +
= −
Obtivemos, assim, o coeficiente angular da reta que procuramos.
y=-4x+b
Basta substituir os valores de x e y por um par ordenado conhecido. Sabemos que quando x 
é -2, o y = 4, portanto:
4=-4.(-2)+b
4=8+b
A equação da reta procurada é y=-4x-4.
Continuidade
Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a de seu domínio se as seguintes 
condições são satisfeitas:
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Unidade: Limites
1) f(a) é definida, isto é, o domínio de f inclui x = a.
2) ( )lim
x a
f x
→
 existe.
3) ( )lim
x a
f x
→
 =f(a)
Verifique se as funções abaixo são contínuas ou não:
1) f(x)=(x^2-4)/(x-2)
Para que a função seja contínua, ela não pode ter nenhuma interrupção. É a ideia de uma 
linha continua, sem quebras. 
No caso dessa função, observe que ela não está definida no ponto 2, ou seja, não há imagem 
para x = 2. Portanto, ela não é contínua porque não está definida no ponto x = 2. 
A função não atende uma das condições acima mencionadas. Para a função ser contínua, ela 
tem que atender as três condições simultaneamente.
Resposta: a função não é contínua por não estar definida no ponto x = 2.
2) ( )
2 , 5
3 5, 5
x se x
f x
x se x
≤
=  + >
Vamos observar as condições de continuidade:
A função está definida em todos os pontos do domínio. Portanto, atende a condição 1.
Para ela ser contínua, ele deverá ter limite, no caso, para x = 5.
Calculando os limites:
5
lim 2 10
x
x
−→
=
5
lim 3 5 20
x
x
+→
+ =
Os limites laterais não coincidem. Portanto, o limite de f(x) não existe. Com essainformação 
percebe-se que a função não atende a condição 2, portanto a função não é contínua.
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Definição formal de limite
A definição intuitiva de limite por vezes é inadequada para determinados propósitos, 
pois ela afirma que quando se está próximo do valor “a” do eixo x, a função tende para o 
número “L” no eixo y.
Vamos entender a definição precisa de um limite analisando a seguinte função:
( )
2 1, 3
6, 3
x se x
f x
x se x
− ≠
=  = =
Intuitivamente, nota-se que quando mais próximo se está do número 3, mas para um número 
diferente de 3, o limite L é 5, ou seja:
( )
3
lim 5
x
f x
→
=
Para obter informações detalhadas de como f(x) se comporta (quanto varia) quanto mais 
perto se está do número 5, podemos fazer o seguinte questionamento:
A que proximidade do 3 o x deve estar para que f(x) difira de 5 por menos de 0,1?
A distância de x até 3 é igual ao módulo: |x-3| e a distância de f(x) até 
5 é |f(x)-5|. 
Nosso problema será achar um número δ (letra grega delta), tal que:
|f(x)-5|<0,1 se |x-3|<δ
Vamos resolver essa inequação:
|(2x-1)-5|<0,1
|2x-6|<0,1
2|x-3|<0,1
|x-3|<0,1/2=0,05
δ<0,05
Saber que δ<0,05, que dizer que se o x estiver a uma distância de no máximo 0,05 do 
número 3, então f(x) estará a uma distância de no máximo 0,1 de 5.
Se mudarmos o número 0,1 do nosso problema, para o número menor 0,01 e utilizarmos o 
mesmo método para calcular o valor de δ, vamos verificar que f(x) estará distante de até 0,01 
do número 5, desde que x esteja distante de até 0,005 de x.
Se mudarmos o 0,1 por 0,001, um número menor ainda, vamos achar um δ<0,0005.
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Unidade: Limites
Esses números 0,1, 0,01, 0,001 são chamados erros de tolerância, ou tolerância que se 
pode admitir. 
Para que o número 5 seja precisamente o limite de f(x) quando o x tende a 3 é preciso 
conseguir que a diferença entre f(x) e o número 5 seja menor que qualquer número positivo. 
Se chamarmos um número positivo arbitrário pela letra grega ε épsilon, podemos reescrever o 
nosso problema da seguinte forma:
|f(x)-5|<ε se 0<|x-3|<δ=
2
ε
.
A sentença acima é uma maneira precisa de dizer que f(x) está próximo de 5 quando x está 
próximo de 3. Assim, é possível obter os valores de f(x) dentro de uma distância arbitrária ε do 
número 5 tomando os valores de x dentro de uma distância de 
2
ε
 do número 3.
Definição precisa de limite
Seja f uma função definida em um intervalo aberto que pode ou não conter o número a, dizemos 
que o limite de f(x) quando x tende ao número a é L, e escrevemos:
( )
a
lim
x
f x L
→
=
Se para todo ε>0 há um número correspondente δ>0, tal que:
( ) 0f x L sempreque x aε δ− < < − <
Uma vez que |x-a| é a distância do número a até o x e |f(x)-L| é a distância de f(x) até L, e 
sabendo que ε pode ser arbitrariamente pequeno, podemos expressar a definição de limite (na 
linguagem materna) como:
O limite da função f(x) quando x tende ao número a é L significa que a distância entre f(x) e L 
pode ser arbitrariamente pequena tomando-se a distância de a até x suficientemente pequena, 
mas diferente de zero.
Mostre que ( )
1
lim 5 3 2
x
x
→
− =
Nosso problema consiste em demonstrar que para qualquer ε>0 é possível encontrar um 
δ>0 adequado de tal modo que x seja diferente de 1e esteja a uma distância menor do que δ 
de x0 = 1.
Isto é, sempre que 0<|x-1|<δ será verdade que |f(x)-2|<ε.
Encontra-se o valor de δ resolvendo a inequação:
|f(x)-L|<ε
|(5x-3)-2|<ε
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|5x-5|<ε
5|x-1|<ε
|x-1|< 5
ε
Podemos tomar δ como 5
ε
, portanto ε=5δ
Se 0<|x-1|< 5
ε
, então:
|(5x-3)-2|<5δ
|(5x-5)|<5δ
5|x-1|<5δ
|x-1|<
5
5
δ
Como ε=5δ, então:
|x-1|< 5
ε
Essa demonstração prova que ( )
1
lim 5 3 2
x
x
→
− = .
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Unidade: Limites
Material Complementar
Para se aprofundar sobre o estudo os limites, consulte os sites e as referências a seguir:
•	 https://www.youtube.com/watch?v=iUxAIFuX7f4
•	 https://www.youtube.com/watch?v=SJb1g3qr_0o
•	 https://www.youtube.com/watch?v=2a_WmvgVhVs
•	 https://www.youtube.com/watch?v=x6lICc6aCvk
•	 https://www.youtube.com/watch?v=T4l79_LplPQ
Outra indicação:
•	 Capítulo 2 do livro Cálculo (George B. Thomas Jr), (volume 1), de Maurice D. Weir, Joel 
Hass, Frank R. Giordano. São Paulo: Addison Wesley, 2009. p. 66-91.
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Referências
FLEMMING, Diva Marília; GONCALVES, Miriam Buss. Cálculo A: funções, limite, 
derivação, integração. 6.ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
STEWART, James. Cálculo 6.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
THOMAS JR., George B. et al. Cálculo (de) George B. Thomas jr. 12.ed. São Paulo: 
Addison-Wesley, 2003.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Em curso de cálculo. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
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Unidade: Limites
Anotações
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