Calculo Financeiro_Academia de Valores Mobiliarios_23.06.2023

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Curso de Processamento de Operações de Pós-Negociação
Módulo de Matemática Financeira
Formador: Eric Costa
Curso de Processamento de Operações de Pós-Negociação
Objectivo do Módulo
• O objectivo global desta formação é transmitir aos formandos a base teórica e prática indispensável à
resolução de problemas, que simulem situações reais, idênticos aos que possam surgir na sua futura
vida profissional e de forma geral na vida quotidiana.
• Com bom aproveitamento nesta módulo, espera-se e/ou pretende-se que o formando tenha aprendido
a conhecer, dominar e aplicar os conceitos, técnicas e ferramentais fundamentais inerentes a
Matemática Financeira - valor temporal do dinheiro, regimes de equivalência, taxas de juros e
equivalência de capitais nas diferentes vertentes.
• Pretende-se também que os formandos desenvolvam competências e capacidades transversais e
multifocais, nomeadamente as seguintes: iniciativa, resolução de problemas, trabalho em equipa e
comunicação em público, clareza e linearidade do raciocínio, poder de síntese e correcta expressão do
aluno na língua portuguesa, quer ao nível oral, quer escrito. O funcionamento desta formação é
orientado em função destes objectivos. Como se compreende, a atitude do aluno ao longo deste
módulo é fundamental e, por isso, terá um forte peso na avaliação final individual.
Curso de Processamento de Operações de Pós-Negociação
Conteúdo programático
1. O Valor Temporal do Dinheiro;
2. Capital, tempo e juro. Operações Financeiras: conceitos e intervenientes;
3. O juro: conceito e cálculo;
4. Regimes de Capitalização: Juros Simples vs. Juros Compostos;
5. Taxas de juros: diferentes conceitos e tipos de taxas;
6. Equivalência de Capitais
7. Casos Práticos e Reais.
Curso de Processamento de Operações de Pós-Negociação
1. O valor temporal do dinheiro
Basicamente, a essência do Cálculo Financeiro reside naquilo que habitualmente se chama
valor temporal do dinheiro (ou valor do dinheiro no tempo), que é um conceito intuitivo:
uma unidade monetária, seja investido ou emprestado, não tem para nós o mesmo valor
consoante fique disponível ou seja exigível imediatamente ou apenas daqui a algum tempo.
Imaginemos duas situações:
1. Fomos contemplados com um prémio de 1 000,00 u.m, podendo escolher entre recebê-lo
imediatamente ou apenas daqui a um ano;
2. Fomos obrigados a pagar uma multa a AGT de 1 000,00 u.m, podendo escolher entre
pagá-la imediatamente ou daqui a um ano.
Provalmente, todos tomaríamos as mesmas decisões: no primeiro caso, receber 1 000,00 u.m
imediatamente; o segundo caso, pagar 1 000,00 u.m daqui a um ano.
Curso de Processamento de Operações de Pós-Negociação
Rendimento 
Disponível
Consumo
Poupança
Entesouramento
Investimento
Investimento 
Financeiro
Investimento Real 
Directo
- Restaurantes;
- Padarias;
- Universidades
;
- Consultorias;
- Salão de 
Beleza;
- Etc…….
- Depósito a prazo;
- Bilhetes de Tesouro;
- Obrigações do Tesouro;
- Acções;
- Unidades de 
Participações;
- Etc…….
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2. O juro: conceito e razões de existência
Juro: Remuneração de determinado capital durante determinado prazo. É, no fundo, o valor do dinheiro, tendo em
conta o factor tempo. É, pois, intuitiva a importância do factor tempo em qualquer análise que envolva capitais. Uma vez
que assim é, tornar-se necessário atribuir-lhe um valor. Esse valor é o Juro. Esta remuneração justifica-se por três ordens
de razões abaixo:
1. Privação de liquidez
Quem empresta determinado capital fica impedido de o destinar a outros fins (consumo, poupança ou ambos), dando
essa possibilidade à outra parte. É compreensível que este sacrifício por parte de quem empresta deva ser pago.
Quanto maior for o prazo de empréstimo, mais efeito se faz sentir (importância do factor tempo).
2. Perda do poder de compra
Devido à inflação, aquilo que em média custa hoje 1 000,00 u.m custará, daqui a um ano, mais de 1 000,00 u.m.
Normalmente, quanto maior for o prazo do empréstimo, maior será o efeito da inflação (importância do factor
tempo).
3. Risco
Quem empresta corre sempre o risco de não vir a receber de volta aquilo que emprestou. Isso pode acontecer por
diversas razões (mortes, incapacidades,etc..). Quanto maior for o prazo do empréstimo, maior é a probabilidade de
ocorrer algumas destas situações, isto é, maior é o risco envolvido (importância do factor tempo).
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3. Capital, tempo e juro. Operações Financeiras: 
conceitos e intervenientes
Operação Financeira: operação que transforma um ou mais capitais, de determinado(s)
montante(s) por acção do tempo e de uma taxa de juro.
Capital Tempo
(Taxa de)
Juro
Só nesta situação é que está no âmbito de uma
operação financeira – presença simultânea de
capital, tempo e (taxa de) juro.
Intervenientes
Mutuário (devedor)
Mutuante (credor) – Normalmente um Instituição Financeira Bancária
Curso de Processamento de Operações de Pós-Negociação
Operações financeiras Activas
Operações financeiras passivas
Taxas de juro activas
Taxas de juro passivas
As operações bancárias dividem-se em operações activas e operações passivas. São operações
activas aquelas que têm subjacente o recebimento de juros por parte das instituições bancárias
(por exemplo, empréstimos concedidos); são operações passivas aquelas que têm implícito o
pagamento de juros por parte das instituições bancárias (por exemplo, depósitos). Às
operações activas estão associadas de taxas de juros activas e às operações passivas estão
associadas taxas de juros passivas.
Spread (Margem Financeira) = taxas activas – taxas passivas
Capital | Quantidade em moeda (meios líquidos) cedidos pelo seu proprietário a outrem por um tempo determinado.
Tempo | Prazo durante o qual o capital é cedido. Normalmente o tempo é medido por parcelas denominadas períodos.
Juro | Remuneração obtida pela cedência de capital, ou seja, é o rendimento proveniente da poupança investida por 
um prazo determinado. Assim definido, o juro torna-se função do capital e do tempo.
Juro = F(capital, tempo e taxa de juro)
ATENÇÃO: JURO TAXA DE JURO
JURO: Expresso em valores absolutos;
TAXA DE JURO: Expresso em valores relactivos
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4. Regimes de capitalização: Juros Simples 
vs. Juros Compostos
Regime de Juros Simples (RJS): é caracterizado pelo facto de o juro produzido em cada período de
capitalização (juro periódico, jk) não produzir juros nos períodos seguintes. Deste modo, mantendo-se a
taxa, i, o juro produzido é sempre o mesmo valor: Jk = Cx1xi, ou seja Jk = ci.
Regime de Juros Compostos (RJC): é caracterizado pelo facto de o juro produzido em cada período de
capitalização produzir juro nos períodos seguintes, originando “juros de juros” o famoso Fenómeno de
Anatocismo.
Fórmulas Fundamentais do Montante e Juro
Regime de Juros Simples (RJS) Regime de Juros Compostos (RJC)
Juro periódico = C x i Juro periódico = Ci x (1+i)^(k-1)
Juro total = C x n x i Juro total = C x |(1+i)^n – 1|
Montante = C x (1+n x i) Montante = C x (1+i)^n
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Fórmulas Gerais
JURO
Não capitaliza Capitaliza
É pago É retido
REGIME DE JURO 
SIMPLES “PURO”
REGIME DE JURO 
“DITO” SIMPLES
REGIME DE JURO 
COMPOSTO
Fenómeno de 
Anatocismo
Fonte: Livro Rogério Matias
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Um Capital de 1 000,00 u.m foi depositado a prazo no Banco Milênio Atlântico (BMA) durante 3 anos à taxa anual de
capitalização de 10%. Determine o juro vencido e o montante no fim de cada período.
a) Com a utilização do Regime de Juros Simples;
b) Com a utilização do Regime de Juros Compostos;
c) Representa Graficamente os resultados que encontrar nos dois regimes.
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À contagem do tempo: Ela pode ser efectuada de vários modos. Desde logo, por exemplo, em anos, meses
ou dias. Neste último caso (dias),situação muito frequente, podem considerar-se diversas formas para
contar o número de dias entre duas datas. São as chamadas Convenções ou Bases de Cálculo para
Contagem de Prazos.
Base de Cálculo Explicação
ACT/ACT (ou REAL/REAL)
Numerador: dias reais entre duas datas, tendo em consideração a 
existência de anos bissextos.
Denominador: dias reais do ano (365, se for ano comum, 366, se for ano 
bissexto).
ACT/365 (ou REAL/365)
Numerador: dias reais entre duas datas, tendo em consideração a 
existência de ano bissexto.
Denominador: 365 (mesmo que se trate de um ano bissexto).
ACT/360 (ou REAL/360)
Numerador: dias reais entre duas datas, tendo em consideração a 
existência de anos bissextos.
Denominador: 360 (independentemente de se tratar de um ano comum 
ou bissexto).
30/360
Numerdor: admite-se que todos os meses têm 30 dias e conta-se o 
prazo em conformidade com a hipótese.
Denominador: 360 (independentemente de se tratar de um ano comum 
ou bissexto.
Nota: ACT é a abreviatura de “ACTUAL (days)”, ou seja “(dias) REAIS”.
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Determine, para cada Base de Cálculo, o número de dias entre 27 de Janeiro de 2016 e 7 de Setembro de 
2016, bem como o seu equivalente em anos (2016: ano bissexto).
Base de Cálculo Explicação
ACT/ACT (ou REAL/REAL)
( 4+ 29 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 7 ) / 366 = 224/366 = 0,612022 
anos.
janeiro: 4 dias (dias 28,29,30 e 31); fevereiro: 29 dias; março: 31 dias; 
abril: 30 dias; maio: 31 dias; juho: 30 dias; julho: 31 dias; agosto: 31 dias; 
setembro: 7 dias. Total: 224 dias em 366 dias (ano bissexto).
ACT/365 (ou REAL/365)
( 4+ 29 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 7 ) / 365 = 224/366 = 0,613699 
anos.
ACT/360 (ou REAL/360)
( 4+ 29 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 7 ) / 360 = 224/366 = 0,622222 
anos.
30/360
( 3+ 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 7 ) / 360 = 220/366 = 0,611111 
anos.
✓ Quem define a Base de Cálculo dos Juros?
• Como em quase tudo, quem define e quem manda é o credor “ a parte que tem mais poder”. Salvo se houver uma
legislação, que seria do BNA.
• Em Angola, regra geral as instituições aplicam a base de cálculo dos juros; 30/360 para as Operações Activas
(créditos) e ACT/360 para as Operações Passivas (Depósitos).
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5. Taxas de juros: conceitos, diferenças e tipos de taxas 
Tendo em conta o que foi dito no ponto anterior, quando se fala de taxas de juro é fundamental saber a que tipo de taxas
nos estamos a referir (principalmente se vigorar o regime composto).
Taxas Nominais e Taxas Efectivas
Como vimos, numa operação financeira em que vigora o regime de juro composto e, simultaneamente , a taxa de juro é
anual mas as capitalizações são feitas em subperíodos do ano, o juro total obtido após um ano dessas capitalizações é
superior. Deste modo, a diferenças entre essas taxas reside naquilo que chamamos “efeito capitalizações” ou “ Juros de
Juros”.
Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes
Duas taxas, dizem-se proporcionais se a razão do (quociente) entre elas for a mesma existe entre os periódos de tempo a
que se referem. Ao passo que taxas equivalentes são duas ou mais taxas aplicadas sobre o mesmo capital, durante o mesmo
período de tempo produzam o mesmo juros ou montante.
Taxas Ilíquidas e Taxas Líquidas
A grande distinção sobre essas taxas tem haver com o facto de refectirem ou não o efeito da fiscalidade (impostos) sobre o
valor dos juros produzidos. De modo geral, os juros produzidos em qualquer processo de capitalização estão sujeitos a
imposto (IAC). Este imposto é normalmente calculado aplicando uma taxa, actualmente de 10% dos rendimentos obtidos.
Taxas Correntes e Taxas Reais
Designa-se por taxa corrente uma taxa que não reflete o efeito da inflação e por taxa real uma taxa de juro que já reflete
esse efeito. Diz-se que existe inflação num dado período quando nesse período o nível geral dos preços sobre.
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Um investidor solicita os seus préstimos na qualidade de analista financeiro sobre duas propostos de empréstimo de dois
bancos em regime de juro composto com as seguintes condições:
• Empréstimo no banco amigo à taxa de juro anual nominal (com capitalizações semestrais) de 14,60%;
• Empréstimo no banco do povo à taxa de juro annual nominal (com capitalizações diárias) de 14,60% (base 365
dias).
Determine:
a) Taxa de juro efectiva diária do banco amigo (base 365 dias)?
b) Taxa de juro nominal anual (com capitalizações semestrais) do banco do povo?
c) Qual é a melhor alternativa do ponto de vista do investidor?
Banco Amigo
Decisão: O investidor deve optar pelo Banco do Povo, pois oferece maiores taxas de juros.
𝑖𝑎. 𝑠 =
14,60%
2
𝑖𝑎. 𝑠 = 7,30% 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
(1 + 7,30%)^2 = (1 + 𝑖𝑎. 𝑑)^365
𝒊𝒂. 𝒅 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟖𝟔% 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂
Banco do Povo
𝑖𝑎. 𝑑 =
14,60%
365
𝑖𝑎. 𝑑 = 0.0400% 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎
(1 + 0,0400%)^365 = (1 + 𝑖𝑎. 𝑠)^2
𝑖𝑎. 𝑠 = 7,5715% 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝒊𝒂. 𝒂. 𝒄. 𝒔 = 𝟕, 𝟓𝟕𝟏𝟓% ∗ 𝟐 =
𝟏𝟓, 𝟏𝟒𝟑𝟎% (𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒎 𝒄𝒂𝒑. 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒊𝒔)
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6. Equivalência de Capitias
A abordagem sobre a equivalência de capitais traz consigo interessantes noções e ferramentas úteis para a análise financeira.
O valor temporal do dinheiro está aqui mais uma vez a ser testado. Como temos vindo a enfatizar a importância deste conceito, uma vez
que um capital tem um determinado valor num certo momento; reportado a outro momento, o seu valor será outro.
Quando este valor esta reportado a um momento anterior dizemos que está a se efectuar uma actualização ou descontar aquele valor; e a
capitalização será reportar esse capital a um momento posterior.
A abordagem sobre o quadro geral da equivalência de capitais e deduzidas as formas necessarias, estamos em condições para poder
avançar e estabelecer equivalência entre dois ou mais capitais. Reforça-se que os factores de equivalência permitem capitalizar ou actualizar
um capital único nos regimes ja estudados (juro simples e juro composto) e no caso de actualização, segundo cada uma das abordagens
(comercial ou racional). Esta necessidade como é sabido resulta do “valor temporal o dinheiro” que obriga a que para operar e/ou comparar
capitais, eles estejam reportados a um mesmo momento.
Na matemática financeira, qualquer diferimento nos pagamentos contempla a contagem de juros a favor do credor e qualquer antecipação
de pagamento contempla a contagem de juros a favor do devedor. Deriva do princípio da variabilidade dos valores dos capitais em função
do tempo; significa isto que as situações de juro nulo não podem ser tratadas na base dos princípios da matemática financeira.
Este princípio origina, como consequência, que qualquer operação sobre dois ou mais capitais obriga a referi-los ao mesmo momento.
Assim, dois (ou mais) capitais, com datas de vencimento diferentes são ditos capitais equivalentes quando, transportados para uma mesma
data, à mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais.
❑ Data focal: data base de comparação dos valores diferidos. 
❑ Idênticas condições: mesmo critério de desconto e mesma taxa de juro. 
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Imagina que tens por pagar os cupões de uma Obrigação do Tesouro (OT) nos seguintes moldes: Kz 20 000,00 para ser
paga em 1 ano e outra no valor de Kz 30 000,00 para ser paga em 2 anos foram refinanciadas para serem pagas em 4
parcelas iguais e semestrais, sendo que a 1ª será para daqui 6 meses. Considerando uma taxa de 20% a.a., qual será o
valor das parcelas?
Suponha que adquiriu as Acções do Banco BAI através da Bolsa de Valores com o Valor Mobilliário nº “BAIAAAAA “ , de
acordo com os resultados financeiros da dessa instituição, é espectavel que o dividendo do primeiro ano seja igual a Kz
10 000,00 no 1º ano ecom uma taxa de crescimento de 5% nos próximos anos. A taxa de custo de oportunidade no
mercado é de 10% ao ano.
Qual é o preço actual das Acções?
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7. Casos Práticos
Considere que tem disponível para investir Kz 100 000,00. Após algumas pesquisas detalhadas, deduziu 5 opções de
investimento em apenas, resumidas abaixo:
i. Opção A – Depósito a prazo a 2 anos no Banco KEVE, a taxa de 17,50% ao ano, sujeito à comissão de gestão de
0,10% sobre os juros e kz 2 500,00 de despesas bancárias (paga anualmente). O Banco irá reembolsar o capital ao
semestre, assim como pagará semestralmente os juros.
ii. Opção B – Aquisição de Obrigações do Tesouro Angolano, a 2 anos, cuja a taxa de cupão ascende a 16,50% ao ano
e os juros são pagos semestralmente. Entretanto, o mercado exige uma yield de 8,25% ao semestre. Para a
referida operação o Banco costudiante cobra comissão de intermediação de 0,80% sobre o montante investido,
comissão de liquidação de 0,25% sobre os juros
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